ecuaciones dife

7/21/2019 ecuaciones dife

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Soloparaserempleadoconobjetivodeevaluacin,oacad

micos.Prohibidolareproduccintotaloparcialdeestedocumento.

Captulo 2-4

2.

Mtodos Numricos Aplicados a

Ecuaciones Diferenciales

2.1 Definicin del Problema de Ecuacin Diferencial

Una ecuacin diferencial (ordinaria) es aquella que involucra una variable independiente, una variabledependiente y la derivada ( derivadas) de esta ltima. En una ecuacin diferencial, la incgnita es la variable

dependiente y se espera encontrarla como funcin de la variable independiente, de tal forma que si sesustituye dicha variable dependiente, as como las derivadas que aparecen en la ecuacin diferencial, laigualdad que resulta es verdadera.

Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones fsicas en las cienciasnaturales, ingeniera, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una varias funcionesdesconocidas con respecto a una varias variables independientes. Estos modelos varan entre los mssencillos que envuelven una sola ecuacin diferencial para una funcin desconocida, hasta otros mscomplejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas.Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecnicas que rigen el movimiento de los cuerpos,al ponerse en trminos matemticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones estnacompaadas de una condicin adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posicin inicial.Esto se conoce como la condicin inicialy junto con la ecuacin diferencial forman lo que se conoce como el

problema de valor inicial. Por lo general, la solucin exacta de un problema de valor inicial es imposible difcil de obtener en forma analtica. Por tal razn los mtodos numricos se utilizan para aproximar dichassoluciones

La forma ms general de una de ecuacin diferencial sobre derivadas ordinarias es:

( ) ( )( )1,,,,, == nn

nn

yyyytFdt

ydy K (1)

El problema anterior es una ecuacin diferencial ordinaria de orden n1, y la cual se supone la presenciade condiciones iniciales, en igual nmero, que el orden de la ecuacin; en lo cual se dice que se trata de unproblema de ecuacin diferencial a condiciones iniciales o condiciones de contorno. La solucin de esteproblema, que puede ser emprendido por variados mtodos, persigue determinar el valor de la funciny(x),

que dio origen a la ecuacin diferencial.

El tipo ms simple de ecuacin diferencial ordinaria es la lineal de primer orden, el Problema de Cauchyde la forma:

1Se llama ecuacin diferencial ordinaria (E.D.O.) a una ecuacin que liga la variable independiente t, una funcin y = y(t) (quedepende solo de la variable independiente) y sus respectivas derivadasy , y, ... ,y (n). Es decir, una expresin de la forma:

F(t, y, y, y,..., y(n)

)= 0

A la funciny = y(t) se le llama funcin incgnita. http://www.satd.uma.es/matap/jlgalan/analvect/tema5.pdf.


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Mtodos Numricos Aplicados a la Estabilidad en Sistemas de Potencia

Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006

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Soloparaserempleado

conobjetivodeevaluacin,oacadm

icos.Prohibidolareproduccintotalo

parcialdeestedocumento.

( )

( )( )

( )

==

==

00

,

ytty

ytFdt

tdyty

Se supone que la solucin del problema de la ecuacin diferencial ordinaria, a condiciones iniciales, esnica, continua y diferenciable en una regin finita:

bta (2)

De igual forma, la funcin F(t,y) es definida y continua en este mismo intervalo (t[a,b]), y que cumplecon el Teorema de Lipschitz2.

Para atacar el Problema de Cauchy,; existe gran cantidad de mtodos. Los mtodos numricos cobranvigencia en la resolucin de ecuaciones diferenciales cuya solucin no pueden ser obtenidas por los mtodostradicionales; de ah la necesidad de implementar mtodos aproximantes para la solucin de ecuacionesdiferenciales. Los mtodos de aproximacin de mayor uso son: el Mtodo de Euler, Mtodo de Heun, Runge-

Kutta, etc.

2.2 Series de Taylor

Las series de Taylor3tienen un gran valor para el estudio de los mtodos numricos. En esencia, la seriede Taylor provee un medio para predecir el valor de una funcin en un punto en trminos del valor de lafuncin y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema establece que cualquier funcin suave puedeser aproximada con un polinomio.

Un buen camino para obtener ms conocimiento de la serie de Taylor se obtendr mediante suconstruccin trmino por termino. Por ejemplo, el primer trmino de la serie es:

jj tYtY +1 (3)Esta relacin, conocida como aproximacin de orden cero, indica que el valor de Y en el nuevo punto es

el mismo que el valor en el punto anterior. Este resultado se logra intuitivamente, ya que si tjy tj+1estn muyprximas una de la otra, entonces es igualmente posible que el nuevo valor sea quiz similar al anterior.

