ecuatii neliniare

ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. (http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmin)

ECUATII NELINIARE PE R

1. CONSIDERATII GENERALE

Se vor studia urmatoarele probleme:

1. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma f(x)=02. Radacinile unei ecuatii neliniare de forma x=g(x)

Notatie: O radacina se va nota cu α, 0)( ====αf

2. METODA DE REZOLVARE

Radacinile se vor gasi printr-un proces iterativ: se construieste un sir x0, x1, ..., xn

convergent spre radacina cautata α ( α→→→→nx ).

Termenii acetui sir reprezinta aproximatii ale radacinii si se vor numi iterate. Metoda cere

una sau mai multe aproximatii initiale ale radacinii, aceste aproximatii se vor presupune

cunoscute. Aceste aproximatii se gasesc prin metode algebrice. De exemplu stabilind

intervale care contin radacinile, prin inspectarea graficului functiei f.

2.1 Analiza metodei

Analiza metodei trebuie sa dea raspuns la urmatoarele probleme:

1. Daca procesul iterativ este convergent.

2. Daca iteratia converge, care este rapiditatea convergentei.

3. Care este eroarea radacinii calculate.

4. Aprecierea eficientei metodei.

Detalieri:

Problemele (1) si (2): In majoritatea metodelor convergenta este asigurata daca

aproximatia initiala este suficient de apropiata de radacina, in putine cazuri iteratia

converge independent de aproximatia initiala.


(3) Presupunind ca iteratia converge, eroarea radacinii depinde numai de precizia utilizata

in calcule (numarul de cifre din reprezentaeea numerelor). Altfel spus precizia radacinii

este determinata de eroarea de rotunjire dintr-un singur pas al iteratiei.

(4) Eficienta se masoara in numarul de calcule (pasi) necesare pentru a obtine radacina cu

o precizie data si anume:

• Pentru metodele care converg independent de aproximatia initiala, eficienta

este data de rapiditatea convergentei.

• Pentru metodele care depind de aproximatia initiala, daca nu se cunoaste o

aproximatie buna a radacinii se aplica un procedeu care converge independent

de aproximatia initiala determinind astfel o aproximatie initiala, dupa care se

trece la o metoda rapid convergenta.

2.2 Ordin de convergenta

Definitia 1:

Fie sirul de iterate (((( )))) 0≥≥≥≥nnx si presupunem ca sirul este convergent spre numarul α,

α→→→→nx . Daca exsista un numar real p, 1, ≥≥≥≥∈∈∈∈∃∃∃∃ pp R si exista un numar c pozitiv

pentru orice numar natural n ( 0,0 ≥≥≥≥∀∀∀∀>>>>∃∃∃∃ nc ) astfel incit:p

nn xcx −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα 1 (1)

atunci se zice ca sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx converge catre α, cu ordinul p. Constanta c se numeste

rata convergentei.

In general ordinul p si rata c sunt indicatori de viteza a convergentei sirului (((( )))) 0≥≥≥≥nnx spre

radacina α.

Observatie: Pentru p=1,2,3 convergenta se zice liniara, patratica si cubica respectiv.

Teorema: Cazul p=1. Convergenta liniara

Daca 10, <<<<<<<<∃∃∃∃ cc astfel incit 0≥≥≥≥∀∀∀∀ n

nn xcx −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα 1 (2)

atunci sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx converge liniar catre numarul α.


Demonstratie:

In baza relatiei (2) avem succesiv pentru n=0,1,2,...

nn

nn

xcx

xcx

xcx

xcx

−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−

++++

−−−−

αα

αα

αα

αα

1

1

12

01

... (3)

Inmultind membru cu membru in relatiile (3) obtinem:

01 xcx nn −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αα (4)

Cum 10 <<<<<<<< c rezulta ca 0→→→→nc si prin urmare 01 →→→→−−−− ++++nxα sau α→→→→nx .

Observatii:

• Pentru convergenta conditia suficienta (2) trebuie sa aiba loc cu c<1 strict.

Aceasta nu este necesar pentru p>1.

• Daca c<1 sirul converge independent de 0x−−−−α , deci independent de x0. Aceasta

nu are loc pentru p>1.

