iOGóYE’G ≈fÉãdG ∞°üdG≈fÉãdG ≈°SGQódG π°üØdG

كتاب الطالب

ياضيات الر

Ü

∞`«dCÉJ

أ. عمر فؤاد جاب اهللا

د. عصام وصفى روفائيل أد. عفاف أبو الفتوح صاحل

أ. سيرافيم الياس اسكندر أ. محمود ياسر اخلطيب

2009 : d≈d ChC’G á á``©Ñ£d£ddd£ GGG

2009/11227 :´Gó````jE’G ºbbQ

97978-8 97977-7 626 949 -18-8 99 :≈d≈ hóh dG º ººbôbôbôôôdGdGdGGG

.ô°TÉædG øe á«£N á≤aGƒe ¿hO á∏«°Sh iCÉH ¬∏«é°ùJ hCG ¬æjõîJ hCG √ôjƒ°üJ hCG ÜÉàμdG Gòg øe AõL …CG ô°ûf Rƒéj ’ :áXƒØëe ¥ƒ≤ëdG ™«ªL

شركة الشمس للنشرΩ . Ω . ¢T

á«Hô©dG ô°üe ájQƒ¡ªL ,Iõ«÷G ,»bódG - ióædG êôH - áMÉ°ùŸG ¿Gó«e 6 :¿Gƒæ©dG.2/ 37618469 :∞JÉg

ä

الرحيم الرحمن اهللا بسم ابناءنا االعزاء

نجعل ان راعينا وقد ،اإلعداد الثانى للصف الرياضيات كتاب لكم نقدم أن يسعدنا ا له تطبيقاته فى حياتك العملية وفى دراستك للمواد ا ومفيد من دراستك للرياضيات عمال ممتعالدراسية األخر، حتى تشعر بأهمية دراسة الرياضيات وقيمتها وتقدر دور علمائها، وقد اهتم هذا الكتاب باألنشطة كعنصر اساسى، كما حاولنا تقديم المادة العلمية بطريقة مبسطة تساعدك على تكوين المعرفة الرياضية وفى نفس الوقت تساعدك على اكتساب اساليب تفكير سليمة

تدفعك إلى االبداع.وقد روعى فى هذا الكتاب تقسيمه إلى وحدات دراسية وكل وحدة إلى دروس، كما وظفنا الصور وااللوان لتوضيح المفاهيم الرياضية وخواص االشكال، مع مراعاة المحصول اللغوان على تدريبك كثيرة مواطن فى راعينا كما السابقة، الصفوف فى درسته ان سبق وما لك الحاسبة االلة توظيف تم كما ، لديك الذاتى التعلم مهارة لتنمية بنفسك للمعلومات تصل درس كل على تمارين ستجد كما ،المحتو داخل مناسبا ذلك كان كلما االلى والحاسب وفى وحدة، كل نهاية فى واختبار اإلنجاز بملف خاص ونشاط الوحدة على عامة وتمارين وارشادات كامال المقرر مراجعة على تساعدك عامة اختبارات ستجد الدراسى الفصل نهاية

الجابات بعض التمارين .نرجو أن نكون قد وفقنا فى انجاز هذا العمل لما فيه الخير لك ولمصرنا العزيزة.

المؤلفون

çççççççççç

احملتوياتπ«∏ëàdG :¤hC’G IóMƒdG

2 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. ≈KÓãdG QGó≤ªdG π«∏ëJ :∫hC’G ¢SQódG

7 .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .πeÉμdG ™HôªdG IQƒ°U ≈∏Y ≈KÓãdG QGó≤ªdG :≈fÉãdG ¢SQódG

11... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... . ø«©Hôe ø«H ¥ôØdG π«∏ëJ :ådÉãdG ¢SQódG

13... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. . ɪ¡æ«H ¥ôØdGh ø«Ñ©μe ´ƒªée π«∏ëJ :™HGôdG ¢SQódG

16... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... º«°ù≤àdÉH π«∏ëàdG :¢ùeÉÿG ¢SQódG

18... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ™HôªdG ∫ɪcEÉH π«∏ëàdG :¢SOÉ°ùdG ¢SQódG

20... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. . óMGh ô«¨àe ≈a á«fÉãdG áLQódG øe ádOÉ©ªdG πM :™HÉ°ùdG ¢SQódG

24... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..áeÉY øjQɪJ

25... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. RÉéfE’G ∞∏e

26... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... IóMƒdG QÉÑàNG

øjÒ¨àe ÚH ábÓ©dG :á«fÉãdG IóMƒdG28... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... øjô«¨àe ø«H ábÓ©dG :∫hC’G ¢SQódG

32... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .á«JÉ«M äÉ≤«Ñ£Jh º«≤à°ùªdG §îdG π«e :≈fÉãdG ¢SQódG

38... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. RÉéfE’G ∞∏e

38... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... IóMƒdG QÉÑàNG

∫ɪàM’G :áãdÉãdG IóMƒdG40... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....∫ɪàM’G :∫hC’G ¢SQódG

46... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..áeÉY øjQɪJ

48... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. RÉéfE’G ∞∏e

48... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... IóMƒdG QÉÑàNG

êêê

¬HÉ°ûàdGh á«°Sóæ¡dG äÓjƒëàdG :á©HGôdG IóMƒdG50... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ... ¢SÉμ©f’G :∫hC’G ¢SQódG

58... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....∫É≤àf’G :≈fÉãdG ¢SQódG

61... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ... ¿GQhódG :ådÉãdG ¢SQódG

67... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ¬HÉ°ûàdG :™HGôdG ¢SQódG

71... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..áeÉY øjQɪJ

73... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. RÉéfE’G ∞∏e

74... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... IóMƒdG QÉÑàNG

äÉMÉ°ùªdG :á°ùeÉîdG IóMƒdG76... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .´Ó°VCG ≈jRGƒàe ÉàMÉ°ùe ihÉ°ùJ :∫hC’G ¢SQódG

84... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. . ø«ã∏ãe ≈àMÉ°ùe ihÉ°ùJ :≈fÉãdG ¢SQódG

91... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... á«°Sóæ¡dG ∫Éμ°T’G ¢†©H äÉMÉ°ùe :ådÉãdG ¢SQódG

96... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..áeÉY øjQɪJ

97... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. RÉéfE’G ∞∏e

98... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... IóMƒdG QÉÑàNG

§bÉ°ùªdG :á°SOÉ°ùdG IóMƒdG100. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... §bÉ°ùªdG :∫hC’G ¢SQódG

105. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ¢SQƒZÉã«a ájô¶f ¢ùμY :≈fÉãdG ¢SQódG

107. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ...¢Só«∏bG ájô¶f :ådÉãdG ¢SQódG

110. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. ....√ÉjGhõd áÑ°ùædÉH å∏ãªdG ´ƒf ≈∏Y ±ô©àdG :™HGôdG ¢SQódG

112. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ..áeÉY øjQɪJ

114. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. RÉéfE’G ∞∏e

114. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... IóMƒdG QÉÑàNG

115. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. áeÉ©dG äGQÉÑàN’G

118. .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... áHƒLC’G

ì

áeóîà°ùªdG á«°VÉjôdG RƒeôdG

P عىل=مجموعة االعداد الطبيعية عمود

Nمجموعة األعداد الصحيحة//يواز

Kبمجموعة األعداد النسبية C ب C القطعة املستقيمة

Kn بمجموعة األعداد غير النسبية Cب C الشعاع

Iبمجموعة األعداد الحقيقية Cاملستقيم

CC اجلذر الرتبيعى للعدد (∫ c) Xقياس زاوية ل

C ٣C جلذر التكعيبى للعددG~تشابه

]Ü , CG]اكرب من >فترة مغلقة

]Ü , CG]فترة مفتوحة#اكرب من أو تساو

]Ü , CG](مغلقة) اقل من <فترة نصف مفتوحة

]Ü , CG](مغلقة) فترة نصف مفتوحة$ihÉ°ùJ hCG øe πbG

]∞ , CG] فترة غير محدودة(C)∫C çó◊G ´ƒbh ∫ɪàMG

تطابق/

التحليلالتحليل

الوحدة ا�ولى

١

٣س٢ + ٧س - ٦(٣س - ٢) (س + ٣)

٣س٣س٣س -٣١س

٦س سسس

-١٧س =

١٢٢-

٣-٣-٦

٧س٧س٧س٧س

= ٧س= -٧س= ١٧س

م سوف تتعل معنى تحليل مقدار جبرى.

. تحليل المقدار الثالثى

مصطلحات أساسية

تحليل.

. مقدار جبرى

. مقدار ثالثى

: سبق أن تعلمت أن

تحليل أى عدد صحيح معناه تحويله إلى حاصل ضرب عاملين أو أكثر

... ، ١٢ = ٢ * ٦ ١٢ = -٣ * -٤ أو مثال: ١٢ = ٣ * ٤ أو

سبق أن درسنا التحليل بإخراج العامل المشترك األعلى (ع. م. أ)

مثال: ٦س٢ ص٢ - ٩س٣ ص = ٣س٢ ص (٢ص - ٣س)

تدرب

حلل بإخراج ع.م.أ:

(C - ب) ب - (ب - C) C ٢ ٢س (م + ٣) - ٤ص (م + ٣) ١

+ ٣ (س + ٤) = س ( س + ٤) نعلم أن: (س + ٣) ( س + ٤)

٣ * ٤ + + ٣س = س٢ + ٤س

١٢ + س = س٢ + (٤ + ٣)

= س٢ + ٧س + ١٢

ى المقدار (س٢ + ٧س + ١٢) مقدارا ثالثيا. يسم

السابقة رب الض خطوات خالل من

هل رب الض عملية خواص وباستخدام

(س٢ + ٧س + ١٢) المقدار تحليل تستطيع

إلى عاملين؟

س٢ تحلل إلى س * س أوال :

لسابقة

هل ب

(١٢ +

المجموعحاصل الضرب١٢

١٢ * ١ ١٣١٢- * ١- ١٣-٦ * ٢ ٨٦- * ٢- ٨-٤ * ٣ ٧

٤- * ٣- ٧-

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٢

الدرسا$ول

ر وناقش فك

u≈KÓãdG pQGó≤ªdG oπ«∏ëJ

وهما ٣ ، ٤ نحاول البحث عن عددين حاصل ضربهما ١٢ ومجموعهما = ٧ ثانيا:

س٢ + ٧س + ١٢ = (س + ٣) (س + ٤)

تدرب

٢ أوجد عددين حاصل ضربهما ١٢ ومجموعهما -٨ أوجد عددين حاصل ضربهما ٢٠ ومجموعهما ٩ ١

٤ أوجد عددين حاصل ضربهما -١٥ ومجموعهما -١٤ أوجد عددين حاصل ضربهما -٢٤ ومجموعهما ٥ ٣

أوال: تحليل المقدار الثالثى على صورة س٢ + ب س + جـ

يحلل هذا المقدار إلى عاملين.

ل فى كل منهما س . الحد األو

الحدان اآلخران هما عددان حاصل ضربهما جـ ومجموعهما ب .

أمثلة

حلل المقدار: س٢ - ٥س - ٢٦حلل المقدار: س٢ - ٥س + ١٦

الحلالحل

ضربهمـا حاصل عددين عن نبحث

٦ ومجموعهما -٥ وهما -٢ ، -٣

ضربهما حاصل عددين عن نبحث

-٦ ومجموعهما -٥ وهما ١ ، -٦

س٢ - ٥س -٦ = (س + ١) (س -٦)س٢ - ٥س + ٦ = (س -٢) (س -٣)

حلل المقدار: ٣ ص٢ - ٤٨ + ١٨ ص٣

الحل

فيكون المقدار = ٣ص٢ + ١٨ص - ٤٨ يجب ترتيب حدود المقدار حسب قوى ص تنازليا، ١

فيكون المقدار = ٣ (ص٢ + ٦ص - ١٦) نالحظ وجود عامل مشترك بين حدود المقدار وهو ٣، ٢

نبحث عن عددين حاصل ضربهما -١٦ ومجموعهما ٦ وهى -٢، ٨ ٣

` المقدار = ٣ (ص - ٢) (ص + ٨)

٤ وهما ٣ ، ومجموعهما = ٧ نحاول البحث عن عددين حاصل ضربهما ١٢ ثانيا:

(٤ ٣) (س + ٧س + ١٢ = (س + + س٢

تدرب

٣ الفصل الدراسى الثانى

حلل المقدار: م٤ - ٦م٢ ن + ٥ن٤٢

الحل

م٤ تحلل إلى م٢ * م٢ ١

نبحث عن عددين حاصل ضربهما (٥ن٢) ومجموعهما (-٦ن) وهما -ن ، -٥ن ٢

المقدار = (م٢ - ن) (م٢ - ٥ن)

تدرب

حلل كال ممايأتى:

س٢ - ٣س - ١٠ ٣ س٢ - ٧س + ١٠ ٢ س٢ + ١١ س + ١٠ ١

س٢ - س - ١٢ ٦ س٢ + ٤س -١٢ ٥ س٢ - ٧س + ١٢ ٤

ص٢ - ٥٠ ص - ٥١ ٩ ص٢ - ٢٠ص + ٥١ ٨ س٢ - ٨س + ١٢ ٧

١٢ س٣ - ٣س٢ - ٢٨س س٤ - ٩س٢ + ٢٠ ١١ ٥س٢ - ١٠س - ١٥ ١٠

- س٢ + ٢ س + ٦٣ ١٥ ب٢ + ٣ ب جـ - ١٠ جـ٢ ١٤ س٢ - ٥س ص - ٢٤ص٢ ١٣

١± ≠ C س٢ + ب س + جـ عندما C ثانيا: تحليل المقدار الثالثى على صورة

نعلم أن:

(-١٢)+(٨س + (-١٥س))+١٠س٢(٢س - ٣ ) (٥س + ٤) =

-٣ * ٤حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين٢س * ٥س

أى أن (٢س - ٣) (٥س + ٤) = ١٠س٢ - ٧س - ١٢نجرى عدة محاوالت وبالعكس لتحليل المقدار الثالثى ١٠س٢ - ٧س - ١٢

كل المقابل. حيح ، ويمكن االستعانة بالش للوصول إلى التحليل الص

الحد األوسط = ٢ س * ٤ + (-٣) * ٥س

= -٧س

` ١٠س٢ - ٧س - ١٢ = (٢س - ٣)(٥س + ٤)

٤+ ٥س

٣- ٢س

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٤

مثال ١

حلل المقدار ٣س٢ + ٧س - ٦

الحل

CG ßMÓf¿ ٣س٢ = ٣س * س بينما -٦ تحلل إلى ١ * -٦ أو -١ * ٦ أو ٢ * -٣ أو -٢ * ٣ ونالحظ المحاوالت حيح: اآلتية للوصول إلى الحل الص

٣س

س

١

٦-

٣س

س

١-

٦

٣س

س

٢

٣-

٣س

س

٢-

٣

شكل (٤)شكل (٣)شكل (٢)شكل (١)

الحد األوسط. ≠ -١٧س = ١ * س + ٦- * ٣س فى شكل (١):

الحد األوسط. ≠ ١٧س = ١- * س + ٦ * ٣س فى شكل (٢):

الحد األوسط. ≠ -٧س = 2 * س + ٣- * ٣س فى شكل (٣):

الحد األوسط. = ٧س = 2- * س + ٣ * ٣س فى شكل (٤):

∴ ٣س٢ + ٧س -٦ = ( ٣س -٢) (س + ٣)

مثال ٢

حلل المقدار ١٥س٤ - ٢١ ع٢ - ٦س٢ع

الحل

المقدار بعد ترتيبه، هو: ١٥س٤ - ٦س٢ع -٢١ع٢ نالحظ وجود ٣ عامل مشترك. ١

` المقدار = ٣ (٥س٤ - ٢س٢ع - ٧ ع٢).

` إشارتا عاملى العدد -٧ ع٢ مختلفتان. a الحد الثالث سالبا. ٢

` المقدار = ٣ (٥س٢ - ٧ع ) (س٢ + ع)

.

٥س٢

س٢

-٧ع

+ع

٥ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG ≈dhC’G IóMƒdG

مثال (٣)

حلل المقدار ٦م٢ + ن (٢ ن -٧م)

الحل

المقدار = ٦م٢ + ٢ن٢ - ٧ن م= ٦م٢ - ٧ن م + ٢ن٢

= (٢م - ن ) (٣م - ٢ن)

’CG ßM¿: يمكن التحقق من صحة الحل بضرب القوسين بمجرد النظر للحصول على المقدار األصلى قبل تمارين (١ - ١)التحليل.

أكمل الحدود الناقصة ليكون التحليل صحيحا: أوال:

(...... + ......) (...... - (٣س = ٣س٢ + ٧س -٦ ١

(...... - (س (...... + ......) = ٢س٢ + س - ٦ ٢

(...... + (س (...... - (٥س = ٥س٢ - ٢س - ٧ ٣

( ٢ + ......) (...... - (٢س = ٦س٢ -١١س -١٠ ٤

(...... + (س (٤ + ......) ٣س٢ + ١٠س + ٨ = ٥

حلل كال من المقادير اآلتية: ثانيا:

٢ + C٢ + ٧C ٣ ٣ ٢ص٢ + ٥ص + ٣ ٢ ٢س٢ + ٣س + ١ ١

٣م٢ - ١٩م + ٦ ٦ ٦س٢ - ١١س + ٣ ٥ ٥ع٢ - ٧ع + ٢ ٤

٢م٢ - ٩م - ٥ ٩ ٣ص٢ + ٧ص - ٦ ٨ ٥س٢ - ٣س -٢ ٧

٨س٣ - ٢٧س٢ - ٢٠س ١٢ ١٦ + C٢ - ١٨C٥ ١١ ٨ع٢ + ٢ع - ٣ ١٠ ٣س٢ -٢٠س ص - ٧ص٢ ١٥ ٢C١٠ + C١١ب - ١٨ب٢ ١٤ ٦س٢ - ٤٧س ص - ٦٣ص٢ ١٣

٥ص٢ - ٤س (٧ص + ٣س) ١٨ ٢C٦ - C١٩ب - ٧ب٢ ١٧ ٧س٤ + ٢٣س٢ ص - ٣٠ص٢ ١٦ ٢٥م - ١٠ + ١٥م٢ ٢٠ ١٨س٥ + ٣٣س٣ - ٣٠س ١٩

٢C ب٢ - C٢٤ ب٢ + ١٤٣ب٢ ٢٢ ٢١س٢ ص٢ + ٦س٢ ص٣ - ١٥س٢ص٤ ٢١

ثالثا: مستطيل مساحته (٢س٢ + ١٩س + ٣٥) سم٢. أوجد بعديه بداللة س، ثم أوجد محيطه عندما س = ٣.

٢م

٣م

-ن

-٢ن

مثال (٣)

ن -٧م) + ن (٢ ٦م٢ حلل المقدار

٢م

٣م

-ن

-٢ن

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٦

سوف تتعلمعلى الثالثى المقدار تحليل

صورة المربع الكامل.

مصطلحات أساسية

مربع كامل.

سبق أن تعلمت أن:

= ٤س٢ - ١٢س + ٩ (٢س - ٣)٢ = ٢٥ص٢ + ٧٠س ص + ٤٩س٢ (٥ص + ٧س)٢

= ل٤ - ١٠ل٢م + ٢٥م٢ (ل٢ - ٥م)٢

تسمى كل من المقادير ٤س٢ - ١٢س + ٩ ، ٢٥ص٢ +٧٠س ص + ٤٩س٢ ،

ل٤ - ١٠ل٢م + ٢٥م٢ مربعا كامال

¿CG ßMÓfh كال من الحدين األول والثالث مربع كامل. ١

الحد األوسط = ± ٢ * الجذر التربيعى للحد األول * الجذر التربيعى للحد الثالث ٢

ويكون تحليل المقدار الثالثى المربع الكامل على الصورة:

المقدار الثالثى المربع الكامل = ٢الحد الثالث)

إشارة الحد األوسطالحد األول )±

)٢=٩ س٢ - ٣٠س + ٢٥مثال: ٢٥ ٩س٢ - (٣س - ٥)٢=(

)٢=ل٤ + ١٤ ل٢م + ٤٩م٢ ٤٩م٢ ل٤ + (ل٢ + ٧م)٢=(

:ßM’ :ßM’ إخراج العامل المشترك األعلى بين حدود المقدار إن وجد. ١

ترتيب حدود المقدار تنازليا حسب قوى أحد الرموز. ٢

٧ الفصل الدراسى الثانى

ر وناقش فك

الدرسالثانى

≈∏Y t≈KÓãdG oQGó≤ªdG π«∏ëJπeÉμdG p™HôªdG pIQƒ°U

مثال ١

بين أيا من المقادير اآلتية مربعا كامال، ثم حلل المقدار الذى على صورة مربع كامل:

+ ٧٠ Cب٢ + ٢٥ ب٤٢C ٤٩ م٢ + ٤م - ٤ ب ٢٥س٢ - ٣٠س + ٩ أ

الحل

كل من الحدين األول والثالث مربع كامل ٩ = (٣)٢ ، ٢٥س٢ = (٥س)٢ أ

٢ * ٥س * ٣ = ٣٠س = الحد األوسط ∴ المقدار ٢٥س٢ - ٣٠س + ٩ مربع كامل ويكون المقدار = (٥س - ٣)٢

المقدار م٢ + ٤ م - ٤ ليس مربعا كامال ألن الحد الثالث سالب. ب

= (C٧)٢ مربع كامل ، الحد الثالث = ٢٥ب٤ = (٥ب٢)٢ مربع كامل٢C الحد األول = ٤٩

٢ * C٧ * ٥ب٢= C٧٠ب٢ = الحد األوسط. + ٧٠ Cب٢ + ٢٥ب٤ مربع كامل، ويكون المقدار = (٧ C + ٥ب٢)٢

٢Cالمقدار ٤٩ ∴

مثال ٢

أكمل الحد الناقص فى كل من المقادير اآلتية ليكون المقدار مربعا كامال ثم حلل المقدار.

- ٣٠ Cب ......٢C٢٥ ب ٤ص٢ + ...... + ١٢١ أ

الحل

احلد الثالث) = ± ٢ * ٢ص * ١١ = ± ٤٤ص احلد األول * الحد األوسط = ± ٢ ( أ ∴ المقدار = ٤ص٢ ± ٤٤ص + ١٢١ ويكون المقدار = (٢ص ± ١١)٢

٢(C٥) = ٢C٢٥ ب

الحد األوسط = -C٣٠ب = ٢ * C٥ * الجذر التربيعى للحد الثالث

-٣٠ Cب = -٣بC٢ * ٥

الجذر التربيعى للحد الثالث =

الحد الثالث = (-٣ب)٢ = ٩ب٢ - C٣٠ب + ٩ب٢ ويكون المقدار = (C٥ - ٣ب)٢

٢Cالمقدار = ٢٥ ∴

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٨

تدرب

أكمل الحد الناقص فى المقدار ...... + ١٢س٢ +٣٦ ليكون مربعا كامال ثم حلل المقدار:

مثال ٣

استخدم التحليل لتسهيل حساب قيمة: (٧٫٣)٢ + ٢ * ٧٫٣ * ٢٫٧ + (٢٫٧)٢

الحل

نالحظ أن المقدار المعطى على صورة مقدار ثالثى مربع كامل، ولذلك يمكن كتابته بالصورة

المقدار = (٧٫٣ + ٢٫٧)٢ = (١٠)٢ = ١٠٠

تدرب

استخدم التحليل لتسهيل حساب قيمة: (٥٧٤)٢ - ٢ * ٥٧٤ * ٥٧٣ + (٥٧٣)٢

مثال ٤

حلل كال من المقادير اآلتية:

٢C٤٠ب - ٤C٥٠ - ٨ب٢ ب ٥س٣ + ٥٠س٢ + ١٢٥س أ

الحل

بإخراج ع.م.أ أ ∴ المقدار = ٥س (س٢+١٠س + ٢٥) = ٥س (س + ٥)٢

وبترتيب المقدار حسب قوى C التنازلية - ٤ب٢) ٤Cب - ٢٥

٢Cالمقدار = ٢(٢٠ ب

ب + ٤ب٢)٢C٢٠ -

٤C٢(٢٥- = - ٢ب)٢

٢C٢(٥- =

٩ الفصل الدراسى الثانى

≈fÉãdG ¢SQódG ≈dhC’G IóMƒdG

تمارين (١ - ٢)أكمل الحدود الناقصة فى كل ممايأتى ليصبح كل من المقادير اآلتية مربعا كامال: ١

...... - ١٨ص٢ + ٨١ ٢C - C٦ب + ...... ب ٤س٢ .... + ١ أ ع٤ ...... + ٤٩ل٢ و ٢٥م٢ + ٢٠ م ن ...... ١٤ ص٢ ١٢٥ س٢ ...... + د

المقادير اآلتية مربع كامل، ثم حلل المقدار إذا كان مربعا كامال : �أى ٢

م٢ - ٦م - ٩ ٢٥س٢ - ١٥س + ٩ ب س٢ -١٢س + ٣٦ أ

١٤ ص٢ - ص + ٤ و ٠٫٠١ س٢ - ٠٫٢ س + ١ ٢C٤ + C١٤ب + ٤٩ب٢ د

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات بين القوسين أمام كل عبارة: ٣

(٢ أو ٧ أو ١٤ أو ٤٩) إذا كان المقدار س٢ + ١٤س + ب مربعا كامال فإن ب = ....... أ

(٨ أو ٣٤ أو -٣٤ أو ٤٩) إذا كان (س + ص)٢ = ٦٤، س ص = ١٥ فإن س٢ + ص٢ = ....... ب

(C٦ أو ± ١ أو ١ أو -١) + ب٢ = ١١، C ب = ٥ فإن C - ب = ........ ٢C إذا كان

(١٠٠ أو ١٠٠٠٠ أو ٤١٠ أو (٩٨)٢) ........ = (٩٩)٢ + ٢ (٩٩) + ١ د

(٥ أو -٥ أو ± ٥ أو ١٢٫٥) + ٢ Cب + ب٢ = ٢٥ فإن C + ب = ........ ٢C إذا كان

(٥ أو ١٠ أو ± ١٠ أو ± ٥) إذا كان س٢ + ك س + ٢٥ مربعا كامال فإن ك = ........ و

حلل كال من المقادير اآلتية: ٤٣٦ - ٦٠ ك +٢٥ ك٢ ٩س٢ + ١٢س + ٤ ب م٢ - ٢م + ١ أ

٢٥ب٢ - ١٠ب +١ و ٩ ٢C + ٦ Cب + ب٢ ٤س٢ - ٤س ص + ص٢ د

حلل كال من المقادير اآلتية: ٥٦ ٤C -٢C١٢ب٢+ ٦ب٤ ٢٤س + ٢٤س٢ + ٦س٣ ب ١٨ص٢ - ١٢ص + ٢ أ

.Cص + ٤٥Cص٢ - ٦٠C٢٠ و ٣ع + ٤٢ع٤ + ١٤٧ع٧ ٤ب٢ جـ + ب جـ ٢ + ٤ب٣ د

استخدم التحليل لتسهيل حساب قيمة كل من: ٦

(٩٩٧)٢ + ٦ * ٩٩٧ + ٩ ب (٢٠٫٧)٢ - ١٫٤ * ٢٠٫٧ + ( ٠٫٧)٢ أ

أكملالحدود الناقصة فى كل ممايأتى ليصبح كل من المقادير اآلتية مربعا كامال: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٠

سوف تتعلم تحليل الفرق بين مربعين.

