閉ループ系の安定性解析oku/control/lec8handout.pdf2...

Lecturenote

8:S

ISO閉ループ系の安定性解析

電子情報通信工学科

奥宏史

制御工学

I

Osaka

InstituteofTechnology

参考文献

•藤井隆雄編著，「制御理論」オーム社

,2002.

•野波，西村，「

MAT

LA

Bによる制御理論の基礎」東京電機大学出版局

,1998.

•嘉納他，「動的システムの解析と制御」コロナ社，

1991.

•G

.Goodw

in,etal.,“ControlSystem

Design,”

PrenticeH

all,New

Jersey,2001.

Osaka


制御工学

I2

フィードバック構造

C(s)

G (s)

+-

o

U(s)

E(s)R(s)

Y(s)

Y (s)m

Go (S

):制御対象

(plant)C

(s):制御器

(controller)

U(s):制

御入力

(controlinput)Y

(s):プラント出力

(plantoutput)

Ym

(s):観測出力

(measurem

ent)R

(s):参照信号

(set-pointorreference)

Osaka


制御工学

I3


(続き

)

C(s)

G (s)

+-

+

+

+

+

+

+o

D (s)o

D (s)i

D (s)m

U(s)

E(s)R(s)

Y(s)

Y (s)m

Go (S

):制御対象

(plant)C

(s):制御器

(controller)

U(s):制

御入力

(controlinput)Y

(s):プラント出力

(plantoutput)

Ym

(s):観測出力

(measurem

ent)R

(s):参照信号

(set-pointorreference)

Osaka


制御工学

I4


(続き

)

C(s)

G (s)

+-

+

+

+

+

+

+o

D (s)o

D (s)i

D (s)m

U(s)

E(s)R(s)

Y(s)

Y (s)m

U(s),Y

m(s),R

(s):わかる量

Y(s):

厳密にはわからない量

Osaka


制御工学

I5


(続き

)

C(s)

G (s)

+-

+

+

+

+

+

+o

D (s)o

D (s)i

D (s)m

U(s)

E(s)R(s)

Y(s)

Y (s)m

Y(s)=

Go (s)(U

(s)+D

i (s))+

Do (s)

U(s)=

C(s)E

(s)

E(s)=

R(s)−

Ym

(s)=

R(s)−

Y(s)−

Dm

(s)

Osaka


制御工学

I6

演習問題

U(s),Y

(s)を

Go (s),C

(s),R(s),D

i (s),Do (s),D

m(s)で表せ．

C(s)

G (s)

+-

+

+

+

+

+

+o

D (s)o

D (s)i

D (s)m

U(s)

E(s)R(s)

Y(s)

Y (s)m

Y=

Go(U

+D

i )+

Do

U=

CE

E=

R−

Y−

Dm

Osaka


制御工学

I7

解答

(引数

sを省略

)

Y=

Go C

1+

Go C

R−

Go C

1+

Go C

Dm

+G

o

1+

Go C

Di+

1

1+

Go C

Do

U=

C

1+

Go C

R−

C

1+

Go C

Dm−

CG

o

1+

Go C

Di −

C

1+

Go C

Do

Osaka


制御工学

I8

行列形式で表現

C(s)

G (s)

+-

+

+

+

+

+

+o

D (s)o

D (s)i

D (s)m

U(s)

R(s)Y(s)

Y

(s)

U(s)

= G

o (s)C(s)

−G

o (s)C(s)

Go (s)

1

C(s)

−C

(s)−

C(s)G

o (s)−

C(s)

1+

Go (s)C

(s)

R(s)

Dm

(s)

Di (s)

Do (s)

Osaka


制御工学

I9

内部安定

伝達関数

G

o (s)C(s)

−G

o (s)C(s)

Go (s)

1

C(s)

−C

(s)−

C(s)G

o (s)−

C(s)

1+

Go (s)C

(s)

の８つの要素がすべて安定のとき，閉ループ系は内部安定

(Inter-nalstability) と

呼ばれる．

Osaka


制御工学

I10

分数表記

•a

i (i=

1,···,n)を

実数とする．

n次の実係数多項式

:

ans

n+

an−

1 sn−

1+···+

a1 s

+a0

•G

o (s),C(s)が

sに関する実係数多項式

N(s),D

(s),P(s),L

(s)で次のよう

に表せるとする．G

o (s)=

N(s)

D(s)

