ecuación de continuidad y principio de cantidad de movimiento

FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

UNIVERSIDAD “CÉSAR VALLEJO”FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

“ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Y PRINCIPIO DE CANTIDAD DE

MOVIMIENTO”

INTEGRANTES: - CRUZ MENDOZA, COLBERT- GARCÌA VILLACORTA, CRISTHIAN- MORENO ARQUEROS, LENÍN- OLIVARES DIAZ, MARCELLO- RODRIGUEZ HUACACOLQUI, JIMY

DOCENTE: MG.TC. ING. CARLOS A. LOAYZA RIVAS.

CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS I

CICLO: IV

Trujillo – Febrero2013


INFORME N° 02 2013-0 – UCV/FAI/EIC/MAL

De : Moreno Arqueros, Lenin

Al : Mg. TC. Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas.

Asunto : Informe de “ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Y PRINCIPIO DE

CANTIDAD DE MOVIMIENTO”

Fecha : 28 de Febrero del 2013

Es grato dirigirme hacia su persona para hacerle llegar mi más cordial saludo y al mismo

tiempo hacerle llegar el informe acerca del tema que vamos a exponer en clase, realizado

cuidadosamente por mi persona y mi equipo de trabajo. Esperamos su debida revisión y

comprensión de algunos errores que hayamos tenido.

Es todo cuanto tenemos que informar, me despido afectuosamente.

Atentamente

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Lenín Moreno Arqueros

MECÁNICA DE FLUIDOS I Página 2


INTRODUCCIÓN

En el presente informe denominado “Ecuación de continuidad y principio de

cantidad de movimiento” mostramos la recopilación de datos referidos a los

principios base de la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento; así

como su demostración y aplicación a determinados casos en fluidos líquidos.

Como primer tema, en el presente trabajo hemos abarcamos las definiciones

básicas de sistema y volumen de control, términos que serán mencionados

para la demostración de las ecuaciones mencionadas.

Posterior a estas definiciones de términos básicos se definirá matemáticamente

el principio de la conservación de la materia como base para luego deducir la

ecuación de la continuidad. Asimismo mediante relaciones diferenciales se

deduce la ecuación diferencial de la continuidad para una partícula y en una

vena liquida.

Como último tema a tratar es el principio de la cantidad de movimiento, tema

en el que se abordara su demostración y aplicación en casos especiales.

Asimismo para ambos temas se presentan ejercicios para un mayor

entendimiento del tema

Esperamos que este informe sea de gran utilidad, sabiendo que estos conceptos

adquiridos serán trascendentales para la asimilación y aprobación de otras

áreas de la carrera; como además serán de vital importancia en el análisis

estructural y otras áreas de la ingeniería civil que requiera de estos

conocimientos.



I. OBJETIVOS.

A. OBJETIVO GENERAL.

Demostrar y aplicar la Ecuación de Continuidad y el Principio de cantidad de

Movimiento

B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Definir los conceptos de Sistema y Volumen de control

Demostrar el principio de la conservación de la materia

Demostrar la ecuación diferencial de la continuidad

Deducir la ecuación diferencial de la continuidad para una vena liquidad

Demostrar el principio de cantidad de movimiento

Definir casos especiales de aplicación del principio de cantidad de movimiento

Realizar ejemplos aplicativos de la ecuación de continuidad y el principio de

cantidad de movimiento.

II. JUSTIFICACIÓN.

El presente trabajo es el resultado de la investigación hecha para comprender y

aprender mejor parte de los conocimientos de la ingeniería civil, y así nos sirva más

adelante para aplicar los conocimientos adquiridos de manera teórica en el campo, al

realizar diferentes obras hidráulicas de construcción. El tema a tratar (Ecuación De

Continuidad Y Principio De Cantidad De Movimiento), es vital para sumergirnos en el

complejo mundo de los fluidos e ir comprendiéndolo poco a poco.



ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, y que sirven para

resolver numerosos problemas que se presentan en la práctica.

Supongamos que a una canilla que posee un cierto caudal le enchufamos una manguera.

Después de un rato en que nos aseguremos que el flujo se estabiliza (o sea: logramos un flujo

estacionario) no está mal decir que la canilla vierte en un extremo de la manguera una cierta

cantidad de agua en una cierta cantidad de tiempo. Inventemos: por ejemplo, 10 litros por

minuto. ¿Cuál es el caudal en el otro extremo de la manguera? La pregunta es tan tonta que

parece absurda: 10 litros por minuto. La misma cantidad que entra por una punta sale por el otro

extremo en el mismo intervalo de tiempo.

Decir esto es lo mismo que decir: en todo trayecto de la manguera no se crea ni se destruye

agua. Todo lo que entra, sale (por supuesto, la manguera no debe estar pinchada). A esta cuestión

tan sencilla se le llama principio o ecuación de continuidad y no es nada más ni nada menos que

la forma que adopta el principio de conservación de la materia en el barrio de los fluidos.