مصطلحات أساسية

الفرق بين مربعين.

سبق أن تعلمت أن:

(س + ص) (س - ص) = س٢ - ص٢

يسمى المقدار س٢ - ص٢ فرقا بين مربعين

الفرق بين مربعى كميتين = مجموع الكميتين * الفرق بينهما.

س٢ - ص٢ = (س + ص) (س - ص)

مثال ١

حلل كال من المقادير اآلتية:

(٢ص - ٣)٢ - ١ ب ٤٩س٢ - ٢٥ أ

(س + ص)٢ - (س - ص)٢ د ٢٧م٣ - ٤٨م ن٦

الحل

٤٩س٢ - ٢٥ = (٧س + ٥) (٧س - ٥) أ

(٢ص - ٣)٢ -١ = [(٢ص - ٣) + ١] [(٢ص - ٣) - ١] ب

= (٢ص - ٢) (٢ص - ٤)

= ٢(ص - ١) * ٢ (ص - ٢) = ٤ (ص - ١) ( ص - ٢)

= ٣م (٩م٢ - ١٦ن٦) ٢٧م٣ - ٤٨م ن٦

= ٣م (٣م + ٤ن٣) (٣م - ٤ن٣)

= [(س + ص) + (س - ص)] [(س + ص) - (س - ص)] (س + ص)٢ - (س - ص)٢ د

= ٢س * ٢ص

= ٤س ص

١١ الفصل الدراسى الثانى

ر وناقش فك

ø«©sHôªdG ø«H p¥ôØdG oπ«∏ëJالدرسالثالث

أمثلة

استخدم التحليل لتسهيل إيجاد قيمة كل من: ٢

(٩٩٩)٢ - ١ ب (٧٦٣)٢ - (٢٣٧)٢ أ

الحل

المقدار = (٧٦٣ + ٢٣٧) (٧٦٣ - ٢٣٧) = ١٠٠٠ * ٥٢٦ = ٥٢٦٠٠٠ أ

المقدار = (٩٩٩ + ١) (٩٩٩ - ١) = ١٠٠٠ * ٩٩٨ = ٩٩٨٠٠٠ ب

حلل المقدار ٨١س٤ - ١٦ص٤ ٣

الحل

= (٩س٢+ ٤ص٢) (٩س٢- ٤ص٢) ٨١س٤ - ١٦ص٤

= (٩س٢ + ٤ص٢) (٣س + ٢ص) (٣س - ٢ص)

تمارين (١ - ٣)

ل كال من المقادير اآلتية إن أمكن ذلك: حل ١

-٩س٢ + ٢٥ ٩ - ص٢ ب س٢ - ٤ أ ٢٢٥س٢ - ص٢ و ٢C - ب٢ جـ٤ ٨س٢ - ٥٠ د

س١٠٠ - ١ ط ٩ (م-١)٢ - ٢٥ (م + ١)٢ ح (س + ١)٢ - (س - ١)٢ ز

استخدمالتحليل لتسهيل حساب قيمة كل من: ٢

٣١ * ٢٩ (٨٫٢٧)٢ - (١٫٢٣)٢ ب (٧٧)٢ - (٢٣)٢ أ

طول ضلع القائمة فى المثلث القائم الزاوية الذى طول وتره ٤١سم، وطول أحد أضالعه ٤٠سم. د

إذا كان س٢ - ص٢ = ٢٠ ، س + ص = ١٠، أوجد قيمة س - ص ٣إذا كان ل - م = ٩ ، ل + م = ١٥، أوجد قيمة ل٢ - م٢ ٤

إذا كان ٤س٢ - ص٢ = -٣٢ ، ٢س + ص = ٨ ، احسب قيمة ص - ٢س. ٥

حلل كال من المقادير اآلتية: ٦(C + ب + جـ)٢ - (C - ب - جـ)٢ ب (س + ص + ٥)٢ - (س - ص - ٥)٢ أ

أمثلة

استخدم التحليل لتسهيل إيجاد قيمة كل من: ٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٢

سوف تتعلم تحليل مجموع المكعبين .

تحليل الفرق بين مكعبين.

مصطلحات أساسية

مجموع مكعبين.

الفرق بين مكعبين.

تحليل مجموع المكعبينهل نستطيع حتليل س٣ + ص٣؟سأل املعلم الطالب:

أتوقع أن يكون أحد العاملين (س + ص) فكر الطالب وأجاب:

هل يمكنك معرفة العامل اآلخر فى س٣ + ص٣قال املعلم:

لمعرفة العامل اآلخر فى س٣ + ص٣ أجاب الطالب:

م (س٣ + ص٣) ÷ (س + ص) باستخدام القسمة نقس

المطولة السابق دراستها.ويكون خارج القسمة س٢ - س ص + ص٢

المقدار س٣ + ص٣ يسمى مجموع مكعبين ويحلل كاآلتى:

س٣ + ص٣ = (س + ص)(س٢ - س ص + ص٢)

مثال:٨س٣ + ٢٧ = (٢س)٣ + (٣)٣ = (٢س + ٣) [(٢س)٢ - ٢س * ٣ + (٣)٢]

= (٢س +٣) (٤س٢ - ٦س + ٩)

تحليل الفرق بين المكعبينالمقدار س٣ - ص٣ يسمى فرقا بين مكعبين، ويمكن استنتاج تحليله:

= س٣ + (-ص)٣ س٣ - ص٣

= (س + (-ص)) [(س٢ - س (-ص) + (-ص)٢]

∴ س٣ - ص٣ = (س - ص)(س٢ + س ص + ص٢)

س٢ - س ص + ص٢

س٣

س٣ + س٢ص

-س٢ص - س ص٢

س٢ص س٢ص

- س٢ص

+ ص٣

+ ص٣

+ ص٣+ ص٣٠٠٠٠٠٠

س + ص

+

-

-

-

+

-

١٣ الفصل الدراسى الثانى

ر وناقش فك

الدرسالرابع

ø«Ñ©μªdG ´ƒªée oπ«∏ëJɪ¡æ«H ¥ôØdGh

= (C٥)٣ - (ب٢)٣ مثال: ١٢٥ ٣C - ب٦ = (C٥ - ب٢) (٢C٢٥ + ٥ Cب٢+ ب٤)

أمثلة

حلل كال من المقادير اآلتية: ١٣C٤٠ + ١٣٥ب٣ ب س٣ + ٣٤٣ص٣ أ س٦ - ٦٤ص٦ د (س + ع)٣ - س٣

الحل= (س)٣+ (٧ص)٣ س٣ + ٣٤٣ص٣ أ

= (س + ٧ص) (س٢ - ٧س ص + ٤٩ص٢)

٣C٤٠ + ١٣٥ب٣ = ٥ (٣C٨ + ٢٧ب٣) = ٥ [(C٢)٣ + (٣ب)٣] ب

= ٥ (C٢ + ٣ب) (٢C٤ - ٦ C ب + ٩ب٢)

(س + ع)٣ - س٣ = [(س + ع) - س][(س + ع)٢+ س(س + ع) + س٢]

= ع [س٢ + ٢ س ع + ع٢ + س٢ + س ع + س٢)

= ع (٣س٢ + ٣س ع + ع٢)

س٦ - ٦٤ص٦ د

CG ßMÓf¿ هذا املقدار ميكن حتليله كفرق بني مربعني، وميكن حتليله كفرق بني مكعبني، وجيب حتليله أوال كفرق بني مربعني، ثم حتليل كل من العاملني الناجتني.

س٦ - ٦٤ص٦ = (س٣ + ٨ص٣) (س٣ - ٨ص٣)

= (س + ٢ص) (س٢ - ٢س ص + ٤ص٢) (س - ٢ص) (س٢ + ٢س ص + ٤ص٢)

إذا كان س٢ - ص٢ = ٢٠ ، س - ص = ٢، س٢ - س ص + ص٢ = ٢٨، أوجد قيمة س٣ + ص٣ ٢

الحل

∴ (س - ص) (س + ص) = ٢٠ س٢ - ص٢ = ٢٠

∴ س + ص = ١٠ (١) ∴ ٢(س + ص) = ٢٠ لكن س - ص = ٢

س٣ + ص٣ = (س + ص) (س٢ - س ص + ص٢)

١٠ * ٢٨ = ٢٨٠ =

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٤

تمارين (١ - ٤)أكمل لتحصل عىل عبارة صحيحة: ١

............ =٦C ١٢٥- ٣

ب ٨س٣ = ............ ٣

أ

د ٣٤٣س٣ ص٦ = (............)٣ ٢٧م٣ = (............)٣

(............ + C١٠ - ٢C١٢٥ = (............+............) (٤ +

٣Cو ٨ س٣ - ١ = (س - ١) (....................)

حلل كال من المقادير اآلتية: ٢

ب م٣ + ٦٤ن٣ س٣ + ٨ أ

د ٨ - ١٠٠٠ب٦ س٣ - ٧٢٩

١٨ ٣C - ٨ب٣ و س١٢ + ص١٥

حلل كال من المقادير اآلتية: ٣

ب ٣٤٣ + ٢٧م٣ ٥١٢ س٣ - ص٣ أ

د ٥س٣ - ٤٠س ١٦ ٣Cب + ٦٨٦ب٤

و (م - ٢ن)٣ - ٨ ن٣ (س + ٥) ٣ - ١٢٥

حلل كال من المقادير اآلتية: ٤

ب (س + ص)٣ - (س - ص)٣ (س + ٥)٣ + (س - ٥)٣ أ

د س٦ - ٧س٣ - ٨ (م - ن) + (م - ن)٤

و ٦C - ٦٢٥ب٦ ٠٫٠٢٧ م٣ - ن٣

إذا كان س٣ - ص٣ = ٢٨، س - ص = ٢ ، أوجد قيمة المقدار س٢ + س ص + ص٢ ٥

١٥ الفصل الدراسى الثانى

™HGôdG ¢SQódG ≈dhC’G IóMƒdG

سوف تتعلم التحليل بالتقسيم.

مصطلحات أساسية

التحليل بالتقسيم.

لتحليل مقدار جبرى مكون من أكثر من ثالثة حدود مثل:

C٢س + Cص + ٢ب س + ب ص

نالحظ عدم وجود عامل مشترك بين جميع حدوده ، وأنه ليس على إحدى الصور

السابقة ، ولذلك نحاول تقسيمه إلى مجموعات بين كل منها عامل مشترك.

تم تقسيم المقدار إلى مجموعتين = ٢ Cس + C ص + ٢ب س + ب ص المقدار

أخرجنا ع.م.أ من كل مجموعة = C (٢س + ص) + ب(٢س + ص)

أخرجنا (٢س + ص) ع.م.أ للمجموعتين = (٢س + ص) (C + ب)

:¿CG ßM’

يمكن إجراء التقسيم بطريقة أخرى كمايلى:

خاصية اإلبدال = ٢ C س + ٢ب س + C ص + ب ص المقدار

= ٢س ( C + ب) + ص (C + ب)

= (C + ب) (٢س + ص)

مثال

حلل كال من المقادير اآلتية:

١٦س٢ -٢C + ٦ C ب - ٩ب٢ ب س٣ + ٢س٢ - س - ٢ أ ١ - س٢ - ٤س ص - ٤ص٢

الحل

= س٣ + ٢س٢ + (- س -٢) المقدار أ = س٢ (س + ٢) - (س + ٢)

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٦

ر وناقش فك

º«°ù≤àdÉH π«∏ëàdG الدرسالخامس

= (س + ٢) (س٢ - ١)

= (س + ٢) (س + ١) (س - ١)

نالحظ عدم وجود عالقة بين الحد األول وباقى الحدود؛ ولذا يمكن تقسيمها كاآلتى: ب

= ١٦س٢ - (٢C - C٦ب + ٩ب٢) المقدار = ١٦س٢ - (C - ٣ب)٢

= [٤س + (C - ٣ب)][٤س - (C -٣ب)] = (٤س + C - ٣ب) (٤س - C + ٣ب)

= (١) - (س٢ + ٤س ص + ٤ص٢) المقدار = ١ - (س + ٢ص)٢

= (١ - س - ٢ص) (١ + س + ٢ص)

تمارين (١ - ٥)

حلل كال من المقادير اآلتية: ١

٥ل - ١٠م - C ل + ٢ C م ب C س + ب س + C ص + ب ص أ

١ + C + ٢C +

٣C د C م - C ن + م - ن

س٣ - ٣ س٢ + ٦س - ١٨ و س ص + ٥ص + ٧س + ٣٥

حلل كال من المقادير اآلتية: ٢

٨م ن - ٢م٢ +١٢ن ل - ٣م ل ب ٣س ص - ٥ع ل + ٥ع س - ٣ص ل أ

٣ C س - C - ٦ب س + ٢ب د C ب + ٦م ن - ٢ب م - ٣ C ن

C ب س٢ + ب س - C س - ١ و ٢س٢ ص - س ص٢ + ٢ C س - C ص

حلل كال من المقادير اآلتية: ٣

٢ C ٢ + ٢ C ب + ب٢ + C ب ب س٢ - ٢س ع - ٢س ص + ٤ص ع أ

٩س٢ - ٤ C ٢ + ص٢ + ٦س ص د C ٢ + ٦ Cب + ٩ب٢ - م٢

٤م٤ - ٩م٢ + ٦م - ١ و ١٢١س٤ -١٠٠س٢ - ٢٠س - ١

(١ - ٢) (س٢ = (س +

(١ ١) (س - ٢) (س + = (س +

نالحظ عدم وجود عالقة بين الحد األول وباقى الحدود؛ ولذا يمكن تقسيمها كاآلتى: ب

٢ C ٢C ٢

١٧ الفصل الدراسى الثانى

سوف تتعلم التحليل باكمال المربع.

مصطلحات أساسية

إكمال المربع.

سبق أن تعلمت أن:

± ٢ C ب + ب٢ ويحلل بالصورة (C ± ب)٢ ٢C المربع الكامل يكون على الصورة

وتوجد بعض المقادير التكون على صورة مربع كامل ، يمكن إكمال المقدار

ليكون مربعا كامال .

مثال ١

حلل المقدار: س٤ + ٤ص٤

الحل

هذا المقدار النستطيع تحليله بما سبق دراسته من طرق التحليل، ولكى تحصل ٤ص٤ أى ٤س٢ص٢ س٤ * على مربع كامل يجب إضافة الحد ٢ *

= س٤ + ٤س٢ ص٢+٤ص٤-٤س٢ص٢ المقدار = (س٢ +٢ص٢)٢ - ٤س٢ ص٢

= [(س٢+٢ص٢)-٢س ص] [(س٢ + ٢ص٢) + ٢ س ص]

= (س٢ - ٢س ص + ٢ص٢) (س٢ +٢ س ص + ٢ ص٢)

مثال ٢مثال ٢

ب٢ + ٤ب٤٢C١٣ -

٤Cحلل المقدار: ٩الحل

ب٢ + (٢ب٢)٢ ليكون مربعا كامال يجب أن يكون:٢C ٢ - ١٣(

٢C المقدار = (٣ الحد األوسط = ± ٢ * ٢C٣ * ٢ب٢ = ± ١٢ ٢C ب٢

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٨

فكر وناقش

™HôªdG ∫ɪcEÉH π«∏ëàdG الدرسالسادس

= (٢C٣)٢ - ٢C١٢ب٢ + (٢ب٢)٢ - ٢Cب٢ المقدار = (٢C٣ - ٢ب٢)٢ - ٢Cب٢

= (٢C٣ - ٢ب٢ - Cب) (٣ ٢C - ٢ب٢ + Cب)

= (٢C٣ - Cب - ٢ب٢) (٣ ٢C + Cب - ٢ب٢)

= (C٣ + ٢ب) (C - ب) (C٣ - ٢ب) (C + ب)

حل أخر

. نالحظ أن المقدار ٤C٩ - ٢C١٣ ب٢ + ٤ب٤ يمكن تحليله كمقدار ثالثى= (٢C٩ - ٤ب٢) (٢C - ب٢) المقدار

=(C٣ + ٢ب) (C٣ - ٢ب) (C + ب) (C - ب)

وهو نفس التحليل السابق مع استخدام خاصية اإلبدال.

تمارين (١ - ٦)

كال من المقادير اآلتية: حلل ١

ب ٦٤م٤ + ن٤ ٤س٤ + ص٤ أ د ٨١س٤ + ٤ع٤ ٤س٤ + ٦٢٥ص٤

و ٨س٤ص٢ + ١٦٢ع٤ص٢ ٤C + ٢٥٠٠ب٤

كال من المقادير اآلتية: حلل ٢ + ٤ C ٢ ب٢ + ١٦ب٤

٤C ب س٤ + س٢ ص٢ + ٢٥ص٤ أ

س٤ + ٩س٢ + ٨١ د م٤ - ١١م٢ ن٢ + ن٤ ٤س٤ + ٢٥ ص٤ - ٢٩ س٢ ص٢ و ١٦س٤ - ٢٨س٢ ص٢ + ٩ص٤

كال من المقادير اآلتية: حلل ٣س٢ (س٢- ١٩ص٢) + ٢٥ص٤ ب ٤س٢ (٤س٢ - ٧ص٢) + ص٤ أ

- ٦ب٢) + ٩ب٤٢C) ٢C٤ د ٣م٤ + ٣ن٤ - ٥٤م٢ ن٢

س٨ - ١٦ص٨ و ٩س٤ - ٢٥س٢ + ١٦

- ٢Cب٢ + (٢ب٢)٢ - ٢C١٢ب٢ ٢(٢C٣) = المقدار - ٢ب٢)٢ - ٢Cب٢ ٢C٣) =

Cب) + ٢ب٢ - ٢C Cب) (٣ - ٢ب٢ - ٢C٣) =

(٢ ٢ C ٢C ٣) (٢ ٢ C ٢C٣)

١٩ الفصل الدراسى الثانى

سوف تتعلم حل معادلة من الدرجة الثانية

فى متغير واحد.

مصطلحات أساسية

في الثانية الدرجة من معادلة

متغير واحد .

جذور المعادلة.

حل معادلة.

: سبق أن تعلمت أن

إذا كان C، ب عددين حقيقيين وكان C * ب = صفر فإن:

ب = صفر أو C = صفر

(١) إذا كان (س - ٥) ( س + ٢) = ٠ مثال: فإن: س - ٥ = ٠ أو س + ٢ = ٠

∴ س = ٥ أو س = -٢ :¿CG ßM’

(١) كل من س = ٥ ، س = -٢ يسمى جذرا للمعادلة ١

مجموعة حل المعادلة هى {٥، -٢} ٢

مثال ١

أوجد مجموعة الحل للمعادلة ٢س٢ - ٥س - ٣ = ٠ فى ح

الحل

بتحليل الطرف األمين، تكون املعادلة بالصورة اآلتية:

٠=(س - ٣)(٢س + ١)

٠= ٢س + ١ = ٠ أو س - ٣

٠=٢س = -١ أو س - ٣

٢-١ أو س ٣=س =

{٣ ، ٢-١ ∴ مجموعة الحل هى {

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٢٠

ر وناقش فك

الدرسالسابع

á«fÉ qãdG áLQódG øe mádOÉ©ªdG tπMmóMGh mô«¨àe ≈a

:¿CG ßM’ ة الحل بالتعويض عن قيمة س فى المعادلة األصلية: ق من صح يمكن التحق

٣ - ( ٢-١ ) ٢ - ٥( ٢-١ ) ٢ = ∴ الطرف األيمن ٢-١ عند س =

٥٢ -٣ = ٣ - ٣ =٠ = الطرف األيسر + ٢ *١٤ =

٢ (٣)٢ - ٥ (٣) -٣ = ∴ الطرف األيمن عند س = ٣

= ١٨ -١٥ -٣ = ٠ = الطرف األيسر

، ٣ تحقق المعادلة ٢-١ ∴ كل من

مثال ٢

أوجد فى ح مجموعة حل المعادلة ٢س٣ = ١٨س

الحلورة ٢س٣ - ١٨س = ٠ ويمكن تحليلها. نكتب المعادلة بالص

أى ٢س (س -٣) (س + ٣) = ٠ ٢س (س٢ -٩) = ٠

س + ٣ = ٠ أو س - ٣ = ٠ أو ∴ ٢س = ٠ س = -٣ أو س = ٣ أو س = ٠

∴ مجموعة الحل فى ح هى {٠، ٣، -٣}، تحقق من صحة الحل.

مثال ٣

ربى بمقدار الواحد الصحيح. أوجد العدد الحقيقى الذى ضعفه يزيد عن معكوسه الض

الحل

(س ≠ ٠) = س نفرض أن العدد

= ٢ س ضعف العدد ١س المعكوس الضربى للعدد =

∵ ضعف العدد يزيد عن المعكوس الضربى بمقدار الواحد الصحيح.س١ = ١ ∴ ٢ س -

:¿CG ßM’ ة الحل بالتعويض عن قيمة س فى المعادلة األصلية: ق من صح يمكن التحق

٣ - ( ٢-١ ) ٥ - ٢( ٢-١ ) ٢ = ∴الطرف األيمن ١-٢ عند س =

٢١ الفصل الدراسى الثانى

برضب طرىف املعادلة ىف س

٢س٢ - ١ = س

٢س٢ - س -١ = ٠

٠=(س - ١)(٢س + ١)

٠= ٢س + ١ = ٠ أو س - ١

٢س = -١

٢-١ أو س ١=س =

التحقق: التحقق:

ضعف العدد ٢ ضعف العدد = -١

المعكوس الضربى = ١ المعكوس الضربى = -٢

واضح أنه فى الحالتين ضعف العدد يزيد عن المعكوس الضربى بمقدار ١

مثال ٤

مستطيل يزيد طوله عن عرضه بمقدار ٤سم فإذا كانت مساحته ٢١سم٢ فأوجد بعديه؟

الحل

نفرض أن عرض المستطيل = س سم

= (س + ٤) سم ∴ الطول ٢١ = س (س + ٤)

٠ = س٢ + ٤س - ٢١

٠= (س - ٣)(س + ٧)

أو س + ٧ = ٠ ٠ = س - ٣

(وهو مرفوض ألنه سالب) أوس = -٧ ٣ = س

∴ عرض املستطيل = ٣سم ، طوله = ٣ + ٤ = ٧سمالتحقق: مساحة المستطيل = ٣ * ٧ = ٢١سم٢

س

س + ٤

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٢٢

تمارين (١ - ٧)

أوجد مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتية فى ح: ١

س٢ - ٧س - ٣٠ =٠ ب س٢ - ٨س + ١٥ = ٠ أ

٥س٢ + ١٢س = ٤٤ د ٦س٢ - ٧س -٣ = ٠

(س + ٣)٢ - ٤٩ = ٠ و (س - ٣) (س + ١) = ٥

أوجد مجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتية فى ح: ٢

س٤ - ٥س٢ + ٤ = ٠ ب ١٢س٢ = ٤٧س - ٤٥ أ

س٢ - ٦س = ٠ د (س + ٣)٢ + ٣ (س + ٣) - ١٠ = ٠

٦س٢ - س = ٢٢ و ٤ س٣ = ٩س

عددان حقيقيان يزيد أحدهما عن اآلخر بمقدار ٤، فإذا كان حاصل ضرب العددين يساوى ٤٥ . ٣

فما العددان؟

متر ٥٠٠ مساحتها كانت فإذا أمتار، بخمسة عرضها على يزيد طولها كل الش مستطيلة أرض قطعة ٤

مربع فأوجد بعديها؟

C ب جـ مثلث فيه X (C c) = (س٢ + ٦١)°، X (c ب) = (١١٠ - ١١س)°، X (c جـ) = ( ٩٠ - ٧س)° ٥

أوجد قيمة س، و قياسات زوايا المثلث.

اآلن عمريهما مربعى ومجموع سنوات، ٤ بمقدار حنان عمر على يزيد اآلن حاتم عمر كان إذا ٦

يساوى ٢٦ ، فما عمر كل منهما اآلن؟

مثلث قائم الزاوية أطوال أضالعه ٢س، ٢س + ١، س - ١١ من السنتيمترات. احسب قيمة س وأوجد ٧

محيط المثلث ومساحته؟

٥٦ فما العدد ؟ ربى بمقدار عدد حقيقى يزيد عن معكوسه الض ٨

عدد حقيقى إذا أضيف إليه مربعه ، كان الناتج ١٢، فما العدد ؟ ٩

عددان فرديان متتاليان مجموع مربعيهما ١٣٠، فما العددان؟ ١٠

٢٣ الفصل الدراسى الثانى

™HÉ°ùdG ¢SQódG ≈dhC’G IóMƒdG

تمارين عامة

حللكال مما ياتى: ١٤C + ٤ب٤ ٢س٥ + ٥٤س٢ ب س٤ - ١٦ص٤ أ

و ٨س٣ - ١٢٥ س٦ - ٦٤ص٦ د

٣س٣ + ٢س٢ + ١٢س + ٨

حللكال مما ياتى: ٢ل٣م - ٢٧م٤ ب ٨س٢ - ٢س ص - ص٢ أ

٢(س + ٣ص)٣ - ٢٥٠ د - ٨١ب٢ ٢C ٦٢٥

٧س٢ - ٢٩س ص + ٣٠ص٢ و (جـ - د) + ٢س (جـ - د) + س٢ (جـ - د)

أوجدقيمة للعدد حـ ∈ N بحيث يكون المقدار قابال للتحليل وحلله: ٣

ص٢ - جـ ص + ٢٩ س٢ - ٧س + جـ ب س٢ + جـ س - ١٥ أ

جـ س٢ - ١٣س + ٦ و جـ س٢ + س - ١٥ ٢C + C - جـ د

حللكال من المقادير اآلتية: ٤١٨ C ب٤ - ١١٤ب٢ جـ٢ C + ١٢٨ C جـ٢ ب ٩س٢ - ٣٠س + ٢٥ أ

س٢ - ٢س ص + ص٢ - ٤ع٢ د س٢ - ٤س ص + س - ٢ص + ٤ص٢

أوجدمجموعة الحل لكل من المعادالت اآلتية: ٥

٣س٢ + ٢س = ٨٥ ب س٢ + س = ٦ أ

٢س٣= ٧س د ( س - ١)٢ + س = ٣

مجموع ثالثة أعداد صحيحة متتالية يساوى مربع العدد األوسط، أوجد هذه األعداد. ٦

C ب = { جـ} ⋂ E فى الشكل المقابل جـ ٧

فإذا كان X (c ب جـ E) = (س٢)°،

X (C c جـ E) = (٨ س)°

احسب قيمة س.

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٢٤

ملف� ا=نجازيمكن استخدام الوحدات التالية لتوضيح بعض مسائل التحليل كمايلى:

س

س

١

١س

١مساحة املربع = ١مساحة املربع = س٢ مساحة املستطيل = س

الشكل المقابل مساحته ٣س٢ + ٦س ١

¿CG ßM’

بعدى المستطيل هما ٣س ، س + ٢

مساحته = ٣س (س + ٢)

= ٣س٢+ ٦س

فى الشكل المقابل المساحة = .......... ٢

بعدا المستطيل هما ......