La ecuacin anterior da una estimacin perfecta de s la funcin que se va a aproximar es una constante.Sin embargo, si la funcin se cambia en todo el intervalo, entonces se requieren los trminos adicionales delas series de Taylor para obtener una mejor aproximacin. Por ejemplo, la aproximacin de primer orden seobtiene sumando otro trmino al anterior al anterior para obtener:

( ) ( ) ( )( )jjjjj tttYtYtY + ++ 1

1 (4)

El termino adicional de primer orden consiste de una pendiente Y(tj)multiplicada por la distancia entre tjy tj+1. Por lo tanto, la expresin ahora representa una lnea recta y es capaz de predecir un incremento o undecremento de la funcin entre tjy tj+1.

2Rudolf LIPSCHITZ (1832 - 1903): Fue profesor en Bonn durante la mayor parte de su vida. Se le recuerda, primordialmente, por supapel en la simplificacin y la aclaracin de la teora original de Cauchy sobre la existencia y la singularidad de las soluciones deecuaciones diferenciales.

3Brook TAYLOR (1685 - 1731): Matemtico y fsico britnico, nacido en Edmonton. Amigo ntimo de Halley y de Newton, a quiendefendi en la controversia sobre la prioridad de la invencin del clculo infinitesimal. Introdujo las series que llevan su nombre.


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icos.Prohibidolareproduccintotaloparcialdeestedocumento.

Aunque la ecuacin anterior puede predecir un cambio, solo es exacta para una lnea recta o es detendencia lineal. Por lo tanto, se le agrega a la serie un trmino de segundo orden para obtener algo decurvatura, as la funcin pudiera exhibir la forma:

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

2

1

1

1 !2 jj

j

jjjij

tttY

tttYtYtY ++ +++

(5)

De manera similar, se puede agregar trminos adicionales para desarrollar la expansin completa de laserie de Taylor.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

( ) nn

jj

j

n

jj

j

jj

j

jjjjj Rttn

tYtt

tYtt

tYtttYtYtY ++++++= +++++ 1

3

1

2

1

1

1!!3!2

KK (6)

Obsrvese que debido a que la ecuacin anterior es una serie infinita, el signo igual reemplaza a deaproximacin usada en las ecuaciones anteriores a esta. Se incluye un trmino residual para considerar todoslos trminos desde n+1 hasta el infinito:

( )

( )( ) ( )1

1

1

!1++

+

+=n

jj

n

n ttn

YR (7)

donde el subndice n indica que el residuo es de la aproximacin a ensimo orden y es un valor

cualquiera dexque se encuentra entre tjy tj+1. La inclusin de dentro de la serie es de mucha importancia yaque da una estimacin exacta del error.

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un

paso jj tth = +1 .

Y expresando la ecuacin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) nnjn

jjjji Rh

n

tYh

tYh

tYhtYtYxY ++++++=+ !!3!2

3

2

1 K (8)

donde el termino residual es ahora :

( )( )( )

11

!1

++

+= n

n

n hn

YR

(9)

Se puede apreciar un grfico con la aproximacin def(x)enxi+1mediante series de expansin de Taylor decero, primero y segundo ordenes:


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( )tY

jtY

t

) )jj tYtY +1

) ) )htYtYtY jjj 1 ++

1+jtY

( ) ( ) ( ) ( )2

2

1

htYhtYtYtY jjjj +++

Figura 1. Representacin de diferentes aproximaciones de la primera derivada

En general, la expansin en series de Taylor de n-simo orden debe ser exacta para un polinomio de n-simo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se

obtiene una estimacin exacta mediante un nmero finito de trminos. Cada uno de los trminos adicionalescontribuye al mejoramiento de la aproximacin, aunque sea un poco.

Aunque lo anterior se cumple, el valor prctico de las series de Taylor estriba, en la mayor parte de loscasos, en el uso de un nmero finito de trminos que darn una aproximacin lo suficientemente cercana a lasolucin verdadera para propsitos prcticos. La decisin sobre cuantos trminos se requieren para obtener un"aproximacin razonable" se basa en el trmino residual de la expansin.

2.2.1. Mtodo de Euler

El presente mtodo, fue ideado por el gran matemtico Leonhard Gauss4, hace ms de doscientos aos,este resulta ser el ms fcil de entender y aplicar, y adems es muy adecuado para la programacin rpida,debido a su sencillez, claro est que no es tan preciso como otros mtodos mas refinados (como Heun, Runge-Kutta de 4toOrden, etc...)

