resumao edo
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Universidade Federal de Pelotas - UFPELEquaes Diferenciais OrdinriasProf. Valdecir Bottega
Reviso IntegraisIntegral Indefinida
AntiderivadaExemplo:
Qual a funo cuja derivada a funo Fx = 2x ? fx = x2 , pois ddx x2 = 2x
A funo F chamada uma antiderivada de F.Definio:
Uma antiderivada da funo f uma funo F tal queFx = fx
em todo ponto onde fx definida.Observao: Sabemos que Fx = x3 uma antiderivada de Fx = 3x2, assim como:
Gx = x3 + 1 e Hx = x3 5.Na verdade, qualquer funo do tipo Jx = x3 + C antiderivada de Fx.
Teorema:
Se Fx = fx em todo ponto do intervalo aberto I, entotoda antiderivada G , de f em I, tem a forma
Gx = Fx + Conde C uma constante.
Assim, uma nica funo tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da funo Fx chamada integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relao a x e denotada por fxdx.
fxdx = Fx + C
A operao de antidiferenciao, assim como a diferenciao, linear:
cfxdx = c fxdx (onde c uma constante)e
fx gxdx = fxdx gxdx
A integrao e a diferenciao so operaes inversas uma da outra. Este fato nos permite obterfrmulas de integrao diretamente das frmulas de diferenciao.
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FRMULAS: xndx = 1
n+1 xn+1 + C ( n 1) secx tanxdx = secx + C
dx = x + C cscxcotxdx = cscx + C
cos xdx = sinx + C sin2x + cos2x = 1
sinxdx = cos x + C 1 + tan2x = sec2x
sec2xdx = tanx + C 1 + cot2x = csc2x
csc2xdx = cotx + C
Exerccios:1) Faa os exerccios do Leithold, pg. 294, 3a edio, do no 1 at o no 21 (mpares) e do no 29 at o no 35.
Integrao por Substituio:Trabalharemos algumas tcnicas para integrar funes compostas. Essas tcnicas envolvem uma
substituio. O uso da substituio na integrao pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia nadiferenciao. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciao.
Seja a funo y = fgx com y = fu e u = gx funes diferenciveis. Para calcular y devemos utilizar aRegra da Cadeia e obteremos:
y = ddx fgx = fgx.g x = f u.u
Exemplo:Derive a funo composta y = x2 + 33 :Seja u = x2 + 3 . Ento y = u3Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos:y = 3u2.u = 3u2. x2 + 3 = 3. x2 + 32. 2x
Teorema:
Sejam f e g duas funes tais que f g e g so contnuas em um intervalo I.Se F uma antiderivada de f em I, ento:
fgxg xdx = Fgx + C
Ex.1: Calcule x2 + 14xdx: Resp: 110 x2 + 15 + C
Ex.2: Calcule cos3x + 1dx : Resp.: 13 sin3x + 1 + C
Exerccios:1:Calcule ecosx sinxdx. Resp.: ecosx + C2: Calcule cos3x + 1dx . Resp.: 13 sin3x + 1 + C3: Calcule 2x 1
x2 xdx. Resp.: ln|x2 x|+C
4: Calcule 3xx2 5
dx. Resp.: 32 ln|x2 5|+C5: Calcule e2x+1dx. Resp.: 12 e2x+1 + C
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6: Calcule xex2 dx. Resp.: 12 ex2+ C
7: Calcule tdtt + 3
Resp.: 23 t + 33 6 t + 3 + C
Integrais que resultam na funo logartmica natural:
Seja u uma funo diferencivel de x :1. 1x dx = ln|x| + C 2. 1u dx = ln|u | + C
Exemplo 1: Calcule 2x 1x2 x
dx Exemplo 2: Calcule 3xx2 5
dx
A Integral Indefinida da Funo Exponencial Natural: exdx = ex + C e eudx = eu + C
Exemplo 1: Calcule e2x+1dx :
Integrao por partes:Teorema:
Se u e v so funes de x com derivadas contnuas, entoudv = uv vdu
Ex.1: xexdx . Resp.: xex ex + C Ex. 2: x2 lnxdx . Resp.: x33 lnx x3
9 + C
OBS.: Uma integral pode necessitar de aplicaes repetidas da frmula de integrao por partes.Ex. 4: x2 sinxdx . Resp.: x2 cos x + 2x sinx + 2cos x + C
Exerccios:1) xe2xdx, 2) xex2 dx, 3) xe2xdx, 4) x3exdx, 5) x3 lnxdx6) t lnt + 1dt, 7) lnx2dx, 8) lnx2x dx.Respostas:1) e2x4 2x 1 + c, 2)
ex2
2 + c, 3) -1
4e2x2x + 1 + c, 4) exx3 3x2 + 6x 6 + c,
5) x416 4 lnx 1 + c, 6)14 2t
2 1 ln|t + 1| t2 + 2t + c,7) xlnx2 2x lnx + 2x + c, 8) lnx
3
3 + c
3
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CAPTULO 1: EQUAES DIFERENCIAIS1.1 Conceitos Bsicos
Uma equao diferencial uma equao que envolve uma funo incgnita e suas derivadas.
Exemplos:a) dydx = fx ou y
= fx y : funo incgnita, onde y = yx, ou seja, por exemplo, y = x + 3b) d2y
dx2+ 2 dydx
2= 1 y = yx
c) d3ydx3
+ x + 3 d2y
dx2+
dydx + xy = 0 y = yx
d) d2ydx2
3+ y dydx
7+ y3 dydx
2+ 5x = 0 y = yx
e) 2yt2
= c2yx2
y = yx, t
f) m d2xtdt2
= F t,xt, dxtdt (Lei de Newton)
1.1.1 Classificao:1. Tipo:
Eq, Diferencial
Eq.Diferencial Ordinria(EDO) Eq. Diferencial Parcial (EDP)
- EDO: uma equao diferencial ordinria aquela cuja funo incgnita depende de apenas uma varivelindependente.Exemplos.: a), b), c), d) e f).
- EDP: uma equao diferencial parcial aquela cuja funo incgnita depende de duas ou mais variveisindependentes.Exemplo: e).
2. Ordem: A ordem de uma equao diferencial a ordem da mais alta derivada que nela aparece.Exemplos.: a) equao diferencial de primeira ordem.
b), d), e) e f) so equaes diferenciais de segunda ordem.c) equao diferencial de terceira ordem.
Exemplos de Aplicao: Um modelo para o movimento de uma mola:
A equao diferencial ordinria que modela o movimento de um objeto de massa m preso a uma mola :m d
2xdt2
= kxonde k uma constante positiva(chamada constante da mola)
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Equao diferencial ordinria que governa o decaimento de uma substncia radioativa com o tempoR(t) (funo incgnita):
dRtdt = kRt
onde k uma constante conhecida.
3. Linearidade: Eq. Diferencial
Linear No - linear
- Linear: uma equao diferencial ordinria (EDO) de ordem n linear se puder ser escrita na forma:
a0xdnydxn + a1x
dn1ydxn1
+. . .+anxy = gx
(Definio semelhante aplica-se a EDP).
- No-linear: uma equao diferencial que no tenha a forma da equao acima dita no-linear.Exemplos.: a), c) e e) so lineares.
b) e d) so no-lineares (potncias das derivadas).
Exemplo de Aplicao:Pndulo: A equao diferencial ordinria que modela o movimento oscilatrio de um pndulo simples dada por:
d2dt2
+gl sin = 0
que uma equao no-linear (termo sin ). Faltam tcnicas gerais de soluo. Em alguns casos, possvel fazer uma aproximao do problema para equaes lineares (tcnicas desenvolvidas).
Neste exemplo, se o ngulo for pequeno, ento sin e a EDO no-linear substituda por umaequao linear:
d2dt2
+gl = 0
Observao: Existem problemas que no possvel aproximar uma equao no-linear por uma equaolinear.
1.1.2 Solues:
Uma soluo de uma equao diferencial na funo incgnita y e na varivel independente x, nointervalo I, uma funo que verifica a equao diferencial identicamente para todo x em I.
Exemplo 1: yx = C1 sin2x + C2 cos 2x soluo de y + 4y = 0 ?y x =
y x =Substituindo na EDO, verifica-se que yx satisfaz a equao diferencial para x.
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Portanto, yx soluo no intervalo ,.
Exemplo 2: yx = x2 lnx soluo de x2y 3xy + 4y = 0 , x > 0 ?y x =y x =
Exemplo 3: y = x2 1 soluo de y 4 + y2 = 1 ?A equao no admite soluo, pois y 4 + y2 sempre no negativo para todo yx real, no podendo
ser igual a -1.
Exemplo 4: y 4 + y2 = 0 , admite como nica soluo y 0 (pelo mesmo motivo do exemplo anterior).
Definio: Uma soluo particular de uma equao diferencial qualquer soluo. A soluo geral de umaequao diferencial o conjunto de todas as solues.Exemplo 5: Pode-se mostrar que yx = C1 sin2x + C2 cos 2x a soluo geral de y + 4y = 0. Isto , toda asoluo particular da ED tem esta forma. Por exemplo, so solues particulares:
y = 5 sin2x 3cos 2x C1 = 5,C2 = 3y = sin2x C1 = 1,C2 = 0y = 0 C1 = 0, C2 = 0
Observao: Nem sempre se pode expressar por uma frmula nica a soluo de uma ED.Exemplo 6: y + y2 = 0 tem como solues particulares y = 1x e y 0
1.1.3 Problemas de Valores Iniciais e de Valores no Contorno:
Uma equao diferencial acompanhada de condies adicionais sobre a funo incgnita e suasderivadas (todas no mesmo valor da varivel independente) constitui um problema de valores iniciais. Estascondies so chamadas C.I. (condies iniciais).Exemplo 1: y + 2y = ex
y = 1 , y = 2 (CI)Este um problema de valor inicial, pois as condies adicionais so dadas em x = .
