ejemplo secuencia didáctica

Tutor: Dr. Marcel Pochulu

Ferrero, Mara Carolina

Trabajo realizado en el marco de la

Diplomatura en Enseanza de la

Matemtica con Nuevas Tecnologas de la

Universidad Nacional de General Sarmiento.

Construccin de Cuadrilteros

1 Construccin de Cuadrilteros


ndice.

Introduccin. ........................................................................................................................................ 3

Consideraciones sobre la Propuesta. ................................................................................................... 4

Propsitos de la Secuencia. ................................................................................................................ 4

Objetivos de la Secuencia. .................................................................................................................. 4

Contenidos y Procedimientos que se desarrollarn en la Secuencia. ...................................................... 5

Conocimientos Previos Necesarios. ..................................................................................................... 5

En relacin a la disciplina. ............................................................................................................... 5

En relacin a las Tics. ..................................................................................................................... 5

Recursos al servicio de la Secuencia. .................................................................................................. 6

Secuencia de Actividades. .................................................................................................................... 7

Primera Actividad: Construccin de Cuadrilteros a partir de la interseccin de ngulos. ................... 8

Objetivos. .......................................................................................................................................... 8

Conocimientos Previos. ...................................................................................................................... 8

Conocimientos que pueden emerger de la resolucin. ........................................................................... 8

Sobre la actividad. .............................................................................................................................. 8

Momento de Apertura. ........................................................................................................................ 9

Momento de Desarrollo. ...................................................................................................................... 9

Posibles Caminos de los Alumnos. .................................................................................................. 9

Posibles Intervenciones Docentes. ................................................................................................. 15

Momento de Cierre. .......................................................................................................................... 19

Segunda Actividad: Construccin de Cuadrilteros a partir de Tringulos (con el doble de rea). ...... 20

Objetivos. ........................................................................................................................................ 20

Conocimientos Previos. .................................................................................................................... 20

Conocimientos que pueden emerger de la resolucin. ......................................................................... 20

Sobre la Actividad. ........................................................................................................................... 20

Momento de Apertura. ...................................................................................................................... 21

Momento de Desarrollo. .................................................................................................................... 21

Posibles Caminos de los Alumnos. ................................................................................................ 21



Tercera Actividad: Construccin de Cuadrilteros a partir de un Tringulo (con la misma rea). ........ 31



Objetivos. ........................................................................................................................................ 31

Conocimientos Previos. .................................................................................................................... 31

Conocimientos que pueden emerger de la resolucin. ......................................................................... 31

Sobre la Actividad. ........................................................................................................................... 31

Momento de Apertura. ...................................................................................................................... 32

Momento de Desarrollo. .................................................................................................................... 32

Posibles Caminos de los Alumnos. ................................................................................................ 32



Seguimiento y Evaluacin de la Secuencia. ........................................................................................ 45

Seguimiento. .................................................................................................................................... 45

Evaluacin. ...................................................................................................................................... 45

Tabla de cotejo por grupo y por actividad............................................................................................ 46

Fundamentacin de la Propuesta. ...................................................................................................... 48

Qu se entiende por Secuencia Didctica? Aspectos significativos para el trabajo. .............................. 48

El EOS en la Secuencia de Actividades. ............................................................................................. 48

Algunas Consideraciones Importantes. ........................................................................................... 49

La Secuencia bajo el foco de Matemtica Crtica. ................................................................................ 49

Consideraciones sobre la Propuesta. ............................................................................................. 50

Las Heursticas en la Secuencia. ....................................................................................................... 50

Aspectos Significativos sobre la Secuencia. .................................................................................... 51

El Diseo Curricular y su incidencia en la secuencia. ........................................................................... 51

Aspectos sobre la Propuesta. ........................................................................................................ 52

Bsqueda y Gestin de Informacin como parte de las Actividades. ..................................................... 52

tems significativos para la secuencia. ............................................................................................ 53

Justificacin y Anlisis de la Secuencia de Actividades. .................................................................... 54

Bibliografa. ........................................................................................................................................ 58

Anexo N 1: ........................................................................................................................................ 60



Introduccin. En el siguiente trabajo se presenta una Secuencia Didctica elaborada a partir de los

conocimientos vistos y adquiridos en la Diplomatura en Enseanza de la Matemtica con Nuevas Tecnologas de la Universidad Nacional de General Sarmiento.

En el mismo se intentan mostrar los aspectos ms significativos de su elaboracin y su posible implementacin. La secuencia consta de tres actividades, junto a sus objetivos, conocimientos previos y emergentes, resoluciones viables de los alumnos y posibles intervenciones docentes; aspectos que intervienen en los momentos de apertura, desarrollo y cierre.

Posteriormente, se tienen en consideracin algunos tems importantes sobre el seguimiento y la evaluacin de la misma.

Consecuentemente, se aborda su fundamentacin desde tres lneas de la Didctica de la Matemtica, el Diseo Curricular de la Provincia de Crdoba, y de la Bsqueda y Gestin de la informacin.

Por ltimo, y no por ello menos importante, se realiza la justificacin de las actividades desde criterios planteados como indicadores de calidad matemtica.



Consideraciones sobre la Propuesta. Asignatura: Matemtica. Curso: Primer ao Profesora do en Matemtica (Geometra) Tercer Ao Escuela Secundaria. Eje Temtico: Geometra y Medida. Ttulo de la Secuencia: Construccin de Cuadrilteros desde distintos Conceptos

Matemticos. La secuencia didctica ha sido diseada con la finalidad de darle sentido a la integracin de

los contenidos aprendidos y enseados durante todo el recorrido transitado por los alumnos hasta el momento1. Por ello, se ubica como trabajo final, como cierre de la unidad de geometra respectiva a un Tercer Ao de la Educacin General Bsica, segn lo indica el Diseo Curricular de la Provincia de Crdoba.

Consta de tres actividades relacionadas entre s, en forma de espiral, de manera que una se relaciona con la otra, promoviendo acercamientos constantes entre ellas, desde distintos conceptos y procedimientos, de manera tal que el alumno a partir de los saberes previos que posee y los surgidos de la actividad pueda resolver la siguiente y/o volver sobre ella para mejorarla o asignarle otros significados.

La esencia de la misma es que el alumno pueda interrelacionar conceptos para obtener construcciones y clasificarlas, que se apropie de ellos y los utilice en otros contextos para resolver las situaciones problemticas planteadas.

El trabajo se encuadra dentro de una serie de clases y una labor de bsqueda, anlisis y reflexin extra ulica. Como mnimo se planifica para nueve clases, pero todo depender del grupo2 de alumnos y su motivacin, de las dificultades que se presenten, de la disponibilidad de recursos (ejemplo, conexin a internet, etc.), entre otras cosas.

Propsitos de la Secuencia.

Acercar a los alumnos a la construccin de cuadrilteros desde distintos puntos de partida y bajo diversas condiciones iniciales. Aproximarlos al trabajo que exige argumentar cada una de sus producciones a partir del entramado de conceptos inherentes al tema.

Incitarlos a trabajar sobre cuestiones que quizs no haban pensado an, como la posibilidad de construccin de cuadrilteros a partir de la interseccin de ngulos o de tringulos, bajo la condicin de mantener el rea o con el doble de ella.

Provocar un cambio de visualizacin de las figuras planas como compuestas por otras equivalentes, o a la inversa; como posibles figuras semejantes y/o congruentes.

Objetivos de la Secuencia.

Construir de cuadrilteros a partir de distintas condiciones iniciales.

1 Haciendo referencia a los contenidos bsicos propuestos por el Diseo Curricular de la Provincia de Crdoba; para primer y segundo ao, y los vistos hasta el momento de la aplicacin de la secuencia en un tercer ao. 2 Las actividades fueron diseadas para ser trabajadas en grupos de dos alumnos, tres como mximo.



Producir y analizar construcciones geomtricas, utilizando cuando sea posible software geomtrico, acudiendo a argumentos deductivos, segn ciertas condiciones y propiedades inherentes a las figuras.

Emplear, explicitar y explorar las propiedades de figuras (tringulos y cuadrilteros) en la resolucin de problemas, con el fin de identificar la tipologa de las mismas.

Contenidos y Procedimientos que se desarrollarn en la Secuencia.

Exploracin y anlisis de figuras bidimensionales: tringulos y cuadrilteros, para caracterizarlas y clasificarlas.

Produccin de argumentaciones con base en propiedades para determinar condiciones (sobre lados, ngulos, diagonales) que permitan justificar construcciones de tringulos, cuadrilteros.

Elaboracin de argumentaciones sobre condiciones necesarias y suficientes para congruencia y semejanza de tringulos construidos a partir de distintas informaciones.

Anlisis reflexivo de procedimientos utilizados para construir figuras a partir de diferentes informaciones (propiedades y medidas) y evaluando la adecuacin de la figura obtenida a la informacin dada.

Uso de instrumentos de geometra y programas graficadores para la construccin de figuras.

Produccin de argumentaciones acerca de validez de propiedades de figuras como ngulos interiores, bisectrices, mediatrices, alturas, diagonales, lados y reas para justificar las resoluciones de problemas.

Conocimientos Previos Necesarios. En relacin a la disciplina.

Puntos. Puntos medios. Segmento: consecutivos y adyacentes.

ngulos (como interseccin de semiplanos). ngulos Cncavos y Convexos: Clasificacin. reas angulares. Sectores del plano. Bandas.

Rectas. Posiciones relativas: paralelas y perpendiculares.

Operaciones: Unin e Interseccin de objetos geomtricos.

Polgonos Cncavos y Convexos.

Cuadrilteros: elementos, clasificacin, propiedades, reas.

Tringulos: elementos, clasificacin, propiedades. Puntos notables, reas.

