edo capitulo02
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CAPÍTULO
2 Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de primer orden
En este capitulo desarrollaremos muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento demográfico, la
desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, las reacciones químicas, un líquido que sale
por un agujero en un tanque, la velocidad de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente
en un circuito enserie, involucran ecuaciones diferenciales de primer orden.
2.1. Trayectorias ortogonales
Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en muchas aplicaciones físicas. Por ejemplo, si
u = u(x,y) es la temperatura en un punto (x,y), entonces las curvas definidas por
u(x,y) = k (2.1)
se llaman curvas isométricas. Las trayectorias ortogonales de esta familia se llaman lineas de flujo de calor,
porque en cualquier punto dado la dirección de flujo máximo de calor es perpendicular a la isotérma que
pasa por el punto; dibujadas juntas constituyen una carta meteorológica. Si U representa la energia potencial
de un objeto que se mueve impelido por una fuerza que depende de (x,y) entonces las curvas (2.1)se lla-
man equipotenciales, y las trayectorias ortogonales se llaman lineas de fuerza; presentes en el estudio de la
electricidad y el magnetismo.
Figura 2.1: En electricidad, las lineas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales.
2.1.1. Curvas ortogonales
Recordemos que dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es −1. En
general dos curvas ζ1 y ζ2 se dice que son curvas ortogonales en un punto, si y sólo si sus rectas tangentes T1
y T2 son perpendiculares en el punto de intersección.
21
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 22
Ejemplo 2.1.1 Demuestre que las curvas definidas por ζ1 : y = lnx y ζ2 : y = − 12 x2 son ortogonales en sus
puntos de intersección.
Solución
De ζ1 : y = lnx, tenemos dydx
= 1x
y de ζ2 : y = − 12 x2 tenemos dy
dx= −x
Luego en el punto de intersección P = (0,7530,−0,2835) , se cumple
que:(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
=
(
1x
)
(−x) = −1
como las pendientes de las tangentes son cada una, la recíproca negativa
de la otra, las curvas ζ1 y ζ2.
La figura muestra que las curvas y = lnx y y =− 12 x2, son ortogonales
en su punto de intersección.
y = ln(x)
y = − 12 x2
P
Ejemplo 2.1.2 Probaremos que las curvas ζ1 : y = x y ζ2 : x2 + y2 = 4, son ortogonales en sus puntos de
intersección.
Las curvas tienen como puntos de intersección a P1 = (√
2,√
2) y
P2 = (−√
2,−√
2).
Sea m1 = 1 la pendiente de la curva ζ1 en cualquier punto de su do-
minio, y m2 = − xy
la pendiente de la curva ζ2
En el punto de intersección P1 = (√
2,√
2) tenemos que: m1 = 1 y
m2 = − xy|(√2,
√2) = −1 tales que m1.m2 = −1. Se realiza el mismo
análisis en el punto P2 y se prueba que son curvas ortogonales en cada
uno de sus puntos de intesección.
2−2
y = xx2 + y2 = 4
P1
P2
Definición 16 Cuando todas las curvas de una familia de curvas G(x,y,C1) = 0 cortan ortogonalmente a to-
das las curvas de otra familia H(x,y,C2)= 0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales
de la otra.
Ejemplo 2.1.3 Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y = C1x2.
Solución
Sea ζ1: y = C1x2,de donde tenemos(
dydx
)
ζ1) = C12x
y sea ζ2:la familia de curvas ortogonale que deseamos encontrar
Luego en un punto de intersección P , se cumple que:(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
= −1
reemplazando C1 = y
x2 , tenemos(
y
x2
)
ζ1.(2x).
(
dydx
)
ζ2= −1
(
2yx
)
.(
dydx
)
ζ2= −1, resultando la ecuación diferencial de variables
separadasdy
dx= − x
2y
Resolviendo tenemos la familia de elipses y2 = −x2
2+C2.
Ejemplo 2.1.4 La familia de rectas que pasan por el origen y = C1x y la familia de circunferencias concén-
tricas con centro en el origen x2 + y2 = C22 , son trayectorias ortogonales.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 23
Solución
De ζ1 : y = C1x, tenemos dydx
= C1
y de ζ2 : x2 + y2 = C22 tenemos 2x+2yy′ = 0 , y′ = −x/y
Luego en un punto de intersección P , se cumple que:(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
= (C1)
(−x
y
)
=(y
x
)
(−x
y
)
= −1
y = xx2 + y2 = 4
P1
P2
Ejemplo 2.1.5 Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + y2 = C1x.
Solución
Denotamos por ζ1 a la familia de curvas de x2 + y2 = C1x y ζ2 a la familia de curvas ortogonales que nos
piden.
Para ζ1 hallemos su derivada 2x+2ydy
dx= C1 de donde
dy
dx=
C1−2x
2y
pero de x2 + y2 = C1x tenemos C1 =x2 + y2
xy esto reemplazamos en
la derivada anterior de ζ1
ζ1 :dy
dx=
x2 + y2
x−2x
2y, ζ1 :
dy
dx=
y2 − x2
2xy
Ahora buscamos la familia ζ2 de curvas ortogonales a ζ1
(
dy
dx
)
ζ1
.
(
dy
dx
)
ζ2
=
(
y2 − x2
2xy
)
.
(
dy
dx
)
ζ2
= −1
de donde:(
dy
dx
)
ζ2
= − 2xy
y2 − x2
ζ1
ζ2
Resolviendo esta ecuación diferencial, tendremos la familia ζ2 de trayectorias ortogonales a ζ1.
