4. FUNCŢIA DE GRADUL II

f: |R|R, f(x)=ax2+bx+c a, b, c|R, a0.

Forma canonică: f(x)=a(x+ )2 .

Monotonie:

a>0 –“”f(x) strict descrescătoare “↘”, x(-, )

a<0 –“”f(x) strict crescătoare “↗”, x(-, )

f(x) strict crescătoare “↗ ”, x( ,) f(x) strict descrescătoare “↘ ”, x( ,)

a>0 –“”x -

a<0 –“”x -

f(x) ↘ ↗ f(x) ↗ ↘

Semn:

dacă 0 ;

dacă =0

; dacă 0

;

dacă a>0

; dacă a<0

.Intersecţia cu axele:

GfOX= ; GfOY=C( 0, c) .

Vârful parabolei:

V( , ); dacă a>0 –“”Vmin - vârf minim; dacă a<0 –“”Vmax - vârf maxim.

Grafic: graficul funcţiei de gradul II este o parabolă; dacă c=0 parabola trece prin originea axelor;

Ecuaţia de gradul II: ax2+bx+c=0 a, b, c|R, a0; =b2-4ac – discriminantul (delta);

dacă ;

relaţiile lui Francois Viète sau relaţii între rădăcini şi

coeficienţi (0): ;

formarea ecuaţiei de gradul al doilea când se cunosc rădăcinile: x2 – sx + p = 0;

descompunerea trinomului de gradul II în produs de polinoame de gradul întâi: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2);

dacă b=2b1⇒ ax2+2b1x+c=0 ⇒1=b12-ac>0, x1,x2=

- formula pe jumătate;

dacă ax2+bx+c=0 |:a0 ⇒ x2+ x+ =0, =p, =q ⇒ x2+px+q=0 – forma redusă;

discuţia naturii şi semnului rădăcinilor în funcţie de semnele lui , s şi p:

=b2-4ac Natura şi semnul rădăcinilor

0 - - x1,x2|R

=0s>0 p>0 x1,x2|R; x1=x20s<0 p>0 x1,x2|R; x1=x2<0s=0 p=0 x1,x2|R; x1=x2=0

>0

s>0p>0 x1,x2|R; x1x2, x1>0, x2>0p<0 x1,x2|R; x1x2, x1>0, x2<0, x1>|x2|p=0 x1,x2|R; x1x2, x1>0, x2=0

s<0p>0 x1,x2|R; x1x2, x1<0, x2<0p<0 x1,x2|R; x1x2, x1<0, x2>0, |x1|>x2

p=0 x1,x2|R; x1x2, x1<0, x2=0s=0 p<0 x1,x2|R; x1x2, x1>0, x2<0, x1=|x2|

Inecuaţia de gradul II: ax2+bx+c<0 a, b, c|R, a0; ax2+bx+c0 a, b, c|R, a0; ax2+bx+c0 a, b, c|R, a0; ax2+bx+c0 a, b, c|R, a0;

se rezolvă ecuaţia de gradul II ataşată, se studiază semnul pe |R utilizând semnul funcţiei de gradul II;

soluţia inecuaţiei este acel interval sau reuniune de intervale care satisface cerinţele (<, >, , ).

Sisteme de inecuaţii de gradul II: sunt sisteme formate din două sau mai multe inecuaţii de

gradul II; soluţia sistemului este intersecţia tuturor soluţiilor

inecuaţiilor din sistem.

Semnul unor expresii:

E(x)= , a1,a2,b1,b2,,c1,c2|R, a1,a20,

;

se studiază semnele funcţiilor ,

într-un tabel;

se ţine cont de faptul că o fracţie este pozitivă numărătorul şi numitorul au acelaşi semn;

se ţine cont de faptul că o fracţie este negativă numărătorul şi numitorul au semne contrare;

ţinând cont de semnele celor două funcţii se determină semnul expresiei pe |R.

Inecuaţii cu modul: |ax2+bx+c|<m a, b, c, m|R, a0; -m<ax2+bx+c<m se rezolvă ca şi sistemele de inecuaţii.

Sisteme de ecuaţii: formate dintr-o ecuaţie de gradul I şi una de gradul II cu 2 necunoscute: , se rezolvă prin metoda

substituţiei; sisteme omogene: se adună ecuaţiile

ecuaţia a doua se împarte cu x2 (respectiv y2), după care se face substituţia (respectiv ) obţinându-se o ecuaţie de

gradul II 1 sau 2 sisteme formate dintr-o ecuaţie de grad I şi una de grad II; sisteme simetrice: se notează , se utilizează identităţile: