工学者のための量子計算基礎の基礎慶應義塾大学理工学部物理情報工学科

伊藤公平

目次量子コンピュータとは何か？を学部レベルの知識でも理解できるよう説明し，量子コンピュータ開発にむけていかなる工学技術が必要か考える機会を提供する．

１．計算のリソース２．量子コンピュータとユニタリ変換３．量子回路４．量子並列性と観測問題５．量子力学的離散フーリエ変換６．量子計算アルゴリズム

a) Deutsch-Jozsaアルゴリズムb) Grover’sデータベース検索アルゴリズムc) Shor’s素因数分解アルゴリズム

７．量子ビットの求められる性質

参考文献

本講義の内容は，最終章を除いて，以下の3冊の本の内容をまとめた

ものです．

１．上坂吉則「量子コンピュータの基礎数理」コロナ社

２．ゲナディ・P・ベルマン，ゲーリー・D・ドーレン，ロンニエ・マイニエリ，

　　ウラジミール・I・チフリノビッチ　「入門　量子コンピュータ」　訳：松　

　　田和典，パーソナルメディア社

３．Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang, “Quantum 　　　

　　Computation and Quantum Information,”

　　Cambridge University Press

計算のリソース

問題：　N個の正整数を大きい順に並べる．

★古典的コンピュータ

　最低　　　　　　　　　ステップ必要

★スパゲッティ－コンピュータ[西野哲朗：中国人郵便配達問題=コンピューサイエンス最大の難関，講談社(1999)]

　スパゲッティ－をN本用意し，正整数の大きさに切る（Nステップ）　束ねて机の上に立てる（1ステップ）　長い順に取り出し机に並べる（Nステップ）　以上の総ステップ数は2N+1

　

　

　

　

NlogNL 2

0

10000

20000

30000

40000

50000

0 1000 2000 3000 4000 5000N

古典的コンピュータ

スパゲッティ－コンピュータなぜ，スパゲティーコンピュータは効率が良いのか？総ステップ数

量子コンピュータとは

dtd

i )z,y,x(Vzyxm 2

2

2

2

2

2

2時間に依存する波動関数

Hが時間に対して不変の場合（緩和時間が長い）

)()t(U)t( 0

!/iHt

!/iHt

!/iHt

Ie)t(U /iHt

321

32

IUU*ここでU(t)はユニタリ行列

をリソースとして，それらに何ステップものユニタリ演算をほどこすのが量子計算

(1)

(2)

Δtおきにユニタリ演算Uを施すと)()(U)t( 00

)t()t(U)t( 2)t()t(U)t( 223

・・・0021 UUU nnn

0'U

有限空間で考えるとを有限次元空間に属するベクトルと仮定する

0

100e

1

011e

基底

10 )()()( etbetat

zI0

10

01

21zI **

***

aa

aaA

aa

aaA

1101

1000

1110

0100

IZはエルミート行列（=複素共役）

!

/iHt

!

/iHt

!