Para explicar el Mtodo de Euler se considera que y(t)es la funcin desconocida (solucin analtica) del

problema; y que se desea estimar.

Se supone ahora que la meta de resolver el problema , es determinar el valor numrico de y(t) en elpunto conocido t = b; con la condicin inicial de, dada en el punto t0 = a. (b>a)

Dentese Y(t), a la funcin aproximante de la solucin analtica de la ecuacin diferencial, y(t).Un nuevoproblema puede ser obtenido discretizando la variable independiente t, en una sucesin finita de

puntos{ }njt 0 = t0, t1, t2, ... ,tn.

at =0 btn =

1t 2t 3t jtK K

Figura 2. Representacin grafica de la discretizacin del lapso de tiempo

4Euler, Leonard (1707-1783):

Leonhard Euler, nacido en Abr. 15, 1707, muerto en Sept. 18, 1783, fue el matemtico ms prolficoen la historia. Sus 866 libros y artculos representan aproximadamente una tercera parte del cuerpo entero de la investigacin en lamatemticas, fsica terica, y la ingeniera mecnica todo estos publicado entre 1726 y 1800.


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Captulo II


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Esta sucesin consta de n subintervalos [tj, tj+1] cuya separacin puede ser escrita como:

( ) jjj ttjhh == +1 (10)

Es importante mencionar que el considerar el paso variable (hj); lejos de facilitar el problema a resolver,

podra complicarlo. De modo que por simplicidad en este caso, se considera un paso constante h, e igual paracada subintervalo (h0= h1= h2=... = hn).

at =0

[ ]

btn =

1t

2t 3t jtK K

1h 2h 3h

Figura 3. Representacin grafica de la discretizacin del lapso de tiempo, mostrando el detalle del

espaciado de los subintervalos

Considerando el espaciamiento homogneo h = h0= h1= h2=... = hn, los n subintervalos, donde se

discretiz el problema, t[a,b], queda definido por:

n

tth n 0= (11)

donde se considera que:

=

=

bt

at

n

0

En base a lo antes expuesto, la sucesin de puntos discretos { }njt 0 , pueden ser generados fcilmente por lasiguiente ecuacin:

hjttj += 0 (12)sienndoj = 0, 1, 2, 3, ... ,n.

Existen muchos mecanismos para obtener el Mtodo de Euler, esencialmente estas dependen de la formade aproximar la derivada involucrada en la ecuacin diferencial. Si se emplea el concepto de cocientediferencial para aproximar la derivada, entonces surge tres variantes del mtodo: diferencia hacia delante,diferencia hacia atrs y diferencia central.

2.2.2. Mtodo de Euler Hacia Adelante

Prtase del ms simple tipo de ecuacin diferencial ordinaria, que la de tipo lineal de primer orden, elclsico Problema de Cauchy de la forma:

( )

( )

( )( )

====

00

,

ytty

ytFdt

tdy

ty

Considrese que el problemaha sido discretizado sobre la variable t, donde se cumple:

hjttj += 0

donde


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n

tth n 0=

siendo: at =0 , btn = .

Dentese Y(t),a la funcin aproximante de la solucin analtica de la ecuacin diferencial,y(t).Supngase

que para un instante de tiempo dado tj+1, se desea estimar un valor aproximado de la solucin analtica de laecuacin diferencialy(tj+1).

Para encontrar la funcin aproximante Y(tj+1),tmese el desarrollo en series de Taylor de la funcin Y(tj+1)alrededor de t = tj.

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

( ) nn

jj

j

n

jj

j

jj

j

jjjjj Rttn

tYtt

tYtt

tYtttYtYtY +++++++= +++++ 1

3

1

2

1

1

1!!3!2

KKK (13)

Supngase que la serie se trunca en el segundo trmino:

( ) ( ) ( )( ) 111 RtttYtYtY jjjjj ++= ++ (14)si se considera que:

jj tth = +1 (15)entonces:

( ) ( ) ( ) 11 RhtYtYtY jjj ++=+ (16)donde el residuo producto del truncamiento queda dado por:

( )

( )22

1 !2hOh

YR ==

(17)

Ahora, si de la ecuacin (16) se despeja la primera derivada Y(tj):

( ) ( ) ( ) ( )21 hOhtYtYtY jjj ++=+ ( ) ( ) ( ) ( )21 hOhtYtYtY jjj +=+ ( ) ( )

( ) ( )hOtYh

tYtYj

jj +=+ 1 (18)

Ntese, que la aproximacin de la derivada por solo tomar los dos primeros trminos de la serie de Taylor

tiene un error por truncamiento O(h),es decir, es proporcional al paso h.

