コンピュータアーキテクチャ I #2

論理数学の基礎

平成２７年 4月１７日

教科書 p.12～ p.23

本日の講義内容 2進数と 10進数（復習） 論理とは？

– 組み合わせ論理，順序論理，２値論理 論理表現と演算

– 真理値と真理値表 基本的な論理演算

– 論理和，論理積，否定– ベン図による論理の表現– 双対性

まとめ

2進 -10進変換 10進数→ 2進数

– 2で割って余りを求める– これを余りが０か１になるまで続ける– 最後に求めた余りから最初の方に向かって余り（０か１）を並べれば変換終了

2進数→ 10進数– 2進数の第桁目はを表す– 桁目の値にをかけた値を各桁で求める– これをすべて加えれば変換終了

論理とは ろんり（ logic）＜広辞苑＞

– 思考の形式・法則。また、思考の法則的なつながり。– 実際に行われている推理の仕方。論証のすじみち。– 比喩的に、事物間の法則的なつながり。

「論理回路」の世界では，論理変数と論理演算を組み合わせ，「命題」を表現する手立て．

命題 (Proposition) 正しいか，正しくないかの判定ができる文章や数式のこと– 「２０１４年度セントラルリーグ優勝はタイガースだった」

– 「２０１４年度セントラルリーグ優勝チームは？」

– 「赤い色の果物はイチゴである」– 「いちごは赤い色の果物である」

ある命題が正しい：　真（ True，１） ある命題が正しくない：　偽（ False，０）

論理変数 ある物事を表すのに用いる「変数」． 2値しかとりえない変数を用いるときは「 2値論理」と呼ぶ．

(例 )論理変数 X：そば粉が使われている– 「そば」や「そばがき」など：– 「うどん」や「パスタ」など：

(例）論理変数 Y：海苔がのっている– 「ざるそば」，「親子丼」など：– 「ハンバーグ」など：

独立変数と従属変数 独立変数

– 他に束縛されることなく値を決定できる– 先の例では論理変数が該当する

従属変数– 他の論理変数の値により，値が決まる変数– 「ざるそば」を論理変数とすれば，は従属変数であり，以下のように表される

– 「もりそば」を論理変数とすれば，は従属変数であり，以下のように表される

𝑃=𝑋 ∩𝑌

𝑄=𝑋∩𝑌

真理値と真理値表 すべての独立変数がとりうる値に対して，従属変数がどのような値をとるかを一覧表にしたもの– 変数：そば粉– 変数 :海苔– 変数 :ざるそば

論理変数がとる値– 論理値と呼ぶ 0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

例題：真理値表を作ってみる1. ２つの２進数１桁を加算したときの和と桁上がりの関係

2. 講義が休講であり，霧島，秋月，雪風の急速修理が完了していれば遠征に出す

3. 宮崎県内で畜養された黒毛和牛肉であり，等級が A5か A4以上であれば，「宮崎牛」である

命題の否定 ある論理変数に対し，その値を否定（反転）すること– 論理変数の否定：　

𝑋𝑈 𝑋 のとき

のとき

論理積 ある命題とがあり，ともに 真」のときのみ成り｢立つ命題– はとの「論理積」である，という

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

𝑈𝑋 𝑌

𝑋 ⋅𝑌

論理和 ある命題とがあり，どちらか一方が 真」であれ｢ば成り立つ命題– はとの 論理和」である，という｢

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

𝑈𝑋 𝑌

𝑋+𝑌

2変数の AND,OR,NOTと真理値表 論理変数による AND， OR，に対する NOT演算をまとめて書きなさい

AND OR

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

0

0

01

1

1

1

1

1

３変数の AND,ORと真理値表 論理変数に対する ANDと ORをまとめて書きなさい

AND OR

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

論理式（関数）とは ある命題を，論理変数とその演算を組み合わせて表現したもの

命題 Z：「翌日が土曜日か日曜日であり，天気予報が晴れであり，かつ所持金が 3 千円以下でなければ海水浴にいく」– 翌日が土曜日：　 A（真ならば１）– 翌日が日曜日：　 B（真ならば１）– 天気予報が晴れ：　 C（真ならば 1）– 所持金が 3 千円以下：　 D（真ならば１）