/iHtIe)t(U /iHt

321

32IUU*

10 )t(b)t(a I1>

I0>

102

1

z

ユニタリ演算の例（１）

例１　一量子ビット回転ゲート(NOT演算）0

100e

1

011e

基底

01

10RU を

100101 100 ee

110010 100 ee

にほどこすと

11

0

0

1

01

100RU 0

01

10

0110

1RUと のように反転（回転）させる．

0110 )t(b)t(a)t(b)t(a)t(UR

ディラック記法では、0110

0010

0100

0110

1001

0110RU

01011101RU

10010100RUikki

101010

RU はXゲート(IX)とも呼ばれ重要である。

（ユニタリかつエルミート）

IUU RR 1100*

ユニタリ演算の例（２）例２　ニ量子ビット制御ノット(controlled NOT)演算（22×22の行列が必要）

0001

000e

基底

0010

011e

0100

102e

1000

113e

11

1000

0100

0100100000100001

10CNU

21

1,21,1

0,21,1

1,20,1

0,20,1

1,2

0,2

1,1

0,121 xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

xxx

テンソル積

00

0001

01

01

00

,0000CNU

まとめると

,0101CNU

,1110CNU .0111CNU

標的ビット制御ビット

11100100 4321 aaaai入力

10110100 4321 aaaaU iCNf出力

量子並列性：2準位系の2量子ビットで22状態が一度に計算できる。N量子ビットでは2n状態を並列計算。

（ユニタリかつエルミート）

1011111001010000CNU

IUU CNCN 1111101001010000*

古典演算との違い－可逆性

01

10

bfaiNOT演算（回転ゲート）

if ab

1,0, ii ba

可逆（古典、量子）

AND演算

iif bac

不可逆（古典）

111001010000cfbiai

011101110000cfbiai

XOR演算

iif bac

不可逆（古典）

iiii baba

0111110110100000bfafbiai

Controlled NOT制御NOT

iif bab

可逆（量子）

iiii baba

A

B

A

BA

量子回路

量子計算で利用される単一量子ビット操作

X

Z

H

10 10

10

10

10

210

210

Y10 10i

Pauli matrices （パウリ行列）

Hadamard gate （アダマードゲート）

0110

RUX0

0i

iY

1001

Z

1111

21

H

ブロッホ球

x

y

z0

1

12

02

sinecose ii

,10 122より

12

02

sinecos i

1001

I

Hadamard gate

y

2

100

2

101 0

2

101

2

10

1111

21H H looks like a ‘square-root of NOT’ gate,

though H2 is not a NOT gate.

y

0

2

10

1

2

10

y

回転操作

x

y

z0

1

12

02

sinecos i

22

2222

2

cossini

sinicosXsiniIcoseR /Xi

x

22

2222

2

cossin

sincosYsiniIcoseR /Yi

y

2

22

00

22 /i

/i/Zi

ze

eZsiniIcoseR

ブロッホ球のx, y, z軸それぞれを中心とした角度 の回転

量子計算の例（１）　交換回路

A

B A

B A

B

A

BA

単一制御NOT反転した三つの制御NOT

BA,AB,A

BA,BBA,BAA

A,BBBA,B

01101 ,,

01001011 ,,

100010 ,,

量子計算の例（２）　制御制御NOTゲート

ai

bi

ci

af

bf

cf

011111111011101101001001110110010010100100000000cfbfafcibiai制御制御NOT（controlled controlled NOT）

,if aa if bb

fc ,ci 1ii ba

fc その他

の場合

または iiif cbac 1ii baNOTゲート： の場合 if cc

制御NOTゲート： 1ia の場合 iifif cbc,bb

ANDゲート： 0ic の場合 iif bac 古典計算もできる！

制御制御NOTゲートは3量子ビットゲート

ai

bi

ci

af

bf

cf

制御制御NOT（controlled controlled NOT）

,if aa if bb

fc ,ci 1ii ba

fc その他

の場合

または iiif cbac

0100000010000000001000000001000000001000000001000000001000000001

CCNU

011011010010001001000000CCN

110111111110101101100100

33221100CCN

67765544

十進数表記で

宿題

ai

bi

ci

d=0

ai

bi

ci

di

この量子回路が加算器であることを示しなさい．

万能ゲートと観測問題

◎　万能ゲート：すべてのユニタリー変換が、一量子ビット回転ゲート(UR)と　　　　　　　　　　二量子ビット制御ノットゲート(UCN)の組み合わせで実現　　　　　　　　　　できる。または、三量子ビット制御制御ノットゲートのみの　　　　　　　　　　組み合わせでもよい。