( ) ( )

hY

hO!2

= (19)

Ahora bien, si se toma la versin discretizada del problema, se tiene:


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( ) ( )

( )

==

=

00

,

YttY

YtFtY jjj

De tal modo que resulta evidente:

( ) ( )( ) ( )hOYtF

h

tYtYjj

jj +=+

,1

(20)

Reacomodando:

( ) ( ) ( ) ( )21 , hOYthFtYtY jjjj ++=+ (21)

Si por simplicidad se denota: ( )11 ++ = jj tYY y ( )jjj YtFF ,= , resulta:

( )21 hOhFYY jjj ++=+ (22)donde:

00 yY = (23)Es importante mencionar que el error final del mtodo de Euler hacia delante cumple con O(h2),lo que

indica que el error es funcin del cuadrado.

En definitiva, el mtodo de Euler hacia delante, se basa en determinar aproximaciones sucesivas, punto apunto, mediante el siguiente juego de ecuaciones:

=

+=+

00

1

yY

hFYY jjj

(22)(23)

donde el subndicejvara entre 0 hasta n-1.

Aunque el Mtodo de Euler hacia delante es muy sencillo, debe utilizarse cuidadosamente para evitar dostipos de errores; el primer tipo lo forman lo errores de truncamiento, el segundo tipo lo constituye lainestabilidad, que aparece cuando la constante de tiempo es negativa (la solucin tiende a cero si no haytrmino fuente), a menos que el intervalo de tiempo, h, sea lo suficientemente pequeo.

Para longitudes de paso h, pequeos, el Mtodo de Euler da resultados ms precisos (suponiendo que nohay error de redondeo apreciable, lo que no es una suposicin necesariamente cierta).

Es tpico en el Mtodo de Euler que la longitud de paso h necesita ser muy pequea para tener un error detruncamiento razonablemente pequeo. Para evitar la aritmtica y la evaluacin de funciones que consumen

mucho tiempo en un nmero grande de iteraciones, una computadora programable es una necesidad prctica.Una alternativa es utilizar mejores mtodos que no requieran un paso h, tan pequeo. En cuyo caso se puedenobtener resultados precisos con la ayuda de una calculadora de mano.

2.2.3. Mtodo de Euler Modificado

El mtodo de Euler modificadotiene dos motivaciones. La primera es que es ms preciso que el mtodode Euler por diferencias hacia delante o hacia atrs. La segunda es que este mtodo es ms estable que suhomologo hacia delante.


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El mtodo se obtiene de aplicar la regla del trapecio, para integrary = F(y,t):

( ) ( )[ ]jjjjjj tYFtYFh

YY ,,2

111 ++= +++ (24)

Si la funcin Fes lineal en Y, la ecuacin anterior se puede resolver fcilmente en trminos de Yj+1.

Si la funcin no es lineal en Y, las ecuaciones una funcin no lineal de Yj+1, por lo que se requiere unalgoritmo para resolver ecuaciones no lineales. Uno de los mtodos ampliamente utilizados para resolverecuaciones no lineales es la sustitucin sucesiva.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]jkjjkjkjkj tYFtYFh

YY ,,2

11

111

+

++ += (25)

Donde ( )kjY 1+ es la k-sima aproximacin iterativa de yj+1. Esta iteracin se detiene si( ) ( )

++1

11k

j

k

j YY , es

decir, si la diferencia en la aproximacin entre dos iteraciones sucesivas es menor que una cierta tolerancia

previamente establecida ().

En el caso que solo se utilice un paso ms de iteracin, el esquema se convierte en el mtodo de RungeKutta de segundo orden.

Para dar una explicacin sobre la precisin del mtodo de Euler modificado, solo se requiere mencionarque el error local (generado en cada paso) del mtodo de Euler hacia delante es proporcional a h2, mientrasque el error global es proporcional a h, en tanto que el error local del mtodo de Euler modificado esproporcional a h3, y su error global es proporcional a h2. El orden del error del mtodo hacia atrs es igual aldel mtodo de Euler hacia delante.

Al aplicar el mtodo de Euler modificado a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, la ecuacindebe resolverse en forma simultnea o implcita. Sin embargo, la ventaja de la solucin implcita consiste enel hecho de que el mtodo es ms estable que el mtodo de Euler hacia delante, por lo que permite un mayorintervalo de tiempo.