C(s)

=P

(s)L

(s)

•このとき，1+

Go (s)C

(s)=

1+

N(s)

D(s)

P(s)

L(s)

=D

(s)L(s)+

N(s)P

(s)D

(s)L(s)

Osaka


制御工学

I11

分数表記

(続き

)

Go

=ND

C=

PLG

o C=

NP

DL

,1

1+

Go C

=D

L

DL

+N

P

より，Y

=N

P

DL

+N

PR−

NP

DL

+N

PD

m+

NL

DL

+N

PD

i +D

L

DL

+N

PD

o

U=

DP

DL

+N

PR−

DP

DL

+N

PD

m−

NP

DL

+N

PD

i −D

P

DL

+N

PD

o

Osaka


制御工学

I12

内部安定に関する補題

補題

(Internalstability)前述の閉ループ系を考えたとき，

「閉ループ系が内部安定」

�「特性方程式

D(s)L

(s)+

N(s)P

(s)=

0

の根がすべて複素平面上の開左半平面にある．」

Osaka


制御工学

I13

演習問題

C(s)

G (s)

+-

+

+

+

+

+

+o

D (s)o

D (s)i

D (s)m

U(s)

R(s)Y(s)

Go (s)

=3

(s+

4)(−s

+2)

C(s)

=−

s+

2s

とする．

1.R

→Yの伝達関数

Go (s)C

(s)1

+G

o (s)C(s)と

Di →

Yの伝達関数

Go (s)

1+

Go (s)C

(s)を計算せよ．

2.閉ループ系は内部安定か？

Osaka


制御工学

I14

安定性と多項式の解析

•以上の議論より，閉ループ系の安定性は閉ループ系の特性方程式の根を調

べることでわかる．

•方程式を解くことなく，根の性質を調べたい．

•実係数多項式

p(s):=

sn

+a

n−1 s

n−1

+···+

a1 s

+a0

このとき，

「p(s)

のすべての根の実部が負ならば必ず，全ての係数は

ai>

0(i

=0,···

,i−1) を

満足する．」

−→多項式の係数が

1つでも負ならば，実部が正の根が少なくとも

1つ存

在する．

Osaka


制御工学

I16

安定性と多項式の解析

(続き

)

•係数が全て正だからといって，代数方程式

p(s)=

0の根の実部が全て負だ

とは限らない！

p(s):=

sn

+a

n−1 s

n−1

+···+

a1 s

+a0

→実際に根を求めることなく方程式の根の性質をどうやって調べるか？　

Osaka


制御工学

I17

Routh

の安定条件

•多項式

ans

n+

an−

1 sn−

1+···+

a1 s

+a0

に対して，

γ2,1

:=a

n−1 a

n−2 −

ana

n−3

an−

1

γ2,2

:=a

n−1 a

n−4 −

ana

n−5

an−

1

...

γ3,1

:=γ2,1 a

n−3 −

an−

1 γ2,2

γ2,1

sn

an

an−

2a

n−4

···s

n−1

an−

1a

n−3

an−

5···

sn−

2γ2,1

γ2,2

γ2,3

···s

n−3

γ3,1

γ3,2

γ3,3

···...

......

...

s2

γn−

2,1

γn−

2,2

s1

γn−

1,1

s0

γn

,1

第1列の符号が全て同符合であ

ること

Osaka


制御工学

I18

例題

1

次の方程式について調べる．

s4

+s3

+3s

2+

2s+

1=

0

根は

−0.1049±

1.5525i

−0.3951±

−0.5068i

s4

13

1

s3

12

s2

11

s1

1

s0

1

安定

Osaka


制御工学

I19

例題

2

次の方程式について調べる．

s5

+5s

4+

12s3

+13s

2+

3s+

6=

0

根は

−1.5000±

1.9365i

−2.2056

0.1028±−

0.6655i

s5

112

3

s4

513

6

s3

475

95

s2

566

47

6

s1

−816

283

s0

6

不安定

Osaka


制御工学

I20

演習問題

次の代数方程式の根の安定性を調べよ．

1.

s3

+17s

2+

80s+

600=

0

2.

s3

+17s

2+

80s+

1500=

0

Osaka


制御工学

I21

演習問題

3.