Movimientos en el Plano: rotaciones y reflexiones, ejes de simetra.

Media proporcional. Circunferencia (entendidas como lugar geomtrico). En relacin a las Tics.

Manejo bsico de software geomtrico o graficadores matemticos (por ejemplo Geogebra).

Elaboracin de presentaciones en Power Point.

Utilizacin del proyector.



Manejo de redes sociales (Facebook, entre otros.) Recursos al servicio de la Secuencia.

Papel y lpiz.

Instrumentos geomtricos.

Libros de textos.

Diccionario.

Calculadora.

Internet.

Netbooks.

Software matemtico.

Software de almacenamiento de datos.

Proyector.



Secuencia de Actividades. A continuacin se presentarn tres actividades, junto a sus respectivos momentos de

apertura, desarrollo y cierre. Cabe destacar que cada una de ellas exige, adems de trabajo ulico, trabajo en casa. Por

ello cada conjunto crear un grupo en Facebook, que les permitir mantenerse en contacto, discutir- conectar ideas y tomar decisiones, subir links, imgenes, enlaces, etc.

Los alumnos durante la labor requerida por la consigna podrn usar los programas Dropbox3 y google docs4 para sumar ideas al trabajo y actualizar la informacin. As se facilitar el trabajo grupal mientras se aprende.

3 Software de descarga gratuita, sincroniza el trabajo de un equipo en todos los dispositivos asociados. 4 Este programa permite, entre otras cosas trabajar sobre un documento en lnea.



Primera Actividad: Construccin de Cuadrilteros a partir de la interseccin de ngulos.

Objetivos.

Construir cuadrilteros a partir de la interseccin de ngulos.

Identificar y utilizar procedimientos matemticos para construir figuras.

Determinar clases de cuadrilteros, a partir de las caractersticas propias de cada una.

Recurrir al uso del lenguaje algebraico para generalizar propiedades aritmticas y geomtricas.

Conocimientos Previos.

Puntos. Puntos medios.

ngulos (como interseccin de semiplanos). ngulos Cncavos y Convexos: Clasificacin.

reas angulares. Sectores del plano. Bandas.


Operaciones de unin e interseccin de elementos geomtricos.


Cuadrilteros: elementos, clasificacin, propiedades de lados y ngulos. Conocimientos que pueden emerger de la resolucin.

Posibilidad de construccin de cuadrilteros a partir de la interseccin de dos ngulos.

Interpretacin de intersecciones de ngulos: distintas posibilidades. Sobre la actividad.

Existen condiciones que deban cumplirse para que los cuadrilteros determinados por la interseccin de dos ngulos cualesquiera pertenezcan a una clase particular? Justifica tu/s

respuesta/s.

Consigna: Presentar a partir de cualquier recurso que crean conveniente las producciones que

han llevado a cabo, acertadas o no, junto a sus respectivas justificaciones. No olviden anexar

cualquier comentario que crean conveniente.



La misma se plantea como una actividad que tiene como propsito identificar y recuperar conceptos, para introducir otros. Fue diseada para dos mdulos de 80 minutos aproximadamente.

Primera Clase: (momento de apertura y desarrollo) constar de tres espacios: uno de organizacin grupal (quizs de bsqueda o justificacin); otro, de elaboracin de construcciones y tercero, manifestacin de la tarea realizada al profesor. Aqu, el rol del docente consistir en coordinar, mediar, colaborar, observar y gestionar la actividad.

Segunda Clase: (momento de desarrollo y cierre) correccin de actividades resueltas, y posibles modificaciones en el soporte de presentacin. Puesta en comn, explicaciones pertinentes, debate grupal de las argumentaciones.

Momento de Apertura. La actividad ser presentada a los alumnos a travs del proyector y de manera on line5. Se har hincapi en que se deben anotar todos los caminos transitados para la resolucin

los acertados y los errneos, dado que todos son importantes porque a partir de ellos se aprende. Tambin se recalcar el hecho de ser claros a la hora de expresar sus ideas.

Momento de Desarrollo. Al inicio de este periodo los alumnos leern la consigna y buscarn los conceptos

desconocidos en diccionarios, libros, pginas de internet, etc. y comenzarn a interrelacionar conceptos de manera aleatoria.

Luego, podrn visualizar que la actividad plantea dos cuestiones: la primera, los vrtices de cada ngulo son interiores entre ellos y, la segunda, son exteriores al otro (tipo una estrella).

Posibles Caminos de los Alumnos. Camino N1: De la Interseccin a los Cuadrilteros, este recorrido muestra cmo los

alumnos partiendo de las posibilidades que brinda la interseccin, descubren bajo qu condiciones se construyen cuadrilteros, para luego determinar sus clases.

Camino N 2: De los Cuadrilteros al tipo de Interseccin, esta va de resolucin plantea el camino inverso al anterior, los alumnos desde la definicin de cuadrilteros y sus tipos, junto a las propiedades de los ngulos opuestos, intentarn plantear cules son las condiciones de la interseccin para que los mismos puedan construirse.

Camino N1: De la Interseccin a los Cuadrilteros. Inicialmente podran determinar qu es lo que se obtiene de la interseccin de dos ngulos.

5 Va Dropbox y/o google docs.



Figura N 1: Interseccin de ngulos.

En la Figura N 1, se observa que si los vrtices de los ngulos son interiores entre ellos, la

interseccin determina un cuadriltero; mientras que, si pertenecen a una misma recta horizontal o vertical, o si uno de ellos es parte del lado del otro, determinan uno nuevo ngulo.

Adems, si los lados son paralelos y uno de los vrtices es interior determinan una seccin del plano, posiblemente una banda o un rea infinita.

En cambio, si los vrtices son exteriores entre s, determinan un cuadriltero como se muestra a continuacin6.

Figura N 2: Vrtices exteriores a los ngulos dados.

En dicha instancia se abren para el alumno infinitas posibilidades de interseccin que debe

considerar para poder comenzar a trabajar. Se supone que las presentadas en las Figuras N 1 y N 2, son aquellas que encontrara inicialmente, aunque luego el lector descubrir que pueden presentarse otras durante la resolucin.

Posteriormente, podrn utilizar las representaciones que han considerado como cuadrilteros y a partir de ellas, comenzar a construir figuras particulares; para luego, establecer las condiciones necesarias para la consigna.

Se supone que el alumno expresara las siguientes conclusiones luego de un arduo trabajo.

6 Este tem se retomar ms adelante.



Caso N1: Los vrtices de uno son interiores al otro.

De ahora en adelante se llamar los ngulos que se intersecan.

Posibilidad N1: Si . Si son obtusos (o agudos) se obtiene un trapezoide.

Figura N 3: ngulos Obtusos- Agudos-Trapezoide.

Si , y los lados de los ngulos son paralelos entre s, entonces la figura obtenida es un paralelogramo.

Figura N 4: ngulos Congruentes y Lados Paralelos- Paralelogramo.

Manteniendo las condiciones anteriores, de la interseccin de ambos se obtiene un rombo

siempre y cuando los lados de los ngulos tengan todos sus lados congruentes. De lo contrario, si posee lados congruentes consecutivos y lados no paralelos, determina un romboide.

Figura N 5: Lados paralelos y congruentes- Rombo. Lados consecutivos congruentes- Romboide.

Si la figura obtenida es un rectngulo (si posee pares de lados congruentes) y si los cuatro lados son congruentes un cuadrado.



Figura N 6: ngulos Rectos-Rectngulo-Cuadrado.

Aqu se puede observar que necesariamente los lados de los ngulos deben ser

perpendiculares y el lado de uno debe ser paralelo al del otro.

Posible Conclusin de alumno: la interseccin de dos ngulos congruentes, cuyos vrtices son interiores entre s, determina un trapezoide. Solo bajo las circunstancias antes descriptas puede generar un cuadrado, un rombo, un paralelogramo, un romboide, un rectngulo.

Posibilidad N 2: Si .

Si obtuso y agudo (o a la inversa), o ambos son agudos u obtusos; la figura obtenida es un trapezoide.

Figura N 7: ngulos de interseccin distintos- obtusos y/o agudos- Trapezoides.

Si recto y agudo (o a la inversa), trapezoide.

Figura N 8: ngulos interseccin de un recto y un agudo- Trapezoide.



Si y agudos, o obtuso y agudo (o a la inversa), la interseccin determina un trapecio, condicin necesaria un par de lados paralelos. Si recto y obtuso (o agudo), trapecio rectngulo, condicin necesaria lados paralelos y uno perpendicular.

Figura N 9: ngulos interseccin de un recto y un obtuso (o un agudo)- Trapecio Rectngulo.

Si los lados son distintos es un trapecio escaleno, si un par de lados es congruente trapecio

issceles.

Figura N 10: ngulos interseccin de dos agudos o un obtuso y un agudo- Trapecio Escaleno- Trapecio Issceles.

Posible Conclusin de los Alumnos: la interseccin de dos ngulos distintos, cuyos

vrtices son interiores entre s, genera trapezoides; aunque bajo las condiciones nombradas anteriormente pueden crearse trapecios y sus tipos.

Caso N 2: El vrtice de uno de los ngulos es exterior al otro. La interseccin de dos ngulos agudos, un agudo y un recto, de un agudo y un obtuso:

trapezoides.

Figura N 11: Trapezoides.

Algunas aclaraciones importantes:



Pueden surgir en la bsqueda de solucin (que alumno podra haber olvidado al principio): la interseccin de ngulos obtusos, de dos rectos, de un ngulo recto y un obtuso determinan una regin del plano. No siempre la de un agudo y un obtuso determina un cuadriltero, en la figura se muestra claramente.

Figura N 12: Intersecciones que no son cuadrilteros.

