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Einführung in Moderne Portfolio-Theorie
Dr. Thorsten OestOktober 2002
2© 2002 d-fine All rights reserved.12. Juli 2002
Portfolio-Theorie
Einleitung
Überblick
Grundlegende Frage bei Investitionen:
Wie bestimmt sich eine optimale Strategie für eine Geldanlage?
1. Rendite und Risiko
2. Diversifikation
3. Einführung in Moderne Portfolio-Theorie – „Portfolio Selection“ , Harry Markowitz (1959)
– Harry Markowitz, Merton Miller und William Sharpe: Nobelpreis 1990
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Portfolio-Theorie
Grundbegriffe
Grundbegriffe
• Die Qualität einer Investition wird über die Rendite und das Risikogemessen.
• Rendite:Prozentualer Wertzuwachs pro Jahr
• Risiko:Verschiedene Ansätze zum Messen des Risikos
– Varianz (wird in der Regel verwendet)
– Höhere Momente ⇒ Absicherung gegen hohe Verluste
– Lower partial Moment ⇒ Post-Moderne Portfolio-Theorie
• Bei einem Portfolio sollte die Rendite maximal und das Risiko minimal sein.
)()()()( 1
i
iii tS
tStStR −= +
[ ]22ttt RR −=σ
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Portfolio-Theorie
Grundbegriffe
Beispiele für Geldanlagen
≈ 20 %≈ 6 - 13 %Aktien (DAX)≈ 0 %≈ 4 %Festgeld (AAA)RisikoRenditeAsset
• Je höher das Risiko, desto höher wird die Rendite erwartet.
• Preis des Risikos: λ = (Rendite – risikolose Zinsrate) / Risiko– skaliert mit
– Für Aktien schwer zu schätzen, da Rendite große Fehler hat. Mit Rendite über Zinsenrate von 2-9 % ⇒ λ ≈ 2-9 % / 20 % = 0.1 –0.45
t∆
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Portfolio-Theorie
Grundbegriffe
Zeitentwicklung Return / Risk
λ = 0.5
λ = 0.4
λ = 0.3
λ = 0.1
λ = 0.2
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Portfolio-Theorie
Diversifikation
Diversifikation
505050
Preis
30 %13 % Aktie 320 %10 %Aktie 210 %7 %Aktie 1RisikoRenditeAsset
• Annahme: Preise sind nicht korreliert
• Portfolio aus je einer der drei Aktien:– Rendite: R = (R1 + R2 + R3) / 3 = 10 %
– Risiko:
⇒ Diversifikation reduziert das Risiko, sofern Korrelationen ≠ 1
% 5.1231 2
322
21 ≈++⋅= σσσσ
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-TheorieAnnahmen:
– Preisänderungen (Renditen) sind normalverteilt.– Kovarianzmatrix und Rendite sind zeitunabhängig und bekannt.
ProblemstellungGesucht wird das optimale Portfolio für eine Geldanlage:– Bei vorgegebenem Risiko ist die Rendite maximal.– Bei vorgegebener Rendite ist das Risiko minimal.
Weiteres Vorgehen:1. Rendite und Volatilität des Portfolios.2. Beispiel für zwei Aktien3. Lösung des Problems für n Aktien.4. Berücksichtigung einer risikolosen Anlage (Renten).
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Rendite und Volatilität des Portfolios
• Preise seinen auf normiert (keine Einschränkung der Allgemeinheit).
• Investition von 1 Währungseinheit in n Aktien mit Anteil λ i.
