Introducción:

Interpolación polinómica de Lagrange: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base

monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad =δi,j, que puede

resolverse inmediatamente.

Métodos econométricos

Para analizar los métodos econométricos, primero tendremos que saber que es la econometría. La econometría es una rama de la economía, que en base a los métodos econométricos

cuantifican, e intenta predecir procesos económicos en el tiempo.

Ahora una gran interrogante seria, ¿qué proceso hay que hacer para elaborar un modelo econométrico? Pues lo podemos ilustrar con el siguiente diagrama:

Ya que la econometría es muy extensa para su estudio, nosotros solo nos basaremos en la interpolación polinomial. La interpolación polinomial suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en datos (abscisas) que no aparecen en la tabla. También la podríamos llamar ajuste de curva.

Pero para su resolución de la interpolación hay diferentes formas de resolver:

Usar un polinomio interpolante. Es el método de propósito general más usado.

Usar trazadores (splines). Estas son funciones polinomiales a trozos.

Usar Polinomios trigonométricos en [0,2π]. Son la elección natural cuando la función f es periódica de periodo 2π.

Usar sumas exponenciales. Se usan si conocemos que f presenta decaimiento exponencial conforme x −→ ∞.

Si los datos son aproximados (“datos experimentales”), lo conveniente sería usar Mínimos Cuadrados

Ya que son muchos y bastantes extensos solo veremos dos métodos (interpolación polinomial y

Teoría económica

Modelo Matemático de la teoría

Datos

Examinación del modelo econométrico

Prueba de hipótesis

Pronóstico o predicción

Uso del modelo para fines de control o de política

trazadores cúbicos).

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fue uno de los más grandes matemáticos de su tiempo. Nació en Italia pero se nacionalizó francés. Hizo grandes contribuciones en todos los campos de la matemática y también en mecánica. Su obra principal es la "Mécanique analytique" (1788). En esta obra de cuatro volúmenes, se ofrece el tratamiento más completo de la mecánica clásica desde Newton y sirvió de base para el desarrollo de la física matemática en el siglo XIX.

Forma de Lagrange del polinomio de interpolación

Definición:

Dado un conjunto de k+1 puntos

(x0 , y0 ) ,… ,(xk , yk )

Donde todos los x j se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la

combinación lineal:

L ( x )=∑j=0

k

y j l j(x )

De bases polinómicas de Lagrange

l j ( x )= ∏i=0 ,i ≠ j

k x−x ix j−x i

=x−x0x j−x0

…x−x j−1x j−x j−1

x−x j+1x j−x j+1

…x−xkx j−xk

Charles Hermite (24 de diciembre de 1822 - 14 de enero de 1901) fue un matemático francés que investigó

en el campo de la teoría de números, sobre las formas cuadráticas, polinomios ortogonales y funciones

elípticas, y en el álgebra. Varias entidades matemáticas se llaman hermitianas en su honor. También es

conocido por la interpolación polinómica de Hermite.

Fue el primero que demostró que e es un número trascendente y no la raíz de una ecuación algebraica o

polinómica con coeficientes racionales. Ferdinand von Lindemann siguió su método para probar la

trascendencia de π (1882).

Fue titular de la cátedra de Álgebra superior en la Facultad de Ciencias de París, sucediendo a Jean-Marie

Duhamel de 1871 a 1898, y profesor de Análisis en la École polytechnique de 1869 a 1878.

Charles Hermite entró a formar parte de la Academia de Ciencias Francesa en 1856 en sustitución

de Jacques Binet, y pasó a presidirla en 1890.

La interpolación de Hermite

La interpolación de Hermite es un método de interpolación. Consiste en buscar un polinomio por

pedazos   que sea cúbico en cada subintervalo:

Y que cumpla   en los puntos , donde   es la función que se quiere interpolar.

La función   queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la

solución de   sistemas lineales de ecuaciones de tamaño   cada uno.

La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de

los   lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

Pierre Étienne Bézier, (1 de septiembre de 1910 - 25 de noviembre de 1999), fue un eminente ingeniero y el creador de las llamadas curvas y superficies de Bézier que lógicamente llevan su nombre. En la actualidad se usan de manera corriente en la mayoría de los programas de diseño gráfico y de diseño CAD.

Split cubico

Un trazador cúbico S es una función a trozos que interpola a f en los n + 1 puntos (x0 , y0), (x1 , y1),

(x2 , y2),…, (xn , yn) (con a = x0 < x1 <…< xn = b). S es definida de la siguiente manera:

S ( x )={ S0 ( x ) si x ϵ [ x0 , x1 ]S1 ( x ) si x ϵ [ x1 , x2 ]

…Sn−1 ( x ) si x ϵ [ xn−1 , xn ]

Donde, Si(x) = a i+bi ( x−x i)+c i (x−x i )2+d i(x−x i)

3 para i = 0,1,...n − 1.