ما العالقة بين المساحة وبعدى المستطيل؟

ارسم الشكل الذى يعبر عن المساحة: ٣س٢ + ٧س + ٢ ٣

سسس

٢٢٢

١

١

١

١

١

١

٢٥ الفصل الدراسى الثانى

RÉéfE’G ∞∏e ≈dhC’G IóMƒdG

اختبار الوحدة

اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين أمام كل عبارة: ١

المقدار ٤س٢ + ك + ٢٥ص٢ مربعا كامال عندما ك = ....... أ

(٢٠ أو ١٠س ص أو ± ٢٠س ص أو ٣٠س ص)

(٢ أو ١ أو ١٢٨ أو ٦٤) إذا كان س٢ - ص٢ = ١٦، س + ص = ٨ فإن س - ص = ... ب

(١٥ أو ٢٥ أو ٨ أو ٧) إذا كان س + ص = ٣، س٢ - س ص + ص٢ = ٥ فإن س٣ + ص٣ = ...

(٦ أو ١٦ أو ١ أو ٩) ... = C يكون مربعا كامال عندما C + المقدار ٤س٢ + ١٢س د

(١٥ أو ١٩ أو -١٩ أو ٤) + ك أ + ١٠ فإن ك = ... ٢C٦ = (٢- C٣) (٥ - C٢) إذا كان

أكمل لتحصل على عبارة صحيحة: ٢

....... + ١٥ب٢٢C(....... - ٣ب) = ٨ (٥ب - C٤) أ

إذا كان س٢ + ص٢ = ١٧، س ص = ٧ فإن (س - ص)٢ = ....... ب

إذا كان ك س٢ - ١٠س + ١ مربعا كامال فإن ك = .......

إذا كان (س + ١) أحد عوامل المقدار ٥س٢ - ٢س - ٧ فإن العامل اآلخر = ....... د

س٣ + ٨ = (س + ٢) (.....................)

حلل كال ممايأتى: ٣

٢س٢ - ٥س + ٣ ٢C + C٢ ب + ب٢ - جـ٢ ب (س + ٢)٣ - ٤س - ٨ أ

٨س٣ - ٣٤٣ص٦ س٤ + ٤ ل٤ د

حل كال من المعادالت اآلتية فى ح: ٤

(٢س-١)٢ + (س - ١)٢ = ١٠ ٣س٢ + س = ١٤ ب س٢ - ٣س - ١٠ = ٠ أ

استخدم التحليل لتسهيل حساب قيمة كل من المقادير اآلتية: ٥

(٨٧)٢ + ٢ * ١٣ * ٨٧ + (١٣)٢ (٨٫١٧٥)٢ - ( ١٫٨٢٥)٢ ب ٢٠٧ * ٥ - ٢٠٧ * ٧٥ أ

مثلث قائم الزاوية، طوال ضلعى القائمة ٤س، س + ١ من السنتيمترات، فإذا كانت مساحته ٨٤سم٢ ٦

احسب طول وتره.

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٢٦

العالقة بين متغيرينالعالقة بين متغيرين

الوحدة الثانية

٢

ر وناقش فك

سوف تتعلممن متغيرين بين العالقة

الدرجة األولى .

بين للعالقة البيانى التمثيل

متغيرين من الدرجة األولى.

مصطلحات أساسية

متغير.

عالقة.

معادلة من الدرجة األولى.

يمتلك شخص أوراقا مالية فئة ٥٠ جنيها، وأوراقا

مالية فئة ٢٠ جنيها، فإذا اشترى هذا الشخص جهازا

كهربائيا ثمنه ٣٩٠ جنيها.

فكر: كم عدد األوراق من كل نوع التى يعطيها للبائع؟

نفرض أن س: عدد األوراق فئة ٥٠ جنيها، فتكون قيمتها ٥٠س جنيها.

وأن ص: عدد األوراق فئة ٢٠ جنيها، فتكون قيمتها ٢٠ص جنيها.

معرفة س، ص التى تجعل: ٥٠س + ٢٠ص = ٣٩٠ والمطلوب:

تسمى هذه العالقة معادلة من الدرجة األولى، فى متغيرين يمكن قسمة

طرفى المعادلة على ١٠ فنحصل على معادلة مكافئة لها، وهى:

٥س + ٢ص = ٣٩

٣٩ - ٥س٢

وتكون ص =

’CG ßM¿: كل من س، ص أعداد طبيعية، وفى هذه الحالة تكون س عددا فرديا.

يمكن تكوين الجدول المقابل لمعرفة اإلمكانات المختلفة وهى:

يعطى البائع ورقة واحدة فئة ٥٠ جنيها،

١٧ ورقة فئة ٢٠ جنيها.

أو ٣ ورقات فئة ٥٠ جنيها ، ١٢ ورقة فئة

٢٠ جنيها.

أو ٥ ورقات فئة ٥٠ جنيها ، ٧ ورقات فئة

٢٠ جنيها .

أو ٧ ورقات فئة ٥٠ جنيها ، ورقتين فئة ٢٠ جنيها.

جنيها،

رقة فئة

ت فئة

ها جن ٢٠ فئة ن

(س،ص) صس

(١، ١٧)١١٧(٣، ١٢)٣١٢(٥، ٧)٥٧(٧، ٢)٧٢التصلحسالبة٩

؟

ا ا ق

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٢٨

الوحدة الثانيةالدرسpøjôا&ول u«¨àe ø«H oábÓ©dG

تدرب

مع شخص أوراق مالية فئة ٥ جنيهات، وأوراق مالية فئة ٢٠ جنيها. اشترى هذا الشخص من المركز ١

التجارى بما قيمته ٧٥ جنيها، ما اإلمكانات المختلفة لدفع هذا المبلغ باستخدام نوعى األوراق المالية

التى معه؟

أطوال بأن علما أضالعه، ألطوال المختلفة اإلمكانات ما ١٩سم، محيطه الساقين، متساوى مثلث ٢

+N ∋ أضالعه

’CG ßM¿: مجموع طولى أى ضلعين فى المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.

øjô u«¨àe ø«H pábÓ©dG oá°SGQO

ص س، المتغيرين بين خطية عالقة تسمى C س + ب ص = جـ حيث C ≠ ٠، ب ≠ ٠ ويمكن إيجاد مجموعة من األزواج المرتبة (س، ص) تحقق هذه العالقة.

مثال:بدراسة العالقة ٢س – ص = ١

تحقق العالقة (١، ١) ∴ تكون ص = ١ عند س = ١

تحقق العالقة (٠، -١) ∴ تكون ص = -١ عند س = ٠

تحقق العالقة (٣، ٥) ∴ تكون ص = ٥ عند س = ٣

تحقق العالقة (١، -٣-) تكون ص = -٣ عند س = -١

وهكذا نجد أن هناك عددا النهائى من األزواج المرتبة التى تحقق هذه العالقة.

:¿CG ßM’ يمكن تمثيل العالقة ٢س – ص = ١، بيانيا باستخدام بعض األزواج ☯

المرتبة التى حصلنا عليها.

مرتب زوج يمثلها األحمر، باللون المستقيم الخط ∋ نقطة كل ☯

يحقق العالقة ٢س – ص = ١.

١

١١-١-

٢-

٢

٢

٣

٣

٤

٤

٥

٢-

س

ص

س

ص

٢٩ الفصل الدراسى الثانى

تدرب

أوجد أربع أزواج مرتبة تحقق كال من العالقات اآلتية ، ومثلها بيانيا: ١

س – ٢ص = ٥ ب س + ص = ٣ أ

س = ١ د ص = ٢

إذا كان (-٣، ٢) تحقق العالقة ٣ س + ب ص =١، فأوجد قيمة ب. ٢

إذا كان (ك، ٢ك) تحقق العالقة س + ص = ١٥ ، فأوجد قيمة ك. ٣

øjô«¨àe ø«H páb nÓ©∏d t≈fÉ«ÑdG oπ«ãªàdG

C س + ب ص = جـ حيث C، ب كالهما معا ≠٠ تسمى عالقة بين المتغيرين س ، ص العالقة

ويمثلها بيانيا خط مستقيم.

٠ = C ب = ٠إذا كانت إذا كانت يمثلها مستقيم يوازى محور الصادات.يمثلها مستقيم يوازى محور السينات.

العالقة ٢ ص = ٣ مثال: ٣٢ ص = أى:

المستقيم الخط يمثلها

يمر وهو األحمر باللون

ويكون (٣٢ ،٠) بالنقطة

موازيا لمحور السينات.

١

١١-١-

٢-

٢

٢

٣

٣س

ص

س

ص

مثال: العالقة س = -٢المستقيم الخط يمثلها

وهو األحمر باللون

(٠ ،٢-) بالنقطة يمر

لمحور موازيا ويكون

الصادات.

١

١١-١-

٢-

٢

٢

٣

٣س

ص

س

ص

حالة خاصة:العالقة ص = ٠ يمثلها محور السينات.

حالة خاصة:العالقة س = ٠ يمثلها محور الصادات.

تدرب

مثل بيانيا كال من العالقات اآلتية: ١

ص + ١= ٠ ب ٢س = ٥ أ

تدرب

بيانيا: ومثلها اآلتية العالقات من كال تحقق تبة م أزواج بع أ أوجد ١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٣٠

أوجد العالقة التى يمثلها الخط المستقيم باللون األحمر فى كال من الشكلين التاليين: ٢

١

١١-١-

٣-٢-

٢-

٢

٢

٣

س

ص

س

ص

٣

١

١١-١-

٣-٢-

٢-

٢

٢

٣

س

ص

س

ص

٣

مثال

مثل بيانيا العالقة: س + ٢ ص= ٣

الحل

يمكن اختيار مجموعة من األزواج المرتبة التى تحقق هذه العالقة:

يحقق العالقة (١ ،٢-) ∴ س = -١ بوضع ص = ٢ مثال: يحقق العالقة (٣ ، ٠) ∴ س = ٣ بوضع ص = ٠

تحقق العالقة وهكذا .. (٥ ، -١) ∴ س = ٥ بوضع ص = -١

ويمكن وضع هذه النتائج فى صورة جدول كالتالى:

٣٥٠-١س

٣-٢٠١ص٢

وتمثل هذه العالقة الخط المستقيم باللون األحمر.

ناقش مع معلمك:

ماذا تالحظ على تغير قيمة ص كلما زادت قيمة س؟ ١

متى يمر الخط المستقيم الممثل للعالقة Cس + ب ص = جـ بنقطة األصل؟ ٢

تمارين (٢ - ١)٢ س – ص = ٣ ب أ س + ص = ٢ مثل بيانيا كال من العالقات اآلتية: ١

مثل المستقيم الذى يمثل العالقة ٢س + ٣ص = ٦، وإذا كان هذا المستقيم يقطع محور السينات فى النقطة ٢

C ، ويقطع محور الصادات فى النقطة ب ، أوجد مساحة المثلث و C ب حيث نقطة و هى نقطة الوصل.

١

١١-١-

٣-٢-

٢-

٢

٢

٣

س

ص

س

ص

٣

أوجد العالقة التى يمثلها الخط المستقيم باللون األحمر فى كال من الشكلين التاليين: ٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

٢٢٢٢

٣٣٣٣٣صصصصصصص

٢٢٢٢

٣٣٣٣٣صصصصصصص

٣١ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á«fÉãdG IóMƒdG

ر وناقش فك

سوف تتعلم ميل الخط المستقيم .

ميل على حياتية تطبيقات

الخط المستقيم.

مصطلحات أساسية

ميل.

ميل موجب.

ميل سالب.

الميل يساوى صفرا.

الميل غير معرف.

إلى (١ص ،

١C(س الموضع من مستقيم خط على نقطة تحرك الحظنا إذا

١ > س

٢) حيث س

٢، ص

٢الموضع ب (س

وكل من C، ب ∈ المستقيم فإن:

١ – س

٢التغير فى اإلحداثى السينى = س ١

ويسمى بالتغير األفقى

١ – ص

٢التغير فى اإلحداثى الصادى = ص ٢

ويسمى بالتغير الرأسى (من الممكن

يساوى أو سالبا أو موجبا يكون أن

الصفر).

التغري الرأىس

التغري األفقى = التغري ىف اإلحداىث الصادىالتغري ىف اإلحداىث السيىن

ميل الخط المستقيم =

١ > س

٢حيث س ١

-ص٢ص

١ - س

٢س

م =

:(١ – ص

٢فى األمثلة اآلتية ستدرس الحاالت المختلفة للتغير الرأسى (ص

مثال ١

إذا كانت: C = (-١، ١)، ب = (٢، ٣).

٢٣

= ٣ -١(١-)- ٢

C ب = فإن: ميل

س

ص

س

ص

(٢، ص

٢(س

(١، ص

١(س

سو ٢-١١-

١

٢

٣

٢ ٣

صب

Cس

ص

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٣٢

الوحدة الثانيةالدرسالثانى

º«≤à°ùªdG u§îdG tπ«eá«JÉ«M läÉ≤«Ñ£Jh

:¿CG ßMÓJتحركت نقطة C على الخط المستقيم ألعلى لتصل إلى نقطة ب. ١

٣ الميل موجب. ١ > ص

٢ص ٢

مثال ٢

إذا كانت: C (٠، ٢)، ب (٢، ١)

١٢ - = ١ - ٢

٢ - ٠C ب = فإن: ميل

:¿CG ßMÓJ تحركت نقطة C على المستقيم ألسفل لتصل إلى نقطة ب. ١

٣ الميل سالب. ١ < ص

٢ص ٢

مثال ٣

إذا كانت: C (-١، ٢) ، ب ( ٣، ٢)

صفر = صفر.٤

= ٢ - ٢(١-) - ٣ C ب = فإن: ميل

:¿CG ßMÓfتحركت نقطة C أفقيا لتصل إلى نقطة ب. ١

٣ الميل = صفر. ١ = ص

٢ص ٢

مثال ٤

إذا كانت: C = (٢، ١)، ب(٢، ٣) فإننا النستطيع حساب الميل؛ ألن

. تعريف الميل يشترط وجود تغير فى اإلحداثى السينى

٠ ≠ ١ – س

٢أى: س

:¿CG ßMÓJh تحركت نقطة C رأسيا لتصل إلى نقطة ب. ١

٣ الميل غير معرف. ١ = س

٢س ٢

سو ٢-١١-

١

٢

٣

٢ ٣

ص

ب

C

س

ص

سو ١١-١-

٢-

١

٣

٢ ٣

ص

Cب

س

ص

٢

سو ١١-١-

٢-

١

٣

٣

ص

Cس

ص

٢

ب

٢

٣٣ الفصل الدراسى الثانى

تدرب

. C ب فى كل من الحاالت التالية، أوجد ميل المستقيم ١

C (٢، -١)، ب (٤، -١) ب C (١، ٢)، ب (٥، ٠) أ

C ( ٣، -١)، ب (٣، ٢) د C (-١ ، ٣)، ب (٢، ١)

C جـ ، ومثل كال منهما C ب ، ب جـ، إذا كانت C (٢، -١)، ب ( ٣، ٢)، جـ (٤، ٥)، أوجد ميل كل من ٢

بيانيا ماذا تالحظ؟

اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين أمام كل عبارة: ٣

أوال: الجدول اآلتى يبين عالقة س، ص، وهى:

(ص = س + ٤ أو ص = س + ١ أو ص = ٢س -١ أو ص = ٣س -٢)

ثانيا: إذا كان (٢، -٥) يحقق العالقة ٣س – ص + جـ = ٠ فإن جـ = .......

(١ أو -١ أو ١١ أو -١١)

ثالثا: (٣، ٢) اليحقق العالقة .......... (ص + س = ٥ أو ٣ص – س = ٣ أو ص + س = ٧ أو ص – س = ١)

رابعا: تستهلك آلة للرى ٢٫٤٧ من اللتر من السوالر؛ لتشغيلها ٣ ساعات، فإذا عملت اآللة ١٠ ساعات، فإنها

(٧٫٢ أو ٨ أو ٨٫٤ أو ٩٫٦) تستهلك ....... من اللتر من السوالر.

C ب C ب حيث C (-١، ٣)، ب (٢، ٥) هل النقطة جـ (٨، ١) ∈ أوجد ميل المستقيم ٤

تطبيقات حياتية على ميل الخط المستقيم

(1) ≥«Ñ£Jح تغير رأس مال شركة خالل ٨ سنوات. الشكل المقابل: يوض

، ب جـ، جـ E ما داللة كل منها؟ C ب أوجد ميل كل من أ

احسب رأس مال الشركة عند بدء عملها. ب

الحل(٨، ٥٠) = E ،(٦، ٦٠ ) = (٠، ٢٠)، ب = (٤، ٦٠)، جـ = C

١٢٣٤٥س

١٣٥٧٩ص

.

؟

١٠١٠٢٠٣٠٤٠٥٠٦٠٧٠٨٠

٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩

C

ب جـE

رأس المال باالف الجنيهات

السنوات

تدرب

. ب C المستقيم ميل أوجد التالية، الحاالت من كل فى ١١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٣٤

٦٠ - ٢٠ = ١٠ وهو يعبر عن تزايد رأس مال الشركة خالل السنوات األربعة. األولى بمعدل ١٠ آالف ٤ - ٠

C ب = أوال: ميل =جنيه.

٦٠ - ٦٠ = صفر وهو يعنى أن رأس مال الشركة كان ثابتا خالل السنتين الخامسة والسادسة.٦ - ٤ ميل ب جـ =

= -٥ وهو يعبر عن تناقص رأس مال الشركة خالل السنتين األخيرتين بمعدل ٥ آالف جنيه. ٥٠ - ٦٠٨ - ٦

= E ميلجـ

ثانيا: رأس مال الشركة عند بدء العمل = اإلحداثى الصادى لنقطة C = ٢٠ ألف جنيه.

تدرب

ح العالقة بين طول شخص الشكل المقابل يوض

(بالسنتيمتر) وعمره بالسنوات.

داللة وما E جـ ب جـ، ، C ب من كل ميل أوجد أوال:

كل منها؟

كان عندما الشخص هذا طول بين الفرق احسب ثانيا:

عمره ٨ سنوات، وطوله عندما كان عمره ٣٠ سنة.

(2) ≥«Ñ£Jالخزان ٤٠ لترا ، وبعد سيارته بالوقود، وسعة هذا مأل حازم خزان

٣٤ سعة الخزان، ح أن المتبقى ر يوض أن تحرك ١٢٠ كم ، وجد أن المؤش

بالخزان الوقود كمية بين العالقة ح يوض الذى البيانى الشكل ارسم

والمسافة التى قطعتها السيارة (علما بأن هذه العالقة خطية)، واحسب

المسافة التى تقطعها السيارة حتى يفرغ الخزان.

الحل

٤٠)C (٠،عند البدء:المسافة المقطوعة

كمية الوقود المستخدمة

ب = ( ١٢٠، ٣٠) بعد قطع ١٢٠كم

١-١٢ = ٣٠ - ٤٠

١٢٠ - ٠ C ب = ميل

هذا الميل يعنى أن كمية الوقود بالخزان تنقص بمعدل لتر واحد

كل ١٢ كم.

fullE F

0

34

12

14

٤٠

١٠

٠

٢٠٣٠

٤٠

٥٠٦٠

بC

٨٠ ١٢٠ ١٦٠٢٠٠ ٢٤٠٢٨٠٣٢٠

المسافة (كم)

كمية الوقود(لرت)

٢٠٢٥٥٠٧٥١٠٠١٢٥١٥٠١٧٥٢٠٠

٤ ٦ ٨ ١٠ ١٢١٤ ١٦ ١٨٢٠ ٢٢

C

ب

جـ E

العمر بالسنوات

الطول سم

وهو يعبر عن تزايد رأس مال الشركة خالل السنوات األربعة. األولى بمعدل ١٠ آالف ١٠ = ٢٠ - ٦٠٠ - ٤

= C ب أوال: ميل =جنيه.

٦٠ = صفر وهو يعنى أن رأس مال الشركة كان ثابتا خالل السنتين الخامسة والسادسة. - ٦٠٤ - ٦ ميل ب جـ =

أ ٦٠ ٥٠

٣٥ الفصل الدراسى الثانى

≈fÉãdG ¢SQódG á«fÉãdG IóMƒdG

٤٠١١٢

= كمية الوقودمعدل النقص

يفرغ الخزان عندما تقطع السيارة مسافة =

١٢١ = ٤٨٠كم. * ٤٠ =

C ب يقطع محور المسافة فى النقطة (٤٨٠، ٠) وهى تعبر عن المطلوب. :¿CG ßM’

تمارين (٢ - ٢)أكمل لتحصل على عبارة صحيحة: ١

C ب يساوى ............ إذا كان C (١، ٣) ، ب(٢، ١) فإن ميل أ

إذا كان (-١، ٥) يحقق العالقة ٣ س + ك ص = ٧ فإن ك = ............ ب

أى مستقيم يوازى محور السينات ميله = ............

أى مستقيم يوازى محور الصادات ميله ............ د

C ب = ميل ............ إذا كانت C، ب، جـ على استقامة واحدة فإن ميل

المركز من عصام اشترى جنيها، ٢٠ فئة مالية وأوراق جنيهات، ٥ فئة مالية ورقات ١٠ عصام مع ٢

د اإلمكانات المختلفة لدفع هذا المبلغ باستخدام األوراق المالية التجارى بما قيمته ٦٥ جنيها ، حد

التى معه، وأوجد العالقة بين عدد كل منها ومثلها بيانيا.

أحد فى المتجر باع فإذا ، جنيها ٥٠ الكرسى ثمن و جنيه، ١٠٠ الكمبيوتر طاولة ثمن كان إذا ٣

الكراسى. وعدد ، باعها التى الطاوالت لعدد الممثلة التوقعات هى فما جنيه، ٥٠٠ بمبلغ األسابيع

مثل هذه العالقة بيانيا؟

كل المقابل المثلث C ب جـ أكمل باستخدام أحد الكلمات: فى الش ٤

(موجب أو سالب أو صفر أو غير معرف).

C ب ............ ميل أ

ميلب جـ ............ ب

C و ............ ميل

C جـ ............ ميل د

ص

جـب

ص

و س

C

س

٤٠١١٢

= كمية الوقودمعدل النقص

يفرغ الخزان عندما تقطع السيارة مسافة =

= ٤٨٠كم. ١٢١ * ٤٠ =

المطلوب عن تعب وه (٠ ،٤٨٠) النقطة ف افة الم محور يقطع ب C :¿CG ßM’

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٣٦

فى الشكل المقابل: ٥

ل م ن مثلث قائم الزاوية فى ل ، X (c م) = ٤٥° فإذا كان . م ن ل (٣، ٢)، م (٧، ٢) أوجد إحداثى ن واحسب ميل

ح العالقة بين المسافة ف (بالمتر) والزمن ن (بالثانية) لجسم. كل من األشكال التالية يوض ٦

حدد موضع الجسم عند بدأ الحركة، وعند ن = ٦ ثوان ، وأوجد ميل المستقيم فى كل حالة (ماذا

يمثل الميل؟).

٢

٢٠

٤٦٨١٠١٢ف

٤ن ٦ ٢

٢٠

٤٦٨١٠١٢ف

٤ن ٦ ٢

٢٠

٤٦٨١٠١٢ف

٤ن ٦

١

١٠

٢٣٤٥٦ ن

ل م

٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨

س

ص

تكنولوجياتكنولوجياافتح برنامج EXCEL لرسم محورى س ، ص دون االرقام المبينة بالشكل (١) ١

B العمود ، A فى العمود االول

بالماوس ظلل العموديين ثم من قائمة insert اختر Chart شكل (٢) ٢

ثم xy scatter شكل (٣) ثم next ثم finish يظهر محورى س، ص

اضغط بالماوس من قائمة الرسم اسفل صفحة EXCEL وحدد قيم ٣

النقط كما بالشكل (٤)

ثم اضغط بالماوس على عالمة ٤ ارسم مستقيم يمر بكل من النقطتين (٢ ، ١) و (٠ ، ٢)

م

أ

١٢ الخط االزرق يصبح الميل يساوى (٢ - ١) / (٠ - ٢) يساوى -

ب ارسم مستقيم يمر بكل من النقطتين (٢ ، ٢) و (-٢ ، ٢)

يصبح الميل يساوى (٢ - ٢) / (- ٢ - ٢) يساوى صفر

اى الميل يوازى محور السينات الخط االصفر

ارسم مستقيم يمر بكل من النقطتين (٢ ، -١) و (٢ ، ٥) يصبح الميل يساوى (٥ - (-١)) / (٢ - ٢) الميل غير معرف

اى الميل يوازى محور الصادات الخط االحمر

شكل (١)

شكل (٢)

شكل (٣)

شكل (٤)

فى الشكل المقابل: ٥٥٥٥٥٥٥٥٥٥٥٥٥٥٥

٤٥° فإذا كان X (cم) = ل م ن مثلث قائم الزاوية فى ل ،

. م ن ٢) أوجد إحداثى ن واحسب ميل ٢)، م (٧، ل (٣، ٢٣٣٤٤٥٥٦٦ صصصنن

٣٧ الفصل الدراسى الثانى

≈fÉãdG ¢SQódG á«fÉãdG IóMƒdG

ملف5 ا4نجازن والزمن ف، المسافة بين العالقة ح يوض المقابل الشكل

لحركة قطارين C، ب بين محطتين، حيث ف (بالكيلو متر)، ن (بالساعة) استخدم الرسم إليجاد قيمة:

البعد بين المحطتين. أ الزمن الذى استغرقه كل من القطارين. ب

السرعة المتوسطة لكل منهما.

.C ما داللة القطعة المستقيمة فى حركة القطار د

. المسافة المقطوعة

الزمن الكلى الذى قطعت فيه المسافةالسرعة المتوسطة =

اختبار الوحدة

اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين أمام كل عبارة: ١

أى األزواج المرتبة التالية تحقق العالقة ٢ س + ص = ٥ أ

((-١، ٣) أو (١، ٣) أو (٣، ١) أو (٢، ٢))

ح العالقة بين س ، ص الموضحة بالجدول المقابل. أى العالقات اآلتية توض ب

(ص = س + ٧ أو ص = س – ٧ أو ص = ٣س + ١ أو ص = س + ١

C ب = ....... إذا كان C (٣، ٥)، ب ( ٥ ، -١) فإن ميل

( ١٣ ١٣ أو -٣ أو ٣ أو -)

ادات فى النقطة. العالقة ٣س + ٨ص = ٢٤ يمثلها مستقيم يقطع محور الص د

((٠، ٨) أو (٨، ٠) أو (٠ ، ٣) أو (٣، ٠))

، C جـ C ب ،ب جـ ، إذا كانت C = (٢، -١)، ب (١٠، ٣)، جـ (٢، ٣) أوجد ميل كل من ٢

د نوع المثلث C ب جـ بالنسبة لقياسات زواياه. ارسم المثلث C ب جـ على الشبكة التربيعية ، ثم حد

مأل عاطف خزان سيارته بالوقود، وسعته ٥٠ لترا ، وبعد أن قطع مسافة ١٠٠ كم، الحظ أن مؤشر عداد ٣

وكمية المقطوعة المسافة بين للعالقة البيانى الشكل ارسم سعته. ٤٥ به الخزان أن إلى يشير الوقود

الوقود بالخزان التى تتحركها السيارة ليكون الخزان فارغا.