ζ2 : (y2 − x2)dy = −2xydx
que es lo mismo
ζ2 : 2xydx+(y2 − x2)dy = 0
Notamos que esta ecuación diferencial es homogenea de grado 2. Sea x = vy, entonces dx = ydv+ vdy
ζ2 : 2(vy)y(ydv+ vdy)+(y2 − (vy)2)dy = 0
ζ2 : 2vy2(ydv+ vdy)+(y2 − v2y2)dy = 0
ζ2 : 2vy3dv+2v2y2dy+ y2dy− v2y2dy = 0
ζ2 : 2vy3dv+ v2y2dy+ y2dy = 0
ζ2 : 2vydv+ v2dy+dy = 0
ζ2 : 2vydv = −(v2 +1)dy
ζ2 :2v
(v2 +1)dv = −1
ydy
integrando
ζ2 :∫
2v
(v2 +1)dv = −
∫
1y
dy
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 24
ζ2 : ln(v2 +1) = − lny+ lnc
de donde
ζ2 : y(v2 +1) = C2
pero v = xy
ζ2 : y((x
y)2 +1) = C2
Así tenemos la familia de curvas ortogonales ζ2 : x2 + y2 = C2y a la familia de curvas ζ1 : x2 + y2 = C1x.
Familia de curvas ortogonales en coordenadas polares
La pendiente de una gráfica r = f (θ ), en coordenadas polares está dada por:
tanψ = rdθ
dr
donde ψ es el ángulo positivo (medido en sentido opuesto al reloj).
Dos curvas polares r = f1(θ ) y r = f2(θ ) son ortogonales en un punto de su intersección si y sólo si
(tan ψ)ζ1.(tanψ)ζ2
= −1
Ejemplo 2.1.6 Determine las trayectorias ortogonales de r = 2C1cos(θ )
Solución
Consideremos como ζ1 a la familia de curvas polares r = 2C1cos(θ ). Calculemos su tanψ
c1 =r
2cosθ
Cálculo de r dθdr
= tanψ1
tenemos quedr
dθ= −2C1senθ reemplazando C1 en la derivada
anterior tenemos drdθ = − r
cosθsen θ
dθ
dr= − cosθ
rsenθ
Así,
tanψ = rdθ
dr= −cosθ
senθ
Cálculo de la familia ortogonal
(tanψ)ζ1.(tanψ)ζ2
= −1
rdθ
dr.r
dθ
dr= −1
sustituyendo −rcosθ
senθ.r
dθ
dr= −1
searando las variables cosθsenθ dθ =
dr
rintegrando ln|senθ |= ln|r|+ ln|C|la familia de curvas ortogonales es: r = C2 sen θ
2
−2
2−2
ζ1
ζ2
Ejemplo 2.1.7 Determine las trayectorias ortogonales de r = c1(1− senθ )
Solución
Consideremos ζ1 a la familia de curvas polares r = c1(1− senθ ). Calculemos su tanψ derivando tenemos:
ζ1 :dr
dθ= −c1 cosθ
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.1. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 25
pero de ζ1 : r = c1(1− senθ )
derivando tenemos:
ζ1 :dr
dθ= −c1 cosθ
pero de ζ1 : r = c1(1− senθ )
c1 =r
1− senθ
reemplazando en la derivada anterior drdθ = −c1 cosθ obtenemos:
ζ1 :dr
dθ= − r
1− senθcosθ = − r cosθ
1− senθ
de donde
ζ1 :dθ
dr= −1− senθ
r cosθ
ζ1 : rdθ
dr= −1− senθ
cosθ= tan ψ
Ahora encontraremos la familia de curvas polares ζ2 ortogonales a la familia ζ1
(tanψ)ζ1.(tanψ)ζ2
= −1
(rdθ
dr)ζ1
.(rdθ
dr)ζ2
= −1
(−1− senθ
cosθ).(r
dθ
dr)ζ2
= −1
de donde:
ζ2 :r(1− senθ )
cosθ
dθ
dr= 1
resolvemos esta ecuación
ζ2 : r(1− senθ )dθ = cosθ dr
2
−2
2−2
ζ2
ζ1
separando variables
ζ2 :(1− senθ )
cosθdθ =
1r
dr
integrando
ζ2 :∫
(1− senθ )
cosθdθ =
∫
1r
dr
ζ2 : ln(sec θ + tan θ )+ ln(cosθ ) = lnr + c
ζ2 : ln(1 + senθ ) = lnr + c
de donde
ζ2 : r = c2(1 + senθ )
es la familia de curvas ortogonales a ζ1 : r = c1(1− senθ ).
2.1.2. Problemas propuestos
En los ejercicios del 01−20 obtenga las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dadas.
1. y = c1x2 Rpta: 2y2 + x2 = c2
2. y = ln(ax); a > 0 Rpta: y = − 12 x2 + c2
3. y2 = c1x3 Rpta: 2x2 +3y2 = c2
4. xy = c1 Rpta: x2 − y2 = c2
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 26
5. y = c1e−x Rpta: 12 y2 = x+ c2
6. y = c1x3 Rpta: x2 +3y2 = c2
7. c1x2 + y2 = 1 Rpta: x2 + y2 −2 lny = c2
8. y = x−1 + c1e−x Rpta: x = y−1 + c2e−y
9. x2 + y2 = c1x3 Rpta: x2y+ y3 = c2
10. x =y2
4+
c1
y2 Rpta: y2 = 2x−1 + c2e−2x
11. 3xy2 = 2 +3c1x Rpta: lny = x3 + c2
12. cosy = c1e−x Rpta: seny = c2e−x
13. y =c1x
1 + xRpta: 3x2 +3y2 + x3 = c2
14. 4y+ x2 +1 + c1e2y = 0 Rpta: y =14− 1
6x2 +
c
x4
15. r = 2c1 cosθ Rpta: r = c2senθ
16. r2 = c1sen(2θ ) Rpta: r2 = c2 cos(2θ )
17. r = c1 sec θ Rpta: r = c2 coscθ
18. r = c1eθ Rpta: r = c2e−θ
19. Encuentre una curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x+ y = c1ey que pasa por el punto (0,5) Rpta: y = 2− x+3e−x
20. Halle la familia de trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que son tangentes al eje y en
el origen Rpta: x2 + y2 = c1y
2.2. Crecimiento y decaimiento
Existen en el mundo físico, en biología, medicina, demografía, economía, etc. cantidades cuya rapidez de
crecimiento o descomposición varía en forma proporcional a la cantidad presente, es decir,
dx
dt= kx, con x(t0) = x0
o sea que es una ecuación diferencial lineal de primer orden de variables separables en x cuya solución es:
x(t) = c1ekt
como x(t0) = x0 tenemos la solución particular x(t) = x0ek(t−t0).
