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課題1

「サンプリング周波数」の解答

課題1 「サンプリング周波数」

(1) 以下に示す信号のサンプリング周波数値を調べよ．また，その値としている合理的な設定理由を述べよ． オーディオCD： ？ kHz

音声通話（固定電話，携帯電話） ？ kHz

様々な音声信号処理でのサンプリング周波数

音声通話（固定電話，携帯電話）： 8kHz

Skype： 16KHｚ （状況により可変）

オーディオCD： 44.1KHz

DVDオーディオ音声： 48KHz

MP3： 最大48KHz (可変)注：ビットレートが規定 64kbps～320kbps

WAV： ビットレートが規定 1411Kbps

PCの音声処理： 44.1kHz～192kHz (標準48kHz)

ハイレゾオーデイオ： 48k, 96k, 192kHz3

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（補足）ビットレート(bps)

ビットレート（ビット速度，bit rate） 一秒間にシステムで処理されるデジタル信号のビット数

単位： [bps] (bit per sec), [ビット/秒]

例： ２CHオーディオ信号を，44.1KHzのサンプリング周波数，16ビットの量子化数でデジタル化した場合のビットレートは？

44.1x103x2x16 = 1536000 = 1411.2kbps

信号処理システムのbps値の例 MP3： 320kbps(最大)， AACオーディオ：256kbps(最大)

Wav： 1411kbps

ワンセグ動画：128kbps，地デジHD放送画像：15Mbps

スマホ（LTEデータ通信）75-100Mbps（理論値），??（実際）

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問題1(1) 解答 可聴域のテスト

（正弦波を44.1kHzでサンプリング）

15Hz

27.5Hz （ピアノの最低音）

50Hz

100Hz

440Hz（時報の低い音）

880Hz （時報の高い音）

4096Hz（ピアノの最高音）

6000Hz

10000Hz

12000Hz

13000Hz

14000Ｈz

15000Hz

22050Hz (CDで再生可能な最大周波数)

色々な動物の可聴域(「立体視の不思議を探る」 井上弘著 オプトロニクス社より ）

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演習問題 問題1(1) 解答 音声信号の周波数帯域（可聴域）は、個人差や年齢差もあるが、大体 20Hz～20,000Hz (20kHz)と言われている。

従って可聴域の最高周波数が、ほぼ20kHz となるため、ナイキスト周波数は2×20kHz=40kHz である。

デジタルオーディオ装置開発当初，当時のVTRの映

像記録部を流用し，オーディオ信号を録音しようとした．その映像信号のサンプリング周波数が44.1kHzであったため，CDのサンプリング周波数に流用された．

(（社）日本音響学会HPより http://www.asj.gr.jp/qanda/answer/3.html)

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演習問題 問題1(1) 解答 MPEG-1 Audio Layer-3(いわゆるMP3)は，映像データ圧縮方式のMPEG-1で利用される音声圧縮方式の

一つ。人間が聞き取りくい音声、不可聴帯域を圧縮し，音質を大きく損なうことなく約1/10に圧縮している．

CD, MP3いずれのサンプリング周波数も，可聴域の最

高周波数を再現可能なナイキスト周波数である約40kHzを超え，サンプリング後のデータ量が不要に増加しないことを考慮し，44.1～48kHzが用いられている。

MP3のサンプリング周波数は，周波数特性を犠牲にしても，データ量削減を優先したい場合もあるため，16K, 32K，22.05K, 24KHz なども選択可

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演習問題 問題1(1) 解答

ハイレゾ音源従来の音楽用CDのサンプリング周波数・量子化ビット数（44.1キロヘルツ・16ビット）を上回る、48kHzまたは96kHz・24ビット以上のデジタル音楽データ．192kHz/24ビットのデータもあり．

スタジオ録音と同じサンプリング周波数仕様

2013年頃から対応商品が市販化

原理的には，従来音源との違いを人間が識別できないはずであるが，官能検査では音の良さ，響き，心地よさなどの違いが，一部の被験者では識別可能という結果も得られており，更なる科学的な解明が待たれている．（http://app-review.jp/news/224212）

