第二章第二章

传输线理论传输线理论

传输线理论传输线理论----------------------

一维分布参数理论一维分布参数理论电磁场理论：精确---- 理论上可包含所有路

理论

电路理论： 简单---- 近似

传输线介于二者之间,是微波电路设计的基础，

在微波网络分析中也相当重要。

基本思路： 用电磁场理论解出等效分布电路参

量；采用电路理论来分析。

进行阻抗计算（匹配）可用史密斯圆图

主要内容主要内容

传输线基本方程传输下分布参数阻抗无耗工作状态（特例）有耗工作状态史密斯圆图（工具）阻抗匹配问题

传输线方程传输线方程

为基本方程，是描述传输线：

电压、电流的变化规律及其相互关系的微分方程。

1. 可以从场的角度以某种TEM传输线导出，

2. 也可以从路的角度，由分布参数得到的传输线电路模型导出。

本章采用路理论分析，然后对时諧情况求解，最后研究传输线的特性参数。

传输线的电路模型传输线的电路模型

传输线(transmission line)是以TEM导模的方式传送电磁波能量或信号的导行系统

特点：横向尺寸 << 工作波长λ。结构: 平行双导线

同轴线

带状线

准TEM模的微带线

各种传输TE模、TM模或其混合模的波导都可以认为是广义的传输线

基本概念基本概念

长线（long line）几何长度与工作波长λ可比拟，需用分布参数电路描述。

短线（short line）几何长度与工作波长λ相比可以忽

略不计，可用集总参数分析

二者分界：l/λ > 0.05分布参数(distributed parameter)

R、L、C和G 分布在传输线上（随频率改变）。单位长度上有：分布电阻、分布电感、分布电容和分布电导。（均匀、非均匀）

表2.1-1 给出了电磁场的分布参数结果。

传输线等效电路传输线等效电路

对于每一个微小单元ΔZ<<λ −−> 集中参数

整体构成Γ型（或Τ型）网络

传输线方程推导传输线方程推导

根据基尔霍夫定律有：

1 1

1 1

( , )v( z+ )-v(z, t)=-R ( , )

( , )i(z+ )-i(z,t)=-G ( , )

i z tz zi z t L zt

v z tz zv z t C zt

∂⎧ Δ Δ − Δ⎪⎪ ∂⎨ ∂⎪ Δ Δ − Δ⎪ ∂⎩

传输线方程推导（续传输线方程推导（续11））

将上式两面同除Δz并取limΔz->0即可得传输线方程:

1 10

1 10

( ) ( ) ( , )lim

( ) ( ) ( , )lim

z

z

v z z v z v z t iR i Lz z t

i z z i z i z t vG v Cz z t

Δ →

Δ →

+ Δ − ∂ ∂⎧ = = − +⎪⎪ Δ ∂ ∂⎨ + Δ − ∂ ∂⎪ = = − +⎪ Δ ∂ ∂⎩

限于边界条件，一般很难精确求解。（近似假定+数值分析）

时谐均匀传输线方程时谐均匀传输线方程

分布参数R、L、C和G不随位置变化

的均匀传输线稳态情况，此时：

{ }( ){ }

( , ) Re ( )2.1 2

( , ) Re

j t

j t

v z t V z e

i z t I z e

ω

ω

⎧ =⎪ −⎨=⎪⎩

代入2.1-1可得时谐均匀传输线方程：

时谐均匀传输线方程（续时谐均匀传输线方程（续11））

( )

( )

1 1 1

1 1 1

( , ) ( )2.1 3

( , ) ( )

v z t R j L i Z i zz

i z t G j C v Y v zz

ω

ω

∂⎧ = − + = −⎪⎪ ∂ −⎨∂⎪ = − + = −⎪ ∂⎩

串联驻抗

并联导纳

时谐均匀传输线方程（通解）时谐均匀传输线方程（通解）

可用代入法得二阶微分方程：

1 1

1 1

''( ) ( ) 02.1 6

''( ) ( ) 0V z Z YV zI z Z Y I z

− =⎧−⎨ − =⎩

1 2

0

( )2.1 9

( ) ( ) /

z zV z Ae A eI z V z Z

γ γ−⎧ = +−⎨

=⎩

显见通解为：（A1A2为待定系数，由边界条件决定）

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

( )(

/ ( ) /(

)

)

Z Y R j L G j C

Z Z Y R j L G j C

γ ω

ω ω

= = + +

= = + +

其中 ω 电压传播常数特性阻抗

电压电流的定解电压电流的定解终端条件（VL、IL）

始端条件（V0、I0）

信号源与负载条件（Eg、Zg、ZL）

电压电流的定解电压电流的定解-------- 11终端条件（终端条件（VVLL、、IILL））

将VL和IL（已知)代入（2.1－9），有：（z=l）

( )1 2

1 20

( )1( )

l lL

l lL

V l V Ae A e

I l I A e A eZ

γ γ

γ γ

−

−

⎧ = = +⎪⎨ = = −⎪⎩

（通常情况）可解得常数：

0 01 2,

2 2vl vlL L L LV I Z V I ZA e A e−+ −

= =

带回原式可得到沿线解：

电压电流的定解电压电流的定解-------- 11终端（续一）终端（续一）

( ) ( )0 0

( ) ( )0 0

0 0

( )2 2

( )2 2

l z l zL L L L

l z l zL L L L

V I Z V I ZV z e e

V I Z V I ZI z e eZ Z

γ γ

γ γ

− − −

− − −

+ −= +

+ −= −

0 00

0 0

0 0 0

( ) ( ) ( )2 2

( ) ( ) ( )2 2

L LL LL

L L L

L

L LL

d d

d d

V d e e ch d sh d

I d

I Z I Z I Z

I Z Ie e sh d ch dZ Z

V V

Z I

V

V V VZ

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

−

−

+ −= + = +

+ −= − = +

当然也可以表示为相对终端距离的函数，令 l-z=d：

也可表为矩阵形式： 0

0

( )( )

L

L

ch d Z sh dV dsh d c II d

Vh dZ

γ γγ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

电压电流的定解电压电流的定解-------- 22终端条件（终端条件（VV00、、II00））

相同的方法可以解得：

0 0 0 0 0

0 00

0 00

0 0 0

0 0 0 00 0( ) ( ) ( )

2 2

( ) ( ) ( )2 2

z z

z z

V z e e ch z sh z

V I Z V I Z VI z

V V V

e e sh z

I Z I Z

I c

I Z

h zZ Z Z

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

−

−

+ −= + = +

+ −= − = +

VL→V0IL→ I0 d →z

电压电流的定解电压电流的定解 -------- 33 信号源、负载条件信号源、负载条件

z=0时: I(0)=I0; V(0)=EG-I0ZG

z=L 时: I(L)=IL; V(L)=ILZL

代入通解2.1-9可得四个线性方程

（四个未知量：I0、IL、A1、A2）可解得：

( )

( )

01

0

02

0

1

1

LGG L

G

L LGG L

G

E ZA eZ Z

E ZA e eZ Z

γ

γ γ

−

− −

⎧ = − Γ Γ⎪ +⎪⎨⎪ = − Γ Γ⎪ +⎩

电压电流的定解电压电流的定解 -------- 3 3 信号源、负载条件（续一）信号源、负载条件（续一）

0 0

0 0

;G LG L

G L

Z Z Z ZZ Z Z Z

− −Γ = Γ =

+ +

其中：

02

0

20

( ) ( )1

( ) ( )1

ll dG

LlG L G

ll dG

LlG L G

E Z eV d e eZ Z e

E eI d e eZ Z e

γγ γ

γ

γγ γ

γ

−−

−

−−

−

⎧= ⋅ + Γ⎪ + − Γ Γ⎪

⎨⎪ = ⋅ − Γ⎪ + − Γ Γ⎩

d=l-z 2.1-15

电压电流的定解电压电流的定解 （小结）（小结）

从上面三种解可见：

传输线上的波是由信号源发出的入射波（e-γz或eγd）

负载反射的波（eγz或e-γd）

两部分叠加组成。（呈行、驻波混合分布 ）

基本处理方法都是：

1. 将已知条件带入通解；

2. 解常数A1A2 ;

3 写出通解。

传输线的特性参数传输线的特性参数特性阻抗：（characteristic impedance）

行波电压与电流之比：倒数为特性导纳Y0

1 1 10

1 1 1

R j L LZG j C C

ωω

+= ⎯⎯⎯→

+无耗

•传播常数 γ

( )( )1 1 1 1L G +j Cj R jγ α β γ ω ω= = +＋ ＝

α衰减常数; β相位常数

传输线的特性参数（低耗线近似）传输线的特性参数（低耗线近似）

低耗线：R<<ωL1; G<<ωC1；用（1+x)a=1+ax1 12 2

1 1 1 1 10

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

112

R j L L R GZG j C C j L j C

L R G LC j L j C C

ωω ω ω

ω ω

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+

= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞

≈ + ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

＝

－

1 11 1

1 1

1 11 1 1 1

1 1

L C 1 12 L 2

1 C LG L2 L C

R Gjj j C

R

γ ωω ω

α β ω

⎛ ⎞⎛ ⎞≈ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

＋ ＋

＝ ＋ ； ＝ C 平行板

书上给出了：双导线、同轴线、

的近似结果

分布参数阻抗分布参数阻抗

传输线上的电压和电流与电流之比（分布参数阻抗－－低频还原成集中参数）

1.阻抗定义：

0 00

0 L

0

( )( )( )

L L Lin

L L

V ch d I Z sh d Z Z th dV dZ d Zsh dI d Z Z th dI ch d VZ

γ γ γγ γγ

+ += = =

+＋

为已知负载条件的解。（2.2-2)距离负载d处向负载看去的阻抗(imput impedance)

分布参数阻抗（无耗线）分布参数阻抗（无耗线）

( )( )