Si t0 = 0, la solución es x(t) = x0ekt .
Ejemplo 2.2.1 Si en un análisis de una botella de yogurt probiotico, un día después de haber sido embotel-
ladas se encuentran 500 microorganismos (bacterias) y al segundo día se encuentran 8000 microorganismos.
¿Cuál es el número de microorganismos en el momento de embotellar el yogurt ?
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 27
Solución. Dedx
dt= kx =⇒ x = c1ekt ,
siendo c1 es el número de organismos al momento de embotellar el
yogurt, es decir se tiene la condición inicial x(0) = c1.
Si t = 1 =⇒ 500 = c1ek(1) = c1ek , así tenemos que 500 = c1ek
Si t = 2 =⇒ 8000 = c1ek(2) = c1e2k , tenemos 8000 = c1e2k
De la última expresión
8000 = c1e2k = c1ekek
8000 = 500ek
de donde ek = 8000/500 = 16 y reemplazando en 500 = c1ek ⇒ 500 =
c116. Luego c1 = 500/16 = 31,25.Así al inicio habían 31 organismos
en el yogurt.
Ejemplo 2.2.2 La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población presente
en cualquier instante. Su población inicial es 500 y aumenta el 15 % en 10 años ¿Cuál será la población
pasados 30 años?.
Solución
Denotemos por A(t) la población en cualquier instante, con A(0) = 500 y A(10) = 575
t: el tiempo medido en años
k: la constante de crecimiento,
Cálculo de A(t)
dA
dt= kA
separando las variables e integrando ln(A) = kt +C
despejando A(t) = cekt
usamos el dato A(0) = 500
del cual obtenemos que C = 500,
Así A(t) = 500ekt.
Cálculo de k
con A(10) = 575
575 = 500ek(10),
de la cual se obtiene k = 0,0139761
Asi nuestro modelo es: A(t) = 500e(0,0139761)t .
Predicción: para t=30 años
A(t) = 500e(0,0139761)(30) = 760 habitantes
2468
10
−2 2−2
500
10
Ejemplo 2.2.3 Por experiencia se sabe que en una cierta población la rapidez de nacimientos y la rapidez
de muertes es proporcional al número de individuos que instantáneamente estén vivos en un momento dado.
Encuentre el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de esta población.
Solución. Sea y el número de individuos de la población.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 28
LlamemosdN
dta la rapidez de nacimientos.
LlamemosdM
dta la rapidez de muertes. Entonces:
dy
dt= (rapidez de nacimientos)-(rapidez de muertes)
dy
dt=
dN
dt− dM
dt
dy
dt= KNy−KMy
dy
y= (KN −KM)dt
lny = (KN −KM)t +C
Luego el modelo matemático del comportamiento del crecimiento de
esta población es
y = Ce(KN−KM )t.
2.2.1. Desintegración radioactiva
Entre 1900 y 1902, Rutherford y Soddy (posteriormente galardonados ambos con el premio Nobel de Quími-
ca), estudiaron la desintegración de la materia por emisión de radiactividad. Aunque existían algunos exper-
imentos previos, los resultados que obtuvieron fueron realmente revolucionarios, pues se rompía definitiva-
mente la idea de indestructibilidad de la materia.
Sea Q la cantidad de material radiactivo que se descompone con el transcurso del tiempo, el problema de
valor inicial que rige dicha descomposición se define como:
dQ
dt= −kQ; con Q(t0) = Q0
Donde k recibe el nombre de constante de desintegración radiactiva (obviamente k es positiva).
y Qo es la cantidad inicial de material radiactivo.
Cuya solución es Q(t) = Q0e−k(t−t0).
Es habitual definir en este tipo de modelos la vida media, o
“semi-vida"(a veces denotada por τ, y otras por Qt/2) de
una sustancia radiactiva como el tiempo necesario para que una
sustancia se desintegre hasta la mitad de su masa inicial Qo.
τ =1k
ln2
0,5Qo
Q0
τ
. OBSERVACIÓN:
La vida media no depende de la cantidad inicial del material. Un gramo de plutonio y una tonelada del
mismo se reducen a su mitad en el mismo tiempo.
Q(t) representa la cantidad de material radiactivo que va quedando al transcurrir el tiempo.
Ejemplo 2.2.4 Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo plutonio
239. Después de 15 años se determina que 0.043 % de la cantidad inicial Ao de plutonio se ha desintegrado.
Determine la semivida del isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 29
Solución
- Sea A(t) : La cantidad de plutonio que queda en un instante cualquiera,
- sea t: el tiempo medido en años.
- sea Ao la cantidad inicial de plutonio.
Consideremos el PVIdA
dt= −kA, sujeto a A(0) = Ao.
resolvemos el PVI separando las variables , integrando y aplicando la condición, obteniendo:
A(t) = Aoe−kt (2.2)
Cálculo de k:
Si después de 15 años se ha desintegrado el 0,043Ao lo que queda es 0,99957Ao
esto es A(15) = 0,99957Ao
con este dato calculamos k: Sustituyendo en la ecuación (2.2)
tenemos 0,99957Ao = Aoe−15k
de donde −k =ln(0,99957)
15 , k = 0,00002867
El modelo matemático es:
A(t) = Aoe−0,00002867t (2.3)
Cálculo de la semivida:
La semivida es el tiempo τ que le tomará al plutonio en desintegrar la mitad de la cantidad inicial.