Posible conclusin final de los alumnos- Caso N 2: a partir de la interseccin de dos

ngulos, cuyos vrtices son exteriores, solo se pueden generar trapezoides. El primer camino se basa en la heurstica trabajar hacia adelante, analizando cada caso

particular. Las intersecciones, necesariamente obligan a utilizar algn software, sobre todo cuando los vrtices son exteriores entre s, ya que permite visualizar los resultados mucho mejor.

Camino N 2: De los Cuadrilteros al tipo de Interseccin. Los alumnos primeramente podrn trabajar desde las caractersticas y propiedades de

cuadrilteros, teniendo en cuenta los ngulos opuestos y as, determinar cmo debe ser dicha interseccin.

Figura Propiedades de ngulos

opuestos. Interseccin de ngulos.

Condicin de interseccin.

Paralelogramo. Los ngulos opuestos son congruentes

Los ngulos tienen que ser congruentes.

Los lados de los ngulos deben ser paralelos de a pares.

Romboide. dem. dem. Los lados de cada ngulo deben medir lo mismo.

Rombo. dem. dem. Los lados de los lados deben ser congruentes.

Rectngulo. Los cuatro ngulos rectos. ngulos de 90. Los lados deben se paralelos y congruentes de a pares.

Cuadrado. Los cuatro ngulos rectos. ngulos rectos. Los lados de los ngulos deben ser congruentes.

Trapecio Issceles.

Los ngulos opuestos deben ser suplementarios.

Los ngulos deben ser suplementarios.

Un par de lados de los ngulos deben ser paralelos y el otro par debe ser congruente.

Trapecio Escaleno.

No existe condicin. Cualquier tipo de interseccin.

Un par de lados paralelos.

Trapecio Tiene un par de ngulos Uno de los ngulos debe dem anterior, uno de los lados de



rectngulo. rectos. ser recto. un ngulo debe ser perpendicular al otro.

Trapezoide. No existe Cualquiera. No existe.

Es necesario aclarar que para elaborar el cuadro anterior los alumnos realizaron primero

bsqueda de informacin y anlisis de la misma, luego observaron las propiedades de los ngulos opuestos de cada figura, posteriormente las relacionaron con lo que la consigna solicita7. Por ltimo, determinaron como deba ser la interseccin, para ello quizs, y teniendo en cuenta todos los tipos que pueden presentarse, recurran a interactuar con algn software para descartar posibles errores. En otras palabras, dibujaran un cuadriltero particular, observaran las caractersticas de los ngulos opuestos e intentarn establecer como deberan intersecarse los mismos, para extraer conclusiones.

Posibles Intervenciones Docentes. Primeramente los alumnos leern la consigna, e intentarn relacionar el concepto de ngulo

que poseen con lo que se solicita. Suponiendo que buscaron este concepto en la web, podran plantearse inconsistencias, dado que existen varias definiciones. Por ello se muestra a continuacin una intervencin en la cual, el docente, ayuda a gestionar una definicin pertinente para ser utilizada, basndose en el trabajo de clases anteriores y en la interpretacin de la definicin de ngulo como interseccin de semiplanos.

Docente: Presten atencin cmo han definido ngulo? Alumno 1: Segn Wikipedia: geomtricamente, Se le llama ngulo a la amplitud entre dos lneas de cualquier tipo que concurren en un punto comn llamado vrtice; coloquialmente, ngulo es la figura formada por dos lneas con origen comn. Entonces bajo estas definiciones, en la siguiente figura tendramos seis ngulos Cules intersecamos?

Alumno 1: Si me manejo con la definicin anterior al graficar me aparecen ms ngulos de los que quera intersecar cmo es? Docente: Algunos de ustedes encontr una definicin diferente a la del grupo anterior? Alumno 2: Nosotros, profe Docente: Me explican que hallaron Alumnos 2: Dados dos planos se llama ngulo convexo a la interseccin del semiplano respecto de la recta OA que contiene al punto B y el semiplano respecto a la recta OB que contiene al punto A.

7 Heursticas: Trabajar hacia atrs, dividir el problema en subproblemas, analizar casos sistemticamente.



Si en cambio, se considera la unin de los dos semiplanos queda determinado un ngulo cncavo. Si se suprime un ngulo convexo del plano, lo que queda es un ngulo cncavo.

Docente: Y ahora cul de las dos es la pertinente para la actividad? Y por qu? Entendieron las distintas definiciones????? Alumnos (en general): La primera la segunda. O no, no, las dosninguna. Docente: pero por qu??? Alumno 2: La primera queda descartada porque de la interseccin no obtengo nada, y porque vimos en clase la segunda. Docente: Con esa justificacin basta? Alumno 2: En la segunda definicin, intersecamos cuatro semiplanos parece ms lgico que intersecar semirrectas. De la primera definicin obtendramos un punto, mientras que en la segunda se obtienen sectores del plano, a veces delimitados por una poligonal cerrada: un polgono y a veces no. Alumno 1: Si y eso es lo que estamos buscando para la consigna. Alumno 2: Y s, porque sino la interseccin sera solo puntos y la consigna no apunta a eso Docente: Muy buen debate!!!!!!!!!!! Sigan trabajando

Aqu, el docente acta como mediador del debate, y son los alumnos los que concluyen

respecto a definicin de ngulo8. Durante el transcurso de la clase y trabajando sobre las posibles intersecciones9, podrn

perder el inters en la consigna negndose a buscar las distintas posibilidades. El siguiente dilogo muestra que la variabilidad puede desorientarlos o desmotivarlos.

Alumno: Profe mire prob con varias intersecciones y no obtengo ninguna figura solo regiones angulares.

8 Heurstica: Trabajar hacia adelante. 9 Heurstica: Anlisis de ejemplos.



Docente: Pero ac, solo veo dos? Alumno: Tengo que hacer ms? Docente: Y a vos qu te parece? Qu solicita la consigna? Alumno: (lee la consigna en silencio) que a partir de la interseccin de dos ngulos tengo que ver figuras. Docente: Y a vos te parece que las mostradas lo hacen? Alumno: No, no, ya se tengo que seguir probando Docente: Ojo! Si vos crees que son las nicas opciones, justifica tu postura. Record que no hay que perder el entusiasmo, que no siempre se resuelven rpidamente las consignas, que hay que madurar ideas, conceptos para poder visualizar un camino una construccin viable Alumnos: No, si solo prob con dos, voy a hacer ms. Docente: Bueno, despus me conts

La intervencin anterior muestra como el alumno puede desmotivarse al no encontrar una

solucin inmediata; quizs al planterselo a la docente, intente obtener una respuesta correcta; sin embargo, ste, sugiere la relectura de la consigna, y la bsqueda de ms variantes de interseccin10.

Adems, el profesor, solicita generalizacin de los casos11 presentados si el alumno realmente pensara que esas dos opciones son las nicas.

Tal vez pueda presentarse la situacin en la que no tenga claro el concepto de interseccin,

esto conllevara a interpretaciones errneas. Por ello a continuacin, se exhibe el siguiente dilogo.

Alumno 1: Profe mire lo que encontramos

La interseccin de y nos da un cuadriltero. Docente: Por qu lo aseguras?

10 Heurstica: Analizar ejemplos. 11 Heurstica: Verificar usando casos particulares.



Alumno 1: Porque la interseccin me da como resultado el polgono AGEH.

Alumno 2: Si, pero eso es - ? Docente: A vos que te parece Alumno 1? Alumno 1: No!... es la interseccin. Alumno 2: La interseccin de dos objetos matemticos es una operacin que resulta en otro objeto que contiene los elementos comunes a los dos objetos matemticos iniciales. Entendes? Alumno 1: Hu! Nada que ver claro lo que seal no es la interseccin. Alumno 2: Aparte ese cuadriltero que graficaste es cncavo.

Aqu el profesor gestiona el debate, se asegura que cada alumno intervenga de manera tal

que converjan a una conclusin. Se observa que son ellos quienes discuten y explican las ideas. Al mismo tiempo, en la bsqueda de los cuadrilteros, obtenidos de la interseccin, resulta

ms fcil encontrar los trapezoides, luego los paralelogramos y sus tipos junto al romboide; pero los trapecios presentan la particularidad de solo poseer un par de lados paralelos y junto a esto la

necesidad de pensar en otro tipo de interseccin ( ). En base a ello, se ha pensado la siguiente intervencin:

Alumno: Profe cmo hago para que la interseccin determine un trapecio? Es imposible! Docente: Haber Los alumnos de otro grupo aseguraron que el trapecio posee un par de lados paralelos. Ser cierto? Alumno: Mmm ms o menos porque eso ya lo tena presente Docente: En base a lo que ellos dijeron, Qu debera estar sucediendo con la interseccin de los ngulos? Alumno: Dios! Porque nos da estas actividades tan complicadas Docente: No son complicadas tomate tu tiempo para pensar y luego me conts

El alumno realmente no sabe cmo seguir y no encuentra el punto de unin entre los

conceptos intervinientes, el docente plantea lo utilizado por otro grupo para orientarlo en la bsqueda, y posibilita quizs un tiempo de reflexin sobre lo que tiene que hallar y lo que sabe12.

Despus de un periodo de tiempo, sucede lo siguiente:

Alumno: Profe!... descubrimos que ste cuadriltero es un trapecio

Docente: Y por qu creen eso? Alumno: Porque tiene un ngulo recto, entonces es un trapecio rectngulo. Docente: Recuerdan que en clases anteriores hablamos de la justificacin de nuestros trabajos? Alumno: No!... Docente: Qu deberan hacer sino lo recuerdan? Alumno: (Con cara de amargado) Googlearlo o buscar en la carpeta Docente: Muy Bien. Hacelo y despus seguimos hablando Alumno: (al rato) Profe! encontramos que justificar es demostrar una cosa, especialmente con pruebas y documentos escritos y en otra pgina que es probar una cosa con razones convincentes, testigos y documentos pero Por qu nos hace buscar esto?