3. RADACINILE UNEI ECUATII NELINIARE DE FORMA f(x)=0

Pentru metodele numerice ce urmeaza vom presupune ca α este radacina simpla. Cazul

radacinilor multiple se vor trata ulterior.

3.1 Metoda bisectiei

Ipoteze

Presupune ca functia f este continua pe intervalul compact [[[[ ]]]]ba, si luind valori de semne

opuse la capetele intervalului:

(((( )))) (((( )))) 0<<<<⋅⋅⋅⋅ bfaf (5)

In aceste conditii rezulta ca ecuatia f(x)=0 are cel putin o radacina in (a,b). Vom

presupune in continuare ca exista o singura radacina α in interiorul acestui interval

(((( ))))ba,∈∈∈∈α .


Metoda

Metoda consta in injumatatirea succesiva a intervalului si considerarea la fiecare pas a

sub-intervalului in care conditia (5) este indeplinita.

Sub-intervalul, in

obtinind intervale

opreste cind lung

si un n umar limit

Algoritmul metod

Fig.1. Metoda bisectiei

care se afla radacina, este luat ca interval "[a,b]" si procesul continua

de lungime din ce in ce mai mica, care contin radacina. Procesul se

imea intervalului este mai mica decit o toleranta data. Uzual se prescrie

a de iteratii.

ei

f-numele functieia,b capetele intervaluluiεεεε-toleranta de calcullnit-numarul limita e iteratii(itrare)/numarul efectiv deiteratii (iesire).rad-radacina calculatakod-cod incheiere a iteratiei

1. Initializeaza contorul de iteratii: iter=02. Incrementeaza contorul: iter=iter+13. Defineste c=(a+b)/24. Testeaza numarul de iteratii: daca iter>lnit, atunci

pune rad=c, lnit=iter, kod=1 si IESIRE.5. Daca b-c≤ε atunci: Pune rad=c, lnit=iter, IESIRE.

ALTFELDaca sign(f(b)f(c)(<0 atunci: pune a=cALTFELb=c

6. GOTO 2

(b-a)/2

y=f(x)

b a

f(b)

f(a)

c


Convergenta

Metoda construieste sirul de iterate (puncte) c1,c2,..., cn,... (Fig.2).

Observind ca la fi

rezulta:

Rezulta ca −−−− ncα

Observatie: In co

Din relatia (7) s

absoluta mai mica

Avantaj: Eroarea

Dezavantaj: Conv

Fig.2. Studiul convergentei in metoda bisectiei.

ecare pas (iteratie) avem:

2jj

j

abc

−−−−≤≤≤≤−−−−α (6)

(((( ))))ababc

abc

abc

n

nn −−−−

====−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−

21

2

...2

2

22

1

α

α

α

(7)

0→→→→ sau ca α→→→→nc cind ∞∞∞∞→→→→n .

nformitate cu definitia 1, zicem ca bisectia converge liniar cu rata 1/2.

e poate deduce numarul de iteratii sufucient pentru a avea o eroare

decit o toleranta de calcul data (ε).

ε≤≤≤≤−−−−nab

2⇒

−−−−≥≥≥≥ε

abn 2log (8)

descreste monoton cu fiecare pas.

ergenta este inceata.

α-c1

c3

c2

(b-a)/2

y=f(x)

b a

f(b)

f(a)

c1 α


3.2 Metoda falsei pozitii (Regula FALSI)

Ipoteze: Aceleasi ca si in metoda bisectiei.

Metoda

Se ia ca aproximatie a radacinii, intersectia cu axa x a dreptei care uneste punctele

(a,f(a)), (b,f(b)). Se considera intervalul in care f ia valori de semne opuse si se continua

procedeul.

Formula metod

Intersectind dr

cu dreapta de e

Convergenta:

Metoda constru

• Metoda con

• Rata conve

Fig.3. Regula FALSI

ei:

eapta de ecuatie:

(((( ))))bxab

afbfbfy −−−−−−−−−−−−====−−−−

)()()( (9)

cuatie y=0 (axa x) si punind x=c rezulta:

(((( ))))abafbf

bfbc −−−−−−−−

−−−−====)()(

)( (10)

ieste siul c1,c2,..., cn,... (Fig.3). Se arata ca:

verge liniar, in ipoteza ca exista derivatele f' si f'' continue pe [a,b].

rgentei depinde atit de f cit si de alegerea intervalului [a,b].

c2 c1 α

y=f(x)

b a

f(b)

f(a)


Dezavantaje:

Sirul ci se apropie de α dintr-o singura parte (a sau b ramin aceleasi la fiecare pas).