Para el cálculo de los coeficientes a i , bi , c i y d i usamos las siguientes ecuaciones:

Sea hi=xi+1−x i, a i= y i

Haciendo algunas manipulaciones algebraicas en el sistema se obtiene

d i=c i+1−c i3hi

b i=ai+1−aihi

−hi3

(2c i+c i+1)

La condición de frontera natural hace que co=cn=0

Ahora todo depende del cálculo de los c i´s. Estos se calculan resolviendo el sistema (n+1) x (n+1)

(2(h0+h1) h1 0 ⋯ 0h1 2(h1+h2) h2 ⋯ 0⋱0

⋱hn−3

⋱2(hn−3+hn−2)

⋮hn−2

) ∙(c1c2⋮cn−1

)=(3 (a2−a1 )h1−3(a1−a0)h03 (a3−a2 )h2−3 (a2−a1)h1

⋮3 (an−an−1 )hn−3 (an−1−an−2)hn−1

)Sir Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727 JU; 4 de enero de 1643 GR – 31 de

marzo de 1727 GR) fue unfísico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de

los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de

la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásicamediante las leyes que llevan su

nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y

la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para

formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema

del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

Interpolación de Newton

Se propone el siguiente polinomio:

Pn ( x )=C0+C1 (x−x0 )+C2 (x−x0 ) (x−x1 )+…+Cn−1 (x−x0) (x−x1 ) (x−x2 )… (x−xn−1)

Puede observarse que cuando x toma el valor de x i, los términos que siguen al (i+1)-ésimo se anulan. Para

calcular los coeficientes C i se utilizan diferencias divididas, que se definen como:

f [ xk ]=f (xk )

f [ xk−1 , xk ]=f [x k ]−f [ xk−1 ]xk−xk−1

f [ xk−2 , xk−1 , xk ]=f [ xk−1 , xk ]−f [ xk−2 , xk−1 ]

xk−xk−2

Y así sucesivamente (es recursivo).

Entonces, el polinomio de Newton es:

Pn ( x )=f [ x0 ]+f [ x0 , x1 ] (x−x0 )+ f [ x0 , x1 , x2 ] (x−x0 ) (x−x1 )+…+ f [x0 x1 x2…xn ] (x−x0 ) (x−x1 )…(x−xn)

El error es el mismo cometido por el polinomio de Lagrange. Esto se debe a que resultan ser el mismo polinomio, dado que existe un único polinomio de grado menor o igual a n que pasa por n+1 puntos.

xaño

f(x)precio del dólar

2000 9.4538

2001 9.1478

2002 9.6584

2003 10.7809

2004 11.2809

2005 10.8894

S ( x )={ S0 ( x ) si x ϵ [ x0 , x1 ]S1 ( x ) si x ϵ [ x1 , x2 ]

…Sn−1 ( x ) si x ϵ [ xn−1 , xn ]

Si(x) = a i+bi ( x−x i)+c i (x−x i )2+d i(x−x i)

3 para i = 0,1,...4.

hi=xi+1−x i a i= y i

h0=2001−2000=1 a0=9.4538

h1=¿2002-2001=1 a1=¿9.1478

h2=¿2003-2002=1 a2=¿9.6584

h3=¿2004-2003=1 a3=¿10.7809

h4=¿2005-2004=1 a4=¿11.2809

a5=¿10.8894

La condición de frontera natural hace que co=c5=0

(4 1 0 01 4 1 000104114) ∙(c1c2c3c4

)=(2.44981.8357

−1.8675−2.6745

)(4 1 0 01 4 1 000104 11 4

| 2.44981.8357−1.8657−2.6745

)=(c1c2c3c4

)(1 4 1 00 1 4 100

0−15

1 4−4 0

| 1.8357−1.8675−2.6745−4.893

)=(c1c2c3c4

)

(1 0 −15 −40 1 4 10000

1 456 15

| 9.3057−1.8675−2.6745−32.9055

)=(c1c2c3c4

)(1 0 0 560 1 0 −1500001 40 −209

|−30.81188.8305−2.6745116.8665

)=(c1c2c3c4

)(1 0 0 00 1 0 000001 00 1

| 0.49780.444−0.4378−0.5591

)=(c1c2c3c4

)c i d i=

c i+1−c i3hi

b i=ai+1−aihi

−hi3

(2c i+c i+1 )

c0=0 d0=13

(0.4978−0 )=0.1659 b0=11

(9.1478−9.4538 )−13(0.4978+2(0))

=-0.4719

c1=0.4978 d1=13

(0.444−0.4978 )=−0.0179b1=11

(9.6584−9.1478 )−13

(0.444+2 (0.4978 ) )=0.0308

c2=0.444 d2=13

(−0.4378−0.444 )=−0.2939b2=11

(10.7809−9.6584 )−13

(−0.4378+2 (0.444 ) )=0.9725

c3=−0.4378d3=

13

(−0.5591+0.4378 )=−0.0404b3=11

(11.2809−10.7809 )−13

(−0.5591+2 (−0.4378 ) )=0.9782

c4=−0.5591d4=

13

(0+0.5591 )=0.1863 b4=11

(10.8894−11.2809 )−13

(0+2 (−0.5591 ))=−0.0188

c5=0

Por lo tanto:

S0(x) = 9.4538+ (−0.4719 ) ( x−2000 )+(0 ) ( x−2000 )2+(0.1659 ) ( x−2000 )3∀ xϵ [2000,2001 ]

S1(x) = 9.1478+0.0308 (x−2001 )+0.4978 ( x−2001 )2+(−0.0179) ( x−2001 )3∀ xϵ [2000,2001 ]

S2(x) = 9.6584+0.9725 ( x−2002 )+0.444 (x−2002 )2+(−0.2939) ( x−2002 )3∀ xϵ [2000,2001 ]

S3(x) = 10.7809+0.9782 ( x−2003 )+(−0.4378 ) (x−2003 )2+(−0.0404 )( x−2003 )3∀ xϵ [2000,2001 ]

S4(x) = 11.2809+ (−0.0188 ) ( x−2004 )+(−0.5591) (x−2004 )2+0.1863( x−2004)3∀ xϵ [2000,2001 ]

Conclusiones

El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no aparecen en la tabla.

El aumento de grado no siempre mejora la aproximación.

El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.

Referencias

http://books.openlibra.com/pdf/Interpolacion-Polinomial.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_de_Hermite

http://www.slideshare.net/livysl/interpolacin-polinmica