SISTEME DE ECUATII LINIARE

SUMAR1.NOTIUNI INTRUDUCTIVE

2.METODE DE REZOLVARE

2.1.METODA CRAMMER

2.2.METODA GAUSS

2.3 Metoda combinatiilor liniare(metoda reducerii)

2.4 Metoda substituiei

2.5 Metoda matricii inverse

3.INFORMATII EXCEL

4.APLICATIE

5.BIBLIOGRAFIE

Sistme de ecuatii liniare

Se numestesistem de ecuatii liniareun sistem de forma:

Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice cu m linii si n coloane:

numitamatricea coeficientilor sistemuluisau, mai simplu,matricea sistemului.Matricea cu m linii si n+1 coloane

care se obtine adaugand la coloanele matricei A coloana termenilor liberi se numestematricea extinsaa sistemului.Un sistem de numere

se numeste solutie a sistemului (1), daca inlocuind necunoscutele x1, x2, .,xnrespectiv prin aceste numere, toate ecuatiile sistemului sunt verificate, adica

Un sistem de ecuatii liniare care are cel putin o solutie se numestecompatibil. Un sistem compatibil se numestedeterminatdaca are o singura solutie, si se numestenedeterminatdaca are mai mult de o solutie.

A rezolva un sistem liniar inseamna a decide daca acesta este compatibil sau incompatibil, iar in cazul compatibilitatii, a-i gasi solutia (solutiile).Un sistem liniar se numeste omogen daca toti termenii liberi din ecuatiile sistemului sunt nuli.

Un sistem liniar omogen are intotdeauna (cel putin)solutia banala:

Metode de rezolvare

Metoda CramerAproximativ 20% de teste la metode de calcul se refer la rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare i matrici. Tema respectiv se studiaz n detalii n cursul matematicii n clasele a XI-a a XII-a de liceu. Din aceste considerente vom aminti numai noiunile de baz.

Se consider un sistem de m ecuaii liniare cu n necunoscute x1, x2, , xn, care poate fi scris astfel:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ a23x3+ + a2nxn= b2a31x1+ a32x2+ a33x3+ + a3nxn= b3 . .an1x1+ an2x2+ an3x3+ + annxn= bn

Un sistem liniar de n ecuatii cu n necunoscute,cu matricea coeficintilor sistemului nesingular,se numeste sistem Cramer.Folosind metoda matricei inverse am vazut ca un astfel de sistem este compatibil determinant.Solutia sa unica se poate afla cu ajutorul formulelor lui Cramer.Daca notam cu A matricea patratica de ordinul n: (formata din coeficientii necunoscutelor sistemului)

si daca aceasta matrice este nesingulara, atunci solutia acestuia se obtine folosind formulele:

in care d=detA este determinantul matricei sistemului,iar determinantul care se obtine din d, inlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi B il notam cu:

Fie, determinantul matricei sistemului este nenul.Vom nota:

Sistemul (1) se poate rescrie sub forma unei ecuaii matriciale:AX=BEXEMPLE:

Exemple:

Pentru sistemul:

Metoda Gauss

Metoda lui Gauss,numita si metoda eliminarii partiale,foloseste transformarile elementare pentru a inlocui un sistem de forma (S) printr-un sistem triunghiular.

Definitie: Vom spune ca doua matrice A si B sunt echivalente daca asuptra lui A am efectuat operatii elementare cu linii,obtinand matricea B.

Proprietate: Daca matricele extinse a doua sisteme liniare sunt echivalente,atunci sistemele ori sunt amandoua incompatibile,ori au aceeasi solutie.

Exercitii:1.

Se observa ca ultima egalitate nu este adevarata deci sistemul este incompatibil.2.

Putem scrie sistemul:

De unde:

Se observa ca nu mai putem obtine in ultima ecuatie doar o singura necunoscuta.In acest caz,din ultima ecuatie x3=4x4-2 si daca notam x4=alfa,obtinem x3=4 alfa-2; x2=20(alfa-1); x1=7(3 alfa-4)oricare ar fi numarul alfa,deci sistemul este compatibil nedeterminat.

3.

Dupa eliminarile succesive obtinem:

Putem obtine:

1Metoda combinatiilor liniare (metoda reducerii)Fie sistemul (S):

Se formeaza doua noi ecuatii combinand liniar ecuatiile sistemului dat (S), factorii primei combinatii liniare fiind si , iar pentru cea de-a doua si . Acesti factori sunt indicati la dreapta ecuatiilor sistemului

INCLUDEPICTURE "http://www.scritube.com/files/informatica/2072_poze/image270.gif" \* MERGEFORMATINET cand se obtine un nou sistem

(S):

Atunci sistemul (S) ( (S).

Se aleg factorii si astfel incat ecuatia sa nu contina necunoscuta y ( se spune ca y se reduce). Se obtine deci o ecuatie intr-o singura necunoscuta x (Aici luam , ). Analog, se aleg factorii si astfel ca ecuatia sa nu contina necunoscuta x (se spune ca am redus pe x). Se obtine o ecuatie care contine numai necunoscuta y (Alegem , ).

Rezolvand ecuatiile () si () se obtine solutia sistemului (S).