12 Heurstica: Trabajar hacia adelante.



Docente: Porque en base a lo que me acaban de decir me pregunto, basta con decir que un cuadriltero es trapecio rectngulo porque tiene un ngulo recto? (solo vuelve sobre las palabras de sus alumnos). Alumno: Y no, lo que pasa es que recin no nos dej terminar de hablar Docente: Bueno, perdonen entonces... Alumno: Si el cuadriltero tiene un ngulo recto entonces los lados son perpendiculares listo... Docente: Pero entonces no es cierto lo que dijo el otro grupo sobre el par de lados paralelos Alumno: Mmm y s!.. Docente: Y?... Alumno: El otro grupo tiene razn porque vimos que los que no tiene lados paralelos son los trapezoides entonces lo que encontramos fue eso Docente: Muy Bien! Sigan trabajando

Durante el proceso de resolucin de la consigna, dilogos como el anterior, pueden

presentarse constantemente, lo importante es comprender que los alumnos deben relacionar muchos conceptos para poder determinar las clases de figuras, y esto puede confundirlos.

Si bien es cierto que algunas figuras sern encontradas rpidamente, otras requerirn de una reflexin. Es decir, de un ir y venir entre la representacin y la teora13, entre la bsqueda de definiciones y su aplicacin, entre las propiedades de cuadrilteros y la interseccin de dos ngulos, entre pensar a dichos ngulos como opuestos del nuevo polgono y o exteriores al mismo14.

Las posibilidades de trabajar son infinitas, se han mostrado solo tres caminos. Quizs en el trabajo ulico los alumnos lo hagan de formas impensadas, tal vez surjan cuestiones que no han sido contempladas.

Pero la idea fundamental de las intervenciones ha sido visualizar aquellas cuestiones importantes para el inicio de la resolucin, cuestiones de concepto y de posibles incontinencias referidas a la variedad de definiciones que pueden hallar los alumnos, diferentes a las que la consigna solicita.

Momento de Cierre. Despus del periodo anterior, los alumnos expondrn y defendern sus producciones al

frente de toda la clase. Lo podrn hacer con la ayuda de un soporte: pizarrn, lminas, power point, etc.

Posibles preguntas de la docente durante el debate, para iniciarlos en la generalizacin de lo

hallado:

Qu se obtiene de la interseccin de dos ngulos? Cmo se llama cada una opciones obtenidas?, Por qu?

En el caso de las figuras, de qu tipo de polgono estaramos hablando, por qu?, Qu condicin debe cumplir la interseccin para que la figura resulte ser un rombo, un cuadrado, rectngulo, romboide, un paralelogramo, un trapecio?

Qu sucede cuando ambos ngulos son iguales? Y cundo son distintos? Qu figuras determinan?

13 Heurstica: Recurrir a teora relacionada. 14 Heurstica: Trabajar para atrs.



Segunda Actividad: Construccin de Cuadrilteros a partir de Tringulos (con el doble de rea).

Objetivos.

Construir cuadrilteros a partir de tringulos.

Identificar y utilizar procedimientos matemticos para construir figuras de manera tal que se construyan con doble rea que la inicial.

Identificar las clases de cuadrilteros, a partir de las caractersticas propias de cada una.

Recurrir al uso del lenguaje algebraico para generalizar propiedades aritmticas y geomtricas.


Puntos. Puntos medios. ngulos.





Movimientos en el Plano: rotaciones y reflexiones, ejes de simetra. Conocimientos que pueden emerger de la resolucin.

Posibilidad de construccin de cuadrilteros a partir de tringulos bajo condiciones especiales.

Descomposicin de figuras.

Polgonos Congruentes. Sobre la Actividad.

A partir del polgono ABC, construir otro DEFG convexo, tal que este

ltimo tenga el doble de rea que el primero y mantenga por lo menos

uno de sus elementos.

Existen condiciones que debe cumplir ABC para que el cuadriltero

construido resulte ser alguno en particular? Explica tus conclusiones.

Consigna: Presentar sus acercamientos, acertados o no, a partir de cualquier recurso que

crean conveniente, junto a sus respectivas justificaciones. No olviden anexar cualquier

comentario que crean pertinente.



La misma se plantea como una actividad que tiene como propsito ampliar, complementar y profundizar conceptos. Fue diseada para tres mdulos de 80 minutos, aunque todo depender del avance en las producciones.

Primera Clase: consistir en el momento de apertura y de desarrollo, se plantea de la misma

forma que en la actividad N 1. Segunda Clase: (momento de desarrollo) Los alumnos retomarn lo realizado en la clase

anterior y lo que elaboraron fuera de ella, quizs continen con la bsqueda o la justificacin de lo hallado. Tal vez, consulten al profesor sobre algunas producciones.

Nuevamente, el rol del docente consistir en coordinar, mediar, colaborar, observar y gestionar la actividad. Adems, de posibilitar la correccin de las ya resueltas, e intervenir para la modificacin de posibles errores.

Tercera Clase: Puesta en comn, explicaciones pertinentes, debate grupal de las argumentaciones.

Momento de Apertura. La actividad ser presentada como la actividad N 1. Momento de Desarrollo. Inicialmente los alumnos, luego de leer la consigna, buscarn cul es la definicin de

tringulo y cules son sus elementos; posteriormente quizs hagan representaciones de un tringulo cualquiera para probar a travs de las mismas qu sta sucediendo al querer armar un cuadriltero.

Esta labor consistir en ensayos de prueba y error, tal vez en la bsqueda de ciertas regularidades puedan hallar conceptos matemticos intervinientes, como por ejemplo: reflexiones y rotaciones.

Los interrogantes que se vayan presentando derivaran nuevamente en la bsqueda de definiciones o en el mejor de los casos de ejemplos ya resueltos, pero el alumno deber volver siempre sobre sus elaboraciones para poder justificarlas.

El docente actuar como moderador y administrador de la actividad e intentar devolver al aprendiz sus interrogantes en forma de pregunta, para que contine con su proceso de construccin de manera individual. La idea fundamental es que l se convierta en responsable de lo que dice o afirma, y que el docente no asuma el rol de determinar si una actividad sta bien o mal resuelta.

La bsqueda constante de informacin (en libros, carpeta o la web) brinda la posibilidad al alumno de enriquecerse constantemente, de gestionar su propia informacin, entendiendo que la misma no consiste meramente en apropiarse solo de nuevos datos, sino que se constituye como un proceso en el cual transforma la nueva informacin que recibe y construye su propio conocimiento.

Posibles Caminos de los Alumnos. Los caminos viables son:

Camino N1: Abordaje del problema desde las condiciones y los datos dados. Posiblemente los alumnos intenten construir el polgono a partir de un tringulo usando los conceptos de reflexiones y/o rotaciones, sabiendo que estos movimientos en el plano mantienen



reas; su bsqueda se enfoca a que lo construido tenga el doble de superficie, y a los elementos que se mantienen en ellas luego de la construccin.

Camino N2: Anlisis de las caractersticas, suponiendo que se tiene la solucin del problema, seguramente el aprendiz partir de las frmulas de rea de cuadrilteros, e intentar determinar qu elementos del tringulo intervienen en ellas. Puede ocurrir que elaboren una tabla con estas ideas y establezcan cules son los tringulos que satisfacen las consignas.

Camino N1: Abordaje del problema desde las condiciones y los datos dados.

Como se dijo, los alumnos intentarn construir el polgono a partir de un tringulo usando varios conceptos y las posibles conclusiones, pueden ser las siguientes:

Dado un tringulo obtusngulo: si es escaleno, por reflexin sobre el lado de mayor longitud, se obtiene un cuadriltero romboide que mantiene dos lados, dos vrtices y un ngulo. Adems, el rea resulta ser el doble del rea del tringulo inicial.

Si es issceles, por reflexin sobre el lado ms largo, se obtiene un rombo que mantiene los mismos elementos.

Figura N 13: Tringulos Obtusngulos- Romboide y Rombo.

Si el tringulo es obtusngulo y se lo rota 180 sobre la mediatriz del lado con mayor distancia, se obtiene un paralelogramo que mantiene dos lados, un ngulo y el doble del rea. Si adems es issceles y se lo rota sobre la mediatriz de su base, se obtiene un rombo; lo mismo sucede para un escaleno.

Figura N 14: Tringulos Obtusngulos- Paralelogramo y Rombo.

Si el tringulo es rectngulo issceles y los ngulos restantes miden 45, al reflejar sobre la recta que pasa por la hipotenusa se obtiene un cuadrado; si son distintos de 45, se obtiene un rombo. En cambio s es escaleno con dos ngulos de 45, se puede construir un rectngulo, y si son distintos se obtiene un romboide. Es importante destacar que todas estas opciones mantienen dos lados, un ngulo y el doble del rea.



Figura N 15: Tringulos Rectngulos- Cuadrado, Rombo, Rectngulo y Romboide.

Si a un tringulo rectngulo issceles se lo rota sobre la mediatriz de la hipotenusa se obtiene un cuadrado, en cambio si se lo rota sobre la mediatriz de los catetos se obtiene un paralelogramo (se mantienen los mismos elementos que en el caso anterior). Por otro lado, si es escaleno y se lo rota sobre la mediatriz de la hipotenusa se obtiene un rectngulo, y sobre los catetos un paralelogramo.

Figura N 16: Tringulos Rectngulos- Cuadrado (B1BB2B2), paralelogramo (B1 BB2 C1), Rectngulo (ABCB).

Si es un tringulo acutngulo escaleno y se lo refleja sobre la recta que pasa por el lado con mayor distancia se obtiene un romboide. En cambio, si se lo rota 180 sobre la mediatriz se obtiene un paralelogramo; si es issceles y se lo rota sobre la mediatriz de la base se obtiene un rombo.