Se as condies adicionais so dadas para mais de um valor da varivel independente, temos umproblema de valores no contorno e as condies so C.C. (condies de contorno).Exemplo 2: y + 2y = ex
y0 = 1 , y1 = 1 (CC)Este um problema de valor no contorno, pois as condies adicionais so dadas em x = 0 e x = 1.
Exemplo 3: Determine uma soluo do problema y + 4y = 0 onde y0 = 0 , y 0 = 1 se a soluo geral yx = C1 sin2x + C2 cos 2x
y0 =y x =y 0 =Soluo particular: yx = 12 sin2x
Soluo geral: conjunto de todas as solues (famlia de curvas)Soluo particular: soluo que satisfaz as CI ou as CC (uma nica curva)
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-4 -2 2
-0.4
-0.2
0.2
0.4
x
y
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Soluo particular: Soluo geral: .Campo de direes: d um perfil das solues dydx = fx,y coeficiente angular da soluo no ponto
x,y.
1.2 LISTA DE EXERCCIOS I1- Nos exerccios seguintes, determine:(a) a ordem da eq. diferencial. (b) o tipo EDO ou EDP.(c) a varivel independente. (d) a funo incgnita.1.1 y + xy = x2 1.2 y 3 = sinx1.3
2ux2
+ 2u
xy + 72uy2
+ 8 ux
+ 2u = sinxy
1.4 d3y
dx3+ 3 d
2ydx2
+ y = ex 1.5 d4y
dx4d3ydx3
d2ydx2
=dydx
1.6 y 2 3yy + xy = 0 1.7 x4yIV + xy = ex 1.8 dny
dxn = y2 + 1
2 - Quais, entre as funes abaixo, so solues de y 5y = 0?a) y = 5 b) y = 5x c) y = x5 d) y = e5x e) y = 2e5x f) y = 5e2x3 - Quais, entre as funes abaixo, so solues de x 4x + 4x = e t ?a) x = e t b) x = e2t c) x = e2t + e t d) x = te2t + e t e) x = e2t + te t4 - Determine os valores das constantes, de modo que as funes dadas satisfaam as condies iniciaisindicadas:4.1 yx = C1ex + C2e2x + 3e3x; y0 = 0; y 0 = 04.2 yx = C1 sinx + C2 cos x + 1; y = 0; y = 0
Respostas:1.1 (a) 1 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.2 (a) 1 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.3 (a) 2 (b) E.D.P. (c) x,y (d) ux,y1.4 (a) 3 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.5 (a) 4 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.6 (a) 2 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.7 (a) 4 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.8 (a) n (b) E.D.O. (c) y (d) xy2- (d) e (e) 3- (a), (c) e (d)4.1 C1 = 3, C2 = 6 4.2 C1 = 0, C2 = 1.
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CAPTULO 2: EDO DE PRIMEIRA ORDEM
2.1 Interpretao Geomtrica das EDOs de Primeira Ordem - Campo de Direes:
Uma EDO de primeira ordem uma equao da forma:dydx = fx,yx
A soluo desta equao uma funo y = x que pode ser representada atravs de um grfico.Geometricamente, da equao diferencial acima, podemos afirmar que, em qualquer ponto x,y, o
coeficiente angular dydx da soluo neste ponto dada por fx,y.Graficamente, podemos traar um pequeno segmento de reta, no ponto x,y, coeficiente angular fx,y.
Exemplo 1: dydx =13 y, cuja soluo exata yx = Ce
13 x
-4 -2 0 2 4
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
x
y
O conjunto dos segmentos de reta o campo de direes da EDO de primeira ordem.
2.2 Equaes a Variveis Separveis:
A forma padro de uma EDO de primeira ordem dydx = fx,y. No entanto, podemos escrever fx,ycomo
Mx,yNx,y , assim,
dydx =
Mx,yNx,y
Nx,ydy = Mx,ydx
e obtemos a forma diferencial para esta equao:Mx,ydx + Nx,ydy = 0
Exemplo 1: Escreva yyy 1 = x na forma padro e na forma diferencial:Forma padro: dydx =
x + yy2
Forma diferencial: (existem infinitas) x + yy2
dx dy = 0 ou x + ydx y2dy = 0
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Uma EDO de primeira ordem uma equao a variveis separveis se pode ser escrita como:
Mxdx + Nydy = 0
e sua soluo geral obtida via integrao:
Mxdx + Nydy = C
Exemplo 2: Determinar a soluo geral da equao dydx =x2
1 y2:
Soluo: x3 + y3 3y = CObs.: y = yx implcitamente.Exemplo 3: Determinar a soluo geral da equao dydx = 3x
2 :
Soluo: y = x3 + CObs.: dependncia explcita ( yx est isolado)Exemplo 4: Determinar a soluo geral da equao dydx = 4y :Soluo: y = Ce4x
2.3 Lista de Exerccios II1 - Escreva as seguintes equaes diferenciais na forma padro:1.1 exy + e2xy = sinx 1.2 yyy 1 = x1.3 xy + 3dx + 2x y2 + 1dy = 0 1.4 xy + cosy + y = 12 - Determine a equao da curva que passa pelo ponto P5,6, conhecendo a declividade de sua tangentenum ponto qualquer dada por: dydx =
2x3y .
3 - Resolva as seguintes equaes diferenciais:3.1 y = 5y 3.2 y = 5 x2 3.3 dbdp = 2b 3.4
dydx = sinx 3.5 xdx + ydy = 0
Respostas1.1 y = exy + ex sinx, onde fx,y = exy + ex sinx 1.2 y = x + y
y2
1.3 y = xy + 3y2 2x 1
1.4 No pode ser escrita na forma padro.
2 3y2 2x2 = 58 3.2 y = 53 x3 + c 3.3 b = Ce2p 3.4 y = cos x + c 3.5 y = k x2
2.4 Exemplo de Aplicao2.4.1 Cultura de Bactrias
Considere uma cultura de bactrias cuja taxa de crescimento populacional proporcional populaopresente. Determinar a quantidade de bactrias presentes, aps 15 horas, sabendo que aps 3 horas aquantidade inicial duplicou:
Sejam Nt o nmero (populao) de bactrias no intante t, k uma constante de proporcionalidade, N0 apopulao inicial (no instante de tempo t = 0) e dNdt , a taxa de crescimento populacional (velocidade decrescimento). Ento, a EDO dada por:
dNdt = kNt
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N0 = N0 e N3 = 2N0
A soluo desta EDO N = Aekt, substituindo as condies de contorno, determinamos A e k :
Nt = N0et ln2
3 e, em t = 15, obtemos N15 = 32N0
2.4.2 Lei do Resfriamento de Newton:A taxa de resfriamento de uma substncia numa corrente de ar proporcional diferena entre atemperatura da substncia e a temperatura do ar.
Considere a temperatura do ar 250C. Se uma substncia resfria, neste ambiente, de1000 C para 700 C,em 20 minutos, ache o intante em que a temperatura da substncia 500C.Obs.: Suponha que a temperatura da substncia homognea.
Sejam Tt a temperatura da substncia 0 C no instante t (min) e k uma constante deproporcionalidade. Ento, a EDO dada por:dTdt = kT 25
T0 = 100 e T20 = 70
A soluo desta EDO T = Aekt + 25 , substituindo as condies de contorno, encontramos A e k :
Tt = 75et
20 ln35 + 25 e, queremos encontrar t1 tal que Tt1 = 50. Substituindo na soluo, obtemos
t1 = 42,25 min, ou seja, 42 min e 15 seg.
0 20 40 60 80 100 120
40
60
80
100
x
y
Grafico da soluo da EDO.
2.4.3 Um corpo em queda livre:Um corpo em queda livre, satisfaz a segunda lei de Newton que indica que a fora lquida que aje sobre
o corpo (peso) proporcional sua acelerao.consideraes: - massa e gravidade so constantes;
- resistncia do ar proporcional velocidade v da queda;- direo positiva para baixo.
Da segunda lei do movimento de Newton, obtemos: F = m dvdt onde F a fora lquida edvdt a taxa de
variao do momento do corpo em relao a t (m constante).mg kv = m dvdt mg = m
dvdt + kv
dvdt +
km v = g Equao do movimento onde mg = W o peso do
corpo e kv a resistncia do ar. .Observao: Se k = 0 (desprezamos a resistncia do ar) a equao se reduz : dvdt = g.
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2.5 LISTA DE EXERCCIOS IIIAPLICAES1) Determinar o tempo necessrio para que uma certa quantia duplique seu valor quando aplicada jurosde 5% ao ano, continuamente acumulados.
2) Sabendo que o rdio se decompe numa razo proporcional quantidade existente e que a metade daporo original desaparece em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos.
3) Numa cultura, a quantidade de fermento ativo cresce proporcionalmente quantidade presente. Sabendoque em uma hora a poro inicial foi duplicada, qual a multiplicao que se pode esperar no final de 2 : 45horas?
4) Uma certa substncia esfria-se de 1000C a 600C, em 10 minutos. Agora, sendo a temperatura dasubstncia de 200C. Achar a temperatura da substncia depois de 40 minutos.
5) O nucldeo radioativo plutnio 241 decai de acordo com a eqao diferencial dQdt = 0,0525Q, onde Qest em miligramas e t em anos.a) Determinar a meia vida do plutnio 241.b) Se 50 mg de plutnio estiverem presentes numa atmosfera no dia de hoje, quanto plutnio existir daquia dez anos?