Testul de eroare poate fi inadecvat: eroarea c−−−−α se inlocuieste cu ii cc −−−−++++1 , care poate

fi mult mai mare sau mult mai mic decit eroarea.

Observatie: Metoda inlocuieste graficul functiei f, in vecinatatea radacinii cu o linie

dreapta.

3.3 Metoda secantei

Ipoteze

Se cunosc doua aproximatii initiale ale radacinii, x0 si x1. Ele pot incadra radacina, sau

pot fi de aceeasi parte a radacinii.

Metoda

Graficul lui f se inlocuieste cu o linie dreapta si anume secanta prin punctele (x0, f(x0)) si

(x1, f(x1)). Intersectia secantei cu axa x va fi punctul x2. La pasul urmator se continua

procesul, luind ca aproximatii x1 si x2.

Observatie: In ipoteza ca x0 si x1 incadreaza radacina, daca s-ar lua ca aproximatii x0 si x1

s-ar obtine regula FALSI.

Fig.4. Metoda secantei.

x3 x2 α

y=f(x)

x1 x0

f(x1)

f(x0)


Formula metodei

Printr-un calcul analog cu cel de la regula FALSI cu a=x0, b=x1 si c=x2 se obtine:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))01

01112 xfxf

xxxfxx

−−−−−−−−

−−−−==== (11)

sau in general:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) datexxnxfxf

xxxfxx

nn

nnnnn 10

1

11 ,,1, ≥≥≥≥

−−−−−−−−

−−−−====−−−−

−−−−++++ (12)

Convergenta

Metoda construieste sirul de iterate x0, x1, x2,...,xn-1,xn,xn+1,...(Fig.4).

Teorema

Daca:

1. Functia f este continua si exista derivatele de ordinul 1 si 2 (f', f'') continue pe o

vecinatate a lui α,

2. (((( )))) 0' ≠≠≠≠αf

3. x0 si x1 sunt suficient de apropiate de α,

Atunci

(a) Sirul α→→→→nx

(b) Ordinul de convergenta este 618.12

51≈≈≈≈

++++====p

Demosntratie:

Demonstratia se bazeaza pe urmatoarea evaluare:

(((( )))) (((( ))))(((( ))))11 '2)(''

++++++++ −−−−−−−−−−−−====−−−− nnn

nn xx

ff

x ααξη

α (13)

in care ξn si ηn sunt intr-o vecinatate curenta a radacinii α, care contine pe xn-1 si xn. Fie

aceasta vecinatate si [[[[ ]]]]εαεα ++++−−−−==== ,I .

Notam

)('min2

)(''max

xf

xfM

I

I==== (14)

M exista conform ipotezei (1). Rezulta atunci ca:


11 −−−−++++ −−−−−−−−≤≤≤≤−−−− nnn xxMx ααα (15)

sau notind cu nn xe −−−−==== α avem:

11 −−−−++++ ≤≤≤≤ nnn eMee (16)

sau, inmultind ambii termeni cu M:

))(( 11 −−−−++++ ≤≤≤≤ nnn MeMeMe (17)

Daca presupunem ca avem Me0<1 si Me1 <1 rezulta prin inductie ca Men<1. Relatia (17)

arata cit de "aproape" de α trebuie sa fie x0 si x1 si anume:

Mx

Mx

1

1

1

0

<<<<−−−−

<<<<−−−−

α

α (18)

Observatii asupra metodei secantei:

Avantaje: metoda cere numai o evaluare a lui f(x) la un pas si anumke f(xn), intrucit f(xn-

1) este calculat la pasul anterior si poate fi stocat. Convergenta este mult mai rapida decit

a metodelor anterioare la care p=1. Trei pasi ai metodei secantei au un ordin de

convergenta de (1.618)3≅ 4.2, adica echivalenta cu doi pasi ai unei metode patratice 22=4.

