ecuatii diferentiale de ordin superiormath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms i_slides_ecuatii... ·...

Forma generala si problema CauchyEcuatii diferentiale liniare de ordin superior

Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti

Ecuatii diferentiale de ordin superior





1 Forma generala si problema Cauchy

2 Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior

3 Ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti




Forma generala si problema Cauchy




Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul n este

F (t , x , x ′, x ′′ . . . x (n)) = 0 (1.1)

unde t este variabila independenta, x = x(t) este functia

necunoscuta, iar x (k)(t) =d (k)xdt(k)

este derivata sa de ordin

k , k ∈ {1,2, . . . ,n}. F este o functie reala data, definita pe undomeniu din Rn+2.




In anumite situatii (date de teorema functiilor implicite) ecuatia(1.1) se poate scrie sub forma

x (n) = f (t , x , x ′, . . . , x (n−1)) (1.2)

unde f : D → R, D ⊂ Rn+1 este o functie continua.

Definitia 1.1

Numim solutie a ecuatiei (1.2) pe un interval [ a,b ] ⊆ R ofunctie x = x(t) derivabila de n ori pe [ a,b ] si care verificaidentic (1.2) pe [ a,b ], adica

x (n)(t) = f (t , x(t), x ′(t), . . . , x (n−1)(t)), ∀ t ∈ [ a,b ].




Problema Cauchy

pentru ecuatia (1.2) consta ın determinarea acelei solutiix = x(t) care satisface conditiile initiale

x(t0) = x0x ′(t0) = x0,1x ′′(t0) = x0,2. . . . . .

x (n−1)(t0) = x0,n−1,

(1.3)

unde (t0, x0, x0,1, . . . , x0,n−1) ∈ D.




Torema de existenta si unicitate

Teorema 1.1

∆ = {(t , x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn+1; |t−t0| ≤ a, |x1−x0| ≤ b, . . . , |xn−x0,n−1| ≤ b}

f : ∆→ R functie continua pe ∆. Daca exista L > 0 astfel ıncat

|f (t , x1, x2, . . . , xn)−f (t , y1, y2, . . . , yn)| ≤ L max{|xi−yi |; 1 ≤ i ≤ n}

pentru toti (t , x1, x2, . . . , xn), (t , y1, y2, . . . , yn) ∈ ∆, atunciproblema Cauchy (1.2), (1.3) admite o solutie unica x = x(t)

definita pe intervalul [ t0 − δ, t0 + δ ] unde δ = min{a, bM} si

M = sup{|f (t , x1, x2, . . . , xn)|; (t , x1, x2, . . . , xn) ∈ ∆}. �




Ecuatii diferentiale liniare de ordin superior




Forma generala a ecuatiei liniare de ordinul n

x (n) + a1(t)x (n−1) + . . .+ an−1(t)x ′ + an(t)x = f (t) (2.1)

unde ai , i = 1, . . . ,n si f sunt functii date continue pe intervalul[ a,b ].Daca f (t) = 0, ∀t ∈ [ a,b ] atunci ecuatia se numeste omogenasi este de forma

x (n) + a1(t)x (n−1) + . . .+ an−1(t)x ′ + an(t)x = 0. (2.2)

In caz contrar ecuatia se numeste neomogena.




Teorema 2.1

Multimea solutiilor ecuatiei diferentiale liniare de ordin nomogena este subspatiu liniar ın Cn[ a,b ].




Sa notam S spatiul liniar al solutiilor ecuatiei omogene (2.2).Elementele x1, x2, . . . , xp ∈ S se numesc(i) liniar dependente daca exista constanteleC1,C2, . . . ,Cp ∈ R nu toate nule astfel ıncat

C1x1 + C2x2 + . . .+ Cpxp = 0.

(ii) liniar independente daca nu sunt liniar dependente, adicadin

C1x1+C2x2+. . .+Cpxp = 0 rezulta C1 = C2 = . . . = Cp = 0.