6) Uma bola, com massa de 0,25 kg, lanada para cima, com uma velocidade inicial de 20m/s, do terraode um edifcio com 30 m de altura. Desprezar a resistncia do ar.a) Calcular a altura mxima que a bola atinge acima do nvel do solo.b) Admitindo que a bola no caia no terrao, ao retornar, calcular o tempo que leva para atingir o solo.Respostas.1) 13,9 anos. 2) 4,23%. 3) 6,73 vezes a quantia original 4) 250C.5) a) 13,20 anos b) 29,6 mg 6) a) 50,4 m. b) 5,25 s.
2.6 Equaes Homogneas:
Uma EDO de primeira ordem, na forma dydx = fx,y homognea se flx, ly = fx,y para todo l real.
Exemplo 1: Verifique se y = x + yx homognea:fx,y = x + yx flx, ly =
lx + lylx =
lx + ylx =
x + yx = fx,y
A EDO homognea.Exemplo 2: Verifique se y = x
2 + yx3
homognea:
Resp.: A EDO no homognea.
Uma equao homognea pode ser transformada em equao a variveis separveis (que j sabemos11
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resolver), mediante a seguinte substituio de varivel:y = xdydx = + x
ddx
Obtemos, ento, uma equao diferencial nas variveis e x que resolvemos como equao a variveisseparveis. No esquea de substituir = yx no final do procedimento.
Exemplo 1: Encontre a soluo da EDO y = y + xx :J vimos que uma EDO homognea.
Faamos a substituio:y = xdydx = + x
ddx
.
A soluo geral da EDO y = x ln|x| + Cx.Exemplo 2: Encontre a soluo da EDO y = y
2 + x2xy com y1 = 2 :
Soluo:A EDO homognea e y2 = x2 lnx2 + 4x2 ou y = x2 lnx2 + 4x2Obs.: O sinal de menos garante a consistncia com a condio inicial.
Ateno: Em algumas situaes conveniente escrever a EDO original como dxdy =1
fx,y e fazer a
substituiox = ydxdy = + y
ddy
Exemplo: Resolver dydx =2xye
xy
2
y2 + y2exy
2
+ 2x2exy
2
Verifique que a EDO homognea!
A substituio conveniente x = ydxdy = + y
ddy
, pois simplifica os termos.
dxdy =
1fx,y =
y2 + y2exy
2
+ 2x2exy
2
2xyexy
2
Soluo geral: y = k 1 + exy
2
2.7 Equao Diferencial Ordinria de Primeira Ordem Exata:
Uma equao diferencial:Mx,ydx + Nx, ydy = 0
exata se existe uma funo gx,y tal que: dgx,y = Mx,ydx + Nx,ydy.Por outro lado, dgx, y = g
xdx + g
y dy
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de onde conclumos que: Mx, y = gx
e Nx,y = gy .
Da teoria de derivao, temos que 2g
xy =2gyx
x
gy =
y
gx
x
Nx,y = y Mx, y
TESTE: Uma EDO de primeira ordem, na forma diferencial exata se e, somente se,y Mx,y =
x
Nx,y
SOLUO: 1) gx,y = Mx,ydx + Yy2) g
y = Nx, y
3) Yy = Yydy4) Soluo geral gx,y = k (forma implcita)
Exemplo 1: Resolva ycos x + 2xeydx + sinx + x2ey 1dy = 0Teste: M
y = cos x + 2xey
Nx
= cos x + 2xey
1) gx,y = Mx,ydx + Yygx,y = ycos x + 2xeydx + Yygx,y = y sinx + x2ey + Yy
2) gy = Nx,y
sinx + x2ey + Yy = sinx + x2ey 1 Yy = 13) Yy = Yydy Yy = dy = y4) gx,y =y sinx + x2ey y = k soluo geral!
Exemplo 2: 3xy + y2dx + x2 + xydy = 0Exemplo 3: Resolva dydx =
2 + yexy2y xexy
Soluo geral: 2x + exy y2 = C
2.8 LISTA DE EXERCCIOS IV1) Resolva as seguintes equaes diferenciais:a) 3xy2 + 1dx + yx2 + 2dy = 0 d) v dvdt = g (g constante)b) dydx = 8xy + 3y e) y
= 1 + x + y2 + xy2
c) yy = cos2wx. (w constante) f) xyy = 2y + 12) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:a) y = xy , y1 = 2 c) dIdt + 5I = 10 , I0 = 0
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b) sin2ydx + cos2xdy = 0 , y 4 =4 d) v
dvdt = g , vt0 = v0
3) Determine as solues gerais das seguintes equaes:a) xy + y + 2x = 0 c) xy y y x3 = 0b) y = xy + x sec yx d) xy = xe
yx + y
4) Resolva as equaes:a) x + y2dy + y x2dx = 0 c) 3x2 + 2xy2dx + 2x2ydy = 0b) ex cos ydx = ex sinydy. d) 3x2y + yx dx + x3 + lnxdyRespostas:1.a) x2 + 23y2 + 1 = k. 1.b) y = ke4x2+3x. 1.c) y2 = x + sin2wx2w .1.d) v2 = 2gt + k. 1.e) arctgy = x22 + x + k. 1.f) y ln|y + 1| 2 ln|x| = k.2.a) x2 + y2 = 5 2.b) tgx cotgy = 0 2.c) It = 21 e5t 2.d) v2 2gt = v02 2gt03.a) y = cx x 3.b) y = xarcsinx + c 3.c) y = x + xc x2
12 3.d) eyx lnx = k.
4.a)yx x33 +y33 = k 4.b) e
x cos y = k 4.c) x3 + x2y2 = k 4.d) x3 + lnxy = k
2.9 Fatores Integrantes:
Normalmente, a equao diferencial Mx, ydx + Nx,ydy = 0no exata. Mas, em alguns casos, podemos transformar esta equao diferencial em exata, fazendo umamultiplicao adequada.Exemplo: Resolva y = 2xy x (no homognea) No exata.Se multiplicarmos a equao por ex2 , obtemos:
2xyex2 + xex2dx + ex2 dy = 0My = 2x e
x2 ; Nx
= ex2.2x . Assim, exata e j sabemos resolver.
Def: Uma funo Ix, y um Fator Integrante de Mx,ydx + Nx,ydy = 0 se a equao:Ix,yMx, ydx + Nx,ydy = 0
exata.
2.9.1 Mtodos para Determinao de Fatores Integrantes:
Caso 1:Fator integrante depende s de x : IxSe 1N
My
Nx
hx funo somente de x, ento Ix = e hxdx
Exemplo: Resolva x ydx dy = 0No exata, mas com hx = 1, temos Ix = ex e a EDO fica exata: exx ydx exdy = 0.Soluo geral: xex ex yex = k ou y = Cex + x 1
14
-
Caso 2:Fator integrante depende s de y : IySe 1M
My
Nx
hy funo somente de y, ento Iy = e hydy
Exemplo: Resolva ydx + 3 + 3x ydy = 0No exata, mas com hy = 2y , temos que Iy = y2 e a EDO fica exata y3dx + 3y2 + 3xy2 y3dy = 0
Soluo geral: y3x + y3 y4
4 = k
Caso 3:Fator integrante depende de x e y : Ix, ySe 1
xM yNNx
My hx,y funo de x e y, ento Ix,y = e
hvdv onde v = xy
Exemplo: y2 + xy + 1dx + x2 + 5xy + 1dy = 0No exata.Soluo geral: xexy + yexy = k
2.10 Equaes Diferenciais Lineares:
Quando podemos escrever fx, y == pxy + qx na equao diferencial dydx = fx,y, dizemos que aequao linear, ou seja,
dydx + pxy = qx
Soluo: Utilizamos o fator de integrao Ix = e pxdx.Ix dydx + Ixpxy = qxIx
e pxdx dy
dx + Ixpxy = qxe pxdx
ddx e
pxdx.y = e pxdx.qx
Integrando em relao a x:e pxdx
.y = e pxdx.qxdx
y = e pxdx. e pxdx.qxdx + C
Exemplo 1: Resolva y + 2y = ex , y0 = 0.75Fator integrante: Ix = e2xSoluo geral: y = ex + Ce2xSoluo particular: y = ex 0. 25e2xExemplo 2: Resolva y 2xy = x , y0 = 0Fator integrante: Ix = ex2
Soluo geral: y = 12 + Cex2
Soluo particular: y = 12 +12 e
x2
15
-
2.11 Equao de Bernoulli:
Uma equao diferencial de Bernoulli uma equao da forma: y + pxy = qxyn,onde n real.
Fazendo a substituio z = y1n reduzimos a equao de Bernoulli a uma equao diferencial linear nafuno incgnita z.Exemplo 1: Resolva dydx + xy = xy
2
Equao de Bernoulli com n = 2.
Substituio: z = y12 ou seja: z = 1y , ainda,y = 1zdydx =
1z2
dzdx
Fator integrante: Ix = ex2
2Soluo geral: y = 1
1 + Ce x
2
2
Exemplo 2: Resolva dydx 3x y = x
4y13
Equao de Bernoulli com n = 13 .
Substituio: z = y23 , ento
y = z32
dydx =
32 z
12 dz
dxFator integrante: Ix = 1
x2
Soluo geral: y23 = 29 x
5 + Cx2 ou y = 29 x5 + Cx2
32
2.12 LISTA DE EXERCCIOS V1) Em que condies as seguintes equaes diferenciais so exatas? Determinadas as condies,resolva-as.1.1) 2x + aydx + 2y + bxdy = 0 1.2) coshy + acosaxdx + bx sinhydy = 0
2) Determine um fator integrante para as equaes abaixo e resolva-as.2.1) 2x3 ydx + xdy = 0, y1 = 1. 2.2) y3 + 2exydx + ex + 3y2dy = 02.3) dydx =
xx2y + y3
. 2.4) ydx xdy + lnxdx = 03) Verifique se as seguintes equaes so Equaes diferenciais Lineares e resolva-as.3.1) dydx +
yx = 1 3.2) dydx
2yx = x
2 sin3x. 3.3) dydx = 2xy x + 13.4) x dydx + y = 2x, y1 = 2.