Figura N 17: Tringulos Acutngulos- Romboide (ABC2 B), Paralelogramo (B2BB1B2) y Rombo.



Si el tringulo es equiltero y se lo rota 180 sobre sus mediatrices, se obtiene un rombo, lo mismo sucede si se lo refleja sobre sus lados. En este caso, se mantienen un lado y dos vrtices.

Figura N18: Tringulos Equilteros- Rombo.

En esta resolucin el alumno trabaja siempre para adelante, es decir a partir de los datos de

la situacin problemtica obtiene cuadrilteros. Se supone que una vez hallados los inspecciona, basndose en las definiciones, para determinar su especie.

Interrelaciona constantemente los conceptos, juega con ellos y prueba hasta obtener alguna conclusin factible; trabaja con movimientos en el plano y va descartando aquellos que no le son tiles. Continuamente debe decidir cmo proseguir con su trabajo a partir de lo que construye, interpretando lo obtenido junto a la teora y a lo que la consigna solicita.

Camino N 2: Anlisis de las caractersticas, suponiendo que se tiene la solucin del

problema. La siguiente posible resolucin podra consistir en inspeccionar primeramente el polgono de

cuatro lados en base a su rea, y a travs de ello determinar cules son los tringulos que satisfacen la condicin del problema.

Tal vez comenzarn elaborando una tabla con las frmulas junto a sus respectivas figuras representativas, para luego identificar cules son los elementos que intervienen en ellas, teniendo en cuenta las propiedades de cuadrilteros.

La siguiente organizacin de datos, se basa principalmente en la conjetura que los alumnos posiblemente deduzcan de las propiedades y caractersticas de cada cuadriltero particular.

Nom

bre.

For

mul

a.

Fig

ura.

Cer

teza

.

Con

jetu

ra

en

base

a

la

cons

igna

.

Ele

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nen.

Con

cept

o ut

iliza

do.

Con

clus

in.

Cua

drad

o.

A=l o

A=

La diagonal divide al cuadrado en dos tringulos rectngulos congruentes.

A partir de un tringulo rectngulo issceles se obtiene un cuadrado.

Lados. Un ngulo.

Reflexin. Si el tringulo es issceles, se obtiene un cuadrado, si es escaleno un rectngulo.



Rom

bo.

o

Las diagonales dividen al rombo en dos tringulos issceles congruentes.

A partir de un tringulo issceles se puede generar un rombo.

Lados. Un ngulo.

Reflexin. Si el tringulo es acutngulo issceles se obtiene un rombo. Lo mismo sucede si el tringulo es oblicungulo issceles.

Rec

tng

ulo.

A= a.b

La diagonal divide al rectngulo dos tringulos congruentes.

A partir de un tringulo rectngulo issceles se puede generar un rectngulo.

Lados. Un ngulo.

Reflexin. Si el tringulo es rectngulo escaleno, se obtiene un rectngulo, pero si es issceles, se obtiene un cuadrado.

Par

alel

ogra

mo.

A= a. h

La diagonal divide al paralelogramo en dos tringulos congruentes.

A partir de un tringulo obtusngulo se puede obtener un paralelogramo.

Lados. Un ngulo.

Reflexin. Un tringulo obtusngulo genera un paralelogramo.

Tra

peci

o Is

sce

les.

(

)

No se puede dividir en dos tringulos iguales.

- - - -

Tra

peci

o re

ctn

gulo

. dem.


- - - -

Tra

peci

o E

scal

eno.

dem.


- - - -

Tra

pezo

ides

.

No se puede dividir en tringulos iguales.

- - - -

Rom

boid

e.

La diagonal mayor divide al romboide en dos tringulos congruentes.

A partir de un tringulo obtusngulo se puede generar un romboide.

Lados. ngulos.

Reflexin. Los tringulos obtusngulos generan romboides.

En dicha resolucin aparece el concepto de descomposicin de figuras en tringulos

congruentes, los paralelogramos y el romboide presentan esta posibilidad, en cambio los trapezoides y trapecios no.

En ste camino, posiblemente los alumnos evidencien que los trapecios y trapezoides no admiten la idea de poder dividirlos en dos tringulos iguales. En consecuencia, dicha resolucin



queda truncada, aunque cabe destacar que son importantes todas las propiedades y conceptos que han surgido de la misma. De esta manera, deber recurrir a otras conjeturas o hiptesis para concluirla, tal vez lo haga desde la posicin presentada en el Camino N 1.

Se suponen que la elaboracin de la tabla requiere primeramente la identificacin de los tipos de cuadrilteros, posteriormente su representacin visual y a partir de sta la identificacin de dos tringulos congruentes (generalmente, por sus diagonales). A continuacin el aprendiz conjetura sobre una construccin viable, para proseguir con la bsqueda del concepto matemtico que la genera. Es importante expresar aqu, que en todos los casos se usaron reflexiones de un tringulo sobre la recta que pasa por alguno de los lados y no rotaciones como el camino anterior.

Posibles Intervenciones Docentes. Los alumnos pueden inicialmente no comprender la consigna, o no entender la amplitud de

lo que se les solicita. Ante preguntas como la siguiente: Profe, No s cmo empezar, ni desde dnde?, Qu tenemos que usar?, Profesora es imposible que de un polgono de tres vrtices pueda construir otro de cuatro y que, adems, tenga el doble del rea no entiendo nadaaa, se respondera con sus mismas preguntas reformuladas de la siguiente manera: qu les pide la consigna? Identificaron algunos conceptos? Cules? Dnde? Sabes lo que ellos simbolizan? Existe relacin alguna entre dichos concepto y lo qu se pide? De qu manera?

Suponiendo que no identifican conceptos se los invitar a leer sobre el tema en cuestin, ya que poseen todas las herramientas a su alcance para poder hacerlo y resolverlo.

Si los alumnos establecen la relacin entre las figuras intervinientes y lo que se deben hallar para cumplimentar la actividad, pero no pueden determinar la implicancia de unos conceptos con otros, se lo invitar a buscar informacin y a gestionarla, de manera que debern rever conceptos ya aprendidos, recuperarlos y contextualizarlos con el problema.

Si aun as, bajo los interrogantes orientadores anteriores, el alumno siguiera estancado, sin hallar estrategias, se le propondra lo siguiente: los alumnos del otro curso aseguran que los cuadrilteros se pueden obtener por reflexin de tringulos, Ustedes que dicen?, en cambio los chicos de mi otra escuela dicen que se pueden obtener por rotacin, Ser eso cierto?; de esta manera se los invita a una instancia de reflexin y deliberacin para entender lo que ellos mismos estn haciendo o deberan hacer.

Durante la bsqueda de regularidades pueden aparecer polgonos cncavos, la siguiente intervencin muestra dicha situacin.

Alumnos: Profe! Mire el cuadriltero que encontramos, lo hicimos a partir de un tringulo obtusngulo por reflexin de uno de los lados.

Docente: Mira qu interesante! Construyeron un cuadriltero. Me explican cmo es que cumple con la consigna? Alumnos: Si profe, mir las reflexiones nos aseguran que los polgonos generados son equivalentes, esto quiere decir que el rea del tringulo, se mantiene se entiende? Docente: No, Por qu creen que el rea se mantiene?



Alumnos: Porque los tringulos son iguales, entonces dos tringulos hacen un cuadriltero de doble rea. Docente: Ha claro! Y el cuadriltero que obtenido cmo se llama? Alumno: Trapezoide. Docente: Tengo un problema!, me he olvidado de la definicin me la recuerdan. Alumnos: (risas) Ay profe no seas mentirosa!, un trapezoide es un cuadriltero convexo que no tiene lados paralelos. Docente: Cierto!, gracias por recordrmelo. Pero la definicin que me acaban de decir coincide con la figura que me han mostrado? Alumno: no s, no me cierra el polgono realmente ser trapezoide? Docente: pens en la definicin que me dijiste, intenta varias construcciones y despus me conts

Inicialmente el grupo de alumnos cree que lo encontrado es correcto y lo presenta como un

hallazgo importante. El docente solicita as, la explicacin de lo realizado, e interviene para que determinen que tipo de cuadriltero es el construido, sin decir explcitamente de qu polgono se trata. La intencin de ste ltimo, consiste en que ensayen varias construcciones geomtricas15, en activar la experiencia previa16 e inducirlos a recordar y utilizar teora relacionada con el problema.

La determinacin de que el polgono hallado es cncavo, deber ser fruto de un trabajo personal por parte del alumno17, junto a su posterior eliminacin como posible solucin de la consigna.

El siguiente dilogo, muestra un error al rotar los tringulos sobre las mediatrices de los

lados, ste, no es visible usando lpiz, papel e instrumentos geomtricos, dado que solo se observa al mover alguno de los vrtices con algn software.

Alumno: Mire profe lo que encontramos si rotamos 315 el tringulo ABC sobre D (mediatriz) obtenemos un romboide Buensimo, no?

Docente: Mira vos Qu bueno! qu tipo de tringulo es? Alumno: Un tringulo escaleno. Lo que dedujimos fue que si a una figura de este tipo la rotamos 315 sobre la mediatriz de uno de sus lados, siempre obtenemos un romboide. Docente: Guau!!!!! Que afirmacin: Siempre. Cmo saben eso? Alumnos: Si, porque las reflexiones generan tringulos semejantes. Docente: Eso es cierto, Y lo que dicen vale para todas las mediatrices? Alumno: No s no probamos. Docente: Mir lo siguiente, si yo muevo uno de los vrtices, la figura es vlida ahora? Por qu?