٣٤٥س

١٠١٣١٦ص

١٠ص

١١ص

١٢ص

١ظ

٢ظ

١٠٢٠

الوقت

فكم

٣٠٤٠٥٠٦٠

٧٠٨٠٩٠١٠٠

C قطار قطار ب

ملف5 ا4نجازنن ووااللززممنن فف،، االلممسسااففةة ببيينن االلععالالققةة حح ييووضض االلممققااببلل الشككلل

للححررككةة ققططاارريينن CC،، بب ببيينن ممححططتتيينن،، ححييثث فف ((ببااللككييللوو ممتترر))،،

فففكككم

٨٠٨٠٩٠٩٠١٠٠١١٠٠

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٣٨

االحتمالاالحتمال

الوحدة الثالثة

٣

ر وناقش فك

سوف تتعلم معنى االستدالل اإلحصائى.

مفهوم العينة.

جربة العشوائية. الت

مصادر العينة.

الحدث.

مفهوم االحتمال.

التنبؤ.

مصطلحات أساسية

عينة.

تجربة عشوائية.

مصادر العينة.

حدث.

احتمال.

تنبؤ.

سبق أن عرفت بعض اإلجراءات واألساليب اإلحصائية التى تستخدم فى

البيانات هذه عرض وكيفية معينة، ظاهرة تخص التى البيانات وتنظيم جمع

فى صورة جدولية باستخدام جداول التوزيع التكرارى، والتوزيع التكرارى

المتجمع (صاعد - نازل)، ثم عرض هذه البيانات فى صورة رسوم بيانية (مدرج

تكرارى - مضلع تكرارى - منحنى تكرارى ...) أو غيرها من وسائل العرض

البيانى.

الوسط بإيجاد موجزة بصورة البيانات هذه عن التعبير أمكنك كما

إحصائى استدالل بعملية القيام بهدف لها، المنوال أو الوسيط أو الحسابى

واتخاذ القرارات المناسبة.

: االستدالل ا حصائى

ر هيا نفك

أو مصنع إنشاء فى الشروع قبل

جدوى بدراسة نقوم استثمارى مشروع

اقتصادية للمشروع.

ألحد اإلنتاج جــودة مراقبة وعند

المصانع تبين أن ٢٪ من إنتاج إحدى اآلالت

اليطابق مواصفات الجودة المحددة (إنتاج

معيب) مامعنى ذلك؟

هى لمشروع الجدوى دراســة تعد

عملية تنبؤ بأحداث مستقبلية لنجاح المشروع وتحقيق أهدافه، لذلك نقوم

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٤٠

الوحدة الثالثةرس الدا'ول

∫ɪàM’G

بفرض فروض معينة عن موقع المشروع - توافر مستلزمات التشغيل - حجم العمالة - منافذ تسويق المنتج

ثم اختبار صحة هذه الفروض التخاذ القرارات المناسبة نحو إنشاء المشروع.

كما أن ٢٪ من إنتاج إحدى اآلالت غير مطابق للمواصفات المحددة، اليعنى أن لكل ١٠٠ وحدة منتجة

أربع أو ثالث ربما أو معيبة واحدة وحدة نجد قد بل األحوال، كل فى معيبتين وحدتين سنجد لآللة

وحدات معيبة، أو ال نجد أى وحدة معيبة على اإلطالق. ولهذا فإن نسبة ٢٪ هى متوسط الوحدات المعيبة

عند فحص عدد كبير من العينات التى حجم كل منها ١٠٠ وحدة، وهو مايعبر عنه باحتمال أن تنتج اآللة

وحدة معيبة هو ٠٫٠٢

لهذا نجد أن:على البحث ونجرى تمثله، الذى المجتمع من عينة اختيار فكرة على يقوم اإلحصائى االستدالل

العينة،وما نحصل عليه من نتائج يتم تعميمه على المجتمع بأكمله، أى نستدل على وجود النتائج فى المجتمع

من خالل وجودها فى العينة المأخوذة منه.

فكر

مما أنواع العينات، كيف يتم اختيار عينة عشوائية، كيف يتم اختيار عينة منتظمة، لماذا نستخدم العينات؟ ي ي ي وع

مفهوم العينة

ثله وتختار بطريقة عشوائية، وتستخدم العينة هى جزء صغير من مجتمع كبير، تشبه المجتمع وتم

لتسهيل جمع البيانات عن المجتمع محل الدراسة ، والتى تكون أقرب إلى الواقع، ويمكن اتخاذ القرارات

فى ضوء نتائج دراسة هذه العينات ، ومن ثم يمكن تعميم هذه النتائج على المجتمع كله.

بالمشكلة ة والخاص ، المتاحة القرارات مجموعة من قرار اتخاذ عملية فى االحتماالت وتستخدم

(الظاهرة) محل الدراسة فى ظل عدم التأكد أو فى مواجهة معلومات غير كاملة.

االحتمال

التجارب إجراء على التجريبى االحتمال ويعتمد ، والنظرى التجريبى االحتمال على تعرفت أن سبق

عمليا وتسجل النتائج ويحسب فيها االحتمال بالعالقة.

عدد مرات تكرار هذه النتيجة

عدد جميع تكرارات النواتج الممكنةاحتمال حدوث نتيجة معينة =

٤١ الفصل الدراسى الثانى

وكلما زاد عدد التجارب اقتربت قيمة االحتمال التجريبى من االحتمال النظرى ويكون:

العدد المتوقع لحدوث نواتج معينة = احتمال حدوثها * العدد الكلى للمفردات المعطاة.

ويقوم االحتمال النظرى على مبدأ تكافؤ الفرص أو تساوى اإلمكانات فمثال عند:

تكون الظاهر: الوجه ومالحظة ، منتظمة نقود قطعة إلقاء ١

فرصة ظهور الصورة ص تساوى فرصة ظهور الكتابة ك.

على يظهر الذى العدد ومالحظة ، منتظم نرد حجر إلقاء ٢

الوجه العلوى: تكون فرصة ظهور كل وجه متساوية.

نفس لها ملونة كرات مجموعة به كيس من كرة سحب ٣

الحجم ، ونفس العدد لكل لون، تكون فرصة سحب الكرة

متساوية.

ما ومالحظة ، متماثلة بطاقات مجموعة من بطاقة سحب ٤

كتب عليها ... إلخ.

التجربة العشوائيةهى تجربة نستطيع معرفة جميع نواتجها الممكنة قبل إجرائها،

ولكن اليمكن تحديد الناتج الذى سيحدث فعال.

فضاء العينة فهو مجموعة جميع النواتج الممكنة للتجربة العشوائية،

وعدد عناصرها ن (ف)

الحدثف، ⊃ C فإن ف فى حدث C كان فإذا العينة فضاء من جزئية مجموعة هو

C وهو عدد فرص وقوع الحدث (C) وعدد عناصره ن

(C) ف، ويرمز له بالرمز ل ⊃ C فيكون: احتمال وقوع أى حدثحيث:

( C ) نن (ف)

= (C) عدد عناصر الحدثعدد عناصر فضاء العينة

= (C) ل

١ H ( C ) نن (ف)

∴ ∵ ن H ( C ) ن (ف) :¿CG ßM’

ن G ( C ) صفرن (ف)

∴ +N ∋ (ف) ط، ن ∋ ( C ) ن ∵

١ H ( C ) ل H أى أن ٠ ١ H ( C ) نن (ف)

H ٠ ∴

وكلما زاد عدد التجارب اقتربت قيمة االحتمال التجريبى من االحتمال النظرى ويكون:

العدد الكلى للمفردات المعطاة. * احتمال حدوثها = العدد المتوقع لحدوث نواتج معينة

ويقوم االحتمال النظرى على مبدأ تكافؤ الفرص أو تساوى اإلمكانات فمثال عند:

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٤٢

مثال (١)

احسب عشوائيا، واحدة بطاقة منها سحبت فإذا جيدا خلطت ٢٤ إلى ١ من مرقمة بطاقات مجموعة

احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل:

عددا مضاعفا للعدد ٦ ب عددا مضاعفا للعدد ٤ أ

عددا مضاعفا للعدد ٤ أو ٦ د عددا مضاعفا للعدد ٤ و ٦ معا عددا صحيحا موجبا أقل من ٢٥ و عددا يقبل القسمة على ٢٥

الحل مجموعة فضاء النواتج = { ١، ٢، ٣، ...، ٢٤}

ن (ف) = ٢٤

بفرض أن C حدث ظهور عدد مضاعف للعدد ٤ حدث ظهور عدد مضاعف للعدد ٦أ ب

{٤، ٨، ١٢، ١٦، ٢٠، ٢٤} = C ∴ ٦ = ( C ) ن

١٤ = ٦٢٤ = ( C ) ن

ن (ف) = (C) ل

ب = { ٦، ١٢، ١٨، ٢٤} ، ن (ب) = ٤

١٦ = ٤٢٤ =

ن (ب)ن (ف)

ل (ب) =

جـ حدث ظهور عدد مضاعف للعددين ٤، ٦ معا. د حدث ظهور عدد مضاعف للعدد ٤ أو ٦ د جـ = { ١٢، ٢٤} ، ن (جـ) = ٢ ١١٢ = ٢٢٤ =

ن (جـ)ن (ف)

ل (جـ) =

د = {٤، ٨، ١٢، ١٦، ٢٠، ٢٤، ٦، ١٨} ن(د) = ٨

١٣ = ٨٢٤ =

ن ( د )ن (ف)

ل (د) =

هـ حدث أن يكون العدد يقبل القسمة على ٢٥

وهو حدث مستحيل، لماذا؟

٢٥ من أقل موجب عدد ظهور حدث س و

وهو حدث أكيد لماذا؟

هـ = ∅ ، ن (هـ) = صفر. ∴ ل (هـ) = صفر.

س = {١، ٢، ٣، ...، ٢٤}

∴ ن (س) = ٢٤ = ن (ف)

١ = ن (ف)ن (ف)

= ن (س)ن (ف)

ل (س) =

فى المثال السابق الحظ أن:

احتمال الحدث المستحيل = صفر. الحدث المستحيل (∅): هو حدث اليمكن وقوعه. ١

احتمال الحدث المؤكد = ١ الحدث المؤكد (ف): هو الحدث الذى له كل النواتج الممكنة. ٢

٦

من ٢٥

لل ا ظ

١٢٣٤

٥٦٧٨

٩١٠١١١٢

١٣١٤١٥١٦

١٧١٨١٩٢٠

٢١٢٢٢٣٢٤

مثال (١)

احسب عشوائيا، واحدة بطاقة منها سحبت فإذا جيدا خلطت ٢٤ إلى ١ من مرقمة بطاقات مجموعة

٤٣ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG áãdÉãdG IóMƒdG

ويمكن توضيح ذلك بالرسم المقابل

حيث ل ( C ) ∈ [٠، ١] كما يمكن كتابة االحتمال

فى صورة كسر عشرى أو صورة نسبة مئوية.

تدرب

صندوق به ٤٠ بطاقة مرقمة من ١ إلى ٤٠ سحبت منه بطاقة واحدة عشوائيا ، ولوحظ العدد المكتوب ١

عليها. أوجد احتمال:

أن يكون العدد يقبل القسمة على٣. ب أن يكون العدد زوجيا. أ

أن يكون العدد زوجيا ، ويقبل القسمة على ٣ د اليقبل العدد القسمة على ١٠ أن يكون العدد أوليا أقل من ٢٠

يحتوى صندوق على ١٢ كرة حمراء، ١٨ بيضاء، ٢٠ زرقاء، سحبت كرة واحدة عشوائيا. ٢

احسب احتمال:

أن تكون الكرة المسحوبة حمراء. ب أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء. أ

أن تكون الكرة المسحوبة ليست حمراء. د أن تكون الكرة المسحوبة صفراء. أن تكون الكرة المسحوبة حمراء أو زرقاء.

مثال (٢)

من ٣٠٠ مكونة مجموعة على الغسيل مسحوق إنتاج شركات إحدى أجرته رأى الستطالع دراسة فى

سيدة تستخدمن هذا النوع لمعرفة آرائهن فى وزن العبوة المفضل لهن، كانت النتائج كالتالى:

المجموع١٢٥٢٥٠٣٧٥٥٠٠الوزن بالجرام

١٢٠٤٥٩٦٣٩٣٠٠عدد السيدات

أوال: إذا تم اختيار إحدى السيدات عشوائيا، ما احتمال أن يكون الوزن المفضل لديها:

د ٥٠٠ جم ٣٧٥ جم ٢٥٠ جم ب ١٢٥ جم أ

ثانيا: بماذا تنصح مدير الشركة بناء على هذه الدراسة:

٠

٠٫٢٥

٪ ٠ ٪ ٢٥ ٪ ٥٠ ٪ ٧٥ ٪ ١٠٠

٠٫٥٠ ٠٫٧٥

حدث مستحيل حدث مؤكد

١١٤

١٢

٣٤

ويمكن توضيح ذلك بالرسم المقابل

[٠، ١] كما يمكن كتابة االحتمال ∋ ( C ) حيث ل

٠فى صورة كسر عشرى أو صورة نسبة مئوية.

٢٥ ٥ ٧٥

حدث مستحيل حدث مؤكد

١١٤

١٢

٣٤

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٤٤

الحل

أوال

٪ ٢ = ٠٫٤ = ٤٥

احتمال أن تفضل السيدة وزن ١٢٥ جم = ١٢٠٣٠٠ = ٤٠١٠٠ = أ

٪ ٣٢٠ = ٠٫١٥ = ١٥ احتمال أن تفضل السيدة وزن ٢٥٠ جم = ٤٥٣٠٠ = ١٥١٠٠ = ب

٪ ٨٢٥ = ٠٫٣٢ = ٣٢ احتمال أن تفضل السيدة وزن ٣٧٥ جم = ٩٦٣٠٠ = ٣٢١٠٠ = احتمال أن تفضل السيدة وزن ٥٠٠ جم = ٣٩٣٠٠ = ١٣١٠٠ = ٠٫١٣ = ١٣ ٪ د

:¿CG ßM’يمكن كتابة االحتمال على صورة نسبة مئوية أو كسر عشرى أو كسر عادى ١

٪٣٢٠ * (١٠٠) ٪ = ١٥ ٣٢٠ فمثال فيكون االحتمال = فإذا كان االحتمال =

ثانيا: اكتب نصائحك لمدير الشركة ، وناقش زمالءك ، واحفظ التقرير بملف اإلنجاز.

تدرب

هاب إلى ح البيانات التالية نتيجة استبيان حول وسائل المواصالت التى يستخدمها التالميذ فى الذ توض

المدرسة.

سيرا على األقدامدراجةسيارة خاصةأتوبيسوسائل المواصالت

٣١٢٢٤٦٦عدد التالميذ

تم اختيار تلميذ عشوائيا، احسب فى صورة نسبة مئوية ، احتمال أن يذهب التلميذ إلى المدرسة:

مستخدما سيارة خاصة. ب مستخدما أتوبيس. أ

سيرا على األقدام. د مستخدما دراجة.

مثال (٣)

وجدت شركة تأمين على الحياة أن من بين عينة تشمل ١٠٠٠٠ رجل بين سن ٤٠ وسن ٥٠ عاما، بلغت

حاالت الوفاة ٦٧ حالة خالل عام واحد.

ما احتمال أن يتوفى رجل بين سن ٤٠ وسن ٥٠ خالل عام واحد؟ أ

لماذا تهتم شركات التأمين بهذه النتائج؟ ب

اللللللللللححححححححححححححلللللللللللللللللللااااللللحححللللللل

أوال

٪ ٤ = ٢ = ٠٫٤ = ٤٠١٠٠ = ١٢٠٣٠٠ جم = احتمال أن تفضل السيدة وزن ١٢٥ أ

٤٥ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG áãdÉãdG IóMƒdG

إذا قامت الشركة بالتأمين على ٥٠٠٠٠ رجل بين سن ٤٠، سن ٥٠ فما عدد حاالت استحقاق وثيقة التأمين خالل عام واحد؟

الحل

٠٫٠٠٦٧ = ٦٧١٠٠٠٠ احتمال الوفاة = أ

تهتم شركات التأمين باالحتمال التجريبى لتحديد قسط التأمين. ب

عدد حاالت الوفاة المتوقعة خالل عام = العدد الكلى للمؤمن عليهم * احتمال الوفاة ٥٠٠٠٠ * ٠٫٠٠٦٧ = ٣٣٥ =

تدرب

فى عملية إنتاج ٣٠٠ مصباح كهربائى كان عدد الوحدات المعيبة منها ١٨ وحدة.

ما احتمال أن تكون الوحدة معيبة؟ أ

ما احتمال أن تكون الوحدة صالحة؟ ب

هل يمكن أن تكون الوحدة معيبة وصالحة فى نفس الوقت؟

أوجد مجموع احتمال أن تكون الوحدة معيبة، احتمال أن تكون الوحدة صالحة ماذا تالحظ؟ د

إذا كان اإلنتاج اليومى بهذاالمصنع ١٦٠٠ مصباح كهربائى كم يكون عدد الوحدات الصالحة

فى هذا اليوم؟

تمارين عامة

الالعب سدد البطولة، كأس على النهائية المباراة لخوض استعدادا القدم كرة فريق تدريبات أثناء ١

٩ منها فأحرز جزاء ضربة ١٢ اآلخر الالعب سدد حين فى هدفا ١٢ فأحرز جزاء ركلة ١٥ األول

أهداف. أى من الالعبين يختاره المدرب لتسديد ضربة جزاء أثناء المباراة ؟ ولماذا؟

قامت شركة إنتاج آالت حاسبة بسحب عينة عشوائية بعدد ٢٠٠ آلة حاسبة، وفحصت مكوناتها من ٢

ناحية الدوائر اإللكترونية فوجدت أن احتمال التالف منها ٦٪.

ما عدد الوحدات التالفة فى هذه العينة؟ أ

إذا كان اإلنتاج الكلى للمصنع خالل هذا الشهر ١٥٠٠ آلة حاسبة. ما عدد الصالح منها للتوزيع؟ ب

٥٠ فما عدد حاالت استحقاق وثيقة ٤٠، سن إذا قامت الشركة بالتأمين على ٥٠٠٠٠ رجل بين سن

التأمين خالل عام واحد؟

الللللللللللحححححححححححححححلللللللللللللللللللااااللللحححللللللل

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٤٦

ينتج مصنع مالبس نوعين من القمصان بإجراء دراسة لتعديل كمية اإلنتاج وفق متطلبات السوق. ٣

تم اختيار عينة عشوائية من مبيعات ٥ منافذ بيع للشركة حجم كل منها ١٠٠ قميص فكانت بياناتها

كالتالى:

١٢٣٤٥رقم المنفذ

٣٩٨٢٣٤٢٢٥٣مبيعات النوع األول

٦١١٨٦٦٧٨٤٧مبيعات النوع الثانى

أى األنواع األكثر طلبا؟ وبماذا تنصح الشركة؟ أ

إذا كان اإلنتاج الكلى لهذا المصنع ٤٠٠٠ قميص فهل يمكنك أن تتنبأ بعدد القمصان من النوع األول؟ ب

فصل به ٥٠ تلميذا، كانت مستويات تقدير أداء التعلم ٤

ألحد الشهور كما بالجدول المقابل تم اختيار أحد التالميذ عشوائيا،

احسب احتمال أن يكون تقديره.

جيد. ب ممتاز. أ

أقل من جيد. د دون المستوى.

يلعب ٣٠ مباراة بالدورى العام ٥

واحتمال تعادله ٠٫٣ واحتمال فوزه ٠٫٦

أوجد:

عدد المباريات التى يمكن أن يتعادل فيها النادى. أ

عدد المباريات التى يمكن أن يخسرها هذا النادى. ب

فى إنتاج مصنع للمالبس الجاهزة بمدينة العاشر من رمضان وجد أنه ينتج ٦٠٠٠ قطعة مالبس يوميا، ٦

فإذا أخذت منهما عينة عشوائية حجمها ١٠٠٠ قطعة وتم اختبارها فوجد أن منها ٢٠ قطعة بها عيوب.

كم عدد القطع التى بها عيوب فى المصنع فى ذلك اليوم؟

العددالتقدير

٦ممتاز

٩جيد جدا

١١جيد

١٦مقبول

٨دون المستوى

ينتج مصنع مالبس نوعين من القمصان بإجراء دراسة لتعديل كمية اإلنتاج وفق متطلبات السوق. ٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣

٥ منافذ بيع للشركة حجم كل منها ١٠٠ قميص فكانت بياناتها تم اختيار عينة عشوائية من مبيعات

كالتالى:

٤٧ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG áãdÉãdG IóMƒdG

اختبار الوحدة

فى مشروع تعبئة الموالح للتصدير وجد أن ٣٠٪ من الثمار التصلح للتصدير لصغر حجمه. كم طنا ١

يمكن تصديره فى عشرة أيام إذا كان مقدار ما يرد يوميا للمصنع ٢٠ طنا من الموالح؟

أخضر وبعضها أبيض وبعضها أحمر بعضها والحجم، النوع نفس من ملونة كرة ٣٢ بها حقيبة ٢

والباقى لونه أصفر. فإذا كان احتمال سحب كرة حمراء يساوى ٣٨ كم عدد الكرات الحمراء فى هذه

الحقيبة؟

ملف االنجازفى استطالع رأى لعدد ١٠٠ طالب عن االلعاب الرياضية التى يفضلون ممارستها تبين اآلتى:

أوجد احتمال أن يفضل الطالب ١

ممارسة لعبة كرة القدم أ

ممارسة لعبة كرة السلة ب

ممارسة العاب القوى

ممارسة تنس الطاولة د

ممارسة لعبة الهوكى

وإذا كان عدد الطالب ٦٠٠ طالب فما العدد المتوقع لممارسة لعبة الهوكى ٢

عدد الطالباللعبة المفضلة

٤٤كرة القدم

٢٧كرة السلة

١٢العاب القوى

٤تنس الطاولة

١٣هوكى

ملف االنجازطالب عن االلعاب الرياضية التىى يفضللون مممارستهاا تبينن اآلتى: ١٠٠ ففففىىىى استطالع رأى لعدد

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٤٨

التحويالت الهندسية التحويالت الهندسية والتشابهوالتشابه

الوحدة الرابعة

٤

ر وناقش فك

iƒà°ùªdG ≈a o¢SÉμ©f’G ¢UGƒN

سبق أن درست االنعكاس كتحويلة هندسية تحول الشكل الهندسى إلى

شكل هندسى آخر مطابق له

واألن سوف نعرض خواص االنعكاس فى المستوى من خالل المثال التالى

مثال

فى نظام إحداثى متعامد: C ب جـ E مستطيل، حيث:

(١، ٤)E ،(٥، ٤) (١، ١)، ب(٥، ١)، جـ Cأوجد بالرسم:

أوال: صورة المستطيل C ب جـ E باالنعكاس فى محور السينات.

ثانيا: صورة المستطيل C ب جـ E باالنعكاس فى محور الصادات.

الحل

أوال: االنعكاس فى محور السينات: (١، ١) C صورة لتكن:

(١، -١) = `

ب (٥، ١) صورة ب

` ب = (٥، -١)

صورة جـ (٥، ٤) ـ ج

(٥، -٤) = ` جـ

(١، -٤) = ` (١، ٤) E صورة

سوف تتعلم خواص االنعكاس.

االنعكاس فى نقطة.

محاور التماثل.

مصطلحات أساسية

انعكاس.

محاور التماثل.

سوف تتعلمخواص االنعكاس.

االنعكاس فى نقطة.

محاور التماثل.

مصطلحات أساسية

انعكاس.

محاور التماثل.

س

ص

ص

س

هـ

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٥٠

الوحدة الرابعةالدرسا&ول

¢SÉμ©f’G

` المستطيل ب جـ هو صورة المستطيل C ب جـ E باالنعكاس فى محور السينات.

ثانيا: االنعكاس فى محور الصادات:(١، ١-) = ` (١، ١) C صورة لتكن:

(٥، ١-) = ` ب (٥، ١) ب صورة ب

(٥، ٤-) = ` جـ (٥، ٤) جـ صورة جـ

(١، ٤-) = ` (١، ٤) E صورة

ب جـ هو صورة المستطيل C ب جـ E باالنعكاس فى محور الصادات. ` المستطيل

قس واستنتج قس طول كل ضلع من أضالع المستطيل وصورته باالنعكاس وقارن بينهما ، ماذا تالحظ؟

هل قياس كل زاوية من زوايا المستطيل مساو لقياس صورتها؟

E C // ب جـ E جـ، // C ب E ب جـ C فى المستطيل :¿CG º∏©J

؟ // ب جـ ، جـ // ب هل

// ؟ ماذا تستنتج ؟ ـ ب ج ، جـ // ب هل

؟ هل المستطيل C ب جـ E يطابق المستطيل ب جـ

؟ ب جـ هل المستطيل C ب جـ E يطابق المستطيل ـ ∈ ب؟ ـ صورة النقطة هـ باالنعكاس فى محور السينات هل ه C ب عين النقطة ه لتكن النقطة هـ ∈

:º«≤à°ùe ≈a ¢SÉμ©f’G ¢UGƒN

االنعكاس يحافظ على أطوال القطع المستقيمة. ١

االنعكاس يحافظ على البينية. ٢

االنعكاس يحافظ على قياسات الزوايا. ٣

االنعكاس يحافظ على التوازى. ٤

هل يحافظ االنعكاس على الترتيب الدورانى لرؤوس الشكل؟

هل ترتيب حروف المستطيل C ب جـ E وصورته باالنعكاس فى ل هى نفس ترتيب حروف صورته؟

س

ص

سص

٥١ الفصل الدراسى الثانى

تدرب

بكة التربيعية فى كل من األشكال التالية: على الش

ارسم صورة △ C ب جـ باالنعكاس فى محور الصادات.

١

وس

١

٤-٣-٢-١- ١

٢

٢

٣

٣ ٤

٥٦

ص

ص

س

٤

٢

-٤-٣-٢-١وس ١

٢

٢

٣

٣ ٤

ص

ص

س

٤٥٦

١

لذلك أكمل:

(٤، ٦-) ! (٤، ٦) C(.... ،....) ب ! (.... ،....) ب

(.... ،....) جـ ! (.... ،....) جـ

لذلك أكمل:

(٠ ، ٦ ) ! (٠، ٦) C(.... ،....) ب ! (.... ،....) ب

(.... ،....) جـ ! (.... ،....) جـ

’CG ßM¿: إذا كان االنعكاس فى مستقيم يحول الشكل إلى نفسه فإن هذا المستقيم يسمى محور تماثل للشكل.

ص ص هو محور تماثل للمثلث C ب جـ. فى الشكل الثانى: محور الصادات

هيا نفكر

باستخدام األشكال التالية ، وضح عدد محاور التماثل لكل من:

١٢٣

تدرب

بكة التربيعية فى كل من األشكال التالية: على الش

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٥٢

المربع. (٤) المثلث المتساوى الساقين. (١)

المعين. (٥) المثلث المتساوى األضالع. (٢)

شبه المنحرف المتساوى الساقين. (٦) المستطيل . (٣)

تدرب

فى الشكل المقابل:

وكان: الترتيب، على C جـ ب جـ، ، C ب منتصفات و هـ، ،E فيه األضالع متساوى مثلث جـ ب Cب و∩جـ E ={م}. C هـ ∩

أكمل مايأتى:

محاور تماثل المثلث C ب جـ هى .............. ١

C جـ باالنعكاس فى .............. C ب صورة ٢

ب و هى ..............، C و باالنعكاس فى صورة ٣

C هـ هى .............. جـ و باالنعكاس فى وصورة

C هـ هى .............. صورة △ C م E باالنعكاس فى ٤

(............. c)X = (E م C c)X ` ألن االنعكاس يحافظ على ..............

C هـ هى .............. صورة △ C م ب باالنعكاس فى ٥

ب و △ ب م جـ صورة .............. باالنعكاس فى جـ E، صورة .............. باالنعكاس فى ٦

` ب م = C م ، جـ م = C م ألن االنعكاس يحافظ على ..............

٤٥٦

٥٣ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á©HGôdG IóMƒdG

má£≤f ≈a o¢SÉμ©f’G

االنعكاس فى نقطة

فى النقطة إلى المستوى فى C نقطة كل يحول م نقطة فى االنعكاس

C نفس المستوى بحيث تكون م منتصف القطعة المستقيمة

وتسمى النقطة م مركز االنعكاس وتكون صورة م باالنعكاس فى م هى نفسها.

لذلك فإن االنعكاس فى نقطة هو تساوى قياسى.

مثال

فى الشكل المقابل:

C ب باالنعكاس فى النقطة م. C ب أوجد صورة م ∉

الحل

C م بحيث م = C م C م ونعين على نرسم ١

نرسم ب م ونعين ب على ب م بحيث ب م = ب م ٢

ب ارسم ٣

C ب عين جـ على جـ م بحيث جـ م = جـ م لكل جـ ∈ ٤

ب؟ هل جـ ∈

C ب باالنعكاس فى النقطة م. ب هى صورة `

االنعكاس فى نقطة يحافظ على قياسات الزوايا. ٢ يحافظ على أطوال القطع المستقيمة. ١

يحافظ على توازى المستقيمات. ٣

تعريف

متوازى األضالع: هو شكل رباعى فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان.

ب

má£≤f ≈a o¢SÉμ©f’G

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٥٤

مثال

فى الشكل المقابل:

ب E = {م} C جـ ∩ C ب جـ E شكل رباعى فيه . E ب C جـ ، م منتصف كل من

برهن أن: الشكل C ب جـ E متوازى أضالع، ثم استنتج خواص متوازى األضالع.

الحل

C ب باالنعكاس فى النقطة م. جـ Eصورة a

C ب ، جـ C = E ب //E جـ

C E صورةب جـ باالنعكاس فى النقطة م. a

C E //ب جـ ، C E = ب جـ

C E // جـ E ، ب جـ // C ب :E ب جـ C كل فى الش

(تعريف) الشكل C ب جـ E متوزاى أضالع .

مما سبق نجد أن:

: ´Ó°VC’G iRGƒàe ≈a

كل ضلعين متقابلين متساويان فى الطول. ١

كل زاويتين متقابلين متساويتان فى القياس. ٢

ف كل منهما اآلخر. القطران ينص ٣

’ôμah ßM: المعين والمستطيل والمربع هى حاالت خاصة من متوازى األضالع، ولذلك فإن كل ماينطبق على

متوازى األضالع من خواص ينطبق على هذه الحاالت الخاصة.

مثال

المقابل: الشكل فى

٥٥ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á©HGôdG IóMƒdG

االنعكاس فى نقطة ا1صل فى مستوى إحداثى متعامد

فى المستوى اإلحداثى المتعامد ذى البعدين:

االنعكاس فى نقطة األصل و (٠، ٠) يحول:

(-س، -ص) C (س، ص) ! مثال: صورة النقطة C (-٣، ٢) باالنعكاس فى نقطة األصل هى

النقطة (٣، -٢)

مثال

فى الشكل المقابل المثلث ب جـ صورة المثلث C ب جـ

باالنعكاس فى و حيث C (١، ١) ، ب(٤، ٢) ، جـ (٢، ٤)

تدرب

ارسم على الشبكة البيانية المتعامدة ١

△ C ب جـ حيث: C(-٢، ١)، ب(٤، -٣)، جـ(٢، ٣)

(.... ،....) باالنعكاس

فى (٠، ٠) (٢، ١-) C ثم أكمل:

(.... ،....) ب (٤، -٣) ب

(.... ،....) ـ ج (.... ،....) جـ

ارسم △ ب جـ صورة △ C ب جـ باالنعكاس فى نقطة األصل و.

’CG ßM¿: االنعكاس فى نقطة يحافظ على االتجاه الدورانى لترتيب رؤوس الشكل.

تمارين (٤ - ١)فى الشكل المقابل: ١

C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى C

X (c ب) = ٣٢°، ل محور تماثل △ E ب جـ أوجد قيم ص، س، م، ن.

س

ص

ص

س

-١١و١-

٢-

٢-

٣-

٣-

٤-

٤-٥-

٥-

١

٢

٢

٣

٣

٤

٤

٥

٥

س

ص

ص

س

°٣٢

ن° م°س°

ص°

االنعكاس فى نقطة ا1صل فى مستوى إحداثى متعامد

فى المستوى اإلحداثى المتعامد ذى البعدين:

٠) يحول: االنعكاس فى نقطة األصل و (٠،

صصص

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٥٦

△ C ب جـ متساوى األضالع، صورة C االنعكاس فى ب جـ ما نوع △ ب جـ، ولماذا؟ ٢

كل المقابل: فى الش ٣

هـ صورة C ب جـ E هـ باالنعكاس فى المستقيم ل ب جـ أوجد: أوال: قياسات زوايا الشكل C ب جـ E هـ.

ثانيا: محيط الشكل C ب جـ E هـ.

باستخدام األدوات الهندسية: ٤

،E جـ ارسم المستطيل C ب جـ E الذى فيه C ب = ٣سم، ب جـ = ٤سم، عين صورة C باالنعكاس فى

، برهن أن: C ب جـ صورة جـ باالنعكاس فى

C جـ // جـ ثانيا: أوال: X (c جـ C جـ) = X٢ (c جـ C ب)

فى نظام إحداثى متعامد ذى البعدين، ارسم المثلث C ب جـ الذى فيه: ٥

C (-٢، ٤)، ب ( ٥، ٠)، جـ (٣، -٣) ثم أوجد: أوال: صورة△ C ب جـ باالنعكاس فى محور السينات.

ثانيا: صورة△ C ب جـ باالنعكاس فى نقطة األصل.

كل المقابل: فى الش ٦

، E C س∈ ، قطرية تقاطع نقطة م مستطيل، E جـ ب C س م ∩ ب جـ = {ص}

أوال: ص صورة س باالنعكاس فى م. برهن أن:

ثانيا: الشكل C س جـ ص متوازى أضالع.

كل المقابل: فى الش ٧

C ب جـ E متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م، C جـ C جـ ، ص ∈ س ∈

بحيث كان X (C c ب س ) = X (c جـ E ص)

برهن أن:

أوال: △ C ب س صورة △ جـ E ص باالنعكاس فى م.

ثانيا: الشكل س ب ص E متوازى أضالع.

٣سم

٤سم

٥سم

٧٫٥سم

°١٣٠

°١١٠

٢سم

C االنعكاس فى ب جـ ما نوع △ ب جـ، ولماذا؟ △C ب جـ متساوى األضالع، صورة ٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢٢

كل المقابل: فى الش ٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣

C°°١٣٠

مسم ٢

٥٧ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á©HGôdG IóMƒdG

ر وناقش فك

سوف تتعلم خواص االنتقال فى المستوى

االنتقال فى المستوى اإلحداثى.

مصطلحات أساسية

انتقال.

مقدار االنتقال.

جاه االنتقال. ات

iƒà°ùªdG ≈a ∫É≤àf’G ¢UGƒN

ل كل نقطة C فى المستوى إلى سبق أن درست االنتقال كتحويلة هندسية تحو

نقطة أخرى فى نفس المستوى مسافة ثابتة فى اتجاه معين.

واألن سوف نعرض خواص االنتقال فى المستوى من خالل المثال التالى

مثال

فى الشكل المقابل:

طول مربع E جـ ب Cضلعه ٢سم، أوجد صورته

ب جـ بانتقال مقداره

E ب ٥سم فى اتجاه

الحل

حيث ب ب = E = ٥سم E ب ارسم ب، ∈ ١

ب E وفى نفس اتجاهه وعين عليهما ارسم من C، جـ شعاعين يوازيان ٢

، جـ على الترتيب، حيث C = جـ جـ = ٥سم. النقطتين

هذا تأثير تحت E جـ ب C المربع صورة جـ ب المربع فيكون

االنتقال.

٥ سم

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٥٨

الوحدة الرابعةالدرسالثانى

o∫É≤ pàf’G

’CG ßM¿: االنتقال يحافظ على:C ب = ب ، ب جـ = ب جـ ، .................. أطوال القطع المستقيمة: ١

.......................... ، ( X (cب E C) = c) X ب قياسات الزوايا: ٢

.................................. ، ب جـ C ب // ب، ب جـ// توزاى المستقيمات: ٣

كما أن االنتقال يحافظ على االتجاه الدورانى لترتيب رؤوس الشكل فتجد اتجاه دوران C ب جـ E هو

نفسه اتجاه دوران ب جـ

iƒà°ùªdG ≈a ∫É≤àf’G ¢UGƒN

االنتقال يحافظ على أطوال القطع المستقيمة ، والبعد بين النقط. ١

االنتقال يحافظ على قياسات الزوايا. ٢

االنتقال يحافظ على توزاى المستقيمات. ٣

مثال

م ن حيث: حيث C (٢، ١)، ب ( ٢، ٤) بانتقال م ن فى اتجاه C ب أوجد ب صورة

م (-٢، ٥)، ن ( ٣، ٧).

الحل

م ن يكافئ: االنتقال مسافة م ن فى اتجاه

إزاحة أفقية من -٢ إلى ٣ = ٣ –(-٢) = ٥ وحدات.

إزاحة رأسية من ٥ إلى ٧ = ٧ -٥ = ٢ وحدة .

` االنتقال = (٥، ٢)(٧، ٣) = (٢ + ٥، ١ + ٢) = ب = (٢ + ٥، ٤ + ٢) = (٧، ٦)

؟ C ب C ب . هل ب // نرسم بفتكون هى صورة

و ١

١

٢

٢

٣

٣

٤

٤

٥ ٦ ٧

٦٧

س

ص

ص

س

٥

٥٩ الفصل الدراسى الثانى

ر هيا نفك

: C ب فى المثال السابق: اذا رسم

هل X (C c ب) = X (cب ب C)؟ لماذا؟

هل△ C ب / △ ب ب C؟ لماذا؟

؟ C ب هل ب //

هل الشكل C ب ب متوازى أضالع؟

:¿CG èàæà°ùf ≥Ñ°S ɪe

فى أى شكل رباعى إذا توازى ضلعان متقابالن فيه وتساويا فى الطول كان الشكل متوازى أضالع.

:¿CG ßM’

صورة القطعة المستقيمة بانتقال ما، هى قطعة مستقيمة أخرى موازية لها ومساوية لها فى الطول.

تمارين (٤ - ٢)C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب، فيه: C ب = ٣سم، ب جـ = ٤سم. ١

أوجد

△ ب جـ صورة △ C ب جـ بانتقال مقداره ٣سم فى اتجاه جـ ب

برهن أن:

الشكل C جـ جـ متوازى أضالع.

فى الشكل المقابل C ب جـ E مربع طول ضلعه ٤ سم ٢

تقاطع قطراه فى م ، ارسم

E C صورة △ م C ب باالنتقال ٢سم فى اتجاه أ

C م صورة △ C م ب باالنتقال C م فى اتجاه ب

٤ سم

سم ٣

٤ سم

ر هيا نفك

: ب C فى المثال السابق: اذا رسم

ا ل (C c) ( C c)

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٦٠

سوف تتعلمفى نقطة ــول ح ــــدوران ال

المستوى.

صورة قطعة مستقيمة بدوران

معلوم.

خواص الدوران.

التماثل الدوانى.

مصطلحات أساسية

دوران.

اتجاه الدوران.

مركز الدوران

تماثل دورانى.

iƒà°ùªdG ≈a á£≤f ∫ƒM ¿GQhódا

الدوران حول النقطة م بزاوية قياسها هـ هو تحويلة هندسية تحول كل

نقطة C فى المستوى إلى نقطة أخرى فى نفس المستوى بحيث:

) = هـ C c) X م

Cم = م

ويرمز له بالرمز د (م ، هـ) حيث:

هـ قياس زاوية الدوران. ٢ م مركز الدوران. ١

:¿CG ßM’د تماما عند تحديد مركز الدوران ، قياس زاويته، اتجاه الدوران يتحد ١

الدوران.

يكون قياس زاوية الدوران موجبا إذا كان الدوران مخالفا لحركة عقارب ٢

الساعة ، وسالبا إذا كان الدوران فى اتجاه حركة عقارب الساعة.

م حــول بـــدوران C صــورة هى

بزاوية قياسها (هـ)

م حــول بـــدوران صــورة هى Cبزاوية قياسها (-هـ)

فكر وناقش

٦١ الفصل الدراسى الثانى

الوحدة الرابعة

¿GQhódGالدرسالثالث

Ωƒ∏©e ¿GQhóH ᪫≤à°ùe á©£b IQƒ°U º°SQ

مثال

C ب بالدوران د (م ، ١٢٠°) ارسم ب صورة

C ب نتبع مايلى: لرسم

. C م نرسم ١

نرسم C c م س قياسها = ١٢٠°. ٢

(الحظ اتجاه الدوران)

م س فى نركز بالفرجار عند م ونرسم قوسا من دائرة طول نصف قطرها م C فيقطع ٣

فتكون صورة النقطة C بالدوران د (م ، ١٢٠°) .

نجرى نفس الخطوات السابقة لتعين ب صورة ب بالدوران د (م ، ١٢٠°) . ٤

C ب عين جـ صورة جـ بالدوران د (م ، ١٢٠°) لكل جـ ∈ ٥

ارسم ب والحظ أن جـ ∈ ب ٦

جـ ب، جـ ، جـ ب ، C جـ ، C ب ، ب ، قس أطوال كل من: ٧

هل الدوران يحافظ على األبعاد بين النقط؟ هل الدوران يحافظ على استقامة النقط؟

تدرب

فى الشكل المقابل: م دائرة طول نصف قطرها ٣سم، ١

ب E قطران متعامدان فيها، أكمل C جـ ،

بالدوران د (م ، ٩٠°) تكون: أ

صورة النقطة C هى ......... ، صورة النقطة ب هى .........

C ب هى ......... C ب هى ......... ، صورة ` صورة

جـ

ب

Ωƒ∏©e ¿GQhóH ᪫≤à°ùe á©£b IQƒ°U º°SQ

مثال

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٦٢

بالدوران د (م ، -٩٠°) تكون: ب

هى ......... C ب C ب هى ......... ، صورة C ب هى ......... ، صورة صورة

بالدوران د (م ، ١٨٠°) تكون:

C ب هى ......... ` صورة صورة النقطة C هى ......... ، صورة النقطة ب هى .........

C ب هى ......... بالدوران د (م، -١٨٠°) تكون صورة د

تدرب

فى الشكل المقابل : C ب جـ E مربع ، و نقطة تقاطع قطريه، ٢

C E ، E ب ، ب جـ، جـ C س، ص، ع، ل منتصفات أضالعه

على الترتيب: أوجد:

C و صورة C b س و باالنعكاس فى أ

ل و يتبعه انعكاسا آخر فى

صورةC b س و بالدوران د (و، ٩٠°) ب

الدوران فى المستوى ا>حداثى حول نقطة ا1صل (و)

فى الشكل المقابل

C(٤ ، ٢) نقطة فى المستوى اإلحداثى المتعامد ١

°٩٠ = ( ، C c) X و صورة C بالدوران د (و ،٩٠°) الحظ أن و C = و

من الرسم نجد أن (-٢ ، ٤) :

( -ص ، س)بالدوران

د (و ، ٩٠°)أى أن: C ( س ، ص)

هل الدوران د (و ، ٩٠°) يكافئ د (و ، -٢٧٠°) ؟ ولماذا؟ ر: فك

ارسم ب ( ٣، ٤)، وارسم ب صورة ب بالدوران د (و ، ١٨٠°) ٢

الحظ أن و ب = و ب ، X(c ب و ب) = ١٨٠° والدوران فى اتجاه مخالف لدوران عقارب الساعة.

من الرسم نجد أن ب (-٣ ، -٤)

ب (-س ، -ص) بالدوران

د (و ، ١٨٠°)أى أن: ب ( س ، ص)

١

١٢٣٤٥

٤-٣-٢-١- ٢ ٣ ٤ ٥

(م ، -٩٠°) تكون: بالدوران د ب

......... هى C ب ب هى ......... ، صورة C ، صورة ......... هى C ب صورة

تكون: (°١٨٠ ، (م د بالدوران

٦٣ الفصل الدراسى الثانى

ådÉãdG ¢SQódG á©HGôdG IóMƒdG

هل الدوران د (و ، ١٨٠°) يكافئ د (و ، -١٨٠°) ؟ ولماذا ؟ ر فكما هو الدوران الذى يكافئ د (و ، ٢٧٠°)؟

ما صورة C بالدوران د ( و ، ٣٦٠°) ، وما صورة ب بالدوران د ( و ، -٣٦٠°)

الدوران المحايد

ويسمى نفسها، على منطبقة نقطة كل صورة وتكون °٣٦٠- أو °٣٦٠ قياسها بزاوية الدوران هو

. بالدوران المحايد ألنه يحول الشكل إلى وضعه األصلى

تدرب

أكمل الجدول اآلتى كما فى الصف األول:

النقطةصورة النقطة بالدوران حول و بزاوية قياسها

- ٩٠°٣٦٠°٢٧٠°١٨٠° أو -١٨٠°٩٠°

( ٢ ، ٥ ) C(٥، ٢-)(٢، -٥-) (٥، -٢)(٢، ٥)(٥، -٢)(-١، ٣)ب ( ، )(٢، -٣)جـ ( ، )(-٤ ، -١)د ( ، )

(٣، -٥)هـ ( ، )

فكرهل الدوران يحافظ على األبعاد بين النقط واستقامة النقط؟ ١

هل الدوران يحافظ على قياسات الزوايا ؟ ٢

هل الدوران يحافظ على توازى المستقيمات ؟ ٣

الدوران فى المستوى هو تحويلة هندسية تحول الشكل إلى شكل مطابق له

ولذلك يسمى(تساوى قياسى)، كما أنه يحافظ على الترتيب الدورانى لرؤوس الشكل.

؟ ولماذا ؟ هل الدوران د (و ، ١٨٠°) يكافئ د (و ، -١٨٠°) ر فكما هو الدوران الذى يكافئ د (و ، ٢٧٠°)؟

٣٦٠°) ، وما صورة ب بالدوران د ( و ، -٣٦٠°) C بالدوران د ( و ، ما صورة

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٦٤

تمارين (٤ - ٣)ارسم محاور التماثل لكل من األشكال التالية إن أمكن. ١

ب أ

د

و

، °٤٠ = (C c) X ، جـ = ٣سم C ، ب = ٥سم C : ب جـ الذى فيه C b ارسم ٢

(°٤٠- ،C) ب صورة ب بالدوران د ، (°٤٠ ، C) ارسم جـ صورة جـ بالدوران د

C ب جـ مثلث قائم الزاوية فيه C ب = ٥سم، ب جـ = ١٢سم أوجد: ٣

. C ب س صورة ب بانتقال مسافة ٩سم فى اتجاه أ

(°٩٠- ، C) ص صورة النقطة ب بالدوران د ب

طول س ص . أوجد

ارسم محاور التماثل لكل من األشكال التالية إن أمكن. ١١١١١١١١١١١١١١١١١١

٦٥ الفصل الدراسى الثانى

ådÉãdG ¢SQódG á©HGôdG IóMƒdG

ارسم المثلث C ب جـ المتساوى األضالع الذى طول ضلعه ٦سم. ٤

.(°٦٠ ،C) ب جـ بدوران د C ارسم صورة المثلث

ارسم المربع C ب جـ E الذى طول ضلعه ٥سم. ٥

:E ب جـ C ارسم صورة المربع

أوال: بدوران د (ب، ٩٠°).

.(°١٨٠ ،C) ثانيا: بدوران د

ارسم المثلث C ب جـ الذى فيه C ب = ٥سم، ب جـ = ٦سم، C جـ = ٧سم. ٦

ارسم صورة المثلث C ب جـ:

.(°١٨٠ ،C) أوال: بدوران د

.(°٣٦٠ ،C) ثانيا: بدوران د

ارسم المستطيل C ب جـ E الذى فيه ب جـ = ٦سم ، C ب = ٤سم. ٧

:E ب جـ C ارسم صورة المستطيل

.(°٩٠ ،C) أوال: بدوران د

ثانيا: بدوران د (م،١٨٠°)، حيث م نقطة تقاطع قطريه.

ارسم المثلثC ب جـ المتساوى األضالع الذى طول ضلعه ٦سم. ٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤٤

.(°٦٠ ،C) ب جـ بدوران د Cارسم صورة المثلث

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٦٦

سوف تتعلم مفهوم التشابه.

متى يتشابه مضلعان.

متى يتشابه مثلثان.

مصطلحات أساسية

تشابه.

أطوال متناسبة.

زوايا متناظرة.

على وتطبيقات تمارين عرض وأثناء ، التكنولوجى التطوير قاعة فى

التحويالت الهندسية .

قال أسامة:االنعكاس واالنتقال والدوران هو تساوى

متطابقان، وصورته الشكل ألن ، قياسى

فيكون لهما نفس قياسات األطوال المتناظرة،

ونفس قياسات الزوايا المتناظرة.

قال أحمد:قياسات نفس لهما للواقع، مشابهة العرض شاشة على التمارين رسوم

الزوايا، ولكن األطوال مكبرة بنسبة ثابتة.

هل المضلع C ب جـ د يشابه المضلع س ص ع ل؟ ولماذا؟

ق مايلى: يقال لمضلعين أنهما متشابهان إذا تحق

زواياهما المتناظرة متساوية فى القياس.

أطوال أضالعهما المتناظرة متناسبة.

تعريف

مثال

فى الشكل المقابل

، ٣١ = E CE C = E جـ

E جـ = ب جـب جـ =

C بC ب

فكر وناقش

٦٧ الفصل الدراسى الثانى

الوحدة الرابعةالدرسالرابع

¬HÉ°ûàdG

X ،( C c ) X = ( c ) X  (c ب) = X (c ب)،

( C c)  X = ( c) X ،(جـ c) X = ( c) X جـ

` الشكل C ب جـ E يشابه الشكل ب جـ

:¿CG ßM’يجب كتابة المضلعين المتشابهين بنفس ترتيب الرؤوس المتناظرة. ١

فيكون الشكل ب جـ يشابه الشكل C ب جـ E ونستخدم العالمة (~) للتعبير عن التشابه فنكتب

.E ب جـ C الشكل ب جـ ~ الشكل

تسمى النسبة الثابتة بين أطوال األضالع المتناظرة بنسبة التكبير أو مقياس الرسم. ٢

الحظ أن: إذا كانت نسبة التكبير = ١ فإن المضلعين يتطابقان.

كل المضلعات المنتظمة التى لها نفس العدد من األضالع تكون متشابهة. لماذا؟ ٣

إذا تشابه مضلعان فإن قياسات الزوايا المتناظرة متساوية، أطوال األضالع المتناظرة متناسبة. ٤

المربع والمستطيل ال يتشابهان رغم تساوى قياسات زواياهما ... لماذا؟ فكر المربع والمعين ال يتشابهان رغم تناسب أطوال أضالعهما المتناظرة ... لماذا؟

تدرب

بين أيا من أزواج المضلعات التالية متشابهة ولماذا؟ اكتب المضلعات المتشابهة بترتيب الرؤوس المتناظرة. ١

ب أ

٣ سم

٣ سم

٢ سم

٤ سم

o٨٠

o٧٠o ٨٥

٤ سم

٣ سم

٣٫٥ سم

٢٫٥ سم

o٨٠ o٧٠

o١٢٥

٨ سم

٦ سم

٥ سم

٧ سم

د o٦٠

o١٢٠

٢٫٥ سم

٢ سم٥ سم

٤ سم

٧٠ سم

٥٦ سم

٤٠ سم

١٢٠ سمسم

٥٠

٧٠ سم

١٢٠ سم٥٦ سمسم

٥٠

مم

سمسم

سم ٤

٦

o٤٥

(c ب)، X = (بc)  X ،( Cc ) X = ( c ) X( C c)  X = ( c) X (c جـ)، X = ( c) Xجـ

جـ ب يشابه الشكل E ` الشكل C ب جـ

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٦٨

تشابه المثلثين

رطين التاليين: ر أحد الش يتشابه المثلثان إذا توف

أطوال األضالع المتناظرة متناسبة. الزوايا المتناظرة متساوية فى القياس.

تعريف

مثال

فى الشكل المقابل: C ب جـ مثلث فيه C ب = ٥سم ، ب جـ = ٦سم،

C ب بحيث C E = ٣سم، ∋ E ، جـ = ٤سم C

C جـ ، = {هـ} E هـ // ب جـ ،E هـ ∩

برهن أن E C b هـ ~ Cb ب جـ . أ

C هـ أوجد طول كل منE هـ ، ب

الحل

E هـ // ب جـ a

` X (E C c هـ) = X (c ب) ، X (C c هـ E) = X (c جـ) لماذا؟

C c a مشتركة فى كل من المثلثين E C هـ ، C ب جـ

` E C b هـ ~ C b ب جــ لتساوى قياسات الزوايا المتناظرة ، وينتج أن:

C هـ٤ =

E هـ٦ = ٣

٥ `

C هـC جـ =

E هـب جـ =

E C C ب

٣ * ٤ = ٢٫٤ سم٥ ٣ * ٦ = ٣٫٦سم ، C هـ =

٥ E هـ =

تدرب

برهن أن باستخدام المعطيات بالشكل المقابل

أ E b هـ و ~ C b ب جـ

= نسبة التكبيرمحيط E b هـ ومحيط C b ب جـ

ب

ـ = ٦سم،

٦ سم

ن أن٦ سم

٤ سم

٥ سم

٩ سمسمسمسسسمسم٦ سم

٧٫٥ سم

تشابه المثلثين

ن: التال ن ط الش أحد ف ت إذا ثلثان ال ه ثتشا ش

ريتعريف

٦٩ الفصل الدراسى الثانى

™HGôdG ¢SQódG á©HGôdG IóMƒdG

’CG ßM¿ النسبة بين محيطى مثلثين متشابهين = النسبة بين طولى ضلعين متناظرين فيهما.