16
-
4) Prove que a equao diferencial dydx + pxy = qxy lny, pode ser resolvida mediante a mudana devarivel lny = v. Use isto para resolver a EDO: x dydx + 2x
2y = y lny
5) Resolva as equaes de Bernoulli.5.1) yy = xy2. 5.2) y + y = y2ex. 5.3) yy xy2 x = 0.
Respostas.1.1) a = b, x2 + axy + y2 = k 1.2) b = 1, xcoshy + sinax = k2.1) hx = 1
x2. yx = 2x x3; 2.2) hx = ex, exy3 + e2xy = k;
2.3) hy = ey2 , ey2
2 x2 + y2 + 1 = k ; 2.4) hx = 1
x2. yx = cx lnx 1 ;
3.1) yx = x2 +kx , 3.2) yx = x2 cos3x3 + k. 3.3) yx = x + ke
x2.
3.4) yx = x2 x22 + k 4) yx =32 1 e
2x 5.1) z = y1; yx = kex2
2 .
5.2) z = y1; yx = 1c + xex
. 5.3) z = y2; y2 = 1 + kex2 .
2.13 Aplicaes das EDO de Primeira Ordem2.13.1 Trajetrias Ortogonais
Considere a famlia de curvas no plano xy Fx,y,c = 0 , onde c um parmetro (constante quefazemos variar).
Chamamos de trajetrias ortogonais, desta famlia, a uma nova famlia Gx,y,k = 0 , onde cada curvade G intercepta cada curva de F , segundo um ngulo reto.
Exemplo: F : x2 + y2 = cG : y = kx
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
2.13.2 Procedimento para Determinao de Trajetrias Ortogonais a Fx,y,c
1) Derivamos Fx,y,c em relao a x (derivao implcita). Se necessrio, isolamos c em Fx,y,c esubstitumos na equao derivada. Obtemos: dydx = fx,y.2) As trajetrias ortogonais so solues de dydx =
1fx,y. .
Exemplo 1: Determine as trajetrias ortogonais da famlia de curvas x2 + y2 = c2 (circunferncias com centrona origem).
17
-
1) 2x + 2yy = 0 y = xy2) dydx =
1fx,y.
dydx =
yx (EDO a variveis separveis)
Soluo geral: y = kx Retas que passam pela origem - trajetrias ortogonais.
Exemplo 2: Determine as trajetrias ortogonais da famlia de curvas y = cx2 (parbolas com vrtice naorigem).1) y = 2cx , mas c = y
x2 y = 2yx
2) dydx = 1
fx,y. dydx =
12
xy EDO a variveis separveis.
Soluo geral: x22 + y2 = C (elipses=trajetrias ortogonais)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
2.13.3 Exemplos de aplicao:- Problemas de Diluio:
Considere um tanque contendo inicialmente V0 litros de salmoura com a kg. de sal. Uma outra soluocom b kg. de sal por litro comea a entrar no tanque a uma razo de e l/min e, simultaneamente, a misturadeixa o tanque a razo de f l/min. Qual a quantidade de sal no instante t?
Seja: Qt: quantidade (kg) de sal no instante t.dQdt : taxa de variao de Q.dQdt = Tent Tsai = taxa que o sal entra no tanque - taxa que o sal sai do tanque.
Tent: be (kg/min) onde b a quantidade de sal por l (concentrao de sal na soluo que entra)e a quantidade de l de soluo que entra por minuto.
Tsai: concentrao de sal no tanque no instante t (kg/l).f (quantidade em litros de mistura que sai porminuto).
Tsai:Q
V0 + et ft f onde Qt a quantidade de sal (kg) em tet o que entrou em t minft o que saiu em t min
V0 o volume inicial.A EDO fica: dQdt = be
QV0 + et ft f ou
dQdt +
QV0 + et ft f = be, que linear.
Exemplo 1: Um tanque contm inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. No intante t = 0, guapura comea a entrar no tanque a razo de 20 l por minuto, enquanto a mistura sai do tanque a mesmataxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.
18
-
V0 = 350 l. b = 0 kg/l f = 20 l/minQ0 = 10 kg e = 20 l/mindQdt +
20350 + 20t 20t Q = 0.20
dQdt +
235 Q = 0 linear.
Fator integrante: It = e2t35
Soluo geral: Q = Ce2t35
Soluo particular: Qt = 10e2t35
Observe que Q 0 quando t , o que espervamos, pois est entrando gua pura.
- Problemas de Temperatura: Lei do Resfriamento de Newton (vlida tambm para aquecimento).
A taxa de resfriamento de uma substncia numa corrente de ar proporcional diferena entre atemperatura da substncia e a temperatura do ar.
Sejam T: temperatura do corpoTm: temperatura do meiok: constante de proporcionalidade k > 0.
dTdt = kT Tm
dTdt + kT = kTm linear.
Obs.: Por que escolher k positivo?- Processo de resfriamento: T Tm > 0 kT Tm < 0 dTdt < 0 (variao da temperatura negativa,
implica em temperatura decrescente).- Processo de aquecimento: T Tm < 0 kT Tm > 0 dTdt > 0 (temperatura crescente).
Exemplo 1: Um corpo temperatura de 50 F colocado ao ar livre onde a temperatura de 100 F. Se,aps 5 min, a temperatura do corpo 600 F, determine:a) o tempo necessrio para que o corpo atinja 75 F.b) a temperatura do corpo aps 20 minutos.T0 = 50T5 = 60Tm = 100a) Tt1 = 75, encontre t1 :dTdt + kT = kTm
dTdt + kT = 100k linear.
Fator integrante: It = ekt
Soluo geral : Tt = 100 + Cekt. Soluo particular: Tt = 100 50e15 ln1.25t
E para Tt1 = 75, t1 15, 5 min.b) T20 = 79,52 F.
- Problemas de Queda dos Corpos:
Considere um corpo de massa m em queda vertical.Consideraes: - massa e gravidade so constantes;
- resistncia do ar proporcional velocidade v da queda;
19
-
- direo positiva para baixo.Da segunda lei do movimento de Newton, obtemos: F = m dvdt
onde F a fora lquida e dvdt a taxa de variao do momento do corpo em relao a t (m constante).mg kv = m dvdt mg = m
dvdt + kv
dvdt +
km v = g Equao do movimento
onde mg = W o peso do corpo e kv a resistncia do ar .Obs.1: Se k = 0 (desprezamos a resistncia do ar) a equao se reduz : dvdt = g.Obs.2: Quando o corpo arremessado para cima, a resistncia do ar tem sentido igual ao do peso
porque a resistncia sempre oposta ao sentido do movimento.Obs.3: Quando a direo positiva considerada para cima, precisamos reavaliar os sinais da equao
do movimento.Obs.4: Pode existir outra relao entre a resistncia do ar e a velocidade que no seja a relao
considerada na modelagem anterior. Se a resistncia do ar for proporcional ao quadrado da velocidade:kv2
Obs.5: O peso aproximado por W = mg quando o corpo se encontra muito prximo da terra. Casocontrrio, dado por: W = mgR
2
R + x2onde R o raio terrestre e x a altura acima do nvel do mar. Neste
caso, ser necessrio usar dvdt =dvdx
dxdt v
dvdx =
dvdt .
Exemplo 1: Um corpo de massa m cai a partir do repouso, num meio que oferece resistncia proporcional velocidade. Admitindo que a fora gravitacional seja constante, determine:a) a velocidade em qualquer instante.b) a velocidade limite v e quando t .a) dvdt +
km v = g v0 = 0 linear.
Fator integrante: It = ektm
Soluo geral: v = mgk + Ce ktm Soluo particular: vt = mgk 1 e
ktm
b) limt
vt = v l , ento v l =mgk , velocidade limite.
- Problemas de Circuitos Eltricos:Concidere: R o resistor (ohms), L o indutor (henries), C o capacitor (Faradays), E a foraeletromotriz (volts), I a corrente (ampres).
Casos Particulares:- Circuito RL: Lei que rege a quantidade de corrente no circuito dIdt +
RL I =
EL
Obs.: No necessariamente E constante. uma equao linear no-homognea.
- Circuito RC: Lei que rege a quantidade de carga dqdt +1
RC q =ER
Obs.: A EDO linear e no-homognea.A relao entre q e I : I = dqdtAteno:It = corrente transiente + corrente estacionria.
20
-
- Estado transiente: Tem forte influncia no incio do experimento. Vai para zero quando t .- Estado estacionrio: caracteriza a corrente quando t (muito grande).
Exemplo 1: Um circuito RL tem uma f.e.m. de 5 volts, uma resistncia de 50 ohms, uma indutncia de 1henry e no tem corrente inicial. Determine:a) a corrente no instante t;b) sua componente no estado estacionrio;c) sua componente no estado transiente.a) dIdt + 50I = 5 I0 = 0Fator integrante: e50t Soluo particular: It = 110 110 e50t.b) Iest = 110 A, c) I trans = 110 e50t
- Crescimento Exponencial:
Exemplo 1: Seja Nt a populao de uma certa espcie (ou a quantidade de uma substncia).Hipteses: taxa de variao de N proporcional ao valor instantneo de N. Populao inicial N0.
dNdt = rN
N0 = N0Obs.: se r > 0 : crescente; se r = 0: Nt = N0 e se r < 0 : decrescente (extino)
r: velocidade especfica de crescimento (ou declneo).Soluo: Nt = N0ert.
Exemplo 2:Uma pessoa deposita R$20.000,00 em uma conta que paga 5% ao ano de juros compostoscontinuamente. Determine: a) o saldo na conta aps 3 anos; b) o tempo necessrio para que a quantiainicial duplique.