2.3 Mtodo de Heun

El mtodo de Euler posee un serio defecto en su aproximacin para determinar la pendiente usando encada paso de la iteracin. El paso de iteracin de tj a tj+1 usa solo la pendiente en el punto tj al final delintervalo. A menos que la funcin Y(t) sea esencialmente una lnea recta en el plano x-y, el uso de lapendiente evaluada solamente en un punto terminal del intervalo resulta en el uso de una pendiente que nonecesariamente representa muy bien la pendiente promedio a lo largo del intervalo. Un esquema en el cual seadeseable hacer la modificacin al mtodo de Euler resulta de la forma:

( ) ( )[ ]111 ,,2

+++ ++= jjjjjj YtFYtFh

YY (26)

En el cual se usa el promedio de la pendiente a lo largo del intervalo. Por supuesto la dificultad aqu es que

debido a que no se conoce la funcin Y(t), no se conoce el promedio de Yj+1al final del intervalo, as que elesquema basado en la pendiente promedio sobre el intervalo no es directamente posible.

De hecho, una va muy usada de ver la dependencia de la solucin Y(tj+1) en el valor de Y(t) sobre elintervalo [tj, tj+1] viene de escribir la forma integral de la antiderivada:


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( ) ( ) ( )jjt

ttYtYdttY

j

j

= + +

1

1

(27)

De modo que rearreglando la expresin resulta:

( ) ( ) ( )( )

++=+

1

,1j

j

t

tjj dttYtFtYtY (28)

Donde se ha usado la ecuacin diferencial Y(t)=F(t,Y).Se puede escribir de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) [ ]1,1 , ++=+ jj ttjj YtFhtYtY (29)

Donde ( ) [ ]1,, +jj ttYtF , es solo el valor medio de F(t,Y) en el intervalo. Esto resulta hacer ms fcil el

intento de modificar el mtodo de Euler razonablemente, pero tambin hace muy claro la necesidad deobtener ms informacin acerca de Y(t),en el intervalo para calcular Y(t)al final del intervalo.

El mtodo de Heun5esta basado en la evaluacin de una estimacin F(tj+1, Yj+1),reemplazando el valor de

Yj+1con una estimacin de la derivada del mtodo original de Euler, con lo que resulta el siguiente esquemade iteracin:

( )

( ) ( )[ ]111

1

~,,

2

,~

+++

+

++=

+=

jjjjjj

jjjj

YtFYtFh

YY

YthFYY

(30)

El paso predictor obtiene una estimacin preliminar, 1~+jY , para Y(tj+1) basado en el mtodo de Euler

simple, y entonces elpaso correctorusa ese valor in lugar del valor actual de Y(tj+1)parta obtener una mejorestimacin de la pendiente en el extremo final del intervalo. En la evaluacin del valor medio de la pendientesobre el intervalo, el uso del promedio basado en los valores de los dos puntos terminales es equivalente aluso de la regla de integracin trapezoidal, de tal modo que el error de este valor promedio se simplifica

debido a que la integracin involucrada en el proceso de promedio es del orden de h3

. Debido al uso del pasode tamao h, sobre el mismo intervalo en t, requiere un numero de paso que es proporcional a 1/ h, el errorglobal en este caso ser del orden de h2; de modo que dividiendo h debe lograrse aumentar la precisin globalen un factor de cerca de 4.

Esta variacin significativa en el nombre aplicado a varias modificaciones del Mtodo de Euler. Algunostextos refieren el mtodo de Heun como simplemente el mtodo de Euler Modificado, mientras que otrosutilizan el trmino de Mtodo de Punto Medio (midpoint method) donde la pendiente es usada en cada paso enel calculo de la pendiente desde el predictor del paso al punto medio del intervalo; mas que el promediobasado en el punto medio de la pendiente.

2.3.1. Mtodos de Runge-Kutta

La convergencia lenta del mtodo de Euler y lo restringido de su regin de estabilidad absoluta lleva a

considerar mtodos de orden de convergencia mayor. Se conoce que en cada paso el mtodo de Euler semueve a lo largo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida o buscada. Losmtodos Runge-Kutta extienden esta idea geomtrica al utilizar varias derivadas o tangentes intermedias, en

5Karl Heun (1859 - 1929):Contemporneo de Carl Runge y de R. Kutta. Contribuy a la mecnica clsica, a la teora de funcionesespaciales y a los mtodos de cuadratura de Gauss.


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lugar de solo una, para aproximar la funcin desconocida. Los mtodos Runge-Kutta6, ms simples seobtienen usando dos de estas derivadas intermedias.

De modo que una mejora es que para cada intervalo h, se toman varios puntos intermedios y se calculan enellos las pendientes o derivadas. Se gana en precisin a cambio de un aumento notable del tiempo de clculo.

