ee240/2009 design of experiments. ee240/2009 planejamento de experimentos ou experiment design
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EE240/2009
EE240/2009Design of Experiments
EE240/2009
Planejamento de Experimentos ou
Experiment Design
EE240/2009
• Planejamento de Experimento: selecionar fatores manipuláveis x1, ... ,xp e determinar formas de utilizá-los em experimentos, de modo que sejam obtidas informações suficientes sobre o processo com pequeno número de ensaios.
• Otimizar o processo: dado um critério quantitativo, encontrar a combinação dos níveis dos fatores controláveis que levam à melhor resposta y.
Processoentradas saídas
y
x1 x2 xp
fatores manipuláveis
...z1 z2 zq
fatores não manipuláveis(nuisance)
...
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Exemplo
• Fatores que interferem na durabilidade de uma lâmpada incandescente:
– Temperatura Ambiente?– Ciclos Liga-Desliga?– Tensão Aplicada?– Umidade do Ar?– Vibração?
• Como planejar experimentos com estes fatores?
• Qual a estimativa de RUL, sabendo-se que a temperatura ambiente será mantida em 22oC, o número de ciclos liga-desliga é de 5 em 5 horas, a tensão é regulada 110 ± 2V, a umidade do ar é controlada em 70% e a vibração é menor do que 0.02m/s2?
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Roteiro para a realização de um experimento
• Identificar e estabelecer o problema
• Escolha dos fatores e de seus níveis
• Seleção da variável resposta
• Escolha do projeto experimental
• Realização do experimento
• Análise estatística dos dados
• Conclusões e recomendações
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Conceitos Importantes
• Níveis: valores que podem ser assumidos por cada fator manipulável
• Tratamentos: uma particular combinação de níveis dos fatores incluídos no estudo experimental.
• Replicações: repetições de um ensaio em cada condição tratamento para avaliar erros experimentais
• Aleatorização: forma de realizar os ensaios em que a seqüência é aleatória, evitando biases.
• Blocagem: organização das unidades experimentais em subgrupos mais homogêneos.
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ExemploExperimento com Um Fator
• Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e
C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre
duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo
de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais
fatores manipuláveis.
• Deseja-se testar as hipóteses:
– H0: os tempos de transmissão são iguais para os três tipos de rede; e
– H1: os tempos de transmissão não são todos iguais (depende do tipo de rede).
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Processoentradas saídas
y = tempo médio de transmissão
fatores x assumindo valores C1, C2 e C3
...z1 z2 zq
fatores não manipuláveis(nuisance)
Setup Experimental
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Tipo de rede
Replicação C1 C2 C3
1 7,2 7,8 6,3
2 9,3 8,2 6,0
3 8,7 7,1 5,3
4 8,9 8,6 5,1
5 7,6 8,7 6,2
6 7,2 8,2 5,2
7 8,8 7,1 7,2
8 8,0 7,8 6,8
Média 8,21 7,94 6,01
Resultados Obtidos
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Tratamento
Replicação 1 2 ... g
1 y11 y21 ... yg1
2 y12 y22 ... yg2
... ... ... ... ...
n y1n y2n ... ygn
Soma y1. y2. ... yg.
Média ...
i
iyy ...
.1y .2y .gy i
iyg
y .1
..
g
i
n
jijTot yySQ
1 1
2..
df = N - 1onde: N = ng
g
ii
g
i
n
jiTrat yynyySQ
1
2...
1 1
2...
g
i
n
jiijErro yySQ
1 1
2.
Erro
Trat
QM
QMF
ANOVA
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Teste F
• Se H0: 1 = 2 =...= g = 0 for verdadeira, a estatística F tem distribuição F com (g - 1) graus de liberdade no numerador e (N - g) graus de liberdade no denominador.
Densidade de probabilidade F
possíveis valores da estatística F, sob H 0
dens
idad
e de
pro
babi
lidad
e
0,00
0,25
0,50
0,75
0 1 2 3 4F
p
• p , rejeita H0
• p > , aceita H0
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ExemploExperimento com Um Fator
• Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e
C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre
duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo
de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais
fatores manipuláveis.
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ANOVA1 One-way analysis of variance (ANOVA). ANOVA1 performs a one-way ANOVA for comparing the means of two or more groups of data. It returns the p-value for the null hypothesis that the means of the groups are equal.
The p-value is the probability of obtaining a result at least as extreme as the one that was
actually observed, assuming that the null hypothesis is true. The lower the p-value, the
less likely the result, assuming the null hypothesis. One often uses p-values of 0.05 or 0.01, corresponding to a 5% chance or 1% of an outcome that extreme, given the null hypothesis.
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ExemploExperimento com Um Fator
• Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e
C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre
duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo
de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais
fatores manipuláveis.
Tipo de rede
Média 8,21 7,94 6,01
f = 21.07p < 0.01
Não há diferença estatisticamentesignificativa entre os tempos
> p = anova1([c1 c2 c3])
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Comparação de 2 tratamentos
Comparação de um lubrificante (A) com outra (B) na durabilidade de mancais (Y):
– H0: B = A
– H1: B > A
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Número do
Mancal
Tipo do
Lubrificante
Durabilidade
1 A 29,9
2 A 11,4
3 B 26,6
4 B 23,7
5 A 25,3
6 B 28,5
7 B 14,2
8 B 17,9
9 A 16,5
10 A 21,1
11 B 24,3
Resultado dos Ensaios
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Lubrificante A Lubrificante B
29,9 26,611,4 23,725,3 28,516,5 14,221,1 17,9
24,3
médias:
diferença entre as médias:
84,20Ay 53,22By
69,1 AB yy
A diferença entre as médias amostrais 1,69 é suficientemente grande para rejeitar H0? (H0: B = A)
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TTEST2 Two-sample T-test with pooled or unpooled variance estimate. H = TTEST2(X,Y) performs a T-test of the hypothesis that two independent samples, in the vectors X and Y, come from distributions with equal means, and returns the result of the test in H. H==0 indicates that the null hypothesis ("means are equal") cannot be rejected at the 5% significance level. H==1 indicates that the null hypothesis can be rejected at the 5% level. The data are assumed to come from normal distributions with unknown, but equal, variances.