Sejam Nt : quantidade de dinheiro=saldo na contar : taxas de juros compostos continuamente=velocidade especfica de crescimento.
r = 0.05 > 0 (o saldo aumenta) e N0 = 20.000dNdt = 0.05N
N0 = 20.000Soluo: Nt = 20. 000e0.05t
a) N3 = 23.236,68 reaisb) Nt = 40.000 t = 13, 86 anos.
- Problemas de Crescimento Logsitco:
Suponha que a velocidade especfica de crescimento dependa da realidade da populao (meioambiente, alimentao, competio intra e extra-especfica, clima, etc). Ento, esta velocidade fica melhorexpressa por uma funo de N : fN. Escolhemos: fN = r aNN onde r,a > 0 so constantes e, portanto:dNdt = r aNN (Equao Logstica) ou
dNdt = r1
NK N onde K =
ar .
Exemplo 1: Cinco ratos de uma populao constante de 500 so intencionalmente inoculados com umadoena contagiosa para testar uma teoria de disseminao da epidemia segundo a qual a taxa de variaoda populao infectada proporcional ao produto de ratos infectados pelo nmero de ratos sem a doena.
21
-
Qual o tempo necessrio para que a metade da populao contraia a doena?Sejam Nt o nmero de ratos infectados, N0 = 5 e o nmero de ratos sem a doena 500 N, ento
dNdt = 500 NRN ou
dNdt = 1
N500 rN Eq. Logstica r = 500R
N0 = 5Ateno: Integrao via fraes parciais! Soluo Particular: N500 N =
199 e
500Rt
Pergunta: Nt = 250 t = 0. 00919R u.t.
2.14 LISTA DE EXERCCIOS VI1) Em cada um dos casos abaixo, desenhar curvas da famlia dada e tambm das respectvas tragetriasortogonais.a) A famla de hiprboles xy = c.b) A famlia de crculos x c2 + y2 = c2c) A famlia x2 + y2 = Cx
2) Um tanque de 50 litros contm inicialmente 10 litros de gua pura. No instante t = 0, comea a serdespejada uma soluo contendo 0,1 kg de sal por litro, a razo de 4 l/min, enquanto a mistura sai dotanque a razo de 2 l/min. Determine:a) O instante em que ocorre o transbordamento.b) A quantidade de sal no tanque neste instante.
3) Um corpo de massa m lanado verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Se a resistncia do ar proporcional velocidade, determine:a) a equao do movimento no sistema coordenado v, t.b) a velocidade no instante t.c) o instante em que o corpo atinge a altura mxima.
4) Um circuito RL tem f.e.m. dada (em volts) por 3 sin2t , uma resistncia de 10 ohms, uma indutncia de 0.5henry e uma corrente inicial de 6 ampres. Determine a corrente em t:
5) Sabe-se que a populao de um determinado pas aumenta a uma taxa proporcional ao nmero dehabitantes do pas. Se, aps 2 anos, a populao duplicou e, aps 3 anos, de 20.000 habitantes, estime onmero inicial de habitantes:
Trabalho de Pesquisa
Pesquise, nos livros abaixo indicados, uma aplicao para as equaes diferenciais ordinrias deprimeira ordem. Escolha uma aplicao na rea que preferir, como por exemplo: biologia (crescimentopopulacional e disseminao de doenas), qumica (decaimento radioativo, misturas e datao porcarbono), fsica (resfriamento de Newton e corpo em queda livre) e engenharia (circuitos eltricos eeletromagnetismo).
O trabalho deve conter no mnimo duas pginas com: introduo, descrio do problema de forma22
-
geral (pelo menos uma pgina), um exemplo resolvido e concluso, contendo a sua opinio sobre asaplicaes das equaes diferenciais e sobre a aplicao escolhida.
Procure pesquisar em mais de um livro da biblioteca, escolhendo a aplicao que achar maisinteressante. Coloque no trabalho a bibliografia utilizada.
Referncias*BOYCE W.E. DIPRIMA R.C.. Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.Rio de Janeiro LTC. 1998.BRONSON. R.. Moderna Introduo s Equaes Diferenciais. So Paulo, McGraw-Hill, 1977.*EDWARDS C.H. PENNEY D.E. Equaes Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno.Prentice-Hall, 1995.*HUGHES-HALLETT, D., GLEASON, A. M. Clculo v. 2. Rio de Janeiro LTC. 1997.*ZILL, D. G., CULLEN M. R. Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagem. Thomson Learning2003.ZILL, D. G., CULLEN M. R. Equaes Diferenciais v 1. MAKRON BOOKS.MATOS, M. P., Sries e Equaes Diferenciais. So Paulo, Prentice Hall, 2002.( * indicados )
CAPTULO 3: EDOs LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
3.1 EDO Lineares de Segunda Ordem
Uma EDO de segunda ordem linear se pode ser escrita na forma:y + a1xy + a0xy = gx
Uma EDO linear de segunda ordem homognea dada com gx 0y + a1xy + a0xy = 0
Caso contrrio, a equao dita no-homognea.
Uma EDO linear de segunda ordem dita com coeficientes constantes se a1,a0 so constantes. Casocontrrio, a equao com coeficientes variveis.
Obs.1: Uma EDO linear de segunda ordem pode ser escrita como: Ly = gxonde L um operador linear definido como segue: L : C2I CI tal que Lyx = y + a1xy + a0xyC2I : conjunto das funes definidas no intervalo I duas vezes derivvel com segunda derivada contnua.CI : conjunto das funes contnuas definidas no intervalo I.
Obs.2: Um operador linear satisfaz as duas propriedades:P1 Ly1 + y2 = Ly1 + Ly2P2 Ly1 = Ly1
Exemplos.:
23
-
a) y + 4y = ex sinx a1 = 0,a0 = 4 gx = ex sinxEDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes no-homognea.
b) x2y + xy + x2 1y = 0 ou y + 1x y + x2 1x2
y = 0 a1x = 1x ,a0x =x2 1
x2gx 0
EDO linear de segunda ordem com coeficientes variveis homognea.
c) yy y = 0O produto yy indica a no linearidade da EDO.
d) y y = 0A potncia indica a no linearidade da EDO.
TEOREMA: Considere o problema de valor inicial y + a1xy + a0xy = gx com condies yx0 = y0 ey x0 = y0 , onde a1, a0 e g so contnuas num intervalo I. Ento existe uma nica soluo para esteproblema e ela existe sobre todo o intervalo I.
Exemplo: y 4xy + 6ycos x = ex sinx y0 = 2,y 0 = 3a1 = 4x,a0 = 6cos x,gx = ex sinx so contnuas em .
Este problema possui uma soluo nica para todo .
TEOREMA: (Princpio da Superposio)Se y1 e y2 so duas solues da equao diferencial y + a1xy + a0xy = 0 , ento a combinao linear
c1y1 + c2y2 tambm soluo para quaisquer constantes c1 e c2.
Obs.: A soluo pelo menos duplamente derivvel sobre o intervalo I.
3.2 Wronskiano e Solues Linearmente Independentes (L.I.):DEFINIO: O Wronskiano de duas funes y1 e y2 dado por:Wy1,y2 =
y1 y2y1 y2
= y1y2 y1 y2
Propriedade 1:Se y1 e y2 so funes derivveis em I e se Wy1,y2 0 num ponto xI I, ento y1 e y2 so L.I. em I.
Exemplo 1: y1x = cos x e y2x = sinx so L.I.?
Wy1,y2 =cos x sinx sinx cos x
= cos2x + sin2x = 1 0 x
y1 e y2 so L.I.
Exemplo 2: y1x = e1x e y2x = e2x , 1,2 so constantes reais e 1 2 so L.I.?
24
-
Wy1,y2 =e1x e2x
1e1x 2e2x= 2e1+2x 1e1+2x = 2 1e1+2x 0
y1x e y2x so L.I.
Propriedade 2:Se y1 e y2 so solues L.I. da EDOLH (Ly = 0), ento y = c1y1 + c2y2 a soluo geral de Ly = 0.
Exemplo: y y = 0ex,ex so solues L.I. Pela propriedade 2, a soluo geral da EDO yx = c1ex + c2ex
Propriedade 3:Existem duas solues L.I. para Ly = y + a1xy + a0xy = 0.
Obs.1: Relaes de Euler:e ix = cos x + i sinx e eix = cos x i sinx x , i : unidade imaginria i2 = 1.ou equivalentemente:
cos x = eix + eix
2 e sinx =e ix eix
2 .
Obs.2: Uma funo y : C pode ser soluo de uma equao diferencial.
Exemplo: y = e ix soluo de y + y = 0. Verifique!
Propriedade 4:Uma funo complexa y = u + iv (u e v so, respectivamente, a parte real e imaginria de y) soluo de
uma EDO Ly = 0 se e, somente se, u e v so tambm solues de Ly = 0.Exemplo: y = e ix soluo de y + y = 0
Pela relao de Euler: y = cos x + i sinxPela propriedade 6, u = cos x e v = sinx tambm so solues de y + y = 0.
3.3 EDOLH de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes:
Considere a equao diferencial y + a1y + a0y = 0. A esta equao associamos uma equaoalgbrica conhecida como equao caracterstica 2 + a1 + a0 = 0. Fatorando a equao caracterstica,obtemos: 1 2 = 0.
Obtemos a soluo geral da EDOLH a partir das razes da equao caracterstica.
CASO 1:1 e 2 so razes reais distintas.Como e1x e e2x so solues L.I., ento a propriedade 2 nos garante que a soluo geral
yx = C1e1x + C2e2x
25
-
Exemplo 1: y + 5y + 6 = 02 + 5 + 6 = 0 + 2 + 3 = 0
Soluo geral: y = C1e2x + C2e3x
Exemplo 2: y 4y = 0 y0 = 1 , y 0 = 0Soluo geral: y = C1e2x + C2e2x
Soluo particular: yx = e2x + e2x2 ou yx = cosh2x
CASO 2:1 = 2 (razes reais e iguais).Soluo L.I. e1x e xe1xA soluo geral yx = C1e1x + C2xe1x.