G(s)

=−

s+

1(0.5s

+1)(s

+1)

,C

(s)=

1s

+1

としたとき，閉ループ系の内部安定性を調べよ．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I22

閉ループ伝達関数と一巡伝達関数

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

•閉ループ伝達関数

T(s)

(入出力関係

Y(s)

=T

(s)R(s))

T(s)

:=G

(s)C(s)

1+

G(s)C

(s)

•一巡伝達関数

GO

L (s)

GO

L (s):=

G(s)C

(s)

Osaka


制御工学

I25

Routh

の安定条件の応用

•例題

1(ゲインの変動と閉ループの安定性の関係

)

一巡伝達関数が

G(s)C

(s)=

K

s(s+

2)2

で与えられるとき，閉ループを内部安定にする

Kの範囲を求めよ．ただ

し，一巡伝達関数が不安定な極零相殺をその内部にもたないと仮定する．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I26


(復習

)

補題

(Internalstability)

G(s)

=N

(s)D

(s) ，C

(s)=

P(s)

L(s)とする．前述の閉ループ系を考え

たとき，


�「特性方程式p(s)

:=D

(s)L(s)

+N

(s)P(s)

=0

の根がすべて複素平面上の開左半平面にある．」

Osaka


制御工学

I27

Routh


(続き

)

•例題

1の解答

G(s)C

(s)=

K

s(s+

2)2より，特性

方程式は

p(s)=

D(s)L

(s)+

N(s)P

(s)

=s(s

+2)

2+

K

=s3+

4s2+

4s+

K=

0

s3

14

s2

4K

s1

16−

K4

s0

K

Routh

の安定条件より，

16−K

>0かつ

K>

0

が必要．

したがって，

Kが満たすべき範囲

は0

<K

<16．

Osaka


制御工学

I28

Routh


(続き

)

閉ループ伝達関数

G(s)C

(s)1

+G

(s)C(s)のステップ応答

K=

15

Tim

e (sec.)

Amplitude

Step R

esponse

050

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

K=

17

Tim

e (sec.)

Amplitude

Step R

esponse

020

4060

80−

3

−2

−1 0 1 2 3 4

Osaka


制御工学

I29

Routh


(続き

)

•例題

2(過渡応答の改善

)

一巡伝達関数が

G(s)C

(s)=

K

s(s+

4)2

で与えられるとき，閉ループを内部安定にし，すべての極の実部を

−1よ

り小さくする

Kの範囲を求めよ．ただし，一巡伝達関数が不安定な極零相

殺をその内部にもたないと仮定する．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I30

Routh


(続き

)

•例題

2の解答

w=

s+

1とおき，

GO

L (s)=

G(s)C

(s)=

K

s(s+

4)2

に代入すると，

GO

L(w

)=

K

(w−

1)(w−

1+

4)2

=K

(w−

1)(w+

3)2

=K

w3+

5w2+

3w−

9

特性方程式

:p(w

)=

w3

+5w

2+

3w+

K−

9

w3

13

w2

5K

−9

w1

24−

K5

w0

K−

9

Routh


24−K

>0かつ

K−

9>

0

が必要．したがって，

Kが満たすべ

き範囲は

9<

K<

24．

Osaka


制御工学

I31

Routh


(続き

)

•変数変換について

w=

wR

+jw

I ，s

=s

R+

jsIと表す．

w=

s+

1より，

wR

<0ならば，

sR

+1

<0，つまり，

sR

<−

1

•例

:閉ループ伝達関数は

G(s)C

(s)1

+G

(s)C(s)

=K

s(s

+4)2

1+

Ks(s

+4)2

=K

s3

+8s

2+

16s+

K

その極は

(例題の解

9<

K<

24に注意！

)

K=

10−

5.37,−

1.32±j0.36

K=

8.9−

5.30,−

1.74,−0.97

K=

23−

5.97,−

1.02±j1.68

K=

24.1−

6.00,−

0.998±j1.74

Osaka


制御工学

I32

演習問題

•G

(s)=

1s2

+2s

+3，

C(s)

=Ksのとき，閉ループ系が内部安定となるよ

うな

Kの範囲を求めよ．

•K

=2として，閉ループ伝達関数の極を計算せよ．

Osaka


制御工学

I33

極零相殺に関する注意

•例題

1一巡伝達関数が

G(s)C

(s)=

1

s(s+

2)2

で与えられるとき，閉ループは内部安定か判定せよ．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I35


(復習

)

補題

(Internalstability)

G(s)

=N

(s)D

(s) ，C

(s)=

P(s)