15 Heurstica: Analizar ejemplos 16 Heurstica: Recurrir a teora relacionada. 17 Heurstica: Trabajar hacia adelante.



Alumnos: Ay no!!!!!!!! Espere que lo pensamos y vemos

En el cuadro anterior se muestra un error que es solo visible a partir de la movilidad que

brinda el software. El docente lo ejemplifica usando dicha aplicacin, sin mencionar si lo hallado es correcto o no, deposita en ellos dicha responsabilidad, intenta que los alumnos trabajen hacia atrs. Lo que pretender, como gestor de la actividad, es que comprueben18 que el vrtice de la figura, en la rotacin, no es eje de simetra de las figuras triangulares y que la construccin no genera un cuadriltero.

Suponiendo que hayan odo las consideraciones iniciales, el siguiente cuadro expone cmo

se oponen a los comentarios del profesor, sin un fundamento seguro.

Alumnos: Profe! usted nos dijo que los alumnos del otro curso haban generado cuadrilteros a partir de rotaciones de tringulos, pero nosotros no encontramos esto: si se rota un tringulo obtusngulo sobre uno de los vrtices en su ngulo, esto no generar un cuadriltero. Adems al mover uno de los vrtices se abre. Estos chicos no saben lo que dicen!

Docente: Si, tienen razn. Pero, a qu se deber que no obtienen lo que ellos dicen?

Aqu el docente induce a la bsqueda de informacin sobre los ejes de rotaciones, sin

mencionar el trmino matemtico, presenta la posibilidad de recurrir a la experiencia previa y a analizar casos particulares19. La intervencin no conduce a una resolucin inmediata sino ms bien a una reflexin sobre lo hallado.

Suponiendo que los alumnos ya han encontrado que las rectas que pasan por los lados de

un tringulo pueden ser utilizadas como ejes de reflexin, y las mediatrices como ejes de rotaciones; es posible que se presente tambin la bsqueda de otros ejes. El dilogo posterior da cuenta de ello:

Alumnos: No generamos ningn cuadriltero a partir de la altura y/o las bisectrices. Mire. Por qu?

18 Heurstica: Verificar usando casos particulares, es importante destacar que el alumno para poder desechar este tipo de rotaciones deber entender cules son los ejes de simetra de los polgonos de tres lados, para ellos quizs tenga que probar con varios ejemplos y analizarlos detenidamente. 19 Heurstica: Analizar casos particulares.



Docente: Por qu creen que sucede esto? Alumnos: No s. En algunos casos ni nos acercamos a un cuadriltero. Tenemos un octgono, un hexgono, un cuadriltero cncavo y un cuadrado pero este ya lo trabajamos y concluimos. El problema son los otros. Docente: Y a qu se deber? Qu obtuvieron antes, y por qu? Qu obtienen ahora y por qu? Cul es la diferencia? Piensen y despus me contestan.

Los alumnos se encuentran desorientados con sus producciones, el docente insiste en la

argumentacin de sus hallazgos y en el porqu de la no construccin de cuadrilteros, de esta manera invita a reflexionar sobre conceptos como eje de simetra, equivalencia de figuras planas y cuestiones referidas a la resolucin de la consigna. Los incita a trabajar hacia atrs20 y volver sobre sus propios pensamientos.

En el caso que surgieran dificultades como las presentadas en el camino N 2, en lo referido

a trapecios y trapezoides, una intervencin orientadora resultara ser la siguiente:

Alumnos: Profe, los Trapecios no se pueden dividir en dos tringulos iguales. Docente: Por qu creen que sucede esto? Alumnos: Porque no tienen eje de simetra. Docente: Y, entonces cul es la duda? Alumnos: No sabemos cmo construir a partir de un tringulo un trapecio con las caractersticas que pide el problema. Docente: Los alumnos del otro curso dicen que se pueden construir a partir de movimientos en el plano, ser esto cierto? Yo no tuve tiempo de corregir sus trabajos, ustedes no me haran el favor de verificar lo que han dicho, as me ahorran un trabajo. Alumnos: Si, si, ya vemos cmo hacemos.

El profesor solicita la justificacin de un argumento exterior al grupo, es posible que a partir

de ello, puedan trabajar sobre un concepto en el que no haban pensado an e identificar y justificar la imposibilidad de la construccin de trapecios desde el concepto de descomposicin de figuras semejantes, y desde tringulos con la caracterstica particular de mantener por lo menos un elemento y el doble de su rea.

20 Heurstica: Trabaja empezando por el final.



Las intervenciones fueron elaboradas y pensadas desde aquellas cuestiones necesarias e importantes a la hora de trabajar con la situacin problemtica, seguramente al lector se le ocurrirn muchas ms, pero debe recordar que las mismas no son exhaustivas, sino ejemplificadoras de la trabajo ulico.

Momento de Cierre. Luego del Momento de Desarrollo, cada grupo expondrn y defendern sus producciones en

pblico. Lo podrn hacer con la ayuda de un soporte: pizarrn, lminas, power point, etc. Posibles preguntas del docente durante el debate, para iniciarlos en la generalizacin de lo

hallado:

Qu conceptos utilizan para construir el polgono?

El tringulo es siempre el mismo? Se mantiene la figura? Cmo podes hacer para que esto suceda?

Qu concepto brinda la posibilidad de generar otra figura sin que se pierdan las caractersticas de la figura inicial?

Dnde puedes ubicar un cuarto punto para que se forme un paralelogramo, un rombo, un romboide, un rectngulo?



Tercera Actividad: Construccin de Cuadrilteros a partir de un Tringulo (con la misma rea).

Objetivos.

Construir cuadrilteros a partir de un tringulo, manteniendo el rea.

Identificar y utilizar procedimientos matemticos para construir figuras semejantes.

Establecer las clases de cuadrilteros y sus caractersticas, a partir de las condiciones que presenta el tringulo inicial.


Puntos. Puntos medios. Segmento: consecutivos y adyacentes. ngulos.


Interseccin de objetos geomtricos.




Movimientos en el Plano: rotaciones y reflexiones, ejes de simetra.

Media proporcional.

Circunferencia (entendidas como lugar geomtrico). Conocimientos que pueden emerger de la resolucin.

Posibilidad de construccin de cuadrilteros a partir de un tringulo manteniendo la misma rea.

Descomposicin de Figuras.

Figuras Semejantes. Sobre la Actividad.

A partir del polgono ABC, construir otro DEFG. Tal que este ltimo

mantenga por lo menos uno de los elementos y ambos tengan la misma

rea.

Existen condiciones que debe cumplir ABC para que el cuadriltero

construido resulte ser alguno en particular? Explica tus conclusiones.

Consigna: Presentar todos los caminos recorridos que han transitado para hallar la/s

solucin/es a la situacin anterior, a partir de cualquier recurso que crean conveniente,

junto a sus respectivas justificaciones. No olviden anexar cualquier comentario que

crean pertinente.



La misma se plantea como una actividad que tiene como propsito ampliar, complementar y

profundizar conceptos; pero adems, sintetizarlos y valorarlos. Fue diseada para cuatro mdulos de 80 minutos, aunque todo depender del avance en las producciones y del trabajo extra ulico que lleven a cabo los alumnos.

Primera Clase: consistir en un momento de apertura y de desarrollo, se plantea de la

misma forma que las actividad N 1 y 2. Segunda Clase: (momento de desarrollo) Los alumnos retomarn lo realizado en la clase

anterior y lo que elaboraron fuera de ella, quizs continen con la bsqueda o la justificacin de lo hallado. Tal vez, consulten al profesor sobre algunas producciones.

Nuevamente, el rol del docente consistir en coordinar, mediar, colaborar, observar y gestionar la actividad. Adems, de posibilitar la correccin de las ya resueltas, e intervenir para la modificacin de posibles errores.

Tercera Clase: en este espacio los alumnos trabajarn afinando sus conclusiones y quizs comiencen a elaborar sus presentaciones y soportes.

Cuarta Clase: se constituir como momento de Cierre, al igual que la actividad N 2. Momento de Apertura. La actividad ser presentada como la actividad N 1 y 2. Momento de Desarrollo. Dicha actividad requerir de profundizacin e interconexin entre conceptos previos y

nuevos, de bsqueda de informacin y reflexin sobre la misma, de puesta en prctica de lo encontrado, de creatividad e imaginacin en la elaboracin de construcciones, de esfuerzo, entre otras cosas.

Es muy probable que en esta situacin problemtica se inclinen a buscar en la web ejercicios ya resueltos, por ello se pedir luego de la presentacin que no olviden citar las pginas consultadas y que stas sean expuestas en el debate, dado que existen diversos sitios, y que la veracidad de ellos, depende entre otras cosas, de quien lo haya elaborado y su nivel de autoridad; por ello se aconsejar que busquen en sitios oficiales y confiables.

Es ms, se har referencia a que debern gestionar y organizar la informacin all obtenida y que la tarea exceder los lmites del aula y los conocimientos propios de la disciplina; y se les explicar que; en base a la gestin, al anlisis y a la reflexin del contenido presente en la web, podrn mejorar y potenciar su capacidad lingstica, crtica y reflexiva.

Por otro lado, al leer la consigna, quizs no comprendan rpidamente que es lo que deben hacer, tal vez vuelvan sobre las actividades anteriores para refrescar conceptos y procedimientos; o a lo mejor comiencen a elaborar construcciones a ciegas para detectar algunas regularidades o extraer algunos conceptos importantes. Esta ltima labor, consistir en ensayos de prueba y error.

Como se mencion en las actividades N 1 y 2, los interrogantes que se presenten sern devueltos en forma de pregunta a los alumnos y se instar a que retornen siempre sobre lo hallado o producido, para elaborar sus conclusiones o argumentaciones.

Posibles Caminos de los Alumnos.