Verifique se e1x e xe1x so solues L.I. W 0
Exemplo: y + 2y + y = 0Soluo geral: y = C1ex + C2xex
CASO 3:1 = a + bi , 2 = a bi (aparecem aos pares complexos conjugados).Soluo L.I.: ea+bix e eabix.Soluo geral: y = C1 ea+bix + C2 eabix
Mas, pela propriedade 6, podemos equivalentemente escrever a soluo geral comoy = C1eax cos bx + C2eax sinbx
Exemplo 1: y + 20y + 200y = 0Soluo geral: y = C1e10x cos 10x + C2e10x sin10xExemplo 2: y + 9y = 0Soluo geral: y = C1 cos 3x + C2 sin3x
3.4 LISTA DE EXERCCIOS VII1) Resolva as seguintes EDOH.1.1) y 2y + 2y = 0 1.2) y + 7y = 01.3) y + 2y + 5y = 0 1.4) y 4y + 4y = 02) Resolva os seguintes problemas de valor inicial.2.1) y + 2y + y = 0, y0 = 1,y 0 = 2.2.2) y 6y + 9y = 0, y0 = 2, y 0 = 8.2.3) y + 4y + 4y = 0, y0 = 1, y 0 = 33) Construa a matriz Wronskiana e determine o valor de seu determinante para os seguintes conjuntos desolues.3.1) ex,ex 3.2) sen3x, cos3x 3.3) ex, xex4) Mostre que duas solues L.I. da equao diferencial y 6y + 9y = 0 so dadas por e3x, xe3x. Escreva a
26
-
soluo geral da EDOH.RESPOSTAS1.1) y = c1ex cos x + c2ex sinx 1.2) y = c1 cos 7 x + c2 sin 7 x1.3) y = c1ex cos 2x + c2ex sin2x 1.4) y = c1e2x + c2xe2x2.1) y = ex + 3xex 2.2) y = 2e3x + 2xe3x 2.3) y = e2x + xe2x3.1) Wex,ex = 2 3.2) Wsen3x, cos3x = 3 3.3) Wex,xex = e2x4) y = c1e3x + c2xe3x
3.5 EDOL No Homognea com Coeficientes Constantes: Mtodo dosCoeficientes a Determinar:
Considere a EDO no linear Ly = y + a1y + a0y = gx
Propriedade 1:Se yh a soluo geral de Ly = 0 e yp a soluo particular de Ly = gx ento: yx = yh + yp a
soluo geral de Ly = gx.
Exemplo: y y = e2xEquao homognea associada y y = 0 cuja soluo geral yx = c1ex + c2ex.
yp = ? Supe que yp = Ae2x onde A uma constante. Derive yp e substitua na EDO para encontrar A = 13 . yp = 13 e
2x e a soluo geral yx = yh + yp ser yx = c1ex + c2ex + 13 e2x
Propriedade 2:Se yh a soluo geral de Ly = 0, yp1 uma soluo particular de Ly = g1x e yp2 uma soluo
particular de Ly = g2x, ento, pelo princpio da superposio, y = yh + yp1 + yp2 a soluo de Ly = g1 + g2.Exemplo: y y = e2x + 1
yh = c1ex + c2ex soluo de y y = 0yp1 = 13 e
2x soluo particular de y y = e2xyp2 = ? Supe yp2 = A constante, deriva e substitui na EDO para encontrar A = 1. yp2 = 1 y = yh + yp1 + yp2 y = c1ex + c2ex + 13 e
2x 1 a soluo geral de y y = e2x + 1.Soluo geral: yx = yhx + ypx
Para determinarmos ypx, vamos utilizar o mtodo dos coeficientes a determinar:
CASO 1:Ly = keax a,k Supe yp = Aeax onde A = ?Deriva e substitui na EDO:Se a2 + a1a + a0 0, ento A = k
a2 + a1a + a0Mas isto significa que a no pode ser raz de 2 + a1 + a0 = 0 , ou, do mesmo modo, eax no pode ser
uma das solues L.I. que compe yh.Se a raiz simples de 2 + a1 + a0 = 0 , devemos supor yp = Axeax , ento:A = k2a + a1
se 2a + a1 0
27
-
Se a raiz dupla de 2 + a1 + a0 = 0 2a + a1 = 0 , devemos supor: yp = Ax2eax onde A = k2 .
Exemplo 1: Resolva y + 5y + 4y = 3e2xSoluo: yh = C1ex + C2e4xSupe yp = Ae2x, derivando e substituindo na EDO, encontramos A = 32Soluo geral: yx = yh + yp
Exemplo 2: Resolva y + 5y + 4y = 5e4xA soluo homognea a mesma do exemplo anterior. A soluo particular yp = Ae4x no deve
funcionar, pois -4 raiz da equao caracterstica. Supe, ento, yp = Axe4x , que derivando e substituindona EDO, obtm-se A = 53 .Exemplo 3: Resolva y + 5y + 4y = ex + 2e4x + e5xSoluo: yh = C1ex + C2e4xSupe yp1 = Axex, yp2 = Bxe4x e yp3 = Ce5x
CASO 2:Ly = k sinx ou kcosx :- Se Pi 0, supe yp = Acosx + B sinx.- Se Pi = 0, supe yp = Axcosx + Bx sinx
Exemplo 1: Resolva y + 4y = sin2x + cos xyh = C1 cos 2x + C2 sin2x
- P2i = 0 yp1 = Axcos 2x + Bx sin2x . Deriva e substitui na EDO,encontra: A = 14 e B = 0. yp1 =
14 xcos 2x
- Pi 0 yp2 = Acos x + B sinx . Deriva e substitui na EDO,encontra: A = 13 e B = 0. yp2 =
13 cos x
Exemplo 2: Resolva y + 3y + 2y = sin2xyh = C1e2x + C2ex
Como P2i 0, supe yp = Acosx + B sinx. Deriva e substitui na EDO:A = 320 , B =
120 yp =
120 3cos 2x + sin2x
CASO 3:Ly = kex cosx ou Ly = kex sinxVamos considerar Lwp = ke+ix :- se P + i 0 , ento wp = Ae+ix- se P + i = 0, ento wp = Axe+ixSoluo particular yp: se Ly = kex cosx, ento yp = Rewp
se Ly = kex sinx, ento yp = Imwp
Exemplo 1: Resolva y + 2y + 5y = 2ex cos 2xyh = C1ex cos 2x + C2ex sin2xComo P1 + 2i 0, ento wp = Ae1+i2x. Deriva e substitui na EDOobtm: A = 1 + 2i10 yp = Rewp yp =
110 e
x cos 2x 15 ex sin2x
28
-
CASO 4:Ly = b0 + b1x +. . .+bnxnSe P0 0 : supe yp = A0 + A1x +. . .+AnxnSe P0 = 0 e P0 0 : supe yp = xA0 + A1x +. . .+AnxnSe P0 = 0 e P0 = 0 : supe yp = x2A0 + A1x +. . .+Anxn
Exemplo 1: Resolva y + 3y = 2x2 + 3xyh = C1e3x + C2yp : P0 = 0 yp = xA0 + A1x + A2x2. Deriva e substitui na EDO,obtm: A0 = 527 , A1 =
518 e A2 =
29 yp =
527 x +
518 x
2 + 29 x3
CASO 5:Ly = b0 + b1x +. . .+bnxn exSe P 0 : supe yp = A0 + A1x + A2x2exSe P = 0 e P 0 : supe yp = xA0 + A1x +. . .+AnxnexSe P = 0 e P = 0 : supe yp = x2A0 + A1x +. . .+Anxnex
Exemplo 1: Resolva y + 2y + 4y = xe2x + 3e2xyh = C1ex cos 3 x + C2ex sin 3 xComo P2 0, yp = A0 + A1xe2x. Deriva e substitui na EDO:A0 = 724 ,A1 =
112 yp =
724
112 x e
2x
3.6 EDOL No Homognea: Variao de Parmetros
Nesta seo, vamos desenvolver um outro mtodo para determinar a soluo particular da EDOLLy = y + a1xy + a0xy = gx
a partir da soluo geral de Ly = 0 : yhx = C1y1x + C2y2x.Suponha que ypx = v1xy1x + v2xy2x Se yp = v1y1 + v2y2,
yp = ?yp = ?
Supe que v1 y1 + v2 y2 = 0 (1)Substitui na EDO: v1 y1 + v2 y2 = gx (2)De (1) e (2), obtemos o sistema linear: v1
y1 + v2 y2 = 0v1 y1 + v2 y2 = gx
Resolvemos por Cramer:
v1 =
0 y2gx y2
detA = gxy2xwy1,y2
e v2 =
y1 0y1 gx
detA =gxy1xwy1,y2
v1 = gxy2xwy1,y2
dx e v2 = gxy1xwy1,y2
dx
29
-
E, finalmente, yp = v1xy1x + v2xy2x
Exemplo 1: Resolva y + y = cscxyh = C1 cos x + C2 sinx, yp = v1 cos x + v2 sinx
wy1,y2 =cos x sinx sinx cos x
= 1
v1 = cscx sinxdx = dx = x, v2 = cscxcos xdx = cos xsinx dx = ln|sinx|yp = xcos x + ln|sinx| sinx
Exemplo 2: Resolva y + 4y = tan2xyh = C1 cos 2x + C2 sin2x, yp : wy1,y2 = 2v1 = 12 tan2x sin2xdx =
12
sin22xcos 2x dx =
12
1 cos22xcos 2x dx =
12 sec2x cos 2xdx
v1 = 14 ln|sec2x + tan2x| + 14 sin2xv2 = 12 tan2xcos 2xdx =
12 sin2xdx =
14 cos 2x
yp = 14 ln|sec2x + tan2x|
3.7 EDOL de Ordem n com Coeficientes Constantes:
EDO: yn + an1yn1 +. . .+a1y + a0y = 0 com a i i = 1, . . . ,n 1
Polinmio caracterstico (equao caracterstica):P = n + an1n1 +. . .+a1 + a0 = 0 (possui n razes).