00

0

( ) Lin

L

Z jZ tg dZ d Z

Z jZ tg dββ

+=

+

此时：α=0; γ=jβ; th(γd) = jtg(βd)

1) 传输线阻抗随位置而变，（分布参数阻抗）V和I无明确的物理意义，无法直接测量，故传输线

阻抗也不能直接测量。2) 传输线段具有阻抗变换作用，ZL通过线段d变换成Z(d)，或相反。3) 无耗线的阻抗呈周期性变化，具有l/4变换性和l/2重复性。

反射参量（反射参量（便于测试便于测试 ））

1) 反射系数（reflection coefficient）反射波电压与入射波电压之比

传播方向：-z --- 反射波 eγz

+z --- 入射波 e-γz

d=l-z 符号刚好相反

I

( )( ) 2.2 3( )

2.1 11 ( ) ( )

v

v

V ddV d

d d

+

−Γ = −

− Γ Γ由 可知： ＝-

一般采用易测的电压反射系数（记为Γ(d)）

反射参量反射参量 -------------- 已知终端负载时已知终端负载时

LI2 2 20 0

0 0( 2 )2 2

( )

2.2 5L L

d d dL L LL

L L Lj j dd d

L L

V I Z Z Zd e e eV I Z Z Z

e e e e

γ γ γ

φ φ βγ α

− − −

−− −

− −Γ = ⎯⎯⎯→ = Γ

+ +

= Γ = Γ −

除以

0 0L

0 0

2.2 6LjL L

L L

Z Z Z Z eZ Z Z Z

φ− −Γ = = −

+ +

终端反射系数

反射系数在单位圆内的变化反射系数在单位圆内的变化

有耗：Γ(d)轨道为单位圆向内螺旋线上无耗：Γ(d)轨道为同心圆、相位-2βd旋转

（顺时针旋转）

阻抗与反射系数的关系阻抗与反射系数的关系

线上任意点上的电压、电流：

[ ][ ]

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )2.2 8

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

V d V d V d V d d

I d I d I d I d d

+ − +

+ − +

⎧ = + = + Γ⎪ −⎨= + = − Γ⎪⎩

相除有： [ ][ ] )(1

)(1)(1)()(1)()( 0 d

dZddIddVdZin Γ−

Γ+=

Γ−Γ+

= +

+

也可解成：

0

0

( )( ) 2.2 11( )

in

in

Z d ZdZ d Z

−Γ = −

+

Γ(d)与Zin一一对应圆图的基础

（（33）传）传 输输 系系 数数 TT－－可用来描述传输线上功率传输关系－－可用来描述传输线上功率传输关系

定++ ==≡

II

VVT

tt

入射电压或电流

传输电压或电流

设传输线的特性阻抗为z1用阻抗为Z0的线馈电：

01

01

ZZZZ

+−

=Γ （线为无限长或用自身端接）

传输的场分为两部分：反射分量Γ传输分量T

传传 输输 系系 数数 TT（续一）（续一）

z<0 线上的电压：V(z)=V0+(e-jβz + Γe-jβz)

在z>0部分不存在反射(匹配)V(z)=V0+e-jβzT

二者在分界面（z=0处）连续（e0=1;约去V0+）有

1 0 1

1 0 1 0

21 1 2.2 14Z Z ZTZ Z Z Z

−∴ = + Γ = + = −

+ +

这与电磁场的结果完全一致

电路中的两点间的传输系数常用来表示插入损耗

(Insertion loss) L1(dB)= － 20lg|T|db 2.2-15

3. 3. 驻驻 波波 参参 量量－由于上面参量为复数不易测试而引入－由于上面参量为复数不易测试而引入

电压驻波比：(voltage standing wave ratio)

max

min

( )V

VSWRV

ρ ≡波腹：振幅最大的电压或电流处波谷：振幅最小的电压或电流处波节：振幅为零的电压或电流处

其倒数称为行波系数：

min

max

1 1K 2.2 17V

VSWR Vρ≡ −＝ ＝

驻驻 波波 参参 量量 （续一）（续一）由式（23.2－8），得到：

( 2 )

( 2 )

( ) ( ) 12.2 18

( ) ( ) 1

L

L

j dL

j dL

V d V d e

I d I d e

φ β

φ β

−+

−+

⎧ ⎡ ⎤= + Γ⎪ ⎣ ⎦ −⎨⎡ ⎤= − Γ⎪ ⎣ ⎦⎩

取模有：（用欧拉公式ejx=cosx+jsinx）

12 2

12 2

( ) ( ) [1 2 cos( 2 )]

( ) ( ) [1 2 cos( 2 )]

L L L

L L L

V d V d d

I d I d d

φ β

φ β

+

+

= + Γ + Γ −

= + Γ − Γ −

[ ]

{ }( ){ }

2

( ) ( ) 1 2 ) sin( 2 )

( ) 1 2 ) sin 2 )

( ) 1 2 ) sin 2 ) 2 2 )

