ejemplo de secuencia didáctica
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UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA EN UN AMBIENTE INFORMÁTICO DE APRENDIZAJE PARA LICENCIADOS EN
EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS.
MIGUEL ÁNGEL MÉNDEZ HERRERA 0426343
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FÍSICA
MARZO DE 2013
UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA EN UN
AMBIENTE INFORMÁTICO DE APRENDIZAJE PARA LICENCIADOS EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS.
MIGUEL ÁNGEL MÉNDEZ HERRERA
0426343
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de Licenciado en Matemáticas y Física.
DIRECTORA MARÍA FERNANDA MEJÍA PALOMINO
MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA.
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA LICENCIATURA EN MATEMATICAS Y FÍSICA
MARZO DE 2013
Nota de Aceptación
__________________________________
__________________________________ __________________________________
__________________________________
Directora
__________________________________ María Fernanda Mejía Palomino (Mg)
Jurado
__________________________________
Octavio Augusto Pabón Ramírez (Mg)
Jurado
__________________________________
Marisol Santacruz Rodríguez (Mg)
Santiago de Cali, Marzo de 2013.
A:
Dios, por darme la oportunidad de vivir y por estar conmigo en cada paso que doy,
por fortalecer mi corazón e iluminar mi mente y por haber puesto en mi camino a
aquellas personas que han sido mi soporte y compañía durante todo el periodo de
estudio.
Mis padres por ser el pilar fundamental en todo lo que soy, en toda mi educación,
tanto académica, como de la vida, por su incondicional apoyo perfectamente
mantenido a través del tiempo.
Mi hermano, Ronald, por apoyarme siempre.
Miguel Angel
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a mis maestros.
Lic. Ligia Amparo Torres por su gran apoyo y motivación para la culminación de
mis estudios profesionales y para la elaboración de esta tesis; a la Lic. María
Fernanda Mejía Palomino por su apoyo y dirección ofrecida en este trabajo; al Lic.
Octavio Augusto Pabón Ramírez por su tiempo compartido, a la Lic. Marisol
Santacruz Rodríguez por apoyarme en su momento.
Todo este trabajo ha sido posible gracias a ellos.
Miguel Angel
CONTENIDO
RESUMEN .......................................................................................................................... 10
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 11
CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACIÓN........................ 13
1.1. Planteamiento del problema. ................................................................................... 13
1.2. Justificación ................................................................................................................ 16
1.3. Objetivos ..................................................................................................................... 20
1.3.1. General..................................................................................................................... 20
1.3.2. Objetivos específicos. ............................................................................................ 20
1.4. Antecedentes.............................................................................................................. 21
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA. ..................................................................................... 22
2.1 Enfoque Metodológico. .............................................................................................. 22
2.1.1. FASE I. Descripción del problema....................................................................... 23
2.1.2. FASE II. Diseño del instrumento: análisis a priori. ............................................ 24
2.1.3. FASE III. Ejecución del Diseño. ........................................................................... 25
2.1.4. FASE IV. Análisis a posteriori. ............................................................................. 26
CAPÍTULO 3. ASPECTOS TEÓRICOS ........................................................................ 27
3.1. Aspecto Didáctico ...................................................................................................... 27
3.2. Componente Histórico Epistemológico de las transformaciones Perspectivas
.............................................................................................................................................. 33
3.2.1. Principios de la Geometría Proyectiva................................................................ 33
3.2.1.1. La Configuración de Desargues. ...................................................................... 36
3.3. Aspecto Cognitivo...................................................................................................... 41
3.3.1. Transposición Computacional. ............................................................................. 41
3.3.2. Génesis Instrumental. ............................................................................................ 45
4. ANÁLISIS A PRIORI..................................................................................................... 50
4.1. Aspectos Generales del AmbienteInformático de Aprendizaje .......................... 51
4.1.1. Análisis del artefacto Moodle. .............................................................................. 51
4.1.2. Análisis del artefacto Hot Potatoes. .................................................................... 53
4.1.3. Análisis del AGD Cabri 3D.................................................................................... 55
4.2. Actividad N° 1. Ejercicios Iniciales. ......................................................................... 57
4.3. Actividad N° 3. Línea perspectiva y haz de rectas............................................... 63
4.5. Actividad N° 4. Configuración y concepto del plano. ........................................... 66
4.6. Actividad N° 5. Concepto del espacio proyectivo................................................. 71
4.7. Actividad N° 6. Teorema de Desargues................................................................. 73
4.8. Actividad Final. ........................................................................................................... 76
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS A POSTERIORI..................................................................... 83
5.1. Análisis de la actividad N° 1. Ejercicios Iniciales.................................................. 84
5.2. Análisis de la actividad N° 3. Línea perspectiva y haz de rectas....................... 87
5.3. Análisis de la actividad N° 4. Configuración y concepto del plano .................... 92
5.4. Análisis de la actividad N° 5: Concepto del espacio proyectivo. ....................... 98
5.5. Análisis de la actividad N° 6: Teorema de Desargues. ..................................... 102
CONCLUSIONES............................................................................................................ 112
7. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................ 115
LISTA DE FIGURAS.
Figura 1: School of Athens by Raphael. ........................................................................ 15
Figura 2: Acceso a Internet por país.. ............................................................................ 16
Figura 3: Una composición perspectiva por Haesell. .................................................. 18
Figura 4: Principio de proyección perspectiva. ............................................................. 34
Figura 5: La línea proyectiva. .......................................................................................... 34
Figura 6: Ejemplo de trasformación Perspectiva. ........................................................ 35
Figura 7: La configuración de Desargues en el plano................................................. 36
Figura 8: La configuración de Desargues. .................................................................... 38
Figura 9: Demostración en 3D del teorema de Desargues.. ...................................... 39
Figura 10: Representación en perspectiva de una Iglesia. ........................................ 40
Figura 11: Transposición computacional del círculo. .................................................. 42
Figura 12: El paso de artefacto a instrumento.............................................................. 46
Figura 13: Presentación del curso de Geometría Proyectiva en la plataforma
Moodle................................................................................................................................. 53
Figura 14: Presentación del programa Hot Potatoes. ................................................. 54
Figura 15: Tipos de Cuestionarios que permite JQuiz. ............................................... 54
Figura 16: Presentación de Cabri 3D. ............................................................................ 57
Figura 17: Construcción de un haz de recta que pasa por un punto de una recta. 66
Figura 18: Construcción de un haz de recta que pasa por un punto de un plano. . 66
Figura 19: Solución de la pregunta 1 de la actividad 3. .............................................. 68
Figura 20: Solución trivial de la pregunta 2 de la actividad 3. .................................... 69
Figura 21: Solución para el caso II de la pregunta 2 de la actividad 3. .................... 70
Figura 22: Solución para el caso III de la pregunta 2 de la actividad 3. ................... 71
Figura 23: Solución para la pregunta 2 de la actividad 4............................................ 73
Figura 24: Construcción de Perspectividad del teorema de Desargues en el
espacio tridimensional. ..................................................................................................... 75
Figura 25: Prolongación de lados homólogos dentro del teorema de Desargues en
el espacio tridimensional. ................................................................................................. 76
Figura 26: Construcción de un haz de recta respecto a una recta por el estudiante
Cristian. ............................................................................................................................... 88
Figura 27: Construcción de un haz de recta respecto a un plano por el estudiante
Cristian. ............................................................................................................................... 90
Figura 28: Construcción del teorema sobre haz de rectas por la estudiante Yesica.
.............................................................................................................................................. 92
Figura 29: Construcción del caso II (paso 1) para el teorema del plano por el
estudiante John.................................................................................................................. 96
Figura 30: Construcción del caso II (paso 2) para el teorema del plano por el
estudiante John.................................................................................................................. 97
Figura 31: Construcción del caso III para el teorema del plano por el estudiante
John. .................................................................................................................................... 98
Figura 32: Representación de la clase S en Cabri 3D por la estudiante Yesica. ... 99
Figura 33: Construcción del caso III para el teorema del espacio por el estudiante
Darío. ................................................................................................................................. 102
Figura 34: Ilustración de la exploración hecha por la estudiante Nathaly para
comprobar la pertenencia en el plano.......................................................................... 103
Figura 35: Ilustración de la exploración hecha por la estudiante Nathaly para
determinar las propiedades de la construcción. ......................................................... 104
Figura 36: Construcción de un triángulo equilátero utilizando la proposición 1 del
Libro 1 de Euclides por la estudiante Marisol. ............................................................ 106
Figura 37: Construcción de un triángulo equilátero por medio de un eje y un punto
del vértice del triángulo equilátero por el estudiante James. ................................... 107
Figura 38: Construcción de un triángulo equilátero por medio de un punto central
en el plano y un punto perteneciente a uno de los vértices del triángulo equilátero
por la estudiante Shirley. ................................................................................................ 108
Figura 39: Construcción de la imagen perspectiva de un triángulo equilátero por la
estudiante Marisol. .......................................................................................................... 108
Figura 40: Medición de los lados de los triángulos hecha por la estudiante Marisol.
............................................................................................................................................ 109
10
RESUMEN
Este Trabajo de Grado pretende contribuir al desarrollo del pensamiento espacial
mediante la enseñanza de la Transformación Perspectiva dirigido a los
Licenciados en Educación Básica con énfasis en Matemáticas, por medio de un
diseño de Situaciones Problema generado a partir de un ambiente informático de
aprendizaje conformado por el AGD Cabri 3D y Moodle.
El objeto de estudio se abordará por medio de un estudio de caso el cual incluye
varios aspectos de la Micro-ingeniería Didáctica, en el cual se identifican entre
otros, los posibles problemas que se presentan a la hora de crear un conjunto de
Situaciones Problema para este fin, y de esta forma orientar el desarrollo de la
misma.
Palabras Clave: Cabri 3D, Moodle, Geometría Proyectiva, Micro-ingeniería
Didáctica, Ambiente Informático de Aprendizaje.
11
INTRODUCCIÓN
A través del tiempo el método de demostración de Euclides fue seguido fielmente
por los matemáticos como medio de validación, dicho método se basa en la
construcción geométrica así como de su estructura lógica y argumentativa. Según
Moreno (citado en MEN1, 2002):
Esto es compatible con la tendencia hacia la abstracción que busca
cristalizar, en un momento dado, las relaciones lógicas inherentes a los
temas bajo estudio. Dichos temas suelen presentarse como un laberinto
que requiere orden y sistematicidad. Quienes han tenido una experiencia
matemática más o menos prolongada, aceptan estas afirmaciones con
naturalidad, debido al contacto cotidiano con la metodología euclidiana (p.
269).
En este escenario nos encontramos hoy en día, en donde se enfatiza en la
demostración pero desde una perspectiva intuitiva para facilitar su comprensión,
mediante la exploración para hacer más “tangible” el objeto matemático, y permita
identificar sus propiedades. A esto se refiere Moreno (citado en (MEN, 2002))
cuando nos habla de la tendencia moderna en matemáticas:
Sin embargo, esta actitud normativa tradicional ha empezado a cambiar
ante el interés por el estudio de las prácticas matemáticas. Tales prácticas
sugieren que la demostración se ubique para su adecuada interpretación en
un escenario más amplio, a saber, el de las pruebas y refutaciones.
Tampoco es un secreto la tendencia hacia el logro de una comprensión
intuitiva de los temas matemáticos, que procura un contacto inmediato con
los objetos bajo estudio, una relación viva con ellos, por decirlo de alguna
manera, que enfatice el significado concreto de sus relaciones (p. 269).
El enfoque experimental de las matemáticas ha resultado fructífero para el
desarrollo de la misma, luego deviene el enfoque abstracto cuyo fin es el de
formalizar las matemáticas, en este sentido es interesante diseñar actividades que
fomenten la comprensión intuitiva de la Geometría Proyectiva antes de formalizar
o desarrollar su sintaxis matemática, además es importante vincular estas
actividades con las TIC para la enseñanza de las matemáticas y su integración en
las aulas de clase.
1 Ministerio de Educación Nacional.
12
En cuanto al impacto de las tecnologías en la sociedad se ha evidenciado un
mejoramiento en la comunicación y la información, lo que implica que la clave de
la educación actual se encuentra en desarrollar habilidades y conocimientos en
función de las tecnologías, pero antes de pensar en la integración de los
computadores en el aula, se debe pensar primero en el conocimiento matemático
tanto desde la disciplina misma como desde las transposiciones que éste
experimenta para devenir en aprendizaje significativo (MEN, 1998).
Se augura que las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC)
representan un potencial como apoyo educativo en función de la construcción de
conocimiento, el desarrollo de habilidades y competencias que fomentan el
aprendizaje autónomo (Segura, López, & Medina, 2007).
Además en cierto modo fomentan el entusiasmo por el aprendizaje, según Segura,
López, y Medina (2007):
Aunque no existen pruebas concluyentes de que las TIC favorezcan el
aprendizaje, sí parece que pueden favorecer la motivación, el interés por la
materia, la creatividad, la imaginación y los métodos de comunicación, así
como mejorar la capacidad para resolver problemas y el trabajo en grupo,
reforzar la autoestima y permitir mayor autonomía de aprendizaje, además
de superar las barreras del tiempo y el espacio (p. 8).
Este trabajo de grado se enfatizará en el desarrollo de una Situación Problema
aplicando las transformaciones perspectivas y el uso de Cabri 3D y la plataforma
Moodle, para contribuir en la enseñanza de la Geometría Proyectiva para los
Licenciados en Educación Básica con énfasis en Matemáticas.
En esta investigación se utilizará la Micro-Ingeniería Didáctica, la cual está inscrita
dentro de la línea de investigación de Ingeniería Didáctica, por lo que este tipo de
estudio se presenta en cinco fases:
La Fase I es referente al planteamiento de la investigación en donde se
estudia los conocimientos y conceptos preliminares a tratar en la
investigación,
La Fase II hace énfasis en el diseño experimental, es decir el análisis a
priori,
La Fase III es la ejecución del diseño de investigación,
La Fase IV analiza los datos obtenidos en la fase III, se denomina el
análisis a posteriori y evaluación del conjunto de Situaciones Problema.
13
CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DE LA INVESTIGACIÓN.
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
A pesar de las posibilidades que da el uso de las Tecnologías de Información y
Comunicación (TIC) para la educación en todos los niveles de enseñanza; en la
mayoría de los ambientes educativos son usados como apoyo y complemento en
el proceso de enseñanza para los estudiantes, dejando en segundo plano la
experimentación de los objetos matemáticos a través de éstos.
Además hablar de sistemas de educación no presénciales o educación virtual,
implica invariablemente discusiones y en muchas ocasiones, un franco rechazo,
debido a la incomodidad por parte de los docentes no nativos digitales2 (García,
Portillo, Romo, & Benito, s.f.) para incursionar en el uso de éstos y al temor que
sienten por verse desplazados.
Además la poca integración de las TIC en educación en países como Francia hace
que se desaproveche el avance en herramientas, aplicaciones y programas
tecnológicos. Una investigación en Cataluña en el 2003 evidenció que más del
50% de docentes de Matemáticas no han usado TIC con sus estudiantes, lo que
revela que no es una prioridad el uso de las TIC en la escuela (Guin & Trouche,
2005b). Son escasos los documentos o el conocimiento de los mismos que
evidencien la influencia que tienen estas tecnologías en el aula de clase, ni mucho
menos la influencia que tiene el docente por medio de estas tecnologías sobre los
estudiantes (Guin & Trouche, 2005b).
Las razones que se aducen para rechazar la incorporación de las TIC propiamente
se refiere al hardware, software y conectividad; ya que algunos docentes aun no
utilizan el computador y mucho menos conocen o no utilizan ningún programa por
sencillo que sea, incluso consideran que la clase no es apta para trabajar con TIC
(XXII Semana Monográfica de la Educación, 2009). Otra razón es el apego al
trabajo docente tradicional; si el docente no está presente, el acto educativo será
deficiente en sus logros; además se cree que el uso de TIC distrae al estudiante
2 El término Nativo Digital hace alusión a la persona que nace en la era digital, aproximadamente a
partir de 1980, y desarrolla habilidades en torno a la tecnología digital, lo que genera cambios de hábitos en dicha persona (García, Portillo, Romo, & Benito, 2007). El Nativo Digital por tanto debe tener contacto directo con la tecnología digital.
14
dificultando su aprendizaje, por tanto no alcanza su e-madurez3 académica (XXII
Semana Monográfica de la Educación, 2009). Estas y otras razones han
obstaculizado que las instituciones educativas y los docentes se involucren de
mejor manera en el uso de TIC.
Esto impide la integración del AGD Cabri 3D debido a su poco uso, aunque las
construcciones en Cabri pueden contribuir a la comprensión de una propiedad
geométrica como una implicación. Las construcciones robustas permiten
comprobar si se cumplen condiciones que deberían proporcionar la consecuencia
esperada. Y solo se requiere un mínimo de conocimientos de las condiciones o
algunas ideas sobre ellos en tales construcciones robustas (Laborde, 2005).
Las construcciones suaves aportan ideas en una implicación de sí mismas o en
las condiciones que deben cumplir para obtener una consecuencia. Las
construcciones suaves ofrecen así una transición desde una aproximación
empírica a una aproximación teórica. Pero la enseñanza se centra en
construcciones sólidas y no en construcciones suaves que se observaron en la
fase de exploración espontánea de trabajos de los estudiantes. Pero si admitimos
que la enseñanza debía dar espacio para ambos tipos de construcciones y pasa
de la una a la otra, podría mejorar la preparación para la prueba formal (Laborde,
2005)
En la Universidad Joseph Fourier and Teacher Education Institute en Grenoble, la
introducción de construcciones suaves ha sido experimentada por algunos años
para preparar a los estudiantes de escuela intermedia a la demostración y
favoreciendo la comprensión o el funcionamiento de una propiedad. Coutat (citado
en Laborde, 2005) utiliza las construcciones suaves en Cabri para que los
estudiantes diferencien entre hipótesis y tesis de un teorema.
Por consiguiente podría usarse las construcciones suaves para introducir a los
estudiantes a la demostración y al desarrollo del pensamiento espacial, porque
uno de los principales inconvenientes a los que se enfrentan la mayoría de los
estudiantes de las diferentes instituciones es la dificultad en el nivel de
abstracción que debe desarrollarse para comprender la representación y el diseño
Tridimensional (Laborde, 2005).
La geometría proyectiva tiene el propósito principal de representar en el espacio,
las formas materiales del mundo que son tridimensionales, con la cual es posible
3 La e-madurez es el grado de desarrollo de habilidades y conocimientos adquiridos a través de las TICs.
15
la construcción o entendimiento de esas formas. Los pintores del renacimiento
representaban figuras o panoramas en un cuadro bidimensional de tal forma que
la imagen conserva las propiedades tridimensionales. Afortunadamente estos
pintores fueron arquitectos, ingenieros y fueron los mejores matemáticos del siglo
XV, de aquí el surgimiento de pinturas como School of Athens de Raphael (ver
figura 1) (Newman, 2000).
Figura 1: School of Athens by Raphael. The world of mathematics. Vol. 1., 2000 by Newman.
Las anteriores consideraciones permiten plantear la siguiente pregunta:
¿De qué manera un diseño de situaciones problemas en relación a la
Geometría Proyectiva y un ambiente informático de aprendizaje4 contribuyen
a la enseñanza y aprendizaje de las transformaciones perspectivas en un
grupo de Licenciados en Educación Básica con énfasis en Matemáticas?
4 Por ambiente informático de aprendizaje se entiende un escenario de uso educativo
instrumentado, en otras palabras, es un espacio en donde los sujetos implicados en el proceso de enseñanza y aprendizaje interactúan entre sí y con el software, aplicaciones informáticas y otros de carácter multimedial con un objetivo didáctico (España, 2010).
16
1.2. JUSTIFICACIÓN
En la actualidad de la tecnología de la información y la comunicación se presentan
muchas desigualdades frente al uso y distribución de los computadores, además
de la conectividad a Internet en el mundo, ya que influye el desarrollo
socioeconómico del país, su cultura y de su política en donde se evidencia sus
programas de desarrollo tecnológico (Segura, López, & Medina, 2007).
