1

Egy csonkakúp alakú farönk behajlása a saját súlya alatt

Az jutott eszünkbe, hogy nemigen találkoztunk még ilyen feladattal, illetve annak részletes

megoldásával. Valóban: hosszas keresés után sem jutottunk előrébb, már ami a lényeget

illeti. Így aztán nekiláttunk egy saját verzió kidolgozásának. Erről lesz most szó.

Először tekintsük az 1. ábrát!

1. ábra

Itt a csonkakúp alakú fatestet szemléltettük, melynek jellemző adatai:

~ R: a tő felőli végkeresztmetszeti kör sugara;

~ r: a csúcs felőli végkeresztmetszeti kör sugara;

~ l: a fatest hossza;

~ α: a kúp félnyílásszöge.

Utóbbiak összefüggése:

( 1 )

Első feladatunk az önsúly - teher megoszlása jellegének tisztázása, vagyis a q = f(x)

függvénykapcsolat felírása. A tartó egy dx hosszúságú szakaszához tartozó dV térfogatú,

dM tömegű elemi részének dG súlya:

tehát:

( 2 )

2

Mivel a kúp alkotója ferde egyenes, így írható, hogy:

tehát:

( 3 )

Most ( 2 ) és ( 3 ) - mal:

innen:

tehát:

. ( 4 )

Látjuk, hogy az önsúlyteher - intenzitás másodfokú parabola szerinti lefutású.

( 4 ) ábrázolásához adatok:

( A )

2. ábra

A teherábra a 2. ábrán szemlélhető meg.

3

Jól látható, hogy a választott adatokkal kapott függvény alig tér el az egyenestől.

Minthogy az ( A ) adatok is hibával terheltek, illetve valamelyest bizonytalanok, így nem

lenne meglepő, ha egy ilyen fagerenda önsúlyterhét lineárisan változónak vennénk fel.

Mi ezt itt nem tesszük: a ( 4 ) függvénnyel dolgozunk a továbbiakban.

Most állítsuk fel a gerenda meggörbült tengelyvonalának egyenletét!

A Szilárdságtan tanítása szerint – [ 1 ] – :

( 5 )

ahol:

~ E: a homogénnek tekintett tartó anyagának rugalmassági ( Young - féle) modulusa;

~ Iy( x ): az x koordinátájú keresztmetszet hajlítás tengelyére vett másodrendű nyomatéka;

~ w( x ): a tartó tengelyvonalának lehajlása az x koordinátájú keresztmetszetben;

itt lefelé pozitív;

~ M( x ): a hajlítónyomaték értéke a tartó x koordinátájú keresztmetszetében.

A keresztmetszetek másodrendű nyomatékának kifejezése az alábbi.

Ismét szilárdságtani ismeretekkel, a ρ sugarú kör keresztmetszetre – [ 1 ] – :

( 6 )

majd ( 3 ) és ( 6 ) szerint:

( 7 )

Ezután határozzuk meg a hajlítónyomaték M( x ) függvényét – ld.: 3. ábra!

Ez alapján:

( 8 )

Az A reakció meghatározása így megy: nyomatéki egyensúlyi egyenlet A - ra:

( 9 )

majd függőleges tengelyre vett vetületi egyenlettel:

( 10 )

majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel:

( 11 )

4

Látjuk, hogy a ( 8 ) szerinti műveletek elvégzéséhez szükséges Q és xQ kifejezésének

előállítása. Ez az alábbiak szerint alakul:

( 12 )

( 13 )

3. ábra

Ha ( 12 ) és ( 13 ) szerint elállítottuk Q és xQ kifejezéseit, akkor ( 11 ) szerint A, ezzel

pedig ( 8 ) szerint M( x ) is számítható. Az itteni integrálás elvégzéséhez útmutatás:

( 14 )

ahol:

( 15 )

5

Miután ( 8 ) jobb oldala az előbbiek szerint előállt, jön ( 5 ) integrálása:

( 16 )

( 17 )

( 18 )

A c1 és c2 integrálási állandókat az alábbi feltételek teljesítésével állítjuk elő:

( 19 )

A fellépő integrálok primitív függvényei integráltáblázatból – pl. [ 2 ] – vehetők ki.

A meglehetősen hosszú számítások során kapott képletekkel és az ( A ) adatokkal előállí -

tott lehajlási függvény képe a 4. ábrán látható. Erről leolvasható a maximális behajlás

helye és nagysága is:

( E )

4. ábra

6

Megjegyzések:

M1. Az a tény, hogy a csonkakúp alakú, egyneműnek tekintett fagerenda önsúlyteher -

intenzitása parabola szerinti, elsőre meglepőnek tűnhet. Talán másodikra is.