L L L

L L L L

L L L L L

V d V d d j d

V d d d

V d d d d

φ β φ β

φ β φ β

φ β φ β φ β

+

+

+

= + Γ − + −

= ⎡ + Γ − ⎤ + Γ −⎣ ⎦

= + Γ − + − + Γ −

2 2

2 2 2

cos(

cos( (

cos ( ( cos(

驻驻 波波 参参 量量 （续二）（续二）

max min

max min

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1

L L

L L

V d V d V d V d

I d I d I d I d

+ +

+ +

⎧ ⎧= ⎡ + Γ ⎤ = ⎡ − Γ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎨ ⎨

= ⎡ + Γ ⎤ = ⎡ − Γ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩

显见： max min0

max min

( ) ( )( ) ( )

V d V dZ

I d I d= =

max max

min min

1I 2.2 22I 1

L

L

VVSWRV

ρ+ Γ

= = −− Γ

（ ） ＝

1 2.2 231L

ρρ

−Γ = −

+也有一一对应关系：可用来描述传输线状态

(2)(2)阻抗参量与驻波参量的关系阻抗参量与驻波参量的关系

00

0

( )( )

inL

in

Z d jZ tg dZ ZZ jZ d tg d

ββ

−=

−

由输入特性阻抗表达式2.2-20

00 L

( ) Lin

Z jZ tg dZ d ZZ jZ tg d

γγ

+=

+可解得：

通常选取驻波最小点为测量点，其距负载的距离为dmin

由2.2-19式当cos(φL-2βd)= －1时|V(d)|最小：|V(d)|min=|V+(dmin)|(1-|ΓL|)|I(d)|min =|I+ (dmin)|(1+|ΓL|)

阻抗参量与驻波参量的关系（续一）阻抗参量与驻波参量的关系（续一）

由定义，该点的阻抗为：

min 00

min

( ) 1Z

( ) 1inL

L

V d ZI d

Z ρ− Γ

= = =+ Γ

故在d=dmin点上：

0

0

0 minmin

0 0min

0 min

1L

jZ tg dj tg dZ Z Zj

Z

Z tg dZ j tg d

βρ β

ρ ββ

ρ

ρ

−−

= =−−

可见当Z0确定时，负载阻抗与ρ一一对应，

于是可以通过测量dmin和ρ来确定ZL

2.3 2.3 无耗线工作状态分析无耗线工作状态分析

共有三种状态：行波、驻波、行驻波

1. 行波状态（无反射）－匹配条件：ZL=Z0 ＝> Γ＝0 ρ=1, K=1特征：由（2.1-14）式

0 0 00

0 0 00

0

( )2 2.3 1

( )2

j z j z

j z j z

V I ZV z e V e

V I ZI z e I eZ

β β

β β

− + −

− + −

+⎧ = =⎪⎪ −⎨ +⎪ = =⎪⎩可见：电压电流同相，振幅不变，各点阻抗为Z0

)cos(),(

)cos(),(

00

00

ztItzi

ztVtzv

βφω

βφω

−+=

−+=+

+

无耗线工作状态分析无耗线工作状态分析（续一：短路线）（续一：短路线）

驻波：（全反射）条件：ZL=0/∞（短路、开路）；ZL=±jXL（纯电抗）

特性：（a）短路时： 0

0

11;

1LL

LL L

Z ZZ Z

ρ+ Γ−

Γ = = − = = ∞+ − Γ

( )

0

( ) ( ) ( ) 2 sin

2( ) cos 2 cos

j d j dL L

LL

V d V d V d V e e j V d

VI d d I dZ

β β β

β β

+ − + − +

++

= + = − =

= =

显见：在负载处，d=0,VL＝0,IL=2VL+/Z0

电压为波节点，电流为波腹点。

沿线电阻Zinsc(d)=jZ0tgβd （纯电抗）

无耗线工作状态分析无耗线工作状态分析（续二：短路线、开路（续二：短路线、开路线）线）

沿线的阻抗呈：

感抗→并联谐振→容抗→串连谐振→的周期性变化。

每λ/4改变性质

每λ/2为一个周期

( b) 终端开路线:

0

0

1; 1;

1LL

L LL L

Z ZZZ Z

ρ+ Γ−

= ∞ Γ = = = = ∞+ − Γ

无耗线工作状态分析无耗线工作状态分析（续三：开路线）（续三：开路线）

分析方法同上

0

( ) 2 cos2.3 62( ) sin 2 sin

L

LL

V d V dVI d j d I dZ

β

β β

+

++

⎧ =⎪ −⎨

= =⎪⎩

显见：在负载处，d=0,IL＝0,VL=V(d)|max＝2VL+

电压为波腹点，电流为波节点。

沿线电阻Zinoc(d)=－jZ0ctgβd （纯电抗）

20)()( ZdZdZ oc

inscin =⋅综合2.3-5、2.3-7可见：

无耗线工作状态分析无耗线工作状态分析（续四：实际测试）（续四：实际测试）

0 ( ) ( ) 2.3 9sc ocin inZ Z d Z d= ⋅ −

对于一定长度d的传输线，通过短路及开路的

测量，可以得到Z0、β

( )1 2.3 10( )

scinocin

Z darctgd Z d

β = −

(c) (c) 端接端接纯电感纯电感负载无耗线负载无耗线此时：ZL=jXL

( ) ( )

