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Introduction 多重ブレイン解: 要約 BV 形式と BV-basis 多重 brane 解周りの BV 解析計算結果: tachyon 真空解計算結果: 2 重 brane 解

開弦の場の理論の多重ブレイン解周りの揺らぎの

Batalin-Vilkoviski解析

畑浩之 (京大理)

2016年 2月 22日 at SFT16

based on arXiv:1511.04187

“BV Analysis of Tachyon Fluctuation around Multi-brane

Solutions in Cubic String Field Theory”

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Introduction

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多重ブレイン解 in Cubic open SFT

• タキオン真空の厳密解 (Schnabl’05)

• KBc代数に基づいた簡潔な理解と表現(Okawa’06, Erler+Schnabl’09)

• KBc代数に基づいた多重ブレイン解の構成(Murata+Schnabl’11,’12, Hata+Kojita’11,’12,· · · )

• Boundary Condition Changing Op. を用いた構成 (Erler+Maccaferri’14 ⇐よく知らない)

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ここでやること本来やりたいこと� �

Cubic SFTの多重D25-brane解の周りの揺らぎモードの陽な構成。特に、N重-brane解の周りの揺らぎにはN2重の縮退があることを示す。� �ここでやること• 2重 brane解 (とタキオン真空解)の周りのタキオンモードのBatalin-Vilkovisky解析

• 特に、2重 brane解の周りに物理的なタキオンモードが存在するか?

• まだ、第一歩。22 = 4重の縮退を同定するには至らず。他にも問題色々。

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多重ブレイン解: 要約

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念のためにCSFT

作用: S[Ψ] =

∫ (12Ψ ∗ QBΨ+

13Ψ3

)EOM: QBΨ+Ψ ∗Ψ = 0

KBc代数

[B ,K ] = 0, {B , c} = 1, B2 = c2 = 0,QBB = K , QBK = 0, QBc = cKc.Ngh(K) = 0, Ngh(B) = −1, Ngh(c) = 1.

なおi = −1 = 1/2 = 2 = 1の conventionを用いる。

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多重ブレイン解: 要約

Pure-gauge type解� �Ψsol = UQBU−1 = c

KG(K)

Bc (1 − G(K))

withU = 1−Bc (1 − G(K)) , U−1 = 1+

1G

Bc (1 − G)

Okawa’06, Erler+Schnabl’09� �K = 0 (およびK = ∞)における特異性が解を非自明にする。⇒正確な議論には正則化が必要。

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K = 0での特異性を正則化� �Kε-regularization: K → Kε ≡ K + ε� �

Ψsolε =

(UQBU−1

)K → Kε

= cKε

G(Kε)Bc (1 − G(Kε))

pure-gaugeを破る⇒EOMにO(ε)の破れ:

QBΨsolε +Ψsol

ε ∗Ψsolε = ε × c

KεGε

c(1 − Gε)

◆ ε→ 0極限でEOMが本当に成り立つのか?(EOMの意味は?)

◆ “解”のエネルギー密度は「N枚のD25-brane」と解釈可能か?

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K = ∞の寄与&正則化も入れると (Hata+Kojita’12,’13)

G(K) ∼K n0 (K → 0)

(1/K)n∞ (K → ∞)

(更に Re(K) > 0に零点や極なし

)の時

n0 = 0,±1かつn∞ = 0,±1の場合のみ� �• Energy density =

12π2 × (−n0 − n∞)

⇒ N = (−n0 − n∞ + 1)枚の brane

•解自身に対するEOM:∫Ψsolε ∗

(QBΨ

solε + (Ψsol

ε )2)= 0� �

それ以外の (n0, n∞)の場合は、

N =非整数 &∫Ψsolε ∗ EOM , 0

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例えば、

K = 0を種 K = ∞を種

N = 0 : G(K) =K

1 + K,

11 + K

(tachyon真空)

N = 2 : G(K) =1 + K

K, 1 + K

N = 3 : G(K) =(1 + K)2

Kここでは、

K = 0での特異性を種とする tachyon真空解と2重brane解に対して、それらの周りの揺らぎの解析を行う。

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K = 0とK = ∞が対等なのは、次の性質による:KBc代数と相関関数を不変に保つ変換� �

K 7→ K =1K, B 7→ B =

BK 2 , c 7→ c = cK 2Bc

Masuda-Noumi-Takahashi’12, Erler’12, Hata+Kojita’13� �これを利用して、

K = 0とK = ∞の両方に対する正則化� �K → Kεη =

Kε1 + ηKε

, B → Bεη =B

(1 + ηKε)2

c → cεη = c(1 + ηKε)2Bc� �11 / 43


BV形式とBV-basis

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揺らぎの作用とBRST-chargeΨ = Ψsol

ε + Φ ← 揺らぎ

をCSFT作用に代入して

S[Ψ] = S[Ψsolε ] +

∫Φ ∗

(QBΨ

solε + (Ψsol

ε )2)

+

∫ (12Φ ∗QΦ +

13Φ3

)︸︷︷︸

S[Φ] :揺らぎの作用with QA ≡ QBA +Ψsol

ε ∗A − (−1)AA∗Ψsolε

Q2 = 0はEOMによる� �Q2A =

[QBΨ

solε + (Ψsol

ε )2,A]

� �13 / 43


BV方程式CSFT作用は (古典)BV方程式を満たすように構成されている⇒揺らぎの作用S[Φ]も

BV eq:∫ (δS[Ψ]

δΨ

)2

= 0 ⇒∫ (δS[Φ]δΦ

)2

= 0

ただし、nilpotency Q2 = 0 (⇐ EOM)が必要。BV方程式が与えるもの� �

• S[Φ]のゲージ不変性• ゲージ固定された作用のBRST不変性、および、BRST変換の (on-shell) nilpotency⇒unphysical sectorの制御� �

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成分場によるBV方程式揺らぎの “完全系”

{ui(p)

}でΦを展開する

(pµ: 重心運動量):

Φ =

∫p

∑i

ui(p) φi(p)︸︷︷︸component field

(∫p≡

∫d26p(2π)26

)

次のCSFT積分で行列ωij(p)を定義� �∫ui(p′) ∗ uj(p) = ωij(p) × (2π)26δ26(p + p′)

� �•対称: ωij(p) = ωji(−p)• ωij(p) , 0 only when Ngh(ui) + Ngh(uj) = 3

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成分場によるBV方程式

component fieldによるBV方程式� �∫p

∑i,j

ωij(p)δSδφi(p)

δSδφj(−p)

= 0

� �ωij(p)はωij(p)の逆行列:

∑j ω

ij(p)ωjk (p) = δik(detωij , 0を仮定)

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Darboux basis{ui(p)} ⇒ {vi(p), v⋆i(p)}のペアで� �∫

vi(p) ∗ v⋆j(p′) = ai(p)δij × (2π)26δ26(p + p′)∫

vi ∗ vj =∫

v⋆i ∗ v⋆j = 0� �対応する成分場を

{ϕi(p)↑

field

, ϕi⋆(p)↑

anti-field

}とすると、

S[ϕ, ϕ⋆]に対して

BV eq:∫

p

∑i

ai(p)−1 δSδϕi⋆(−p)

δSδϕi(p)

= 0.

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続: Darboux basisDarboux basisでは、anti-field ϕ⋆を

L : ϕi⋆ =δΥ[ϕ]

δϕi

(Υ[ϕ] =

gauge-fermion(gauge固定を指定)

)で field ϕで表すことにより、gauge-fixed actionとBRST-transf. は次のように与えられる:

S[ϕ] = S[ϕ, ϕ⋆]∣∣∣L

δBϕi(p) = ai(p)−1 δS[ϕ, ϕ⋆]

δϕi⋆(−p)

∣∣∣∣∣∣L

⇒ δBS[ϕ] = 0 & (δB)2ϕ ∝ EOM

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不安定真空上のBV basisの例: Iphotonの非物理的モード u1Aを含む 6個の uiから成るBV-basis (photon sectorでAµ ⇒ ∂µχ):