Solues L.I.:- Se i raiz real simples: y i = C ie ix- Se i raiz real de multiplicidade p: e1x;xe1x; . . . ;xp1e1x- Se i = a + bi e i = a bi so razes complexas conjugadas: eax cos bx;eax sinbx
Exemplo 1: y 6y + 11y 6y = 0Soluo geral: yx = C1ex + C2e2x + C3e3x
Exemplo 2: y + 4y + 13y = 0Soluo geral: yx = C1 + C2e2x cos 3x + C3e2x sin3x
3.8 LISTA DE EXERCCIOS VIII1) Resolva as seguintes equaes usando o mtodo dos coeficientes a determinar.1.1) y 3y + 2y = 5ex 1.2) y 4y + 4y = 3e2x.1.3) y + 7y + 12y = 3cos2x. 1.4) y + 4y = x1.5) y + 3y + 2y = xex + cos2x + x2
30
-
2) Resolva as seguintes EDOH de ordem n.2.1) y 3y + 2y = 0 2.2) y + 2y + 2y = 0
3) Resolva usando o mtodo de variao de parmetrosy 2y + y = e
x
xRESPOSTAS1.1) y = c1ex + c2e2x 5ex1.2) y = c1e2x + c2xe2x + 32 x2e2x1.3) y = c1e3x + c2e4x + 665 cos 2x + 21130 sin2x1.4) y = c1 cos 2x + c2 sin2x + 14 x1.5) y = c1ex + c2e2x 23 xex + 124 x2ex + Acos 2x + B sin2x + A0 + A1x + A2x2
yH yP1 yP2(resolver) yP3(resolver)
2.1) y = c1 + c2ex c3e2x2.2) y = c1 + c2ex cos x c3ex sinx3) y = C1ex + C2xex xex + ln|x|xex v1 = x e v2 = ln|x|
3.9 Exemplos de Aplicao:- Problemas de Mola:
Lei de Hooke: A fora F de uma mola igual e oposta s foras aplicadas sobre esta mola e proporcional distenso (contrao) l da mola resultante da fora aplicada.
F = klonde k a constante da mola (constante de proporcionalidade) .
Consideraes:- Desprezamos a massa da mola.- Resistncia do ar proporcional velocidade do corpo.- Foras sobre o corpo no instante t so: fora da resistncia do ar: ax a > 0
fora restauradora: kx k > 0 Lei de HookeObs.: A resistncia do ar sempre no sentido oposto ao da velocidade do movimento.Segunda Lei de Newton: FR = maFt ax kx = mx ou x + am x
+ km x =Ftm C.I. x0 = 0 e x 0 = 0
Obs.: Se a gravidade for considerada: x + am x + km x = g +Ftm
Exemplo: Uma massa de 2 kg. est suspensa em uma mola cuja constante 10 N/m e permanece emrepouso. , ento posta em movimento, imprimindo-lhe uma velocidade inicial de 150 cm/s. Determine aexpresso da posio da massa, desprezando a resistncia do ar:
xt = 0.671 sin 5 t
- Problemas de Circuitos Eltricos:Seja um circuito RCL (resistncia-capacitncia-indutncia).Lei de Kirchhoff: A soma algbrica das quedas de tenso em um circuito eltrico fechado simples zero.QT(resistncia)+QT(capacitncia)+QT(indutncia)-E(t)=0
31
-
Rq + Lq + 1C q = Et ou q + RL q
+ 1LC q =Et
L com C.I. q0 = q0 e q0 = I0 = I0
que a equao da carga q com o tempo t.Por outro lado, a equao da corrente I com o tempo t, dada por:I + RL I
+ 1LC I =1L
dEtdt com C.I. I0 = I0 e I
0 = 1L E0 RL I0 +
1LC q0
Exemplo: Um circuito RCL tem R=10 ohms, C=101 farad, L=0.5 henry e uma tenso aplicada de 12volts. Admitindo que no haja corrente inicial nem carga inicial em t = 0 , quando a tenso aplicada pelaprimeira vez, determine a corrente subseqente no sistema:
Equao diferencial: I + 20I + 200I = 0Condies iniciais: I0 = 0 e I 0 = 24Soluo: It = 125 e
10t sin10t
- Problemas de Barras e Vigas: um exemplo de problema de contorno.Exemplo: Seja uma barra de comprimento L sujeita a uma carga uniforme q. Se, no ponto x0 = 0, esta
barra est presa e, em xL = L, est s apoiada, este problema descrito pelo seguinte problema decontorno:
y4x + kyx = qy0 = y 0 = 0yL = y L = 0
3.10 LISTA DE EXERCCIOS IX1. Uma mola com massa de 3 kg mantida esticada 0,6 m alm de seu comprimento natural por uma forade 20 N. Se a mola comear em sua posio de equilbrio, mas um empurro der uma velocidade inicial de1,2 m/s, determine a posio da massa depois de t segundos (frmula).
2. Determine a carga e a corrente em um circuito em srie RCL quando L = 1 henry, R = 2, C = 0,25Faraday e Et = 13sin t Volts, com carga inicial e corrente inicial nulas. Escreva a varivel dependente eindependente do problema e a funo soluo.d2qdt2
+ RLdqdt +
1LC q =
EtL
Respostas1. xt = 0,36sen 103 t.2. qt = 3 sin t 2cos t + 2et cos t 3 13 3 e
t sin t 3 .
3.11 Equao de Cauchy-EulerUma equao diferencial linear da formaanx
n dnydxn + an1x
n1 dn1ydxn1
+. . .+a1xdydx + a0y = gx
onde os coeficientes an, an1, . . . , a0 so constantes, conhecida como uma equao de Cauchy-Euler.
Mtodo de Resoluo:Como o coeficiente de y zero em x = 0, restringimos nossa ateno determinao da soluo geral
32
-
definida no intervalo 0,.Tentaremos uma soluo da forma y = xm, onde m deve ser determinado.Tem-seakx
k dkydxk
= akxkmm 1m 2. . . m k + 1xmk = akmm 1m 2. . . m k + 1xm
Por exemplo, para a equao de segunda ordem,ax2y + bxy + cy = amm 1xm + bmxm + cxm = amm 1 + bm + cxmAssim, y = xm ser uma soluo da equao diferencial sempre que m for uma soluo da equao auxiliaramm 1 + bm + c = 0 ou am2 + b am + c = 0
Caso I: Razes Reais DistintasSejam m1 e m2 razes reais de , com m1 m2. Ento y1 = xm1 e y2 = xm2 formam um conjuntofundamental de solues. Logo, a soluo geral sery = c1xm1 + c2xm2
Exemplo 1: Resolva x2y 2xy 4y = 0Equao auxiliar: m2 3m 4 = 0.Soluo geral: y = c1x1 + c2x4
Caso II: Razes Reais RepetidasSe m1 = m2, ento obtemos somente uma soluo, y = xm1 . Quando as razes da equao quadrtica so iguais, a raiz m1 = b a2a .Podemos construir uma segunda soluo y2 = uxy1, usando o mtodo de reduo de ordem, obtm-se
u = e Pxdx
y12dx = e
b/a lnx
x2m1dx = xb/ax2m1 dx = xb/axba/adx = dxx = lnx
Portanto, a soluo geral sery = c1xm1 + c2xm1 lnx
Exemplo 2: Resolva 4x2y + 8xy + y = 0Equao auxiliar: 4m2 + 4m + 1 = 0Soluo geral: y = c1x1/2 + c2x1/2 lnx
Caso III: Razes Complexas ConjugadasSe as razes de forem um par de nmeros complexos conjugados m1 = a + bi e m2 = a bi, onde a eb > 0 so reais, ento a soluo sery = xac1 cosb lnx + c2 sinb lnx
Exemplo 3: Resolva 4x2y + 17y = 0 , y1 = 1 , y 1 = 0Equao auxiliar: 4m2 4m + 17 = 0Soluo geral: y = x1/2c1 cos2 lnx + c2 sin2 lnx
33
-
CAPTULO 4: Sistemas de Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares comCoeficientes Constantes:
1) Introduo:Os sistemas de EDO simultneas aparecem naturalmente em problemas que envolvem vrias variveis
dependentes, cada qual funo de uma nica varivel independente.Varivel independente: tVariveis dependentes: x1 = x1t;x2 = x2t; . . .
Aplicaes:1) Sistema Predador-Presa:
Sejam Pt : populao de predadores no instante tHt : populao de presas no instante t
O modelo descrito pelo sistema de EDO:dHdt = a1H b1HPdPdt = a2P + b2HP
2) Sistema Massa-Mola:Sejam x1t , x2t coordenadas da posio das massas m1 e m2.
O modelo descrito pelo sistema de EDO:m1
d2x1dt2
= k1 + k2x1 + k2x2 + F1t
m2d2x2dt2
= k1x1 k2 + k3x2 + F2tSegunda Ordem
3) Circuito RCL:Sejam V : queda de voltagem no capacitor C
I : corrente no indutor L.