Teorema 2.2

Multimea solutiilor ecuatiei diferentiale liniare de ordin nomogena este spatiu liniar de dimensiune n.




Definitia 2.1

Se numeste sistem fundamental de solutii ale ecuatieidiferentiale liniare si omogene (2.2) oricare n solutii liniarindependente, adica oricare n solutii ce formeaza baza ınspatiul S.

Daca x1, x2, . . . , xn ∈ S este un sistem fundamental de solutiipentru ecuatia omogena, atunci orice alta solutie se scrie ca ocombinatie liniara a acestora si atunci solutia generala aecuatiei diferentiale liniare si omogene (2.2) este

x = C1x1 + C2x2 + . . .+ Cnxn, C1,C2, . . . ,Cn ∈ R. (2.3)




Definitia 2.2

Fie x1, x2, . . . , xn n solutii oarecare ale ecuatiei liniare siomogene (2.2). Determinantul

W [x1, x2, . . . , xn](t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣x1(t) x2(t) . . . xn(t)x ′1(t) x ′2(t) . . . x ′n(t). . . . . . . . . . . .

x (n−1)1 (t) x (n−1)

2 (t) . . . x (n−1)n (t)

∣∣∣∣∣∣∣∣(2.4)

se numeste wronskianul functiilor x1, x2, . . . , xn ın punctul t,sau determinantul lui Wronski.




Teorema lui Liouville

Teorema 2.3

(Liouville) Fie x1, x2, . . . , xn ∈ S solutii oarecare ale ecuatieiliniare si omogene (2.2). Atunci pentru orice t0 ∈ [ a,b ] are loc

W (t) = W (t0)e−

∫ t

t0a1(τ)dτ

, ∀ t ∈ [ a,b ]. (2.5)

Daca wronskianul se anuleaza ıntr-un punct t0 ∈ [ a,b ], atunciW este identic nul pe [ a,b ].




Teorema 2.4

Fie x1, x2, . . . , xn solutii ale ecuatiei liniare omogene (2.2).Atunci x1, x2, . . . , xn formeaza sistem fundamental de solutiidaca si numai daca

W (t) 6= 0

pentru orice t ∈ [ a,b ] (echivalent pentru un t0 ∈ [ a,b ]).




Teorema 2.5

Daca x este o solutie particulara a ecua tiei neomogene (2.1) si{x1, x2, . . . , xn} este un sistem fundamental de solutii aleecuatiei omogene asociate (2.2) atunci solutia generala aecuatiei neomogene (2.1) este

x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + . . .+ Cnxn(t) + x(t), t ∈ [ a,b ] (2.6)

unde C1,C2, . . . ,Cn sunt constante reale arbitrare.




Metoda variatiei constantelor

pentru determinarea unei solutii particulare a ecuatieineomogene (2.1)

x(t) = K1(t)x1(t) + K2(t)x2(t) + . . .+ Kn(t)xn(t) (2.7)

unde {x1, x2, . . . , xn} este un sistem fundamental de solutii aleecuatiei omogene asociate (2.2), iar K1,K2, . . . ,Kn sunt functiinecunoscute ce urmeaza a fi determinate. Deoarece functiileK1,K2, . . . ,Kn sunt supuse la o singura conditie, ca functia x saverifice ecuatia (2.1), vom introduce n − 1 relatii ıntreK ′1,K

′2, . . . ,K

′n, astfel alese ca ın calculul derivatelor

x ′, x ′′, . . . , x (n−1) care se face cu ajutorul membrului al doileadin (2.7), sa nu figureze derivatele functiilor K1,K2, . . . ,Kn.




Aceste ecuatii suntK ′1x1 + K ′2x2 + . . .+ K ′nxn = 0K ′1x ′1 + K ′2x ′2 + . . .+ K ′nx ′n = 0. . . . . . . . . . . . . . .

K ′1x (n−2)1 + K ′2x (n−2)

2 + . . .+ K ′nx (n−2)n = 0.