Observatie. Trecerea de la sistemul (S) la (S) poate fi indicata sub forma ( Semnificatia scrierii fiind aceea ca se inlocuieste prima ecuatie a sistemului dat () prin combinatia liniara Exemplu. Sa se rezolve sistemul: (S):R. Formam combinatii liniare ai caror factori sunt indicati dupa bare verticale (prin primii doi factori reducem pe y, iar prin urmatorii reducem pe x) (S): Se obtine sistemul echivalent (S):sau (S):

De aici care reprezinta solutia sistemului (S).

Observatie. Daca utilizam cealalta scriere atunci avem:

Interpretarea geometrica. Se stie ca ecuatia ax+by=c reprezinta in plan o dreapta. Daca se asociaza fiecarei solutii (x,y) a ecuatiei punctul M(x,y), atunci imaginea solutiilor este o dreapta. La fel doua ecuatii de gradul intai cu doua necunoscute determina o pereche de drepte in plan si solutiile, daca exista, trebuie sa fie punctele de intersectie ale dreptelor. In cazul nostru cele doua drepte sunt concurente in punctul . Microsoft Office Excel:

Fereastra Excel are numeroase elemente comune cu ferestrele Windows, inclusiv o bara de meniuri de unde se pot selecta comenzi, o bara de stare care indica starea activitatii curente si bare cu instrumente care contin butoane si liste derulante prin care obtinem un acces rapid la comenzile si facilitatile utilizate frecvent.

In plus fereastra contine citeva elemente unice in Excel printre care: bara de formule, in cazul in care este introdusa o formula intr-o celula tot ceea ce utilizatorul scrie apare si pe bara de formule. Tot pe aceasta bara este indicata pozitia celulei.

Fereastra registrului de calcul. Orice fisier creat cu Excel este un registru de calcul care contine una sau mai multe foi de calcul. Putem deschide concomitent mai multe fisiere, registre de calcul fiecare avind propria fereastra.

Capetele de coloana Literele din partea superioara a foii de calcul, prin care sunt identificate coloanele foii de calcul.Metoda substituiei Prin aceasta metoda, dintr-o ecuatie se exprima o necunoscuta (sa spunem x) in functie de cealalta (y). Cu aceasta exprimare se inlocuieste x in cealalta ecuatie a sistemului, gasindu-se o ecuatie numai in necunoscuta y. Se rezolva aceasta ecuatie, obtinandu-se y. Cu aceasta valoare pentru y se merge in formula care da pe x si se determina x. Se verifica usor ca sistemul obtinut astfel este echivalent cu cel initial. Se alege acea necunoscuta care are exprimarea cea mai simpla.

Exemplu. (S): R. Din prima ecuatie se exprima x in functie de y si avem sistemul echivalent (S):Inlocuind x=-2-3y in a doua ecuatie avem sistemul echivalent (S):sau (S):Din a doua ecuatie a sistemului (S) iar din prima ecuatie Observatie. Aici se poate exprima din a doua ecuatie y in functie de x si avem sistemul echivalent (): Din prima ecuatie a acestui sistem iar din a doua Metoda matricii inverse

Sistemul (S): se poate scrie matricial punand (matricea sistemului (S))

(matricea necunoscutelor)

(matricea termenilor liberi)

Sub forma AX=C, (1).

Scrierea (1) reprezinta scrierea matriciala a sistemului (S).

Daca A (matricea sistemului) este inversabila ((det(A)=0) atunci in (1) inmultind la stanga cu se obtine

De aici rezulta componentele x, y ale solutiei.

Exemplu. Sa se rezolve sistemul (S): R. Matricea A a sistemului este

, iar este matricea termenilor liberi si sistemul se scrie matricial sub forma AX=C.

Cum det(A)=20 rezulta matricea A inversabila. Gasim

si Deci si x=1, .

Aplicatie:Rezolvarea sistemelor liniare in ExcelPentru rezolvarea unui sistem de ecuaii liniare de tip Cramer se pot folosi funciile MMULT

i MINVERSE aflate n biblioteca Excel astfel:

se introduc n foaia electronic de calcul matricea coeficienilori vectorul termenilor liberi;

se selecteaz zona de memorie care urmeaz s conin soluia sistemului;

n zona de editarefx se tasteaz =MMULT(MINVERSE(css:cjd);tli:tls), unde:css este colul

din stnga susicjd este colul din dreapta jos al matricei coeficienilor,tliitls sunt celulele

de nceputi sfrit ale zonei n care se alfl termenii liberi.

Exemplu. S se gseasc soluia sistemului

Se creaz foaia electronic de calcul astfel:

coloana nti conine comentarii;

zona A2-B5 conine matricea coeficienilor;

zona B2-B5 conine termenii liberi;

se selecteaz zona H2-H5i n fx se tasteaz

=MMULT(MINVERSE(A2:D5);F2:F5)

se apas simultan tastele Ctrl+Shift+Enter;

n zona H2-H5 se afieaz

soluia gAsit, iar n zona fx apare {MMULT(MINVERSE(A2:D5);F2:F5)}C s se poat aplica aceast metod trebuie ca matricea coeficienilor s fie nesingular. Solver-ul permite calculul determinantului pentru ati dac se poate aplica sau nu metoda. Pentru aceasta se folosete funcia MDETERM(css:cjd).