O ciruito descrito pelo sistema de EDO:dIdt =
VL
dVdt =
IC
VRC
Como reduzir uma EDO de grau n a um sistema de EDO de grau 1:
Tome a equao de segundo grau: d2udt2
+ p dudt + qu = Ft
Suponha x1t = ut e x2t = dudt . Ento x1 t = x2t e na EDO acima:
x2 t + px2t + qx1t = Ft
x2 t = px2t qx1t + Ft
E a EDO fica reduzida ao sistema: x1 = x2
x2 = px2 qx1 + Ft
De maneira geral, qualquer EDO da forma: ynt = Ft,y,y ,y , . . . ,yn1 pode ser reduzida a umsistema de EDO de primeira ordem com n equaes. Basta tomar: x1t = y;x2t = y ; . . . ,xnt = yn1t.
34
-
E o sistema fica:
x1 = x2
x2 = x3
x3 = x4
. . . . . . . . . . .
xn1 = xn
xn = Ft,x1,x2, . . . ,xn
Sistema de EDO Lineares de Primeira Ordem:
Considere o sistema na forma geral:
x1 = F1t,x1, x2, . . . ,xn
x2 = F2t,x1, x2, . . . ,xn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = Fnt,x1,x2, . . . ,xn
Podem ser dadas condies iniciais na forma: x1t0 = x10, . . . ,xnt0 = xn0. Associado a estas C.I., osistema constitui um PVI. Este sistema tem soluo no intervalo I se existirem n funes:x1 = 1t; . . . ;xn = nt , derivveis em I, que satisfazem o sistem em todo I.
Um sistema dito sistema de equaes lineares de primeira ordem se pode ser escrito na forma:x1 = p11tx1 + p12tx2 +. . .+p1ntxn + g1t
x2 = p21tx1 + p22tx2 +. . .+p2ntxn + g2t
. . .
xn = pn1tx1 + pn2tx2 +. . .+pnntxn + gnt
Se no pode ser escrito desta forma, o sistema no-linear.Se g1t = g2t =. . .= gnt = 0 , ento o sistema homogneo. Seno, no-homogneo.
Ex.1: Reduzir o PVI a um sistema de EDO de primeira ordem:u + 2tu + t2u = sin tu0 = 0u 0 = 1
Sejam x1t = ut e x2t = u tx1 t = x2t
x2 t + 2tx2t + t2x1t = sin t
CI: x10 = u0 x10 = 0x20 = u 0 x20 = 1
PVI:x1 = x2
x2 + 2tx2 + t2x1 = sin t
x10 = 0;x20 = 1
35
-
Ex.2: Resolva o problema: x1 = 2x1 + x2
x2 = x1 2x2
com x10 = 2 e x20 = 3.
Isolar x2: x2 = x1 + 2x1 e substituir na outra equao, resultando: x1 + 4x1 + 3x1 = 0.Resolve-se pelo mtodo de coeficientes a determinar: x1 = C1ex + C2e3x e x2 = C1ex C2e3x so a
soluo geral. Com as CI, obtm-se: C1 = 52 e C2 = 12 .
Reviso de Autovalores e Autovetores:Considere a transformao linear (funo linear) y = AX, que transforma um vetor X em un novo vetor y.
Em particular, estamos interessados naqueles vetores que so transformados em mltiplos de si mesmo, ouseja, y = X , onde um fator de proporcionalidade.
A IX = 0 se detA IX = 0 , infinitas solues (tem solues alm da nula.Os valores de que satisfazem so ditos AUTOVALORES de A e as solues de so os
AUTOVETORES correspondentes ao seu respectivo autovalor.A equao = 0 uma equao polinomial de grau n em :n + an1n1 +. . .+a22 + a1 + a0 = 0Cada autovalor tem pelo menos um autovetor associado a ele. No entanto, se um autovalor i tem
multiplicidade m, ele pode ter q autovetores L.I. associados a ele onde 1 q m.
Ex.1: Ache os autovalores e autovetores de A = 1 11 3
:
Ex.2: Ache os autovalores e autovetores de A =0 1 11 0 11 1 0
:
Um conjunto de vetores X1 =x11
xn1
, . . . , L.I. se, e somente se, detX 0. (X = x ij = x ij ).
Um conjunto de k vetores x1,x2, . . . ,xk L.I. se, e somente se, a equao c1x1 + c2x2 +. . .+ckxk = 0admite a soluo trivial como soluo nica: c1 = c2 =. . .= ck = 0.
Se existirem nmeros c1,c2, . . . ,ck com pelo menos um nmero diferente de zero, ento o conjuntox1,x2, . . . ,xk L.D.
Ex.1: x1 =101
e x2 =
011
:
Ex.2: x1 =121
,x2 =
213
e x3 =
4111
:
detX = 0, ento x1,x2,x3 so L.D.36
-
Teoria Bsica dos SEDL de Primeira Ordem:
SEDL com n EDOs de primeira ordem:x1 = p11tx1 +. . .+p1ntxn + g1t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn = pn1tx1 + pnntxn + gnt
Forma matricial: X = PtX + gt
Soluo: x1 = 1t,x2 = 2t, . . . ,xn = nt =
1t
2t
. . .
nt
.
SEDL homogneo: X = PtX
Propriedades:P1) Se x1,x2 so solues de X = PtX ento c1x1 + c2x2 tambm soluo.P2) Se x1,x2, . . . ,xn so solues L.I. de X = PtX , ento t = c1x1 + c2x2 +. . .+cnxn a soluogeral do sistema.P3) Se x1,x2, . . . ,xn so solues de X = PtX, ento ou detX identicamente nulo ou nunca nulo.
Ex.: Verifique que x1t = e3t
2e3te x2t =
et
2et soluo de X = 1 1
4 1X. Determine
a soluo geral:
SEDLH com Coeficientes Constantes:
X = AX An uma matriz constante.Supe: X = ert com r constante e vetor constante.
X = rert . Substitui na SEDLH e obtm: A rI = 0Portanto, r autovalor, autovetor de A.
Ex.1: Ache a soluo geral de X = 3 22 2
X :
Ex.2: Determine a soluo geral de X = 1 14 1
X :
Ex.3: Ache a soluo geral de X =0 1 11 0 11 1 0
X :
37
-
- Autovalores Complexos:
Se r1a + bi raiz de r , ento o complexo conjugado r2 = r1 = a bi tambm .1 autovetor correspondente a r1.2 autovetor correspondente a r2 = r1.
Propriedade: 2 = 1. (vetor conjugado).
Solues: x1 = 1er1t e x2 = 1e r1tA partir destas solues, podemos determinar duas solues reais L.I. Se 1= u + vi , obtemos:x1t = eatucos bt v sinbt + ieatvcos bt + u sinbt
xR1
xR2
tal que xR1 e xR2 so solues L.I. do sistema X = AX
Ex.1: X = 12 11 12
X :
Ex.2: Resolva X = 1 12 1
X com X0 =22
:
Exerccios:
1) X = 2 101 5
X
2) X = 1/2 1/82 1/2
X com X0 =23
:
- Autovalores Repetidos:
r = : autovalor de multiplicidade m (m autovetores L.I. m solues L.I.)Obs.: Menos que m autovetores L.I. tem que pesquisar outros autovetores L.I. at termos m
autovetores L.Im solues L.I.
Exemplo introdutrio:
X =1 2 22 1 22 2 1
X
Soluo:1) detA rI = 0r + 15r 5 = 0 r1 = r2 = 1 e r3 = 5
38
-
2) Para r1 = r2 = 1, temos:2 2 22 2 22 2 2
1
2
3
=
000
Resolvendo o sistema, temos 1 = 2 3E assim, dois autovetores associados a esses autovalores repetidos so:
1 =
110
, 2 =
011
As solues correspondentes so:
x1 =
110
et e x2 =
011
et
Para o autovalor r3 = 5, temos:4 2 22 4 22 2 4
1
2
3
=
000
Resolvendo o sistema, temos 1 = 3 e 2 = 3E assim, o autovetor associado a esse autovalor
3 =
111
A soluo correspondente :
x3 =
111
e5t
A soluo geral dada por:
X = c1110
et + c2
011
et + c3
111
e5t
Se a matriz A for simtrica, isto , A = AT e se tiver elementos reais, ser sempre possvel obter nautovetores L.I.
Ex.1: X = 1 11 3
X :
Soluo:
x1 =11
e2t
x2 = Kte2t + Pe2t
39
-
Encontrando P :A 2IP = K
1 11 1
P1P2
=11
Resolvendo o sistema, temos P2 = 1 P1Se P1 = 0, P2 = 1Portanto,
P =01
E a soluo x2
x2 =11
te2t +01
e2t
Assim, a soluo geral ser:
X = c111
e2t + c211
te2t +01
e2t
Ex.2: Resolva o sistema no-homogneo, usando o mtodo dos coeficientes a determinar:
X =2 11 2
X +2et
3t:
Soluo:X = AX + gt
onde gt = 20
et +03
t
1) Resolve-se o sistema homogneo: X = AXSoluo geral: X = c1
11
e3t + c211
et
Soluo particular:Supe Xp = atet + bet + ct + dXp = atet + a bet + cSubstitui no sistema de EDOs e obtm:Aa = a
Ab = a b 20
Ac = 03
Ad = c
A soluo geral dada por:
X = c111
e3t + c211
et +11
tet +01
et +12
t 1345
40
-
Ex.3: X = 2 13 2
X +11
e t :
Exerccio: Encontre a soluo geral do sistema X = 3 182 9
X.
1) detA rI = 0r + 32 = 0 r1 = r2 = 3
Obtemos x1 = 31
e3t
A soluo x2 ser obtida a partir da soluo x1 :
x2 = Kte3t + Pe3t, onde K = 31
.
Para encontrarmos P , basta resolvermos detA rIP = KOu seja:
6 182 6
P1P2
=31
Resulta que P1 = 1 + 6P22 , se P2 = 0 P1 =12
Assim,
x2 =31
te3t +1/20
e3t
E a soluo geral :
X = c131
e3t + c231
te3t +1/20
e3t
41