Dezavantaje: Metoda nu converge daca x0 si x1 nu sunt suficient de apropiati de α.

Fractiile )()( 1

1

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

nn

nn

xfxfxx pot da valori imprecise datorita pierderii de semnificatie la

numarator si la numitor, pentru n mare, cind xn si xn-1 au valori apropiate.

3.4 Metoda Newton

Ipoteze

1. f continua , f',f'' continue pe o vecinatate a radacinii cautate α. Se presupune

cunoscuta o aproximatie initiala a radacinii x0

2. f'(α)≠0

Metoda:


Graficul functiei f se inlocuieste cu tangenta la graficul functiei in x0 (aproximatia initiala-

presupusa cunoscuta), intersectia tangentei cu axa x este luata ca aproximatie urmatoare

x1 a radacinii. Procedeul continua cu x1 astfel determinat.

====−−−−

yy

Formula met

Sirul de iterat

Convergenta

Dezvoltind in

Fig.5. Metoda Newton

(((( )))) (((( ))))⋅⋅⋅⋅−−−−====0

')( 000 xfxxxf⇒

(((( ))))(((( ))))0

001 ' xf

xfxx −−−−==== (19)

odei

e (((( )))) 0≥≥≥≥nnx se obtine in baza urmatoarei relatii de recurenta:

(((( ))))(((( ))))n

nnn xf

xfxx

'1 −−−−====++++ , n≥0, x0 cunoscut (20)

serie Taylor functia f in vecinatatea radacinii cautate α obtinem:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))n

n

fx

xfxxf

x

fxx

xfxxxfxf

ξαα

α

ξ

''!2

'0

''!2

'

20

000

20

000

−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++====

⇒⇒⇒⇒

====

−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++====

(21)

x0 x2 x1

y=f(x)

α


Explicitind pe α din al II-lea termen se obtine:

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))0

20

0

00 '2

''' xf

fx

xfxf

x n

⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−−−−−====

ξαα (22)

si prin generalizare:

(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) nnn

nn

n

nn x

xff

xxfxf

x <<<<<<<<⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−−−−−==== ξαξαα ,'2

'''

2 (23)

si tinind seama de relatia de recurenta (20) rezulta:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) nn

n

nnn xn

xff

xx <<<<<<<<≥≥≥≥⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−====−−−− ++++ ξαξαα ;0,'2

''21 (24)

Observatie-Studiul de convergenta:

Relatia (24) exprima eroarea iteratiei de ordinul (n+1) in functie de eroarea iteratiei de

ordin (n).

Teorema

Fie α o radacina a ecuatiei (((( )))) 0====xf .

Daca:

1. f,f',f'' sunt functii continue pe o vecinatate a radacinii α, {{{{ }}}}εα <<<<−−−−==== xxI

2. f'(α)≠0

3. x0 (aproximatia initiala) este aleasa suficient de aproape de radacina cautata α.

Atunci:

a) Iteratele xn definite de relatia (20) se regasesc in I

b) Sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx converge spre α

c) ordinul de convergenta este p=2

d) (((( ))))(((( ))))(((( ))))αα

αα

'2''lim 2

1

ff

xx

n

n

n−−−−====

−−−−−−−− ++++

∞∞∞∞→→→→

Estimarea erorii

Aplicind formula cresterilor finite a lui Lagrange obtinem:


(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( )))) nn

n

n

n

nn

nnn xxxfxf

fxf

xf

xfxff−−−−====−−−−≈≈≈≈−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

====−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−

++++1''0)('

ξα

ααξα

(25)

Astfel pentru n "mare" (xn apropiat de α):

nnn xxx −−−−≈≈≈≈−−−− ++++1α (26)

Prin urmare testul de convergenta εα <<<<−−−− nx poate fi inlocuit cu ε<<<<−−−−++++ nn xx 1 .

Comparatia metodei Newton cu metoda secantei

Criteriul de comparatie va fi timpul de calcul necesar pentru gasirea radacinii cu o

toleranta data. Metoda Newton face mai multe calcule pe un pas: se evalueaza (((( ))))xf si

(((( ))))xf ' . Metoda secantei evalueaza numai (((( ))))xf , presupunind ca (((( ))))anteriorxf este stocat.