Según Segura, López, y Medina (2007): “En algunos países de Europa y Estados
Unidos se observa una integración que supera el 40 % de hogares conectados a
Internet. El tanto por ciento desciende en América Latina y el Caribe, Asia Pacífico
y Medio Oriente y Norte de África dependiendo de la inversión de los últimos años”
(p. 11).
Esto revela que en el mundo se reconoce la necesidad de implementar la
tecnología en cada aspecto de la vida, especialmente en la educación como cuna
del conocimiento científico a través de la historia.
A continuación en la figura 2 se muestra el acceso a Internet en el mundo según
Internet World Stats.
Figura 2: Acceso a Internet por país. Internet World Stats, ITU, Nielsen/NetRatings, Eurostat, 2006
citado en Segura, López, & Medina, 2007.
Una gran dificultad para la implementación de las TIC en el aula son los altos
costos que presenta la compra de estos recursos tecnológicos, más aún cuando
se desea dar cobertura a todos los estudiantes de un salón de clase, también el
desconocimiento sobre el manejo e integración de las TIC, así como de su
17
potencial en la enseñanza de las matemáticas influye hoy en día en la resistencia
del profesorado a familiarizarse con esta tecnología (MEN, 1999).
Aunque las competencias de computación son necesarias para una práctica
instrumentada, existen investigaciones teóricas que señalan que la integración de
las TIC en las aulas requiere otras competencias de los maestros. La aplicación de
situaciones y escenarios por los profesores para su uso en las aulas es un paso
inevitable que está lejos de ser evidente. En consecuencia, la integración de las
TIC ha creado serias dificultades para profesores que implica un cuestionamiento
profundo de las prácticas profesionales y requiere cambios radicales en las
prácticas docentes (Guin & Trouche, 2005a).
La integración de las TIC requiere nuevos mecanismos de desarrollo profesional
que proporcionan un apoyo continuo a largo plazo para los profesores en sus
esfuerzos de acción pedagógica. De esta manera, un desarrollo de la red de
profesores fue introducido en los Estados Unidos para desarrollar escenarios de
uso para el software
de geometría, incluso antes de que existiera totalmente los medios (Guin &
Trouche, 2005a).
Lo relevante de estos escenarios de uso es el reconocimiento de la necesidad de
tener en cuenta la organización pedagógica de una clase y el papel del maestro.
Estos escenarios de uso pueden considerarse como un primer acercamiento de
escenarios de aprovechamiento didáctico. Por ejemplo, los escenarios de uso se
han desarrollado para producir unidades didácticas integrando Cabri Geometry e
incluyendo notas de apoyo para los maestros y ayudar a poner la unidad en
práctica. Otra organización de entrenamiento ha sido desarrollada alrededor de
unidades de integración de escenarios de uso y cuentas de explotación de la clase
de estas unidades por docentes en formación (Guin & Trouche, 2005a).
El AGD Cabri 3D al poseer varias características de Cabri Geometry, como la
manipulación y la construcción de objetos matemáticos, potencializa las
representaciones en 3D por medio de la Perspectiva, la cual consiguió su nombre
de las Ciencias ópticas, siendo la palabra latina perspectiva la que se eligió como
una traducción de la griega optike. En el siglo XV, la perspectiva se asoció con
otra disciplina que también se llamaba escenografía y aborda el arte de la
representación espacial, panorámica u objetos gráficamente en superficies
bidimensionales como puede verse en la figura 3 (Andersen, 2007).
18
Figura 3: Una composición perspectiva por Haesell. Al verse influenciado por la tradición de los sólidos platónicos decoró la imagen con ellos para ilustrar su representación perspectiva en 2D. The
Geometry of an Art: The History of the Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge, 2007
by Kirsti Andersen, p. 616.
19
Como una respuesta a la necesidad de un curso sobre Geometría Proyectiva5 en
el Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle, se propone el
diseño de un conjunto de Situaciones Problema que pueda ser utilizada como
apoyo para la enseñanza de la Geometría Proyectiva para lo cual específicamente
se hace énfasis en un ambiente informático de aprendizaje basado en el AGD
Cabri 3D6 y en la plataforma Moodle.
Por otra parte se estima que este AGD al permitir a los estudiantes tener acceso a
la comprensión de las representaciones de 3D7 en 2D8 desde cualquier lugar del
mundo mediante una conexión a Internet puede dar continuidad al proceso de
enseñanza por fuera del aula, como también podrá brindar elementos para
continuar en el desarrollo de la creatividad como apoyo a la ejecución de los
trabajos educativos. Además los estudiantes del mundo de hoy son nativos
digitales y desarrollaron sus habilidades y formaron conceptos como el de espacio
a través de los objetos virtuales que lo rodearon, como dice García, F., Portillo, J.,
Romo, J., y Benito, M. (s.f.): “Acercándonos al área de la psicología, el nativo
digital en su niñez ha construido sus conceptos de espacio, tiempo, número,
causalidad, identidad, memoria y mente a partir, precisamente, de los objetos
digitales que le rodean, pertenecientes a un entorno altamente tecnificado” (p. 2).
5 El Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle dentro de las licenciaturas en educación básica con énfasis en matemáticas y en educación media con énfasis en matemáticas y
física no posee un curso para Geometría Proyectiva, además en el curso de Fundamentos de Geometría (Instituto de Educación y Pedagogía, 2008) ni en el curso de Geometría Analítica y Vectorial (Instituto de Educación y Pedagogía, 2006) no se tratan las transformaciones proyectivas. 6Sobre el pensamiento espacial y sistemas geométricos, los lineamientos curriculares se refieren a la necesidad de volver a recuperar el sentido espacial intuitivo en matemáticas incluyendo la geometría, la cual se había dejado atrás dándole importancia a otras ramas de la matemática
(MEN, 1998). 7 3D es el espacio de tres dimensiones, podemos decir que 3D se refiere a la métrica usual del
espacio euclidiano 𝑑 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1
)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2, aunque en Geometría
Proyectiva no existe la métrica, pero no deja de ser un espacio Euclidiano. 8 2D hace alusión a un objeto como figura bidimensional, es decir, un objeto del plano Euclidiano
con métrica 𝑑(𝑥, 𝑦) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1
)2 .
20
1.3. OBJETIVOS
1.3.1. GENERAL
Contribuir al desarrollo del pensamiento espacial en los Licenciados en Educación
Básica con énfasis en Matemáticas a partir de un diseño de Situaciones Problema
en relación a las transformaciones perspectivas y la mediación de un ambiente
informático de aprendizaje.
1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Determinar los referentes teóricos y metodológicos para el diseño de
Situaciones Problema.
Especificar las características del AGD Cabri 3D para identificar sus
potencialidades hacia el desarrollo del pensamiento espacial.
Analizar los resultados de la utilización del ambiente informático de
aprendizaje en relación a los conocimientos matemáticos de los estudiantes
y las potencialidades y limitaciones del uso de las TIC.
21
1.4. ANTECEDENTES
En los inicios de la investigación sobre educación matemática del siglo XXI se
encuentran trabajos relacionados con el AGD Cabri 3D, los cuales exploran la
experiencia y aprendizaje que los estudiantes adquieren mediante los ambientes
de geometría dinámica (AGD) como lo es Cabri 3D.
Algunos documentos que hasta la fecha se han realizado en la modalidad de trabajos de grado con Cabri 3D son tesis de estudiantes de la Universidad del
Valle, los cuales son de valiosa importancia para el desarrollo de esta investigación.
En una investigación sobre la Transformación de rotación en el espacio, titulada:
Una propuesta de aula que integra el ambiente de geometría dinámica (en
adelante AGD) Cabri 3D, en donde se estudia las dificultades que tienen los
estudiantes respecto a la identificación de las propiedades de objetos geométricos
y de su representación, pero el aspecto más importante es el de la visualización
de los conceptos matemáticos que se le presentan al estudiante (Alvarez &
Fernández, 2009).
En la tesis de grado caracterización del uso de las trasformaciones de isometrías
mediante el diseño de una secuencia, Arcila, Bonilla y Cardona (2012) proponen el
diseño de una secuencia didáctica para la simplificación en términos de
construcción de figuras geométricas mediante Cabri 3D, ello implica la creación de
un instrumento de análisis que se compone de dos aspectos electrónicos, uno
computacional en el cual se recogen las respuestas de los estudiantes y otro de
video para registrar la interacción de los estudiantes con el medio de geometría
dinámica. A partir de lo cual fundamenta un instrumento para la enseñanza y
aprendizaje de la geometría del espacio e incorporar las TIC en el currículo de
matemática (Arcila, Bonilla, & Cardona, 2012).
Esta investigación pretende contribuir al proceso de enseñanza de las
transformaciones proyectivas mediante el uso de la tecnología, usaremos el
Campus Virtual de la Universidad del Valle en el cual se implementará el programa
Cabri 3D para fundamentar este proceso.
22
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA.
2.1 Enfoque Metodológico.
En la investigación se desarrolla un Estudio de Caso9 como proceso analítico al
cual se le otorgan fases específicas tomadas de la Micro-ingeniería Didáctica en
donde se aplican diferentes instrumentos de medición en particular para el
fenómeno a estudiar. En principio esta investigación requiere un estudio de
carácter teórico para determinar el proceso a desarrollar con los estudiantes para
facilitar la enseñanza de la geometría proyectiva, esto implica un estudio previo
de antecedentes, además de una planificación precisa y detallada de cada
procedimiento que el estudiante podrá hacer durante el transcurso de una o varias
actividades. Dicho enfoque conocido bajo el nombre de Diseño Didáctico tiene
como apertura el análisis epistemológico del conocimiento matemático (Alvarez &
Fernández, 2009), además de su énfasis en la cognición del estudiante que
permite reflexionar sobre el quehacer en el aula para proveer de nuevos
instrumentos al acervo educativo.
Este Diseño Didáctico quién tiene origen en la teoría de la ingeniería didáctica,
posee dos características fundamentales, la resolución de problemas como
metodología experimental basada en el quehacer en el aula, en donde se analiza
el desarrollo de conocimientos por parte de los estudiantes, las heurísticas
utilizadas para resolver los problemas planteados, que sirve mediante sus análisis
a priori y a posteriori de validación de la secuencia del diseño (Artigue & Perrin-
Glorian, 1991).
La Ingeniería Didáctica se basa en un esquema experimental en función del
quehacer didáctico en clase, sobre observaciones, concepción, realización y
análisis de las secuencias didácticas. Posee dos tipos de posibilidades la Micro-
ingeniería10 y la Macro-ingeniería11, cuyo énfasis es alusivo al análisis local y
global respectivamente, pero en la práctica la micro-ingeniería es más fácil de
aplicar (Artigue, Douady, Moreno, & Gómez, 1995).
9 El estudio de caso es un método de investigación para el análisis de fenómenos, de gran
importancia para las ciencias sociales y humanas desde una perspectiva cualitativa. (Latorre, 1996). 10 Según Artigue (1995): “Las variables de comando micro-didácticas o locales, [son] concernientes
a la organización local de la ingeniería, es decir, la organización de una secuencia o de una fase”. 11 Según Artigue (1995): “Las variables de comando macro-didácticas o globales, [son] concernientes a la organización global de la ingeniería”.
23
Según Artigue et al (1995):
La metodología de la ingeniería didáctica se caracteriza también, en
comparación con otros tipos de investigación basados en la
experimentación en clase, por el registro en el cual se ubica y por las
formas de validación a las que está asociada. De hecho, las investigaciones
que recurren a la experimentación en clase se sitúan por lo general dentro
de un enfoque comparativo con validación externa, basada en la
comparación estadística del rendimiento de grupos experimentales y grupos
de control. Este no es el caso de la ingeniería didáctica que se ubica, por el
contrario, en el registro de los estudios de caso y cuya validación es en
esencia interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a
posteriori (p. 37).
Esta investigación se presenta en cinco fases que se explican a continuación.
2.1.1. FASE I. Descripción del problema.
En esta fase de la investigación se delimita y define el objeto de estudio en función
de su justificación. En donde se formulan los objetivos tanto generales como
específicos necesarios para el cumplimiento de la investigación, y que se esperan
alcanzar al clausurar la investigación.
La población objeto de estudio serán los estudiantes de la Licenciatura en
Educación Básica con énfasis en matemáticas de la Universidad del Valle, en la
jornada presencial que están en uno de los cursos de la línea Tecnología de la
Información y la Comunicación en educación matemática.
Los cursos de Tecnologías de la información y la comunicación poseen alrededor
de 27 estudiantes de ambos géneros, de los cuales tan solo 19 continuaron con el
curso.
Los análisis preliminares se centran en tres dimensiones (Alvarez & Fernández,
2009):
24
Dimensión didáctica o Aspecto Didáctico, esta refleja el enfoque o la
orientación de la investigación la cual es la resolución de problemas en la
geometría proyectiva.
Dimensión epistemológica, determina las características del conocimiento
en uso en la secuencia de situaciones, en donde se tienen en cuenta las
propiedades de la geometría proyectiva y el tratamiento de la
Perspectividad o transformación perspectiva como medio para abordar los
problemas de representación de los objetos en 3D a 2D y viceversa.
Dimensión cognitiva o Aspecto Cognitivo, se aborda desde dos aspectos,
uno relacionado con los procesos de transposición computacional y la
génesis instrumental.
2.1.2. FASE II. Diseño del instrumento: análisis a priori.
La segunda fase es quizás la más importante porque de ésta depende el grado de
precisión de los resultados de la investigación, es decir, dependiendo del diseño
de la misma, se obtendrán los datos tanto para el diagnóstico como para el
análisis en función del objeto de estudio, de donde posteriormente saldrán las
conclusiones.
El objetivo en esta fase es determinar hasta qué punto el conjunto de Situaciones
Problema permiten guiar el proceso de construcción de conocimiento de los
estudiantes. Para ello, en primer lugar se hará un examen diagnóstico para que
los estudiantes logren identificar fenómenos visuales o constructos relacionados
con los axiomas más importantes de la Geometría Proyectiva. Posteriormente se
procede a diseñar las preguntas problemas en la Fase III en función de los
conocimientos previos revelados en la Actividad de Entrada.
Por último la validación del Diseño Didáctico estará bajo el análisis a priori y a
posteriori como génesis del Análisis Didáctico.
25
2.1.3. FASE III. Ejecución del Diseño.
Esta es la fase de la ejecución del diseño de la investigación, en esta fase se
organizan y se analizan los datos.
Esta es la fase del diseño del conjunto de Situaciones Problema, en donde en
adición se realiza un diario de campo acerca de los comportamientos de los
estudiantes durante el transcurso de las actividades.
La aplicación de este diseño se hizo con 19 estudiantes con edades entre los 18 y
22 años aproximadamente, de la Licenciatura en Educación Básica con énfasis en
Matemáticas de la jornada presencial de la Universidad del Valle.
Los estudiantes se encuentran familiarizados con el uso de Cabri 3D debido a que
han cursado dos cursos anteriores sobre TIC, en donde han desarrollado
diferentes habilidades para resolver problemas en este tipo de AGD.
Las actividades fueron desarrolladas de manera individual, durante seis sesiones
de trabajo, cada una de 2 horas clase (50 minutos) de duración. En la primera
sesión se aplicó la Actividad de Entrada, en la segunda se trabajó las actividades
denominadas líneas perspectivas y haz de rectas, en la tercera sección se hicieron
preguntas e inquietudes de la Actividad de Entrada en donde se explicaron
algunos de los axiomas más importantes en la Geometría Proyectiva; en la cuarta
sección se trabajó sobre la definición del plano en Geometría Proyectiva, en la
quinta sección sobre la definición del espacio y en la última sobre el teorema de
Desargues.
Fueron necesarios los computadores de la sala de sistemas del Instituto de
Educación y Pedagogía, cada uno con el AGD Cabri 3D con su respectiva
conexión a Internet. Se necesitaron de archivos de hot potatoes para los
exámenes de diagnóstico y de evaluación final.
Dentro de todo diseño es importante la labor docente, ya que como guía facilita la
resolución de problemas solo mediante preguntas a los estudiantes, además que
sirve de referente de validación de las argumentaciones o constructos a partir de
los cuales los estudiantes crean su conocimiento.
26
2.1.4. FASE IV. Análisis a posteriori.
La fase IV es la fase de la interpretación de los datos obtenidos en la fase III, es
decir, se interpretan de acuerdo al eje conceptual definido en el Marco Teórico y
puesto en evidencia en el análisis a priori.
En esta fase se desarrolla el análisis a posteriori basado en el trabajo hecho por
los estudiantes durante la clase, de forma que se convierten en datos
cuantificables por medio de las calificaciones obtenidas en Moodle. Es por medio
de la confrontación del análisis a priori y a posteriori que se determina la validación
del Diseño Didáctico, es decir, examinando los cambios a que tuvo lugar el diseño
inicial para establecer que tan acertado o desacertado estuvo frente a la
construcción de conocimiento de los estudiantes, si facilita la apropiación del
conocimiento se valida el diseño.
27
CAPÍTULO 3. ASPECTOS TEÓRICOS
Dentro de la investigación educativa es importante analizar tres aspectos
fundamentales para el análisis preliminar, estos aspectos son: el aspecto Didáctico
alusivo a la línea de pensamiento que fundamenta la resolución de problemas, el
aspecto Matemático en donde se caracteriza el objeto matemático de estudio y el
aspecto Cognitivo referente a la transposición computacional y la génesis
instrumental.
3.1. ASPECTO DIDÁCTICO
Debe considerarse que en la enseñanza presencial el profesor puede reajustar de
forma casi inmediata su estrategia didáctica de acuerdo con la actitud expresada
por los alumnos, este hecho no se da en la formación por medio de las TIC, salvo
quizás en el caso de videoconferencias de grupo. En la formación con TIC, la
interacción profesor - alumno queda determinado por una diferencia espacial más
no temporal, por lo que el proceso de enseñanza y de aprendizaje debe ser
precedido de un cuidadoso diseño y elaboración basado en la resolución de
problemas.
Desde este aspecto entra en juego la resolución de problemas en cuanto es una
forma de reflexión, en donde los participantes directos, el profesor y el estudiante,
buscan resolver de manera diferente las situaciones y las argumentan, o sea, la
resolución de problemas no consiste únicamente en encontrar una solución a un
problema, sino modelar, explorar libremente, contrastar diversas soluciones
(Santos Trigo, 2008).
Las matemáticas poseen un gran valor porque ayudan a entender fenómenos
relacionados con las Ciencias, el arte y la moral, porque la búsqueda de la verdad
la han llevado a que la justificación y la argumentación sean los contenidos
necesarios para el quehacer matemático (Santos Trigo, 2007).
Dentro del estudio de las matemáticas es necesario que el estudiante cree
heurísticas12 para resolver preguntas y formular preguntas, ya que es mediante la
12 Según Santos (2008): “las estrategias cognitivas o heurísticas son las que involucran formas de representar y explorar los problemas con la intención de comprender los enunciados y plantear
28
formulación de preguntas que el estudiante resuelve problemas o comprende
conceptos matemáticos, en términos de Postman y Weingartner (citado en Santos
Trigo, 2007):
El conocimiento se produce en respuestas a preguntas. […] Una vez que [el
estudiante] ha aprendido cómo preguntar –preguntas relevantes,
apropiadas y sustanciosas- el estudiante ha aprendido cómo aprender y ya
nadie lo puede detener en el camino de seguir aprendiendo lo que necesite
y quiera conocer (p. 11).
El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (citado en Santos Trigo,
2007) resalta la importancia de la participación de los estudiantes en la
formulación de preguntas, en la proposición de conjeturas, en su argumentación y
presentación de sus resultados, ya que este contexto genera la posibilidad de que
el estudiante reflexione sobre su quehacer matemático, para así fortalecer sus
heurísticas y estructurar su pensamiento.
Ahora ¿cómo aprende el estudiante? ¿Cómo se aprende matemáticas en función
de la resolución de problemas? Son algunas de las preguntas a resolver dentro de
la educación matemática con énfasis en la resolución de problemas que están de
manera perfecta relacionadas con nuestra propuesta de Diseño Didáctico, debido
a que la preocupación dentro de la instrucción matemática ha sido la disposición
de los estudiantes, los acercamientos que hacen los estudiantes a la solución de
los problemas13, para promover un ambiente de instrucción que motive a los
estudiantes a desarrollar su propia heurística (Santos Trigo, 2007) en función de la
validación o institucionalización dada por el docente.