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Lubrificante A Lubrificante B
29,9 26,611,4 23,725,3 28,516,5 14,221,1 17,9
24,3
73,39
9
)51,29(5)50,52(4
2
11
21
22
212
12
+
nnSn + Sn
= Sa
84,201 y53,222 y
50,5221 s
51,2922 s
44,0
61
51
73,39
53,2284,20
11
21
21
+ .
n +
n .S
y y t =
a
> h = ttest2(A,B)h=0
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Durabilidade de Pneus
Fabricante Adivisão aleatória
Fabricante B
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Fabricante A
Fabricante B
Amostras Pareadas
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Aeroplano
1 2 3 4 5 ...
Durabilidade
Fabricante A
Fabricante B
Amostras Pareadas
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Exemplo: Teste t para Dados Pareados
Aeroplano
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dif. (B - A)
0.8
0.6
0.3
-0.1
1.1
-0.2
0.3
0.5
0.5
0.3
H0: D = 0 vs. H1: D 0
Média
Desvio padrão
41,0D
387,0DS
S
n . Dt =
D
35,3387,0
10 . )41,0( =t
p 0,009
rejeita H0
gl = n - 1 = 9
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Processoentradas saídas
y
A B
Fator A
a1b1 a1b2 a1b3 a1b4
a2b4a2b3a2b2a2b1
b1 b2 b3 b4
a1
a2
Fator B
Fator A
a1b1 a1b2 a1b3 a1b4
a2b4a2b3a2b2a2b1
a1b1 a1b2 a1b3 a1b4
a2b4a2b3a2b2a2b1
b1 b2 b3 b4
a1
a2
Fator B
Planejamento Fatorial de Experimentos
Todas as combinações
de ai e bj
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Exemplo (Freitas, 2001, p.277)
• Considere o problema de estudar os efeitos do tamanho da memória principal (fator A) e tamanho da memória cache (fator B) no desempenho de um sistema de arquivos de uma rede local de computadores (LAN). O fator A foi ensaiado nos níveis 128 e 256 Mbytes e o fator B nos níveis 256 e 512 kbytes.
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Exemplo com k = 2 e 1 observação por tratamento:
A
B
+
+
y(A+,B–) = a y(A+,B+) = ab
y(A–,B+) = by(A–,B–) = (1)
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ef(A) = (40 + 52)/2 (20 + 30)/2 = 21 AA yyAef )(
A
B
+
+
a = 40 ab = 52
b = 30(1) = 20
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ef(B) = (30 + 52)/2 (20 + 40)/2 = 11 BB yyBef )(
A
B
+a = 40 ab = 52
b = 30(1) = 20
+
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ef(B) = (30 + 52)/2 (20 + 40)/2 = 11
ef(A) = (40 + 52)/2 (20 + 30)/2 = 21
40 52
3020
– +
Fator A
Fator B
–
+
y = 35,5 + 10,5*x1 + 5,5*x2
10
20
30
40
50
60
B B+
A
A+
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EXEMPLO DE UM PROJETO 23
Barbetta, Reis e Bornia, 2004, p. 44
Um estudo foi desenvolvido para verificar os fatores que influenciam a qualidade da transmissão de dados através da porta serial de microcomputadores.
Observou-se a taxa de falhas de transmissão em função dos fatores:
(A) velocidade da transmissão (2400 / 9600 bauds),
(B) tamanho do arquivo (100 / 200 bytes) e
(C) comprimento do cabo serial (15 / 20 m).
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ensaio
12345678
trata-mento
(1)ababcacbcabc
A B C AB AC BC ABC
+ + + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + + +
A
B
C(1) b
a ab
bc
abcac
c
+
+
+y = q0 + q1x1+ q2x2 + q3x3 +
q12x1x2 + q23x2x3 + q13x1x3 +
q123x1x2x3
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Projeto de experimento fatorialfracionado de dois níveis: 2k-p
Exemplo 23 -1:
A
B
C(1) b
a ab
bc
abcac
c
+
+
+
––
–
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Observe: A = BC; B = AC; C = AB
Isto é, ao calcular o efeito A, na verdade está se calculando
O efeito de A + BC (há confusão entre esses efeitos)
trata-mento
abc
abc
abacbc(1)
efeito fatorialI A B C AB AC BC ABC
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + +
trata-mento
abc
abc
abacbc(1)
efeito fatorialI A B C AB AC BC ABC
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + +
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Tipos de resoluções
• Resolução III: os efeitos principais não estão confundidos entre si, mas estão confundidos com interações de segunda ordem (2III
3-1);
• Resolução IV: os efeitos principais não estão confundidos entre si e nem com interações de segunda ordem, mas estas podem estar confundidas entre si (2IV
4-1);
• Resolução V: os efeitos principais e as interações de segunda ordem não estão confundidos entre si, mas somente com interações de ordem superior (2V
5-1)
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Muito Obrigado!