L(s)とする．前述の閉ループ系を考えたとき，


�「特性方程式

p(s):=

D(s)L

(s)+

N(s)P

(s)=

0

の根がすべて複素平面上の開左半平面にある．

(根がすべて安定

)」

Osaka


制御工学

I36


(続き

)

•例題

1.1

G(s)

=1

(s+

2)2(s

+1) ,

C(s)

=s

+1

s

のとき，閉ループは内部安定か判定せよ．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I37


(続き

)

•例題

1.1の解答

G(s)

=1

(s+

2)2(s

+1) ,

C(s)

=s

+1

sより，特性方程式は

p(s)=

D(s)L

(s)+N

(s)P(s)

=s(s

+1)(s

+2)

2+

(s+

1)

=(s

+1)(s

3+

4s2

+4s

+1)

=0

s=

−1は安定な根だから，

pa (s)

:=s3

+4s

2+

4s+

1

について調べればよい．

s3

14

s2

41

s1

154

s0

1

Routh


pa (s)

=0

は安定な根だけをもつ．したがっ

て，閉ループ系は内部安定である．

Osaka


制御工学

I38

極零相殺に関する注意（続き）

•例題

1.2

G(s)

=1

(s+

2)2(s−

1) ,C

(s)=

s−1

s

のとき，閉ループは内部安定か判定せよ．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I39


(続き

)

•例題

1.2の解答

G(s)

=1

(s+

2)2(s−

1) ,C

(s)=

s−1

sより，特性方程式は

p(s)=

D(s)L

(s)+N

(s)P(s)

=s(s−

1)(s+

2)2

+(s−

1)

=(s−

1)(s3

+4s

2+

4s+

1)=

0

不安定な根

s=

1をもつので，閉ループ系は内部安定でない．

Osaka


制御工学

I40


•例題

1一巡伝達関数が

G(s)C

(s)=

1

s(s+

2)2

で与えられるとき，閉ループは内部安定か判定せよ．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I41


(続き

)

•例題

1の解答

G(s)C

(s)=

1s(s

+2)2より，特性方程式は一見

p(s)=

s(s+

2)2

+1

=s3

+4s

2+

4s+

1=

0

のように思えるが，この特性方程式から内部安定性を判別するためには次の仮

定が必要である．G

(s)と

C(s)は不安定な極零相殺をもたない．

したがって，

•G

(s)と

C(s)が上の仮定を満たすとき，例題

1.1より，閉ループ系は内部

安定である．

•そうでないとき，例題

1.2より，閉ループ系は内部安定でない．

Osaka


制御工学

I42

例題

1.2について

制御対象

G(s)

=1

(s+

2)2(s−

1)に対して，例えば制御器を

C(s)

=12s

2+

10s+

2s(s

+1.6)

=12

+1.25s

−10.45

s+

1.6

と選ぶと，特性方程式は

p(s)=

s5

+4.6s

4+

4.8s3

+8s

2+

3.6s+

2

=15 (5s

5+

23s4

+24s

3+

40s2

+18s

+10 )

=0

である．

Osaka


制御工学

I43

例題

1.2について

pa (s)

:=5s

5+

23s4

+24s

3+

40s2

+18s

+10

=0

にラウスの安定判別法を適用すると，

s5

524

18

s4

2340

10

s3

352

23

364

23

s2

3061

176

10

s1

494684

70403

s0

10

安定

したがって，閉ループ系は内部安定で

ある．

確かに実際に根を求めてみると，

−3.84,

−0.12±

j1.16,−

0.26±j0.56,

Osaka


制御工学

I44

例題

1.2について

このとき，閉ループ伝達関数は

T(s)

=12s

2+

10s+

2p(s)

で表される．

T(s)の

ステップ応答

は右図のようになる．

Tim

e (sec.)

Amplitude

Step R

esponse

05

1015

2025

3035

4045

50

−1

−0.5 0

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

Osaka


制御工学

I45

演習問題

•制御対象と制御器がそれぞれ

G(s)

=1

(s+

2)(s−1) ,

C(s)

=as

+b

s+

12

で与えられるとき，閉ループを内部安定にする

a，bの範囲を図示せよ．

C(s)

G(s)

+−

U(s)

R(s)Y(s)

Osaka


制御工学

I46

閉ループ系の安定性解析oku/control/lec8handout.pdf2...

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