2 20 0 0

2 20 0

2 22 2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 20 0

1 02 2

0

2

41

Lj L L LL L

L L

L L LL

L L

LL

L

jX Z Z X jZ XejX Z Z X

Z X Z X Z X

Z X Z X

Z XtgX Z

Φ

−

− − −Γ = Γ = =

+ +

− + +∴ Γ = = =

+ +

Φ =−

( )( )( )2

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

( ) 1 ( ) L

L

j dL

V d V d V d V d d

V d d e β

+ − +

Φ −+

= + = + Γ

= + Γ

(c) (c) 端接端接纯电感纯电感负载无耗线（续一）负载无耗线（续一）

可见此时终端也产生全反射（Γ=1），线上形成驻波;但此时终端(d＝0)既不是电压波节点也不是电压波腹点。沿线的电压、电流和阻抗分布曲线可将电感负载用一段小于λ/4的短路线来等效后获得 。

00 0

12

L Le

X Xl tg arctgZ Z

λβ π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

短路线输入阻抗：Zin(d)=jZ0tg(βd)=jXL故有短路线长度：

(c) (c) 端接端接纯电容纯电容负载无耗线负载无耗线

此时：ZL=－

( ) ( )

2 20 0 0

2 20 0

2 22 2 2 2 2 20 0 0

2 2 2 20 0

1 02 2

0

2

41

Lj L L LL L

L L

L L LL

L L

LL

L

jX Z Z X jZ XejX Z Z X

Z X Z X Z X

Z X Z X

Z XtgX Z

Φ

−

− − − + −Γ = Γ = =

− + +

− + +∴ Γ = = =

+ +

−Φ =

−

(c) (c) 端接端接纯电容纯电容负载无耗线（续一）负载无耗线（续一）

可见此时终端也产生全反射（Γ=1），线上形成驻波;但此时终端(d＝0)既不是电压波节点也不是电压波腹点。沿线的电压、电流和阻抗分布曲线可将电感负载用一段小于λ/4的开路线来等效后获得 。

开路线输入阻抗：Zin(d)=－jZ0ctg(βd)=-jXL故有短路线长度：

1 1

0 0

1 2.3 122

L Le

X Xl ctg ctgZ Z

λβ π

− −∞

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

小节：驻波状态及特点小节：驻波状态及特点

（1)电压V、电流I的振幅是位置的函数，波节和波腹固定，两相邻波节点之间距离为λ/2。短路线终端： 电压波节点、电流波腹点;开路线终端： 电压波腹点、电流波节点；

接纯电感负载时：距负载第一个出现的是电压波腹点接纯电容负载时：距负载第一个出现的是电压波节点（2) 沿线各点的V,I随时间和位置d变化都有λ/2相位差，故线上既不能传输能量也不能消耗能量。（3) V,I波节点两侧各点相位相反，相邻两节点之间各

点的相位相同。（4)传输线的输入阻抗为纯电抗，且随频率和长度变化；当频率一定时，不同长度的驻波线可分别等效为：电感、电容、串联谐振电路或并联谐振电路。

3. 3. 行驻波状态：部分反射情况行驻波状态：部分反射情况此时：ZL=R±jXL

( )( )( )

( )

( )( )

0 002 2

0 0

2 2 20 0

2 20

2 20

2 20

1 02 2 2

0

2

2

L LLL

L L

L L L

L

LL

L

LL

L L

R Z jX R Z jXR jX ZR jX Z R Z X

R Z X jZ XR Z X

R Z XR Z X

Z XtgR Z X

−

− ± +± −Γ = =

± + + +

− + ±=

+ +

− +∴ Γ =

+ +

±Φ =

− +

∓

行驻波状态：部分反射情况行驻波状态：部分反射情况((续一续一))

此时|Γ|<1，终端产生部分反射，线上形成行驻波，无波节点，驻

波最小值不等于零，驻波最大值不等于终端入射波振幅的两倍。

( 2 )

( 2 )

( ) 12.3 13

( ) 1

L

L

j dj dL L

j dj dL L

V d V e e

I d I e e

φ ββ

φ ββ

−+

−+

⎧ ⎡ ⎤= + Γ⎪ ⎣ ⎦ −⎨⎡ ⎤= − Γ⎪ ⎣ ⎦⎩

max min

max min

1 1

1 1

L L L L

L L L L

V V V V

I I I I

+ +

+ +

⎧ ⎧= ⎡ + Γ ⎤ = ⎡ − Γ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎨ ⎨

= ⎡ + Γ ⎤ = ⎡ − Γ ⎤⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩

cos(ΦL-2βd)=1,V最大I最小可得：

ΦL-2βd＝－2nπ (ΦL<2βd) ⇒

,2,1,024max =+= nnd Lλφ

πλ

行驻波状态：部分反射情况行驻波状态：部分反射情况((续二续二))