El uso de las series de Taylor como elementos de aproximacin posee ciertas caractersticas deseables,particularmente su habilidad de mantener pequeo el error, pero esto implica una fuerte desventaja, como loes requerir de la evolucin de las derivadas de orden superior de la funcin F(t,y).En el mtodo de las seriesde Taylor, cada una de estas derivadas de orden superior son evaluadas en el punto tj, al comienzo delintervalo, en atencin a evaluar Y(tj+1) al final del intervalo. Se sabe que el mtodo de Euler puede sermejorado por el calculo de la funcin F(t,y)a un punto predictor lejos al final del paso en t.

La aproximacin de Runge-Kutta, apunta a las caractersticas deseables del mtodo de la series de Taylor,pero reemplaza los requerimientos de evaluacin de las derivadas de orden superior con el requerimiento deevaluar F(t,y)en los mismos puntos dentro del intervalo tja tj+1. Debido a que inicialmente no es conocido aque puntos del intervalos las evaluaciones deben ser hechas, es posible elegir esos puntos en tal forma que elresultado sea consistente con la solucin de la serie de Taylor para algunos en particular, los cuales darn elnombre al orden del mtodo de Runge-Kutta.

Inicialmente, prtase de la derivacin del hacia adelante, el cual no es particularmente til en la practica,es muy interesante para entender los mtodos de Runge-Kutta. Prtase de escribir la serie de Taylor de lasolucin Y(t)en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )32

2

, hOtYh

YthFtYhtY +++=+ (31)

Se ha tomado la ecuacin diferencial Y(t)=F(t,y)para evaluar Y(t),pero esta se mantiene para evaluar

Y(t).Usando el resultado inicial de la diferenciacin de la funcin como F(t,y(t)),se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )tYYtFYtFtY yt ,, += (32)

Donde los subndices t indica diferenciacin parcial respecto a t, manteniendo yconstante; y en forma

similar para el subndicey. Debido a que Y(t)=F(t,y),se puede escribir lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )YtFYtFYtFtY yt ,,, += (33)Y el desarrollo en series de Taylor se transforma en:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )32

,,,2

, hOYtFYtFYtFh

YthFtYhtY yt ++++=+ (34)

El mtodo de Runge-Kutta asume que el valor correcto de la pendiente sobre el intervalo puede ser escrito

como una combinacin lineal de la funcin F(t,Y)evaluado a ciertos puntos dentro del intervalo.

En el mtodo de segundo orden, esto resulta en escribir el paso de iteracin en la forma:

6Martin Wilhelm Kutta: Naci el 3 Nov de 1867 en Pitschen, Upper Silesia (ahora Byczyna, Polonia) y muri el 25 Diciembre de1944 en Frstenfeldbruck, Alemania. Es muy conocido pro el mtodo que junto a Runge, inventaron para resolver ecuacionesdiferenciales ordinarias.Carle David Tolm Runge: naci el 30 agosto de 1856 in Bremen, Alemania y muri el 3 de enero de 1927 enGttingen, Alemania


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( ) ( ) 10 BhFAhFtYhtY ++=+ (35)donde:

( )( )01

0

,

,

QhFYPhtFF

YtFF

++=

= (36)

Las constantes,A, B, Py Qson quienes deben ser determinadas; y las cuales harn la comparacin de la

ecuacin de Runge-Kutta de Segundo Orden y las series de Taylor dada antes. Mientras que F0envuelve solola informacin ya disponible a la posicin inicial (t,Y), F1debe ser evaluada por el desarrollo de Taylor de laexpansin de F(t,Y), alrededor del punto t. Debido a que F(t,Y) es una funcin tanto de t como de y, eldesarrollo en series de Taylor de F(t,Y)puede ser escrito como

( ) ( ) ( ) ( )201 ,,, hOQhFYtFPhYtFYtFF Yt +++= (37)Esto puede ser entonces usado en la formula de Runge-Kutta por Y(t+h)para obtener:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )322 ,,,, hOYtFYtQFBhYtPFBhYthFBAtYhtF Yt +++++=+ (38)

En comparacin directa de este con la serie de Taylor de Y(t),se conoce:

2

1

2

1

1

=

=

=+

BQ

BP

BA

(39)

Entonces hay tres condiciones en las cuatros constantes tales que directamente la serie Taylor y la formula

de Runge-Kutta concuerden con el segundo orden de h.

Hay un nmero interesante de elecciones pueden ser hechas, debido a que se tiene solo tres condiciones

para las constantesA, B, Py Q. Si se seleccionaA= 1/2, se obtieneB= 1/2 y P = Q= 1, lo cual deriva en laecuacin de Runge-Kutta:

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]YthFhtFYtFtYktY ,,,2

1+++=+ (40)

Lo cual es solo el mtodo de Heun encontrado fcilmente.