(2.8)




Determinantul acestui sistem este chiar wronski-anulW [x1, x2, . . . , xn] 6= 0 deci sistemul admite solutie unica. Prinrezolvarea algebrica a acestuia se gasesc functiileK ′1,K

′2, . . . ,K

′n. Apoi, prin integrari, se determina functiile

K1,K2, . . . ,Kn si se scrie solutia particulara x folosind formula(2.7).




i. ecuatia omogena

x (n) + a1x (n−1) + . . .+ an−1x ′ + anx = 0 (3.1)

ii. ecuatia neomogena

x (n) + a1x (n−1) + . . .+ an−1x ′ + anx = f (t) (3.2)

unde ai ∈ R, i = 1, . . . ,n iar f este functie continua pe intervalul[ a,b ].




Metoda de integrare a ecuatiei omogene (3.1) a fost data primadata de L. Euler si se bazeaza pe urma toarea identitate

L(eλt ) = eλtP(λ) (3.3)

unde L este operatorul diferential

L(x) = x (n) + a1x (n−1) + . . .+ an−1x ′ + anx ,

definit pe multimea functiilor de clasa C n(R), iar P estepolinomul caracteristic

P(λ) = λn + a1λn−1 + . . .+ an−1λ+ an. (3.4)

Solutiile ecuatiei caracteristice P(λ) = 0 adica

λn + a1λn−1 + . . .+ an−1λ+ an = 0 (3.5)

se numesc radacini caracteristice.Ecuatii diferentiale de ordin superior



Daca λ1, . . . , λn ∈ R distincte sunt radacinile caracteristiceatunci functiile

eλ1t , eλ2t , . . . , eλnt

sunt liniar independente.In aceasta situatie forma generala a solutiei ecuatiei omogeneeste

x(t) = C1eλ1t + C2eλ2t + . . .+ Cneλnt . (3.6)




Teorema 3.1

Fie λ1, λ2, . . . , λp radacinile ecuatiei caracteristice (3.5), demultiplicitati k1, k2, . . . , kp, k1 + k2 + . . .+ kp = n. Atunciurmatorul sistem de functii este sistem fundamental de solutiipentru ecuatia omogena (3.1)

eλ1t , teλ1t , t2eλ1t , . . . , tk1−1eλ1t

eλ2t , teλ2t , t2eλ2t , . . . , tk2−1eλ2t

. . . , . . . , . . . , . . . , . . .

eλp t , teλp t , t2eλp t , . . . , tkp−1eλp t ,

(3.7)

iar solutia generala a ecuatiei omogene este combinatie liniara,cu coeficienti reali, a functiilor din tabloul (3.7).




Daca λ = α± jβ (j2 = −1) sunt radacini caracteristice complexconjugate de multiplicitate k fiecare, atunci ın tabloul sistemuluifundamental de solutii vom considera functiile

eαt cosβt , eαt sinβtteαt cosβt , teαt sinβtt2eαt cosβt , t2eαt sinβt. . . , . . .

tk−1eαt cosβt , tk−1eαt sinβt .

(3.8)




Pentru determinarea solutiei generale a ecuatiei neomogene(3.2).Daca x este o solutie particulara a ecua tiei neomogene (3.2) si{x1, x2, . . . , xn} este un sistem fundamental de solutii aleecuatiei omogene asociate (3.1) atunci solutia generala aecuatiei neomogene (3.2) este

x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + . . .+ Cnxn(t) + x(t), t ∈ [ a,b ] (3.9)

unde C1,C2, . . . ,Cn sunt constante reale arbitrare.




