ejemplo dise o taguchi

EJEMPLO DE DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE TAGUCHI P. Reyes / febrero 2008

DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE TAGUCHI

La parte fundamental de la metodología ideada por el matemático japonés G. Taguchi es la optimización de productos y procesos, a fin de asegurar productos robustos, de alta calidad y bajo costo. La metodología de Taguchi consta de tres etapas:

a) Diseño del sistema b) Diseño de parámetros c) Diseño de tolerancias

De estas tres etapas, la más importante es el diseño de parámetros cuyos objetivos son:

a) Identificar qué factores afectan la característica de calidad en cuanto a su magnitud y en cuanto a su variabilidad.

b) Definir los niveles “óptimos” en que debe fijarse cada parámetro o factor, a fin de optimizar la operación del producto y hacerlo lo más robusto posible.

c) Identificar factores que no afectan substancialmente la característica de calidad a fin de liberar el control de estos factores y ahorrar costos de pruebas.

Para lograr lo anterior se ha manejado una serie de herramientas estadísticas conocida como diseño de experimentos, tratadas anteriormente.

Taguchi ha propuesto una alternativa no del todo diferente que se que conoce como: Arreglos Ortogonales y las Gráficas Lineales.

La herramienta utilizada normalmente son diseños Factoriales fraccionados, sin embargo cuando el número de factores se ve incrementado, las posibles interacciones aumentan, así como la complicaciones para identificar cuáles son las condiciones específicas a experimentar.

Un arreglo ortogonal se puede comparar con una replicación factorial fraccionada, de manera que conserva el concepto de ortogonalidad y contrastes. Un experimento factorial fraccionado es también un arreglo ortogonal. Taguchi desarrolló una serie de arreglos particulares que denominó:

La (b)C

Donde: a = Representa el número de pruebas o condiciones experimentales que se tomarán. Esto es el número de renglones o líneas en el arreglo.

b = Representa los diferentes niveles a los que se tomará cada factor.

c = Es el número de efectos independientes que se pueden analizar, esto es el número de columnas.

Arreglos ortogonales para experimentos a dos niveles

En esta sección, se analiza qué son, cómo se usan y cuáles son los arreglos ortogonales más importantes para experimentos en los que cada factor toma dos niveles.

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Un arreglo ortogonal es una tabla de números. Como ejemplo de un arreglo ortogonal tenemos el siguiente:

De acuerdo con la notación empleada por Taguchi al arreglo mostrado como ejemplo, se le llama un arreglo L4, por tener cuatro renglones.

En general, para un arreglo a dos niveles, el número de columnas (efectos o factores) que se pueden analizar, es igual al número de renglones menos 1.

Taguchi ha desarrollado una serie de arreglos para experimentos con factores a dos niveles, los más utilizados y difundidos según el número de factores a analizar son:

No. de factores a analizar Arreglo a utilizar No. de condiciones a probarEntre 1 y 3 L4 4

Entre 4 y 7 L8 8Entre 8 y 11 L12 12Entre 12 y 15 L16 16Entre 16 y 31 L32 32Entre 32 y 63 L64 64

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Algunos arreglos ortogonales se muestran a continuación:

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Para acomodar un arreglo ortogonal de 2 niveles en un arreglo de cuatro variables con tres niveles, se convierte una columna a dos niveles como sigue:

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La tabla de interacciones para el arreglo L8 (2^7) es:

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Diseños mezclados de dos y tres niveles:

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Diseños mezclados de dos y cuatro niveles:

Ejemplo:

En un proceso de formación de paneles una característica no deseada es la emisión de formaldehído en el producto final. Se desea que esta emisión sea lo mínima posible. Actualmente se estima en 0.45 ppm. (partes por millón).

Se cree que cinco factores pueden estar afectando la emisión, estos son: tipo de resina, concentración de la solución, tiempo de ciclo de prensado, humedad y presión.

Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario variarlos, esto es probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada uno de estos valores se les llama nivel. Se requieren de al menos dos niveles o valores distintos para cada factor. A uno de ellos arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel “1”, al otro nivel alto o nivel “2”.

En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5 efectos o factores a dos niveles cada uno, por lo tanto, se usará un arreglo ortogonal L8. Esto implica que se ejecutarán 8 pruebas o condiciones experimentales. Por otra parte se disponen de 7 columnas, a cada columna se le puede asignar o asociar un factor. Si en particular, asignamos los factores en orden a las primeras cinco Columnas, dejando libres las últimas dos columnas, el arreglo queda:

TOTAL= 2.64

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Factor Nivel I Nivel 2A Tipo de resina Tipo I Tipo IIB Concentración 5% 10%C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 segD Humedad 3% 5%E Presión 800 psi. 900 psi.

Descripción


Observe que en las columnas vacías, 6 y 7, se ha escrito la letra e1,y e2 respectivamente esto para indicar que en ellas se evaluará la variación natural o error aleatorio.

Si no se asigna ningún factor, es de esperar que ahí se manifieste la variación natural. Los resultados de Yi se muestran en ppm.

El análisis de resultados, se puede efectuar de dos maneras diferentes. Una de ellas mediante una serie de gráficas, la otra mediante el análisis de varianza, se muestra en este ejemplo primero el uso del análisis de varianza, posteriormente se muestra el uso de gráficas.

Con Minitab se crea el arreglo con:

Stat > DOE > Taguchi > Create Taguchi DesignType of Design: 2 level designNumber of factors 5Designs: L8Seleccionar Assign factors To columns of the array as specified belowFactors Name Level values Column Levels

A 1 2 1 2 B 1 2 2 2 C 1 2 3 2 D 1 2 4 2 E 1 2 5 2Options: Store design in the worksheetOK

Esta columna es el resultado de los experimentos:

A B C D E Yi1 1 1 1 1 0.491 1 1 2 2 0.421 2 2 1 1 0.381 2 2 2 2 0.32 1 2 1 2 0.212 1 2 2 1 0.242 2 1 1 2 0.322 2 1 2 1 0.28

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Análisis de varianza

1) como primer paso, se obtienen los totales de la variable de respuesta o lecturas, para cada uno de los niveles de los factores.

Para calcular los totales para cada nivel del factor A, observamos que las primeras cuatro pruebas del arreglo se efectuaron con el factor a su nivel 1 (Resina tipo I) y las siguientes cuatro a su nivel 2 (resina tipo II).

Los totales son por lo tanto:

A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 1 = 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59

A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 2 = 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05

Para el factor D se tiene que las pruebas 1,3,5 y 7 se efectuaron a su nivel 1 (humedad del 5%), por lo tanto los totales son:

D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1 = 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40

D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2 = 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24

En resumen se tiene:

Factor A B C D E e e

Nivel 1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35

Nivel 2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29

2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64

Observe que la suma de los dos niveles debe dar siempre el total de las ocho lecturas 2.64.

2) En seguida se obtiene una cantidad que llamaremos suma de cuadrados esta se calcula como sigue:

Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2 – Total nivel 1)2/ nDonde “n” representa el número total de lecturas que se tomaron.

Así por ejemplo, para el factor A, tendremos que dado que n=8 SSA= (A2 –A1) 2/ 8= (1.59-1.05) 2/ 8=0.03645 con 1 g .1

Para el factor B se tieneSSB= (B2 –B1) 2/ 8= (1.28-1.36) 2/ 8= 0.00080 con 1 g.1

Similarmente

SSC= (C2 –C1) 2/ 8= (1.13-1.51) 2/ 8= 0.01805 con 1 g.1

SSD= (D2 –D1) 2/ 8= (1.24-1.40) 2/ 8= 0.00320 con 1 g.1

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SSE= (E2 –E1) 2/ 8= (1.25-1.39) 2/ 8= 0.00245 con 1 g.1

SSe= 0.00080 con 1 g.1

SSe= 0.00045 con 1 g.1

La suma de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor (SSe) se toman como estimaciones del error y se suman.

SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1

3) Se construye una tabla ANOVA, ésta es:

Efecto SS G.l. V Fexp

A 0.03645 1 0.03645 58.32

B 0.00080 1 0.00080 1.28

C 0.01805 1 0.01805 28.88

D 0.00320 1 0.00320 5.12

E 0.00245 1 0.00245 3.92

Error 0.00125 2 0.000625

Total 0.0622 7

Bajo la columna SS se tienen las sumas de cuadrados. Bajo la columna G.l. (grados de libertad), tendremos el número de columnas que se usaron para evaluar el factor, en este caso, sólo puede ser de uno para cada factor y más de uno únicamente para el caso del error.