En el aprendizaje de las matemáticas los estudiantes debe utilizar eficientemente
el conocimiento adquirido, ya sea adquirido por su propio contexto o por medio de
la situación problema que confrontó, es por ello que desde el enfoque de la
resolución de problemas el aprendizaje de las matemáticas no se remite a la
memorización y aplicación de reglas para resolver problemas, sino por el contrario
de la confrontación de los conocimientos de los estudiantes con la situación
problema para que de esta forma construyan la conceptualización del objeto
matemático (Santos Trigo, 2007).
caminos de solución. Algunos ejemplos de estas estrategias son dibujar un diagrama, buscar un problema análogo, establecer submetas, descomponer el problema en casos simples, etc.”. 13 Problema hace referencia a situaciones contextualizadas o no, en donde el estudiante se confronta para hallar la solución a un problema, lo que lo obliga a comprender el objeto matemático utilizando su heurística o modificándola.
29
Por tanto la resolución de problemas es “una forma de pensar donde el estudiante
continuamente tiene que desarrollar diversas habilidades y utilizar diferentes
estrategias en su aprendizaje de las matemáticas” (Santos Trigo, 2007, pág. 11).
Este enfoque es de vital importancia en la educación para transponer el quehacer
matemático en los estudiantes.
En los estudios hechos por Perkins (citado en Santos Trigo, 2007) nos habla de
que los estudiantes cuando enfrentan situaciones nuevas olvidan lo nuevo de la
situación y en lugar de desarrollar una nueva forma de resolver el problema, lo
relacionan con uno ya existente o resuelto con anterioridad, por tanto tratan de
utilizar habilidades y estrategias familiares para ellos.
Algunos de los consejos dados por varios estudios (Santos Trigo, 2007)
demuestran que para que la transferencia de conocimientos sea correcta se deben
cumplir las siguientes condiciones:
1. Se le muestre al alumno cómo se relacionan los problemas entre sí.
2. La atención de los estudiantes es dirigida a resaltar la estructura de
problemas comparables.
3. Los alumnos están familiarizados con los problemas del campo o dominio
específico, es decir, matemáticas, física, química u otra disciplina.
4. Los ejemplos se acompañan de reglas (formuladas por los estudiantes).
5. El aprendizaje se lleva a cabo en un contexto social (enseñanza recíproca)
donde las justificaciones, los principios y las explicaciones son socialmente
promovidas, generadas y contrastadas (Brown y Campione citado en
Santos Trigo, 2007, p. 37).
Pero en ocasiones los estudiantes han abstraído conocimientos por su propia
cuenta con anterioridad y luego los aplica al problema dado. Perkins y Salomón
(citado en Santos Trigo, 2007) nos hablan sobre la práctica en la educación que
sirve para afianzar técnicas de resolución de problemas, y generar habilidades en
los estudiantes. Según Schoenfeld (citado en Santos, 2008) en la resolución de
problemas:
Aprender a pensar matemáticamente –involucra más que tener una gran
cantidad de conocimiento de la materia al dedillo. Incluye ser flexible y
dominar los recursos dentro de la disciplina, usar el conocimiento propio
eficientemente, y comprender y aceptar las reglas “tácticas de juego”.
En contraste las estrategias generales o particulares necesarias para resolver
ciertos tipos de problemas aún son inciertas, es decir, que las condiciones
30
anteriormente dichas no nos aseguran que el estudiante desarrolle este tipo de
estrategias o llegue a su relación14. En palabras de Perkins y Salomón (citado en
Santos Trigo, 2007):
Las habilidades cognitivas generales no funcionan tomando el lugar del
conocimiento del dominio específico, ni operando de la misma forma de un
dominio a otro dominio. Funcionan como herramientas generales de la
misma manera que funciona una mano humana. Es decir, las manos solas
no son suficientes: se necesitan objetos que sujetar. […] se necesita
aprender a sujetar apropiadamente diversos objetos. Es decir, no se sujeta
de la misma forma a un bebé y a una silla (p. 37).
Uno de los aspectos más importantes a la hora de resolver problemas es la
habilidad que tienen los estudiantes para usar las estrategias aprendidas, además
de ubicar el contexto en el cual debe aplicarlas, en este sentido es importante que
el estudiante se relación un poco con el ambiente matemático formal, según
Schoenfeld (citado en Santos Trigo, 2007):
Este medio es el propicio para que el estudiante desarrolle estrategias y
habilidades propias del quehacer matemático. Es decir, aprender
matemáticas significa que el estudiante identifique, seleccione y use
estrategias comúnmente usadas por los matemáticos al resolver problemas
(p. 47).
Dentro del concepto de resolución de problemas existen dificultades a la hora de
definir el término problema, ya que éste es relativo al sujeto quien lo soluciona, es
decir, un problema puede ser problema para unos estudiantes que les cuesta
resolverlo, pero para otros puede ser un ejercicio simple; por tanto el concepto de
problema está íntimamente relacionado con la interacción del sujeto que se
enfrenta a él (Santos Trigo, 2007). Entonces un problema son aquellos ejercicios
que representan una dificultad para el individuo que lo confronta.
Ahora, ¿qué es dificultad? Los ejercicios en matemáticas no suelen pasar de cierto
tiempo de resolución, cuando el docente le muestra a sus estudiantes la solución
de un ejercicio siempre termina en cinco minutos aproximadamente (Santos Trigo,
2007), este hecho demuestra al estudiante una noción de dificultad de un
problema, cuando en matemáticas existen problemas que duran años sin
14 Con relación se quiere decir que de problemas particulares se puedan deducir estrategias generales, esto permite que el estudiante matematice el problema particular en uno general, en otras palabras, que el estudiante de lo particular encuentre lo general y viceversa.
31
resolverse. Por tanto dificultad hace referencia no solamente a un nivel
operacional sino a uno en donde se requiera ingenio humano para resolverlo.
El tipo de problema está determinado por su contenido, en este sentido según
Kilpatrick (citado en Santos Trigo, 2007) la forma como se enuncia el problema da
un claro indicativo de los conocimientos matemáticos que requiere para
solucionarlo, también se debe dar a conocer al estudiante que no siempre existe
un camino directo para solucionar problemas.
Polya (citado en Santos Trigo, 2007) caracteriza los problemas matemáticos en
dos tipos, en el primer tipo se encuentran los problemas de hallar una cantidad
desconocida, en donde se debe definir claramente la naturaleza y condiciones de
la incógnita. En la segunda categoría encontramos los problemas de
demostración, en donde se debe mostrar o comprobar algo para llegar a su
solución.
Por tanto un problema es una situación que cumple los siguientes criterios:
1. La existencia de un interés; es decir, una persona o un grupo de individuos
quiere o necesita encontrar una solución.
2. La no existencia de una solución inmediata. Es decir, no hay un
procedimiento o regla que garantice la solución completa de la tarea. Por
ejemplo, la aplicación indirecta de algún algoritmo o conjunto de reglas no
es suficiente para determinar la solución.
3. La presencia de diversos caminos o métodos de solución (algebraico,
geométrico, numérico). Aquí, también se considera la posibilidad de que el
problema pueda tener más de una solución.
4. La atención por parte de una persona o un grupo de individuos para llevar a
cabo un conjunto de acciones tendentes a resolver esa tarea. Es decir, un
problema es tal hasta que existe un interés y se emprenden acciones
específicas para intentar resolverlo (p. 51).
La resolución de problemas enfatiza en la búsqueda de una solución, en donde
ocurre una confrontación entre los conocimientos del estudiante y los
conocimientos científicos para encontrar la solución de un problema, por
consiguiente un problema busca que el estudiante verifique y analice las
herramientas, técnicas y estrategias que utiliza en las diferentes fases de solución
del problema. En palabras de Santos Trigo un problema busca que el estudiante
se enfrente a varias situaciones y analice las diferentes fases de solución, “es
decir, en el entendimiento del problema, en el diseño e implantación de algún plan
32
de solución, y en la verificación de la solución y la búsqueda de conexiones, así
como los ajustes necesarios para avanzar o resolver el problema”.
33
3.2. COMPONENTE HISTÓRICO EPISTEMOLÓGICO DE LAS
TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS
3.2.1. PRINCIPIOS DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA.
Desde hace mucho tiempo los grandes artistas se interesaron por las leyes de la
perspectiva, debido a fenómenos ópticos tales como el ver un objeto más pequeño
con la distancia, es decir, cuanto más cerca de nosotros se encuentra el objeto
más grande su tamaño aparente, y cuanto más lejos, más pequeño (Aleksandrov,
Kolmogorov, & Laurentiev, 1973).
Los primeros investigadores en geometría fueron los geómetras griegos, en donde
Euclides dio un gran aporte al incluir de manera intuitiva en la geometría la noción
fundamental de distancia o longitud (Faulkner, 1948). Luego surge un interés por
la incidencia de rectas, puntos colineales y surge el teorema de Pappus, de
carácter proyectivo pero no se considera como tal dentro de la geometría
Euclidiana (Faulkner, 1948).
Fue en el siglo XVII cuando la geometría proyectiva cobró vida con Desargues y
Pascal. Ambos manejaban ampliamente la geometría métrica pero en 1847 con la
publicación de la Geometrie der lage de von Stand demostraron que la geometría
proyectiva es independiente del concepto de distancia (Faulkner, 1948) además
demostraron que la geometría euclidiana y métrica son casos particulares de la
geometría proyectiva.
Descartes al representar el punto por medio de un conjunto de números hace
alusión al concepto de distancia, y aunque la geometría de Descartes da pie a la
geometría analítica su geometría es métrica. Pero el sistema cartesiano de
Descartes fue un apoyo excepcional para la geometría proyectiva (Faulkner,
1948).
La geometría perspectiva nace en Italia, y se tiene registro de que Alberti fue el
primero en representar en la escritura una construcción perspectiva representada
en su forma moderna en la figura 4. Dada una figura en el punto A podemos
generar una representación en el plano 𝜋 a través de una perspectiva que pase
por dicho punto (Andersen, 2007), es decir, el punto A puede ser establecido por
un perspectiva desde 𝜋 que pase por 𝐴𝑗.
34
Figura 4: Principio de proyección perspectiva. The Geometry of an Art: The History of the Mathematical
Theory of Perspective from Alberti to Monge, 2007 by Andersen, Kirsti.
La línea proyectiva surge de trazar una línea 𝑝 a través de un punto 𝑂 que incida
sobre otra línea 𝑞, dicha intersección es 𝑃 un punto reflejado en 𝑞 desde el punto
de vista de 𝑂, por tanto 𝑞 es una línea proyectiva. “Una línea proyectiva se
comporta como si fuera cerrada” (Ayres, 1971). En efecto si desplazamos el punto
𝑃 (figura 5) hacia la derecha hacia el infinito, en geometría proyectiva no hay
distinción entre punto ordinario y punto en el infinito, entonces el otro lado de la
recta 𝑝 tocará la recta 𝑞 y el punto 𝑃 ahora aparecería en sentido izquierda
derecha.
Figura 5: La línea proyectiva. Adaptado de Projective Geometry, 1938 by Veblen & Young.
35
Sea 𝑚 y 𝑚′ dos líneas distintas, y sea P un punto que no pertenezca a ninguna de
las dos (Figura 6), entonces cada punto de la recta 𝑚 tiene la siguiente
correspondencia con los puntos de la recta 𝑚′, al punto A le corresponde el punto
A’ por medio de la recta que pasa por los puntos P y A, de esta forma se asegura
una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta 𝑚 y la recta 𝑚′, este
tipo de relación es llamado perspectiva, y se dice que los puntos de una línea son
transformados en otros puntos de otra línea por medio de una transformación
perspectiva con centro en P (Veblen & Young, 1938).
Figura 6: Ejemplo de trasformación Perspectiva. Projective Geometry, 1938 by Veblen & Young.
Ahora si los puntos de la recta 𝑚 que fueron transformados a los puntos de la
recta 𝑚′ son nuevamente transformados a una tercera línea 𝑚′′ por otra
proyección perspectiva respecto a otro punto 𝑂 y así sucesivamente hasta una
recta 𝑚(𝑛), entonces se dice que a cada punto de 𝑚 le corresponde otro de 𝑚(𝑛) ,
por tanto una transformación obtenida de esta forma es llamada proyectiva. Y se
dice que los punto de 𝑚 han sido transformados en puntos de 𝑚(𝑛) por medio de
una trasformación proyectiva (Veblen & Young, 1938).
36
3.2.1.1. LA CONFIGURACIÓN DE DESARGUES.
Primero se demostrará el teorema de Desargues en el plano seguidamente se
demostrará en el espacio tridimensional.
“For two triangles ABC y A’B’C’ in a plane situated as show in [figura 7], where the
lines through corresponding vertices meet in a point, the intersections P,Q y R of
the corresponding sides lie on a straight line” (Courant & Robbins, 1996, p. 188).
Figura 7: La configuración de Desargues en el plano. What Is Mathematics?: An Elementary Approach
to Ideas and Methods, 1996 by Courant & Robbins.
Desde el punto de vista de la figura N°4, los lados AC y A’C’ son paralelos, y los
lados AB y A’B’ también son paralelos, se considera esta hipótesis para dar mayor
generalidad a la demostración15. En este caso solo hay que demostrar que los
lados BC y B’C’ son paralelos, de esta forma su intersección estaría dada por el
punto R el cual estaría en el infinito, por tanto al estar los tres puntos Q,P y R en el
infinito por axioma de la geometría proyectiva automáticamente serían colineales.
15 En geometría proyectiva no se viola el quinto postulado de Euclides, por tanto las rectas paralelas euclidianas son isomorfas con las rectas paralelas en la Geometría Proyectiva, pero a
diferencia de la geometría euclidiana dos rectas paralelas se cortan únicamente en el infinito, a esto se le conoce como punto impropio. Además dentro de los axiomas de la geometría proyectiva dos o más puntos en el infinito son colineales (Veblen & Young, 1938).
37
Por hipótesis tenemos que:
𝐴𝐵 ∥ 𝐴′𝐵′
Por tanto
𝑢
𝑣=
𝑟
𝑠 (∗)16
Para los otros lados homólogos tenemos que:
𝐴𝐶 ∥ 𝐴′𝐶 ′
Por tanto
𝑥
𝑦=
𝑟
𝑠 (∗∗)
De (∗) y (∗∗) tenemos que:
𝑢
𝑣=
𝑥
𝑦
Esto implica que
𝐵𝐶 ∥ 𝐵′𝐶′
Lo que demuestra el teorema. Ahora solo falta definir el punto Q como la
intersección de los lados AB y A’B’; P como la intersección de los lados AC y A’C’;
y por último R como la intersección de los lados BC y B’C’. Al ser puntos en el
infinito son colineales.
El teorema de Desargues se cumple incluso fuera del plano, es decir, en el
espacio tridimensional, a continuación su demostración en el espacio.
16 Este paso demarca un gran salto de una geometría a otra, es decir, la Geometría Proyectiva no
posee métrica, por tanto para demostrar el teorema de Desargues en el plano tenemos que hacerlo desde la Geometría Euclidiana, y al final utilizar el axioma de la Geometría Proyectiva del punto impropio.
38
“The Theorem of Desargues. If two triangles in the same plane are perspective
from a point, the three pairs of homologous sides meet in collinear points; i.e. the
triangles are perspective from a line” (Veblen & Young, 1938, p. 171).
Figura 8: La configuración de Desargues. Adaptado de Projective Geometry, 1938 by Veblen & Young.
La idea que tenemos que demostrar es que la prolongación de los lados
homólogos de los triángulos ∆𝐴1𝐵1𝐶1 y ∆𝐴2𝐵2𝐶2 que serían los puntos 𝐴3, 𝐵3 𝑦 𝐶3
son colineales. Para demostrar este teorema se requiere de una construcción en
3D, por tanto recurrimos al dibujo en el plano (figura 9), en donde utilizamos dos
puntos 𝑂1 y 𝑂2 los cuáles serán los puntos respectivos de proyección de los
triángulos ∆𝐴1𝐵1𝐶1 y ∆𝐴2𝐵2𝐶2, las intersecciones de los segmentos que unen los
puntos 𝑂1 y 𝑂2 con cada uno de los vértices de los triángulos en cuestión forman
el triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.
39
Figura 9: Demostración en 3D del teorema de Desargues. Projective Geometry, 1938 by Veblen &
Young.
Ahora analicemos los detalles de esta construcción, los puntos A y B están en el
mismo plano, es decir, en el plano formado por los puntos 𝑂2 , 𝐴2 𝑦 𝐵2, el punto 𝐶3
también pertenece a dicho plano, pero A y B también pertenecen al plano formado
por los puntos 𝑂1, 𝐴1 𝑦 𝐵1, además 𝐶3 también pertenece a este plano por
pertenecer a la extensión del segmento 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, por tanto A, B y 𝐶3 son colineales.
De esta misma forma se prueba que A, C y 𝐵3 son colineales, porque pertenecen
a la intersección del plano conformado por los puntos 𝑂2, 𝐴2, 𝐶2 y del plano
conformado por los puntos 𝑂1, 𝐴1, 𝐶1.
Luego solo falta verificar que los puntos B, C y 𝐴3 son colineales, debido a que
pertenecen a la intersección del plano conformado por los puntos 𝑂2, 𝐵2, 𝐶2 y del
plano conformado por los puntos 𝑂1, 𝐵1, 𝐶1.
Por último hay que observar que los puntos 𝐴3, 𝐵3 𝑦 𝐶3 pertenecen al plano
conformado por los puntos A, B y C, pero además los puntos 𝐴3, 𝐵3 𝑦 𝐶3
40
pertenecen al plano de los triángulos ∆𝐴1𝐵1𝐶1 y ∆𝐴2𝐵2𝐶2 ya que se construyeron
a partir de la prolongación de los lados de estos triángulos, por consiguiente son
colineales, lo que demuestra el teorema.
La geometría proyectiva permite desarrollar un pensamiento geométrico espacial,
ya que permite proyectar las imágenes tridimensionales que están en el plano
bidimensional y generar una representación mental de dicha figura tridimensional.
En otras palabras mediante la geometría proyectiva podemos hacernos una idea
de la tridimensionalidad de una figura 3D en el plano como se visualiza en la figura
10.
Figura 10: Representación en perspectiva de una Iglesia, se incluyen las vistas lateral y superior. The Geometry of an Art: The History of the Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge, 2007
by Andersen, Kirsti.
El punto 𝑆 es el punto de vista y necesita de dos puntos 𝑉 y 𝑍 para a partir de la
perspectiva generar la visualización de la tridimensionalidad de la iglesia en
cuestión (Andersen, 2007).
41
3.3. ASPECTO COGNITIVO.
La integración de las TIC en Educación Matemática implica una constante
actualización por parte de los docentes respecto a sus prácticas profesionales, es
decir, mediante el diseño de situaciones para la enseñanza en base a los
adelantos tecnológicos la labor docente adquiere nuevos retos, lo que permite
aportar en relación al acervo didáctico.
Es importante la caracterización del desarrollo de las ideas matemáticas, es decir,
el Metaconocimiento17 de los estudiantes, para analizar el proceso de reflexión
que hace el estudiante, en donde transforma sus ideas y por tanto su forma de
pensamiento fruto de la participación en una práctica o aprendizaje (Santos Trigo,
2008).
En esta investigación se considera dos aspectos importantes para el análisis
cognitivo, la transposición computacional que enmarca las dificultades de los
estudiantes respecto a la interacción con el software, y la génesis instrumental que
determina el proceso desarrollado por los estudiantes en la construcción de
nuevos conocimientos.
3.3.1. TRANSPOSICIÓN COMPUTACIONAL.
La base fundamental de un conjunto de Situaciones Problema es la transposición
computacional, sin ella simplemente carecería de sentido para los estudiantes,
Balacheff (Citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005) define la transposición
computacional de la siguiente manera:
Una representación del mundo no es el mundo mismo. Esta afirmación que
ahora es ampliamente compartida puede tomarse como un lugar en común.