Si llamamos Q1 al caudal en un extremo y Q2 al caudal en el otro podemos resumir todo lo

dicho escribiendo: Q1=Q2

Interpretándolo con lo expuesto anteriormente acerca de la relación que tiene este caudal

con el área y la velocidad tenemos: A1. V1 = A2. V2

Teniendo esta ecuación podemos llegar a resumir lo siguiente:

En todas partes de la manguera el líquido se va a mover a la misma velocidad, mientras no

cambia la sección de la manguera.

Cuando aumenta la sección disminuye la velocidad y cuando disminuye la sección

aumenta la velocidad.

I.-Definiciones Previas



1.- Sistema

El sistema se define como una porción fija de materia. Aunque su forma y su tamaño

pueden variar con el tiempo, lo esencial de la definición es que la masa del material que

comprende el sistema no se altere con el tiempo. Por ejemplo, un sistema puede constar de cierta

masa de agua encerrada en un recipiente flexible. El agua puede pasar al estado de vapor por

medio del calentamiento, con un aumento considerable del volumen en cuestión. Mientras no se

produzca una transferencia de masa a través de las paredes del recipiente, no se viola el concepto

de sistema.

El estado de un sistema es una condición particular de éste, que puede especificarse por

medición y observación. Algunas propiedades del sistema están asociadas con un estado dado y,

entre ellas, se cuentan el volumen, la densidad, la presión y la temperatura. En última instancia,

se puede decir que el estado del sistema está determinado por la observación y medición de sus

propiedades. Estas pueden dividirse en dos grupos: las que por naturaleza son independientes de

la cantidad de materia, denominadas propiedades intensivas y las que, como el volumen y la

masa, dependen de la cantidad de materia en consideración y que se conocen como propiedades

extensivas.

2.-Volumen de Control

El primer punto de análisis que debe presentarse es una definición de los tipos de volumen,

en los que se determinarán las características del flujo. Nos referimos a los dos siguientes:

2.1.-Volumen de control no deformable. Este tipo es un volumen fijo en el espacio, relacionado a

un sistema de ejes coordenados, que puede estar en movimiento, respecto a un sistema absoluto.

2.2.-Volumen de control deformable. Se dice que un volumen de control es deformable, cuando

parte de su superficie, o toda ella, está en movimiento en un instante dado.

Si la superficie se mueve en tal forma que no la atraviese ninguna materia, el volumen de

control es un sistema. Cada tipo de volumen de control representa simplemente una región de

interés particular, en la cual estableceremos formas de las leyes básicas.



El concepto de volumen de control no deformable, puede ilustrarse, observando que el que

se selecciona para estudiar el flujo en una tubería, podría ser el volumen interno, comprendido

entre dos puntos, a lo largo de su longitud. El sistema de coordenadas de referencia podría ser

cualquier sistema fijo relacionado con el tubo.

Un buen ejemplo de un volumen de control deformable es el de un balón que se llena de

aire por medio de un tubo. El balón no es un sistema, porque su masa no es constante. La

boquilla de entrada del balón es la única parte de la superficie que no se deforma, cuando entra el

aire.

II.-Principio de la Conservación de la Materia

“La masa de fluido que en la unidad de tiempo entra a un volumen especificado dentro del

flujo, una parte se queda almacenada en su interior y el resto sale del volumen”. Si el volumen

que se estudia es de forma y magnitud constante (volumen de control), el almacenaje no puede

ser indefinido.

El principio de conservación de la materia o principio de conservación de la masa, también se

expresa como: “El aumento de masa, en un tiempo t, del fluido contenido en un volumen dado,

será igual a la suma de las masas del fluido que entran a este volumen, disminuida de las que

salen”:

( ) = masa del sistema en el tiempo ,

( )= masa del sistema en el tiempo ,

Es decir la masa en el sistema permanece invariable:



Dónde:

masa en el volumen de control en el instante “ ”.

masa en el volumen de control en el instante” ”

masa que entra en el volumen de control en el intervalo” ”

masa que sale del volumen de control en el intervalo “ ”

Dividiendo entre ordenando y tomando límites cuando :

;

Dónde:

rapidez de variación de la masa contenida en el volumen de control, y

Gasto o caudal neto de masa entrante en la unidad de tiempo.

Matemáticamente es preferible tratar con la cantidad neta de masa que sale y que entra,

sumadas algebraicamente; así, el principio de la materia, aplicado a un volumen de control fijo

completamente arbitrario dentro del flujo, se expresa de la forma siguiente:

“La cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen, en la unidad de

tiempo ( ), más la rapidez de variación de la masa contenida en el volumen ( ), es igual a

cero”, matemáticamente se expresa así:



QM +∂ M∂ t

=0(α)

Este principio se aplica lo mismo a un volumen de control de tamaño diferencial, que a uno

finito, de lo cual se deriva la llamada ecuación de continuidad.