Camino N1: Del Tringulo al Cuadriltero, en esta resolucin parten del tringulo para generar cuadrilteros equivalentes, las construcciones se basan en conceptos diversos como media proporcional, propiedades de rectas perpendiculares y paralelas, y en la nocin de circunferencias entendidas como lugares geomtricos, puntos medios, reas, puntos notables del tringulo, propiedades de cuadrilteros, entre otros.

Camino N2: Del Cuadriltero al Tringulo, este desarrollo versa sobre la labor inversa al camino anterior, los alumnos trabajan hacia atrs, desde el cuadriltero al tringulo, utilizando la idea de descomposicin de figuras en tringulos congruentes. Las construcciones se apoyan en conceptos matemticos tales como puntos medios, rectas paralelas y perpendiculares, rotaciones y reflexiones, propiedades de tringulos y cuadrilteros, entre otros conceptos.

Camino N3: Del Cuadriltero al tringulo, tericamente, en el mismo trabajan con algunas relaciones tericas que pueden establecer a partir de las frmulas de rea. Lo hacen hacia atrs, desde las frmulas de cuadrilteros a las del tringulo, identificando los elementos que se mantienen.

Camino N1: Del Tringulo al Cuadriltero. Posibles Resoluciones de los Alumnos.

Cabe aclarar que en esta instancia los alumnos trabajan el problema abordndolo desde las condiciones iniciales y los datos que brinda, y elaboran distintas construcciones a partir de cualquier tipo de tringulo para explorar que obtienen. Como se observar al finalizar la lectura, no consiguen una generalizacin sino solo construcciones.

Construccin de un Cuadrado.

Figura N 19: Construccin de un cuadrado a partir de un tringulo cualquiera.



En la produccin anterior, se utiliza el concepto de media proporcional, para generar figuras equivalentes, ambas poseen la misma rea y pueden compartir un vrtice.

Construccin de un Rectngulo.

Figura N 20: Construccin de un rectngulo a partir de un tringulo cualquiera.

Aqu los conceptos utilizados son altura, puntos medios, rectas paralelas y perpendiculares.

Ambas figuras son semejantes. Se debe hacer una observacin importante, el tringulo rectngulo DCB es equivalente al

cuadrado DEGB, por construccin. Construccin de un Paralelogramo. De manera semejante a la Figura N 20, se puede construir un paralelogramo con la

salvedad que en el ltimo tramo de la misma en vez de trazar rectas perpendiculares, se deben dibujar rectas paralelas a uno de los lados que pasen por los extremos de la base. En la siguiente figura se muestra dicha construccin.

Figura N 21: Construccin de un paralelogramo a partir de un tringulo cualquiera.

Construccin de un Rombo o un Romboide.



Figura N 22: Construccin de un rombo a partir de un tringulo cualquiera.

En la Figura N 22, se obtiene un rombo equivalente a un tringulo issceles, que mantiene

dos vrtices. Se puede probar que una construccin similar genera un romboide, si el tringulo original es escaleno.

Construccin de un Trapecio a partir de un Tringulo.

Figura N 23: Construccin de un Trapecio a partir de un tringulo cualquiera.

El trapecio construido posee igual rea y mantiene la altura. Cabe aclarar, primero que las resoluciones anteriores no resultan ser exhaustivas solo se

muestran a manera de ejemplo; y segundo, que existen infinitas formas de construir un cuadriltero a partir de un tringulo, solo es necesaria en su construccin la imaginacin, creatividad y la utilizacin de conceptos matemticos.

Camino N 2: Del Cuadriltero al Tringulo.



Posibles Resoluciones de los Alumnos. Podran pensar que una forma fcil de hacer figuras semejantes es dividir los lados de la

original en partes iguales, de esta forma es ms cmodo que encajen los trozos para formar con ellos figuras nuevas (ver Figura N 24).

Figura N 24: Descomposicin de Figuras en Tringulos.

En la imagen se observa una forma de componer figuras equivalentes: triangular

cuadrilteros y construir con ellos nuevas formas. En verde, rombo, paralelogramo, trapecio y rectngulo son equivalentes por estar compuestos de los mismos tringulos rectngulos. El rectngulo rojo ms el verde ofrece otra posibilidad, la de construir reas de otras proporciones, como doble en este caso (ver Actividad N 2).

En base a lo anterior y a lo que la consigna solicita, los alumnos podrn intentar hallar un tringulo equivalente a un paralelogramo, a continuacin se detalla dicha construccin:

Figura N 25: Construccin de un tringulo dado un paralelogramo.

En la imagen anterior se mantiene un lado del paralelogramo y el rea de ambos es la

misma. A partir de aqu, el aprendiz podra pensar en forma inversa, es decir dado un tringulo

cualquiera se podra generar un paralelogramo. Luego de varios ensayos, el alumno habra de evidenciar que la construccin es posible

siempre y cuando las bases de ambas figuras coincidan y la mediana del tringulo resulte ser la mitad del segmento determinado por los puntos medios de los lados paralelos (uno de ellos la base).



Lo mismo sucede si dado un rectngulo se quiere construir un tringulo, en la siguiente imagen se muestra dicha construccin.

Figura N 26: Construccin de un tringulo dado un rectngulo.

En este caso las figuras comparten uno de los lados (base) y mantienen el rea. El aprendiz, nuevamente podra pensar hacia atrs, siempre y cuando la base del primero

sea la base del segundo, y la altura del tringulo el doble de la del rectngulo. Caso de construccin de un tringulo desde un trapezoide Figura N 27:

Figura N 27: Construccin de un tringulo dado un trapezoide.

El trapezoide ABCD se transforma en el Tringulo ABE, manteniendo uno de los lados y el

rea. En ella se presenta la dificultad de visualizar inmediatamente cules son las condiciones que debe cumplir el tringulo para generar trapezoides de la misma rea. Solo una observacin detenida podr determinar que BCF ha sido rotado 180 sobre F.

Cabe aclarar, como se expres anteriormente, que las construcciones mostradas no resultan

ser exhaustivas solo se muestran a modo de ejemplo; y segundo, que existen infinitas formas de crear figuras semejantes.

Camino N 3: Del Cuadriltero al tringulo, tericamente. Posibles Resoluciones de los Alumnos.



Los alumnos tambin podran trabajar hacia atrs tericamente, es decir a partir de las frmulas del rea de las dos figuras identificar qu elementos se mantienen, para establecer las condiciones que debe tener el tringulo para que resulte ser equivalente al cuadriltero.

Las afirmaciones que se mostrarn a continuacin son aleatorias, es decir no presentan una organizacin, son conjeturas y/o en ltima instancia conclusiones parciales a las que pueden arribar desde lo terico.

Una primera aproximacin podra ser la siguiente.

Construccin de un tringulo a partir de un paralelogramo.

Dado un paralelogramo, su rea es , mientras que la del tringulo es

, como deben ser equivalentes (mismas reas), si se igualan se obtiene lo siguiente:

Si se conoce la altura y la base del paralelogramo, y se hacen iguales a las del tringulo,

se obtiene que B=b y H=

h, entonces: la base del tringulo ser la misma que la del

paralelogramo pero su altura ser el doble. Con esto datos se pueden hacer infinitos tringulos equivalentes, que mantienen la misma rea y uno de los lados (base).

Cabe aclarar que de la misma manera se puede deducir la construccin de un tringulo a

partir de un rectngulo. Segunda posibilidad.

Construir un tringulo a partir de un cuadrado. La forma bsica es construir un tringulo equivalente con la misma base que la del

cuadrado. Basta unir los extremos de la base con cualquier punto que se encuentre en la paralela separada el doble del lado del cuadrado.

Esta conjetura se basa en que el rea del tringulo es

; se toma como base, b, la del

cuadrado, y como altura, h = 2.L, el doble del lado del cuadrado, cualquier punto a esa altura es vlido. Si se escoge el punto que se halla en la mediatriz de la base obtienes un tringulo issceles.

Tambin se podran igualar las reas, l2=

Y suponer lo siguiente: 1) Si se determina la altura, como lado en comn la ecuacin queda de la siguiente

forma: h=1/2 b 2) Si se determina la base, como lado comn, b=1/2 h De esta manera las opciones son tambin infinitas y en todos los casos se mantiene uno

de los lados o la altura, adems del rea.

Tercer Acercamiento.

Consistira en hallar un tringulo equivalente a un trapecio, en el cual se tendr por base del mismo, la longitud de la semisuma de las bases del trapecio y la altura la misma del trapecio.



Es importante destacar que los ejemplos anteriores son solo ilustrativos del trabajo de los

alumnos, y no completan la variedad de maneras de llegar a la solucin. Posibles Intervenciones Docentes. Para realizar las distintas intervenciones se debe explicitar que en esta actividad,

posiblemente los alumnos manipulen dos teoremas muy importantes:

Si un tringulo y un paralelogramo tiene alturas congruentes y la base del paralelogramo es la mitad de la base del tringulo, entonces son equivalentes.

Si un trapecio y un tringulo tiene alturas congruentes, y la base del tringulo es igual a la semisuma de las bases del trapecio, entonces son equivalentes.

Los mismos, sern utilizados con el fin de crear tringulos y cuadrilteros equivalentes, junto

a conceptos de la geometra euclidiana. Quizs los alumnos no los conozcan y tampoco trabajen con ellos, pero las construcciones se basarn en la utilizacin e interrelacin de conceptos matemticos para su creacin.

Las intervenciones realizadas para la actividad N 2, serviran tambin para este momento. Los alumnos primeramente, y a diferencia del primer problema, se preguntarn como

elaborar figuras con la misma rea y distintos lados (de tres a cuatro). Quizs, recorten las figura e intenten armar un cuadriltero; a lo mejor tambin, busquen ejemplos en la web sobre cmo se resolvera el problema.