Metoda Newton cere mai putine iteratii, ordinul ei este pN=2. Metoda secantei are ordinul

de convergenta pS=1.618 si trei pasi ai metodei sunt echivalenti cu 2 pasi ai metodei

Newton. Se arata ca (Isaacson&Keller) daca timpul de calcul al lui (((( ))))xf ' este mai mare

decit 0.44*timpul de calcul al lui (((( ))))xf metoda secantei este mai rapida.

Observatie:

Timpul de calcul nu este unicul criteriu in alegerea metodei. Metoda Newton prezinta

avantajul simplitatii in aplicare. Daca (((( ))))xf nu este cunoscuta explicit (de exemplu ea

este solutia unei ecuatii diferentiale integrate numeric) atunci derivata se calculeaza

numeric. Daca luam urmatoarea expresie pentru calculul numeric al derivatei:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))1

1'−−−−

−−−−

−−−−−−−−

≈≈≈≈nn

nn

xxxfxf

xf (27)

atunci metoda Newton se reduce la metoda secantei.

4. RADACINILE UNEI ECUATII DE FORMA X=G(X). METODA PUNCTULUI

FIX.

Consideram rezolvarea unei ecuatii de forma:


)(xgx ==== (28)

Radacina α a ecuatiei se numeste punctul fix al aplicatiei g: (((( ))))αα g==== .

Metoda punctului fix (iteratia de punct fix) consta in construirea sirului:

(((( )))) (((( ))))radaciniiainitialaaaproximatidatxnxgx nn −−−−≥≥≥≥====++++ 01 ;0, (29)

Daca functia g satisface conditiile:

1. aplica un compact RC ⊂⊂⊂⊂ in el insusi,

2. aplicatia este contractanta

atunci pentru orice Cx ∈∈∈∈0 sirul (((( )))) 0≥≥≥≥nnx definit de relatia (29) converge catre punctul fix

C∈∈∈∈α al aplicatiei g. In plus, punctul fix este unic in C.

4.1 Teoreme de punct fix

Teorema 1. (Lema)

Fie [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]babag ,,: →→→→ , continua pe [[[[ ]]]]ba, . Atunci g are cel putinb un punct fix in [[[[ ]]]]ba, .

Observatie: Conditia [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]babag ,,: →→→→ este esentiala. Explicit aceasta inseamna:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( ))))baxgbax ,,, ∈∈∈∈∈∈∈∈∀∀∀∀ sau (((( )))) bxga ≤≤≤≤≤≤≤≤ (30)

Demonstratie:

y

Fig.6.

b

a

g(a)

g(b)

x a b

y=g(x)

α

y=x


Se considera functia continua

(((( )))) (((( )))) xxgxG −−−−==== (31)

In ipotezele teoremei avem:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) 0

0≤≤≤≤−−−−====≥≥≥≥−−−−====

bbgbGaagaG

(32)

Rezula astfel ca ecuatia G(x)=0 are cel putin o radacina in intervalul [a, b].

Observatie: Geometric, a rezolva ecuatia x=g(x) revine la a gasi intersectia graficului

functiei g cu prima bisectoare.

Teorema 2. Aplicatie contractanta.

Daca

1. [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]babag ,,: →→→→ , g este continua pe [a, b].

2. 10, <<<<<<<<∃∃∃∃ λλ astfel incit:

[[[[ ]]]]baxx ,', ∈∈∈∈∀∀∀∀ , (((( )))) (((( )))) '' xxxgxg −−−−≤≤≤≤−−−− λ

Atunci

a) Ecuatia )(xgx ==== are o solutie unica [[[[ ]]]]ba,∈∈∈∈α .

b) [[[[ ]]]]bax ,0 ∈∈∈∈∀∀∀∀ sirul )(1 nn xgx ====++++ converge catre α, ordinul de convergenta este p=1.

c) .0,1 01 ≥≥≥≥∀∀∀∀−−−−−−−−

≤≤≤≤−−−− nxxxn

n λλα

Observatie: Ipoteza 2 inseamna ca functia g verifica conditia lui Lipschitz cu constanta

λ<1. Rezulta ca:

[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) '',,', xxxgxgbaxx −−−−≤≤≤≤−−−−∈∈∈∈∀∀∀∀ (33)

adica aplicatia g este contractanta.