La eleccin deA= 0, hace queB= 1, y P = Q= , entonces la formula de Runge-Kutta toma la forma de:

( ) ( ) ( )

+++=+ YtFh

Yh

thFtYktY ,2

,2

(41)

El cual es un nuevo mtodo relacionado al mtodo de Euler, algunas veces llamada Mtodo de PuntoMediopor razones obvias.

2.4 Mtodo de Runge Kutta de Cuarto Orden

El esquema de Runge-Kutta de segundo orden ha ilustrado la derivacin de un simple, y lo ha relacionadocon los esquemas de integracin. Los esquemas de ms alto orden de Runge-Kutta son ms prcticos parausarse debido a su ms alta precisin, y la derivacin de sus constantes son similar, pero ms complicado. Sise considera el esquema de Runge-Kutta de cuarto orden, que puede ser escrito de la siguiente forma:


12/16



12

Soloparaserempleado




443322111 KwKwKwKwYY jj ++++=+ (42)donde las w1, w2, w3, yw4, son lospesos, y K1, K2, K3, y K4, son h veces las aproximaciones de la

pendientes a los puntos del intervalo y vienen dados por:

( )( )( )36251434

231223

1112

1

,

,

,

,

KbKbKbYhathFK

KbKbYhathFK

KbYhathFK

YthFK

jj

jj

jj

jj

++++=

+++=

++==

(43)

Donde las a1, y las b1, son constantes que hay que ser determinadas. Usando tcnicas similares a las

usadas en el mtodo de Runge-Kutta de Segundo Orden, pero trabajando en cuarto orden h, se puede mostrarque hay 11 ecuaciones h a ser satisfechas por 13 constantes.

La eleccin mas frecuentemente usada de las constantes para obtener el esquema es:

( )43211 2261

KKKKYY jj ++++=+ (44)

donde:

( )

( )33

23

12

1

,

2,

2

2,

2

,

KYhthFK

Kh

Yh

thFK

Kh

Yh

thFK

YthFK

jj

jj

jj

jj

++=

++=

++=

=

(45)

La pendiente efectiva usada es la media de los pesos de la pendiente de cuatro diferentes puntos en el

intervalo, con el valor de Y usado a puntos sucesivamente de dos aproximaciones de medio punto. Los pesos

son

6

1,

6

2,

6

2,

6

1tales que los valores de los dos puntos intermedios contribuyen dominantemente al valor de

la pendiente efectiva.

Formalmente la solucin de la ecuacin diferencialy=F(t,y),puede ser escrita en trminos de la integralcomo:

( ) ( ) ( )( )+=1

0

,01t

tdttytFtyty (46)

La integral puede ser aproximada por la Regla de 1/3 de Simpson, usando dos intervalos, cada uno delongitud h/2, entonces:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )1100 ,,4,6

,1

0

tytFytFtytFh

dttytF midmidt

t++ (47)


13/16

Captulo II


13



Se puede elegir F(t0, y(t0))para ser K1, y F(t1, y(t1))para ser K4, mientras que F(tmid, y(tmid))puede ser elpromedio de K2y K3. Con esas identificaciones, se puede entender que la formula de Runge-Kutta puede serobtenido aproximadamente como resultado de la integracin por la regla de Simpson.

Una versin del meto de Runge-Kutta de cuarto orden puede ser derivada, empleando la regla de 3/8 de

Simpson, y se expresa como:

( )

( )3214

213

12

1

,

3

1

3

1,

3

2

3

1,

3

,

KKKYhthFK

KKYh

thFK

KYh

thFK

YthFK

jj

jj

jj

jj

+++++=

++++=

++=

=

(40)

( )43211 4338

1KKKKYY jj ++++=+ (41)

Un aspecto importante que se ha de considerar es la estabilidad del procedimiento numrico. Lainestabilidad surge cuando cualquier error que se haya producido (por ejemplo debido a redondeo), produceuna solucin no deseada de la ecuacin diferencial; la cual entonces crece ms rpidamente que la solucinrequerida, rebasndola eventualmente.

Los mtodo de Runge-Kutta estn sujetos a dos tipos de errores: el error de truncamiento y el deestabilidad. El error de truncamiento se debe a la discrepancia entre el desarrollo de Taylor del mtodonumrico y la solucin exacta. El tamao del error decrece al aumentar el orden del mtodo. Por otro lado, lainestabilidad es un efecto acumulado del error local, de forma que el error de la solucin crece sin limite alavanzar los intervalos de tiempo.