Sin embargo, (...) para entenderlo, tenemos que ir más allá y considerar que
17 Según Robert y Robinet (Citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005, Pág. 202) el conocimiento
está ligado estrictamente a las matemáticas dentro del campo de didáctica de las matemáticas,
desde este punto el Metaconocimiento es el tipo de control que se tiene del conocimiento
matemático, es decir, en el proceso de adquisición de conocimiento el estudiante para ganar el
derecho de acceder al conocimiento matemático debe lograr que su propio conocimiento funcione
de forma matemática, dicho funcionamiento es denominado control por Robert y Robinet, que a su
vez es el Metaconocimiento.
42
una representación no es una aproximación (es decir, una simplificación) de
un objeto a fin de volverlo a representar. Cada representación tiene
propiedades que provienen tanto del modelado de opciones y de modos
semióticos elegidos. Estas propiedades no tienen, a priori, conexión con el
mundo representado. Por otra parte, como un dispositivo de material, un
computador impone una serie de restricciones las cuales en si impondrán
una transformación adecuada de acuerdo a la aplicación de la
representación adaptada (p. 139).
Dependiendo del ambiente informático de aprendizaje, en este caso Cabri 3D, se
presentarán obstáculos en la transposición de objetos matemáticos, solo las
propiedades más importantes de dicho objeto son las que deben perdurar para
que la transposición sea adecuada. Balacheff continúa diciendo:
Nombrare como transposición computacional este trabajo sobre el
conocimiento que ofrece una representación simbólica y la implementación
de esta representación en un dispositivo basado en computadora, a fin de
enseñar conocimiento o de manipularlo. En un contexto de aprendizaje,
esta transposición es particularmente importante. Esto implica de hecho una
contextualización del conocimiento, con posibles consecuencias
importantes para los procesos de aprendizaje (p. 139).
Dentro de la estructura de software del computador, Balacheff identifica algunas
restricciones como por ejemplo el circulo pixelado, o la línea pixelada (Guin,
Ruthven, & Trouche, 2005) (ver figura 11), pero en el caso de Cabri 3D este
problema está bien solucionado; aunque presenta el inconveniente de representar
la recta como un cilindro de radio pequeño, lo que da la noción de “volumen de
recta”.
Figura 11: Transposición computacional del círculo. The Didactical Challenge of Symbolic Calculators,
2005 by Guin, Ruthven, & Trouche.
43
Esta limitación presentada por Balacheff es de vital importancia para definir de
manera precisa el concepto de artefacto, es decir, el artefacto solo permite
acceder e identificar las características del objeto matemático (Guin, Ruthven, &
Trouche, 2005).
Defouad (citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005) nos habla del “Zapping
phenomenon”, el cual consiste en cambiar la ventana de gráfica en las
calculadoras graficadoras como TI 92 Plus, sin detenerse a analizar cada una de
las representaciones obtenidas mediante el ingreso de datos. En este aspecto
Cabri 3D no presenta el Zapping phenomenon debido a que en su exploración
solo se cambia de ventana cuando el estudiante crea un nuevo espacio para
realizar una nueva construcción, la cual muchas veces no tiene que ver con la
anterior a menos que lo explicite la guía didáctica que este en desarrollo.
También nos habla de la “oscillation phenomenon” que consiste en la acción en
donde los estudiantes oscilan entre diferentes y variadas técnicas y estrategias
para abordar el problema. En Cabri 3D se evidencia este fenómeno cuando los
estudiantes intentan representar mediante el AGD la representación del espacio
según los axiomas de la Geometría Proyectiva, algunos intentan representarlo
mediante el sombreado de área, otros siguen la definición y lo intentan representar
como un conjunto de puntos pertenecientes a un grupo infinito de haz de rectas.
Por último Defouad (citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005) nos habla del
“overchecking phenomenon” en donde los estudiantes realizan múltiples
revisiones del problema usando todos los medios dados por el programa, en
nuestro caso el estudiante se las ingenia para por medio de las herramientas
dadas por Cabri 3D comprender el problema en cuestión, en términos de
construcción en Cabri, utilizan los medios más asequibles para construir el objeto
matemático, ello implica muchas veces construir, revisar las propiedades de la
construcción, y volver a construir si no las cumple a cabalidad; este proceso lleva
a los estudiantes a “overchecking” el problema a resolver.
En principio para resolver un problema en donde se hace matemáticas a menudo
es necesario cambiar nuestro punto de vista, ya que si mantenemos un mismo
punto de vista inicial y simplemente se utiliza una técnica formal de demostración
en matemáticas, la más usada es la demostración por contradicción, pero esto no
nos asegura que lleguemos a la solución del problema (Guin, Ruthven, & Trouche,
2005).
En segunda instancia para construir conocimiento en función de la transposición
computacional, se hace un registro en el cual se represente un objeto matemático
44
de manera sencilla, pero esto no nos permite crear una noción completa del objeto
matemático (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005), debido a las limitaciones que
presenta Cabri 3D cuando se trata de definir el concepto de espacio, debido a que
no es posible representar infinitas rectas de tal manera que me recubra todo el
espacio, es decir, no es posible crear una representación en Cabri 3D del espacio
tridimensional mediante la definición en Geometría Proyectiva.
Este fenómeno aparece en laboratorios experimentales de larga duración en
donde los estudiantes poseen cada uno calculadoras, tanto en la escuela como en
su hogar. Es de gran valor que el estudiante posea este tipo de tecnologías para
su fortalecimiento y evolución de habilidades, esto ayuda a que el estudiante
genere técnicas que facilitan la ejecución de tareas y uso de procesos por medio
de TIC (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005).
La transposición computacional y el diseño de pruebas para los estudiantes
generan restricciones de tipo simbólico con la cual Balacheff clasifica como
restricciones internas y restricciones de interface18.
Desde el punto de vista del artefacto, Rabardel (citado en Guin, Ruthven, &
Trouche, 2005) distingue tres tipos de restricciones: la primera es la restricción de
la existencia de modo referente a las propiedades del artefacto como objeto
material o cognitivo, la segunda son las restricciones de finalización referentes a
los objetos sobre los cuales puede actuar y a las transformaciones que puede
llevar a cabo. La última es la acción de restricción de restructuración referente a la
restructuración de la acción o el proceder del estudiante.
Las restricciones internas son desde el punto de vista de Balacheff la restricción
de la existencia de modo. En adición existen además las restricciones de
comandos, que tiene que ver con la naturaleza de los comandos específicos del
software, y las restricciones de organización referentes a las preguntas entre los
estudiantes de un mismo grupo de trabajo, al teclado y su agenda de organización
de trabajo (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005).
Pero existen algunas falencias en la clasificación de estas definiciones, según
Defouad (citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005):
18 La interface básica de usuario es aquella que incluye elementos como menús, ventanas, teclado, ratón, los beeps y algunos otros sonidos que la computadora hace, y en general, todos aquellos canales por los cuales se permite la comunicación entre el ser humano y la computadora.
45
Las limitaciones internas no cubren todas las restricciones de existencia de
modo (por ejemplo, la naturaleza de la pantalla de la calculadora no es una
restricción interna, pero si una limitación de existencia de modo);
Todas las restricciones en realidad reestructuran la actividad del usuario (y
no sólo las limitaciones de la organización);
Esta tipología no tiene en cuenta los niveles de información diferentes: la
información introducida por el usuario en la interfaz, la información
accesible en la interface, pero no abierta a la transformación por el usuario,
y la información no accesible en la interfaz;
No tiene en cuenta las limitaciones de la sintaxis, aunque estos pueden ser
decisivos en la introducción de datos en la interfaz (p. 146).
3.3.2. GÉNESIS INSTRUMENTAL.
En el mundo existen diferentes tipos de recursos tecnológicos que sirven de una
manera u otra al fin educativo, pero es menester distinguir entre instrumento y
artefacto, un artefacto es un material u objeto abstracto que sirve como extensión
de la actividad humana, por ejemplo los computadores y software, en cambio un
instrumento es el constructo subjetivo del artefacto, en otras palabras, el
constructo generado por el artefacto se denomina génesis instrumental y es la
encargada de crear un nuevo tipo de proceso para desarrollar una actividad, lo
que diferencia al instrumento del artefacto es su capacidad para generar una
función de desarrollo de actividades humanas (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005).
Verillon y Rabardel (citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005) en términos de
formación educativa proponen un nuevo enfoque en donde se diferencia
claramente artefacto de instrumento, para ellos:
Un artefacto es un material u objeto abstracto, cuyo fin es el de apoyar la
actividad humana para que pueda desempeñar un tipo de tarea (una
calculadora es un artefacto, un algoritmo para resolver ecuaciones
cuadráticas es un artefacto); es dado a un individuo;
Un instrumento es lo que el sujeto construye desde o con el artefacto (p.
144).
46
Este constructo representado en la figura 12, es llamado Génesis Instrumental, el
cual es un proceso largo y complejo que necesita tiempo, éste depende de las
características del artefacto y del sujeto, es decir, de las potencialidades en
función de las posibilidades de exploración que permite el software y de sus
restricciones, así como de los conocimientos del sujeto quien usa el artefacto y de
sus métodos de trabajo y organización (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005).
Figura 12: El paso de artefacto a instrumento. The Didactical Challenge of Symbolic Calculators, 2005
by Guin, Ruthven, & Trouche.
Describamos la figura N°9 en algunas ideas principales, serían las siguientes
según Guin, Ruthven, & Trouche (2005):
Un artefacto prescribe parcialmente la actividad del usuario, a través de sus
limitaciones y potencialidades;
47
Génesis instrumental es un proceso y tiene dos componentes, el primero de
ellos (instrumentalización) dirigida hacia el artefacto, segundo
(instrumentación) dirigida hacia el tema;
Un sujeto construye un instrumento para realizar un tipo de tarea; Este
instrumento se compone así de artefacto (realmente una parte del artefacto
utilizado para realizar estas tareas) y esquemas del sujeto permitiéndole
realizar tareas y controlar su actividad (p. 145).
La génesis instrumental es parte de un escenario de exploración didáctica, dicho
escenario es diseñado en función del desarrollo de la actividad y de la situación
matemática (Brousseau, citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005). Según
Rabardel (citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005) la actividad mediada por
instrumentos es siempre una situación que determina una influencia sobre la
actividad.
Según Wartofsky (citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005), una génesis
instrumental posee tres niveles, el primero es referente a los artefactos a su uso
común, computadores, robots, interfaces y simuladores; el segundo nivel consiste
en los modos de acción de uso de los artefactos; y el tercero está representado
por los objetos matemáticos en particular, por la situación simulada también como
por los métodos reflexivos de autoanálisis de su propia actividad colectiva o
Metaconocimiento.
La génesis instrumental definida de esta forma modifica el artefacto en sí, no es
una construcción de un tema, o de un módulo de explicación; en lugar de eso la
génesis instrumental puede guiar durante la fase de enseñanza, el estudiante está
libre de usar la guía de la forma que el desee, el estudiante puede crear
conocimiento de manera autodidacta y progresiva; posee un alto grado de
exploración y reflexión (Guin, Ruthven, & Trouche, 2005).
En la enseñanza es muy importante el trabajo colaborativo, además de la
interacción entre estudiantes, entre profesores y estudiantes, incluso entre
estudiantes y los computadores, Mouradi y Zaki (Citado en Guin, Ruthven, &
Trouche, 2005, p. 202) cree en la importancia del trabajo en lápiz y papel y se
debe tener en cuenta dentro del desarrollo de las estrategias a seguir por los
estudiantes, otros aspectos que influyen son el uso de las herramientas dadas por
el instrumento, lo que depende del desarrollo de sus habilidades y de su cercanía
con las matemáticas.
Defouad (Citado en Guin, Ruthven, & Trouche, 2005) se percató de que el término
Génesis instrumental es relativo, en otras palabras, es diferente para cada uno de
48
los estudiantes; ya que depende de su proceso de instrumentalización y del tipo
de relación que posea el estudiante con alguna tecnología referente a las
matemáticas e informática. Por tanto la relación entre el Estudiante y el Medio, que
en este caso sería la tecnología, proporciona un carácter fundamental a la
definición de Génesis instrumental.
Pero estas categorías no son estables, como diría Defouad (Citado en Guin,
Ruthven, & Trouche, 2005):
A lo largo de la Génesis instrumental, la naturaleza de las relaciones de los
estudiantes con las matemáticas se vuelve más y más influyente;
Las aplicaciones empleadas para lograr las tareas podrían cambiar, según
el tipo de entorno (por ejemplo, al pasar de un entorno gráfico de la
calculadora a un entorno de calculadora simbólica) (p. 201).
Según Guin, Ruthven, & Trouche (2005):
Las diferencias de comprensión de los comportamientos de los estudiantes son
bastante difíciles. Hay que tener en cuenta, durante mucho tiempo, más que
sólo su marco privilegiado de trabajo. Por ejemplo, Mouradi & Zaki (2001)
tuvieron en cuenta la importancia del trabajo de papel y lápiz, sino también el
conocimiento que los estudiantes utilizan eficazmente, las interacciones entre
pares de estudiantes, alumnos y profesor y finalmente entre los estudiantes y
el equipo. Incluso (Trouche 2000) trató de tener en cuenta varios elementos:
Información de fuentes utilizadas, que pueden construir previamente
referencias, recurren a lápiz y papel, la calculadora o el ajuste (en
particular, durante la actividad de investigación, en el trabajo práctico
por ejemplo);
Tiempo de utilización de la herramienta (el tiempo global que la
calculadora está en uso y el tiempo empleado en realizar cada gesto
instrumentado);
Relación de los estudiantes con las matemáticas y métodos de prueba
en particular: La prueba puede proceder a través de la analogía,
demostración, acumulación de comprobaciones de pistas (una forma
particular de over-checking), de la confrontación (basado en la
comparación de los diferentes resultados obtenidos a través de las
diferentes fuentes de información) y por último de cortar y pegar (basado
en la transposición de piezas aisladas y no necesariamente relevantes
de la prueba);
49
Metaconocimiento es decir, conocimientos que los estudiantes han
construido sobre su propio conocimiento (p. 202).
50
4. ANÁLISIS A PRIORI
El diseño de cada una de las actividades se fundamenta en la resolución de
problemas de Santos Trigo (2007), y se estudia las heurísticas del estudiante al
resolver un problema, que en este caso se plantean desde la Geometría
Proyectiva en un ambiente informático como Moodle en donde se incorpora el
AGD Cabri 3D.
Este diseño le permite al estudiante la identificación de objetos en 3D y 2D, así
como la conceptualización del espacio, tanto en dos dimensiones como en tres
dimensiones, además lo introducirá en uno de los teoremas más importantes de la
Geometría Proyectiva, el teorema de Desargues.
Debido a que los estudiantes estaban familiarizados con el programa Cabri 3D fue
sencilla la aplicación de problemas conceptuales de Geometría Proyectiva en el
ambiente informático, ya que para construir19 en Cabri 3D se requiere del
conocimiento y de la experiencia con algunos o cada una de las opciones que da
Cabri 3D para ello. Aunque se utiliza el arrastre en la primera pregunta de la
actividad del teorema de Desargues, es de mayor peso el uso de herramientas
para la construcción en cada una de las actividades.
Las actividades se encuentran en la plataforma Moodle de la Universidad del
Valle, y los estudiantes utilizan como mediador el programa Cabri 3D, mediador en
el sentido que permite acceder e identificar las características del objeto
matemático, es decir, Cabri 3D en principio es artefacto pero luego el estudiante lo
transforma en instrumento en la forma en que lo utiliza y como construye
conocimiento a través de este.
Se pretende que el estudiante utilice el AGD Cabri 3D para explorar el problema,
buscando otra forma de entender lo que está escrito o simplemente recrear una
representación un tanto tangible para su comprensión. De esta forma se espera
que el estudiante comprenda mejor el enunciado del problema aproximándose a
este por medio del AGD Cabri 3D.
En segunda instancia se espera que el estudiante desarrolle habilidades de
reconocimiento mental del espacio tridimensional por medio de la exploración y
construcción en el AGD Cabri 3D, necesarias para el reconocimiento de la
19 La construcción de los problemas de Geometría Proyectiva en Cabri 3D facilita su interpretación y por tanto la comprensión del problema en cuestión.
51
Perspectividad o transformación perspectiva en Geometría Proyectiva y la
posterior comprensión del teorema de Desargues.
En tercera instancia se pretende que el estudiante organice sus ideas mediante la
secuencia de las construcciones que desarrolla en Cabri 3D, esto le permitirá
mejorar su visualización del problema y lo introducirá en el proceso demostrativo
en sentido geométrico únicamente. Es decir, no se pretende exigirle al estudiante
una sintaxis formal escrita en su proceso demostrativo, sino que encuentre de
forma geométrica una solución general al problema por medio de los constructos y
que exprese su respuesta en lenguaje natural, por tanto este diseño será de
carácter introductorio para la demostración en geometría Proyectiva.
En cuarta instancia se espera que el estudiante utilice e identifique los
conocimientos previos adquiridos en los cursos anteriores de TIC, en relación con
la construcción de planos, rectas, puntos sobre el plano y fuera de él, para que
pueda construir nuevos conocimientos a partir de los conocimientos previos.
El diseño es un conjunto de Situaciones Problema que consta de seis actividades,
en la primera y última se parte de una secuencia de gráficas que pone a prueba
los preconceptos de los estudiantes, de cada una de las secuencias se desarrollan
las preguntas para la Actividad de Entrada y de evaluación, en las cuatro
siguientes se parte de información teórica, ya sea un teorema o axiomas que
definen conceptos importantes dentro de la Geometría Proyectiva como el
concepto de plano, espacio tridimensional, haz de rectas, entre otros, los cuales
son necesarios como hipótesis en el desarrollo de las actividades.
4.1. CARACTERÍSTICAS DEL AMBIENTE INFORMÁTICO DE APRENDIZAJE.
4.1.1. ANÁLISIS DEL ARTEFACTO MOODLE.
Moodle es un Ambiente Educativo Virtual (Learning Management System) que
consiste en la organización y modificación de cursos virtuales con el fin de apoyar
la labor docente, esta aplicación es de carácter gratuito (Moodle, s.f.).
Martin Dougiamas fue el creador de Moodle basándose en el constructivismo, por
tanto la plataforma Moodle tiene como objetivo el de crear un ambiente educativo
fundamentado en el estudiante, lo que facilita el aprendizaje colaborativo por
52
medio de la interacción privada entre los estudiantes a través del computador en
conexión a Internet (Moodle, s.f.).
La propuesta de diseño de Situaciones Problema está basada en la plataforma
MOODLE (Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment) porque se
pretende diseñar algunas actividades para la enseñanza de la Geometría
Proyectiva en la página web de la Universidad del Valle, dentro de los cursos de
educación virtual y a distancia.
La plataforma Moodle posee tres aspectos que fomentan los procesos formativos,
el primer aspecto es referente a la personalización de las actividades o cursos en
Moodle a sus inclinaciones, es decir, debido a que cada estudiante le corresponde
un computador puede adaptar (hasta el grado que le permita el computador) el
curso a sus preferencias.
El segundo aspecto tiene que ver con la interactividad, este aspecto permite que
los estudiantes interactúen entre ellos en tiempo real lo que fomenta la
confrontación de ideas, así como de la comunicación colaborativa, participativa y
reflexiva (España, 2010).
El tercer y último aspecto es referente a la conectividad, debido a que presenta la
facilidad de que el estudiante acceda al curso desde cualquier parte del mundo por
medio del Internet, e incluso el tiempo que él considere necesario. Aunque
presenta limitaciones debido al tipo de banda de Internet y a la capacidad de
navegación del computador que esté usando (España, 2010).
La plataforma Moodle permite articular otras aplicaciones multimedia, lo que
permite usar hot potatoes como un apoyo para la evaluación. En la figura 13 se
presenta el curso de Geometría Proyectiva dentro de la plataforma Moodle de la
universidad del Valle.
53
Figura 13: Presentación del curso de Geometría Proyectiva en la plataforma Moodle.
4.1.2. ANÁLISIS DEL ARTEFACTO HOT POTATOES.
Hot potatoes está conformado por cinco patatas o cinco programas como se
muestra en la figura 14, la primera patata o programa es el que utilizaremos en
esta investigación, consiste en el programa JQuiz referente a la elaboración de
54
cuestionarios de elección múltiple, preguntas abiertas, híbridas y de múltiple
selección.