III.-Ecuación Diferencial de Continuidad

La ecuación de continuidad es una herramienta muy útil para el análisis de fluidos que fluyen a

través de tubos o ductos con diámetro variable. En estos casos, la velocidad del flujo cambia

debido a que el área transversal varía de una sección del ducto a otra.

Es aplicable a problemas de flujo con potencial.

Para obtenerla aplicamos el principio de la conservación de la materia, al volumen

de control diferencial mostrado en la fig, (de lados dx, dy y dz).

Volumen de control diferencial

Para demostrar el principio de conservación de la masa en el eje “y” analizamos la siguiente

figura:



Elemento diferencial de fluido

En el eje “y”, en un instante de tiempo “dt”, por la cara ABCD, entra una masa:

ρV y dxdzdt

y por la cara EFGH, sale una masa:

{ρV y+(∂ ρV y

∂ y)dy}dxdzdt

Luego el paralelepípedo considerado pierde, al pasar la masa de la cara ABCD a la cara

EFGH, la diferencia de masas que entran y que salen, asignándoles una convención de

signos a las masas que salen del volumen de control, como positivas (+) y negativas (-) a

las masas entrantes, luego, la masa perdida o cantidad neta de masa que atraviesa estas

caras será:

(ρ V y+( ∂ ρV y

∂ y )dy )dxdzdt−ρ V y dxdzdt

dmy=(∂ ρv y

∂ y)dydxdzdt

Trasladando “dt” al primer miembro:

d m y

dt=( ∂ ρV y

∂ y )dydxdz



Entonces tendremos: la cantidad neta de masa que atraviesa las caras normales al eje

“y”, en la unidad de tiempo, también conocido como gasto másico:

QMy=(

∂ ρv y

∂ y)dydxdz

(I)

Por razonamiento similar, la cantidad neta de masa que atraviesan las caras normales a

los ejes “x” y “z”, son:

QMx=(∂ ρvx

∂ x)dxdydz

(II)

QMz=(

∂ ρvz

∂ z)dzdxdy

(III)

Por lo tanto la cantidad neta de masa que atraviesa las superficies de frontera del

volumen en la unidad de tiempo, o caudal de masa o gasto de masa (QM), será:

Q M =QMx+Q My +QMz (IV)

Sustituyendo (I), (II) y (III) en (IV):

QM= (∂ ρv y

∂ y)dydxdz

+(∂ ρvx

∂ x)dxdydz

+(∂ ρvz

∂ z)dzdxdy

(A)

Ahora, finalmente calculemos la “ rapidez de variación de la masa contenida en el

volumen de control diferencial:

∂ M∂ t

=∂( ρ∀)

∂ t

Por lo tanto:

∂ M∂ t

=∂( ρ dxdydz )

∂ t (B)

Sustituyendo (A) y (B) en (α):

QM+ ∂ M∂ t

=¿ (∂ ρv y

∂ y)dydxdz

+(∂ ρvx

∂ x)dxdydz

+(∂ ρvz

∂ z)dzdxdy

+

∂( ρ dxdydz )∂ t

= 0



Y puesto que el volumen elemental escogido no cambia con el tiempo, la ecuación

anterior se puede simplificar y ordenando, resulta:

(∂ ρvx

∂ x)+(∂ ρv y

∂ y)+(∂ ρv z

∂ z)

+

∂ ρ∂ t = 0

Los tres primeros sumandos de la ecuación anterior, representan el desarrollo del

producto escalar:

Por lo tanto, la expresión superior, se reduce a:

+

∂ ρ∂ t = 0 (β)

Donde (β), es la Ecuación Diferencial de Continuidad.

La expresión (β), también se puede expresar de la siguiente forma:

= 0 (β’)

La expresión (β’), también es la Ecuación Diferencial de Continuidad, ha sido obtenida

después de aplicar las propiedades vectoriales; es decir (β) y (β’) son dos formas de

expresar la ecuación diferencial de continuidad, que es la general para un flujo

compresible no permanente; admitiendo las siguientes simplificaciones:

Flujo Compresible Permanente o estacionario:

No depende del tiempo ⟶

∂ ρ∂ t = 0

La densidad es dependiente ⟶ ρ = ρ(x,y,z) Luego sustituyendo en (β), resulta:

= 0

(ρ ∇⃗ ) •V⃗ +( ∇⃗ •V⃗ ) ρ=0

Flujo Incompresible no Permanente



La densidad es constante ⟶ ρ = Cte.

Entonces: y

∂ ρ∂ t = 0

Sustituyendo las relaciones arriba indicadas en (β’), resulta:

Y puesto que “ρ” es diferente de cero, entonces:

(ө)

Flujo Incompresible Permanente

La densidad es constante ⟶ ρ = Cte

No depende del tiempo ⟶ ∂ ρ∂ t = 0

Luego:

Sustituyendo las expresiones arriba indicadas en (β’):

Luego, análogamente al caso anterior, resulta:

(ө)

“Por lo tanto, para un flujo incompresible sea o no permanente, se cumple que la

divergencia de es cero”.