Esto es A(τ) =Ao
2sustituyendo en la ecuación (2.3)
Ao
2= Aoe−0,00002867τ
12
= e−0,00002867τ
τ =ln(2)
0,00002867= 24,18 años.
Ejemplo 2.2.5 Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 11000 de la cantidad original de C14. De-
terminar la edad del fósil, sabiendo que el tiempo de vida medio del C14 es de 5600 años.
Solución. De dQdt
= −kQ , tenemos Q = c1e−kt . Considerando t = 0 =⇒ Q(0) = Q0 = c1
Asi Q(t) = Q0e−kt . Se sabe que el tiempo de vida medio del C14 es de 5600 años
Q0
2= Q0e−k(5600)
resolviendo encontramos k = 1,237762822x10−4, luego tenemos
Q(t) = Q0e−1,237762822x10−4 t
Ahora hallemos el tiempo, sabiendo que el hueso fosilizado encontrado contiene1
1000 Q0 de C14 :1
1000Q0 = Q0e−1,237762822x10−4 t
de donde t ≈ 55808,39199 años.
2.2.2. Ley de enfriamiento de Newton
Si se tiene un cuerpo a una temperatura T , y se le sumerge en un medio ambiente de temperatura To (To no
varía apreciablemente con el tiempo), el enfriamiento de este cuerpo se comporta de acuerdo a la ecuación
diferencial:dT
dt= k(T −To)
en donde k es una constante de proporcionalidad.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 30
Ejemplo 2.2.6 Un aislante de cerámica se cuece a 400C y se emfria en una habitación a una temperatura
de 25C . Después de 4 minutos la temperatura del aislante está a 200C . ¿Cuál será su temperatura
después de 8 minutos?
Solución.
- Sea T medida en (C) la temperatura marcada por el termómetro,
- sea el tiempo "t"medido en minutos.
Tenemos T = 400 cuando t = 0, y To = 25C.
De acuerdo con la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton
dT
dt= k(T −25)
resolviendo, tendremos T (t) = 25 +C1ekt
Cálculo de C1
Asi que bajo las condiciones dadas: con T (0) = 400
400 = 25 +C1ek(0)
tenemos que C1 = 375Cálculo de k
Luego tendremos T = 25 + 375ekt, y considerando t = 4
min, T = 200C
400 = 20 +375ek(4)
de donde k = 14 ln 15
7
Así tendremos la ecuación del enfriamiento
T (t) = 25 +375e2ln(15/7)
Cálculo de T cuando t = 8 min
T (8) = 25 +375( 7
15
)2= 107
así la temperatura del aislante después de 8 minutos es 107C.
400T
τ
107o
To = 25o
8
Ejemplo 2.2.7 Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300oF. Tres minutos después, su temper-
atura es de 200oF. ¿Cuánto demorará en enfriarse hasta un temperatura ambiente de 70oF.
Solución.
- Sea T medida en (F) la temperatura,
- sea el tiempo "t"medido en minutos.
Nos indican que cuando t = 0; T = 300oF , y cuando t = 3 min, T = 200F .
De acuerdo con la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton
dT
dt= k(T −70)
resolviendo por separación de variables, tendremos
T (t) = 70 +C2ekt
Cálculo de C2
Asi que bajo las condiciones dadas: con T (0) = 300
300 = 70 +C2ek(0)
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.2. CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO 31
tenemos que C2 = 230Cálculo de k
Luego tendremos T = 70 +230ekt,
y considerando t = 3 min, T = 200F
200 = 70 +230ek(3)
de donde k = −0,19018
Así tendremos la ecuación del enfriamiento
T (t) = 70 +230e−0,19018t
¿Cuánto se demorará en alcanzar la temperatura ambiente?
T (t) = 70 +230e−0,19018t = 70, ⇒ e−0,19018t = 0 ⇒ para t = +∞
así, nuestro modelo falla. Pero si construimos una pequeña tabla vere-
mos que al cabo de media hora aproximadamente la temperatura de la
torta es de 70oF .
300
T
30
To = 70o
Ejemplo 2.2.8 Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80C, se mide también la tem-
peratura del medio la cual es de 20C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra
que el termómetro marca 75C se desea predecir la lectura del termómetro a los 14 minutos.
Solución.
- Sea T medida en (C) la temperatura marcada por el termómetro,
- sea el tiempo "t"medido en minutos.
Nos indican que cuando t = 0; T = 80oC, y cuando t = 3 min, T = 75C.
De acuerdo con la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton
dT
dt= k(T −20)
resolviendo, tendremos T (t) = 20 + c1ekt
Asi que bajo las condiciones dadas: con T (0) = 80
80 = 20 + c1ek(0)
tenemos que c1 = 60Luego tendremos T = 20 +60ekt, y considerando t = 3 min.,T =
75C
75 = 20 +60ek(3)
de donde k = −0,029000379233
Así tendremos la ecuación del enfriamiento
T = 20 +60e−0,029000379233t
Cálculo de T cuando t = 14 min
T (14) = 20 +60e−0,029000379233(14) = 59,978,
así a los 14 minutos el termómetro marcará 600C.
80o
T
t
60o
To = 20o
14
2.2.3. Ley de absorción de Lambert
Esta ley dice que la tasa de absorción de luz con respecto a una profundidad x de un material translúcido (que
deja pasar la luz, pero que no deja ver nítidamente los objetos) es proporcional a la intensidad de la luz a una
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 32
profundidad x; es decir, si I es la intensidad de la luz a una profundidad x, entonces
dI
dx= −kI
donde k es la constante de proporcionalidad.