Figura 14: Presentación del programa Hot Potatoes.
JQuiz es un programa para diseñar ejercicios que incluyen preguntas. Dichos
ejercicios pueden tener muchas preguntas e igual número de respuestas con sus
respectivas opciones de retroalimentación para el estudiante. En la figura 15 se
muestran los cuatro tipos de cuestionarios que posee el programa JQuiz.
Figura 15: Tipos de Cuestionarios que permite JQuiz. Formación en red, s.f. by Ministerio de
Educación de España.
El segundo programa se llama JCloze con el cual se elaboran ejercicios en donde
se debe completar una frase u oración, además se pueden elaborar ejercicios de
completar palabras. El tercer programa JMatch permite unir texto con texto, unir
teto con imágenes y unir texto con elementos multimedia.
55
El cuarto programa JMix ordena palabras de una frase así como ordenar letras y
frases, y el último programa JCross se utiliza para crear crucigramas.
Hot Potatoes es un programa en donde es fundamental organizar cada archivo o
patata, ya que por medio del programa The Masher se crean archivos multimedia
vinculados entre sí, para evitar una mal funcionamiento de los archivos enlazados
Hot Potatoes guarda los archivos en una carpeta con cada patata o proyecto
(Ministerio de Educación de España, s.f.)
El Ministerio de Educación Nacional de España publicó el folleto Formación en
Red el cual nos explica las herramientas más avanzadas del programa JQuiz para
evitar que los estudiantes respondan más de una vez una pregunta y permitir al
profesor regular el peso específico de cada pregunta:
Peso de las preguntas: Por medio de esta opción se puede ajustar el peso,
o la importancia relativa, de las diferentes preguntas en la puntuación final.
De esta forma, podemos asignar el valor 50 (se admiten valores entre 0 y
100) a una pregunta, que tendrá la mitad de importancia que otra a la que
asignemos el valor 100.
Nivel de corrección de las respuestas: se puede asignar un porcentaje que
define el nivel de corrección de una respuesta, admitiendo así parcialmente
alguna de las respuestas seleccionadas, con el fin de valorar la opción
seleccionada por el alumno y así orientarle sobre la mejor opción.
Casilla "Aceptar como correcta": Esta opción permite establecer que una
respuesta se acepte como correcta aunque su porcentaje de correcta no
alcance el 100%. Esto tiene el efecto de dar por completada la pregunta y
pasar al alumno a la siguiente pregunta del ejercicio, no permitiéndose más
intentos sobre ella. Si quisiéramos que nuestro test se comportara como un
examen tradicional, permitiendo sólo un intento, podemos marcar en todas
las respuestas posibles la opción "Aceptar como correcta" (p. 7).
4.1.3. ANÁLISIS DEL AGD CABRI 3D.
Cabri nace en los laboratorios de investigación del CNRS (Centro Nacional de la
Investigación Científica) y de la Universidad Joseph Fourier de Grenoble, en
Francia. En donde se utiliza por Jean-Marie Laborde en 1985 para la enseñanza y
el aprendizaje de la geometría bidimensional (Sophie & René de Cotret, 2007).
56
Cabri 3D permite construir figuras geométricas en un ordenador, aspecto que lo
diferencia del entorno de lápiz y papel. Cabri 3D es un micro mundo que potencia
el tratamiento de objetos matemáticos por el medio gráfico. Un programa que es
considerado micro mundo es un medio informático de representación y tratamiento
de objetos matemáticos que constituye un registro semiótico, para ello debe
cumplir los siguientes criterios según Balacheff (2004):
a) Está constituido por trazas identificables como una representación de algo.
b) Disponer de reglas de transformación para producir otras representaciones
que puedan aportar conocimientos.
c) Disponer de reglas de conformidad para la constitución de unidades de
nivel superior.
d) Disponer de reglas de conversión hacia otro sistema de representación
para hacer explícitos otros significados (p. 199).
Éste AGD permite construir, visualizar y manipular en tres dimensiones toda clase
de objetos, ya sean rectas, planos, conos, esferas, poliedros y demás figuras
geométricas. Por tanto permite la creación de constructos dinámicos tanto
complejos como sencillos, incluso posee una herramienta para medir algunos
objetos, lo que permite incorporar el pensamiento numérico dentro de las
situaciones problema (Sophie & René de Cotret, 2007).
Otro aspecto importante es la revisión de los procesos de construcción que
realizan los estudiantes debido a que Cabri 3D permite revisar las construcciones
paso a paso.
Requerimientos técnicos
Sistema Microsoft Windows: Windows 98 (Internet Explorer 5 o más reciente), ME,
NT4, 2000, XP y Vista.
Configuración mínima para PC: procesador a 800 MHz o más, memoria RAM de
256 Mb o superior, tarjeta gráfica compatible OpenGL con 64 Mb o más de RAM.
57
Figura 16: Presentación de Cabri 3D.
4.2. ACTIVIDAD N° 1. ACTIVIDAD DE ENTRADA.
La Actividad de Entrada consiste en cinco preguntas, tres de ellas, la primera,
tercera y quinta preguntas, tienen que ver con una secuencia de imágenes y luego
descifrar cuál es la que siguiente, ésta se encuentra en una de las respuestas, las
otras dos tienen que ver con la representación de objetos en tres dimensiones.
Esta prueba se hizo en el programa Hot Potatoes y se ajustó de manera que las
preguntas aparecieran en orden aleatorio, al igual que las diferentes respuestas, y
se subió a la plataforma Moodle desde la cual se ejecutó.
El objetivo de estas preguntas es identificar las capacidades de los estudiantes
referentes a la identificación de objetos tridimensionales representados en Cabri
3D, en cuanto a las preguntas dos y cuatro que tratan sobre este tipo de
representación de objetos 3D. Para las otras tres preguntas, el objetivo es el de
verificar la relación de los estudiantes con algunos de los principales conceptos de
la Geometría Proyectiva, tales como la línea proyectiva y la Perspectividad.
La primera pregunta de la Actividad de Entrada alude al concepto de línea
proyectiva. Se espera que el estudiante observe detenidamente que el punto O se
mantiene fijo respecto a los tres vectores unitarios que representan el espacio
tridimensional, desde este punto de vista el punto P se mueve a través de la recta
en dirección oeste, o hacia la derecha.
58
Pero si se piensa la tercera imagen o la imagen que debería seguir desde el punto
de vista euclidiano, el punto P debería seguir hacia la derecha y hacia el infinito.
Pero ninguna de las respuestas nos muestra tal suceso, por tanto el estudiante
debe deducir de las respuestas la solución correcta. La respuesta A presenta un
error en la noción de continuidad de la recta, ya que parece que el punto p se cae
de la recta, el estudiante deberá identificar que esta no es la respuesta. La
pregunta B pierde la propiedad de haz de recta desde el punto O en dirección del
punto P, quien también pertenece a dicho haz. La pregunta C no pierde la
propiedad de haz de recta pero sí la de continuidad de la línea recta. Por último al
estudiante solo le queda la respuesta D, pero es semejante a la primera imagen
de la secuencia, en donde da la idea de “curvatura de recta”, es decir, que el punto
P se mueve hacia la derecha y regresa por el otro lado de la línea proyectiva. Esta
propiedad se usa a menudo en la opción de animación en Cabri, con la cual los
estudiantes están familiarizados debido a los cursos anteriores de TIC.
59
La segunda pregunta es referente a la visualización en términos de rotación a
través del espacio de una línea recta, el objetivo de esta pregunta es el de verificar
las habilidades de los estudiantes para identificar rotaciones, y su representación
en el espacio.
Nuevamente los tres vectores unitarios dan una idea del plano que contiene a la
recta, es decir, el plano que contienen a los vectores unitarios verde y azul. Desde
este punto de vista se descarta la pregunta D, aunque sirve de ejemplo del
movimiento que hace la recta sobre el plano si estuvieran correctos los vectores.
Las respuestas A y C se suprimen ya que la recta a traviesa el plano que la
contiene, por tanto la respuesta es la B.
La tercera pregunta tiene como objetivo probar el manejo geométrico espacial
necesario para el teorema de Desargues, en donde se explorará la parte espacial
mediante la construcción de dicho teorema en 3D.
60
El elemento clave de esta secuencia son los tres vectores unitarios que
representan el espacio, debido a que la secuencia depende de ellos, es decir, el
estudiante debe demostrar que maneja la rotación espacial en su mente para
poder visualizar la rotación del plano representado en los vectores unitarios.
61
De esta modo debe de prever que la cuarta imagen que completa la secuencia
debe estar rotada en el mismo sentido y dirección que la segunda imagen, por
tanto las únicas respuestas que cumplen con esta característica son la C y la E;
pero estas dos respuestas poseen otra característica, la relación de paralelismo
entre el vector unitario rojo y la línea recta azul. En este sentido las respuestas A,
B y D son distractores, pero la A y la D son fáciles de descartar por simple
comparación y observación, lo que hace de la respuesta B el distractor fuerte de
los tres, ya que el vector unitario rojo es paralelo a la línea recta.
El estudiante debe determinar si la relación de rotación de la respuesta B coincide
con la imagen número 2 de la secuencia, determinando así que la respuesta B
posee una rotación mucho mayor que la imagen 2 de la secuencia. También el
plano se encuentra ubicado en el lado equivocado del vector rojo, ya que debería
estar al lado derecho de la dirección del vector, lo cual no se cumple en la
respuesta B.
La respuesta es la C, debido a la relación de inclinación entre el plano y el vector
azul, en el caso de la respuesta E no cumple con dicha inclinación.
La cuarta pregunta evalúa como el estudiante identifica diferentes puntos de vista
de una representación de una figura tridimensional, esta visualización es
importante ya que sirve como introducción al concepto de Perspectividad o
transformación perspectiva desde diferentes puntos de observación, si el
estudiante está en capacidad de ver mentalmente diferentes lados de la figura que
se pide visualizar desde diferentes ángulos, entonces estará en capacidad de
comprender la transformación perspectiva.
Las respuestas se componen de tres imágenes que muestran distintos lados de la
figura, muestran caras laterales desde arriba (primera imagen), lateral (imagen
izquierda) y frontal (imagen derecha). En la respuesta A la imagen que representa
la cara de arriba si corresponde, pero las caras lateral y frontal no corresponden.
La respuesta B por el contrario presenta la imagen de arriba incorrecta, y la
imagen frontal y lateral correctas. Por lo tanto la respuesta correcta es la C.
62
La quinta pregunta trata sobre la Perspectividad, no se muestra directamente
utilizando haz de rectas completas, sino que solo se muestran aquellos segmentos
de haz de recta comprendido entre la recta azul y la recta comprendida por los tres
puntos que aparecen en la primera imagen. El objetivo es relacionado a la
aplicación de la noción de punto de fuga, para que de esta forma el estudiante
pueda observar que el proceso que se desarrolla en la secuencia es el de unir los
tres puntos colineales que hacen parte de la perspectiva desde el punto de vista
63
del punto de fuga20. También posee un segundo objetivo como introducción a la
Perspectividad o transformación perspectiva que se desarrollará más adelante.
Por tanto la respuesta es la B, ya que representa fielmente el desarrollo de la
secuencia. La pregunta C es la pregunta distractora debido a que es semejante a
la B con la diferencia de que contiene la imagen anterior.
4.3. ACTIVIDAD N° 3. LÍNEA PERSPECTIVA Y HAZ DE RECTAS.
A partir de la Actividad de Entrada esta primera actividad es una situación de
acción y de confrontación con los conocimientos previos en cuanto a
Perspectividad, es decir, preconceptos de punto de fuga en el arte pictórico.
20 Esto debido a que el estudiante no tiene la noción de Perspectividad o transformación perspectiva, por tanto se espera que utilice la versión del arte pictórico conocida como punto de fuga.
64
En las actividades 2, 3, 4 y 5 se espera que el estudiante realice el “overchecking
phenomenon”, es decir, el proceso de reconstruir el objeto matemático teniendo en
cuenta las limitaciones del AGD Cabri 3D, y utilizando sus potencialidades a favor
de una representación lo más fiel posible del objeto matemático. Esto implica el
confrontar sus conocimientos adquiridos debido a la instrumentalización21 en
cursos anteriores de TIC, lo que le permite continuar en el segundo paso de la
génesis instrumental, la instrumentación, en otras palabras el ingenio expresado
en la heurística de cada estudiante para representar el objeto matemático es lo
que se denomina instrumentación.
Las actividades 2, 3 y 4 son tareas del tipo I de acuerdo con la clasificación de
Laborde (1998):
Producir un dibujo de Cabri que conserva las propiedades espaciales
cuando se arrastra, requiere el uso de propiedades geométricas para su
construcción y descalifica a prueba y error procesos que son controlados
sólo visualmente. Un proceso de construcción de un dibujo de Cabri a ojo
obviamente deja de satisfacer las condiciones tan pronto como se arrastra
un objeto básico. El uso de relaciones geométricas es requerido por la tarea
en sí y no por el profesor, como en un entorno de lápiz y papel (Pág. 3).
Existen más de un tipo de actividades en AGD. En las actividades del tipo I se le
pide al estudiante que realice un constructo conservando ciertas propiedades del
objeto matemático, en las actividades del tipo II al estudiante se le entrega el
constructo hecho y mediante el arrastre debe identificar las propiedades
invariantes del objeto matemático, característica importante para la
retroalimentación del estudiante; y por último en las actividades del tipo III se le
presenta un constructo hecho y el estudiante debe realizar otro constructo
idéntico.
Según Laborde (1998) en las actividades de tipo I el computador proporciona la
oportunidad de:
No sólo para trabajar en el dominio de objetos teóricos como lo hace con
una actividad de prueba, pero también para relacionar los conceptos
teóricos de los efectos visuales;
vincular lo visual y los aspectos teóricos de esta noción de composición de
transformaciones, no sólo de forma pasiva (como en una película), pero de
21 Es decir, las conocimientos adquiridos, la adaptación y la comprensión de las potencialidades y limitaciones del AGD Cabri 3D.
65
manera operativa (los objetos teóricos se utilizan como herramientas de
solución de un problema a resolver) (p. 4).
Por consiguiente el profesor solo tiene que arrastrar cualquier elemento del
constructo, como un punto de la construcción para verificar si el estudiante
construye en el espacio22 o si aún lo hace en el plano limitando la potencialidad del
axioma o teorema de la Geometría Proyectiva.
La actividad consiste en introducir al estudiante en el concepto de Perspectividad.
1. Construye una recta r y un punto O no perteneciente a r. Se define la aplicación
que a cada punto P de la recta r, le hace corresponder la recta p que pasa por O,
que contiene al punto P (haz de rectas) (ver figura 17).
¿Qué características en términos de grados de libertad23 posee el punto P de la
recta r?
¿Si movemos el punto P la nueva configuración sigue siendo un haz de recta?
¿Cómo se visualiza el haz de rectas que pasan por el punto O?
22 En el AGD Cabri 3D las representaciones de objetos tridimensionales (3D) sigue siendo bidimensional, sin embargo es la perspectiva la que permite reconocer desde lo bidimensional
algunas características tridimensionales de estos objetos geométricos. 23 Con grados de libertad se alude al concepto de dimensión topológica, esta establece la dimensión de un punto igual a 0, la de una línea igual a 1, la de una superficie igual a 2, la del
espacio igual a 3, así sucesivamente. La dimensión topológica es la dimensión recubridora introducida por Lebesgue, en donde toda dimensión topológica de cada subconjunto compacto de R^m es exactamente igual a m. La
definición formal sería la siguiente: Un espacio X se dice que es de dimensión finita si existe algún entero m tal que para todo cubrimiento abierto A de X existe un cubrimiento abierto B de X que refina a A que tiene orden m+1 como máximo. Se dice que dada una colección A de subconjuntos
de X, una colección B se dice que refina a A, o que es un refinamiento de A, si para cada elemento B de B existe un elemento Α de A tal que B⊂Α (Munkres, 2002).
66
Figura 17: Construcción de un haz de recta que pasa por un punto de una recta.
2. Análogamente construye, un plano α que no pertenezca al plano anterior, y haz
corresponder a cada punto M del plano α la recta m que pasa por O que contiene
al punto M (haz de rectas) (ver figura 18).
¿Cuáles son las rectas del haz que no se corresponden con ningún punto del
plano α?
¿Qué grado de libertad posee el punto M?
¿Cómo se visualiza el haz de rectas que pasan por O?
Figura 18: Construcción de un haz de recta que pasa por un punto de un plano.
4.5. ACTIVIDAD N° 4. CONFIGURACIÓN Y CONCEPTO DEL PLANO.
67
De la actividad anterior se fundamentan el resto de actividades siguientes, porque
presentan situaciones semejantes pero con algo nuevo en particular, por ejemplo
en la actividad N° 3 se inicia representando en Cabri 3D un teorema de la
Geometría Proyectiva cuyo texto está incompleto, ya que le falta la tesis del
teorema, y se le pide al estudiante que complete el teorema.
En la pregunta N° 2 de ésta actividad se utiliza la definición del plano en
Geometría Proyectiva, nuevamente se le dan una serie de pasos iniciales al
estudiante como guía, en donde el estudiante estaría tentado a trabajar de la
misma forma que en la actividad N° 2, pero para resolver esta pregunta requiere
aplicar correctamente la definición del plano dado al inicio de la pregunta. Esto
conlleva a que el estudiante cambie su heurística para afrontar el problema.
1. Completemos el siguiente teorema de la geometría proyectiva:
Sí A, B y C son puntos no todos sobre la recta L, sea D y E (D diferente de E)
puntos tales que B, C, D, son colineales y C, A, E también son colineales,
entonces...
a) ¿A, B, C están sobre el mismo plano? Construye en Cabri 3D un plano con
estos tres puntos.
b) ¿Los puntos E y D están sobre el mismo plano? ¿Por qué?
c) Ahora construye la recta que contiene a los puntos E y D. ¿Son paralelas las
rectas ED y AB? ¿Qué sucede si son paralelas?
d) Construye el punto F común a las rectas ED y AB. ¿El punto F pertenece al
mismo plano? ¿Por qué?
e) ¿Cómo completarías el teorema?
Para resolver este problema el estudiante requiere del uso de la aplicación o de
una función biyectiva que establece una relación biunívoca entre los puntos de la
recta l y los puntos de la recta BC, a través de un haz de recta, pero para
encontrar la característica general del teorema o la tesis son necesarias dos haz
de recta, de esta forma el estudiante al construir la intersección de estas dos
rectas (de color verde, ver figura 19) podrá evidenciar que siempre se cortan.
68
Figura 19: Solución de la pregunta 1 de la actividad 3.
2. La definición formal del plano en la Geometría Proyectiva es la siguiente:
Sí P, Q, R son tres puntos no todos colineales, y L es una línea que contiene a Q y
R, la clase S (es una relación entre dos conjuntos) de todos los puntos sobre las
líneas que contienen al punto P y cada uno de los puntos de la recta L se
denomina el plano, el cual está determinado por P y L.
a) Verifiquemos el siguiente Teorema:
Si A y B son puntos sobre el plano β, entonces cada punto perteneciente a la línea
AB pertenece al plano β.
¿Es cierto este teorema? ¿Cómo lo demostrarías? ¿Cuál sería la solución trivial?
b) Suponga el caso en donde A pertenece a la recta L, B no pertenece a la recta L
y la recta AB no contiene al punto P.
Construye la recta BP. ¿Es paralela a la recta L? ¿Qué sucede si es paralela?
Construye en la intersección entre BP y L el punto B'.
c) Desde el punto de vista de la Perspectividad el haz de recta BP define una
relación biunívoca entre el punto B y el punto B' a través de P, esto nos permite
relacionar de manera biunívoca cada elemento de la recta AB' con la recta AB.
¿Cómo construirías dicha relación entre los puntos de la recta AB y la recta AB'?
¿Construye el parámetro C sobre la recta AB y el parámetro T sobre L?
Bonus Activity:
69
Ahora suponga que ni A, ni B están sobre L, y que la recta AB no contiene al punto
P. ¿Cómo demostrarías la tercera parte del teorema?
Para resolver esta pregunta el estudiante debe ver los puntos como objetos
móviles capaces de adquirir grados de libertad de acuerdo a la generalidad del
problema, por ejemplo, si el estudiante desea resolver el problema de forma trivial
solo tiene que darle al punto P dos grados de libertad, esto quiere decir hacer que
pertenezca a una recta, en otras palabras solo tiene que crear un punto libre sobre
la recta AB que contiene a los A y B para demostrar el teorema (ver figura 20).