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課題1(1) 解答（つづき）

日本語5母音のホルマントの位置(㈱沖電気Web，「声の種類と発生のしくみ」http://www.oki.com/jp/rd/ss/speech.htmlより)

人間の声の周波数は，声帯・声道の効果により定まる．

声帯の振動周期が『ピッチ』(声の高さ)を与える．

声道の形が『ホルマント』(声の種類)を与える．

ホルマントは複数個発生し、周波数の低い方から第1ホルマント(F1)、第2ホルマント(F2)、第3ホルマント(F3)で構成される。この複数のホルマントによって声の種類(音色)が決まる．

母音の第２フォルマント(F2)の最高周波数3.0KHz, 子音の最高周波数は5.0～7.0KHz程度である．

通信が可能となる音声の下限の最高周波数は3.5kHz程度（少なくとも母音が正しく伝わ

る）となるため、きりのよいナイキスト周波数として8kHz が選ばれている．

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日本語音声（母音）の波形とスペクトル例

「あ」の波形例

「あ」の振幅スペクトルF1

F2

F3

フォルマントは，スペクトル自身のピークではなく，ピークを滑らかに補間した曲線( )の極大点となります

「い」の波形例

「い」の振幅スペクトルF1

F2(F3)

日本語音声（子音）の波形例

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「し」の波形 「ち」の波形

子音部 子音部 母音部母音部

「音声認識～周波数スペクトルで音素を判別」http://www.geocities.jp/myonsei/index.html

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子音の最高周波数は5KHzを超えること

もあるため，周波数の特に高い母音＋子音の組みあわせ音（例えば「し」や「ち」の音，最高7KHz程度）は電話で正しく伝わらない場合が多い．

「し」の子音部のスペクトル 「ち」の子音部のスペクトル

4700Hz4100Hz「音声認識～周波数スペクトルで音素を判別」http://www.geocities.jp/myonsei/index.html

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問題1(1) 解答 可聴域のテスト

（正弦波を44.1kHzでサンプリング）

15Hz

27.5Hz （ピアノの最低音）

50Hz

100Hz

440Hz（時報の低い音）

880Hz （時報の高い音）

4096Hz（ピアノの最高音）

6000Hz

10000Hz

12000Hz

13000Hz

14000Ｈz

15000Hz

22050Hz (CDで再生可能な最大周波数)

色々な動物の可聴域(「立体視の不思議を探る」 井上弘著 オプトロニクス社より ）

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演習問題 問題1(1) 解答 音声信号の周波数帯域（可聴域）は、個人差や年齢差もあるが、大体 20Hz～20,000Hz (20kHz)と言われている。

従って可聴域の最高周波数が、ほぼ20kHz となるため、ナイキスト周波数は2×20kHz=40kHz である。

デジタルオーディオ装置開発当初，当時のVTRの映

像記録部を流用し，オーディオ信号を録音しようとした．その映像信号のサンプリング周波数が44.1kHzであったため，CDのサンプリング周波数に流用された．

(（社）日本音響学会HPより http://www.asj.gr.jp/qanda/answer/3.html)

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演習問題 問題1(2) 解答(2) 量集センタ壁面を，1600ｘ900程度の解像度で，クロ

ーズアップ撮影した画像と，駐車場から離れて撮影した画像とを夫々レポートに記載し，なぜ離れて撮影した画像には縞が現れたのか理由を，サンプリング周波数の観点から簡単に説明せよ．

→ ディジタル画像での「エリアシング」の発生が理由

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情報棟

量集センタ

クローズアップ画像

離れて撮影した画像

壁のタイル模様

⽩⿊２値周期関数

t0

1

タイル模様の横⽅向輝度変化の周期関数近似

𝑇2

𝑇2

𝑇 50 mm

𝑇 𝑇 22.5 mm

⽩

⿊

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フーリエ級数の計算例

20

1

01

1

TtT

Tttx

0

0.5

1

t [ ]

x (t

)