M2. Az az eredmény, hogy a legnagyobb behajlás nem a gerenda közepén, hanem egy

másik, attól ( itt ) kissé jobbra eső keresztmetszetben lép fel, a szemléletre alapozott elvá -

rásnak megfelel.

M3. A maximális behajlásra vonatkozó szélsőérték - keresést a Graph ingyenesen le -

tölthető szoftver egy szolgáltatásával végeztük el.

M4. A fent kijelölt számítással kapcsolatban több kérdés is felmerülhet. Ezekhez csak

annyit, hogy a vázoltakat tekintsük egy jó közelítésnek.

M5. Említettük, hogy a lineáris lefutású teherábra alkalmazása is indokolt lehet ebben az

esetben. Jó tudni, hogy egy ilyen típusú számítás található pl. [ 3 ] - ban, az egyik végén

befogott, másik végén szabad, csonkakúp alakú tartó modelljére.

M6. A fenti számítások során a faanyag rugalmassági modulusára felvett érték:

( A+ )

M7. A fentiekben kétszer is alkalmaztuk a „ró” betűt: ρfa a faanyag sűrűségét, ρ(x) pedig a

változó sugarat jelöli. Ezek nem tévesztendők össze! Továbbá γfa a faanyag fajsúlyát, ill.

térfogatsúlyát jelöli, ahol γfa = g ρfa ; itt g a nehézségi gyorsulás nagysága.

( A faanyag sűrűsége helyett néha térfogattömeget említenek. )

Az itt alkalmazott fajsúly számértéke így adódott:

( A++ )

A felvett sűrűség - adat megfelel a duglaszfenyő légszáraz sűrűségének – [ 4 ].

M8. A 3. ábra alsó részén egy a gerendából kimetszettnek képzelt x hosszúságú részt és az

arra ható külső és belső erőket ( igénybevételi komponenseket ) is feltüntettük.

Itt V a nyíróerő.

M9. Az általunk alkalmazott koordináta - rendszer és előjelszabály szerint ( 5 ) azt fejezi

ki, hogy a pozitív hajlítónyomaték negatív görbületet okoz.

7

M10. Nem árt szóba hozni, hogy a forgástestnek tekintett gerenda alkotója nem csak

egyenes lehet. Ekkor a feladat / megoldás tovább bonyolódik.

M11. Az itt alkalmazott eljáráson – vagyis a hajlított tartó ( 5 ) differenciálegyenletének

analitikus megoldásán – kívül még más lehetőségek is vannak. Az egyik ilyen az alkalma -

zott – akár az ( 5 ) - től eltérő, egyéb – differenciálegyenlet numerikus megoldása lehet.

Előfordul a Mohr - integrál, illetve Castigliano tételének alkalmazása is. Mi itt a teljes

rugalmas vonal előállítására törekedtünk, ezért választottuk a fenti megoldási módot.

Meg azért is, mert ehhez viszonylag kevés numerikus segítségre volt szükségünk.

M12. Nem mellékes körülményként említjük, hogy e feladatban a gerenda a két végén úgy

van alátámasztva, hogy tengelyvonala vízszintes. Ha ez nem így lenne, akkor már egy má -

sik, általánosabb feladattal állnánk szemben, ahol a hajlításért a megoszló önsúlyteher ten -

gelyre merőleges komponense felelős, feltéve, hogy a normális terhelések hajlításra gya -

korolt hatásától eltekintünk. Ahogyan a nyírási alakváltozásoktól is.

M13. Ügyelni kell arra a körülményre is, hogy a tartó hossza ne legyen viszonylag kicsi a

keresztmetszeti méretekhez képest. A fenti példában l = 10 D, ahol D = 2R.

M14. A [ 3 ] - talált rokon feladat egy fatörzs csúcsa elmozdulásának meghatározására

vonatkozik. Ezzel kapcsolatban fontosnak véljük megemlíteni, hogy

~ a feladat eredetije az [ 5 ] munkában található;

~ úgy tűnik, hogy az ott alkalmazott közelítések lényegesen „erősebbek”, mint az itteniek,

mégis végigvitték a pontos számítást;

~ ezt a feladatot bátran tekinthetjük az általunk „Erdészeti Mechanika” névvel illetett, csak

a mi gondolatainkban – és a honlapunkon – létező fiktív tudományterülethez tartozónak.