1)2(cos −=−= dL βφ 电压最小电流最大

ΦL-2βd＝－（2n＋1)π ⇒

,2,1,0)12(44min =++= nnd Lλφ

πλ

行驻波状态下沿线输入阻抗一般为负数。

由2.3-13式及定义：

( 2 )

( 2 )

1( )( ) 1

L

L

j dL

in jL

Ld

L

eVV dZI d eI

β

β

Φ −

−

+

+ Φ

+ Γ= =

− Γ

行驻波状态：部分反射情况行驻波状态：部分反射情况((续三续三))

cos(ΦL-2βd)=1,（V最大I最小）

Zin=Rmax+jXmax=Z0ρ

Rmax=Z0ρ ； Xmax＝0

cos(ΦL-2βd)=－1,（V最小I最大）

Zin=Rmin+jXmin=Z0/ρ

Rmin=Z0/ρ = Z0K； Xmin＝0

电压最大、最小点阻抗均为实数，二者相距λ/4

RmaxRmin= Z02

有耗线的特性计算有耗线的特性计算

讨论损耗对于传输线特性的影响与功率效

率计衰减的计算方法。

1.损耗的影响：主要为振幅，其次为色散效应(β~f; v~f)

有耗线推导与无耗线基本相同（多α）)2(2)( djad

LLeed βφ −−Γ=Γ

adL

adL

ee

VSWR 2

2

11

−

−

Γ−

Γ+= Γ及ρ 均与位置有关

损耗的影响（续一）( 2 )2

( 2 )2

0

( ) 12.4.2

( ) 1

L

L

j dad j d adL L

j dad j d adLL

V d V e e e e

VI d e e e eZ

φ ββ

φ ββ

−+ −

+−−

⎧ ⎡ ⎤= + Γ⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤= − Γ⎪ ⎣ ⎦⎩

( ) ( ){ }( ){ }

12 2 22 4 2

12 24 2

1 cos 2 sin 2

1 2 cos 2

d dL L L L

d dL L L

e d e d

e e d

α α

α α

β β

β

− −

− −

⎡ ⎤± Γ Φ − + Γ Φ −⎣ ⎦

= + Γ ± Γ Φ −

用欧拉公式展开可求出振幅。括号部分为： ( ) ( )21 cos 2 sin 2d

L L Le d j dα β β−± Γ Φ − + Φ −⎡ ⎤⎣ ⎦

损耗的影响（续二）1/ 22 4 2

12 4 2 2

0

( ) 1 2 cos( 2 )

( ) 1 2 cos( 2 )

ad ad adL L L L

L ad ad adL L L

V d V e e e d

VI d e e e d

Z

φ β

φ β

+ − −

+− −

⎧ ⎡ ⎤= + Γ + Γ −⎪ ⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤= + Γ − Γ −⎣ ⎦⎪⎩

2 2max max

2 2min min

( ) 1 ( ) 1

( ) 1 ( ) 1

ad ad ad adL L L L

ad ad ad adL L L L

V d V e e I d I e e

V d V e e I d I e e

+ − + −

+ − + −

⎧ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Γ = + Γ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎣ ⎦⎨ ⎨

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − Γ = − Γ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎩

可见电压和电流的极值点均与位置有关。

由此可得沿线电压和电流的驻波最大值和最小值为：

0 00

0

2.41 (( 5)1

)( )

Lin

L

Z Z th dZ d ZZ Z t dd

dZh

γγ

+=

+=

Γ− Γ

−+

（2.2-1） (由2.4-2按定义除 ）

损耗的影响（续三 –— 终端开路时）

0

0

( ) 22( )

( )

L

L

ocin

V d V ch dVI d sh dZ

Z d Z cth d

γ

γ

γ

+

+

=

=

=

ΓL＝1；ZL＝∞ 根据2.4.2:( 2 )2

( 2 )2

0

( ) 12.4.2

( ) 1

L

L

j dad j d adL L

j dad j d adLL

V d V e e e e

VI d e e e eZ

φ ββ

φ ββ

−+ −

+−−

⎧ ⎡ ⎤= + Γ⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤= − Γ⎪ ⎣ ⎦⎩

有：（γ=α+jβ）

损耗的影响（续四 –— 终端开路/短路时）

图2.4－1表示有耗开

路线上的电压、电流

振幅与阻抗的分布

当终端短路时：ΓL= -1

0

0

( ) 22( )

( )

L

L

scin

V d V sh dVI d ch dZ

Z d Z th d

γ

γ

γ

+

+

=

=

=

损耗的影响（续五 –— 小结）

开路线和短路线成互补关系（V-I互换即可）

靠近信号源(d大时) 起伏小、阻抗波动小

→传输线特性阻抗→足够长可视为匹配负

载）显见： 20( ) ( ) 2.4 10sc oc

in inZ d Z d Z⋅ = −

0 ( ) ( )

