Universidade Federal do CearáCampus Sobral

Lista de Exercícios 02Disciplina: Métodos Numéricos EEL015/ECO013Prof: Rômulo Nunes

1) Demonstre de forma analítica que o método da bisseção gera uma sequencia convergente sempre que f for contínua em [a, b] com f(a).f(b)<0;

2) Antes de se aplicar qualquer método numérico para obtenção de raízes deve-se realizar uma análise gráfica e teórica afim de identificar o tipo da raiz bem como isolar o intervalo que a contém. Resuma e exemplifique através de uma aplicação todas estas ferramentas (gráficas ou não) comentadas durante o curso.

3) Comente a respeito dos critérios de parada para algorítimos numéricos que buscam zeros de funções. Quais são estes critérios? Quais as vantagens e desvantagens de cada um deles? Como são utilizados em código?

4) Como podem ser definidos os métodos lineares para obtenção de zeros? Enuncie todos aqueles abordados durante o curso e comente a respeito das vantagens e desvantagens de cada um.

5) Demonstre que é possível saber a partir de uma precisão ε e do intervalo inicial [a, b] quantas iteração serão necessárias para que o método da bisseção convirja.

6) A partir de quais critérios devemos obter a função de iteração do Método do Ponto Fixo, MPF, afim de garantir a convergência.

7) De que trata a ordem de convergência de um dos métodos para obtenção de zeros. Que informações adicionais relevantes podemos extrair da mesma.

8) Mostre que em geral o método de Newton converge desde que x0 seja escolhido suficientemente próximo da raiz ξ e que a ordem de convergência é quadrática, p=2.

9) Utilizando todos os métodos (possíveis) abordados durante o urso e obtenha a menor raiz real positiva simples com precisão de ξ=10–4 das equações a seguir:

10) Seja f(x) = sen(x) – kx. Encontre os valores positivos de k para que f tenha apenas uma raiz estritamente positiva e para que f tenha 3 raízes estritamente positivas.

11) Duas vigas de madeira de 20 e 30 metros respectivamente se apoiam nas paredes de um galpão. Se o ponto em que elas se cruzam está a 8m do solo, qual a largura deste galpão?

12) Com base nos métodos de interpolação estudados durante o curso comente que critérios podemos utilizar para seleção de um método que interpola:a) um conjunto de pontos (x → y) distintos.b) uma função conhecida porém de difícil manipulação/implementação computacional.

13) Comente as vantagens e desvantagens em relação aos métodos de interpolação de Newton, Lagrange e através da resolução de sistemas lineares.

14) Descreva o algorítimo que monta o operador diferença divididas de um conjunto de n pontos distintos.

15) Mostre que um polinômio pn(x) interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, … , xn. Então em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0,xn], o erro é dado por:

16) Descreve o fenômeno de Runge e como realizar o procedimento de interpolação minimizando suas consequências.

17) Demonstre como obter os coeficientes que definem de uma Spline cúbica interpolante.

19) Encontre o valor aproximado para f(xm) através de todos os métodos de interpolação estudados durante o curso onde xm é:a) 0,15; b) 0.225; c) 0,3; d) 0,65; e) 0,74; f) 0,89

20) Dado o conjunto de pontos:0,00000 0,00000 0,20000 0,30000 0,50000 0,60000 0,80000 1,00000 1,40000 1,500000,00000 0,00000 0,60667 0,92252 1,60443 1,98064 2,82936 3,84147 6,52945 7,37249

a)Calcule f(0,32) e f(1,46) por interpolação linear e estime o erro.b) através di método de newton com um polinômio do segundo grau calcule f(0,7)c) Sabendo que f(x) = x3 + 2x + sen(x) delimite o erro cometido no item anterior.d) através de interpolação inversa calcule que valor de x fornece f(x) = 1,7;

21) Seja a função de distribuição de probabilidade normal padrão definida por:

cujo os valores são mostrados na tabela abaixo:

a) Calcule pn(0,3) utilizando polinômios interpoladores de grau n=1, 2, 3, 4, 5.b)Através de uma spline linear e de uma spline cúbica natural calcule N(0,3).c) através de uma interpolação inversa cúbica calcule o valor de z para N(z)=0,8.