M15. Számításunk szerint a példabeli fagerenda behajlása nem éri el a 0,3 mm - t. Ez igen

kis érték, melyet mintegy elfedhetnek más okokból előálló alakváltozások. Faanyagnál

ilyen lehet a nedvességtartalom változása miatti deformáció is. Megesik, hogy a fatest

növekedési eredetű fahibával bír, amilyen pl. a görbeség. Az 5. ábrán látható fagerendák

egymáson fekszenek, kéttámaszú tartók soraként. Úgy tűnik, hogy a felső oszlopfák

görbék. Ennek mértéke olyan nagy is lehet, hogy az önsúly hatására bekövetkező lehajlás

emellett meg sem látszik. Az 5. ábrán látható villanyoszlop - anyagon nem látszik a rudak

sudarlóssága, azaz a hossza menti átmérőváltozása sem, mivel a perspektivikus rövidülés

azt akár teljesen el is fedheti. A [ 6 ] műben az olvasható, hogy

8

„ Az oszlop lefelé vastagodik; a szilárdsági számításnál – ha a valóságos adatok nem

ismertek – azt kell feltételezni, hogy ez a vastagodás a fejtől lefelé 0,7 cm / fm …”

5. ábra – forrása:

https://www.gridshop.hu/_upload/images/catalog/1300105658/1024x768/01.JPG

Eszerint a fa villanyoszlopok esetében számolnak / számoltak azzal a ténnyel, hogy a

fatest nem henger, hanem csak hengeres.

Megeshet, hogy egy teljesen elméletinek tűnő feladat akár gyakorlatilag is hasznos lehet.

M16. Az ( E / 2 ) eredményre végezzünk egy - két hozzávetőleges ellenőrzést!

1. ellenőrzés:

Itt azzal a kézenfekvőnek látszó feltevéssel élünk, hogy a végig állandó sugarú gerendák

lehajlásai közrefogják a változó sugarú gerenda lehajlását:

( 20 )

A szükséges képletek az elemi Szilárdságtan tanítása szerint – [ 1 ] – :

9

( 21 )

most ( 4 ) - ből x = 0 - val:

( 22 )

majd ( 4 ) - ből x = l - lel, ( 1 ) - gyel is:

( 23 )

Ezután ( 7 ) - ből x = 0 - val:

( 24 )

majd ( 7 ) - ből x = l - lel, ( 1 ) - gyel is:

( 7 ) - ből x = 0 - val:

( 25 )

A fenti képletekkel és az ( A ), ( A+ ) adatokkal és ( E ) - vel ( 20 ) így alakul:

( E1 )

Az ( E1 ) eredmény - reláció első része látszik ellentmondásosnak.

Lehet, hogy ( 20 ) nem is annyira kézenfekvő?

( E1 ) - ben annyi az összeegyeztethetetlenség, hogy wmax,R , ill. wmax,r a tartó közepén,

wmax,ρ pedig attól kissé jobbra lép fel. Nagyságrendileg jók az eredmények.

Egy átlagértéket képezve:

( E2 )

2. ellenőrzés:

Itt a csonkakúp alakú gerendát egy átlag - átmérővel bíró hengerrel helyettesítjük.

Ekkor a tartó közepén fellépő legnagyobb lehajlás az alábbi képletből számítható:

( 26 )

itt pl. ( 22 ) - ből:

( 27 )

10

majd pl. ( 24 ) - ből:

( 28 )

Az utóbbi képletekkel és a korábbi adatokkal kapjuk, hogy:

( E* )

Az ( E* ) eredmény is megerősíti a pontos eredmény valószínű értékét, ill. nagyság -

rendjét:

( E* / 1 )

Látjuk, hogy a közelítő ( E2 ) és ( E*) eredmények egyezése jó. Továbbá azt is, hogy

„ellenőrzéseink” a legnagyobb lehajlás helyére nézve nem adnak ellenőrzést.

M17. A 6. ábrán egy más úton nyert eredmény - ábrát szemlélhetünk.

6. ábra

Ezt a feladat

( 29 )

11

alakú, a hajlított gerenda másik differenciálegyenletének integrálásával kaptuk, a

( 30 )

peremfeltételek előírása mellett, a korábbi adatok alkalmazásával.

Az eredmények:

( E** )

Ideírjuk ( E ) - t is, a könnyebb összehasonlítás miatt:

( E )

Látjuk, hogy a legnagyobb behajlás helye itt kb. 3 cm - rel jobbra tolódott, a behajlás

pedig mintegy 0,07 mm - rel nagyobbra adódott. Ezeket az eltéréseket a kétféle számítás

során fellépő numerikus jelenségeknek is betudhatjuk.

Ami az igazán meglepő, az pedig az a tény, hogy

( E* )

vagyis a 2. közelítő számítás adta behajlási eredmény teljesen elfogadhatónak tűnik,

ügyelve arra, hogy az a gerenda közepétől mintegy 8 ~10 cm - re jobbra lép el.