( )1( )

sc ocin in

scinocin

Z Z d Z d

Z da j arctgd Z d

γ β

= ⋅

= + =

于是只需作两次测量即可确定有耗线的特性参数：

2. 2. 传输功率与效率传输功率与效率

1) 传输功率分：a) 匹配线 b)失配无耗 c)失配有耗

三种情况讨论。（假定信号源匹配）

a) 匹配线 —— 无反射功率2

*0

0

1 1Re( ) 2.4 132 2

LL L

VP V I

Z

++ += = −

2. 2. 传输功率与效率（续一）失配无耗传输功率与效率（续一）失配无耗

b)失配无耗 ——有反射

传给负载的功率：

* *

**

0

2

2 20

0

1 1Re( ) Re ( )( )2 21 Re (1 ) (1 )2

1 (1 ) (1 )2

L L L L L L L

LL L L

LL L i r

P V I V V I I

VVZ

VP P P

Z

+ − + −

++

+

⎡ ⎤= = + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + Γ − Γ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − Γ = − Γ = −

匹配功率

反射功率

2. 2. 传输功率与效率（续二）失配无耗传输功率与效率（续二）失配无耗

** *

0

2

2

0

1 1 ( )( ) Re( ( ) ( ) ) Re ( )(1 ( )) (1 ( ) )2 2

( )1 (1 ( ) )2

V dP d V d I d V d d dZ

V dd

Z

++

+

⎡ ⎤= = + Γ − Γ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − Γ

沿线任意点功率：

对比公式2.2-20max

max

min

min

( ) ( ) 12.2 20

( ) ( ) 1

( ) ( ) 1

( ) ( ) 1

L

L

L

L

V d V d

I d I d

V d V d

I d I d

+

+

+

+

⎧ = ⎡ + Γ ⎤⎣ ⎦⎪ −⎨= ⎡ + Γ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

⎧ = ⎡ − Γ ⎤⎣ ⎦⎪⎨

= ⎡ − Γ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

2. 2. 传输功率与效率（续三）失配无耗传输功率与效率（续三）失配无耗

2

maxmax min

0

20min max max

( )1 1( ) ( ) 2.4 152 21 1( ) ( ) ( ) 2.4 162 2

V dP V d I d K

Z

P V d I d I d Z K

= ⋅ = −

= ⋅ = −

显然：

2min

0 max

( )1 12 ( )

brbr

V dVP K K

Z V dρ= = = ≤其中:

设Vbr为击穿电压，则传输线的功率容量

（极限功率）为 ：

2. 2. 传输功率与效率（续四）传输功率与效率（续四）失配有耗失配有耗c) 失配有耗线:

线上任一点处的功

率为：

2 2 )

2 2

0

( )

( )

1

1

d j d d j dL L

d j d d j d

d dL L

d dL LL

L

V d V e V e

I d I e

V e e e e

V e ee e eZ

α β α β

α

γ

β α β

γ

γ γ

+ − −

+

+ −

+ − −

⎧ ⎡ ⎤+ Γ⎣ ⎦⎪⎨

⎡ ⎤− Γ

=

=⎪ ⎣ ⎦⎩

－

－ －

＋

＋I

＝

＝

( ) ( )

( ) ( )( ){ }( )

*

2

2 22 2 2

02

2 2 22 4 2

0

222 4

0

1( ) Re( ( ) ( ) )2

Re (1 )(1 )2

Re 12

12

L L

L L

L j d j dd d dL L

L j d j dd d dL L

L d dL

P d V d I d

Ve e e e e

Z

Ve e e e e

Z

Ve e

Z

β βα α α

β βα α α

α α

Φ Φ −− −

Φ Φ −− −

−

= =

⎡ ⎤= + Γ − Γ⎣ ⎦

⎡ ⎤= Γ + Γ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Γ

＋

－ ＋

＋

－ ＋

＋

－

＝ －

2. 2. 传输功率与效率（续五）失配有耗传输功率与效率（续五）失配有耗

( ) ( )2

2 22 4 2 2

0

( ) 12

L d d d dL L

VP d e e e e

Zα α α α− −= Γ Γ

＋

0－ ＝P －

即：

始端功率：( d=l ) ( )2

22 L 4 Li

0

12

LL

VP e e

Zα α−= Γ

＋

－

负载功率：( d=0 ) ( )2

2

L0

12

LL

VP

Z= Γ

＋

－

线上损耗功率：

( )2d i L 0

2 2 11 LL

LP P P P e eα α−⎡ ⎤= − = − − −⎢⎣Γ ⎥⎦

2. 2. 传输功率与效率（续六）效率传输功率与效率（续六）效率

长线的效率为：2

L22 L 4 L

L

1(1 )

L

i

PP e eα α

η−

− Γ=

− Γ＝

当传输线匹配时：|ΓL|＝0

2 Lmax e αη η −= =

3. 3. 回波损耗与反射损耗回波损耗与反射损耗

二端口网络问题计算中有时需用到的概念a) 回波损耗(回程损耗、反射波损耗）

( )( )