En este aspecto es donde el docente juega un papel importante en cuanto
resuelve las inquietudes de los estudiantes, esto les permite a los estudiantes
avanzar con mayor seguridad al comprobar que su estrategia es correcta o va por
buen camino.
Figura 20: Solución trivial de la pregunta 2 de la actividad 3.
Para el caso en donde la recta l no contiene a los punto B y P se hace necesario
utilizar la transformación perspectiva para lograr la solución, la cual demostrará el
teorema que nos indica que para definir el plano son necesarios una recta l y el
punto P (ver figura 21).
70
Figura 21: Solución para el caso II de la pregunta 2 de la actividad 3. Adaptado de Projective Geometry,
1938 by Veblen & Young.
Como P y B no pertenecen a l se construye un haz de recta que los contenga, de
este modo el punto P sería el punto de observación. Esto permite que desde el
punto P se pueda establecer una relación biunívoca entre los puntos de la recta
AB y la recta l, por tanto podemos sustituir la recta AB por la recta l, es decir, se le
aplica una transformación perspectiva a la recta AB desde el punto de vista del
punto P, obteniendo como resultado la recta l.
En otras palabras, se hace necesario dejar estáticos los puntos B y B’ para
determinar que el punto B es único dentro de la recta AB, por consiguiente es
necesario crear un punto libre C24 sobre la recta AB para mostrar que hay tantos
puntos sobre la recta AB como puntos de la recta l, simplemente creando el haz
de rectas25 que pasan por C y P.
El último caso (ver figura 22) se colocó como material de bonificación debido a que
las dos horas de clase no alcanzan para resolver este tercer caso, pero se permite
que los estudiantes entreguen su respuesta en hora extra-clase.
24 En este caso el punto C sería considerado como una variable que representa cada uno de los
puntos de la recta AB. 25 Haz de rectas en el sentido de que el punto C es variable y se pondrá en movimiento dando como resultado un haz de rectas.
71
Figura 22: Solución para el caso III de la pregunta 2 de la actividad 3. Adaptado de Projective
Geometry, 1938 by Veblen & Young.
Nuevamente se recurre a la transformación perspectiva para solucionar el caso en
donde ninguno de los puntos pertenece a la recta l.
4.6. ACTIVIDAD N° 5. CONCEPTO DEL ESPACIO.
Esta actividad tiene como objetivo relacionar a los estudiantes con la
representación del espacio en la Geometría proyectiva. En donde se espera que el
estudiante realice una representación del espacio tridimensional en el AGD Cabri
3D, esto implica que el estudiante debe realiza un “oscillation phenomenon”. Es
decir, que el estudiante debe pasar de una estrategia de resolución a otra, porque
el AGD Cabri 3D posee restricciones para su exitosa representación.
La representación gráfica por medio de Cabri 3D del espacio tridimensional que
aparece en la pregunta 1 de la actividad N° 4, no es posible debido a la limitación
de Cabri 3D para reproducir infinitas rectas, ya que no es posible utilizar la
herramienta animación para este caso, por tanto se espera que los estudiantes al
no encontrar estrategia alguna para poder representar el espacio tridimensional
evidencien la limitación del AGD Cabri 3D, y realicen de esta forma el primer paso
para toda génesis instrumental el de la instrumentalización.
La necesidad de elaborar una explicación es más fuerte si los estudiantes tienen
que producir fenómenos que son imposibles de mostrar visualmente (Laborde,
1998), como en el caso de la representación del espacio tridimensional dentro del
contexto de Cabri 3D. Este tipo de preguntas requieren de una prueba, porque no
es posible obtener tal representación debido a las limitaciones del AGD Cabri 3D.
Al comienzo de la actividad los estudiantes estarán convencidos de que es posible
72
dicha construcción, pero se espera después de varios intentos fallidos que el
estudiante se dé cuenta de que es imposible representarlo, luego se le pregunta el
por qué para que a través de su propia experiencia explique el por qué no es
posible su construcción, para evidenciar el proceso de instrumentalización previo
en anteriores cursos de TIC.
1. La definición formal del espacio tridimensional en la Geometría Proyectiva es la
siguiente:
Sí P, Q, R y T son cuatro puntos no todos sobre el mismo plano, y si β es un plano
que contiene a los puntos Q, R y T, la clase S de todos los puntos que pertenecen
a las líneas que contienen a P y a cada uno de los puntos del plano β es
denominada el espacio de tres dimensiones determinado por P y β.
a) ¿Cómo representarías esta definición en Cabri 3D? ¿Qué entiendes por Clase
S? ¿Cómo representarías la Clase S en Cabri 3D?
b) ¿Es posible representar todos los elementos de la Clase S en Cabri 3D? ¿Por
qué?
2. Probemos el siguiente teorema:
Si A y B son puntos distintos sobre un espacio tridimensional φ, entonces cada
punto perteneciente a la línea AB pertenece a φ.
a) ¿Es cierto este teorema? ¿Cómo lo demostrarías? ¿Cuál sería la solución
trivial?
b) ¿Qué sucede si los puntos A y B pertenecen ambos al plano β?
c) Suponga el caso en donde A pertenece al plano β, B no pertenece al plano β y
la recta AB no contiene al punto P.
Genera una perspectiva del punto B sobre una recta L (que contiene a A) desde el
punto de vista de P. Luego construye la recta AB.
¿Qué nos falta para aplicar la definición de espacio tridimensional y terminar la
demostración?
Existen dos soluciones triviales para este ejercicio, la primera es el caso en donde
los puntos A y B pertenecen al plano, debido a la definición de plano en Geometría
proyectiva queda demostrado. La otra solución trivial nace simplemente cuando el
punto P pertenece a la recta AB.
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Cuando se supone que A esta en el plano β, B no pertenece al plano β y la recta
AB no contiene al punto P es el tercer caso, entonces sea B’ ∈ β diferente de A
talque es colineal con B y P. Sea el punto libre M perteneciente a la recta AB el
cual representa todos sus puntos, el haz de recta que contiene a P y M corta a la
recta AB’ en M’. Entonces M’ ∈ 𝛽 y por tanto M’ ∈ 𝜑, por hipótesis P ∈ 𝜑, por tanto
la recta M´P ∈ 𝜑, lo que automáticamente conlleva a decir que M ∈ 𝜑, lo que
demuestra el teorema (ver figura 23).
Figura 23: Solución para la pregunta 2 de la actividad 4. Adaptado de Projective Geometry, 1938 by
Veblen & Young.
4.7. ACTIVIDAD N° 6. TEOREMA DE DESARGUES.
En la primera pregunta del teorema de Desargues se pide que el estudiante vea
un archivo26 anexo en la plataforma Moodle sobre el teorema de Desargues, en
donde el estudiante debe mediante el arrastre identificar las propiedades de
construcción del teorema y determinar las propiedades invariantes, ya que esto
conlleva a que el estudiante defina el objeto matemático.
26 El archivo mencionado se subió a la plataforma Moodle de la Universidad del Valle, éste consiste
de un Applet de Cabri 3D que contiene el constructo del teorema de Desargues en el plano, y está incrustado en Word para que se pueda ejecutar y explorar por medio del arrastre de algunos de sus puntos sin el uso directo de Cabri 3D.
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La actividad N° 5 es del tipo II de acuerdo a Laborde (1998):
Dibujos animados ofrecen fenómenos visuales más fuertes que un dibujo
estático. Una propiedad espacial puede emerger como una invariante en el
movimiento considerando que esto podría no ser evidente en un plano
estático. En este último caso, podría no observarse, por ejemplo, que una
línea recta siempre pasa por un punto determinado. Asumimos que en las
tareas (ii) el entorno de software da más importancia a la observación visual
y por lo tanto puede obligar a los alumnos a explicar por qué obtienen tales
fenómenos visualmente notables. El entorno de software puede facilitar la
apropiación de la explicación o la tarea de prueba por el niño, o en términos
de Brousseau puede facilitar el proceso de devolución del problema; el
alumno adquiere la propiedad de la tarea mientras que en un entorno
tradicional, una tarea que acredite puede verse como una tarea de la
escuela sin ninguna relación con fenómenos visuales (p. 5).
1. De acuerdo a la construcción (ver archivo Teorema de Desargues):
a) ¿Dichos triángulos están sobre un mismo plano? ¿Por qué?
b) ¿Qué propiedades poseen los triángulos ABC y A'B'C'?
c) ¿Desde el punto de vista de O los triángulos son semejantes o congruentes?
¿Por qué?
d) ¿Los lados homólogos siempre se intersectarán? ¿Por qué?
e) ¿Los puntos Q, R y P siempre serán colineales? ¿Por qué?
2. Construye el teorema de Desargues en Cabri 3D para el espacio tridimensional:
a) Construye un triángulo equilátero que no pertenezca al plano β.
b) Construye su imagen perspectiva en el plano β.
c) ¿La imagen perspectiva del triángulo equilátero también es un triángulo
equilátero? ¿Por qué?
d) ¿Los lados homólogos de estos dos triángulos se intersectan? Verifique
construyendo sus intersecciones.
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e) Sin necesidad de trazar una línea que contenga los puntos de intersección de
los lados homólogos, ¿cómo demostraría que son colineales?
Para resolver la primera pregunta basta con explorar mediante el arrastre el Applet
del teorema de Desargues en el plano, y responder las preguntas que tienen como
objetivo el reconocimiento por parte del estudiante de las propiedades invariantes
dentro del constructo, además del manejo espacial para responder la pregunta N°
1 c) de la actividad N°5, debido a que desde el punto de vista de O los dos
triángulos coinciden perfectamente, por tanto la respuesta es que ambos
triángulos son congruentes.
La pregunta N°2 de la actividad 5 tiene como objetivo que el estudiante demuestre
el segundo paso de toda génesis instrumental, la instrumentación, es decir que el
estudiante mediante su conocimiento del AGD Cabri 3D represente de acuerdo a
sus esquemas mentales el objeto matemático, ya que existen varias formas de
construir un triángulo equilátero en Cabri 3D, el estudiante deberá identificar cuál
es la forma más cómoda para él y aplicarla (ver figura 24).
Figura 24: Construcción de Perspectividad del teorema de Desargues en el espacio tridimensional.
Luego se les pide a los estudiantes que construyan la prolongación de los lados
homólogos de los dos triángulos para que verifiquen que en efecto se intersectan,
algunos estudiantes observarán debido a su construcción que no todos los lados
homólogos se intersectan perfectamente, para ello basta con mover uno de los
puntos de esquina que conforman el triángulo equilátero para solucionarlo (ver
figura 25).
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Figura 25: Prolongación de lados homólogos dentro del teorema de Desargues en el espacio
tridimensional.
Para demostrar que los puntos de intersección de los lados homólogos son
colineales decimos que pertenecen a la intersección de dos planos, el plano al
cual pertenece el triángulo equilátero y el plano al cual pertenece su proyección
perspectiva, lo que demuestra el teorema.
4.8. ACTIVIDAD FINAL.
La Actividad Final consiste de nueve preguntas. Esta prueba se hizo en el
programa Hot Potatoes y se ajustó de manera que las preguntas aparecieran en
orden aleatorio, al igual que las diferentes respuestas, y se subió a la plataforma
Moodle.
El objetivo de estas preguntas es evaluar cada uno de los conceptos trabajados
durante las seis actividades, las habilidades adquiridas de reconocimiento e
identificación de conceptos de objetos tridimensionales representados en Cabri
3D.
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CAPÍTULO 5. ANÁLISIS A POSTERIORI
Dentro de cada una de las actividades los estudiantes usaron las trasformaciones
perspectivas como herramientas para relacionar puntos de una recta en otra, esto
les permitió identificar relaciones para buscar soluciones a los problemas.
El AGD Cabri 3D les permitió a los estudiantes construir de acuerdo a su ritmo y
forma de trabajo. A partir de aquí el docente debe interpretar y evaluar el
constructo respecto a nuevos conocimientos que hacen los estudiantes.
Lo interesante de las actividades es que el estudiante realiza una serie de
secuencias de transformaciones perspectivas en donde analiza los conceptos más
importantes de la Geometría Proyectiva, y crea nuevos conocimientos a partir de
sus preconceptos y su estructuración de trabajo.
El resultado de cada actividad fueron varios constructos de Perspectividad, en
donde se representan conceptos e incluso teoremas, en donde su aplicación es
fundamental para resolver un problema, las definiciones fueron utilizadas en las
actividades 4, 5 y 6 que requerían de su aplicación directa, pero no fueron
utilizadas como una herramienta para la producción de un constructo en Cabri 3D.
Esto se evidencia en las respuestas de los estudiantes debido a que se basan
primeramente en la Perspectividad antes que en las definiciones, teoremas y
conceptos de plano y del espacio.
Por otra parte el entorno de lápiz y papel no fue muy necesario en cada actividad
pero esto no basto para que una estudiante lo usara durante la construcción en
Cabri 3D en la actividad N° 3. Esto implica que la estudiante no incluye al AGD
Cabri 3D como uno de sus ambientes seguros de trabajo, debido a que tuvo que
recurrir a otro muy diferente para poder visualizar las propiedades del constructo.
Además cambiar de un ambiente informático a un ambiente de lápiz y papel altera
el constructo en función del instrumento, es decir, que la instrumentación presenta
cambios potenciales de construcción y presenta nuevas limitaciones, en cuanto a
los grados de libertad del constructo, ya que hacer el cambio del ambiente en
Cabri 3D a un ambiente de lápiz y papel limita las representaciones del espacio a
representaciones en dos dimensiones27.
27 Aunque Cabri 3D es un Ambiente de Geometría Dinámica cuyas representaciones espaciales están en un plano de dos dimensiones, como lo es la pantalla del computador, las
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El ambiente informático de aprendizaje permitió no solo que el estudiante explore
o reconozca propiedades de la Geometría Proyectiva, sino que le admitió crear
nuevos objetos, constructos que exigen una mayor abstracción en términos de
conceptualización, debido a que la construcción debía cumplir ciertas propiedades
de Perspectividad, también la demostración exigía la construcción de un punto
libre quien representa todos los puntos del objeto matemático, ya sea una recta,
plano o el espacio.
Este nuevo tipo de construcción conceptual implicó para los estudiante re-
conceptualizar Cabri 3D en términos de grados de libertad, característica nueva en
una construcción tradicional. Las condiciones que requerían los constructos
referentes a puntos fijos y libres formaron poco a poco los pasos necesarios para
la elaboración de un constructo que permitiera resolver el problema.
Por ejemplo en la actividad sobre el teorema de Desargues algunos estudiantes
utilizaron la proposición 1 del libro 1 de Euclides para construir un triángulo
equilátero, en contraste otros estudiantes empezaron de una manera un poco
inusual pero permitida debido al programa Cabri 3D, por medio de un punto
central28 y un punto perteneciente a uno de los vértices del triángulo, o por medio
de un eje y un punto del vértice del triángulo, en otras palabras, la
instrumentalización delimita nuevas formas de construcción de las propiedades
geométricas. Esta característica limita la construcción del triángulo equilátero a los
grados de libertad porque el triángulo solo rotará si se construye de la primera
forma. Sí se utiliza la segunda forma el triángulo equilátero se desplazará solo a
través del eje y rotará a través de éste.
5.1. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD N° 1. ACTIVIDAD DE ENTRADA.
Los estudiantes demostraron excelentes habilidades para el reconocimiento de
representaciones de objetos tridimensionales en las preguntas dos y cuatro,
diseñadas para verificar la relación de los estudiantes con algunas de las
principales características de Cabri 3D.
transformaciones proyectivas en las cuales se basa el AGD Cabri 3D generan la sensación de
tridimensionalidad, efecto que no sucede en el ambiente de lápiz y papel. 28 Sí se desea construir el triángulo equilátero en el plano, es decir, el punto central debe pertenecer a un plano.
85
En la primera pregunta recurrieron al concepto de punto de fuga para explicar el
comportamiento del punto O, identificaron correctamente que el punto O se
mantiene fijo respecto a los tres vectores unitarios que representan el espacio
tridimensional, y que el punto P se mueve a través de la recta hacia el infinito.
Los estudiantes visualizaron la rotación a través del espacio de la línea recta, lo
que hizo evidente sus habilidades para identificar rotaciones, y representaciones
en el espacio. Pero no lo relacionaron con la rotación de los vectores unitarios,
aunque la respuesta fue correcta.
En la tercera respuesta se les dificultó relacionar el punto con la recta, es decir, en
principio no observaron la rotación de los vectores unitarios que se construyeron
para mostrar un punto de vista en frente de la recta.
86
La pregunta sirvió para comprobar que los estudiantes identifican diferentes
puntos de vista de una representación de una figura tridimensional, estuvieron en
capacidad de ver mentalmente los diferentes lados de la figura.
En la última pregunta se necesitó una explicación sobre Perspectividad y
transformación perspectiva para poder resolver este ejercicio, no entendían
porque se mostraron aquellos segmentos de haz de recta comprendido entre la
recta azul y la recta comprendida por los tres puntos que aparecen en la primera
imagen y tercera imagen.
Cuando se les explicó que estaba relacionado con la noción de punto de fuga
lograron observar el proceso que se desarrolla en la secuencia, es decir, el de unir
los tres puntos colineales que hacen parte de la perspectiva desde el punto de
vista del punto de fuga.
Algunos estudiantes presentaron inconvenientes para comprender las preguntas 1
y 3 de la Actividad de Entrada29, esto se debió a que no se encerró en un recuadro
cada una de las imágenes de la secuencia, por tanto el estudiante creyó que los
vectores unitarios eran una imagen más, y no hacía parte de la representación
geométrica que le antecedía. Por esto fue necesario realizar una sesión en donde
29 En esta prueba se pretende aclarar preconceptos existente en los estudiantes, además de verificar los conocimientos previos respecto al Pensamiento espacial.
87
se les explicó a los estudiantes las respuestas a cada una de las preguntas la
estructura de las secuencias y se discutieron los temas alusivos a conceptos de la
Geometría Proyectiva.
A continuación se analizan las actividades del conjunto de Situaciones Problema
en el cual los estudiantes matriculados fueron 24 pero solo 19 estudiantes
participaron en la ejecución de las actividades 3, 4, 5 y 6, que se desarrollaron en
las semanas del 3 de Noviembre al 9 de Noviembre, del 10 de Noviembre al 16 de
Noviembre, del 17 de Noviembre al 23 de Noviembre y del 24 de Noviembre al 30
de Noviembre del 2012 respectivamente.
En cuanto a las respuestas de los estudiantes solo se seleccionan dos ellos en
cada una de las situaciones, con el objetivo de seleccionar las respuestas más
significativas, además el tipo de respuesta dada por ellos fueron muy semejantes.
Referente al uso de Moodle cabe resaltar su importancia en cuanto a instrumento
de recolección de datos, porque las respuestas que se toman de los estudiantes
se obtuvieron al descargar los trabajos de los espacios denominados tareas.
5.2. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD N° 3. LÍNEA PERSPECTIVA Y HAZ DE
RECTAS.
1. Construye una recta r y un punto O no perteneciente a r. Se define la aplicación
que a cada punto P de la recta r, le hace corresponder la recta p que pasa por O,
que contiene al punto P (haz de rectas).
En principio los estudiantes tuvieron inconvenientes con el concepto de haz de
recta y haz de rectas, dicha diferencia solo radica en el contraste entre singular y
plural respectivamente. Por tal razón en las preguntas de evaluación se utiliza la
expresión “haces de recta” con Z para dar a entender que son infinitas rectas que
cumplen las propiedades de un haz de recta, por consiguiente pasan por el mismo
punto O.
La mayoría de los estudiantes lograron construir un haz de recta en el plano, en la
figura 26 se muestra una construcción en donde el punto O no pertenece al plano,
esta característica permite que los estudiantes desarrollen conocimientos, ya que
una propiedad implícita y que no se mencionó en clase es que la recta r y el punto
O deben pertenecer al mismo plano, pero puede ser cualquier plano distinto del
plano de color gris estándar de Cabri 3D. Este fue el motivo por el cual no se
88
mencionó dicha propiedad ya que podría crear prejuicios en los estudiantes antes
de empezar a construir.
