拡散現象

不可逆な過程

ランダムウォーク 1

!!

１ステップの移動

! : 定数!: ランダム

1000 粒子 反射壁拡散現象

ランダムウォーク 2

分布は空間的に一様化注：個々の粒子は有意に空きスペースに行こうとする訳ではない.

１次元ランダムウォーク

(1) 各粒子は 秒ごとに距離 だけ右か左に移動する.! !

(2) 各ステップで左右に行く確率はそれぞれ 1/2 であり, 前のステップでどちらに動いたかは記憶していない.

(3) 各粒子は他の粒子と独立に動き, 相互作用することは ない.

! 2! 3!!3! !2! !! 0

xi(n) = xi(n ! 1) ± ! 確率 1/2

+!!!

xi(n ! 1)

!x(n)" =1I

I!

i=1

(xi(n # 1)± !) =1I

I!

i=1

xi(n! 1) = !x(n " 1)#

!x(n)" = 0!x(0)" = 0

時間がたっても平均位置は０

粒子の位置の分散

!x(n)" = 0

n第 ステップにおける粒子の位置の分散 :!x(n)2

"

!x(0)" = 0

!x(n)2

"=

1I

I#

i=1

xi(n)2

それでは粒子は出発点にとどまっているのだろうか？

xi(n)2 = xi(n ! 1)2 ± !xi(n ! 1) + !2

!x(n)2

"=

!x(n ! 1)2

"+ !2

!x(n)2

"=

1I

I#

i=1

xi(n)2

=!x(n ! 2)2

"+ 2!2

= · · · =!x(0)2

"+ n!2

!x(n)2

"= n!2

xi(n) = xi(n ! 1) ± !

€

2δに関する平均=0

出発点からの距離は時間とともに増加

粒子の広がり具合

粒子の広がり具合の指標

!x(t)2

"=

!2

"t

D =!2

2"とおくと

!x(t)2

"= 2Dt

D : 拡散係数!(t) =!

2Dt

標準偏差 !(t)

!x(n)2

"= n!2

時間変数 を導入する.t t = !n

出発点からの距離の2乗の平均

(出発点からの距離の2乗の平均) 1/2

粒子の広がる速さ

長い距離を拡散で移動するには時間がかかる！

半径 の円 !

2DtEx.空気中の微粒子の拡散係数

サイズ 10m 程度の部屋の端から端まで香水の分子が拡散によって移動するのにどれぐらいかかるか？

! 10!5m2/sec

t =!(t)2

2D=

102

2! 10!5= 5! 106sec " 2 month

密度による拡散の記述Box 1 Box 2

u1(t) u2(t)

粒子数：大

密度ゆらぎ：小

拡散のマクロな描像

ランダムさを含まない決定論的方程式で記述

粒子密度のうすいところはしだいに濃く，高いところはしだいに薄く

拡散方程式（2 Box System）

u2(t)u1(t)

ku1

ku2

Box 1 Box 2 Box 1 Box 2単位時間あたり ku1(t)移動

ku2(t)単位時間あたり 移動Box 1 Box 2

最も簡単な拡散方程式

2 Box System

Ex. の時間発展を記述する方程式を求めよ．u1, u2

du1

dt= k(u2 ! u1)

du2

dt= k(u1 ! u2)

Exercise

初期値を (u1(0), u2(0)) = (u01, u

02)とするとき

この方程式を解け.Hint: ! = u1 + u2, " = u1 ! u2

とおいて と の方程式にする! !

が保存され, 最終的には一様になるu1 + u2

u1

u2

du1

dt= k(u2 ! u1)

du2

dt= k(u1 ! u2)

d!

dt= 0,

d"

dt= !2k"

!(t) ! !(0) = u01 + u0

2

!(t) = !0e!2kt = (u0

1 ! u02)e

!2kt

u1(t) =u0

1 + u02

2+

u01 ! u0

2

2e!2kt, u2(t) =

u01 + u0

2

2! u0

1 ! u02

2e!2kt,

拡散方程式（離散１次元版）uiui!1 ui+1u1 uI

dui

dt= k(ui!1 ! ui) + k(ui+1 ! ui) i = 2, 3, · · · , I ! 1

du1

dt= k(u2 ! u1)

duI

dt= k(uI!1 ! uI)

Ex. が保存されることを示せ.u1 + u2 + · · · + uI

€

ui+1 − ui

€

(ui+1 − ui) − (ui − ui−1)

１階差分

２階差分

３階差分

€

((ui+1 − ui) − (ui − ui−1)) − ((ui − ui−1) − (ui−1 − ui−2))

€

= ui+1 + ui−1 − 2ui

ui!1ui+1

ui

ui!1

ui+1

ui

離散ラプラシアンによる時間発展

dui

dt= k(ui!1 ! ui) + k(ui+1 ! ui)

= k(ui!1 ! 2ui + ui+1)

= 2k

!ui!1 + ui+1

2! ui

"

隣接セルの平均値の方に行こうとするダイナミクス

隣接セルの平均値と自分自身の差を測っている.

空間的な凹凸をなくそうとするはず

離散ラプラシアン2階微分

シミュレーション

拡散とは空間均一化のダイナミクスである.

最終的には limt!"

ui(t) = u0 =1I

I!

i=1

ui(0)

ui!1,j ui+1,j

ui,j!1

ui,j+1

ui,jdui

dt= k(ui!1,j ! ui,j) + k(ui+1,j ! ui,j)

+k(ui,j!1 ! ui,j) + k(ui,j+1 ! ui,j)

= 4k

!ui!1,j + ui+1,j + ui,j!1 + ui,j+1

4! ui,j

"

= k(ui!1,j + ui+1,j

+ui,j!1 + ui,j+1 ! 4ui,j)

２次元離散ラプラシアン

2次元離散拡散方程式を求め,２次元離散ラプラシアンの意味を考えよ.

Ex.