　量子並列性と矛盾？本来は100量子ビットの量子並列演　　　　　　　　　　算には 2100×2100のユニタリ行列が必要。

◎　観測問題：　出力　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を観測した場合　　　　　　　

10110100 4321 aaaaU iCNf

,24

23

22

21

2

aaaa

aiei ( |00>, |01>, |10>, |11>) が確率 3,2,1,0i

で観測され、その後、波束はeiの状態に収束する。

　よって、正解の確率振幅を他より増大させる工夫が必要。

量子フーリエ変換（１）◎入力ベクトルの確率振幅をフーリエ変換した結果が出力ベクトルの確率振幅となる．

b

adxxfxyKyf )(),()(~ で baexyK ixy ,,),( だとフーリエ変換

1

0)(),()(~ N

xxfxyKyf が離散フーリエ変換

1

0

* )(~),()(N

xxfxyKyf が逆変換

1

0

1

0)(~)(

N

y

N

xyyfxxfU量子離散フーリエ変換（ユニタリ変換）

H102

102

10

例：Hadamard gate （アダマードゲート）　　1量子ビット離散フーリエ変換（可逆）

1111

21H

yxHy

xy1

01

21

選択的回転変換 )()()(~ 1

0yfexfeyf yiN

xxy

xi

量子フーリエ変換（２）

◎　n量子ビット量子フーリエ変換は以下の量子回路で実行できる．

12/21 0

01R kjikj

e

位相ゲート kjkjjkkjkjkjkjkjkjkjR 11112

exp0101101000001

H

H

H

H

R2 Rn-1 Rn

Rn-2 Rn-1

R2

1j

2j

1nj

nj

10 1.02 njjie

10 2.02 njjie

10 1.02 njnjie

10 .02 njie

３キュービット量子フーリエ変換の例

2/2 001

R ie

入力 010010 123

H

H

H

R2 R31j

2j R2

×

×

3j

Step 1 0110102

1102

1100101H

Step 2 0110102

10112

exp0102

10110102

1)21(2)21(2 iiRR

Step 3 0110102

10110102

1)31(3)31(3 iiRR

Step 4 0110010100002111000100

21

2 iiiH

Step 5 01100101000021

)32(2 iiR

Step 6 1110111010011100101000008

13 iiiiH

Step 7（逆転） 1111101011000110100010008

1iiii

4/3 001

R ie

フーリエ変換終了kjhhjk

Quantum algorithms

Grover’s algorithmShor’s algorithms

Deutsch-Jozsa algorithm

Deutsch-Jozsa algorithm（１）

210

0

x x

y )(xfy

fU

補題１：量子並列性10,:)x(f

xfy,xy,xU fデータ，ターゲット

21100

02

10 f,f,,U f

Walsh-Hadamard transformを利用すると

2関数を並列計算

H

H

0

0 211100100

210

210

0 2H2

と記す

Deutsch-Jozsa algorithm（２）補題1：量子並列性（つづき）

0

x x

y )(xfy

fU xfxxn2

1

00 n

0～xの入力を並列計算

0 nH

n

入力

出力 xf,xf,f,f,xfxnxn

2211002

1

2

1

Deutsch-Jozsa algorithm（３）

補題２：Deutschの問題

010

1

x x

y )(xfy

fU0 H

H

H

0 1 2 3

入力

210

210

1

210

210

2

210

210

2

10 ff

10 ff

if

if2

101

210

xxU xff

210

03

210

13

10 ff

10 ff

if

if2

10103 ff

10 ff を1回で決定できる．

古典的には最低2回必要．

Deutsch-Jozsa algorithm（４）121010 n,,,x,:xf

constant : f(x) is constant

balanced : f(x) is half 0 and half 1

Mission : Judge whether f(x) is constant or balanced.

0

1

n

H

nH nHx x

y )(xfy

fU

本題

100n

0 1 2 3

210

2101

n,xn

x

210

2

12

x n

xf x

z xn

xfzx z

210

2

13

Example: n=2

H

nH0

1

n

)1,1,1,1()0,0,0,0()( orxf

1H2

10

2

10

)1,1,0,0()(xf

1H2

10

2

10

)1,0,0,1()(xf

1H2

10

2

10

1H00

1H01

1H11

1H2

10

2

10

x x

y )(xfy

fUnH

Get 0 if f(x) is constant.100

0

2

3

Grover’s algorithm (1)

N

データベース検索：N=2n個のファイルがあり，0からN-1までのアドレスがつけられている．指定された内容のファイルを少ないステップで見つけたい．古典的にはNステップ必要だが，グローバーの手法では 　でよい．正解のアドレスでは　　　　　その他では0．1xf