Ejemplo 2.2.9 En agua limpia la intensidad I a 3 pies bajo la superficie es de un 25 % de la intensidad I0
en la superficie. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie?.
Solución. Tenemos que la solución de dIdx
= −kI es
I = I0e−kx
donde I(0) = I0 es la intensidad en la superficie. Cuando x = 3, la intensidad es I = 0,25I0, de donde
0,25I0 = I0e−k(3)
resolviendo la ecuación k ≈ 0,4621 , entonces
I = I0e−0,4621x
Finalmente para x = 15 se tiene I(15) = I0e−0,4621(15) = I0e−6,9315 ≈ 9,7653x10−4I0.
2.3. Circuitos eléctricos
2.3.1. Circuito eléctrico L−R en serie:
De acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, si se tiene un circuito en serie que
contiene sólo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje
a través de la inductor (L didt
) y de la resistencia (iR) es igual a la tensión (E(t))
aplicada al circuito.
La EDO lineal asociada a este circuito es:
Ldi
dt+ iR = E(t)
2.3.2. Circuito eléctrico R−C en serie:De acuerdo a la segunda ley de Kirchoff, si se tiene un circuito en serie que
contiene sólo una resistencia y un capacitor, la suma de las caídas de voltaje a
través de la capacitor ( q(t)C
) y de la resistencia (iR) es igual a la tensión (E(t))
aplicada al circuito.
A q(t) se le llama carga.
La EDO lineal asociada a este circuito es:
q(t)
C+Ri = E(t)
pero, como la corriente i y la carga q están relacionadas por i = dqdt
tenemos:
Rdq
dt+
1C
q = E(t).
La corriente i(t) se llama, también, respuesta del sistema.
Ejemplo 2.3.1 Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito L−R en serie con L = 1/2 H y la resisten-
cia de 10Ω . Determine la intensidad de la corriente i(t) si la intensidad inicial es cero.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 33
Solución
Consideremos el PVI Ldi
dt+ iR = E(t) con i(0) = 0.
reemplazando los datos 0,5di
dt+10i = 12
de donde tenemos la ecuación lineal
di
dt+20i = 24
resolviendo tenemos el modelo matemático: i(t) = 65 + c1e−20t
Cálculo de c1
como i(0) = 0 sustituyendo en la última ecuación tenemos c1 = −1,2.
Modelo matemático
i(t) =65−1,2e−20t .
t
i(t)
6/5
Puesto que
lımt→+∞
i(t) = lımt→+∞
65−1,2e−20t =
65
al término 65 se le denomina término permanente, y a la expresión −1,2e−20t término transitorio, pues
tiende a desaparecer cuando transcurre mucho tiempo.
Ejemplo 2.3.2 Resuelva el PVI Ldi
dt+ iR = E(t) suponiendo que E(t) = Eosen(wt) con i(0) = io.
Resolvemos
Ldi
dt+ iR = Eosen(wt)
di
dt+
R
Li =
Eo
Lsen(wt)
el factor integrante es e∫ R
L dt = eRL t
eRL t di
dt+ e
RL t R
Li =
Eo
Lsen(wt)e
RL t
d
dt
[
eRL t .i
]
=Eo
Lsen(wt)e
RL t
integrando eRL t .i = e
RL t .i
[
R.Eosen(tw)
L2w2 +R2 − LwEocos(wt)
L2w2 + r2
]
+C
La respuesta del sistema es
i(t) =REo
L2w2 +R2 (sen(wt)−LwEocos(wt))+Ce−RL t
con i(0) = i0 tenemos
i(0) =REo
L2w2 +R2 (−LwEo))+C = io
de donde C = io +RE2
o Lw
L2w2 +R2
La respuesta del sistema es
i(t) =REo
L2w2 +R2 (sen(wt)−LwEocos(wt))+
(
io +RE2
o Lw
L2w2 +R2
)
e−RL t
Ejemplo 2.3.3 Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serie RC, donde la
resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 10−4f. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0.
Halle la corriente i(t).
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.3. CIRCUITOS ELÉCTRICOS 34
El PVI asociado es
Rdq
dt+
q
C= E(t), con q(0) = 0
reemplazando los datos 200dq
dt+
q
10−4 = 10
tenemos una ecuación linealdq
dt+50q =
12
resolviendo q(t) =1
100+Ce−50t
Cálculo de C
como q(0) = 0 sustituyendo en la última ecuación tenemos C = −1/100
Modelo matemático
La carga en el sistema es: q(t) =1
100− 1
100e−50t
La intensidad de la corriente es: i(t) =12
e−50t .
i(t)
q(t)
Ejemplo 2.3.4 Se aplica una fuerza electromotriz de 200 v a un circuito en serie RC, en que la capacitancia
es de 5x10−6 f y la resistencia es de 1000Ω. Determine la carga q(t) del capacitor , si i(0) = 0,4amp.
Halle la carga cuando t → ∞.
Solución
Consideremos la ecuacióndq
dt+
q
RC=
E
R
sustituyendo los datosdq
dt+
q
5x10−3 =15
el factor integrante es e∫ 1
5x10−3 dt= e200t
multiplicamos la integral por el factor integrante e200t dq
dt+ e200t q
5x10−3 =15
e200t
la solución de la EDO lineal es q(t) =1
100+Ce−200t
Ejemplo 2.3.5 Se aplica una fuerza electromotriz E(t) =
120, 0 ≤ t ≤ 20
0, t > 20a un circuito en serie LR,
en que la inductancia es de 20 h y la resistencia es de 2 Ω. Determine la corriente, i(t), si i(0) = 0.