تمارين (٤ - ٤)فى كل من األشكال التالية أوجد القيمة العددية لكل من س، ص (األطوال مقدرة بالسنتيمترات) ١

ب أ أ

٩

١٢٨

س

٥٨

س٢

ب

٥٨

س٢

١٢

٣٢

س + ١

١ - س

١٢

٣٢

س + ١

١ - س

ص

C ب كل المقابل: C ب جـ E متوازى أضالع ، هـ ∈ فى الش ٢

E C = { و} فإذا كان ب جـ = ١٠سم، جـ هـ ∩

C ب = ٤سم، و E = ٦سم ثم أوجد طول كل من:

و جـ ، C هـ هـ ب ،

كل المقابل: C ب جـ E مستطيل فيه E C = ١٢سم فى الش ٣

C ب س ص // E C حيث C س = ٤سم، س ∈

C جـ فى م، ب جـ فى ص حيث م س = ٣سم. ويقطع

برهن أن C b م س ~ b جـ م ص. أ

أوجد محيط b ص م جـ. ب

هل الشكل C ب ص م ~ الشكل جـ E س م؟ ولماذا؟

C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى ب ، فيه C ب = ٣سم، ٤

C جـ . = E ب ب جـ = ٤سم،

برهن أن b ب C جـ ~ C E b ب

E ، E Cجـ ثم أوجد طول كل من

٤ سم

٣ سم

النسبة بين محيطى مثلثين متشابهين = النسبة بين طولى ضلعين متناظرين فيهما. ¿CG ßM’

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٧٠

تمارين عامةجـ C ، ص صورة جـ بانتقال مسافة ب C فى C ب جـ مثلث ، س صورة ب بانتقال مسافة جـ C فى اتجاه ١

ب C . برهن أن: اتجاه

النقط س ، C، ص على استقامة واحدة. أ

C ص = C س ب

. وإذا كانت E C E C . أوجد صورة △ C ب هـ بانتقال مسافة C E فى اتجاه C ب جـ E مستطيل هـ ∈ ٢

هـ هـ متوازى أضالع. هـ صورة النقطة هـ بهذا االنتقال فبرهن أن الشكل ب جـ النقطة

ارسم المثلث C ب جـ الذى فيه C = (٦، ٤)، ب = (٣، ٤)، جـ = (٦، ٧). أوجد ب صورة ب باالنعكاس فى ٣

.C جـ صورة جـ باالنعكاس فى ، C جـبرهن أن الشكل جـ ب جـ ب مربع. أ

جـ ب إلى ب جـ عين مسافة واتجاه االنتقال الذى يحول ب

فى باالنعكاس C صورة أوجد ٤سم، ضلعه طول الذى األضالع المتساوى جـ ب C المثلث ارسم ٤

ب C على الترتيب. ب جـ ، ثم أوجد النقطتين E، جـ صورتى C، جـ بانتقال مسافة ٤سم فى اتجاه

برهن أن الشكل ب جـ E متوازى أضالع. أ

.( احسب E c) X جـ جـ ب

. عين مسافة واتجاه االنتقال الذى يجعل △ ب جـ صورة △ C جـ جـ

E ب جـ C (٢، ٨) أوجدصورة المستطيل E ،(٦، ٨) (٢، ٥)، ب (٦، ٥)، جـ C مستطيل فيه E ب جـ C ٥

ثانيا: باالنعكاس فى نقطة األصل. أوال: بانتقال (-١، ٣).

٧١ الفصل الدراسى الثانى

áeÉY øjQɪJ á©HGôdG IóMƒdG

. C م C ب جـ E مربع ، تقاطع قطراه فى م ، س ∈ ٦

أوجد ص صورة س باالنعكاس فى م

ثم برهن أن:

C E b س / b ب جـ ص أ

الشكل د س ب ص متوازى أضالع. ب

مستقيمان متقاطعان فى م،٢ ، ل

١ل ٧

٢ ، ب ∈ ل

١C ∈ ل

برهن باستخدام الدوران أن كل زاويتين متقابلتين بالرأس

متساويتان فى القياس.

C ب جـ مثلث، النقطة و منتصفC جـ ، إرسم E صورة ب باالنعكاس فى و ٨

مانوع الشكل C ب جـ E؟ ومانوع المثلث C ب جـ الذى يجعل الشكل C ب جـ E؟

أوال: مستطيل.

ثانيا: معين.

فى الشكل المقابل: ٩

X (C c هـ E) = X (c ب) ، E C = ٣سم، C هـ = ٤٫٥سم ، ب E = ٦سم

أوال: برهن أن E C b هـ ~ C b جـ ب

ثانيا: أوجد طول هـ جـ

٣ سم

٦ سم

٤٫٥ سم

. C م ب جـ E مربع ، تقاطع قطراه فى م ، س ∈ C ٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦٦

أوجد ص صورة س باالنعكاس فى م

ثم برهن أن:

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٧٢

ملفG ا>نجازعلى أساسية وحدة رسم فى اآللى الحاسب يوسف استخدم ١

معين بنظام بنسخها قام ثم األضالع متساوى مثلث شكل

للحصول على شكل السداسى المنتظم C ب جـ E هـ و.

إذا كان طول ضلع السداسى المنتظم ل سم، م نقطة تقاطع

جـ و ب هـ، ، E C أقطاره

أوجد صورة المثلث م C ب فى الحاالت اآلتية:

C م بانتقال مسافة ل فى اتجاه أ

C م بانعكاس فى بانعكاس فى م ب

(oم، -١٢٠)بدوران د (oم، ٦٠)بدوران د د

أوجد عدد محاور التماثل فى الشكل. و

د عدد محاور التماثل لكل منها ونقطة التماثل إن وجدت. ٢ حد

د ب أ

تكنولوجياتكنولوجيا

EXCEL افتح برنامج

٢ انسخ الخط المستقيم الى مستقيمين أخريين استخدام أداة وارسم خط مستقيم ١

(FORMAT AUTOSHAPE) اضغط بالزر األيمن على الخط المستقيم الثانى واختر ٣

°٦٠ (Rotation) حدد دوران (size) من نافذة الحجم ٤

بالمثل مع المستقيم الثالث حدد دوران ١٢٠° ٥

حرك الخطوط الثالثة لتكون مثلث ٦

انسخ المثلث ٥ مرات ونفذ دوران للمثلث األول ٦٠° ٧

و للمثلث الثانى ١٢٠° ... و للمثلث الخامس ٣٠٠°

جمع المثلثات لتكون شكل سداسى ٨

Gا>نجاز Gملفعلى أساسية وحدة رسم فى اآللى الحاسب يوسف استخددم ١١١١١١١١١١١١١١١١١١١

معين ببننظام بنسخها قام ثم األضالع متساوى مثلث شكل

٧٣ الفصل الدراسى الثانى

از

RÉéfE’G ∞∏e á©HGôdG IóMƒdG

اختبار الوحدة

أكمل مايأتى: ١

النقطة (-١، ٩) هى صورة النقطة (١، -٩) باالنعكاس فى .................... أ

صورة النقطة (٣، -٤) بالدوران ( و، -٩٠) هى .................... ب

صورة النقطة (-٣، ٧) بالدوران ( و ، ١٨٠) هى ....................

إذا كانت النسبة بين طولى ضلعين متناظرين فى مثلثين متشابهين تساوى ١ فإن المثلثين ................. د

إذا كان للمثلث C ب جـ محور تماثل واحد وأطوال أضالعه ٨سم ، ٣سم ، س سم فإن س = ................

إذا تشابه مضلعان، وكانت النسبة بين ضلعين متناظرين فيهما ٣ : ٤ فإن النسبة بين محيطيهما هى ................. و

C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى جـ فيه ب جـ = ٤سم ، C جـ = ٢سم. ٢

ارسم E ، هـ صورتى ب ، C على الترتيب بالدورانC (جـ، ٩٠°) أ

E منتصف جـ C برهن أن ب

E هـ ويقطع جـ هـ فى و فبرهن أن: C b و جـ ~ ب C جـ // C و إذا رسم

فى الشكل المقابل: ٣

إذا كان الشكل Cب جـ E ~ الشكل س ص ع ل.

(E ب جـ c) X احسب أ

س ل وحدد نسبة التكبير. احسب طول ب

إذا كان محيط الشكل C ب جـ E = ٢٦سم

فما محيط الشكل س ص ع ل.

C جـ فى E، هـ، ، ب جـ ، ارسم △ C ب جـ الذى فيه C ب = C جـ = ٥ سم ، ب جـ = ٨ سم. نصفC ب ٤

و على الترتيب.

هـ و باالنعكاس فى ب جـ . ارسم صورة أ

.E هـ C △ هـ و إلى C △ ما التحويل الهندسى الذى يحول ب

.E هـ C احسب أطوال أضالع المثلث

o ٨٠o١٢٥

o ٧٠

٨ سم

٦ سم

٢٫٤ سم

: مايأت أكمل ١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٧٤

المساحاتالمساحات

الوحدة الخامسة

٥

سوف تتعلم متى تتساوى مساحتا متوازيى

أضالع.

متوازى مساحة تتساوى متى

أضالع ومساحة مستطيل.

متوازى مساحة إيجاد كيفية

األضالع.

متوازى مساحة بين العالقة

المثلث ومساحة ــالع األض

القاعدة فى معه المشترك

بين ــه ــع م ــور ــص ــح ــم وال

مستقيمين متوازيين.

كيفية إيجاد مساحة مثلث.

مصطلحات أساسية

مساحة .

متوازى أضالع.

مستطيل .

مثلث .

قاعدة.

ارتفاع .

مستقيمين متوازيين.

فى ضوء معلوماتك عن متوازى األضالع أجب عما ياتى:

ما تعريف متوازى األضالع؟ ☯

ما خواص متوازى األضالع؟ ☯

بأمثلة إجابتك وضح ثابت؟ متوازيين مستقيمين كل بين البعد هل ☯

حياتية.

األضالع؟ متوازى من خاصة حاالت والمربع والمعين المستطيل هل ☯

ولماذا؟

ارتفاع متوازى ا�ضالع:

فى الشكل المقابل: C ب جـ E متوازى أضالعE هـ = ب جـ إذا اعتبرنا ب جـ قاعدة له وكان

فيكون:

E هـ ارتفاع مناظر للقاعدة ب جـ طول

C ب قاعدة لمتوازى األضالع، وإذا اعتبرنا

C ب فيكون: E و = وكان

C ب E و ارتفاع مناظر للقاعدة طول

المناظر األضالع متوازى ارتفاع :¿CG ßM’ لطولE هـ مساويا يكون ب جـ للقاعدة

حيث:

لماذا؟ E هـ = س ص = ب ل

دةعقا

قاعدة

ارتفاع

اعتفار

ر وناقش فك

٧٦

الوحدة الخامسة

الدرسا)ول

الرياضيات - الصف الثانى االعدادى

´Ó°VCG ≈jRGƒàe ≈àMÉ°ùe ihÉ°ùJ

تدرب

حدد القاعدة واالرتفاع المناظر لها لكل من متوازيات األضالع التالية:

ارتفاع قاعدة قاعدة

اعتفار

نظرية ١

سطحا متوازيى ا#ضالع المشتركين فى القاعدة والمحصورين بين مستقيمين

متوازيين أحدهما يحمل هذه القاعدة متساويان فى المساحة.

C و C ب جـ E، هـ ب جـ و متوازيا أضالع، ب جـ قاعدة مشتركة لهما، ب جـ // المعطيات:

إثبات أن مساحة C ب جـ E = مساحة هـ ب جـ و المطلوب:

بانتقال مسافة ب جـ فى اتجاه ب جـ E △ a جـ و صورة △ C ب هـ البرهان:

ألن االنتقال تساوى قياسى ` △ E جـ و / △ C ب هـ

` مساحة الشكل C ب جـ و - مساحة △ E جـ و=

مساحة الشكل C ب جـ و - △ مساحة C ب هـ

` مساحة C ب جـ E = مساحة هـ ب جـ و

وهو المطلوب

تدرب

التالية: األضالع متوازيات من لكل لها المناظر واالرتفاع القاعدة د حد

٧٧ الفصل الدراسى الثانى

هيا نفكر

فى الشكل المقابل:

= ب جـ C هـ ، E ب جـ C

E و = ب جـ فإن: إذا كان

△ E جـ و صورة △ C ب هـ بانتقال مسافة ........... فى اتجاه ...........

ما العالقة بين مساحة C ب جـ E، ومساحة المستطيل C هـ و E؟

èFÉàf

نتيجة ١

مساحة متوازى ا#ضالع تساوى مساحة المستطيل المشترك معه فى القاعدة والمحصور معه بين مستقيمين متوازيين .

:¿CG ßM’العرض * = الطول مساحة المستطيل

لماذا؟ = ب جـ * C هـ C هـ * = هـ و E هـ و C مساحة المستطيل= ب جـ * C هـ E ب جـ C فتكون مساحة متوازى األضالع

نتيجة ٢

مساحة متوازى ا#ضالع = طول القاعدة * االرتفاع

:¿CG ßM’البعد بين مستقيمين متوازيين ثابت فإذا كان ب جـ = ص ل

........... * ب جـ = E ب جـ C مساحة فإن:

........... * ص ل = مساحة س ص ل م

ماذا تستنتج؟

هيا نفكر

فى الشكل المقابل:

C

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٧٨

نتيجة ٣

متوازيات ا#ضالع المحصورة بين مستقمين متوازيين وقواعدهما التى على أحد هذين المستقيمين متساوية فى الطول تكون مساحاتها متساوية.

تدرب

فى كل من األشكال التالية بين أن متوازيات األضالع الثالثة متساوية المساحة: ١

بأ

أكمل ٢

أ

١٫٧م٢ ٠م٫٥

٤٨سمب

٢٤٠٠سم٢

٤٠سم

٥٠سم٢٤سم

٣٠سم

E جـ = ...............س ص = ...............C و = ...............

ب جـ = ...............

فى مشروع «ابن بيتك» تم تقسيم أرض البناء كما بالرسم المقابل: ٣

هل مساحة القطعة رقم ١٥ = مساحة القطعة رقم ١٦؟

اذكر أرقام القطع المتساوية المساحة مفسرا إجابتك.

قطعة رقمقطعة رقمقطعة رقم

قطعة رقم

١٨١٧١٦

١٥

نتيجة ٣

متوازيات ا#ضالع المحصورة بين مستقمين متوازيين وقواعدهما التى علىأحد هذين المستقيمين متساوية فى الطول تكون مساحاتها متساوية.

٧٩ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

ا نفكر هي

، C و فى الشكل المقابل: ب جـ//

C ب جـ E، هـ ب جـ و متوازيا أضالعهـ جـ قطر فى متوازى األضالع هـ ب جـ و

= ......... مساحة هـ ب جـ و ` مساحة △ هـ ب جـ

= مساحة ......... ` مساحة هـ ب جـ و

E ب جـ C مساحة ......... = ` مساحة △ هـ ب جـ

نتيجة ٤

مساحة المثلث تساوى نصف مساحة متوازى ا#ضالع المشترك معه فى القاعدة والمحصور معه بين مستقيمين متوازيين أحدهما يحمل القاعدة المشتركة؟

تدرب

: C ب فى كل من األشكال التالية س ص //

E ب جـ C بين أن مساحة الشكل الملون نصف مساحة متوازى األضالع

بأ

ود

ا نفكر هي

، C و ب جـ// فى الشكل المقابل:

ال أ ا C

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٨٠

هيا نفكر

فى الشكل المقابل:

C ب جـ E متوازى أضالع E ب جـ C مساحة ............... = مساحة△ هـ ب جـ

...............*...............*...............=

نتيجة ٥

١٢ طول قاعدته * ارتفاعه مساحة المثلث =

:¿CG ßM’لع المقابل لها. ارتفاع المثلث هو طول القطعة العمودية المرسومة من رأس المثلث إلى الض ١

القطع العمودية للمثلث تتقاطع فى نقطة واحدة. ٢

تدرب

E C = ب جـ ،C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى C :فى الشكل المقابل ١

اكمل:

........... * ١٢ C ب = مساحة△ C ب جـ

........... * ١٢ ب جـ = مساحة△ C ب جـ

........... * ب جـ = ` C ب * ........... ؟ ........... EC إذا كان C ب = ٤سم ، C جـ = ٣سم، فما طول

فى الشكل المقابل: C ب جـ E مربع محيطه = ٢٤سم ، هـ منتصف ب جـ ٢

اكمل:

جـ هـ = .......سم C ب = .......سم، مساحة△ C هـ جـ = .......سم٢

هيا نفكر

فى الشكل المقابل:

أ C

٨١ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

مثال

فى الشكل المقابل:

، E C C ب جـ E متوازى أضالع ، هـ ∈ ب هـ ∩ جـ E = {و}

برهن أن: مساحة △ C و E = مساحة △ هـ و جـ

الحل

ب هـ ∩ جـ E = {و} ، E ب جـ C :المعطيات

المطلوب: إثبات أن مساحة △ C و E = مساحة △ هـ و جـ

(نتيجة) E ب جـ C ١٢ مساحة a مساحة △ C وب = البرهان:

(١) E ب جـ C ١٢ مساحة ` مساحة △ C و E + مساحة△ ب و جـ =

(نتيجة) E ب جـ C ١٢ مساحة a مساحة △ هـ ب جـ =

(٢) E ب جـ C ١٢ مساحة ` مساحة △ هـ و جـ + مساحة△ ب و جـ =

من (١)، (١) نستنتج أن:

(وهو المطلوب) مساحة △ C و E = مساحة المثلث هـ و جـ

ر هيا نفك

فى كل من الشكلين

C ب جـ E متوازى أضالع.لماذا تكون مساحة الشكل (١) =

مساحة الشكل (٢)؟

١

٢

( أ )

١

٢

(ب)

مثال

المقابل: الشكل ف

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٨٢

تمارين (٥ - ١)

فى الشكل المقابل: ١

، C جـ = ١٦سم. C جـ ب هـ = E C = جـ ب ،

ب جـ = ١٠سم، E C = ٨ سم أوجد:

ب هـ ثانيا: طول أوال: مساحة△ C ب جـ

فى الشكل المقابل: ٢

C ب جـ E متوازى أضالع محيطه ٤٨سم ، ب جـ = ٢ C ب، مساحة △ C ب جـ = ٥٦سم٢

هـ منتصف ب جـ . أوجد:

E ب جـ C أوال: ارتفاعا متوازى األضالع

ثانيا: مساحة△ C هـ جـ

فى الشكل المقابل: C ب جـ E مستطيل ، هـ ∈ ب جـ ٣

برهن أن: مساحة△ C E هـ = مساحة △ C ب جـ

فى الشكل المقابل: ٤

C ب جـ E ، هـ ب جـ و متوازيا أضالع،

C و C و ، هـ∈ ∋ E، {ل } = E ب هـ ∩ جـ

برهن أن:

أوال: مساحة△ C ب ل = مساحة△ و جـ ل.

ثانيا: مساحة الشكل C ب جـ ل = مساحة الشكل و جـ ب ل

فى الشكل المقابل: ٥

هـ E //ب جـ ، س E//جـ ص

Eص ، س ∈و جـ هـ ب//و جـ//

E هـ∋ C ، E و ∈هـ

برهن أن: متوازيات األضالع هـ ب جـ و ، C ب جـ E ، E س جـ ص متساوية المساحة.

٨سم

١٦سم

١٠سم

فى الشكل المقابل: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١

٨٣ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

م سوف تتعل متى يتساوى مساحة مثلثين.

مصطلحات أساسية

مساحة مثلث

يتساويان هل مثلثان، تطابق إذا

مثلثان تساوى إذا المساحة؟ فى

متى يتطابقان؟ هل المساحة، فى

تتساوى مساحتا مثلثين؟

نظرية ٢

المثلثان المرسومان على قاعدة واحدة ورأساهما على

مستقيم يوازى هذه القاعدة يكونان متساويين فى المساحة.

E C //ب جـ المعطيات: المثلثان: C ب جـ،

E ب جـ يشتركان فى القاعدة ب جـ

إثبات أن: مساحة△ C ب جـ = مساحة△ E ب جـ المطلوب: E و =ب جـ C هـ =ب جـ ، نرسم العمل:

عمودين على ب جـ E و ، C هـ E C //ب جـ ، a البرهان: ` C هـ و E مستطيل، C هـ = E و

١٢ ب جـ * C هـ (١) = a مساحة△ C ب جـ

١٢ ب جـ * C هـ(٢) ١٢ ب جـ * E و = = ، مساحة△ E ب جـ

= مساحة△ E ب جـ من (١)، (٢)` مساحة △ C ب جـ

(وهو المطلوب)

٥سم

سم٦

٥سم

سم٦

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٨٤

الوحدة الخامسة

الدرسالثانى

ø«ã∏ã oe ≈à nMÉ°ùe ihÉ°ùJ

تدرب

فى الشكل المقابل: ١

ب E = {م} C جـ ⋂ Eجـ ، C ب //

أكمل وفسر إجابتك:

......... ألن مساحة ......... = مساحة △ E C ب أ

......... ألن مساحة ......... = مساحة △ C E جـ ب

......... ألن مساحة ......... = مساحة △ C E م

فى الشكل المقابل: ٢

C جـ C ب ، ص ∈ C ب جـ مثلث ، س ∈

س ص // ب جـ ، م ∈ ب جـ

أكمل: مساحة△ س م ص = مساحة .........

مساحة الشكل C س م ص = مساحة ......... لماذا؟

èFÉàf المثلثات التى قواعدها متساوية الطول والمحصورة ١

بين مستقيمين متوازيين تكون متساوية المساحة.

:¿CG ßM’

C ص// ب جـ، ب جـ = هـ و = س ص

١٢ ل * ع مساحة△ C ب جـ = مساحة△ E هـ و = مساحة△ س ص م =

متساويين مثلثين سطحـى إلى سطحه يقسم المثلث متوسط ٢

فى المساحة.

:¿CG ßM’(ب E = E جـ = ل) E C متوسط للمثلث C ب جـ

١٢ ل * ع مساحة△ C ب E = مساحة△ E C جـ =

تدرب

ل قا ال الشكل ف ١١١١

٨٥ الفصل الدراسى الثانى

مستقيم وعلى ، متساوية قواعدها أطوال التى المثلثات ٣

واحد ومشتركة فى الرأس، تكون متساوية المساحة.

مساحة△ C ب جـ = مساحة△ C جـ E = مساحة △ E C هـ

تدرب

، رسمب هـ، جـ هـ E C E C متوسط، هـ ∈ C ب جـ مثلث فيه برهن أن: مساحة △ C ب هـ = مساحة △ C جـ هـ

لذلك أكمل:

E C متوسط فى المثلث. a

(١) مساحة △ C ب E = مساحة ........ ........ متوسط فى △ هـ ب جـ a

(٢) مساحة △ هـ ب E = مساحة ........

بطرح طرفى (٢) من طرفى (١) ينتج أن:

مساحة △ C ب هـ = ........

مثال

فى الشكل المقابل:

E C // ب جـ ، هـ ∈ ب جـ ، و ∈ ب جـ حيث: هـ E= {م} C و ∩ ب هـ = جـ و ،

برهن أن:

أوال : مساحة △ C م هـ = مساحة △ E م و

ثانيا: مساحة الشكل C ب هـ م = مساحة الشكل E جـ و م البرهان:

هـ و ، المثلثان C هـ و، E هـ و يشتركان فى القاعدة هـ و // E C a

` مساحة △ C هـ و = مساحة△ E هـ و

بطرح مساحة △ م هـ و من الطرفين.

(١) (المطلوب أوال) مساحة △ C هـ م = مساحة △ E و م

مستقيم وعلى ، متساوية قواعدها أطوال التى المثلثات ٣

واحد ومشتركة فى الرأس، تكون متساوية المساحة.

هـ E C△ مساحة = E جـ C△ب جـ = مساحة C△مساحة

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٨٦

E C // ب جـ a ب هـ = جـ و ،

(٢) ` مساحة △ C ب هـ = مساحة △ E جـ و

بجمع (١)، (٢) ينتج أن:

(المطلوب ثانيا) مساحة الشكل C ب هـ م = مساحة الشكل E جـ و م

تدرب

فى كل من األشكال التالية بين أن األشكال الملونة متساوية المساحة (استعن بالمعطيات على الرسم):

بأ

دو

نظرية ٣

المثلثان المتساويان فى مساحتيهما ، والمرسومان على قاعدة واحدة وفى جهة

واحدة من هذه القاعدة ، يكون رأساهما على مستقيم يوازى هذه القاعدة.

مساحة △ C ب جـ = مساحة △ E ب جـ. المعطيات: ب جـ قاعدة مشتركة للمثلثين

// ب جـ E C إثبات أن: المطلوب:

E و = ب جـ C هـ = ب جـ ، نرسم العمل:

ب جـ // E C aب هـ = جـ و ،

(٢) ب هـ = مساحة △E جـ و C△ `مساحةينتج أن: (٢) ،(١) بجمع

٨٧ الفصل الدراسى الثانى

≈fÉãdG ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

a مساحة △ C ب جـ = مساحة△ E ب جـ البرهان: ١٢ ب جـ * Eو ١٢ ب جـ * C هـ = `

` C هـ = E و

= ب جـ E و C هـ = ب جـ ، a

E و C هـ // `

E C // ب جـ وينتج أن: ` الشكل C هـ و E مستطيل

هيا نفكر

فى الشكل المقابل: ١

ب، جـ، E، هـ تقع على مستقيم واحد

حيث ب جـ = E هـ

إذا كان: مساحة △ C ب جـ = مساحة △ و E هـ ماذا تستنتج؟ فسر إجابتك.

، ب جـ = هـ و و هـ ∋ C ، ب جـ ∋ E :فى الشكل المقابل ٢

إذا كان:

مساحة△ C ب جـ = مساحة △ E هـ و

ماذا تستنتج؟ فسر إجابتك.

C و // ب جـ لماذا؟ الحظ أن:

مثال

ب E = {م} ⋂ C جـ C ب جـ E متوازى أضالع C ب بحيث: مساحة△ C م هـ = مساحة△ C ب جـ هـ ∈

برهن أن: الشكل ب هـ جـ E متوازى أضالع.

a مساحة△ C م هـ = مساحة△ C ب جـ البرهان: بطرح مساحة△ C ب م من الطرفين

` مساحة△ ب م هـ = مساحة △ ب م جـ

ب م وفى جهة واحدة منها وهما مشتركان فى القاعدة

البرهان:a مساحة △C ب جـ = مساحة△E ب جـEو ب جـ * ١٢ C هـ = * ١٢ ب جـ `

و E = هـ C`

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٨٨

(١) ب م جـ هـ //

الشكل C ب جـ E متوازى أضالع a (٢) ب هـ // E جـ

من (١)، (٢) ينتج أن الشكل E ب هـ جـ متوازى أضالع

تدرب

// ب جـ؟ E C فى كل من األشكال التالية المثلثات الملونة لها نفس المساحة فسر لماذا يكون ١

بأ

فى الشكل المقابل: ٢

E C C ب جـ E شكل رباعى ، س منتصف ب جـ بحيث كان : ص منتصف

مساحة الشكل C ب ص س = مساحة الشكل E جـ ص س

E C // ب جـ برهن أن:

إرشاد للحل

جـ س ارسم ب س ،

س ص متوسط ماذا تستنتج؟ فى △ س ب جـ،

مساحة △ C س ب = مساحة ......... لماذا؟

E C // ب جـ لماذا؟

(١) ب م جـ هـ //

متوازى أضالع E الشكل C ب جـ a

(٢) ب هـ // E جـ

٨٩ الفصل الدراسى الثانى

≈fÉãdG ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

تمارين (٥ - ٢)فى الشكل المقابل: ١

، E هـ // C جـ ، ب جـ ∋ هـ ب جـ، // E C

ب E= {م} C جـ ∩

برهن أن:

أوال: مساحة△ C ب م = مساحة△ E جـ م = مساحة△ هـ م جـثانيا: مساحة△ E ب جـ = مساحة △ هـ ب م

فى الشكل المقابل: ٢

جـ ب حيث ب جـ = ب هـ C ب جـ E متوازى أضالع، هـ ∈ برهن أن:

E ب جـ C مساحة△ و هـ جـ = مساحة

فى الشكل المقابل: ٣

E C // ب جـ ، C ب جـ E شكل رباعى فيه

ب E = {م} C جـ ∩ هـ ∈ ب جـ،

مساحة △ C ب م = مساحة△ هـ جـ م.

C جـ E هـ // برهن أن:

فى الشكل المقابل: ٤

C ب جـ E شكل رباعى تقاطع قطراه فى م، ،E ب م حيث م هـ = م هـ ∈

مساحة△C م ب = مساحة△ جـ م هـ

// ب جـ E C برهن أن:

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٩٠

فكر وناقش

سوف تتعلم كيفية إيجاد مساحة المعين.

المربع مساحة إيجاد كيفية

بمعلومية طول قطره.

شبة مساحة إيجاد كيفية

المنحرف.

ة مصطلحات أساسي

مربع.

معين.

شبة منحرف.

مساحة.

أضالع متوازى هو المعين أن عرفت أن سبق

أضالعه متساوية الطول.

ما العالقة بين قطرى المعين؟ ☯

كيف توجد مساحة المعين؟ ☯

مساحة المعين:

إذا كان طول ضلع المعين ل وارتفاعه ع ١

فإن: مساحة المعين = ل * ع

أى أن:

مساحة المعين = طول قاعدته * ارتفاعه.

هيا نفكر

ر إجابتك. هل E هـ = E و؟ فس

تدرب

E ب جـ C أوجد مساحة المعين ١

المساحة = .............. أ

٨سم

١٠سم

٩١ الفصل الدراسى الثانى

الدرسالوحدة الخامسةالثالث

ás«°Sóæ¡dG p∫Éμ°TC’G p¢†©H oäÉMÉ°ùe

= ٢٤سم، E هـ = ٥سم E ب جـ C محيط المعين ب

......... = المساحة

ف كل منهما اآلخر، الحظ الشكل المقابل وأكمل: تعلم أن قطرى المعين متعامدان وينص ٢

E ب C △٢ مساحة = E ب جـ C مساحة المعين

......... * E ١٢ ب * ٢ =

......... ٢ * E ب * ١٢ =

......... * E ١٢ ب =

١٢ حاصل ضرب طولى قطريه. أى أن: مساحة المعين =

a المربع هو معين قطراه متساويان فى الطول.

١٢ مربع طول قطره. ` مساحة المربع =

تدرب

أوجد مساحة كل من األشكال التالية:

معين طول ضلعه ١٢ سم وارتفاعه ٨ سم. ١

معين طوال قطريه ٨ سم، ١٠ سم. ٢

٣ مربع طول قطره ٨ سم.

معين محيطه ٥٢ سم وطول أحد قطريه ١٠ سم. ٤

.oمعين محيطه ٦٠ سم وقياس إحدى زواياه ٦٠ ٥

٥سم = ٢٤سم، E هـ = E محيط المعين C ب جـ بببببببببببببب

......... = المساحة

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٩٢

±ôëæªdG o¬Ñ p°T

هو شكل رباعى فيه ضلعان متوازيان يعرفان بقاعدتيه ، ويسمى كل

ضلع من الضلعين غير المتوازيين "ساقا".

E ب جـ C ب جـ قاعدتا شبه المنحرف ، E C فى الشكل المقابل:

E ب جـ C جـ ساقا شبه المنحرفE ، C ب

شبه المنحرف له ارتفاع واحد هو البعد العمودى بين قاعدتيه = ع

هيا نفكر

هل قطر شبه المنحرف يقسمه إلى مثلثين متساويين فى المساحة؟

Eجـ : C ب ، إذا كان: C ب جـ E شبه منحرف متساوى الساقين

هل X (c ب) = X (c جـ)؟

= ب جـ وفسر إجابتك. E و C هـ = ب جـ ، ارسم

شبه المنحرف المتساوى الساقين:

C ب جـ E شبه منحرف فيه C ب = E جـ فإن:

زوايتا كل من قاعدتيه متساويتان فى القياس ١

(E c) X = (C c) X ،( جـ c) X = (ب c) X

E جـ = ب C قطراه متساويان فى الطول ٢

C جـ ∩ ب E = {م}

ب م = جـ م ، ` C م = E م

ف قاعدتيه. له محور تماثل واحد (ل) ينص ٣

قاعدة صغرى

قاعدة كبرى

±ôëæªdG o¬Ñ p°T±ôëæªdG o¬Ñ p°TôëæªdG ¬ T

كل ويسم ، بقاعدتيه يعرفان متوازيان ضلعان فيه رباع شكل هو

قاعدة صغرى

٩٣ الفصل الدراسى الثانى

ådÉãdG ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

شبه المنحرف القائم الزاوية

هو شبه منحرف فيه أحد ساقيه عمودى على القاعدتين المتوازيتين.

، E C = E جـ = ب جـ ، جـ E :فى الشكل المقابل

E ارتفاع شبه المنحرف = طول جـ `

القاعدة المتوسطة لشبه المنحرف .

. E ب جـ C س ص الواصلة بين منتصفى الساقين فى شبه المنحرف هى القطعة المستقيمة

:¿CG ßM’

E C س ص// ب جـ //

١٢ (E C + ب جـ) س ص = طول

تدرب

أوجد طول القاعدة المتوسطة لشبه منحرف طوال قاعدتيه ٧سم، ١٣سم.

مساحة شبه المنحرف:

= E ب جـ C مساحة شبه المنحرف

مساحة △ E ب جـ + E ب C △مساحة

١٢ ب جـ * د هـ + ١٢ E C * ب و =

* ع٢١٢ ل + ع

١١٢ ل =

) ع٢ + ل

١١٢ (ل =

١٢ مجموع طولى قاعدتيه المتوازيتين * االرتفاع. مساحة شبه المنحرف =

١٢ مجموع طول القاعدتين المتوازيتين. ’CG ßM¿: طول القاعدة المتوسطة =

` مساحة شبه المنحرف = طول القاعدة المتوسطة * االرتفاع.

القاعدة الصغرى

القاعدة المتوسطة

القاعدة الكبرى

١ل

٢ل

شبه المنحرف القائم الزاوية

هو شبه منحرف فيه أحد ساقيه عمودى على القاعدتين المتوازيتين.

، E C = E جـ ، ب جـ = جـ E فى الشكل المقابل:

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٩٤

تدرب

فى كل من األشكال اآلتية استخدم العالمات المعطاة على الرسم إليجاد مساحة الشكل:

١٢سم

٥سم

٨سم

٨سم٥سم

١٢سم

٧سم

o٤٥

٧سم

١٠سم

o٦٠

دبأ

تمارين (٥ - ٣)شبه منحرف مساحته ٤٥٠سم٢ وطوال قاعدتيه المتوازيتين ٢٤سم، ١٢سم أوجد ارتفاعه. ١

شبه منحرف مساحته ١٠٨سم٢ وطول إحدى قاعدتيه المتوازيتين ١٥سم وارتفاعه ٨سم أوجد طول ٢

قاعدته األخرى.

شبه منحرف مساحته ١٨٠سم٢ وارتفاعه ١٢سم، والنسبة بين طولى قاعدتيه ٢:٣ فما طول كل منهما؟ ٣

قطعتا أرض متساويتين فى المساحة، األولى على شكل معين طوال قطريه ١٨، ٢٤ مترا، واألخرى على ٤

شكل شبه منحرف ارتفاعه ١٢ مترا، أوجد طول قاعدتها المتوسطة.

شبه منحرف متساوى الساقين مساحته ١٢٠سم٢ ومحيطه ٦٠سم ، فإذا كان طول قاعدته المتوسطة ٥

٢٠سم، أوجد طول كل من قاعدتيه.

، ب جـ، C ب C ب جـ E مستطيل فيه Cب = ٦سم ، ب جـ = ٨سم، س، ص، ل، م منتصفات أضالعه ٦

CE على الترتيب: ،E جـ

برهن أن الشكل س ص ل م معين وأوجد مساحته. أ

أوجد ارتفاع المعين س ص ل م . ب

قطعة أرض على شكل شبه منحرف ، النسبة بين طولى كل من قاعدتيه المتوازيتين وارتفاعه كنسبة ٧

٤:٢:٣ على الترتيب أوجد طول قاعدته المتوسطة إذا كان مساحة سطحه ٤٠٠٠سم٢.

تدرب

٩٥ الفصل الدراسى الثانى

ådÉãdG ¢SQódG á°ùeÉîdG IóMƒdG

تمارين عامة

C ب. E هـ ، س، ص ∈ C ب// فى الشكل المقابل: ١

ب هـ. // E C س E هـ ص مستطيل،

. E ب هـ C أوال : أوجد مساحة الشكل

. E C ثانيا: إذا كان E C = ٣٠سم فأوجد طول العمود النازل من ب على

فى الشكل المقابل: ل م ن هـ متوازى أضالع. ٢

برهن أن: مساحة المثلث ل هـ و + مساحة المثلث م و ن =

مساحة المثلث ل هـ م .

{م}. = E ب ⋂ C جـ أضالع متوازيا E جـ هـ ب ،E جـ ب C ٣

برهن أن: مساحة المثلث C ب E = مساحة المثلث م هـ جـ

هـ و // ب جـ // E C فى الشكل المقابل: ٤

برهن أن: مساحة المثلث C ب هـ = مساحة المثلث E جـ و .

C ب ، جـ هـ = C جـ = E ب فى الشكل المقابل: C ب = C جـ. ٥

هـ E // ب جـ أوال : برهن أن

ثانيا: مساحة المثلث E C ب = مساحة C هـ جـ

// ب جـ E C فى الشكل المقابل: ٦

برهن أن: مساحة المثلث C ب م = مساحة مثلث E م جـ، وإذا كانت مساحة

المثلث م ب جـ = ٢٠سم٢، ومساحة المثلث C ب م = ٣ أمثال مساحة المثلث

قاعدته بحيث تقع على ب جـ المنشأ المستطيل مساحة م ب جـ، احسب

E C األخرى على

١٢سم

٢٤سم

ب. C E هـ ، س، ص ∈ C ب// فى الشكل المقابل: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٩٦

استخدام قاعدة بيك Pik لحساب مساحة أى منطقة مضلعة.

باستخدام الشبكة التربيعية كيف يمكنك إيجاد مساحة أى منطقة مضلعة؟

لإلجابة على هذا السؤال الحظ مايلى:

فى الشكل المقابل: ١

١٢ مساحة المستطيل س ب جـ ص = مساحة△ C ب جـ ١٢ * ٤ * ٣ = ٦ وحدة مربعة. =

فى الشكل المقابل: ٢

E مساحة△ جـ ب + E ب C △مساحة = E ب جـ C مساحة الشكل١٢ * ٥ * ١ + ١٢ * ٥ * ٢ =

١٢ ٧ وحدة مربعة. = ٥٢ + ٥ =

فى الشكل المقابل: ٣

إليجاد مساحة △ C ب جـ نقسم الشكل إلى مناطق يمكن حساب مساحاتها.

E مساحة△ ب جـ + E ب C △ مساحة = ∴ مساحة△ C ب جـ ١٢ * ٣ * ٢ + ١٢ * ٣ *٢ =

= ٦ وحدات مربعة.

فى كل من األشكال السابقةالحظ عدد النقط الحمراء التى تمثل نقط الشكل ، وتقع على رؤوس مربعات الشبكة، وتسمى « النقط

الحدودية ح » وعدد النقط الخضراء داخل الشكل، وتسمى « بالنقط الداخلة د ».

أكمل الجدول التالى وطابق إجابتك:

- ١ حدح٢ المساحةم = د+

٨٢ - ٣٨١الشكل األول + ٣٦

٥٢ - ٦٥١الشكل الثانى + ١٢ ٦٧

...................الشكل الثالث

الرسم صحة من تحقق ثم ، هندسيا المساحة واحسب المربعات، شبكة على مختلفة أشكاال ارسم

١ - عدد نقط املضلع

٢المساحة = عدد نقط داخل المضلع + pick باستخدام قاعدة

وضح كيف يمكنك استخدام قاعدة بيك فى تطبيقات حياتية.

ملف ا@نجازلحساب مساحة أى منطقة مضلعة. Pik استخدام قاعدة بيك

أ

ملف ا@نجاز

٩٧ الفصل الدراسى الثانى

RÉéfE’G ∞∏e á°ùeÉîdG IóMƒdG

اختبار الوحدة

أكمل: ١

مساحة المعين الذى طوال قطريه ٦سم، ٨سم = ......... أ

قطرا شبه المنحرف متساوى الساقين ......... ب

مساحة شبه المنحرف الذى طول قاعدته المتوسطة ٧سم، وارتفاعه ٦سم =.........

المثلثات التى قواعدها متساوية فى الطول ، والمحصورة بين مستقيمين متوازيين تكون ......... د

متوسط المثلث يقسم سطحه إلى .........

مربع مساحته ٥٠سم٢، فإن طول قطره = .........سم. و

فى الشكل المقابل: ٢

C ب جـ C ،E ب م ن متوازى أضالع ، برهن أن:

مساحة△ هـ ب جـ =١٢ مساحة C ب م ن

فى الشكل المقابل: ٣

، هـ منتصفC جـ C ب △ C ب جـ فيه E منتصف

برهن أن:

أوال : مساحة△ E ب جـ = مساحة△ هـ ب جـ

E هـ //ب جـ ثانيا:

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى٩٨

المساقطالمساقط

الوحدة السادسة

٦

سوف تتعلم إيجاد مسقط نقطة على

مستقيم.

إيجاد مسقط قطعة مستقيمة

على مستقيم.

إيجاد مسقط شعاع على

مستقيم.

إيجاد مسقط مستقيم على

مستقيم.

مصطلحات أساسية

مسقط.

نقطة.

قطعة مستقيمة.

شعاع.

خط مستقيم.

(عمودية ألسفل رأسيا تسقط هل من يدك: طباشير قطعة تسقط عندما

على األرض)؟

ما األثر الذى تتركه قطعة الطباشير على األرض؟

º«≤à°ùe ≈∏Y á£≤f §≤°ùe

فى الشكل المقابل:

ل مستقيم،C ، ب نقطتان ، حيث C ∉ ل ، ب ∈ ل.

C = ل حيث ∈ ل. C نرسم

ل) المستقيم على C النقطة من المرسوم العمود موقع (وهى النقطة تسمى

بالمسقط العمودى للنقطةC على المستقيم ل.

∴ مسقط ب على المستقيم ل هو نفس النقطة ب. ∵ ب ∈ ل

:¿CG ßM’:¿CG ßM’العمود موقع هو مستقيم على نقطة مسقط

المرسوم من هذه النقطة على المستقيم.

إذا كانت النقطة تقع على المستقيم فإن مسقطها

على هذا المستقيم هو نفس النقطة.

ل

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٠٠

الوحدة السادسة

الدرسا'ول

o§bÉ°ùªdG

Ωƒ∏©em º«≤à°ùe ≈∏Y ᪫≤à°ùe á©£b o§≤°ùe

C ب على المستقيم ل. إليجاد مسقط القطعة المستقيمة

ل على المستقيم C مسقط C إذا كانت :

ل على المستقيم ب مسقط ب

Cب C ب على المستقيم ل هو فإن : مسقط

C ب ، جـ مسقط جـ على المستقيم ل ’fCG ßM¬ إذا كانت: جـ ∈

Cب جـ ∈ فإن :

تدرب

األشكال التالية تبين بعض القطع المستقيمة فى أوضاع مختلفة، أكمل بكتابة مسقط القطعة المستقيمة

فى كل شكل كما فى المثال:

لل

ل

C ب على المستقيم ل مسقط

هو ب

مسقط جـ Eعلى المستقيم ل

هو ......................

هـ و على المستقيم ل مسقط

هو ......................

لل

Vل

مسقطس ص على المستقيم ل

هو ......................

على المستقيم ل م ن مسقط

هو ......................

C ب على المستقيم ل مسقط

هو ......................

ل

eùeeùeùeƒ∏©em º«≤à°ùe ≈∏Y ᪫≤à°ùe á©£b o§≤°ùƒ∏©em º«≤à°ùe ≈∏Y ᪫≤à°ùe á©£b o§≤°ùƒ∏©em º«≤à°ùe ≈∏Y ᪫≤à°ùe á©£b o§≤°ùƒΩƒ∏ΩΩƒΩƒƒ∏ƒ ùeùùΩ

ل المستقيم عل ب C المستقيمة القطعة مسقط إليجاد

١٠١ الفصل الدراسى الثانى

:¢ûbÉfh ßM’

طول مسقط قطعة مستقيمة على مستقيم معلوم يكون مساويا أو أصغر من طول القطعة المستقيمة نفسها. أ

متى يكون طول مسقط قطعة مستقيمة على مستقيم معلوم مساويا طول هذه القطعة المستقيمة؟ ب

متى يكون طول مسقط قطعة مستقيمة على مستقيم معلوم صفرا؟

º«≤à°ùe ≈∏Y m É©°T o§≤°ùe

C ب على المستقيم ل إليجاد مسقط

ل على المستقيم C مسقط :¿CG ßM’

ل على المستقيم ب مسقط ب

C ب ∌ ، C ب ∋ E إذا كانت:

ل. على المستقيم E مسقط وكانت:

فإن: ∈ ب

ب C ب على المستقيم ل هو ∴ مسقط :πªcGh ßM’

لل

C ب على المستقيم ل هو........... C ب على المستقيم ل هو ......مسقط C ب = ل فإن مسقط إذا كان

هيا نفكر

ما مسقط مستقيم على آخر؟ أ

هل يمكن أن يكون مسقط مستقيم على آخر هو نقطة ؟ ب

وضح إجابتك برسم أشكال مختلفة لمسقط مستقيم على آخر ، واحفظها فى ملف اإلنجاز.

ل

:¢ûbÉfh ßM’

طول مسقط قطعة مستقيمة على مستقيم معلوم يكون مساويا أو أصغر من طول القطعة المستقيمة نفسها. أ

متى يكون طول مسقط قطعة مستقيمة على مستقيم معلوم مساويا طول هذه القطعة المستقيمة؟ ب

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٠٢

تدرب (١)

°٩٠ = (E جـC c) X ،(ب c) X :فى الشكل المقابل

أكمل:

E C على جـ E هو ................ مسقط أ

C جـ على جـ E هو ................ مسقط ب

C ب هو ................ C جـ على مسقط

تدرب (٢)

فى الشكل المقابل:

C ب جـ مثلث فيه C ب = C جـ = ٥سم، ب جـ = ٦سم.

أوجد:

C ب علىب جـ طول مسقط أ

مساحة المثلث C ب جـ ب

تدرب (٣)

فى الشكل المقابل:

E {هـ}، هـ منتصف جـ = E ب ∩ جـ C

C جـ = ١٦سم، C هـ = ٢٠سم، ب E = ب هـ = ١٠سم أوجد:

E على جـ E ب أوال : طول مسقط

E ب على جـ C ثانيا:طول مسقط

٦سم

٥سم

٢٠سم١٦سم

١٠سم

تدرب (١)

°٩ (E Cc) X ( c) X ل قا ال الشكل ف

١٠٣ الفصل الدراسى الثانى

∫hC’G ¢SQódG á°SOÉ°ùdG IóMƒdG

تمارين (٦ - ١)أكمل الجدول اآلتى: ١

الشكل

المساقط

C جـ على ب جـ س جـ..........................................مسقط

على ب جـ C ب ...............................................................مسقط

C ب C جـ على ...............................................................مسقط

C ب ...............................................................مسقط ب جـ على

فى الشكل المقابل: ٢

E C // ب جـ ، C ب = ١٣سم، ب جـ = ٥سم، جـ E = ١٥سم، X (C cجـ ب ) = X (C E cجـ) = ٩٠°

أوجد:

C جـ C ب على طول مسقط أ

E C طول مسقط جـ E على ب

فى الشكل المقابل: ٣

E C //ب جـ C ب جـ E شبه منحرف فيه X (C c ب جـ ) = ٩٠° ، فإذا كان:

E C = ٩سم، E جـ = ١٠ سم، جـ ب = ١٥سم

أ طول مسقط E جـ على ب جـ أوجد:

C ب ب طول مسقط E جـ على

١٠سم

١٥سم

٩سم

١٥ سم١٣ سم

٥ سم

أكمل الجدول اآلتى: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٠٤

سوف تتعلم عكس نظرية فيثاغورس.

فيثاغورس نظرية استخدام

فى حل المسائل.

علمنا من نظرية فيثاغورس أنه إذا كان C ب جـ

مثلث قائم الزاوية فى ب فإن:

(C جـ)٢ = (C ب)٢ + (ب جـ)٢ واآلن سوف ندرس عكس نظرية فيثاغورس.

:¢SQƒZÉã«a ájô¶f ¢ùμY

إذا كان مجموع مساحتى المربعين المنشأين على ضلعين فى

كانت الثالث، الضلع على المنشأ المربع مساحة يساوى مثلث

الزاوية المقابلة لهذا الضلع قائمة.

فى△ C ب جـ إذا كان: (C ب)٢ + ( ب جـ)٢ = ( C جـ)٢ أى أن : X (cب) = ٩٠° فإن  :

ويكون المثلث قائم الزاوية فى ب

ويمكن صياغة عكس نظرية فيثاغورس كمايلى:

طولى مربعى مجموع يساوى مثلث فى ضلع طول مربع كان إذا

الضلعين اآلخرين كانت الزاوية المقابلة لهذا الضلع قائمة.

:áé«àfفى المثلث C ب جـ إذا كان:

C جـ أكبر األضالع طوال وكان (C ب)٢ + (ب جـ)٢ ≠ ( C جـ)٢

فإن: △ C ب جـ اليكون قائم الزاوية.

فكر وناقش

١٠٥ الفصل الدراسى الثانى

الوحدة السادسة

¢SQƒZÉã«a ájô¶f ¢ùμYالدرسالثانى

تمارين (٦ - ٢)أكمل ووضح أى المثلثات التالية قائم الزاوية: ١

أ

٥سم

٦سم

٧سم

ب

١٢سم٥سم

١٣سم

(E و )٢ = ....

(E هـ)٢ + (هـ و)٢ = ...

∴ المثلث ........

(م ن)٢ = .........

(م ل )٢ + ( ن ل)٢ = .........

∴ المثلث .........

٥سم

٣سم

٣٤

د٧سم

٥سم ٣سم

......... = ٢( ٣٤ (س ص )٢ = (

(ص ع )٢ + ( ع س )٢ = .........

∴ المثلث .........

(C جـ )٢ = .........

( C ب )٢ + ( ب جـ)٢ = .........

∴ المثلث .........فى الشكل المقابل: C ب جـ E شكل رباعى فيه: ٢

X (cب) = ٩٠°، C ب = ٩سم، ب جـ = ١٢سم ، جـ E = ١٧سم، : C E = ٨سم، أثبت أن

.E ب جـ C ٩٠° ثم، أوجد مساحة الشكل = (جـ C Ec) X٩سم

٨سم

١٧سم

١٢سم

أكمل ووضح أى المثلثات التالية قائم الزاوية: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٠٦

م سوف تتعل نظرية إقليدس.

تطبيقات على نظرية

إقليدس.

الشكل المقابل:

C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى C، المربعات ١

C ب ن م، C جـ و ز، ب س ص جـ منشأة

على أضالعه.

وقطع ،E فى قطعها ب جـ = E C رسم ٢

كما C ص ، ب و ورسم هـ، فى س ص

بالشكل.

:¿CG ßM’

(C ص جـ c) X = (ب جـ وc) Xلماذا؟ C ب جـ و / △ ص جـ △

لماذا؟ ١٢ مساحة المربع C جـ و ز مساحة △ ب جـ و =

لماذا؟ E ١٢ مساحة المستطيل هـ ص جـ = C مساحة△ ص جـ

E جـ و ز = مساحة المستطيل هـ ص جـ C فيكون: مساحة المربع

لماذا؟ جـ E × جـ ص = (C جـ)٢

جـ E × جـ ب = ∴ (C جـ)٢

= طول مسقطC جـ × طول الوتر ب جـ

ز

فكر وناقش

١٠٧ الفصل الدراسى الثانى

الوحدة السادسة

p ¢Só«∏bEG oájô¶fالدرسالثالث

:¢Só«∏bEG ájô¶f

مساحة المربع المنشأ على أحد ضلعى القائمة فى المثلث إلى قائم الزاوية يساوى

مساحة المستطيل الذى بعداه هو مسقط هذا الضلع على الوتر وطول الوتر.

،C ب جـ القائم الزاوية فى C أى أن: فى المثلث

E C = ب جـ فإن: إذا رسم

(ب C)٢ = ب E * ب جـ (جـ C)٢ = جـ E * جـ ب

:áé«àf

(E C)٢ = E ب × E جـ

تدرب

فى الشكل المقابل:

، هـ و E ن = ،E هـ و مثلث قائم الزاوية فى Eهـ ن = ٩سم، ن و = ١٦سم

أكمل:

(إقليدس) = هـ ن × هـ و (E هـ)٢

∴ E هـ = .........سم ......... × ........ =

(إقليدس) = و ن × ......... (E و)٢

∴ E و = .........سم ......... × ....... =

(........................) = ن هـ × ن و (Eن)٢

∴ E ن = .........سم ......... × ....... =

هيا نفكر

ولماذا؟ هل E ن × هـ و = E هـ × E و؟

١٦سم٩سم

:¢Só«∏bEG ájô¶f

مساحة المربع المنشأ على أحد ضلعى القائمة فى المثلث إلى قائم الزاوية يساوى

ت ال ل ط ت ال ل الضل ذا قط ا الذ ل تط ال ة ا

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١٠٨

تمارين (٦ - ٣)

فى الشكل المقابل △ C ب جـ فيه: X (Cc ب جـ) = ٩٠°، ١

C جـ أكمل: = E ب C ب = ٤سم، C جـ = ٥سم،

E C = .......سم ب = .......سم ب جـ أ مساحة△ E ب جـ = ......سم٢ د = .......سم E ب

فى الشكل المقابل:C ب جـ E شكل رباعى فيه: ٢°٩٠ = (E C ب c) X = (E ب جـc) X

ب E، ب جـ = ٧سم، جـ E = ٢٤سم، C ب = ١٥سم. C هـ =

أوجد:

E C ،E ب طول كل من: أ

E ب C ب على طول مسقط ب

C هـ E C على طول مسقط

فى الشكل المقابل:C ب جـ E متوازى أضالع، ٣

، C ب C ب = ٦سم، E C = ١٠سم،E ب = E هـ = ب جـ أوجد: رسم

.E ب جـ C مساحة متوازى األضالع أ

E ب على ب جـ . طول مسقط ب

E هـ . طول

فى الشكل المقابل: C ب جـ E شبه منحرف فيه ٤

Eجـ ، X (Cc ب جـ) = ٩٠°، // C ب هـ منتصف ب جـ ، C ب = ١٦سم، E C = ٢٥سم،

E C هـ و = ، E هـ C هـ = E جـ = ٩سم ،

E ب جـ C أ مساحة شبه المنحرف أوجد:

. E C C هـ على ب طول مسقط على

٤سم٥سم

٧سم

٢٤سم

١٥سم

٦سم

١٠سم

٢٥سم

٩سم

١٦سم

° ( Cc) X ف C△ ل قا ال الشكل ف

١٠٩ الفصل الدراسى الثانى

ådÉãdG ¢SQódG á°SOÉ°ùdG IóMƒdG

سوف تتعلم تحديد نوع المثلث بالنسبــة

لزواياه إذا علم أطوال أضالعه

الثالثة.