Ante interrogantes como Por dnde empiezo?, No s qu hacer!, Cmo hago?, se puede sugerir leer la consigna, determinar los conceptos que intervienen en la misma, y cules actan en la pregunta- problema, aqu se encontrar la raz del trabajo que luego desarrollarn.

Es importante que establezcan como prioritario el concepto de semejanza de polgonos, a partir de ste podrn comenzar a trabajar.

Pero, si no lo identificaran, luego de un periodo prolongado de tiempo, se puede sugerir la siguiente intervencin Los alumnos de mi otra escuela, resolvieron las misma actividades pensando en que se pueden dividir en tringulos congruentes (Camino N2).

A partir de aqu, los alumnos podrn hallar construcciones como la siguiente:

Alumno: Profe, encontramos lo siguiente:

Docente: Qu encontraron? Alumno: Nada interesante y no sabemos para donde ir; en el primer caso considerando la mediana bajo una reflexin se obtiene un romboide, pero solo mantiene los vrtices y ningn elemento ms importante. Docente: Cmo es eso de que los vrtices no son elementos importantes?



Alumno: Bueno, si son importantes, pero quiero que se mantenga la altura, la mediana, la mediatriz, o en ltima instancia un lado como en la actividad anterior. Docente: Y por qu no probas construcciones a partir de esos elementos? Alumno: Bueno vamos a probar. Despus le contamos.

Los alumnos elaboran una construccin que no arroja luz al problema y se plantean el hecho

de no saber cmo proseguir. El docente estimula la bsqueda de casos en base a los propios interrogantes que ellos formulan.

El alumnado ha trabajado hacia adelante a partir del tringulo y por reflexin de la mediana ha construido un romboide que posee la misma rea pero mantiene un elemento (vrtice); y por rotacin de la misma ha generado otro tringulo; es decir lo hallado cumple parcialmente con la consigna. sta construccin posibilita que sienta inters por buscar otras, que realice otros intentos21 con otros puntos notables de tringulo.

Al tiempo, el mismo grupo regresa y expresa lo siguiente:

Alumno 1: Profe! Se acuerda de lo que recin le mostramos Docente: Si, s. Qu sucede? Alumno 1: Mire lo pensamos de nuevo y decidimos que el romboide construido cumple con la consigna solicitada. Docente: Y por qu? Alumno 2: Porque posee la misma rea que el tringulo original y porque mantiene un elemento, el vrtice Docente: Bien, Por qu cambiaron de idea? Alumno 2: Porque era tanto el lo que tenamos, que no sabamos si lo que habamos encontrado sta bien o mal pero ahora pensndolo mejor esta construccin no sirve Docente: Muy Bien. Sigan trabajando.

En esta instancia se puede detectar que luego de un periodo de reflexin los alumnos

arribaron a una conclusin exitosa, este trabajo hacia atrs posibilita que los alumnos puedan justificar mejor sus producciones.

Posiblemente realice varias bsquedas en la web, para hallar alguna solucin y para obtener

alguna idea para comenzar. Puede encontrar lo siguiente:

Alumno: Mire Profe! En sta pgina encontramos lo siguiente http://figuras-equivalentes.blogspot.com.ar/,

Docente: Qu interesante! Alumno: S! pensamos que si el rectngulo es equivalente a un tringulo, este ltimo lo es al primero, entonces quizs a partir de un tringulo cualquiera podamos construir un rectngulo. Docente: Si, podra ser Y cmo lo haran? Alumno: Lo que observamos fue que la altura se encuentra identificada en el tringulo, capaz que tengamos que construir el polgono tenindola en cuenta. Docente: Cmo sera eso? Me explican? Alumno: Mmm algo as! Dibujaramos el tringulo, trazaramos la altura y sobre su mediatriz consideraramos la

21 Heurstica: Analizar casos sistemticamente.



altura del rectngulo. Docente: Qu otra cosa haran? Alumno: Segn el dibujo que encontramos la base del tringulo es la base del nuevo rectngulo. Docente: Bueno, realicen la construccin y despus vemos

Ac se observa que los alumnos han reinterpretado el problema a partir de una

representacin hallada en la web, la misma da lugar a volver sobre lo que haban pensado hasta el momento22. Plantea la posibilidad de construccin y los lleva a conjeturar sobre ella. A partir de la figura deben hipotetizar sobre cmo obtenerla dado que no brinda mucha informacin.

El docente no introduce conceptos, ni gua la resolucin, solo pregunta sobre cmo la haran sin darles ningn indicio; es ms, les aconseja construir y despus exhibirlo.

Al tiempo, los alumnos, muestran al docente lo siguiente:

Alumnos: Construimos un cuadrado a partir de un tringulo de la siguiente forma. Partimos de un tringulo ABC. Tomamos uno de los vrtices, C y dibujamos la altura correspondiente a dicho vrtice (recta e). Calculamos los puntos medios del segmento AC que llamamos P y el del segmento BC que llamamos Q. Docente: Por qu los puntos medios y no otro elemento? Alumno 1: porque estbamos probamos, no tenemos una justificacin. Alumno 2: Bueno seguimos Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el segmento PQ (recta f) con trazo grueso. Ahora construimos las rectas perpendiculares a esta recta f que pasan por A y B (rectas g y h). Llamamos I y J a los puntos de corte de estas rectas con la recta f. Entonces, el polgono AIJB es un rectngulo de la misma rea que el tringulo ABC inicial.

Docente: Muy bien! Pero tengo algunas preguntas A qu se debe que la altura del rectngulo resulte ser ED? Por qu no lo nombran en su construccin? Por qu trazan rectas perpendiculares por los vrtices de las bases? Y una paralela a ella? Alumno1: Porque as nos sali Alumno 2: Viste que no entendiste nada! No, profe, todo tiene una explicacin, creemos que si igualamos las reas, la altura de uno debe ser la mitad del otro Docente: Cmo es eso? Me explicas mejor?

Alumno 2: S A tringulo=

y A rectngulo= , al igualarlas las bases son las misma, pero H=

, por eso lo

pensamos as Docente: Convincente la respuestay entonces Por qu la perpendiculares y las paralelas? Alumno 2: Porque as las vimos en la figura que hallamos anteriormente Alumno 1: Viste que vos no entendiste nada, es porque el rectngulo tiene dos pares de lados paralelos Docente: Me faltan algunas justificaciones! Para que me cierre su argumentacin se dan cuenta cul? Alumno 1: Si el hecho de que ECQ es congruente a QJB

22 Heurstica: Trabajar hacia atrs.



Alumno 2: Y que IPA es equivalente a CPE Docente: Y cmo lo justificaran? Alumnos: No sabemos Docente: Piensen que van muy bien.

Los alumnos han realizado una construccin23 exitosa pero con algunas falencias respecto a

su justificacin. El profesor advierte dicha situacin y los interroga constantemente, produciendo un conflicto ente lo que han hecho y las bases que lo sustentan. La idea es que puedan asegurar que los ltimos tringulos nombrados son equivalentes por rotacin de figuras.

La siguiente intervencin fue pensada en el caso que los alumnos obtuvieran un ejemplo de

construccin a la inversa, es decir, y en este caso, del rectngulo al tringulo.

Alumno: Profe, encontramos lo siguiente en la pgina: http://figuras-equivalentes.blogspot.com.ar/

Docente: Qu interesante! Y qu conclusiones sacaron de esto? Alumno: Primero, es posible la construccin que buscamos, eso nos da aliento para seguir; segundo que en los casos: romboide- tringulo, rectngulo- tringulo, se comparten base. Docente: No me queda muy claro me explicas mejor? Porque me parece que sta confuso Alumno: Qu no entiende profe? Docente: Haber espera, lo expongamos a todo el grupo haber que opinan ellos Alumno: bueno

El docente advierte el error de llamar al paralelogramo romboide, por eso frena la

interpretacin de los alumnos y solicita al resto el entendimiento de la misma, con la esperanza de que algn otro lo advierta.

Los alumnos de este caso han trabajado a partir del anlisis de un caso particular de construccin24.

Despus de un periodo de reflexin, surge lo siguiente:

23 Heursticas: Trabajar hacia delante, anlisis de un caso particular. 24 Heurstica: Analizar ejemplos.



Docente: Haber entendieron la construccin que les di Alumno 1: Si, pero tiene un error, CDQR no es un romboide es un paralelogramo. Alumno 2: No si ah dice romboide lo nico que falta es que ahora sepas ms que una pgina de internet Alumno 3: Eso no tiene nada que ver te acordas que la profe dijo que existen diversas clasificaciones de cuadrilteros capaz que usaron otra? Alumno 1: Si por eso para nosotros CDQR es paralelogramo. Alumno 2: Tens razn. Y cuando tens razn tens razn Docente: Bueno, bueno muy buenas aclaraciones pero entendieron? Alumno 1,2 y 3 (respectivamente): No! Ni la mitad! Nada! Docente: Por qu no intentan construirla a partir de lo que ven? Alumno 3: Podra ser Alumno 1: Y despus vemos como la justificamos y tendramos que llamarlo como nosotros sabemos. Docente: Bueno. Despus me cuentan que hicieron

Los alumnos realmente advierten el error de denominacin en la construccin, ellos discuten

sus interpretaciones, y dejan planteada la existencia de varias clasificaciones. El docente advierte que se han detenido en el conflicto y no en la construccin por ello los

insta a que la elaboren. Esto introducira a los alumnos a trabajar hacia atrs cuestionndose los por qu de la misma.

Posteriormente puede presentarse:

Alumno 1: Profe, tenemos una duda Docente: Si Cul? Alumno 1: En la construccin que hallamos, dice que hacemos por ejemplo una lnea que incida en su vrtice A y en su punto medio B Con que longitud? Cualq

ejemplo secuencia didáctica

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