eii-405 investigación de operaciones 1 resolución gráfica de ppl cuando el problema se transforma...

Resolucin Grfica de PPLCuando el problema se transforma en un modelo matemtico con 2 (o 3) variables de decisin, entonces es posible resolver grficamente el problema.

EII-405 Investigacin de operaciones

Mtodo grficoGraficar la regin de soluciones factibles.Obtener los puntos extremos de la regin de soluciones factibles.Evaluar dichos puntos en la F.O. El ptimo estar en aquel punto que entregue una solucin mayor o menor, segn corresponda.


EjemploDado el siguiente problema:MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1 4 2 x2 123 x1 + 2 x2 18

x1 , x2 0


EjemploSe dibuja la regin de puntos factibles. Para ello se grafican las restricciones. 624642x1x2 x2 = 6x1 = 43 x1 + 2 x2 = 18Regin Factible


EjemploDeterminada la regin factible, se evalan los puntos factibles en la F.O. y el de mejor valor es el punto ptimo.

Pto.Z(0,0)0(0,6)30(2,6)36(4,3)27(4,0)12


EjemploOtra forma posible, que evita tener que evaluar todos los punto es calculando el gradiente de la F.O y trazando sus curvas de nivel.


EjemploCon la regin de puntos factibles dibujada, se trazan las curvas de nivel de la F.O.


ImportanteCada vez que el dominio (o regin factible) sea cerrado y acotado, el problema tiene solucin.De existir una solucin, siempre se encontrar en un vrtice.Cuando se est minimizando, las curvas de nivel se desplazan en un sentido contrario al gradiente.


Mltibles solucionesSupongamos el siguiente ejemplo:MAX Z = 6 x1 + 4 x2 s.a. x1 4 2 x2 123 x1 + 2 x2 18 x1 , x2 0


Mltiples solucionesEn este caso, al trazar las curvas de nivel vemos que son paralelas a una de las restricciones. Es decir, la pendiente de la F.O. es igual a la de una restriccin.624642x1x23 x1 + 2 x2 = 183 x1 + 2 x2 = kZ=(6,4)Mltiples soluciones ptimas.


Regin no acotadaSupongamos este otro ejemplo:MAX Z = 5 x1 + 12 x2 s.a. x1 52 x1 - x2 2 x1 , x2 0


Regin no acotadaEn este caso, al trazar las curvas de nivel vemos que pueden crecer infinitamente en la direccin de la gradiente. Por lo que la regin factible (o dominio), no es acotada.15642x1x2Z=(5,12)


Regin infactibleDado el ejemplo:MAX Z = 3 x1 + 5 x2 s.a. x1 5 x2 43 x1 + 2 x2 18 x1 , x2 0


Regin infactiblePuede ser que la interseccin de todas las restricciones de vaca. En este caso no existe regin factible y el problema es infactible.54x1x2


Anlisis de sensibilidadResponde a las siguientes preguntas:

En qu intervalo puedo variar los coeficientes de la F.O. sin que cambie la actual solucin ptima?

Cunto vara el ptimo si se cambia el parmetro del lado derecho (bi) de una restriccin ?

Qu recurso tiene mayor impacto en la F.O. y en el valor ptimo?


Anlisis de sensibilidadRetomando el problema de las sillas y mesas:

Sea: x1: N de sillas elaboradas.x2: N de mesas elaboradas.

Mx Z = 15 x1 + 20 x2 s.a. x1 + 2 x2 6 2 x1 + 2 x2 8x1 , x2 0


Anlisis de sensibilidadTrazando las curvas de nivel, se obtiene el punto (2,2) con z*=70.Z=(15,20)


Variacin de los CiSe analizan las pendientes de las restricciones activas y la de la F.O.Entonces, el actual vrtice (2,2) seguir siendo la solucin ptima mientras:-1 - c1 /c2 -1/2

con c2 c1 2 c1 c2

- c1 /c2-1-1/2


Variacin de los CiTambin se puede estudiar el intervalo de variacin de un solo coeficiente, dejando el resto de los parmetros fijos:Para c1, el vrtice x1*=2 y x2*=2 sigue siendo ptimo si:-1 - c1 /20 -1/2 c1 20 y c1 10 10 c1 20

Y para c2, ocurre lo mismo si:-1 - 15/c2 -1/2 c2 15 y c2 30 10 c2 20


Variacin de los biEn este caso interesa hallar la mnima y mxima variacin del bi que conserve la actual geometra del problema, es decir, que conserve las actuales restricciones activas. De esta manera, la solucin ptima cambia, pero se obtiene a partir de las mismas restricciones activas.En el ejemplo, para la 1 restriccin: x1 + 2 x2 = b1, la mayor variacin se obtiene en b1=8, en tanto que la menor se obtiene en b1=4.


Variacin de los biEntonces es posible calcular la tasa de cambio de la F.O. al variar bi:

Lo anterior significa que que si dispongo de 1 unidad ms del recurso, entonces la utilidad va aumentar en 5 unidades. Lo anterior es vlido dentro del rango, porque fuera de l las restricciones activas cambian.


Variacin de los biLa tasa de cambio es una para cada restriccin. Tambin se le llama Precio sombra pues representa el valor mximo que estoy dispuesto a pagar por una unidad de ese recurso.

Con los precios sombra se puede ver cul recurso es el que ms afecta a la F.O. Toda restriccin que no est activa tiene precio sombra cero.


Variacin de los biSiguiendo con el ejemplo, para la 2 restriccin: 2 x1 + 2 x2 = b2 , la mayor variacin se obtiene en =12, en tanto que la menor se obtiene en =6.


Variacin de los biEn este ejemplo ambos recursos presentan igual tasa de cambio, o precio sombra, por lo que cualquiera aporta el mismo beneficio a la F.O. Entonces la eleccin depende de los precios de compra de cada recurso. Elijo el ms barato.

En general, si se dispone de dinero, se elige el recurso que entregue mayor tasa de cambio, descontado el precio de compra del recurso.


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