測定0n nH

G G Gオラクル用

N 回程度

n00

オラクル用xx xf1

オラクルnH

xx

nHPhase

Gの中身

Grover’s algorithm (2)

n00

オラクル用xx xf1

オラクルnH

xx

nHPhaseGの中身

xx xf1 ，すなわちオラクルは正解f(x)=1のときのみに反転させる

IHI02HHPH nnnn 20

kkIk

kk k 22

すなわち振幅の平均値< >を中心として反転させる

Grover’s algorithm (3)例：4量子ビットで正解が一つで　　の場合（2nにおいてn=2に対応）

00 01 10 11

0x 1 2 3

1

0.250.5

0.5

0

1.0

確定的モデル　 15÷2, 15÷3, 15÷4・・・・をつづけ割り算の答えとあまりを求める

確率的モデル　（乱数でためす）　　　　　　　　　　　　　　　mnをNで割ったあまり

を求める

例としてN=15, m=2を選んだ場合を考える

素因数分解の計算（15=3×5の場合）

NmF nn mod

15mod2nnF

　　　　確率的計算　　

8F7 =27÷15のあまり4F6 =26÷15のあまり2F5 =25÷15のあまり1F4 =24÷15のあまり8F3 =23÷15のあまり4F2 =22÷15のあまり2F1 =21÷15のあまり1F0=20÷15のあまり

こたえN=15, m=2

15mod2nnF

周期 r=４

5121 2/42/rm

3121 2/42/rm

　　　　確率的計算　（例２）　　

11F7 =117÷15のあまり1F6 =116÷15のあまり11F5 =115÷15のあまり1F4 =114÷15のあまり11F3 =113÷15のあまり1F2 =112÷15のあまり11F1 =111÷15のあまり1F0=110÷15のあまり

こたえN=15, m=11

15mod11nnF

周期 r=2

121111 2/22/rm

101111 2/22/rm

緑下線の数字とN=15の最大公約数をとると３と５

古典的にrを求めるのが難しい

古典的計算機内での処理　　

8F7

4F6

2F5

1F4

8F3

4F2

2F1

1F0

2n(mod 15)Fn

15mod2nnF

000 0100 0010 0110 0000 1100 1010 1110 1

レジスターX (n)

100 0010 0000 1001 0100 0010 0000 1001 0

レジスターY2n (mod 15)

20

21

22

23

20

21

22

23

10進 2進

量子計算では　　

8F7

4F6

2F5

1F4

8F3

4F2

2F1

1F0

2n(mod 15)Fn

15mod2nnF

000 0100 0010 0110 0000 1100 1010 1110 1

レジスターX (n)

100 0010 0000 1001 0100 0010 0000 1001 0

レジスターY2n (mod 15)

20

21

22

23

20

21

22

23

10進 2進量子情報

Xに重ね合わせ状態、Yに絡みあった状態をつくる xxf,x

量子計算では（2）　　 15mod2nnF

000 0100 0010 0110 0000 1100 1010 1110 1

レジスターX(n)

100 0010 0000 1001 0100 0010 0000 1001 0

レジスターY2n (mod 15)

20

21

22

23

20

21

22

23

フーリエ変換

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12

Fnのnの値

2n (m

od 1

5)の値

可能性の高さ

0 2 4 6 8 10 12

周期rの値

r=4

Shor’s algorithm (1)

1111101011000110100010008

1:X

例：3量子ビットでf(x)の周期がr=2の場合を考える．

765432108

1

xxf,x:Y,X

81

離散フーリエ変換を に適用する．（知りたいのはf(x)の周期r）

7210081

81 7

0

82 ffffxf,xe'k,x

/ikx

7210181 87282282 fefefef /i/i/i

7210281 87482484 fefefef /i/i/i

7210781 87148214814 fefefef /i/i/i

．．．．．．

Shor’s algorithm (2)f(x)も計算の結果，周期r=2であれば，f(0)=f(2)=f(4)=f(6)およびf(1)=f(3)=f(5)=f(7)なので以下のようにくくれる．

10021

ff'

47454342320 10181 /i/i/i/i/ii/i eeeefeeeef

．．．．．．

2725232320 10281 /i/i/i/iiii eeeefeeeef

4214154943293230 10381 /i/i/i/i/ii/i eeeefeeeef

iiiiiii eeeefeeeef 7536420 10481

同色の色線で引かれた位相同士は干渉により弱めあい，ゼロとなる．結果として生き残るのが

1404100021

f,ef,f,f,' i よってX測定では0か4を同確率でえる．

Shor’s algorithm (3)