𝑍=( 𝐴+𝐵 ) ⋅𝐶⋅ 𝐷

真理値表と論理式

論理式– ある論理変数について，真となる条

件のみを独立変数の論理演算の形で表したもの

– 真理値表が与えられたとき，1. 論理式が１となる場合の，2. 各場合の論理変数の値を調べ，3. 論理変数の値が１ならそのまま，4. 論理変数の値が０なら変数を否定し，5. 結果の論理積をとり，6. すべての場合の 5を論理和で結ぶ

10011001𝑍

10101010𝐶

11001100𝐵

0

100

111

0𝐴

𝑍=𝐴𝐵𝐶+ 𝐴𝐵𝐶+ 𝐴𝐵𝐶+𝐴𝐵𝐶

ブール代数 ブールさん

– 論理変数に対する演算を体系化した人 ブール代数

– 論理変数に対する演算体系– 代数構造

– 演算の強さ：　 NOT > AND > OR

否定

ブール代数の公理（１） を前提とする 公理 1:

– (a) – (b)

公理２：– (a) となる元 0が存在する– (b) となる元１が存在する

公理３：交換則– (a) – (b)

ブール代数の公理（２） 公理４：（分配則）

– (a) – (b)

公理５：元 0と元１が唯一であるとき，

　　なる元が存在する 公理６： にはとなるとが存在する

∀ 𝐴∈𝑈 , 𝐴⋅ 𝐴=0 , 𝐴+𝐴=1

双対性 ある論理関係の０を１，１を０，＋を・，・を＋に置き換えて出来る関係を 双対 という｢ ｣

双対性が成り立つ公理– 公理 1aと 1b– 公理 2aと 2b– 公理 3aと 3b– 公理 4aと 4b

閑話休題 公理

– 証明不可能であるとともに、また証明を必要とせず直接に自明の真として承認され他の命題の前提となる根本命題。 ( ｲ )ある理論領域で仮定される基本前提。この場合、公理は自明な真理ではなく、公理系のとり方によって定まる。従ってある公理系で公理である命題も、他の公理系においては公理から証明される定理となることや、また偽となることがある。

定理– (theorem) すでに真なりと証明された一般的命題。公理または定義を基礎として真であると証明された理論的命題。

主なブール代数の定理（１）

公理 2aを満たす元０および公理 2bを満たす元１は，それぞれ唯一つ存在する

公理５を満たす元はただ 1つだけ存在する

任意の元 Aに対し，次のべき等則が成立する　𝐴+𝐴=𝐴𝐴⋅ 𝐴=𝐴

主なブール代数の定理（３）

任意の元に対し，次の復帰則が成立する

任意の元に対し，次の結合則が成立する

𝐴=𝐴

( 𝐴+𝐵 )+𝐶=𝐴+(𝐵+𝐶 )( 𝐴𝐵 )𝐶=𝐴(𝐵𝐶)

主なブール代数の定理（４） 任意の元に対し，次の吸収則が成立する

任意の元に対し，次の第２吸収則が成立する

𝐴+𝐴⋅𝐵=𝐴𝐴 (𝐴+𝐵 )=𝐴

( 𝐴+𝐵 ) ⋅ ( 𝐴+𝐵 )=𝐴

( 𝐴⋅ 𝐵 )+ ( 𝐴⋅𝐵 )=𝐴

主なブール代数の定理（５） 任意の元に対し，次のド・モルガンの定理が成立する

𝐴+𝐵=𝐴⋅𝐵𝐴⋅ 𝐵=𝐴+𝐵

練習問題下の式をブール代数を用いて証明せよ 　

　　

本日のまとめと来週の予定 論理演算の基本

– 命題と論理変数– 真理値と真理値表– 基本的な論理演算（ AND, OR, NOT）– ブール代数の公理と定理

来週の予定– ２変数論理関数とド・モルガンの法則– 加法標準形と乗法標準形