Demonstratie


(a) Conform Teoremei 1, ecutia x=g(x) are cel putin o solutie in [a,b]. Demonstram prin

contradictie ca solutia este unica. Presupunem ca exista doua solutii α si β, α≠β:

(((( ))))(((( ))))ββαα

gg

========

(34)

Avem:

(((( )))) (((( )))) βαλβαβα −−−−≤≤≤≤−−−−====−−−− gg (35)

Cum 10 ≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒≠≠≠≠−−−− λβα care contrazice ipoteza 2 ( )1<<<<λ .

(b) Aratam ca avem relatia:

0xx nn −−−−≤≤≤≤−−−− αλα (36)

de unde cu 0→→→→nλ , rezulta ca 0→→→→−−−− nxα sau α→→→→nx .

Intr-adevar, avem succesiv:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) 001

221

11

...xxggx

xxggx

xxggx

nnn

nnn

−−−−≤≤≤≤−−−−====−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−====−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−====−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

αλαα

αλαα

αλαα

(37)

Inmultind membru cu membru rezulta relatia (36). Pe de alta parte relatia (37) arata ca

ordinul de convergenta este p=1 si rata convergentei este λ.

(c) Verificam inegalitatea pentru n=0.

Tinind cont ca (((( ))))αα g==== , (((( ))))01 xgx ==== si 0110 xxxx −−−−++++−−−−====−−−− αα avem:

0100110 xxxxxxx −−−−++++−−−−≤≤≤≤−−−−++++−−−−≤≤≤≤−−−− αλαα (38)

de unde rezulta:

010 11 xxx −−−−−−−−

≤≤≤≤−−−−λ

α (39)

Avem apoi:

pentru n=1:

0101 1xxxx −−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−

λλαλα (40)

pentru n=2:


01

2

12 1xxxx −−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−

λλαλα (41)

Concluzia (c) rezulta prin inductie.

Cazul g derivabila.

Verificarea conditiei Lipschitz este, in general, dificila. Vom considera in continuare

cazul in care g este derivabila pe [a,b]. In acest caz, teorema cresterilor finite conduce la:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( ))))''' xxgxgxg −−−−====−−−− ξ (42)

Daca derivata g'(x) este marginita:

(((( )))) [[[[ ]]]]baxxg ,,' ∈∈∈∈≤≤≤≤ λ (43)

rezulta ca

(((( )))) (((( )))) '' xxxgxg −−−−≤≤≤≤−−−− λ (44)

Este suficient sa avem λ<1 pentru ca ipoteza 2 sa fie realizata.

Teorema 2'

Daca

1. [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]babag ,,: →→→→ , g este continua pe [a, b].

2'. [[[[ ]]]]bax ,∈∈∈∈∀∀∀∀ , 1)(' <<<<≤≤≤≤ λxg

Atunci

Concluziile (a), (b) si (c) din Teorema 2 sunt adevarate.

Observatie asupra conditiei 2'

Daca constanta λ din 2' nu este <1 nu au loc concluziile (a)-(c). In particular, daca

(((( )))) 1' >>>>αg , atunci avem pe o vecinatate a lui α:

(((( )))) (((( )))) Ixxg ====++++−−−−∈∈∈∈>>>> ραρα ,,1'

Cu x0∈ I sirul )(1 nn xgx ====++++ NU CONVERGE. Intr-adevar cu Ixn ∈∈∈∈ avem:

(((( ))))nnn xgx −−−−====−−−− ++++ αξα )('1 unde nξ este situat intre α si xn. Conform ipotezei rezulta:

01 ... xxx nn −−−−>>>>>>>>−−−−>>>>−−−− ++++ ααα


In consecinta nu putem avea φα <<<<−−−− ++++1nx si deci (((( )))) 0≥≥≥≥nnx nu converge.