ショアのアルゴリズムによると測定結果kは，k=0, 2n/r, 2×2n/r, 3×2n/r,・・・(r-1)2n/rをとる．

前ページの例ではn=3，k=0,4からr=2が求まる．

疑問：　kは，k=0, 2n/r, 2×2n/r, 3×2n/r,・・・(r-1)2n/rと何種類の値をとれるため，周期rは決定できないのでは？

7量子ビットでr=8の例で考えると27=128．よってXの測定で8つのk=0, 16, 32, 48…, 112のうちの1つが結果として得られる．たとえばkを測定して80が得られたとする．

58

8012827

k 他のkでも同じようにすると 78,

34,2,

38,4,827

k

分子に注目すると正解r=8が50%の確率で得られることがわかる．これで十分！

入力に誤差がある場合の影響◎例題：　f(x)=kx, k=0, 1, 2, ・・N-1が入力された場合の勾配kを知りたい。

　方法：　ユニタリ行列　　　　　　入力　　　　　　忠実に計算すると： となり確率１で正解が得られる。　

例：N=2, k=1の場合

,xyUU ,/ NU xyxy ),/2exp( Ni 1,....,1,0, Nyx

Neee NNkf

xxkfkf

k /1)1()(

0)0(

10

01

21

1

11

21

1

220

22

22

1

ii

i eee

U

kk eU

◎入力fkが正確に行えず 　が

入力されると　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

が出力される。N=16, k=4, =0.2では　　　　　　　が

高い確率で得られる。繰り返し測定が重要。

　

,)()( xkxgk 1

11,,00, NNkxxkkk ebebebU

xxg 2.4)(4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

exが得られる確率(N=16, k=4, =0.2)

量子コンピュータの基本要素

NS

1.初期化 2.量子演算 3.読み出し

回転

制御ノット

単一スピン検出

量子ビット#1

量子ビット#2

量子ビット#3

量子ビット#4

量子ビット#5

量子ビット#6

量子ビット数 総演算ステップ数

超並列計算

0 0 0 00 0 1 10 1 0 20 1 1 31 0 0 41 0 1 51 1 0 61 1 1 7

2進数 10進数

2n通りの数を一気に処理できる

量子ビットに必要な性質

１．初期化が容易である．

２．位相緩和時間が長い（Hが時間に依存しない）

　　外界との相互作用が小さい

３．１ステップに必要な演算時間が短い

４．多量子ビット演算に充分な相互作用がえられる．

　　他の量子ビットとの相互作用をon/offできる．

５．単一ビットの状態測定（読み出し）が容易である．

量子コンピュータの実現にむけて１．量子ビット数(n)の増加→　状態数 2n

２．総演算ステップ数位相緩和時間 T2

スイッチ時間　ts

量子ビット 緩和時間 T2 (秒) スイッチ時間　ts（秒） 総演算ステップ数

電子準位 10－9 10－13 10 4

電子スピン 10 －6 10－10 10 4

イオン準位 10 －1 10 －14 10 13

核スピン 10 3 10 －4 10 7

光子

量子ビットのジレンマ（核スピンの例）

１．外界との相互作用が小さい　　極めて長い緩和時間 T2　1000秒?２．スイッチ時間　ts　　0.0001秒　　　　　　　　　　　　　（核磁気共鳴周波数(KHz)の逆数）３．実現可能な演算ステップ数　107回

長所

短所

１．外界との相互作用が小さい　　演算・単一スピン測定が困難

２．初期化が困難～10μK

イオントラップ

中性イオン光学結晶

分子核磁気共鳴（溶液NMR）

バルク結晶核磁気共鳴

超伝導における磁束状態の利用

超伝導における電荷状態の利用

半導体中の不純物核スピン

単一スピン検知プローブ

キャビティーQED量子ドット中の電荷の光学的操作

量子ドット中の電子スピンの光学的操作

量子ドット中の電子スピンの電気的操作

液体ヘリウム上の2次元電子系

固体システム

その他:線形光学、非線形光学, STM, . . .

量子ドット中の電荷の電気的操作

半導体中の不純物電子スピン

全シリコン量子計算

総演算ステップ数

VandersypenAPL 00

VandersypenPRL 00

VandersypenNature 2001

factoring 15

VandersypenPRL 99

ChuangNature 98

*量子ビット操作最前線

量子ビット数

02 NEC02 Delft