Ngh = 0 : u0 = |p⟩ = e−(π/4)Ke ip·Xe−(π/4)K

Ngh = 1 : u1A = pµαµ−1c1 |p⟩ , u1B = c0 |p⟩

Ngh = 2 : u2A = pµαµ−1c0c1 |p⟩ , u2B = c−1c1 |p⟩

Ngh = 3 : u3 = c−1c0c1 |p⟩

これらはQBの作用で閉じている:

iQBu0 = u1A + k 2u1B , QB

(u1A

u1B

)=

(k 2

1

)(u2A + u2B)

iQB

(u2A

u2B

)=

(1−1

)k 2u3, QBu3 = 0

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この {ui}はDarboux basisである� �(ω1A ,2A ω1A ,2B

ω1B ,2A ω1B ,2B

)=

(p2 00 1

), ω0,3 = −1

(vi, v⋆i) = (u1A , u2A), (u2B , u1B), (u0, u3)� �場を {ui}で展開:

Ψ =

∫p

{u0 C+u1A χ+u1B C⋆+u2A χ⋆+u2B C+u3 C⋆

}(

fieldant-field

)=

(CC⋆

),

(χ

χ⋆

),

CC⋆

Ngh(field) + Ngh(anti-field) = −1

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作用の kinetic termは

S0 =12

∫Ψ ∗QBΨ

=

∫p

{−1

2

(p2χ(−p) + C⋆(−p)

) (p2χ(p) + C⋆(p)

)+ ip2

(C(−p) − χ⋆(−p)

)C(p)

}�

�Siegel gauge: anti-field = C⋆ = χ⋆ = C⋆ = 0

を取るとTotally Unphysical System� �

S0 =

∫p

{−1

2p2χ(−p) p2χ(p) + ip2C(−p)C(p)

}δBχ(p) = C(p), δBC(p) = −ip2χ(p), δBC(p) = 0� �

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不安定真空上のBV basisの例: II物理的タキオンを含む BV basis� �

Ngh = 1 : u1(p) = e−π4 Kc e ip·X e−

π4 K ⇐ タキオン

Ngh = 2 : u2(p) = e−π4 KcKc e ip·X e−

π4 K

QBu1(p) = −(p2 − 1

)u2(p), QBu2(p) = 0

ω1,2 = 1� �Ψ =

∫p

(u1(p)ϕ(p) + u2(p)ϕ⋆(p)

), S0 =

12

∫pϕ(−p)

(p2 − 1

)ϕ(p)

⇒ S0[ϕ] = S0

∣∣∣∣ϕ⋆=0

= S0, δBϕ =δS0

δϕ⋆

∣∣∣∣∣ϕ⋆=0

= 0

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多重brane解周りのBV解析

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やりたいことK = 0における特異性を種とした

◆ 2重 brane解 with G(K) =1 + K

K

◆ tachyon真空解 with G(K) =K

1 + Kの上の物理的な揺らぎとして、タキオンモードが存在するか?

に対して、“実験的な”BV解析を行う。

しかし、古典解上のBRST-charge QQA ≡ QBA +Ψsol

ε ∗ A − (−1)AA ∗Ψsolε

に対応したタキオンモード?と言っても???24 / 43


そのためにΨsolε = (UQBU−1)K → Kε を更にUε ≡ U

∣∣∣K → Kε

で逆ゲージ変換した解Pεを取る:

Pε = U−1ε

(Ψsolε + QB

)Uε

= U−1ε

[(UQBU−1)ε − UεQBU−1

ε

]Uε

= ε× 1Gε

cGεBc(1 − Gε)

正則化されたUεによるゲージ変換は「ブレインの枚数」を変えないことに注意。

Pε = O(ε)⇒少なくとも見かけはQ = QB +O(ε):