Ezek az eredmények a gyakorlat számára elegendő pontosságúak lehetnek.

A 6. ábrához vezető számítást a Függelékben mutatjuk be.

Függelék

Az általunk is alkalmazott előjelszabályok szerint fennállnak az alábbi differenciális

összefüggések – 7. ábra – :

7. ábra

12

( 31 )

( 32 )

Majd ( 31 ) és ( 32 ) - vel:

( 33 )

Most ideírjuk ( 5 ) - öt is, kicsit átalakítva:

( 34 )

Ezután ( 33 ) és ( 34) - gyel, álladó E - vel:

tehát:

( 29 )

Így állt elő a fentebb hivatkozott ( 29 ) egyenlet. Az ( 5 ), illetve ( 34 ) egyenlet előállítá -

sához ajánlott a szakirodalomhoz fordulni, ha kell.

Most ( 4 ) és ( 29 ) - cel:

rendezve:

( 35 )

( 35 ) - öt integráljuk egyszer x szerint! Ekkor:

( 36 )

Helyettesítést alkalmazunk:

( 37 )

most ( 36 ) és ( 37 ) - tel:

( 38 )

így ( 37 ) és ( 38 ) szerint:

13

( 39 )

Majd ( 36 ) és ( 39 ) - cel:

( 40 )

Ismét integrálunk, melynek eredménye:

( 41 )

Most ( 7 ) és ( 41 ) - gyel:

Egyszerűsítve:

( 42 )

Bevezetve a

( 43 )

átmeneti egyszerűsítő jelölést, ( 42 ) és ( 43 ) - mal:

( 44 )

Most érvényesítjük a hajlítónyomatékra vonatkozó rúdvégi peremfeltételeket; ( 5 ) - tel is:

( 45 )

( 46 )

Most ( 44 ) és ( 45 ) - tel:

( 47 )

A ( 44 ) - beli zárójeles mennyiség értéke x = l - nél, ( 1 ) - gyel is:

( 48 )

Majd ( 44 ), ( 46 ), ( 47 ) és ( 48 ) - cal:

14

tehát:

( 49 )

Most ( 44 ) jobb oldala ( 47 ) és ( 49 ) - cel is:

( 50 )

majd ( 43 ), ( 44 ) és ( 50 ) - nel:

egyszerűsítve és rendezve:

( 51 )

Bevezetve a

( 52 )

újabb egyszerűsítő jelölést, ( 51 ) és ( 52 ) - vel kapjuk, hogy

( 53 )

Osztással:

( 54 )

Az újabb feladat ( 54 ) megoldása.

( 54 ) - et egyszer integrálva:

15

( 55 )

Az integrálokat a szokásos módon számítva vagy táblázatból véve:

( 56 )

( 57 )

Ezután ( 55 ), ( 56 ) és ( 57 ) - tel:

( 58 )

Rendezve:

( 59 )

Újabb rövidítő jelöléseket vezetünk be:

( 60 )

( 61 )

Most ( 59 ), ( 60 ) és ( 61 ) szerint:

( 62 )

Ismét integrálva:

( 63 )

16

az integrálok kifejezései:

( 64 )

( 65 )

Most ( 63 ), ( 64 ) és ( 65 ) szerint:

( 66 )

A két állandó értékét abból a két feltételből határozzuk meg, hogy a tartó végein a

függőleges elmozdulás zérus. Képlettel:

( 67 )

( 68 )

Ezután ( 66 ) és ( 67 ) szerint:

( 69 )

Majd ( 66 ) és ( 68 ) - cal:

rendezve:

( 69 ) - cel is:

végül:

( 70 )

A kiszámított állandókkal és a korábbi számadatokkal a behajlás - függvény konkrét

kifejezése az alábbi:

17

( 71 )

A 6. ábrán a ( 71 ) függvény grafikonja szerepel.

Irodalom:

[ 1 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.

[ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.

[ 3 ] – Szerk. Fazekas Ferenc: Műszaki matematikai gyakorlatok A. V.**

Határozott integrál ( Második rész )

3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974., 61 ~ 63. oldalak

[ 4 ] – Molnár Sándor: Faanyagismerettan

Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1999., 184. oldal

[ 5 ] – V. Sz. Jablonszkij ~ V. P. Jablonszkaja: Szbornyik zadacs po tyehnyicseszkoj

hidromehanyike

Goszizdat, Moszkva - Lenyingrad, 1951., 172* feladat

[ 6 ] – Verebély László: Villamos erőátvitel

Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1958., 345. oldal

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2018. 03. 05.