4.2. Interpretarea geometrica a metodei punctului fix

Geometric, rezolvarea ecuatiei x=g(x) revine la intersectia graficului lui g, y=g(x) cu

prima bisectoare y=x. In figurile 7 si 8 este prezentat cazul convergentei 1)(' <<<<xg . In

figurile 9 si 10 este prezentat cazul divergenetei 1)(' >>>>xg .

y

Fig. 7. Convergenta: 1)('0 <<<<<<<< xg x1 x x0

y=g(x)

α

y=x

x2

y

Fig. 8. Convergenta: 0)('1 <<<<<<<<−−−− xg

x2 x1 x x0

y=g(x)

α

y=x


4.3 Evaluarea erori

In general, eroarea it

dintre iterata cure

nnn xxx −−−−≈≈≈≈−−−− ++++++++ 11α .

y

Fig. 9. Divergenta: 1)(' −−−−<<<<xg

x0 x2 x1 x

y=g(x)

α

y=x

y

Fig. 10. Divergenta: 1)(' >>>>xg

i in metoda punctului fix

eratei xn+1 , 1++++−−−− nxα se exprima in functie de nn xx −−−−++++1 , adica diferenta

nta si iterata anetrioara. De exemplu in metoda Newton

In metoda punctului fix, aceasta nu mai este valabila. Consideram

x1 x x0

y=g(x)

α

y=x

x2


iteratia de punct fix, in care functia g satisface conditiile din Teorema 2 sau 2'. Avem

urmatoarele evaluari:

(((( )))) (((( ))))

nnnn

nnnnnnn

xxxxxxxggxxxx

−−−−++++−−−−≤≤≤≤−−−−−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−====−−−−

++++

++++++++++++

1

111

αλαααα

(45)

Apoi cu

nn xx −−−−≤≤≤≤−−−− ++++ αλα 1 (46)

rezulta

nnn xxx −−−−−−−−

≤≤≤≤−−−− ++++++++ 11 1 λλα (47)

Astfel pentru a determina radacina cu o eroare ε prescrisa εα ≤≤≤≤−−−− ++++1nx este suficient a

lua:

ελλ ≤≤≤≤−−−−−−−− ++++ nn xx 11

(48)

adica

XTOLxx nn ====−−−−≤≤≤≤−−−−++++ ελλ1

1 (49)

4.4 Proceduri explicite de punct fix

Definirea problemei

Se cere rezolvarea ecuatiei f(x)=0 in intervalul [a,b], prin metoda punctului fix, adica

transformarea ecuatiei f(x)=0 intr-o ecuatie echivalenta de forma x=g(x). O astfel de

transformare va fi numita procedura explicita de punct fix.

4.3.1 Proceduri

Propozitia 1

Fie (((( ))))xΦ orice functie definita pe [a,b] continua si care nu se anuleaza pe [a,b]. Atunci

definind:

(((( )))) )()( xfxxxg ⋅⋅⋅⋅−−−−==== Φ (50)

ecuatia x=g(x) are aceleasi radacini ca si ecuatia f(x)=0 si u are alte radacini in [a,b].


Propozitia 2

Fie F(x) orice functie continua, cu proprietatile F(0)=0 si y≠0⇒F(y) ≠0. Atunci definind

(((( )))) ))(( xfFxxg −−−−==== (51)

concluzia din Propozitia 1 are loc.

Exemplificare

Cea mai simpla alegere a lui (((( ))))xΦ in propozitia 1 este (((( ))))xΦ =constant:

(((( )))) 0, ≠≠≠≠==== mmxΦ (52)

Cu aceasta rezulta

(((( )))) (((( ))))xfmxxg ⋅⋅⋅⋅−−−−==== (53)

Presupunem ca f este derivabila, avem:

(((( )))) (((( ))))xfmxg '1' ⋅⋅⋅⋅−−−−==== (54)

Conditia de convergenta este ca intr-o vecinatate a lui α, sa avem:

(((( )))) 1' <<<<xg (55)

care conduce la

1)('11 <<<<⋅⋅⋅⋅−−−−<<<<−−−− xfm (56)

Se va presupune ca 0)(' ≠≠≠≠αf , rezulta ca

1. m trebuie sa aiba acelasi semn cu f'(x).

2. Daca f'(x)>0 trebuie ca:

)('20

xfm <<<<<<<< (57)

3. Daca f'(x)<0 trebuie ca

)('20

xfm

−−−−−−−−>>>>>>>> (58)

Interpretare geometrica

Schema de iterare este:

)(1 nnn xfmxx ⋅⋅⋅⋅−−−−====++++ (59)

sau generic


)( 001 xfmxx ⋅⋅⋅⋅−−−−==== (60)

x1 este intersectia axei x cu dreapta dusa prin punctul (x0, f(x0)) de panta 1/m.