*

* *

101g ( ) 2.4 21

110 lg 10lg 20lg

rPL dBP

V IdB

V I

+

−

+ +

− −

≡ −

= = = − ΓΓ Γ

iii

由于|Γ|≤1 Lr必为正值。

无耗：|Γ|为常数，Lr也为常数。

有耗：|Γd|＝|ΓL|e2αd，是位置的函数。

3. 3. 回波损耗与反射损耗（续一）回波损耗与反射损耗（续一）

由Γ(d)＝|ΓL|e-2αd ej(Φ−2βd) 2.2-5 有：

Lr,i = -20 lg{|Γ|e2αl}＝－20 lg|Γ|+ (2αl) 20 lg e= Lr,l + 2 (8.686 αl)

可见输入端回波损耗为

负载端回波损耗＋有耗线来回路程衰减。

匹配时： |Γ|=0 ⇒ Lr=∞ 100%吸收

全反射： |Γ|=1 ⇒ Lr=0 无吸收。

Γ=1

Lr

3. 3. 回波损耗与反射损耗（续二）回波损耗与反射损耗（续二）

b) 反射损耗 (reflection loss)是功率失配的度量。

0

0

101 ( ) 2.4 24L

L

L z zR

L z z

PL g dB

P=

≠

≡ −

当ZG=Z0时，

( ) ( )( )

2

02 2 2

0

2

22

2 110 1 10 lg(1 ) 2 1

1110 lg 10 141 1 1

LR

L L L

V ZL g

V Z

gρ

ρρ ρ

+

+≡ =

− Γ − Γ

+= =

+ − +

3. 3. 回波损耗与反射损耗（续三）回波损耗与反射损耗（续三）

当Γ=0.707时，ρ=(1+0.707)/(1-0.707)=5.83有Lr = 10lg2 = 3dB 表明PL仅为信号源功率一半。

( )0

0

2

2

1110lg 10141

10lg 20lg

L z zR

L z z L

r

PL g

P

PL dBP

ρρ

=

≠

+

−

⎧ += = =⎪

⎪ − Γ⎨⎪

= − Γ⎪⎩

Γ=1

Lr

Γ=1

LR

回波损耗：反射信号本身损耗反射损耗：反射信号引起的负

载功率减小。（失配）

VSWRVSWR、、||GG||、、LrLr与反射功率的关系与反射功率的关系

如书上图2.4-2对应线图，也可画成下图：

例题例题2.42.4－－1:1:如图的传输系统，如图的传输系统，EEgg=20V(=20V(有效值有效值),),

ZZgg=100=100ΩΩ，，ZZ00＝＝100100ΩΩ，，ZZLL＝＝150150ΩΩ；线长；线长4m, 4m,

f=500M, f=500M, 求求a=0;a=0.5dBa=0;a=0.5dB的的PPinin和和PPLL

解：V0+ =Eg Z0/(Z0+ZG)=14.14

0

0

0.20LL

L

Z ZZ Z

−Γ = =

+

( )

( )

222 L 4 L

i0

22

L0

01

0.984 0.52

01

0.605 0.52

0.96

0.96

LL

LL

VP e e

Z

VP

WZ

W

W

α α αα

αα

− =⎧= Γ = ⎨ =⎩

=⎧= Γ = ⎨ =⎩

＋

＋

－

－

两者之差即为损耗在线上的功率。

衰减的计算方法衰减的计算方法

1 01

0

2.1 232 2c d

G ZRa a aZ

= + = + −

1. 用分布参数计算

( )( )1 1 1 1L G +j Cj R jγ α β γ ω ω= = +＋ ＝

解出实部。对于低耗线有：

2. 用围绕法(perturbation method)采用无耗线的场，假定有耗线场差别不大。

20( ) azP z Pe−= )(22)( 2

0 zaPeaPzzPP az

l ==∂

∂−= −

0

( 0) 2.4 312 ( ) 2

l lP P zaP z P

== ≈ −

衰减的计算方法（续一）衰减的计算方法（续一）

3.用惠勒增量电感法则求αc（常用于求解TEM或准TEM传输线）用电磁场理论解出：

2 22 1 1

tan

2( / )

2 2 2s s

ls

L I I LR RP H dl W mω

μσΔ Δ

= ∫ = ⋅ =

2 21 0 0 01

0 0 0 0

12 22 2 2 2 2

lc

p

I L I ZP Z ZLaP Z Z v Z

ω ω βωΔ Δ ΔΔ= = = = =

由此：

drdZ

ZR

drdZ

Za ss

c0

0

0

0 24 ηβδ

==drdZ

ZZ s 000 2

)2

( δδ+≈由：

得：εμη /=

例例2.42.4――2 2 用增量电感法则求同轴线的用增量电感法则求同轴线的ααcc

abn

abnZ

r

12

1600 π

ηε

==同轴线特性阻抗为：

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −==

baZR

daanbd

dbanbd

ZR

drdZ

ZR

a sss 114

/1/142 00

0

0 ππη