Figura 26: Construcción de un haz de recta respecto a una recta por el estudiante Cristian.
¿Qué características en términos de grados de libertad posee el punto P de la
recta r?
Esta pregunta sirvió para que los estudiantes identificaran características de la
construcción en Cabri 3D, que posteriormente se utilizará para demostrar
teoremas y definiciones de la Geometría Proyectiva.
Julia: El punto P se puede mover únicamente sobre la recta r sin ningún
inconveniente. Cuando movemos P no hay forma de que éste esté por fuera
de la recta.
Cristian: El punto P de la recta r puede moverse libremente sobre r.
En este momento el estudiante se percata de que existen grados de libertad para
las construcciones. Ellos comprendieron muy bien el significado del concepto de
grados de libertad por medio del arrastre y la exploración de las propiedades
invariantes.
¿Si movemos el punto P la nueva configuración sigue siendo un haz de recta?
A continuación se le pide al estudiante que identifique algunas características del
haz de recta para introducirlo a un concepto más general como lo es el de haz de
rectas.
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Julia: Al mover el punto P la nueva configuración sigue siendo un haz de
recta puesto que se continúa cumpliendo las condiciones iniciales
establecidas: P pertenezca a la recta r y por el punto P pasa otra recta
(recta OP).
Cristian: efectivamente al mover el punto P, la nueva configuración sigue
siendo un haz de recta, sigue conservando las mismas características que
se plantearon al inicio.
¿Cómo se visualiza el haz de rectas que pasan por el punto O?
La mayoría de los estudiantes lograron diferenciar el concepto de haz de recta del
de haz de rectas después de la actividad N° 2, gracias a la construcción del punto
libre P sobre la recta r.
Julia: El haz de rectas que pasan por el punto O son aquellas rectas que se
generan al ubicar un punto P sobre una recta y trazar una nueva recta tal
que pase también por O y que sea diferente a la inicial. Luego el haz de
rectas está dado por todas las rectas generadas al mover el punto P que
continúan cumpliendo con la condición inicial (P pertenece a la recta inicial
y hay otra recta que pasa por O y el punto de intersección entre las rectas
siempre es el mismo, es decir el punto P). Al mover el punto P se sigue
siendo un haz de recta y el conjunto de todas estas rectas son un haz de
rectas.
Cristian: Se visualiza como el conjunto de rectas (infinitas rectas) que pasa
por O (punto exterior a r) y por P (punto que pertenece a r).
2. Análogamente construye, un plano α que no pertenezca al plano anterior, y haz
corresponder a cada punto M del plano α la recta m que pasa por O que contiene
al punto M (haz de rectas).
La construcción de la figura 27 demuestra que el estudiante realizó un buen
proceso de instrumentalización, lo que le permite realizar construcciones
fácilmente.
90
Figura 27: Construcción de un haz de recta respecto a un plano por el estudiante Cristian.
¿Cuáles son las rectas del haz que no se corresponden con ningún punto del
plano α?
Para comprender las características del haz de rectas en el espacio, el estudiante
identifica en principio las características fundamentales del haz de recta que pasa
por M y O.
Julia: Al mover tanto el punto M como O para saber qué rectas de haz no
pertenecen, es posible evidenciar que nunca sucede esto puesto que el
siempre el haz de rectas generados cumplen con las condiciones iniciales
de que M pertenezca al plano α y el punto O a otro plano.
Cristian: Todas las rectas del haz corresponden con algún punto M del
plano, puesto que el punto M pertenece al plano, esta propiedad o
condición es invariante e independiente al movimiento de la recta m.
¿Qué grado de libertad posee el punto M?
En esta pregunta el estudiante identifica el siguiente grado de libertad, el de grado
dos alusivo al plano, concepto fundamental para comprender las características
del haz de rectas en el espacio.
91
Julia: El punto M se mueve libremente sobre el plano α al mover el punto M
en ocasiones se pierde en el plano, pero esto es porque no se alcanzan a
visualizar ya que el programa genera una parte de este plano, sin embargo
el punto M sigue perteneciendo al plano α.
Cristian: El punto M se mueve de forma total sin ninguna restricción sobre el
plano ɑ.
¿Cómo se visualiza el haz de rectas que pasan por O?
Los ejercicios anteriores sirvieron de base para que el estudiante creara el
concepto de haz de rectas, por ejemplo el estudiante Cristian incluye todas las
características antes vistas para definir el concepto de haz de rectas de manera
precisa.
Julia: El haz de rectas que pasan por O son todas aquellas rectas que se
generan, al mover el punto M y siguen conservando las condiciones
iniciales, es decir todas las rectas generadas al mover M. siempre es
posible visualizar la recta OM, tal que M pertenece al plano α y O pertenece
a otro plano.
Cristian: Se visualiza como el conjunto de rectas (infinitas) que cumplen la
condición de pasar por el punto M (Que pertenece al plano) y por el punto O
(exterior al plano) con total grado de libertad, siempre que los puntos M y O
conserven las condiciones iniciales.
La mayoría de los estudiantes siguiendo esta secuencia definieron el concepto de
haz de rectas satisfactoriamente, aunque no hay que descartar que unos cuantos
estudiantes no lograran conceptualizar debido a que no manejan una geometría
espacial, como en el caso de un estudiante que escribió que se le dificulta
visualizar en 3D.
92
5.3. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD N° 4. CONFIGURACIÓN Y CONCEPTO DEL
PLANO.
1. Completemos el siguiente teorema de la geometría proyectiva:
Sí A, B y C son puntos no todos sobre la recta L, sea D y E (D diferente de E)
puntos tales que B, C, D, son colineales y C, A, E también son colineales,
entonces...
Los estudiantes demostraron un buen proceso de instrumentalización y
posteriormente de instrumentación al desarrollar un constructo fiel a las exigencias
planteadas por el problema de representar el anterior teorema, lo que permite al
estudiante visualizar mejor el problema planteado, en este caso tenemos la figura
28 en donde la estudiante Yesica realiza la construcción fuera del plano estándar
de color morado, esto permite al estudiante identificar que dicho teorema alude al
plano.
Figura 28: Construcción del teorema sobre haz de rectas por la estudiante Yesica.
93
a) ¿A, B, C están sobre el mismo plano? Construye en Cabri 3D un plano con
estos tres puntos.
Shirley: Si están sobre el mismo plano, pues he construido el plano con
ellos.
Josué: Si porque a partir A, B y C se construye el nuevo plano.
b) ¿Los puntos E y D están sobre el mismo plano? ¿Por qué?
El estudiante desarrolla habilidades para comprobar la pertenencia a un plano de
puntos que aparecen fuera de él, los estudiantes identificaron relaciones de
pertenencia de puntos a rectas que pertenecen a un plano, luego por medio de la
transitividad demostrar la pertenecía de los puntos al plano.
Shirley: Podrían estar en el mismo plano pues ambos son puntos colineales
y con ellos y otro no colineal podría construir un plano.
Josué: E y D están sobre el mismo plano, puesto que el plano fue
construido a partir de los puntos que contienen ambas rectas y estas
comparten un punto en común que es el punto C.
c) Ahora construye la recta que contiene a los puntos E y D. ¿Son paralelas las
rectas ED y AB? ¿Qué sucede si son paralelas?
Aquí se evidencia la actividad N°2 en donde se les mostró por medio del AGD
Cabri 3D que sucedía en Geometría Proyectiva cuando dos rectas son paralelas,
el procedimiento consistió en evidenciar de manera visual que dos rectas paralelas
se cortan en el infinito, para ello se construyó tales rectas y se colocó el plano de
forma horizontal para dar la sensación de estar justo en el medio de las dos
rectas, esto es semejante a la percepción que el ojo humano tiene de las líneas
del ferrocarril.
Shirley: No son paralelas pues cuando construyo estas rectas ellas se
intersectan en un punto al cual llamaremos F.
Josué: Se puede hacer que las rectas sean paralelas, pero estas rectas en
el infinito se van a interceptar.
94
d) Construye el punto F común a las rectas ED y AB. ¿El punto F pertenece al
mismo plano? ¿Por qué?
Este punto es fundamental ya que el estudiante creó estrategias para comprobar
que un punto pertenece a un plano cuando gráficamente se encuentra fuera de él,
esto es importante porque lo prepara para la demostración del teorema de
Desargues.
Shirley: Si pertenece al mismo plano, porque A B y F son colineales y el
plano ha sido construido con los puntos A, B y C.
Josué: El punto F pertenece al plano que se construyó a partir de los puntos
A, B y C, debido a que este nuevo punto sale de la intercepción de las
rectas ED y AB, que fueron creadas a partir de puntos pertenecientes a las
rectas que se hicieron inicialmente.
e) ¿Cómo completarías el teorema?
Los pasos anteriores sirvieron para abstraer la tesis final del teorema en cuestión,
esto evidencia cuando los estudiantes presentan su conclusión aludiendo al punto
F común entre la rectas ED y AB, característica que permite relacionar
automáticamente el punto F con el plano creado con los puntos A, B y C.
Shirley: Las rectas que formadas con los puntos A y B y las rectas formadas
por los puntos E y D se interceptan en un punto que pertenece al plano
formado por A, B y C.
Josué: Si existe un punto en común entre las rectas ED y AB, entonces ese
punto de intersección pertenece al mismo plano.
2. La definición formal del plano en la Geometría Proyectiva es la siguiente:
Sí P, Q, R son tres puntos no todos colineales, y L es una línea que contiene a Q y
R, la clase S (es una relación entre dos conjuntos) de todos los puntos sobre las
líneas que contienen al punto P y cada uno de los puntos de la recta L se
denomina el plano, el cual está determinado por P y L.
95
a) Verifiquemos el siguiente Teorema:
Si A y B son puntos sobre el plano β, entonces cada punto perteneciente a la línea
AB pertenece al plano β.
¿Es cierto este teorema? ¿Cómo lo demostrarías? ¿Cuál sería la solución trivial?
Como apertura se propone al estudiante que encuentre una solución trivial, pero
esta solución implica que el estudiante diferencia puntos fijos de puntos libres, y
en adición que establezca una relación de generalidad del punto libre, es decir,
que este va a representar a todos los puntos de la recta AB.
En este caso los estudiantes no produjeron la idea de inmediato, por tanto el
profesor recurre a la pregunta una vez construida la línea AB, ¿qué se necesita
para representar a todos los puntos de la recta AB? De donde el estudiante John
responde dando la solución trivial al problema.
Shirley: Es cierto pues A y B pertenecen al plano y la línea que los
contienen también pertenece al plano por lo tanto cualquier punto sobre la
línea pertenece al plano.
John: Si es cierto, lo demostraría poniendo los puntos A y B sobre el plano,
trazo una recta l, que me pase por estos dos puntos y colocaría el punto P
sobre esta recta y sería la solución trivial.
Este paso es muy importante ya que el estudiante identifica las características
adicionales de los puntos, rectas y planos en función de las condiciones
necesarias para resolver un teorema, condiciones que más adelante le serán útiles
para introducirse en el proceso demostrativo.
b) Suponga el caso en donde A pertenece a la recta L, B no pertenece a la recta L
y la recta AB no contiene al punto P.
Construye la recta BP. ¿Es paralela a la recta L? ¿Qué sucede si es paralela?
Construye en la intersección entre BP y L el punto B'.
Al no contener el punto P se le da claridad al estudiante sobre el aspecto de
grados de libertad que poseen los elementos de construcción en Cabri 3D pero
que usados con una finalidad pedagógica en función de la Geometría Proyectiva
adquieren características conceptuales que les permite cambiar de grados de
libertad según sea la necesidad, como en esta caso en donde el punto P se libera
96
del orden del libertad 1 y adquiere un orden mayor, con el fin de generalizar en la
demostración del teorema. La figura 29 nos revela el primer intento de relacionar
puntos de la recta l con la recta AB mediante una transformación perspectiva.
Figura 29: Construcción del caso II (paso 1) para el teorema del plano por el estudiante John.
Julia: L no es paralela a BP, pues en algún punto en el infinito se cortarán
en un punto, esto es de acuerdo a la definición de geometría proyectiva.
Con la definición de la Geometría Proyectiva la estudiante hace alusión al punto
impropio en donde dos rectas paralelas se intersectan en el infinito, por tanto
aunque la recta BP sea paralela a la recta l siempre existirá un punto de
intersección lo que permite que el teorema siempre se cumpla.
c) Desde el punto de vista de la Perspectividad el haz de recta BP define una
relación biunívoca entre el punto B y el punto B' a través de P, esto nos permite
relacionar de manera biunívoca cada elemento de la recta AB' con la recta AB.
¿Cómo construirías dicha relación entre los puntos de la recta AB y la recta AB'?
Construye el parámetro C sobre la recta AB y el parámetro T sobre L.
Para establecer una relación del tipo biunívoca es menester utilizar el concepto de
transformación perspectiva, en la figura 30 el estudiante John deja el punto B
como punto fijo, por tanto no puede tratarlo como un punto variable o libre para
representar todos los puntos de la recta AB, esto con el fin de construir una
trasformación perspectiva general para que los puntos de la recta AB tengan su
homólogo o se traslade completamente a la recta l.
97
Figura 30: Construcción del caso II (paso 2) para el teorema del plano por el estudiante John.
La estudiante Julia define los parámetros dados T y C como aquellos puntos de la transformación perspectiva generalizada que permiten trasladar los puntos de la recta AB a la recta l, es una forma de decir en este caso que los puntos que
pertenecen a la recta AB poseen la misma característica que los puntos de la recta l, que se encuentran en el mismo plano.
Julia: Para realizar esta relación escojo un punto C sobre la recta AB y trazo
una línea recta CP, luego marco el punto de intersección entre CP y AB ’ y
obtengo el parámetro T.
Bonus Activity:
Ahora suponga que ni A, ni B están sobre L, y que la recta AB no contiene al punto
P. ¿Cómo demostrarías la tercera parte del teorema?
Debido a que no alcanzó el tiempo de clase para desarrollar esta actividad se dejó
como material de bonificación, en otras palabras opcional, pero debido a eso la
mayoría de los estudiantes no lo resolvieron.
En la figura 31 el estudiante John nos muestra como mediante una transformación
perspectiva desde el punto de vista del punto P se relacionan los puntos A, B y
cada uno de la recta AB con la recta l.
98
Figura 31: Construcción del caso III para el teorema del plano por el estudiante John.
El estudiante Cristian también relaciona de la misma forma los puntos de la recta AB con los puntos de la recta l, este método de relación demuestra el teorema debido a que el haz de rectas relaciona cada punto de la recta AB (incluyendo a
los puntos A y B) con la recta l, primer requisito de la demostración.
Luego los mismos haz de rectas por construcción están relacionados con el punto
P lo que permite reconocer la pertenencia de todos estos elementos al mismo
plano.
Cristian: Construyo o trazo unas rectas restantes para poder relacionar las
rectas AB con L y con A’B’.
5.4. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD N° 5: CONCEPTO DEL ESPACIO.
1. La definición formal del espacio tridimensional en la Geometría Proyectiva es la
siguiente:
Sí P, Q, R y T son cuatro puntos no todos sobre el mismo plano, y si β es un plano
que contiene a los puntos Q, R y T, la clase S de todos los puntos que pertenecen
a las líneas que contienen a P y a cada uno de los puntos del p lano β es
denominada el espacio de tres dimensiones determinado por P y β.
a) ¿Cómo representarías esta definición en Cabri 3D? ¿Qué entiendes por Clase
S? ¿Cómo representarías la Clase S en Cabri 3D?
En la figura 32 se evidencia una de las limitaciones del AGD Cabri 3D, al intentar
representar el espacio tridimensional mediante la definición en Geometría
Proyectiva, los estudiantes se encontraron con varios obstáculos para representar
99
infinitas rectas o para cubrir todo el espacio con la herramienta de sector, ya que
esta solo permite recubrir sectores mediante tres puntos, luego solo cubre un
sector del plano no del espacio.
La estudiante Yesica representó solo un sector del haz de rectas de la clase S que
define el espacio según la definición, y para ello utilizó la herramienta tetraedro, en
si es una excelente aproximación por que la figura 32 representa su esquema
mental que conceptualiza la definición, es decir puede visualizar los haz de rectas
como un conjunto de infinitas rectas cuyos puntos en conjunto representan el
espacio tridimensional.
Figura 32: Representación de la clase S en Cabri 3D por la estudiante Yesica.
Yesica: La anterior construcción muestra un plano B que contiene a los
puntos Q, R y T, y sea un punto P que no pertenece a este. Sea PQ, PR y
PT. Entiendo por clase S como el lugar geométrico de todos los puntos de
las rectas PQ, PR y P, sin ignorar que los puntos Q, R, y T se pueden
mover por el plano, igualmente P se mueve fuera de él, entonces formas
infinitas líneas. La clase S se representa en Cabri 3D por medio de una
construcción de un poliedro convexo, en este caso un tetraedro.
100
Cristian: Conjunto de infinitos puntos definidos por las infinitas líneas que
contienen a P y a cada uno de los puntos del plano β.
b) ¿Es posible representar todos los elementos de la Clase S en Cabri 3D? ¿Por
qué?
Los estudiantes demostraron una excelente instrumentalización al identificar las
limitaciones del AGD Cabri 3D. La instrumentalización es fundamental en todo
proceso de génesis instrumental debido a que es el primer paso que me delimita
que puedo hacer con el artefacto, esto influye en el objeto matemático a construir.
Yesica: No es posible representar todos los elementos de la clase S, dado
que estos infinitos.
Marisol: Como ya dije la clase S tiene infinitos puntos que están ubicados
en infinitas rectas que pasan por P y Beta, por esta razón no se puede
representar todos sus elementos.
James: no se puede representar la clase S en Cabri ya que este programa
no sirve para construir figuras o solidos infinitos, la única forma sería limitar
el espacio, pero nos encontraríamos otro problema ya que nos costaría
mucho trabajo hacer infinitas rectas.
2. Probemos el siguiente teorema:
Si A y B son puntos distintos sobre un espacio tridimensional φ, entonces cada
punto perteneciente a la línea AB pertenece a φ.
a) ¿Es cierto este teorema? ¿Cómo lo demostrarías? ¿Cuál sería la solución
trivial?
La pregunta es semejante a la del plano pero ahora los puntos poseen un grado
de libertad 3, en otras palabras, pueden moverse a través del espacio
tridimensional y las características de la demostración cambian, debido a que los
estudiantes están acostumbrados a trabajar en el plano, pero aproximadamente la
mitad de ellos lograron abstraer la construcción y demostraron el teorema de
forma trivial.
Marisol: El teorema planteado es cierto, pues tenemos que A y B son dos
puntos que pertenecen al espacio tridimensional y en el punto anterior se
101
definió espacio tridimensional que son todos los puntos contenidos en una
recta y que pasan por P. En conclusión todos los puntos que se encuentran
entre A y B también pertenecen al espacio tridimensional.
James: Si es cierto, ya que si A y B pertenecen a espacio φ entonces la
línea que es formada por estos dos puntos también pertenecerá al espacio.
Lo podría demostrar por reducción al absurdo suponiendo que A y B
pertenecen a φ y la línea AB no pertenece a φ. sea un punto P que
pertenezca a la línea AB, como el punto P (móvil) pertenece a el espacio φ
esto nos llevaría a una contradicción puesto que todos los puntos de la
línea AB si pertenece a φ por ende la línea AB pertenece a φ.
Fue interesante en el caso del estudiante James la aplicación que hizo de uno de
los métodos de demostración más usado en la historia de las matemáticas, el
método del absurdo, el cual consiste en contradecir la tesis y partir de allí hasta
encontrar una contradicción.
Este proceso es importante porque el estudiante aprende a utilizar las
herramientas aprendidas para demostrar o comprender situaciones que lo llevan a
entender sus características y propiedades.
b) ¿Qué sucede si los puntos A y B pertenecen ambos al plano β?
En esta pregunta los estudiantes revelan un fuerte rechazo a utilizar la definición
antes dada del espacio tridimensional y solo se limitan a contestar la pregunta sin
llegar a la demostración trivial que surge al aplicar la definición.