Normierung: Wert des Portfolios:
Rendite:
11
=∑=
n
iiλ
[ ]
∑
∑
=
=Π
⋅=
−∆+⋅=−∆+Π=Π
Π−∆+Π=n
iii
n
iii
R
ttSttt
tttR
1
11)(
11)(
)()()(
λ
λ
1)( =tSi
∑=
⋅=Πn
iii S
1)()( τλτ
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
∑=
Π ⋅=n
iii RR
1λVolatilität des Portfolios
Falls Volatilität klein, ist σlog-Return ≈ σReturn:
Volatilität der Gesamtrendite:
Kovarianzmatrix:
Korrelationsmatrix:
RSSSS StSσσσ
µσ =⋅≈⋅
∆⋅+≈ ∆
00/ln
110
∑∑∑==
Π
=
Π ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∂∂⋅⋅
∂∂=
n
jiijijii
n
jijiji
j
n
jiij
iR R
RRR
1,1,1,
2 σλρσλλσλσσ
( ) ( )jjiiij RRRR −⋅−=σ
( ) ( )( ) ( )22
jjii
jjiiij
RRRR
RRRR
−⋅−
−⋅−=ρ
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Rendite / Volatilität für zwei Aktien
Return:
Volatilität der Gesamtrendite:
100 % korreliert:
100 % antikorreliert:
2211 RRR ⋅+⋅= λλ
22
22122211
21
21
2
1,
2 2 σλρσλσλσλσλρσλσ ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅⋅= ∑=ji
ijijiiR
( )22211
21, σλσλσ ρ ⋅+⋅==R
( )22211
21, σλσλσ ρ ⋅−⋅=−=R
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Rendite / Volatilität für zwei Aktien
ρ = 1ρ = 0ρ = -1
Bei 100 % Antikorrelation kann ein risikofreies Portfolio gebildet werden.
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Rendite / Volatilität für drei AktienDrei unkorrelierte Aktien:
1. Kombiniere 2 Aktien wie eben gezeigt.
2. Kombiniere die 3. Aktie mit den möglichen Portfolien der ersten beiden Aktien.
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Rendite / Volatilität für n Aktien
Beispiel mit 6 Aktien:
Korrelationsmatrix:
VolatilitätRen
25 %20 %18 %13 %15 %10 %13 %12 %9 %10 %7 %5 %dite
654321
10.70.30.10.20.46
0.710.30.20.40.15
0.30.310.30.40.34
0.10.20.310.4-0.13
0.20.40.4010.52
0.40.10.3-0.10.511
654321ρij
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Moderne Portfolio-Theorie
Rendite / Volatilität für n Aktien
Minimiere Volatilität bei fester Rendite ⇒ Effizienzlinie
Effizienzlinie
Bereich möglicher Portfolien
λ i < 0 erlaubt⇒ Leerverkäufe
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Moderne Portfolio-Theorie
Ermittlung der EffizienzlinieBestimme λ i durch Minimierung der Volatilität
unter den Nebenbedingungen:
Methode der Lagrange-Multiplikatoren:
gesucht: λ i, α und β
min1,
2 =⋅⋅=⋅⋅= ∑=
λσλλσλσrr
ijT
n
jijijiR
λλrv
⋅==∑=
111
n
ii RRR
n
iii
rr⋅=⋅=∑
=Π λλ
1
( ) ( ) min11 =⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅= Π
rrrrrrλβλαλσλ RRL ij
T
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
( ) ( ) min11 =⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅= Π
rrrrrrλβλαλσλ RRL ij
T
(1) 1-R-20rrr
r ⋅⋅⋅⋅=∂∂= βαλσλ ijLAbleitung nach λ i :
Ableitung nach α, β:
(1) ⇒
(1,2) ⇒
(1,3) ⇒
(3) 110rr
⋅−=∂∂= λβL
(2) R0rr
⋅−=∂∂= Π λα
RL
( ) ( )∑ −−− ⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅⋅=j
ijjijij R 111
211R
21 σβσαβασλ
rrr
( )
( )∑
∑
⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅=
⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=
−−
−−Π
jiijjij
jiijijiji
cbR
baRRRR
,
11
,
11
211
21
βασβσα
βασβσα
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
(2) 1
=
⋅
ΠRcbba
βα
(1) 1-R-20rrr
⋅⋅⋅⋅= βαλσ ij
⋅
−
−⋅
−⋅=
⋅
=
ΠΠ−
11
1 2
1 Rabbc
bcaR
cbba
βα
(2) Auflösung nach α, β:
βασλβλαλσλ −⋅−⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ΠΠ RTTij
T 22 1-R-20rrrrrr(1) Volatilität:
( )βασ +⋅⋅=⇒ ΠΠ R21 2
( ) aRbRcbca
+⋅⋅−⋅−⋅⋅
= ΠΠΠ 22
1 2
2σEffizienzlinie ⇒
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Moderne Portfolio-Theorie
Berücksichtigung von Anleihen
Anleihen haben • feste Rendite (Zinssatz)• kein Risiko (bei guten Schuldnern).