Un flujo se considera incompresible, si los cambios de densidad de un punto a otro son

despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible. Los líquidos y gases a bajas

velocidades pueden ser considerados incompresibles. El flujo de un gas con velocidades

entre 60 y 90 m/s se puede considerar incompresible, siempre que no exista intercambio de

calor en el exterior.



Ecuación de continuidad para una vena líquida.

La vena líquida mostrada en la figura está limitada por su superficie de contorno (que

generalmente coincide con una frontera sólida, o por esta y una superficie libre) y por

las secciones transversales (1) y (2), normales al eje que une los centros de

gravedad de todas las secciones. Las velocidades en cada punto de una misma

sección transversal poseen un valor medio “v”, que se considera representativo de

toda la sección y de dirección tangencial al eje de la vena.

Se considera el volumen elemental de líquido mostrado en la fig. , limitado por la

superficie de contorno, que envuelve a la vena líquida, así como por dos secciones

transversales normales al eje de la vena, separadas la distancia “ds”, donde “s”

representa la coordenada curvilínea siguiendo el eje de la vena.

Aplicando el principio de la conservación de la materia, al volumen elemental en

estudio:

Cantidad de masa que entra y sale:



Q1=ρ . v . A

Q2=ρ . v . A+∂( ρ . v . A )

∂ s∂ s

Cantidad neta de masa que atraviesa la superficie de frontera del volumen

elemental en estudio, es:

QM=[ ρ vA+∂( ρ vA )

∂sds]−ρ vA

QM=[∂( ρ vA )∂ s

ds] (Φ)

Rapidez de variación de la masa contenida en el volumen elemental en estudio,

es:

∂ M∂ t

=∂( ρ∀)

∂ t=

∂( ρ Ads )∂ t

Tomando extremos, resulta:

∂ M∂ t

=∂( ρ Ads )

∂ t(ΦΦ)

El principio de conservación de la masa establece:

(Φ) + (ΦΦ) = 0

Resultando:

[∂( ρ vA )∂ s

ds ] +

∂( ρ Ads )∂ t

= 0



Sin cometer prácticamente error se puede aceptar, en la mayoría de los casos, que

la longitud “ds” del elemento de volumen considerado no depende del tiempo. Este

puede salir de la derivada del segundo término de la ecuación anterior y simplificarse

con el que aparece en el primero, de lo cual resulta:

[∂( ρ vA )∂ s ]

+

∂( ρA)∂ t

= 0 (ε)

Recordando que ρ, v, A; son funciones de “s” y “t”, al desarrollar las derivadas

parciales indicadas se obtiene:

ρA∂ v∂s

+ρv∂ A∂ s

+vA∂ ρ∂ s

+ ρ∂ A∂ t

+ A∂ ρ∂ t

=0

(δ)

Se sabe que:

v=∂ s∂ t

;

Sustituyendo la última expresión en (δ), resulta:

ρA∂ v∂s

+ρdsdt

∂ A∂ s

+ dsdt

A∂ ρ∂ s

+ρ∂ A∂ t

+ A∂ ρ∂ t

=0

Sacando factor común “ρ” del segundo y cuarto sumando y “A” del tercero y quinto

sumando de la ecuación anterior, y aplicando el concepto de diferencial total de “A” y

de “ρ”, al ser funciones ambas de “s” y “t”, resulta:

ρA∂ v∂s

+ρdAdt

+ Adρdt

=0

Dividiendo esta última expresión entre, ρA, resulta:



(φ)

La expresión (φ), es la Ecuación de Continuidad para una vena líquida donde

se produce un flujo no permanente y compresible.

La ecuación de continuidad para una vena liquida también puede ser expresada de la

siguiente manera:

∂( ρA)∂ +

∂( ρ vA )∂ s

=0

Algunas condiciones:

Si el escurrimiento es permanente las derivadas con respecto a “t” que aparecen

en la ecuación (ε), se eliminan y esa misma ecuación se simplifica, en:

[∂( ρ vA )∂ s ]

= 0

O, bien:

Si además el fluido es incompresible:

vA = Cte. (ξ)

La expresión (ξ), significa que “el gasto que circula por cada sección de la vena

líquida en un flujo permanente es constante; o bien, que entre dos secciones

transversales, tales como (1) y (2) de la misma vena líquida, se cumple que el

gasto que circula por ellas es constante”:

Q =V1 A1 = V2 A2



ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:

1. Cantidad de movimiento: La cantidad de movimiento se define como la masa del

sistema multiplicada por su velocidad:

P⃗ = mv⃗ ………… (1)

La cantidad de movimiento de una masa dm seria:

dP⃗ = v⃗ dm

P⃗=∫m

❑

v⃗ dm ………… (2)

2. Análisis de sistemas: para un sistema de referencia inercial (no acelerado) la segunda

ley de newton para un fluido establece que:

“la suma de todas las fuerzas externas aplicadas sobre una masa de fluido es igual a la

razón de cambio de la cantidad de movimiento respecto al tiempo”.