Pentru determinarea solutiei particulare x putem folosi unadintre urmatoerele metode:[I] metoda variatiei constantelor cand se cauta x de forma

x(t) = K1(t)x1(t) + K2(t)x2(t) + . . .+ Kn(t)xn(t) (3.10)

unde functiile K1,K2, . . . ,Kn sunt functii necunoscute ale carorderivate sunt solutii pentru sistemul variatiei constantelor

K ′1x1 + K ′2x2 + . . .+ K ′nxn = 0K ′1x ′1 + K ′2x ′2 + . . .+ K ′nx ′n = 0. . . . . . . . . . . . . . .

K ′1x (n−2)1 + K ′2x (n−2)

2 + . . .+ K ′nx (n−2)n = 0

K ′1x (n−1)1 + K ′2x (n−1)

2 + . . .+ K ′nx (n−1)n = f (t).

(3.11)




[II] metoda coeficientilor nedeterminati, cand solutiaparticulara x se alege dupa forma termenului liber f (t) ınurmatoarele situatii:1. daca f (t) = P(t), P este un polinom de gradul m, atunci sealege x de forma

x(t) = t` ·Q(t) (3.12)

unde Q este un polinom cu coeficienti nedeterminatigrad (Q) = grad (P) iar ` este ordinul de multiplicitate alradacinii λ = 0 ın ecuatia caracteristica. Daca λ = 0 nu esteradacina caracteristica se ia ` = 0.




2. daca f (t) = eatP(t), P este un polinom de gradul m, atuncise alege x de forma

x(t) = t` · eat ·Q(t) (3.13)

unde Q este un polinom cu coeficienti nedeterminatigrad (Q) = grad (P) iar ` este ordinul de multiplicitate alradacinii λ = a ın ecuatia caracteristica. Daca λ = a nu esteradacina caracteristica se ia ` = 0.




3. daca f (t) = P1(t) cos(bt) + P2(t) sin(bt), atunci se alege xde forma

x(t) = t` · [Q1(t) cos(bt) + Q2(t) sin(bt)] (3.14)

unde ` este ordinul de multiplicitate al radacinii λ = ±jb ınecuatia caracteristica, iar

grad (Q1) = grad (Q2) = max{grad (P1), grad (P2)}.

Daca λ = ±ib nu este radacina caracteristica se ia ` = 0.




4. daca f (t) = eat [P1(t) cos(bt) + P2(t) sin(bt)], atunci sealege x de forma

x(t) = t` · eat · [Q1(t) cos(bt) + Q2(t) sin(bt)] (3.15)

unde ` este ordinul de multiplicitate al radacinii λ = a± jb ınecuatia caracteristica, iar

grad (Q1) = grad (Q2) = max{grad (P1), grad (P2)}.

Daca λ = a± ib nu este radacina caracteristica se ia ` = 0.




Exemplul 3.1Sa se determine solutiile generale ale ecuatiilor:1. x ′′ + x = t2 + t ,2. x ′′′ − 3x ′′ = 18t + 12,3. x ′′ − x = tet

4. x ′′ − 7x ′ + 6x = 37 sin t ,5. x ′′ + 4x = t sin 2t6. x ′′ + 2x ′ + 2x = te−t + e−t cos t .




Ecuatii Euler - Cauchy

Sunt ecuatiile de forma

tnx (n) + a1tn−1x (n−1) + . . .+ an−1tx ′ + anx = 0 (3.16)

unde ai ∈ R, i = 1,n.Daca t > 0 facem schimbarea de variabila independenta

t = es (3.17)

Daca t < 0 notam t = −es.




Au loc imediat formulele de derivare

x ′ =dxds· ds

dt=

dxds· 1

es =dxds· 1

t⇒ tx ′ = x

x ′′ =d2xds2 ·

1t2 −

dxds· 1

t2 ⇒ t2x ′′ = x − x .

Procedeul continua. Prin ınlocuire ın ecuatie se obtine oecuatie cu coeficienti constanti.




Exemplul 3.2Sa determinam solutia ecuatiei

t3x ′′′ + 2t2x ′′ + 2x = 0.


ecuatii diferentiale de ordin superiormath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms i_slides_ecuatii... ·...

Documents