Solución
a) Primero, calcularemos i1(t) para 0 ≤ t ≤ 20
Consideremos el PVI L didt
+Ri = E(t), con i(0) = 0
Sustituyendo los valores de L,R y E 20di
dt+2i = 120
reescribimosdi
dt+
110
i = 6
el factor integrante es e∫
p(t)dt = e110 t
multiplicando la edo por el factor integrante e110 t di
dt+ e
110 t 1
10i = 6e
110 t
integrando i1(t) = 60 +C1e−110 t .
Cálculo de C1
Con i(0) = 0 reemplazando en la última ecuación tenemos C1 = −60
Asi la solución parcial es
i1(t) = 60−60e−110 t . (2.4)
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 35
a) Segundo, calcularemos i2(t) para t > 20
Consideremos el PVI L didt
+Ri = 0,
Sustituyendo los valores de L y R 20di
dt+2i = 0
reescribimosdi
dt+
110
i = 0
separando las variables tenemosdi
i= − 1
10dt
la solución de la ecuación diferencial es i2(t) = C2e−110 t .
Cálculo de C2
de la ecuación (2.4)sabemos que i1(20) = 60−60e−1
10 20 = 60−60e−2
Por otra parte i1(20) = lımx→20+ i2(t).
Para i2(t) tenemos lımt→20+ i2(t) = lımt→20+ C2e−110 20 = C2e−2
de donde 60−60e−2 = C2e−2 despejando C2 = 60e2 −60. Asi la solución
parcial es
i2(t) =(
60e2 −60)
e−110 t . (2.5)
La solución del PVI es: i(t) =
60−60e−1
10 t , 0 ≤ t ≤ 20(
60e2 −60)
e−110 t , t > 20
i2(t)
i1(t)
2.4. Problema de mezclas
Ejemplo 2.4.1 Se disuelven inicialmente 50 libras (lb) de sal en un tanque que contiene 300 galones (gal)
de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto, y luego la solución adecuadamente
mezclada se bombea se bombea fuera del tanque a razón de 3gal/min. Si la concentración de la solución que
entra es de 2lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal
hay después de 50min?,¿Cuánta después de un tiempo largo?.
Solución
- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.
- Sea t el tiempo,medido en minutos.
La rapidez con que cambia A(t) está dada por
dA
dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)
dA
dt= R1 −R2
R1 =
(
3galmin
)
.
(
2lbgal
)
= 6
(
3lb
min
)
R2 =
(
3galmin
)
.
(
A lb300gal
)
=A
100
(
3lb
min
)
dA
dt= 6− A
100con la condición A(0) = 50
dA
dt+
A
100= 6 EDO lineal con p(x) =
1100
y f (x) = 6.
Solución de la EDO:
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 36
e∫
p(t)dt = e∫ 1
100 dt = e1
100 t
e1
100 t dA
dt+ e
1100 t A
100= 6e
1100 t
e1
100 t .A = 600.e1
100 t +C
A = 600 +Ce−t/100
Cálculo de C:
Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 50, de donde C = −550.
así se obtiene el modelo matemático:
A(t) = 600−550e−t/100.
¿Cuánta sal hay después de 50min?
Para t = 50 se tiene A(50) = 600−550e−50/100 = 266 lb.
¿Cuánta después de un tiempo largo?
Calculamos A cuando t → ∞, esto es:
lımt→∞
A(t) = lımt→∞
600−550e−t/100 = 600 lb.
50
600
t
A(t)
Ejemplo 2.4.2 En el ejemlo anterior.¿Qué sucede con la concentración de sal en el tanque? si la solución
adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera a una velocidad menor de 2 gal/min.
Solución
- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.
- Sea t el tiempo,medido en minutos.
dA
dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)
donde la solución se acumula con una rapidez de
(3−2)gal
min= (1)
gal
min
Después de t minutos hay 300 +(1)t galones de salmuera en el tanque y la rapidez con que la sal sale del
tanque es
R2 =
(
2galmin
)
.
(
A
300 +(1)t
lbgal
)
=2A
300 +(1)t
(
lbmin
)
Cálculo de la EDO:
dA
dt= R1 −R2
R1 =
(
3galmin
)
.
(
2lbgal
)
= 6
(
3lb
min
)
, permanece igual
dA
dt= 6− 2A
300 + tcon la condición A(0) = 50.
dA
dt+
2A
300 + t= 6 EDO lineal con p(x) =
2300 + t
y f (x) = 6.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 37
Solución de la EDO:
e∫
p(t)dt = e∫ 2
300+t dt = (300 + t)2
(300 + t)2 dA
dt+(300 + t)2 2A
300 + t= 6(300 + t)2
(300 + t)2.A = 6∫
(300 + t)2dt +C
A(t) = 2(300 + t)+C(300+ t)−2
Cálculo de C:
Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 50, de donde
C = −4,95x10−7.
así se obtiene el modelo matemático:
A(t) = 2(300 + t)− (4,95x10−7)(300 + t)−2.
Ejemplo 2.4.3 Un tanque contiene 200 litros de un liquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal. Una
salmuera que contiene 1 gr. de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto;
la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de
gramos A(t) de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.
Solución
- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.
- Sea t el tiempo,medido en minutos.
La rapidez con que cambia A(t) está dada por
dA
dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)
dA
dt= R1 −R2
R1 =
(
4lt
min
)
.(
1grlt
)
= 4( gr
min
)
R2 =
(
4lt
min
)
.
(
A gr200lt
)
=A
50
( grmin
)
dA
dt= 4− A
50con la condición A(0) = 30
dA
dt+
A
50= 4 EDO lineal con p(x) =
150
y f (x) = 4.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 38
Solución de la EDO:
e∫
p(t)dt = e∫ 1
50 dt = e150 t
e150 t dA
dt+ e
150 t A
50= 4e
150 t
e150 t .A = 200.e
150 t +C
A = 200 +Ce−t/50
Cálculo de C:
Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 30, de donde C = −170.
así se obtiene el modelo matemático:
A(t) = 200−170e−t/50.