Portfolio mit einer Aktie (R, σ) und einer Anleihe (R0, σ0):Rendite:
Volatilität:
000 )1( RRRRR ⋅−+⋅=⋅+⋅=Π λλλλ
σλσσρλλσλσλσ ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅=Π 0020
20
22 2
ΠΠΠ
Π ⋅−+=⋅
−+⋅= σ
σσσ
σσ 0
001 RRRRRR⇒
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Moderne Portfolio-Theorie
Berücksichtigung von Anleihen
KapitalmarktlinieMarktportfolio
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Moderne Portfolio-Theorie
KapitalmarktlinieMarktportfolio
tan-1 θ
Kapitalmarktlinie: Menge der optimalen Portfolien
Marktpreis des Risikos Θ: Maximales Verhältnis von (Rendite – Zinsrate) / Risiko
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Moderne Portfolio-Theorie
RRrr
⋅=Π λBestimmung des Marktportfoliosλσλσrr
⋅⋅=Π ijT
Bestimme λ i des Marktportfolios durch Maximierung von
( )
λσλ
λ
σ
λrr
⋅⋅
−⋅=
⋅−=Θ
∑∑=
Π
=Π
ijT
n
iii
n
ii RRRR
10
10
Zunächst keine Einschränkung für Σ λi , da Θ unabhängig von der Normierung ist.
( ) ( )1z 221110 0
120
rrrrrrrr ⋅−⋅=⋅Θ≡⇒⋅⋅⋅Θ⋅−⋅−⋅=
∂Θ∂= −
ΠΠΠ
RRRR ijij σλσ
λσσσλ
Θ⇒=⇒Θ=
∑∑Π
iii
i zzzrr
λσ
Nebenbedingung Σ λi = 1:
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Beispiel einer Portfolio-OptimierungBeispiel mit 6 Assets:
8.2 %
8.0 %
5.3 %
11.5 %
10.1 %
9.1 %
-
KVG-1
1.9 %
5.4 %
15.1 %
10.1 %
13.0 %
0 %
6.1 %
4 %
hist.Rendite
-39 %
-29 %
100 %
76 %
90 %
-98 %
-
-
λ i
0.66
1.28
0.57
1.05
0.78
1.31
-
-
hist.Beta
36.9 %
52.1 %
34.5 %
42.5 %
37.6 %
53.7 %
36.4 %
0 %
hist.Volatilität
26 %
-70 %
-34 %
136 %
74 %
-33 %
-
λ i
Thyssen Krupp
Siemens
Schering
Deutsche Bank
BMW
Allianz
DAX
Anleihe
Quelle: www.comdirect.deVolatilitäten, Beta-Faktoren aus der
Historie des letzen Jahres.
Rendite = historische Rendite der letzten 10 Jahre
KGV-1 = Mittelwerte der Gewinn-Kurs-Verhältnisse für 2002, 2003
Werte vom 7.10.2002
iIndexiii RR εβα +⋅+=Capital Asset Pricing Model: α: spezifische Renditeε: spezifische Schwankung
2, Indexjiiji σββσ ⋅⋅=≠⇒
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Portfolio-Optimierung mit historischen Renditen
Θ = 0.60
Allianz (-0.98)
Siemens (-0.29)
Dt. Bank (0.76)
Thyssen (-0.39)
BMW (0.9)
Schering (1.0)
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Portfolio-Theorie
Moderne Portfolio-Theorie
Portfolio-Optimierung mit Kurs-Gewinn-Verhältnis
Θ = 0.24
Allianz (-0.33)
Siemens (-0.70)
Dt. Bank (1.36)
Thyssen (0.26)
BMW (0.74)
Schering (0.34)
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Portfolio-Theorie
Zusammenfassung:
Moderne Portfolio-TheorieAnnahmen
• Preisänderungen sind normalverteilt und stationär.• Renditen, Volatilitäten und Korrelationen sind bekannt.
Portfolio-Optimierung• Für vorgegebene Rendite oder vorgegebenes Risiko gibt es ein optimales Portfolio.• Das Risiko ändert sich linear mit der Volatilität
⇒ Marktpreis des Risikos
Anwendbarkeit ist beschränkt, da die Vorhersage der zukünftigen Renditen schwierig ist.
d-fine GmbHMergenthalerallee 55
65760 Eschborn
Germany
T: +49/(0)6196/7697-0
F: +49/(0)6196/7697-19-00
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