F⃗= D P⃗Dt

……….. (3)

Reemplazamos ec. 2 en ec. (3):



F⃗=D(∫

m

❑

v⃗ dm)

Dt

………… (4)

Donde DDt

expresa la derivada total respecto al tiempo.

Además, sabiendo que dm= ρdV , obtenemos:

F⃗=D(∭

V

❑

ρ v⃗ dV )

Dt

…………. (5)

Las fuerzas externas son de dos tipos:

a. Fuerzas de superficie que actúan sobre la masa de fluido, y a su vez, pueden ser:

Fuerzas FN normales a la frontera de la masa, que se puedan evaluar en términos

de las intensidades de presión sobre la misma. Conviene aquí observar que las

presiones comprenden, además de la presión estática, la dinámica ejercida por el

fluido.

Fuerzas Ft tangenciales a las fronteras de la masa, que se pueden medir en

términos del esfuerzo tangencial sobre la misma.

b. Fuerza de cuerpo Fc, generalmente las del propio peso.

3. Volumen de control (V.C.): Es una porción del espacio con volumen y formas fijas y

determinadas. Su superficie se denomina superficie de control (S.C.).

4. Método del Volumen de Control: consideremos un campo arbitrario de velocidades de

un flujo v⃗(x , y ,z ,t ), visto desde un sistema de referencia xyz.



Regiones:

Región I: ALB

Región II: volumen de control de ARBL (V.C.).

Región III: ARB

Sistemas:

En el instante t : I + II

En el instante t+∆ t : III+ IIDesarrollo: D P⃗Dt

= lim⧊ t → 0

P⃗t+∆ t−P⃗t

∆ t …….. (6)

D P⃗Dt

= lim⧊ t → 0

{(∭III

❑

ρ v⃗dV +∭II

❑

ρ v⃗ dV )t+∆t

−(∭I

❑

ρ v⃗ dV +∭II

❑

ρ v⃗ dV )t

∆t }RESOLVIENDO:

D P⃗Dt

= lim⧊ t → 0

{(∭II

❑

ρ v⃗dV )t+∆t

−(∭II

❑

ρ v⃗ dV )t

∆ t } A + D P⃗Dt

= lim⧊ t → 0

{(∭III

❑

ρ v⃗dV )t+∆t

∆ t } B -

D P⃗Dt

= lim⧊ t → 0

{(∭I

❑

ρ v⃗dV )t

∆ t } C

De esto, tenemos que:

A: Razón de cambio en el tiempo de P⃗ en el interior de II (V.C.).

B: Flujo saliente de P⃗ por unidad de tiempo a través de III.



C: Flujo entrante de P⃗ por unidad de tiempo a través de I.

B – C: Flujo neto de P⃗ por unidad de tiempo a través de la S.C.

AHORA:

De A:lim⧊t →0

{(∭II

❑

ρ v⃗ dV )t+∆t

−(∭II

❑

ρ v⃗ dV )t

∆ t }=∂∂ t∭V . C .

❑

ρ v⃗dV

De B-C: lim⧊t →0

{(∭III

❑

ρ v⃗ dV )t+∆t

∆ t}–

lim⧊t →0

{(∭I

❑

ρ v⃗ dV )t

∆ t}= lim

⧊t →0¿¿

Entonces de B – C ∯S .C .

❑

(ρ v⃗) v⃗ . d A⃗

Con lo cual concluimos finalmente que:

D P⃗Dt

= ∂∂ t∭V .C .

❑

ρ v⃗ dV +∯S .C .

❑

(ρ v⃗) v⃗ . d A⃗

La cual es llamada ecuación de la cantidad de movimiento para un fluido.

5. Para el caso especial del Movimiento Permanente:

La ecuación general de la cantidad de movimiento se simplifica a:

F⃗ ext=D P⃗Dt

=∯SC

( ρ v⃗ )( v⃗⋅d A⃗ )

F⃗ x= D P⃗Dt

=∯SC

( ρ v⃗ x)( v⃗⋅d A⃗ )

F⃗ y=D P⃗Dt

=∯SC

( ρ v⃗ y)( v⃗⋅d A⃗ )

F⃗ z= D P⃗Dt

=∯SC

( ρ v⃗ z )( v⃗⋅d A⃗ )



Puesto que se sabe que en un flujo permanente las propiedades del flujo y las

condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo, es decir que la

velocidad y la densidad en un punto permanecen constantes.

CONDICIONES

1. Se sabe que el vector velocidad y el vector diferencial de área, son ambos

perpendiculares al diferencial de área de la sección, es decir:

v⃗⊥dA⇒ v⃗ // dA ⇒( v⃗⋅d A⃗ )=vd { A⃗ cos0ο¿

( v⃗⋅d A⃗ )=vd { A⃗ ¿

La fuerza quedaría:

F⃗ ext=∯SC

( ρ v⃗ )( vd { A⃗ )¿

Si el flujo es incompresible: p = cte.