Observatie: (m-optim)

Pentru o convergenta mai rapisa vom cere ca (((( )))) 0' ≈≈≈≈αg ceea ce conduce la

(((( ))))α'1

fm ≈≈≈≈ (61)

Intrucit α nu este cunoscut, vom lua )('

1

0xfmopt ==== presupunind ca x0 este apropiat de α.

5. EXTRAPOLARE

Extrapolarea (accele

sir care converge lin

pentru accelerarea co

ordinul 1.

y=x/m y

Fig.11. Proceduri explicite de puncte fix.

A AITKEN

rarea) Aitken este un procedeu pentru accelerarea convergentei unui

iar, oricare ar fi procesul care genereaza sirul. Procedeul va fi aplicat

nvergentei iteratiei de punct fix in cazul in care convergenta este de

α x2 x1 x x0

y=f(x)


Presupunem ca sirul )(1 nn xgx ====++++ converge catre α si Cx

x

n

n

n====

−−−−−−−− ++++

∞∞∞∞→→→→ αα 1lim , C este

constanta erorii asimptotice. In particular daca g este derivabila si cu derivata continua,

)(' αgC ==== . Presupunem atunci ca de la un anumit n, de exemplu n≥N1 avem:

11 , NnC

xx

n

n ≥≥≥≥≈≈≈≈−−−−−−−− ++++

αα

Avem atunci urmatoarea relatie:

n

n

n

n

xx

xx

−−−−−−−−

====−−−−−−−− ++++

++++

++++

αα

αα 1

1

2 (62)

Rezolvam in raport cu α, de exemplu prin sir de rapoarte egale:

nn

nn

n

n

n

n

xxxx

xx

xx

−−−−−−−−

====−−−−−−−−

====−−−−−−−−

++++

++++++++++++

++++

++++

1

121

1

2

αα

αα

(63)

)()(

)(

112

1

112

1

nnnn

nn

nn

n

nn

n

xxxxxx

xxx

xxx

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

====−−−−−−−−

====−−−−−−−−

++++++++++++

++++

++++++++++++

++++ αα (64)

de unde rezulta:

)()(

)(

112

21

nnnn

nnn xxxx

xxx

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−====++++++++++++

++++α (65)

Asa, cum s-a remarcat egalitatea anterioara este aproximativa depinzind de satisfacerea

relatiei (62). Notind:

)()(

)(

112

21

2,nnnn

nnnnn xxxx

xxxa

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−====++++++++++++

++++++++ (66)

rezulta ca 2, ++++nna este o aproximatie a radacinii 2, ++++≈≈≈≈ nnaα . Procesul iterativ va fi atunci

urmatorul:

2,31211

5,364534

2,031201

0

);();(...

);();();();(

++++++++++++++++−−−−++++ ============

========================

−−−−

nnnnnnn axxgxxgx

axxgxxgxaxxgxxgx

datx

(67)

Observatii:


1. Aproximatia 2, ++++nna a radacinii, va fi mult mai buna decit )( 12 ++++++++ ==== nn xgx . Gradul de

aproximatie a lui 2, ++++nna depinde numai de gradul de satisfacere a relatiei (62). Nu si de

marimea lui C.

2. Fie o functie f data prin tabelul valorilor in punctele kx (obisnuit alese echdistante).

Definim diferenta inainte a functiei f, in xn, prin:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))nnn xfxfxf −−−−==== ++++1∆ (68)

si diferenta de ordinul 2 prin:

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))nnnnnn xfxfxfxfxfxf −−−−−−−−−−−−======== ++++++++++++ 1122 ∆∆∆ (69)

Punind (((( )))) kk xxf ==== rezulta:

)()( 1122

1

nnnnn

nnn

xxxxxxxx

−−−−−−−−−−−−====

−−−−====

++++++++++++

++++

∆

∆ (70)

Cu aceasta formula (66) se scrie:

n

nnnn x

xxa 2

2

2,)(

∆∆

−−−−====++++ (71)

ecuatii neliniare

Documents