2.5 RESUMEN DE MTODOS NUMRICOS PARA EDO 1ERORDEN

Para emprender la solucin del problema de Cauchy:

( )

( )( )

( )

==

==

00

,

ytty

ytFdt

tdyty

con t[a,b]

Tmese:

n

tth n 0=

hjttj += 0 donde: t0= a, tn= byj= 1, 2, 3, ..., n

Mtodo de Euler Simple, hacia Adelante:

=

+=+

00

1

yY

hFYY jj

(22)(23)

Mtodo de Euler Modificado o de Heun:

( )

( ) ( )[ ]

=

++=

+=

+++

+

00

111

1

~,,

2

,~

yY

YtFYtFh

YY

YthFYY

jjjjjj

jjjj

(30)


14/16



14

Soloparaserempleado




Mtodo de Runge-Kutta 2

doOrden:

( )( )

[ ]

++=

+=

=

+ 211

12

1

2

1

,

,

KKYY

KYthFK

YthFK

jj

jj

jj

(41)

Mtodo de Runge-Kutta de 3erOrden:

( )

( )

[ ]

+++=

++=

++=

=

+ 3211

213

12

1

46

1

2,

2,

2

,

KKKYY

KKYhthFK

KY

hthFK

YthFK

jj

jj

jj

jj

Mtodo de Runge-Kutta de 4er

Orden:

Regla 1/3 Simpson: ( )

( )

++=

++=

++=

=

33

23

12

1

,

2,

2

2,

2

,

KYhthFK

Kh

Yh

thFK

Kh

Yh

thFK

YthFK

jj

jj

jj

jj

(45)

( )43211 226

1KKKKYY jj ++++=+ (44)

Regla 3/8 Simpson:

( )

( )

+++++=

++++=

++=

=

3214

213

12

1

,

3

1

3

1,

3

2

31,

3

,

KKKYhthFK

KKYh

thFK

KYhthFK

YthFK

jj

jj

jj

jj

(40)

( )43211 4338

1KKKKYY jj ++++=+ (41)

2.6 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior

Los mtodos numricos estudiados hasta los momentos: Euler, Heun, Runge-Kutta, etc. Son propiciospara emprender la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Pero estos mtodospueden ser elevados para trabajar con ecuaciones diferenciales de ms alto grado; esto es posible escribiendola expresin explicita de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con un conjuntocompleto de condiciones iniciales.

Considere la siguiente ecuacin:


15/16

Captulo II


15



=

1

1

2

2

,,,,,n

n

n

n

dt

yd

dt

yd

dt

dyytF

dt

ydK (42)

Donde en t = t0, donde son conocidos los valores de y, dy/dt, d2y/dt

2, ,.., dy

n/dt

n.

Ahora bien, si se procede a realizar un cambio de variable haciendo:

=

=

=

=

1

1

1

2

2

2

1

0

n

n

ndt

ydx

dt

ydx

dt

dyx

yx

M

(43)

Entonces se puede expresar el siguiente esto como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinariaslineales de primer orden.

( )

=

=

=

==

2210

1

1

2

32

21

10

,,,,, nn

nn

xxxxtFx

xx

xx

xx

xx

K

M (44)

Este cambio de variables permite partir de una ecuacin diferencial ordinaria de orden n, en un sistema denecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

En notacin vectorial se puede rescribir este problema en una forma ms sencilla. Sea:

=

=

1

1

2

2

1

2

1

0

n

n

n

dt

yd

dt

yddt

dyy

Y

Y

Y

Y

MM

Y (43)

entonces:

( )

( )

=

=

121

1

3

2

1

1

2

2

1

0

,,,

,

n

n

n

n

YYYtF

Y

Y

Y

Y

t

Y

Y

Y

Y

Y

K

MMYFY (44)


16/16



16

Soloparaserempleado




Bajo el esquema anterior, el problema de una ecuacin diferencial de orden superior puede ser reducido aun problema de Cauchy en forma vectorial:

( ) ( )

( )==

=

00

,

YY

YFY

tt

ttcon t[a,b]

donde:

=

1

2

1

0

nY

Y

Y

Y

M

Y (43)

El problema,puede ser atacada con cualquiera delos mtodos numricos ya antes mencionados.

2.7

Referencias de Consulta

Charles C. Dyer and Peter S. S (2000). An Elementary Introduction to Scientific Computing 1. Universityof Toronto at Scarborough. Division of Physical Sciences.

http://pathfinder.scar.utoronto.ca/~dyer/csca57/book_P/book.html

ecuaciones dife

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