A(t)
30
Ejemplo 2.4.4 Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura.
Solución
- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, en el tanque.
- Sea t el tiempo,medido en minutos.
La rapidez con que cambia A(t) está dada por
dA
dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)
dA
dt= R1 −R2
R1 =
(
4lt
min
)
.(
0grlt
)
= 0( gr
min
)
R2 =
(
4lt
min
)
.
(
A gr200lt
)
=A
50
( grmin
)
dA
dt= − A
50EDO lineal con la condición A(0) = 30
Solución de la EDO por separación de variables:
∫
dA
A= −
∫
dt
50
ln(A) = − t
50+C
A(t) = Ce−t/50
Cálculo de C:
Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 30, de donde C = 30.
así se obtiene el modelo matemático:
A(t) = 30e−t/50.
A(t)
100 200
30
Ejemplo 2.4.5 Un tanque grande contiene 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal
por galón se bombea al tanque a razón de 5gal/min la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia
afuera con la misma rapidez. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.4. PROBLEMA DE MEZCLAS 39
Solución
- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, presente en la salmuera del tanque.
- Sea t el tiempo,medido en minutos.
La rapidez con que cambia A(t) está dada por
dA
dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)
dA
dt= R1 −R2
R1 =
(
5galmin
)
.
(
2lbgal
)
= 10
(
lbmin
)
R2 =
(
5galmin
)
.
(
A lb500gal
)
=A
100
(
lbmin
)
asídA
dt= 10− A
100con la condición A(0) = 0
dA
dt+
A
100= 10 EDO lineal con p(x) =
1100
y f (x) = 10.
Solución de la EDO:
e∫
p(t)dt = e∫ 1
100 dt = e1
100 t
e1
100 t dA
dt+ e
1100 t A
100= 10e
1100 t
e1
100 t .A = 1000.e1
100 t +C
A = 1000 +Ce−t/100
A(t)
Cálculo de C:
Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 0, de donde C = −1000.
así se obtiene el modelo matemático:
A(t) = 1000−1000e−t/100.
Ejemplo 2.4.6 Un tanque grande contiene 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de
sal por galón se bombea al tanque a razón de 5gal/min la solución adecuadamente mezclada se bombea
hacia afuera con un flujo de 10gal/min. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante
cualquiera. ¿Cuándo se vacia el tanque?
Solución
- A(t) es la cantidad de sal, en cualquier instante, presente en la salmuera del tanque.
- Sea t el tiempo,medido en minutos.
La rapidez con que cambia A(t) está dada por
dA
dt= (rapidez con que la solución entra)− (rapidez con que la solución sale)
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 40
dA
dt= R1 −R2
R1 =
(
5galmin
)
.
(
2lbgal
)
= 10
(
lbmin
)
R2 =
(
10galmin
)
.
(
A
500−5t
lbgal
)
=10A
500−5t
(
lbmin
)
asídA
dt= 10− 10A
500−5tcon la condición A(0) = 0
dA
dt+
10A
500−5t= 10 EDO lineal con p(x) =
10500−5t
y f (x) = 10.
Solución de la EDO:
e∫
p(t)dt = e∫ 10
500−5t dt = e−105 ln(500−5t) = (500−5t)−2
(500−5t)−2 dA
dt+(500−5t)−2 10A
500−5t= (500−5t)−2
(500−5t)−2.A =2
500−5t+C
A = 2(500−5t)+C(500−5t)2
Cálculo de C:
Cuando t = 0 tenemos que A(0) = 0, de donde C = −0,004.
así se obtiene el modelo matemático:
A(t) = 2(500−5t)−0,004(500−5t)2
¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?
lo cual es equivalente a preguntarse: ¿Cuándo se vacía el tanque?
matemáticamente buscamos A(t) = 0. Resolvemos la ecuación
(500−5t)(2−0,004(500−5t) = 0
2−2 +0,02t = 0 ∨ 500 = 5t
t = 0 ∨ t = 100min
El tanque demora en vaciarse 100 minutos.
t
A(t)
0 100
2.5. Aplicaciones a la física
La fuerza neta F sobre un cuerpo es F = mg− kv, donde m es la masa del objeto, g es la fuerza de gravedad
y kv es la fuerza debida a la resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).
Además por la segunda ley de Newton, tenemos: F = mdv
dt; reemplazando en F = mg− kv
mdv
dt= mg− kv
Ejemplo 2.5.1 Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial
de 3 m/s. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la
velocidad límite debe ser 40 m/s. Encuentre:
a) La expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t
b) La expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 41
c) La velocidad al cabo de 8 segundos
a). Caída Libre
Denotemos con y(t) el espacio recorrido en el tiempo t por un cuerpo
que cae libremente bajo la acción de la gravedad. Entonces
y′ (t) = v(t) mide la velocidad del cuerpo
y′′ (t) = a (t) mide la aceleración del cuerpo
La ley de gravitación de Newton nos dice que
y′′ (t) = g, (2.6)
donde g denota la constante de gravitación universal. De 2.6 se deduce que
y′ (t) = gt + c, (2.7)
donde c es una constante. Si suponemos que en t = 0 la velocidad del cuerpo es conocida y denotada
por y′ (0) = v0, de 2.7 obtenemos que
y′ (t) = gt + v0. (2.8)
De 2.8 integrando con respecto a t obtenemos
y(t) =gt2
2+ v0t + c, (2.9)
donde c es una constante. Si suponemos que en t = 0 la posición del cuerpo es conocida y denotada
por y(0) = y0, de 2.9 obtenemos
y(t) =gt2
2+ v0t + y0. (2.10)
La ecuación 2.10 representa la solución al Problema de Valor Inicial
y′′ (t) = g (2.11)
y′ (0) = v0
y(0) = y0.