También demuestra que la pregunta tal vez estuvo mal formulada, pero se
esperaba que al ser una pregunta que hace parte de una secuencia el estudiante
la relacionaría con las anteriores.
James: Si los puntos A y B pertenecen ambos al plano β entonces la línea
AB también pertenecería al plano β.
Julia: Si pertenecen ambos al plano β, luego la línea AB también
pertenecería al plano.
c) Suponga el caso en donde A pertenece al plano β, B no pertenece al plano β y
la recta AB no contiene al punto P.
102
Genera una perspectiva del punto B sobre una recta L (que contiene a A) desde el
punto de vista de P. Luego construye la recta AB.
¿Qué nos falta para aplicar la definición de espacio tridimensional y terminar la
demostración?
En la figura 33 el estudiante Darío muestra su interpretación para el caso III de la
demostración del teorema, la cual es correcta y utiliza un punto auxiliar llamado R,
este punto es utilizado para visualizar un plano cualquiera que pase a través de la
línea RA, el punto de observación es P.
No cambia la estructura de la demostración con esta variante, a continuación el
estudiante aplica la definición del espacio en Geometría Proyectiva tomando el
haz de rectas que pasan a través de P y queda demostrado el teorema.
Figura 33: Construcción del caso III para el teorema del espacio por el estudiante Darío.
Darío: Nos faltaría construir un plano con la recta RA, tal que no contenga a
P y además trazar el haz de rectas que pasan por el punto P, y cortan el
plano construido con la recta RA.
5.5. ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD N° 6: TEOREMA DE DESARGUES.
1. De acuerdo a la construcción (ver archivo Teorema de Desargues):
103
Los estudiantes exploraron el Applet sobre el teorema de Desargues en el plano,
para algunos fue difícil identificar si el constructo pertenecía al plano debido a que
el plano estándar se colocó invisible para que no se supiera fácilmente su
pertenencia a él (ver figura 34).
Figura 34: Ilustración de la exploración hecha por la estudiante Nathaly para comprobar la pertenencia
en el plano.
a) ¿Dichos triángulos están sobre un mismo plano? ¿Por qué?
Solo los estudiantes que movieron la gráfica hasta quedar horizontal, como en el
caso de Nathaly, se percataron de que la construcción estaba hecha en el plano.
Nathaly: El teorema nos indica que los planos deben estar sobre un mismo
plano, además la construcción lo hace evidente.
Josué: Ambos triángulos están sobre el mismo plano, debido a que desde el
punto O los triángulos son perspectivos y los tres pares de lados homólogos
convergen en los puntos P, R y Q que son colineales.
En el caso de Josué ignora el hecho de que dos triángulos pueden ser
perspectivos sin necesidad de pertenecer al mismo plano, como se verá en el
teorema de Desargues.
b) ¿Qué propiedades poseen los triángulos ABC y A'B'C'?
La proporcionalidad de los lados de los triángulos no se cumple excepto si los
lados homólogos son paralelos. Debido a que en la Geometría Proyectiva se
cumplen los postulados de la Geometría de Euclides.
Nathaly: Los triángulos son semejantes, ni sus lados ni sus ángulos son
iguales.
104
Darío: Los triángulos son semejantes, tienen sus tres ángulos iguales y
tienen sus respectivos lados son proporcionales.
c) ¿Desde el punto de vista de O los triángulos son semejantes o congruentes?
¿Por qué?
En la figura 35 la estudiante Nathaly por medio del arrastre identificó las
propiedades de la construcción del teorema de Desargues en el plano, en donde
verificó si los triángulos podrían superponerse como evidencia de congruencia.
Une estrategia permitida gracias al AGD Cabri 3D.
Figura 35: Ilustración de la exploración hecha por la estudiante Nathaly para determinar las
propiedades de la construcción.
El estudiante Josué recurrió a sus conocimientos previos de semejanza de
triángulos y los confrontó con el constructo en el Applet.
Josué: Desde la perspectiva del punto O se puede ver como el punto centro
en la que se aplicó una transformación al triangulo A´B´C´ por medio de un
factor que multiplica las distancias generando el triángulo ABC, a esta
transformación se le llama homotecia, por lo cual se puede decir que ambos
triángulos son semejantes.
James: Desde el punto de vista de O los triángulos son semejantes y en
algunos casos particulares podría ser congruentes ya que al observarlo
105
desde este punto ladeado produce un efecto de congruencia, aquí pasa lo
mismo de la pintura del cráneo30.
El estudiante James creó una estructura mental que le permitió rotar el constructo
de tal forma que pudiese ver el frente del punto de observación O, de esta forma
los triángulo se verían superpuestos.
d) ¿Los lados homólogos siempre se intersectarán? ¿Por qué?
La mayoría de los estudiantes identificaron la intersección como dada por la
construcción, pero solo el estudiante Darío demostró aproximarse al carácter
general de demostración al considerar el caso no mostrado por el constructo, esto
demuestra su capacidad de abstracción debido a que es el caso oculto de la
situación, el caso en el que las rectas que surgen de la prolongación de los lados
homólogos son paralelas.
Además utiliza uno de los axiomas de la Geometría Proyectiva para justificar su
argumentación, aspecto importante para una aproximación al proceso
demostrativo.
Nathaly: Si se intersectaran, dado que en la construcción se ve que su
intersección respectivamente se encuentra en la recta donde se encuentran
los puntos P, Q, y R. POR EJEMPLO: el lado AC se intersecta con A’B’ en
el punto R.
Darío: Los lados homólogos siempre se intersectaran ya que desde un
punto de vista de la geometría proyectiva ya que dos rectas o semirrectas
tendrán un punto en común en algún lugar.
e) ¿Los puntos Q, R y P siempre serán colineales? ¿Por qué?
En esta pregunta el estudiante Darío abstrae una relación de condición necesaria
y suficiente entre la hipótesis y la tesis del teorema, en otras palabras, el
estudiante visualiza que siempre que los triángulos están en perspectiva de s un
punto O sus lados homólogos se intersectan y en viceversa, si los puntos de
intersección de la prolongación de los lados homólogos de los triángulos están en
perspectiva desde una recta l, esto quiere decir que pertenecen a una misma
recta, entonces los lados homólogos a los que pertenecen harán que los triángulos
estén en perspectiva. Esta característica incluso se cumple en el espacio.
30 El estudiante hace alusión a la pintura llamada Jean de Dinteville y Georges de Selve de Hans Holbein el Joven, en donde se presenta una anamorfosis de un cráneo humano, esta pintura se les mostró a los estudiantes en la actividad N° 2 que ocurrió el salón de clase.
106
Darío: estos puntos siempre serán colineales ya que para que se cumpla
este teorema es necesario que los triángulos estén en una perspectiva
desde una línea recta en la cual los puntos Q, R y P pertenezcan a ella.
Josué: Desde mi punto de vista esto puede ser relativo, si las triángulos son
construidas de forma que cada uno de los lados de un triángulo sean
paralelos al de la otra, sus lados homólogos no se intersectaran, claro está
que en la geometría proyectiva estos se intersectaran pero ¿cómo probar
que estos son colineales?
2. Construye el teorema de Desargues en Cabri 3D para el espacio tridimensional:
a) Construye un triángulo equilátero que no pertenezca al plano β.
En la figura 36 la estudiante Marisol confronta sus conocimientos previos de los
anteriores curso de fundamentos de geometría en donde se enseña la proposición
1 del libro 1 de Euclides, pero para resolverlo de esta forma encontró la
herramienta homóloga del compás en Cabri 3D, lo que demuestra no solo la etapa
de la instrumentalización sino de la instrumentación, en donde el estudiante crear
el objeto matemático a partir de su utilización de Cabri 3D, por consiguiente se
evidencia el proceso de la génesis instrumental de la estudiante Marisol.
Figura 36: Construcción de un triángulo equilátero utilizando la proposición 1 del Libro 1 de Euclides
por la estudiante Marisol.
En la figura 37 tenemos el segundo ejemplo de génesis instrumental, en este caso
el estudiante James recurre a una de las herramientas que proporciona Cabri 3D
para la construcción de triángulos equiláteros, que consiste de un eje y un punto
del vértice del triángulo equilátero. Este tipo de construcción hace muy sencilla la
107
tarea, pero genera un problema para el reconocimiento de la igualdad de los lados
del triángulo imagen que pertenece al plano β.
Solo se cumple que el triángulo imagen es equilátero si el eje con el que se
construyó el triángulo equilátero es perpendicular al plano.
Figura 37: Construcción de un triángulo equilátero por medio de un eje y un punto del vértice del
triángulo equilátero por el estudiante James.
La figura 38 es el último tipo de génesis instrumental dada por la estudiante
Shirley, en donde utiliza la segunda forma de construcción de un triángulo
equilátero por medio de Cabri 3D, que consiste de un punto central en un plano
cualquiera y un punto perteneciente a uno de los vértices del triángulo equilátero.
De este modo Shirley necesita de dos planos, uno para construir el triángulo
equilátero y otro para representar su imagen o sombra en el plano β.
108
Figura 38: Construcción de un triángulo equilátero por medio de un punto central en el plano y un
punto perteneciente a uno de los vértices del triángulo equilátero por la estudiante Shirley.
b) Construye su imagen perspectiva en el plano β.
Para la construcción de la imagen perspectiva los estudiantes aplicaron los
conocimientos antes adquiridos de transformación perspectiva en el espacio, por
ende utilizaron el haz de rectas para crear una Perspectividad desde el punto de
vista de O en el plano β (ver figura 39).
Figura 39: Construcción de la imagen perspectiva de un triángulo equilátero por la estudiante Marisol.
109
c) ¿La imagen perspectiva del triángulo equilátero también es un triángulo
equilátero? ¿Por qué?
No todos los estudiantes tenía la herramienta medida en Cabri 3D, como en el
caso del estudiante Josué quien tuvo que recurrir a sus conocimientos de
homotecia y aplicarlos al espacio para argumentar. En el caso de la estudiante
Marisol prefirió la prueba directa utilizando la herramienta medida en Cabri 3D, lo
que es igualmente válido (ver figura 40). Las diferencias heurísticas no implican un
menor o mayor grado de abstracción, solo demuestran el contexto de trabajo en el
que el estudiante se siente más cómodo.
Figura 40: Medición de los lados de los triángulos hecha por la estudiante Marisol.
Marisol: La imagen perspectiva no es un triángulo equilátero, como se
puede ver en la imagen el triángulo equilátero ABC cada uno de sus lados
mide 1,9 cm; por el contrario el triángulo DEF cada uno de sus lados tiene
diferente medida.
Josué: No, porque si se analiza la construcción como si fuera una
homotecia, los triángulos no son semejantes, esto es debido a que cada
uno de los puntos del triángulo equilátero no están a la misma distancia con
los puntos correspondientes del otro triangulo, por lo tanto la imagen
perspectiva no es un triángulo equilátero.
110
d) ¿Los lados homólogos de estos dos triángulos se intersectan? Verifique
construyendo sus intersecciones.
Los estudiantes comprobaron mediante la construcción de que efectivamente los
lados homólogos de los triángulos se intersectan e incluso son colineales,
simplemente construyendo una recta por medio de dos de ellos y el tercero
coincide al menos visualmente.
En la siguiente pregunta muchos se conformaron con una respuesta rápida como
la de la estudiante Marisol, en cambio otros como el estudiante Josué, quien
aunque no encontró la solución para demostrar que dichos puntos son colineales
demostró un pensamiento más reflexivo.
Marisol: Se evidencia en la construcción.
Josué: Si se interceptan, esto se puede ver gracias a que los planos en los
que se construyeron los triángulos no son paralelos, si ese fuera el caso
solo en geometría proyectiva se intersectarían, pero no creo que haya el
modo de comprobar que los puntos de las intersecciones de los lados
homólogos sean colineales.
e) Sin necesidad de trazar una línea que contenga los puntos de intersección de
los lados homólogos, ¿cómo demostraría que son colineales?
Esta pregunta reveló uno de los aspectos más importantes en el quehacer de un
matemático, el estudiante Josué plantea una solución desde un punto de vista
diferente, en ocasiones grandes teoremas en la historia de las matemáticas solo
han podido ser resueltos cambiando el contexto de la pregunta, para de este modo
demostrar un teorema paralelo al anterior y solucionarlo. Es importante que el
estudiante empiece a realizar este tipo de estrategias porque lo introduce en el
que hacer matemático, esto en un futuro se vería reflejado en la enseñanza que él
dará a sus estudiantes.
Nathaly: Son colineales porque las rectas formadas por los lados
correspondientes, también están en la perspectiva respecto al punto O, por
lo tanto se van a cortar en la intersección de los planos a los que
pertenecen los triángulos que como se sabe, la intersección de dos planos
forma una recta.
Josué: Poner un punto P´ en otro lugar del espacio, luego trazar recta que
pase por puntos P´ y P.
111
Trazar recta paralela a la recta PP´ que pase por Q, con la misma distancia
y la misma dirección que tiene el punto P al punto P´, trasladar medidas
sobre la recta que pasa por Q que me creara a Q´.
Trazar recta paralela a la recta PP´ que pase por R, con la misma distancia
y la misma dirección que tiene el punto P al punto P´, trasladar medidas
sobre la recta que pasa por R que me creara a R´.
Como sabemos 2 puntos determinan una recta
Trazar la recta P´Q´. Trazar la recta Q´R´
Si se puede demostrar que estas dos rectas son paralelas, por transitividad
se puede decir que la recta P´R´ también es paralela a las otras dos rectas
y como ambas tienen un punto Q´ que es común, estas pertenecen a la
misma recta, y como estas fueron hechas a partir de los punto P´, Q´ y R´
que salieron de las rectas paralelas trazadas en los puntos P, Q y R, por lo
tanto estos puntos también pertenecen a la misma recta.
En la prueba final los estudiantes demostraron un mejor desempeño y
reconocimiento de los axiomas y teoremas estudiados en este conjunto de
Situaciones Problema, además se evidenció un progreso en los estudiantes
menos avanzados quienes en la Actividad de Entrada tenían notas entre 2.8 hasta
4.0, en la prueba final el intervalo subió a estar entre 4.5 y 4.9. Esto evidencia una
mejora en términos de desempeño académico, el dato curioso en el caso de los
estudiantes aventajados fue el hecho de ocurrir exactamente lo contrario, bajaron
hasta un intervalo entre 4.2 y 4.6.
En términos generales la génesis instrumental que se configura por cada uno de
los estudiantes fue satisfactoria, permitió reconocer la creación de nuevos
conocimientos y el fortalecimiento de su proceso demostrativo que se evidencia en
su argumentación y construcción mediante el AGD Cabri 3D.
112
CONCLUSIONES.
La exploración de las propiedades de los axiomas y de algunos teoremas de la
Geometría Proyectiva se ejecutó con éxito por parte de los estudiantes mediante
el AGD Cabri 3D en un ambiente informático de aprendizaje. Cabe decir que la
intuición de la línea perspectiva estuvo presente en cada una de las actividades
cuando el estudiante creaba una haz de recta desde un punto fijo (generalmente el
punto de vista O) y un punto libre perteneciente a una recta diferente del haz,
estas características implícitamente generaron la línea perspectiva debido a los
grados de libertad del punto libre, característica potente en cuanto a la posibilidad
de animación manual con solo arrastrar el punto libre.
Por medio del arrastre los estudiantes manipularon, verificaron y se autoevaluaron
respecto a sus conocimientos y constructos geométricos, gracias a las
restricciones y condiciones iniciales dadas. El ejercicio de exploración y
construcción favoreció la cognición en función de la visualización y reconocimiento
de propiedades que permiten construir el objeto matemático con mayor precisión y
eficacia.
La posibilidad de utilizar el programa Cabri 3D les permitió a los estudiantes
construir de acuerdo a su ritmo y forma de trabajo, es por esto que son programas
que permiten al estudiante plasmar sus pensamientos en un medio informático.
A través de la interpretación basada en los constructos por medio del AGD Cabri
3D los estudiantes diferenciaron con un alto grado de precisión la diferencia entre
haz de recta y haz de rectas, aspecto fundamental para la comprensión y
aprehensión del concepto del espacio en Geometría Proyectiva. Esto sirvió para
comprobar que los estudiantes crearon estructuras mentales que les permitió
desarrollar un excelente proceso de instrumentalización al reconocer una de las
limitaciones del AGD Cabri 3D referente a la imposibilidad de representar el
espacio desde el punto de vista de la Geometría Proyectiva.
Además se evidenció que las heurísticas estuvieron permeadas por la
demostración por medio escrito o gráfico siguiendo la misma estructura
procedimental lógica expuesta en cada pregunta. Lo que implica un desarrollo
operatorio aproximadamente formal en los enlaces de los argumentos escogidos
por cada estudiante.
113
Esto se evidencia en afirmaciones hechas como la del estudiante James:
James: Si es cierto, ya que si A y B pertenecen a espacio φ entonces la
línea que es formada por estos dos puntos también pertenecerá al espacio.
Lo podría demostrar por reducción al absurdo suponiendo que A y B
pertenecen a φ y la línea AB no pertenece a φ. sea un punto P que
pertenezca a la línea AB, como el punto P (móvil) pertenece a el espacio φ
esto nos llevaría a una contradicción puesto que todos los puntos de la
línea AB si pertenece a φ por ende la línea AB pertenece a φ.
La expresión “sea un punto P” es quizá la más importante en su argumentación
debido a que demuestra su aproximación a la conceptualización del proceso
demostrativo, al establecer un elemento P con la característica de pertenecer a la
recta AB, este paso lo lleva automáticamente a establecer una relación necesaria
y suficiente entre la pertenencia del punto P a la recta AB y su pertenencia al
espacio por medio de la propiedad transitiva de la Geometría Euclidiana que
conlleva a la contradicción.
En algunos casos los estudiantes aludían a desarrollar constructos en el espacio
cuando el constructo pertenecía al plano, aspecto fructuoso que evidencia la
potencialidad del AGD Cabri 3D para la retroalimentación o feedback. Es decir, el
estudiante logra evidenciar las propiedades del teorema o axioma, lo que le
permite deducir conclusiones sobre la naturaleza del enunciado para
comprenderlo.
Todo esto nos comprueba que las transformaciones perspectivas pueden ser una
excelente vía de acción para comprender el espacio, ya que les permite
interactuar por medio de Cabri 3D en sentido manipulativo con las propiedades
invariantes de sus representaciones. Conservando la interacción del docente de
forma indirecta.
La funcionalidad de la plataforma Moodle permitió que el estudiante trabajara de
una forma más cómoda, debido a que pudo continuar el proceso de aprendizaje
fuera de la clase, en los casos que por falta de tiempo no terminaron las
situaciones problema en las dos horas de clase.
La facilidad de acceso y de gestión de cursos que posee Moodle permitió al
docente crear un escenario de uso en donde los estudiantes participaron
activamente en el proceso educativo, y fue fundamental la asesoría docente para
completar el proceso.
114
La herramienta Taller fue importante en el diseño de las Situaciones Problema
porque permitió la autoevaluación de los estudiantes frente a su producción
geométrica, al confrontar su constructo con las condiciones necesarias para su
construcción.
Elaborar una Situación Problema para docentes en formación implica que éstos se
involucren directamente en el desarrollo de éste tipo de situaciones, lo que a largo
plazo genera una mayor inclusión de las TIC en el aula por parte de éstos
docentes, especialmente en educación matemática para los niños.
La Geometría Proyectiva es un vasto campo de las matemáticas con un horizonte
muy amplio en términos investigativos, y el AGD Cabri 3D presenta
características de transformación proyectiva cuando se arrastra de forma
horizontal un objeto construido generando el efecto de rotar dicho objeto en el
espacio. Es decir, Cabri 3D presenta una potencialidad mayor para identificar
propiedades de objetos tales como un cubo, un tetraedro, y demás cónicas desde
el punto de vista de las Transformaciones Proyectivas.
Es pertinente este trabajo porque se está formando futuros maestros que
probablemente romperán algunas de las barreras presentadas en esta
investigación.
Es interesante seguir con la creación de cursos en la plataforma Moodle, además
de la implementación de nuevos grupos de Situaciones Didácticas sobre las
transformaciones proyectivas.
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