F⃗ ext=ρ∯SC

( v⃗ )( vd { A⃗ )¿

Además se sabe que:

dQ=∫A

( v⃗⋅d A⃗ )

, entonces caudal se expresaría:

Q=( v⃗⋅A⃗ )

Pero como v⃗ // dA

entonces: Q=VA cos 0o⇒Q=VA

F⃗ ext=ρQ ( v⃗ )

En el siguiente volumen de control:



Si tomamos dos secciones como: 1-1 y 2-2; en cada extremo de la porción de fluido

entre ambas secciones actúa una fuerza, como se muestra en el gráfico.

Y si el flujo fuera permanente, entonces la fuerza sería:

F⃗ ext=ρQ ( v⃗ )

Entonces las fuerzas seria:

F⃗1=ρQ v⃗1 y

F⃗2=− ρQ( v⃗2 )

Las velocidades son:

v⃗1=v⃗1 x i⃗ + v⃗1 y j⃗y

v⃗2=v⃗ 2 x i⃗ + v⃗2 y j⃗

Las fuerzas quedarían:

F⃗1=ρQ ( v⃗1 x i⃗ + v⃗1 y j⃗ )

F⃗2=− ρQ( v⃗2 x i⃗ + v⃗2 y j⃗ )

La sumatoria de las fuerzas en los ejes X e Y son:

∑ F⃗ x=ρQ ( v⃗1 x i⃗ − v⃗1 y j⃗ )

∑ F⃗ y=ρQ ( v⃗2 x i⃗ − v⃗2 y j⃗ )

6. Principio de la Cantidad de Movimiento aplicado a la Corriente Líquida

Sea la vena liquida siguiente:



El sentido de los vectores de las secciones transversales siempre saliente de la vena

liquida y perpendicular a la sección, es decir:

d S⃗2=n⃗2dS2

d S⃗1=n⃗1dS1

Donde n⃗1

y n⃗2

son vectores unitarios perpendiculares a las secciones S1

y S2

respectivamente.

Por el principio de la cantidad de movimiento se sabe que:

F⃗ ext=F⃗1+ F⃗2

Pero como el flujo es líquido y se sabe que los líquidos son incompresibles, por lo tanto la

densidad de un punto a otro no varía, es decir:

∂ ρ∂ t

=0, y la fuerza resultaría:

F⃗ ext=∯SC

( ρ v⃗ )( v⃗⋅d S⃗ )

En cada sección transversal se desarrolla una fuerza; es decir en S1

se produce una

fuerza F⃗1

y en la sección S2

se produce una fuerza F⃗2

y la suma de ambas nos da la

fuerza total que actúa en la vena líquida.

F⃗ ext =F⃗1+ F⃗2=∯SC 1

( ρ v⃗1 )( v⃗ 1⋅d S⃗1 )+∯SC 2

( ρ v⃗2 )( v⃗ 2⋅d S⃗2 )


F⃗ ext=∭VC

∂( ρ v⃗ )∂ t

d ∀+∯SC

( ρ v⃗ )( v⃗⋅d S⃗ )


Si se acepta que los filetes son rectos y a lo más con suave curvatura, se puede decir que:

Las velocidades son perpendiculares a las secciones transversales.

Además que el sentido vector unitarion⃗1

es opuesto al sentido de v⃗1

, se puede

escribir que:

v⃗1=−n⃗1 v1; v⃗2=−n⃗2 v2

v⃗1 // d S⃗1⇒ v⃗1⋅d S⃗1=v1 d S⃗1

v⃗2 // d S⃗2⇒ v⃗2⋅d S⃗2=v2 d S⃗21

La fuerza quedará:

F⃗ ext =−ρ∯SC 1

( n⃗1 v⃗1)( v⃗1d S⃗1 )+ρ∯SC 2

( n⃗2 v⃗2 )( v⃗2 d S⃗2 )

F⃗ ext=−ρ∯SC 1

( n⃗1 v⃗1 v⃗ 1d S⃗1 )+∯SC 2

( n⃗2 v⃗2 v⃗2 d S⃗2 )

F⃗ ext =ρ [( n⃗2 v⃗2 v⃗2d S⃗2)−( n⃗1 v⃗1 v⃗ 1 d S⃗1 )]

F⃗ ext=ρ [(v2

m2 n⃗2 d S⃗2)−(v2n

1⃗ n1 d S⃗1)]

Por el principio de continuidad: Por ser un flujo permanente, el caudal es igual en

ambas secciones transversales:

Q=vm2S2=vm1

S1

F⃗ ext =ρ [( vm2vm

2S2⃗ n2)−( vm

1vm

1⃗ n1 d S⃗1)]

F⃗ ext=ρ [( vm2Q n⃗2)−(vm1

Q n⃗1)]Y como se ha aceptado que los filetes sean rectas con la más suave curvatura, entonces se

puede decir que:

n⃗1=n⃗2= n⃗3



Por lo tanto:

F⃗ ext =ρ [( vm2Q n⃗)−( vm1

Q n⃗ )]

F⃗ ext =ρ [( vm2−vm1

)Q n⃗ ]Entonces:

F⃗=ρQΔV m n⃗

EJERCICIOSDE APLICACIÓN:

1. La figura muestra la bifurcación de una tubería según los diámetros indicados. El agua

escurre de izquierda a derecha. Si la velocidad media en B es de 0.60 m/s y en C es de 2.70

m/s, calcular las velocidades medias en A y en D y el gasto en cada ramal.