Si en la ecuación 2.10 suponemos que v0 = 0 y por simplicidad y0 = 0 estamos ante el caso de caída
libre y tendremos, por 2.8 y 2.10 que v =√
2gy.
b). Caída con movimiento retardado.
Si suponemos que el aire ejerce una resistencia proporcional a la veloci-
dad del cuerpo de masa m la segunda ley de Newton nos dice que
my′′ (t) = mg− ky′ (t) , k > 0. (2.12)
La ecuación (2.12) la escribimos así:
y′′ (t) = g− cy′ (t) , (2.13)
donde c = km
> 0. Puesto que v(t) = y′ (t) , (2.13) toma la forma
v′ (t) = g− cv(t) . (2.14)
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 42
De (2.14) obtenemos que
−1c
ln(g− cv(t)) = t + c1,
para alguna constante c1, o también así
g− cv(t) = c2e−ct . (2.15)
Si suponemos que v(0) = 0 ( el cuerpo parte del reposo) (2.15) toma la forma
v(t) =g
c
(
1− e−ct)
. (2.16)
De (2.16) se deduce que lımt→∞ v(t) = gc, ésto es, la velocidad de caída tiende a estabilizarse.
d). Espejos parabólicos.Los espejos parabólicos tienen la siguiente propiedad:
un rayo de luz emitido desde su foco se refleja en la
dirección horizontal de su eje. Entonces α = β por la ley
de reflexión de la luz.
Veámoslo en la figura:
Además es claro que φ = β y θ = φ +α = 2β . Ahora,
tan θ =y
x(2.17)
tan2β =2 tanβ
1− tan2 β.
Puesto que tan β = dydx
de (2.17) obtenemos
y
x=
2 dydx
1−(
dydx
)2β
. (2.18)
De (2.18) obtenemosdy
dx=
−x±√
x2 + y2
y. (2.19)
La ecuación (2.19) la podemos escribir así:
±d(
x2 + y2)
2√
x2 + y2= dx. (2.20)
Integramos a ambos lados de (2.20) y obtenemos
±(
x2 + y2) = x+ c.
O también así:
x2 + y2 = x2 +2cx+ c2 . (2.21)
De (2.21) obtenemos que la solución y(x) de (2.19) satisface
y2 = 2cx+ c2,
lo cual nos indica la forma parabólica del espejo.
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 43
2.5.1. Ejercicios propuestos
1. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay 10
gramos y después de dos horas se ve que ha perdido el 5 % de su masa oroginal, halle la cantidad de
uranio después de 5 horas. Rpta: 8,781 gr.
2. En una reacción química, la sustancia M se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional
a la cantidad de M no transformada todavía. Si al inicio de la reacción había 200 gr de M y una hora
más tarde 75 gr, calcule el porcentaje de M transformada después de 2 horas. Rpta: 85,93 %
3. Sabemos que el material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada
momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material, se observó que después de 3 horas,
solamente el 80 % de la masa permanecía en ese momento. Hallar:
a) ¿Qué cantidad permanece en 5 horas? Rpta: 41,365 mg
b) ¿En qué tiempo, la cantidad del material es 1/4 de la cantidad inicial? Rpta: 18,6 horas
4. Cierto material radioactivo se desintegra a una tasa proporcional a la cantidad presente. Si actualmente
se cuenta con 300 gr del material y después de 2 años se observa que el 14 % de la masa original se ha
desintegrado, halle el tiempo necesario para que se haya desintegrado un 30 % Rpta: 4,73 años
5. Se sabe que cierto material se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si después
de una hora que el 20 % se ha desintegrado, halle la vida media del material. Rpta: 3,11 horas
6. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad existente. Si la cantidad de
cultivo se duplica en 4 horas, ¿qué cantidad puede esperarse al cabo de 12 horas, con la misma rapidez
de crecimiento? Rpta: 8 veces más
7. Gracias a cierto estudios realizados se sabe que la mosca del mediterraneo crece en proporción al
número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se forman 800 familias de
moscas y después de 5 horas se forman 2000 familias. Encuentre el número de familias que había al
inicio. Rpta: 434 familias
8. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un
momento dado en ella. Si después de 5 años la población se ha triplicado y después de 8 años la
población es de 45000 habitantes, halle el número de habitantes que había inicialmente en la ciudad.
Rpta: 7760 habitantes
9. La tasa de crecimiento de una población es proporcional al número de sus habitantes. Si después de 18
años la población se ha duplicado y después de 25 años la población es de 200000 habitantes, halle:
a) El número inicial de habitantes. Rpta: 76372 habitantes
b) ¿Cuántos habitantes tendrá dentro de 100 años? Rpta: 3588954 habitantes
10. En cierto zoológico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al número
actual de dichos animales. Si después de 5 años su número se ha duplicado y después de 7 años el
número de animales es 576, halle el número de animales con que contaba el día de la inauguración del
jardín zoológico. Rpta: 218
11. Según la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire libre es
proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28o
y la sustancia se enfria de 100o a 80o en 12 minutos. ¿En que momento estará a una temperatura de
50o? Rpta: 43,72 minutos
Ecuaciones diferenciales Rendón y García
2.5. APLICACIONES A LA FÍSICA 44
12. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3cm3/seg y sale
de él a la misma velocidad. Se sabe que el volumen del órgano es de 125 cm3 y la concentración del
medicamento que entra es de 0,2gr/cm3. ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano si
inicialmente no había vestigio alguno del medicamento?¿Cuándo la concentración será de 0,1gr/cm3?
Ecuaciones diferenciales Rendón y García