QA ≡ QBA +Pε ∗ A − (−1)AA ∗Pε = QBA + O(ε)25 / 43


そこで1. Pε周りのタキオンモードとして「不安定真空周りのもの」を試しに取り、

2. photonの縦波モードを含む 6個の statesから成る unphysical BV-basisを参考にして、

3. 多重 brane解Pεの周りのタキオンモードを非物理的にするようなBV-basis(6個)を構成。

4. このBV-basisに対して ωij を計算する。

• ωij が非縮退 (detωij , 0)⇒ “タキオン”は非物理的

• ωijが縮退⇒物理的なタキオンが存在出来る。26 / 43


BV-basisの構成: 準備

まず、 u0 =BKε︸︷︷︸

homotopy op.

e−π4 Kc e ip·Xe−

π4 K︸︷︷︸

タキオン

を出発点として

u1A , u1B , u2A を準備� �QBu0 = u1A − u1B , QBu1A =QBu1B =

(1 − p2

)u2A

u1A = e−π4 K c e ip·X e−

π4 K ⇐不安定真空上のタキオン

u1B =(1 − p2)BKε

e−π4 K cKc e ip·X e−

π4 K +

ε

Kεe−π4 K c e ip·X e−

π4 K

u2A = e−π4 K cKc e ip·X e−

π4 K

� �27 / 43


BV-basis {u0, u1A , u1B , u2A , u2B , u3}Ngh=0 : u0 = Lu0R−1,

Ngh=1 : u1A =Lu1AR−1, u1B =Lu1BR−1 −[Pε, Lu0R−1

],

Ngh=2 : u2A =Lu2AR−1, u2B ={Pε, Lu1AR−1

}Ngh=3 : u3=[Pε, u2A ] =

[Pε, Lu2AR−1

]withQu0 = u1A − u1B

(EOM = QBPε +P2

ε = O(ε))

Q(u1A

u1B

)=

(11

) [(1 − p2

)u2A + u2B

]+

(0−1

)[EOM, u0] ,

Q(u2A

u2B

)=

(1

p2 − 1

)u3 +

(01

)[EOM, u1A ] , Qu3 = i [EOM, u2A ]

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ここで色々説明◆ L = L(Kε)とR = R(Kε)は ε→ 0でEOM条件

•∫

ui ∗ EOM = 0

•∫

ui ∗ [EOM, uj] = 0 ⇐∫

ui ∗Q2uj = 0

が成り立つように決める。

そもそも、SFTでは「あらゆる揺らぎ uに対してEOMが成り立つ」ことは不可能。K = 0で十分 singularな uを取ればダメ。

◆ 「u1Aと u1B」「u2Aと u2B」の分離は一意的ではない。(photonの縦波モードを含むBV basisに似せて作ったが...)

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計算すべきωijは∫ui ∗Quj = −(−1)ui

∫(Qui) ∗ uj,

∫ui ∗ [EOM, uj] = 0

から得られるωijの間の関係式を用いると、ωij(p) (i, j = 0, 1A , 1B , 2A , 2B , 3)の内、計算する必要があるのは

ω0,3(p) ω1A ,2A(p) ω1A ,2B(p)

のみであり、他の 2つは

ω1B ,2A = ω1A ,2A+ω0,3, ω1B ,2B = ω1A ,2B+(p2−1)ω0,3

また、∫u1A/B ∗Qu1A/B = (1 − p2)ω1A ,2A + ω1A ,2B∫

u0 ∗Q (u2A , u2B) =(1, p2 − 1)ω0,3

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計算結果: tachyon真空解

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まず、tachyon真空解 with G =K

1 + Kに対して

計算を行う。(「物理的励起が存在しないこと」には一般証明があるが: Ellwood+Schnabl’06)

やるべき計算は

1. EOM条件:∫u1A/B ∗ EOM = 0,

∫u1A/B ∗ [EOM, u0] = 0

が成立つように L(Kε)とR(Kε)を定める。

2. ωij(p) (3個)を計算する。

3. kinetic term S0 = (1/2)∫Φ ∗QΦを求める。

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1. EOM条件◆

∫u1A/B ∗ EOM = 0は、L = 1 + O(Kε), R = 1 + O(Kε)ならOK

◆ この (L ,R)に対して∫u1A/B(p) ∗ [EOM, u0(−p)] = O

(εmin(2p2−1,1)