Primero hallamos caudal en la sección B:

QB=ABV B

QB=[π .( 0.302 )

2]∗0.60

QB=0.042m3

seg

Calculamos la velocidad en A teniendo el caudal de la sección B:



QB=QA

QB=AA V A

0.042m3

seg=V A∗[ π .( 0.15

2 )2]

V A=2.38m

seg

Calculamos el caudal en C:

QC=ACV C

QC=[π .( 0.1 02 )

2]∗2.70m

seg

QC=0.021m3

seg

Determinamos el Caudal en la sección D, teniendo en cuenta la relación que cumple el caudal en B y en C, entonces tenemos:

QD=QB−¿QC ¿

QD=(0.042¿¿−0.021) m3

seg¿

QD=0.021m3

seg

Por último hallamos el caudal en D:QD=AD V D

0.021m3

seg=[ π .( 0.05

2 )2]∗V D

V D=10.70m

seg

2. Un campo de flujo compresible está descrito mediante la expresión:

ρ V⃗={ (ax ) i⃗−(bxy ) j⃗ }e−kt



Donde x , y vienen a ser coordenadas en metros; t es el tiempo en segundos; a,b,k son

constantes con unidades apropiadas; ρ es la densidad en Kg/m³; V es la velocidad en m/seg.

Calcule la rapidez con que cambia la densidad por unidad de tiempo en el punto x = 3m, y

=2m, z=2m, t=0seg.

Solución:

Por continuidad: +

∂ ρ∂ t = 0

=−∂ ρ∂ t

∂ ρ∂ t

=−¿¿+(∂ ρV y

∂ y)+(∂ ρV z

∂ z)¿¿

Pero: V z=0

Entonces:

∂ ρ∂ t

=−¿¿(∂ ρV y

∂ y)¿ . .. . .. .. . .(I )¿

ρ V x=ax e−kt →∂( ρV x)

∂ x=a e−kt …………. (II)

ρ V y=−bxy e−kt →∂ ( ρ V y )

∂ y=−bx e−kt ………(III)

Reemplazando (II) y (III) en (I):

∂ ρ∂t

=−(a e−kt−bx e−kt)

∂ ρ∂t

=(bx−a)e−kt

Luego, calculando la rapidez con que cambia la densidad por unidad de tiempo para el punto

(x,y,z,t) = (3,2,2,0) :



∂ ρ∂t

=(3 b−a)e0

∴ ∂ ρ∂ t

=3 b−a

3. Por el interior de un gran conducto circular de 0.3m de diámetro fluye agua con

velocidades que siguen la distribución señalada en la figura, según la ley

v=0 . 0025−r2 (en m/s). Determine la velocidad media con que el agua sale de

las tuberías de 0.05m de diámetro.

Solución:

Datos:

D = 0.3mV = 0.0225-r²

Aplicamos la ecuación de continuidad.

QM=QM 2+QM 3…………………………………….. (1)

ρ∫ vdA= ρv2 A2+ρv3 A3………………………… (1.a)

∫ vdA=v2 A2+v3 A3…………………………………. (2)



1º Resolviendo el gasto másico por el tubo 1 es entonces:

En coordenadas polares:

dA=rdrd θ

Entonces:

QM=∫ vdA=∫0

2 π

∫0

0 .15

(0 .0225−r2 )rdrdθ

QM=∫0

2 π

(0 .0225r2

2− r 4

4)|0

0 .15dθ

QM=∫0

2 π

(1.27×10−4 )dθ

QM=θ(1 . 27×10−4 )|02 π

QM=7 . 95×10−4 (m³/s)

2º Por simetría la v1=v2 , entonces la ecuación (2):

QM=2QM 2……………………….. (2.a)

3º La velocidad media vm :

Q=vm A

vm=QA

- Reemplazando en la ecuación (2.a), tenemos:

7 .95×10−4=2 v2 A2

4. ¿Qué fuerza produce el codo y boquilla de la figura, la corriente de agua?


v2=v3=0 .2024 m/s


El agua abandona la boquilla como un chorro libre. El volumen interior del

conjunto del codo y la boquilla es de 115 litros.

1º Hallar el peso:

W =mg

W =ρ∀ g

W =(1000kg

m3)(115∗10−3 m3)(9.81

m

s2)

W =1128.15 N

P1 A1=(1.06kg

cm2 )(9.81 N )(π )(302 cm2

4)



P1 A1=709.44 N

P2 A2=(1.013∗105 Nm2 )(π )( 152 cm2

4)( m2

104 cm2 )

P2 A2=1790.06 N

F x=Rx+ P1 A1+P2 A2

F x=Rx+709.44 N+1790.06 N

F y=Ry−W

F y=Ry−1128.15 N

2º Aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento:

F⃗ ext=∯(ρ2 v⃗2)( v⃗2 d A⃗2)−∯(ρ1 v⃗1)( v⃗1 d A⃗1)

F⃗ ext=( ρ2 v⃗2 A2 ) (v⃗2 )−( ρ1 v⃗1 A1 ) ( v⃗1 )

F⃗ x=( ρ2 v2 A2 )−( ρ1 v1 A1 ) ( v1 ) F⃗ y=0 (No hay vectores en y)

3º Principio de la continuidad:

( ρ1 v1 A1 )=( ρ2 v2 A2 )

(1.5ms )(π)( 302 cm2

4)=(V 2)(π )( 152 cm2

4)

V 2=6ms

F⃗ x=( ρ2 v2 A2 )−( ρ1 v1 A1 )

F⃗ x=(1000kgm 3 )¿

F x=2504.93N

FY=0

Desarrollando:

F x=Rx+709.44 N+1790.06 N

F x=Rx+1499.5 N

R x+1499.5 N=2504.93

R x=5.43 N



F y=Ry−1128.15 N

0=Ry−1128.15 N

R y=1128.15 N

5. Se desea calcular la fuerza desarrollada sobre el codo reductor mostrado en la figura por el flujo permanente del fluido que circula por su interior. El flujo puede suponerse unidimensional.

1º PASO:


F1=P1 A1R⃗=R X i⃗+R X j⃗

ρ1

ρ2

W


p⃗=Fuerza de presión

R⃗=Contactoentre el fluido y elcodo

w=Fuerza gravitacional

FX=RX +P1 A1−P2 A2 cos α………………………………….(1)

FY=RY−w−P2 A2sin α

2º PASO: Aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento:

F⃗ ext=∯( ρ2 v⃗2 )( v⃗2⋅d A⃗2)−∯( ρ1 v⃗1 )( v⃗1⋅d A⃗1 )

F⃗ ext=( ρ2 v2 A2 )( v⃗2)−( ρ1 v1 A1 )( v⃗1 )

FX=( ρ2 v2 A2)( v2 cos α)−( ρ1 v1 A1 )(v1 )

FY=( ρ2 v2 A2 )(v2sin α )

3º PASO: Principio de continuidad:

( ρ1 v1 A1 )=( ρ2v2 A2 )

FX=( ρ2 v2 A2)( v2 cos α)−[( ρ1 v1 A1 )](v1 )

Pero sabemos que: ( ρ1 v1 A1 )=( ρ2v2 A2 ) reemplazamos

FX=( ρ2 v2 A2)( v2 cos α−v1 )

FY=( ρ2 v22 A2 )(sin α )

4º PASO: Hallamos las Rx y Ry:

FX=RX +P1 A1−P2 A2cos (α )………………(1)



RX=( ρ2 v2 A2 )( v2 cosα−v1 )+(P2 A2cos α−P1 A )

FY=RY−w−P2 A2sin( α )……………………..(2)

RY=( ρ2v2

2 A2 )(sin α+w+P2 A2sin α )

CONCLUSIONES

Se logró demostrar y aplicar la ecuación de la continuidad y el principio de

cantidad de movimiento.

Se dio la definición clara acerca de los términos básicos.

Se demostró matemáticamente el principio de conservación de la materia.

Se dedujo a partir de ecuaciones del principio de conservación de la materia la

ecuación diferencial de la continuidad.

Se dedujo la aplicación de la ecuación de la continuidad para venas liquidas.



Se logró demostrar el principio de la cantidad de movimiento y deducir

ecuaciones a partir de este.

Se definió los casos especiales de aplicación del principio de cantidad de

movimiento.

Se realizaron ejemplos aplicativos de la ecuación de continuidad y el principio

de cantidad de movimiento.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

FERNANDEZ FERIA, Ramón. “Mecánica de Fluidos” - 2da Edición.

MOTT, Robert. “Mecánica de Fluidos”- 6ta Edición.

BRUCE R. Munson; DONAL F. Young. “Fundamentos de Mecánica de fluidos”. 1° ed. Editorial Limusa S.A.Mexico

SHAMES, Irving. “Mecánica de Fluidos”. 3° ed. Editorial Mc Graw-Hill Interamericana. S.A.

LINKOGRAFIA



http://www.slideshare.net/kurtmilach/ecuacion-de-continuidad-y-de-bernoulli

http://www.slideshare.net/nestorbalcazar/mecnica-de-fluidos-conservacin-de-la-cantidad-de-movimiento

http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/20299/9/tema4_flujo%20externo.pdf

http://www.unav.es/adi/UserFiles/File/80963964/MF_Collection_0809_Tema_3.pdf


ecuación de continuidad y principio de cantidad de movimiento

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