0-T0

T0

周期 T0

-T1 T1

20T

10

10

0

1

00

10

00

00

0

2

20

00

sin2

sin2

2

2

1

11

1

1

1010

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0 0

Tk

Tk

T

T

Tk

Tk

j

ee

Tk

eTjk

dteT

dtetxT

dtetxT

C

TjkTjk

T

T

tjk

T

Ttjk

T

Ttjk

T tjkk

• でも

x(t)は１周期

2200 T

tT

020

1

tx

TtT 　で　

20T t

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タイル模様の複素フーリエ級数展開

　

　

k

k

Tk

TkCk

9.0sin

sin2

00

10

𝑇 50 mm ，𝑇 22.5 mm , Ω 𝑚𝑚

　

　 9.02

0

10

T

TC

　のとき0)1 k

　のとき0)2 k𝑘

1 0.971

2 0.923

3 0.847

4 0.747

5 0.628

6 0.498

7 0.363

8 0.231

基本⾓周波数Ω の7倍程度の⾼周波数成分もタイル模様に相当含まれる

エリアシングが起きる撮影距離の⾒積

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タイル模様幅

𝑇

レンズ𝐿 𝐹

撮像⾯

𝑇 ′

𝑇 ︓タイル模様幅𝑇 ′ ︓撮像⾯上模様幅𝐿 ︓撮影距離𝐹 ： レンズ焦点距離∆ ： 撮像⾯１画素⼨法

∆

タイル模様幅𝑇 の，カメラ撮像⾯上での投影幅𝑇 は，𝑇

𝐹𝐿

𝑇

となる．スマホカメラの焦点距離𝐹 3.0 𝑚𝑚 , 模様幅 𝑇 50 𝑚𝑚 であるので，投影幅 𝑇 は，

𝑇150

𝐿𝑚𝑚

⼀⽅，撮像⾯上の１画素の⼨法∆は，撮影画像の横⽅向解像度1920，撮像素⼦⼨法4.8[mm]より

∆ ＝4.8

1920＝2.5 10 𝑚𝑚

よって，撮像⾯上の画像のサンプリング周波数 𝑓 は，𝑓

1∆

12.5 10

0.4 10 𝑚𝑚

⼀⽅，撮像⾯上でのタイル模様幅𝑇 𝑚𝑚 なので撮像⾯上の模様の基本周波数は 𝑚𝑚 ，その最⼤周波数 𝑓 は, 先述の 𝐶 の分析より，基本周波数の７倍程度と推察されるので

𝑓 7𝐿

150 𝑚𝑚

サンプリング定理より 𝑓 2𝑓 の時，エリアシングが発⽣する．すなわちエリアシングが発⽣する撮影距離𝐿 は0.4 10 2 7 ∴ 𝑳 𝟒. 𝟑 𝟏𝟎𝟑 𝒎𝒎

4.3ｍ以上離れて撮影すると，画像にエリアシングが発⽣する可能性が⾼い．

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実際の撮影画像 ( )

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実際の撮影画像 ( )

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実際の撮影画像 ( )

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実際の撮影画像 ( )

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実際の撮影画像 ( )

不適切な解答の例 タイルの格⼦幅＞デジタル化する幅 離れて撮影するとサンプリング周波数が⼩さくなり.. 格⼦周波数が，カメラのサンプリング周波数と⼀致したので．． 限界周波数を超えた．．． 壁のサンプリング周期の差 空間周波数＞ナイキスト周波数のため 周期 ＞ ナイキスト周波数のため サンプリング周波数 ＞ 画像の最⾼周波数の２倍のため （理由を述べずに）サンプリング時にエリアシングが発⽣したため 画素の細かさが，レンガの細かさより⼤きいので．．．．正解︓ 遠くから撮影することで，（画像のサンプリング周波数）＜（撮像⾯上での縞の最⾼空間周波数の２倍（ナイキスト周波数）となり，エリアシングが発⽣したため 26