مصطلحات أساسية

مثلث قائم الزاوية .

مثلث حاد الزوايا.

مثلث منفرج الزاوية.

شكل (٣)شكل (٢)شكل (١)cب منفرجةcب حادةcب قائمة

C ب متساوى فى األشكال الثالثة. ’CG ßM¿: طول

طول ب جـ متساوى أيضا فى األشكال الثالثة.

C جـ تبعا الختالف نوع الزاوية المقابلة له؟ هل يختلف طول

أكمل بكتابة العالمة المناسبة > أو = أو <

فى شكل (١) ∵ X (cب ) = ٩٠° ∴(C ب)٢ + (ب جـ)٢ .......... (C جـ)٢

فى شكل (٢) ∵ X (cب ) < ٩٠° ∴ (C ب)٢ + (ب جـ)٢ .......... (C جـ)٢

فى شكل (٣) ∵ X (cب ) > ٩٠° ∴ (C ب)٢ + (ب جـ)٢ .......... (C جـ)٢

متى يكون X (cب ) = ٩٠°؟

تحديد نوع المثلث بالنسبة لزواياه متى علمت أطوال أضالعه الثالثة:

طولى مربعى مجموع و للمثلث األكبر الضلع طول مربع بين نقارن

الضلعين األخرين:

ر وناقش فك

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١١٠

الوحدة السادسة

الدرسالرابع

å∏ãªdG ´ƒf ≈∏Y ±ô©àdG√ÉjGhõd áÑ°ùædÉH

أوال: إذا كان:الضلعين طولى مربعى مجموع يساوى األكبر الضلع طول مربع

اآلخرين فإن المثلث قائم الزاوية.

(C جـ)٢ = ( C ب)٢ + (ب جـ)٢ فى △ C ب جـ:

∴ c ب قائمة

ثانيا: إذا كان:مربع طول الضلع األكبر > مجموع مربعى طولى الضلعين اآلخرين

فإن المثلث يكون منفرج الزاوية.

(C جـ)٢ > ( C ب)٢ + (ب جـ)٢ فى △ C ب جـ:

∴ cب منفرجة

ثالثا: إذا كان:مربع طول الضلع األكبر < مجموع مربعى طولى الضلعين اآلخرين فإن

المثلث يكون حاد الزوايا.

(C جـ)٢ < ( C ب)٢ + (ب جـ)٢ فى △ C ب جـ:

∴ cب حادة والمثلث حاد الزوايا. لماذا؟

مثال

حدد نوع الزاوية التى لها أكبر قياس فى المثلث C ب جـ ، حيث:C ب = ٨سم ، ب جـ = ١٠سم ، جـ C = ٧سم

وما نوع هذا المثلث بالنسبة لزواياه؟

الحل

∵ أكبر زوايا المثلث قياسا تقابل أكبر األضالع طوال.∴ Cc هى أكبر زوايا المثلث C ب جـ فى القياس ألنها تقابل الضلع ب جـ

(ب جـ)٢ = (١٠)٢ = ١٠٠

إذا كان: أوال:الضلعين طولى مربعى مجموع يساوى األكبر الضلع طول مربع

اآلخرين فإن المثلث قائم الزاوية.

١١١ الفصل الدراسى الثانى

(٧)٢ + (٨)٢ = (C ب)٢ + (C جـ)٢ ٤٩ = ١١٣ + ٦٤ =

∴C c حادة ∵ (ب جـ)٢ < (C ب)٢ + (C جـ)٢

∵ C c هى أكبر زوايا المثلث

∴ △ C ب جـ حاد الزوايا.

تمارين (٦ - ٤)حدد نوع الزاوية C (حادة أو قائمة أو منفرجة) فى△ C ب جـ إذا كان:

C جـ = ٦سم ب جـ = ١٠سم C ب = ٨سم أ

C جـ = ٧سم ب جـ = ١٣سم C ب = ١٢سم ب

C جـ = ٥سم ب جـ = ٧سم C ب = ٣سم

تمارين عامة

حدد نوع الزاوية التى لها أكبر قياس فى C ب جـ، حيث: ١

C ب = ٩ ، ب جـ = ١٠ ، C جـ = ١٢ أ

C ب = ٥ ، ب جـ = ١٢ ، C جـ = ١٣ ب

C ب = ٧ ، ب جـ = ١٦ ، C جـ = ١٤

وبين نوع المثلث بالنسبة لزواياه.

فى الشكل المقابل: ٢

C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = ٨سم، ب جـ = ٩سم، C ب E ب = جـ E = ١٢سم، E C = ١٧سم،

E ب E C على أوجد طول مسقط أ

بين نوع △ ب جـ E بالنسبة لزواياه. ب

٩سم

١٧سم٨سم

١٢سم

(٧)٢ + جـ)٢= (٨)٢ C) + ب)٢ C)١١٣ = ٤٩ + ٦٤ =

حادة Cc∴ جـ)٢ C) + ب)٢ C) > ∵ (ب جـ)٢

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١١٢

فى الشكل المقابل: ٣

C ب جـ E متوازى أضالع فيه

ب جـ = ١٥سم، جـ E = ٨سم، C جـ = ١٩ سم

أثبت أن:C c ب جـ منفرجة.

E C =ب جـ فى المثلث C ب جـ: (C ب)٢ > (C جـ)٢ + (ب جـ)٢، C ب = ١٥سم، C جـ = ١٣سم، رسم ٤

يقطعه فى E وكان E C = ١٢ سم، أوجد طول ب جـ

فى الشكل المقابل: ٥

١٦سم، = ب C فيه مستطيل E جـ ب C بحيث . E جـ ∋ هـ ، ٢٤سم = جـ ب

هـ و ب △ نــوع بين E هـ = ٩سم، بالنسبة لزواياه.

فى الشكل المقابل: ٦

فى △ C ب جـ: X (c ب C جـ ) = ٩٠°،

E C = ب جـ ، C ب = ٨سم، C جـ = ٦سم

E C ،E جـ ،E أوجد كال من ب

C ب جـ E مستطيل فيه C ب = ٣٠ سم، E C = ٤٠سم ٦

C جـ فى و، يقطعب جـ فى هـ C جـ يقطع E هـ =

، هـ جـ E و ، C و أوجد طول كل من

سم١٩

١٥سم

٨سم

١٦سم

٢٤سم

٩سم

فى الشكل المقابل: ٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣٣

ب جـ E متوازى أضالع فيه Cجـ = ١٩ سم C ٨سم، = E ١٥سم، جـ ب جـ =

سم١٩

١١٣ الفصل الدراسى الثانى

áeÉY øjQɪJ á°SOÉ°ùdG IóMƒdG

ملف ا=نجاز

فى الشكل المقابل:

C ب = ب جـ = جـ E = E هـ = هـ و = ١ سم، م و = ٣سم

أوجد:

هـ م و م على طول مسقط أ

C م ب م على طول مسقط ب

١سم

٣سم

اختبار الوحدة

فى الشكل المقابل: ١

C ب جـ E شبه منحرف فيه

E = E C جـ ، C ب // E جـ ،

E C = ١٢سم، ب جـ = ١٣سم،

ب هـ = E جـ E جـ =٣٣٫٨سم،

أوال : أوجد

E ب طول ب C ب طول كل من جـ هـ ، أ

E ب جـ C مساحة شبه المنحرف د C ب طول مسقط E جـ على

ثانيا: أثبت أن: X (E c ب جـ) = ٩٠°

فى الشكل المقابل ٢

،C ب جـ مثلث قائم الزاوية فى C

E C = ب جـ ، ب E = ١٦سم ، E جـ = ٩سم

E C ، C جـ C ب ، أوجد طول كل من

واحسب مساحة المثلث C ب جـ

١٢ سم

١٣ سم

٣٣٫٨ سم

٩ سم١٦ سم

ملف ا=نجاز

لل: ققاا االل االلششككلل ف

١١١١سسسممم

الرياضيات - الصف الثانى اإلعدادى١١٤

اختبار (١)أوال: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات التى بين القوسين أمام كل عبارة: ١

(٣٤ ٢٥ أو ٣٢ أو (٢٣ أو ميل المستقيم المار بالنقطتين (١، ٠)، (٤، ٢) = ............ أ

(٤ أو ٨ أو -٨ أو ٢) إذا كان س٢ - ص٢ = ١٦، ص - س = ٢ فإن س + ص = ............. ب

(٣٦ أو ٩ أو ٣ أو ١٢) المقدار س٢ - ٦ س + ك يكون مربعا كامال عندما ك = .............

(١٥ أو ٣٥ أو ٢٠ أو ٥) إذا كان (س + ص)٢ = ٢٥ وكان س ص = ٥ فإن س٢ + ص٢ = ........ د

ثانيا: احسب محيط مثلث قائم الزاوية طوال ضلعى القائمة ٥س + ٣ ، س + ٥ من السنتمترات و مساحته ٢٤سم٢

أوال: حلل كال من المقادير اآلتية: ٢

٨ ٣C - ٣٤٣ ب٦ ب س٢ + ٧س - ٣٠ أ ٤س٤ + ٦٢٥ص٤ د (م -ن) + ٢ س ( م - ن) + س٢ ( م - ن)

مكتبة كتب يقرأون االستبيان فى المشتركة بالمدرسة تلميذ ١٠٠ من ٥٣ أن تبين رأى استطالع دراسة ثانيا: فى

األسرة، فإذا كان عدد تالميذ المدراسة ٤٠٠ تلميذ فكم عدد التالميذ الذين ال يقرأون هذه الكتب؟

أوال: أكمل لتحصل على عبارة صحيحة: ٣

مساحة المعين الذى طوال قطريه ٢٤سم، ١٠سم تساوى ............... أ

صورة النقطة (٣، -٥) باالنعكاس فى نقطة األصل هى ............... ب

إذا كانت قياسات الزوايا المتناظرة فى مثلثين متساوية كان المثلثان............... متوازى األضالع الذى طوال ضلعيه ٥ سم ، ٧ سم واالرتفاع األصغر ٤ سم تكون مساحته = .........سم٢ د

ثانيا: فى الشكل المقابل:

= {م} E ب C جـ ∩ ، ب جـ // E C

مساحة المثلث م Eهـ = مساحة المثلث C م ب E منتصفهـ جـ . اثبت أن:

فى الشكل المقابل: أوال: ٤

، C ب = ٦سم، هـ E = ٣سم، C جـ E هـ = المثلث C ب جـ قائم الزاوية فى ب،

C جـ ب △ ~ E ٥سم، أثبت أن: △ جـ هـ = E جـ

C جـ C ب على C جـ ثم أوجد طول مسقط وأوجد طول

ثانيا: فى المستوى اإلحداثى المتعامد، ارسم المثلث C ب جـ حيث C (٢، ٣)، ب (٢، ٠)، جـ(-٢، ٠) ارسم صورة المثلث C ب جـ بدوران قياس زاويته ٩٠ حول جـ،

هل المثلثان C ب جـ، متشابهان؟

٥سم

٦سم

سم٣

اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات التى بين القوسين أمام كل عبارة:اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات التى بين القوسين أمام كل عبارة: أوال: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١

٣ ٢ ٢

١١٥ الفصل الدراسى الثانى

äGQÉÑàNG ≈fÉãdG ≈°SGQódG π°üØdG

اختبار (٢)أكمل لتحصل على عبارة صحيحة: ١

........... = C س + ٢٥ مربعا كامال عندما C - س٢ أ

مجموعة حل المعادلة س (س - ٣) = ٥س فى ح هى ........... ب

إذا كان س٣ - ك٣ = (س - ك) (س٢ + ٤س + ك٢) فإن ك = ...........

ميل أى مستقيم يوازى محور السينات = ........................ د

ثانيا: إذا كان احتمال فوز إحد النوادى فى مباريات الدورى العام ٠٫٦ واحتمال تعادله ٠٫٣، فإذا كان عدد المباريات ثانيا: التى سوف يلعبها ٣٠ مبارة، كم عدد المباريات التى تتوقع أن يفوز بها ؟ وكم عدد مرات هزيمته المتوقعة؟

أوال: حلل كال من المقادير اآلتية: ٢

د س٤ + ٤ص٤ ب س٣ - ٢٥ س ٢ س٢ - ٥س - ١٢ ٢ - ٩C + C٣ - ٩C أ

ثانيا: الشكل المقابل يمثل حركة دراجة مقيسة من نقطة

ثابتة أوجد السرعة المنتظمة للدراجة.

ب خالل الساعات األربع التالية. خالل الساعات الثالث األولى. أ

أوجد المسافة الكلية التى تحركتها الدراجة.

أوال: اختر االجابة الصحيحة من بين اإلجابات بين القوسين أمام كل عبارة: ٣

((١، ١) أو (٥، -٣) أو (١ ، -١) أو (-٣، ٥)) صورة النقطة (-٢، ١) باالنتقال (٣ ، -٢) هى ....... أ

(E C جـ E أو ب جـ أو (C ب أو ب جـ هو ....... E C على C ب جـ E مربع ، مسقط ب

(١٦٨ أو ٨٤ أو ١٧٥ أو ٣٠٠) المثلث الذى أطوال أضالعه ٧، ٢٤، ٢٥سم تكون مساحته ....سم٢

مساحة شبه المنحرف الذى طوال قاعدتيه المتوازيين ٨، ١٠سم وارتفاعه ٥سم تساوى = ...........سم٢ د

(٩٠ أو ٤٥ أو ٤٠ أو ٥٠)

ثانيا: فى الشكل المقابل:

C ب جـ E متوازى أضالع، مساحة △ C ب س = مساحة △ E م جـ

C ب // م س أثبت أن:

أوال: فى نظام إحداثى متعامد، ارسم المثلث C ب جـ الذى فيه C (١، ٢)، ب (٥، ١)، جـ(٣، ٢) ثم أوجد صورته بدوران ٤

مركزه و، وقياس زاويته (-٩٠°).

ثانيا: فى الشكل المقابل:

°٩٠ = (C c) X ،١٦سم = E C ،جـ = ١٥سم E ،ب = ١٢ سم ، ب جـ = ٢٥سم C

.E ب جـ C ٩٠°. ثم أوجد مساحة الشكل = (جـ E ب c) X :أثبت أن

١

١٠٢٠٣٠٤٠٥٠٦٠

٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ الزمن (ساعة)٨

المسافة (كم)

١٢سم

١٥سم

١٦سم

٢٥سم

أكمل لتحصل على عبارة صحيحة: ١١١١١١١١١١١١١١١١١١

الرياضيات - الصف الثانى االعدادى١١٦

اختبار (٣)

أوال: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات بين القوسين أمام كل عبارة: ١

(٢ أو ٤ أو ٦ أو -٢٠) إذا كان ميل المستقيم المار بالنقطتين (٣، جـ) ، (٥، -٢) يساوى -٣ فإن جـ = ........... أ

(٢ أو ٤ أو ٩ أو ١٦) ........... = C س٢ - ٤٠س + ٢٥ يكون مربعا كامال عندما C المقدار ب

(٢ أو ٧ أو ١٤ أو -٢) إذا كان س٣ - ص٣ = ١٤ ، س٢ + س ص + ص٢ = ٧ فإن س - ص = ...........

ثانيا: حلل كال من المقادير اآلتية:

د س٤ + ٩س٢ + ١٨ ب س٦ - ٦٤ س٢ - ٤س - ٣(س - ٢) ٥س٢ - ٤ س - ١٢ أ

٣٤ سعة أوال: مأل حازم خزان سيارته بالوقود وسعته ٤٠ لترا وبعد أن تحرك ١٢٠كم وجد أن المؤشر يوضح أن المتبقى ٢

الخزان، ارسم الشكل الذى يوضح العالقة الخطية التى تربط بين كمية الوقود بالخزان والمسافة التى تقطعها

السيارة، ومن الرسم احسب المسافة التى تقطعها السيارة حتى يفرغ الخزان.

ثانيا: مستطيل طوله يزيد عن عرضه ٧٫٥سم فإذا كانت مساحته ٤٦سم٢ فأوجد محيطه.

ثالثا: تقوم شركة تأمين سيارات بدفع مبلغ ٢٠٠٠ جنيه تعويضا للسيارات التى تتعرض لحادث، فإذا كان احتمال

من الشركة تتحمله لما توقعك فما مشترك، ٧٠٠٠ الوثيقة هذه فى المشتركين عدد وكان ٠٫٠٠٤ السيارة إصابة

تعويضات.

أوال: أكمل لتحصل على عبارة صحيحة: ٣

يتشابه المثلثان إذا كانت ........................ المتناظرة متناسبة. أ

صورة النقطة (٣، -٧) بالدوران حول و بزاويه قياسها ٩٠° هى ........................ ب

المثلثان المرسومان على قاعدة واحدة ورأسيها على مستقيم يوازى القاعدة ........................

فى ضلع أكبر طول أوجد سم ٨ ،٦ ،٤٫٥ اآلخر أضالع وأطوال ٧٤سم، أحدهما محيط متشابهان ثانيا: مثلثان

المثلث األول.

ب جـ // E C ١٢ م ب ، أثبت أن: ١٢ م جـ، E م = ثالثا: فى الشكل المقابل: C م =

أ ارسم المثلث C ب جـ الذى فيه C (-١، ٢)، ب (٢، ٤)، جـ(٠، ٦) ثم ارسم صورته باالنتقال (١، -٣). ٤

C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = ٨سم ، ب جـ = ٩سم، جـ E = ١٢سم ، CE = ١٧سم فإذا كانت: ب

ب E وحدد نوع المثلث ب جـ E بالنسبة لقياسات زواياه. E C على X (C c ب E) = ٩٠° أوجد طول مسقط

١١٧ الفصل الدراسى الثانى

äGQÉÑàNG ≈fÉãdG ≈°SGQódG π°üØdG

الرياضيات - الصف الثانى االعدادى١١٨

إجابات بعض التمارين

إجابات التمارين (١ - ١):

(١) (٣س - ٢) (س + ٣) أوال:

(٢) (٢ س – ٣) (س + ٢)

(٣) (٥س – ٧) (س + ١)

(٤) (٢ س – ٥) (٣ س + ٢)

(٥) (٣س + ٤) (س + ٢)

إجابات التمارين (١ - ٢)

(١) ( أ ) ٤ س٢ ± ٤س + ١

(ب) C ٢ – ٦ C ب + ٩

(جـ) ص٤ – ١٨ ص٢ + ٨١١ ص٢

٤١ س ص +

٥١ س٢ ±

٢٥ ( د )

(هـ) ٢٥ م٢ + ٢٠ م ن + ٤ ن٢ ( و ) ع٤ ± ١٤ ع٢ ل + ٤٩ ل٢

إجابات التمارين (١ - ٣)

(١) ( أ ) (س + ٢) (س – ٢)

(ب) (٣ + ص) (٣ – ص)

(جـ) (٥ – ٣ س) (٥ + ٣س)

( د ) ٢ (٢ س + ٥) (٢س – ٥)

إجابات التمارين (١ - ٤)

– (س + ٢) (س٢ – ٢س + ٤) (٢) ( أ )

(م + ٤ ن) (م٢ – ٤ م ن + ١٦ ن٢) (ب)

(جـ) (س – ٩) (س٢ + ٩س + ٨١)

إجابات التمارين (١ - ٥):

(C س+ C ص) + (ب س + ب ص) (١) ( أ )

= C (س + ص) + ب(س + ص)

= (س + ص) (C + ب)

(٥ ل - C ل) - (١٠ م - ٢ C م) (ب)

= ل (٥ - C) - ٢م (٥ - C) = (٥ - C) (ل - ٢ م)

إجابات التمارين (١ - ٧)

مجموعة الحل = {٣، ٥} (١) ( أ )

( و ) مجموعة الحل = { ٤، -١٠}

(٢) ( د ) مجموعة الحل = { ٠، ٦}

{ ٢-٣ ، ٣٢

(هـ) مجموعة الحل = {٠،

(٣) ٣، ٧ أو -٧، -٣

(٤) ٢٠ متر، ٢٥ متر

إجابات تمارين عامة (ص ٢٤)

(٣) ( أ ) جـ = ٢ (ب) جـ = ٨

(جـ) جـ = ٣٠ ( د ) جـ = ٢

(هـ) جـ  = ٢ ( و ) جـ  = ٦

إجابات األختبار (ص ٢٦)

(١) ( أ ) ± ٢٠ س ص (ب) س - ص = ٢

٩ = C ( د ) (جـ) س ٢ + ص٢ = ١٥

(هـ) ك = -١٩

إجابات التمارين (٢ - ٢)

(٢) العالقة هى ٥س + ٢٠ص = ٦٥ االمكانات هى:

فئة ورقات وثالث جنيهات خمسة فئة ورقة أى (٣ ،١)

٢٠ جنيها.

وورقتين جنيهات، خمسة فئة ورقات خمس أى (٢ ،٥)

٢٠ جنيها.

واحدة وورقة جنيهات الخمسة فئة ورقات تسع أى (١ ،٩)

فئة العشرين جنيها.

إجابات األختبار (ص ٣٨)

(١) ( أ ) (١، ٣) (ب) ص = ٣ س +١ (جـ) - ٣ ( د ) (٠، ٣)

إجابات التمارين العامة (ص ٤٦)

(١) يختار المدرب الالعب األول ألن: احتمال تسديد الالعب األول

٪١٢١٥ = ٠٫٨ = ٨٠ لهدف من ركلة جزاء =

اما احتمال تسديد الالعب الثانى لهدف من ركلة جزاء =

٪٠٫٧٥ = ٧٥ ٣٤ = ٩١٢

٦١٠٠

(٢) ( أ ) عدد الوحدات التالفة = ٢٠٠ *

= ١٢ آلة حاسبة.

(ب) عدد اآللة الحاسبة الصالحة للتوزيع.

= ١٦٠٠ * ٩٤١٠٠ = ١٥٠٤ الة حاسبة

إجابات التمارين (ص ٨٧)

١ * ١٠ * ٨ = ٤٠ سم٢٢

(١) أوال: مساحة △ C ب جـ =

ب هـ ثانيا: إليجاد طول

١٢ * ١٠ * ٨ ١٢ * ١٦ * ب هـ = فإن:

٨ ب هـ = ٤٠

ب هـ = ٥سم

إجابات التمارين (ص ٩٤)

(٢) مساحة△ و ب جـ

(١) E ب جـ C ١٢ مساحة =

(٢) E ب جـ C ١٢ مساحة مساحة△ و هـ ب =

بجمع (١)، (٢)

مساحة△ و هـ جـ = مساحة C ب جـ E (وهو المطلوب)

إجابات التمارين العامة (ص ١٠٠)(١) أوال: مساحة الشكل C ب هـ د = ١٢ * ٢٤ = ٢٨٨سم٢

ثانيا: ٢٨٨ = C د * ع

٢٨٨ = ٣٠ * ع

٢٨٨ = ٩٫٦سم٣٠

ع =

إجابات إختبار الوحدة (ص ١٠٢)(ب) متساويان فى الطول (جـ) ٤٢ سم٢ ٢٤سم٢ (١) ( أ )

متساوية فى المساحة ( د )

إجابات التمارين (ص ١١١)

(١) ( أ ) ب جـ = ٣سم

١٢٥ = ٢٫٤سم = E (ب) ب

اختبار (١)

د ١٥ ب - ٨ ٩ ٢٣أ أوال: ١

ثانيا: س = ١ ، المحيط = ٢٤سم

أ ( س - ٣) ( س + ١٠) ٢ أوال:

ب (C٢- ٧ب٢) (٤ ٢C + ١٤ C ب٢ + ٤٩ب٤) ( م - ن) (١ + س)٢

د (٢ س٢ - ١٠س ص + ٢٥ ص٢) (٢ س٢ + ١٠ س ص + ٢٥ ص٢)

ثانيا : ١٨٨

ب (-٣، ٥) أ ١٢٠ سم ٣ أوال : د ٢٨سم٢ متشابهان

٤ أوال:

△C ب جـ ، E هـ جـ متشابهانألن c جـ مشتركة، X (C c ب جـ) =X (E c هـ جـ)

ب جـه جـ

= C جـE جـ =

C بE ه ∴

ب جـ٤

= C جـ٥

= ٦٣

∴ C جـ = ١٠سم، ب جـ = ٨سم

اختبار (٢)د صفر ب {٠، ٨} ك = ٢ أ ± ١٠ ١ أوال

ثانيا: الفوز = ١٨ مباراة

الهزيمة = ٣ مباريات

(٣ + C) (٣- C) (١ + C ) أ ٢ أوال :

ب س ( س - ٥) ( س + ٥)

( ٢ س + ٣) ( س -٤)

د ( س٢ - ٢ س ص + ٢ ص٢) (س٢ + ٢ س ص + ٢ ص٢)

٤٠٣ كم/س أ ع = ثانيا:

٦٠٤ = ١٥ كم /س ب ع = -

ف = ٤٠ +٦٠ = ١٠٠كم

د ٤٥ ب جـ ٨٤ ب أ ( ١، -١) ٣ أوال :

(٢، -٣ ) ـ C = ( ٢، -١)، ب = (١، -٥)، ج ٤ أوال :

ثانيا : ب E = ٢٠سم، ( ب جـ)٢ = ٦٢٥

٢ = ٢٢٥ + ٤٠٠ = ٦٢٥(E ب) + ٢(E جـ)

∴ c ب E جـ قائمة E مساحة△ ب جـ + E ب C △مساحة الشكل = مساحة

= ٩٦ + ١٥٠ = ٢٤٦سم٢

اختبار (٣)

ب أ = ١٦ س - ص = ٢ أ جـ = ٤ ١ أوال :

أ ( ٥س + ٤) ( س - ٣) ثانيا:

ب ( س٣ - ٨) ( س٣ + ٨)

= ( س - ٢) (س٢ + ٢س +٤) ( س + ٢) ( س٢ - ٢س +٤)

س٢ - ٤س - ٣ س + ٦

= س٢ - ٧س + ٦

= ( س- ٦) ( س -١)

د ( س٢ +٣) ( س٢ + ٦)

٢ ثانيا : المحيط = ٣١ سم

* ٧٠٠٠ = ٢٨ سيارة ٤١٠٠٠ : عدد السيارات التى يحتمل أن تتعرض لحادثة = ثالثا

ما تتحمله الشركة من تعويضات = ٢٠٠٠ * ٢٨ = ٥٦٠٠٠ جنيها

ب (٧، ٣) متساويان فى المساحة أ أطوال اضالعها ٣ أوال:

ثانيا : ٣٢ سم

١٢ م جـ ثالثا: ∵ C م =

∴مساحة△ C ب م =١٢ مساحة△ جـ ب م (مشتركان فى الرأس ب) (١)

∵د م =١٢ م ب

∴مساحة△ E م جـ =١٢ مساحة△ ب م جـ (٢) (مشتركان فى الرأس جـ)

من (١) ، (٢) ينتج أن:

مساحة△ C م ب = مساحة△ E م جـ

باضافة△ C م E لكل منهما ينتج أن:

مساحة△ C د ب = مساحة△ C د جـ

ب جـ // E C ∴

ب ب E = ١٥سم، قائم الزاوية فى جـ ٤