)⇒十分 space-likeなpµ (p2 > 1

2)に対してはOK⇒一般の pµに対するものを、p2 > 1

2 からの“解析接続”として定義することにする。

2. 同様の解析接続を用いて、ωij(p)は

ω0,3 = −1 + O(p2 − 1)(ω1A ,2A ω1A ,2B

ω1B ,2A ω1B ,2B

)=

(1 00 1 − p2

) [1 + O(p2 − 1)

]33 / 43


結局

detωij = (p2 − 1)2 + O((p2 − 1)3

), 0

であり、totall unphysical systemとなる。(photon縦波モードの系を tachyonicにしたもの)

⇑期待通りの結果

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計算結果: 2重brane解

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2重 brane解 with G =1 + K

Kに対して計算を行

う。(各所で “解析接続”を用いる。)

1. EOM条件◆ L = 1+O(Kε), R = 1+O(Kε)の場合、O(Kε)をどのように取っても

∫u1A/B ∗ [EOM, u0] = 0

を満たすことが出来ない。

◆ L = O(Kε), R = O(Kε)の場合

1R

=1Kε

{1 +π

4Kε +

π

8

(π

4+ 2

)K 2ε + O(K 3

ε )}

と取れば、EOM条件を 2つとも満たすことが出来る。(L = O(Kε)は任意)

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2. ωij(p)

ω0,3(p) = O(εmin(2p2,1)

)⇒ “解析接続”によりゼロこれだけでωijは縮退

ω0,3 = 0(ω1A ,2A ω1A ,2B

ω1B ,2A ω1B ,2B

)=

(1 01 0

) [1 + O(p2 − 1)

]︸︷︷︸ω1A ,2A(p)

⇓6個の uiは全てが独立ではない� �

u0 ∼ 0, u2B ∼ 0, u3 ∼ 0, u1A ∼ u1B� �37 / 43


そこで、u1Aと u2Aを独立なものとして取り

Φ =

∫p

(u1A(p)χ(p)

↑field

+ u2A(p) χ⋆(p)↑

anti-field

)と展開すると

12

∫Φ ∗QΦ = −1

2

∫pω1A ,2A(p)χ(−p)(p2 − 1)χ(p)

ω1A ,2A = 1 + O(p2 − 1)なので、これは不安定真空上のタキオン場のものと実質的に同じ。

⇓物理的なタキオン励起が存在する

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要するに

◆ tachyon真空解の場合:K = 0での特異性のために、Qや uiの中の見かけO(ε)の項が非自明な寄与をし、タキオン励起を非物理的にした。

これに対して

◆ 2重 brane解の場合:K = 0での特異性が非自明な効果をもたらすに至らなかった。

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問題点と課題

1. 2重ブレイン解上には 22 = 4個のタキオン励起が存在する筈であるが、残る 3個は?

2. 6個のBV-basis{ui}の取り方の任意性?出発点の u0は固定しても u1A/Bと u2A/B には大きな任意性。(論文では、一つパラメータを入れた解析)

3. (L ,R) for u0 = Lu0R−1 として、共にO(K 0ε )の

場合と、共にO(K 1ε )の場合を考えたが、より

広い考察が必要?(2重 brane解の場合、EOM条件は、ここで取った L ∼ R ∼ O(Kε)の場合が最も穏やか。)

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問題点と課題4. uiの hermiticity問題

古典解Pεは次の hermiticityを満たす:� �P†ε = W PεW−1, W ≡ Gε(1 − Gε)� �

Ψ = Pε +∑

i

∫pui(p)φi(p)

(φ†i (p) = φi(−p)

)より、揺らぎのモード ui(p)も同じ hermiticity

u†i (p) = W ui(−p)W−1

を満たす必要があるが、ここで取った ui(p)は取り敢えず満たさない。

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hermiticityを満たす新 basis

Ui(p) =12

[ui(p) + W−1 ui(−p)†W

]を取ると、EOM条件すら実現が難しくなる。

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ご清聴ありがとうございました。

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