La columna V, se obtiene dividiendo el número bajo la columna SS, entre el número de la columna G.L.

Así por ejemplo, para el factor A se tiene

SSA= 0.03645, G.L. de A=1

V= SSA/G.L.= 0.03645/1= 0.03645

Por último, el valor de Fexp, se obtiene de dividir el valor de V de cada factor, entre el valor de V para la estimación del error.

Fexp de A= V(A) / V(error)= 0.03645/0.000625=58.32

4) Obtenemos las siguientes conclusiones:

Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp mayor que 2 se considera que afectan la variable de respuesta, emisión de formaldehído en este caso. Estos son llamados factores significantes.

En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D y E, tipo de resina, tiempo de ciclo, humedad y presión respectivamente.

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Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio, a fin de obtener una mejor estimación (con mayor número de grados de libertad).

En este caso por ejemplo, una mejor estimación de SSe es: SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205

Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3= 0.00205/3= 0.00068

Las estimaciones que se obtienen de esta manera suelen escribirse entre paréntesis.La tabla ANOVA queda ahora

Efecto SS G.1 V Fexp

A 0.03645 1 0.03645 53.60

C 0.01805 1 0.01805 26.54

D 0.00320 1 0.00320 4.71

E 0.00245 1 0.00245 3.60

Error 0.00205 3 0.00068

Total 0.0622 7

Con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi DesignResponse data in YAnalysis. Fit linear model for Signal to Noise Ratios MeansGraphs: Signal to Noise Ratios MeansTerms: A B C D E FAnalysis graphs: Residuals for plots Standardized Residual Plots Individual plots Normal plotOptions: Smaller is betterStorage: Signal to Noise Ratios MeansOK

Los resultados son los siguientes: Factores significativos a 0.1 de nivel de significancia

Taguchi Analysis: Yi versus A, B, C, D, E Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E

Estimated Model Coefficients for SN ratios

Term Coef SE Coef T PConstant 9.93728 0.3034 32.753 0.001A 1 -1.78903 0.3034 -5.897 0.028B 1 -0.01666 0.3034 -0.055 0.961C 1 -1.26604 0.3034 -4.173 0.053D 1 -0.42402 0.3034 -1.398 0.297E 1 -0.42402 0.3034 -1.398 0.297

S = 0.8581 R-Sq = 96.6% R-Sq(adj) = 88.0%

Analysis of Variance for SN ratios

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 25.6050 25.6050 25.6050 34.77 0.028B 1 0.0022 0.0022 0.0022 0.00 0.961

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C 1 12.8230 12.8230 12.8230 17.41 0.053D 1 1.4384 1.4384 1.4384 1.95 0.297E 1 1.4384 1.4384 1.4384 1.95 0.297Residual Error 2 1.4728 1.4728 0.7364Total 7 42.7797

21

12

11

10

9

821 21

21

12

11

10

9

821

A

Mean o

f SN r

atios

B C

D E

Main Effects Plot for SN ratiosData Means

Signal-to-noise: Smaller is better

Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D, E

Estimated Model Coefficients for Means

Term Coef SE Coef T PConstant 0.33000 0.008839 37.335 0.001A 1 0.06750 0.008839 7.637 0.017B 1 0.01000 0.008839 1.131 0.375C 1 0.04750 0.008839 5.374 0.033D 1 0.02000 0.008839 2.263 0.152E 1 0.01750 0.008839 1.980 0.186

S = 0.025 R-Sq = 98.0% R-Sq(adj) = 93.0%

Analysis of Variance for Means

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 0.036450 0.036450 0.036450 58.32 0.017B 1 0.000800 0.000800 0.000800 1.28 0.375C 1 0.018050 0.018050 0.018050 28.88 0.033D 1 0.003200 0.003200 0.003200 5.12 0.152E 1 0.002450 0.002450 0.002450 3.92 0.186Residual Error 2 0.001250 0.001250 0.000625Total 7 0.062200

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21

0.40

0.35

0.30

0.2521 21

21

0.40

0.35

0.30

0.2521

AM

ean o

f M

eans

B C

D E

Main Effects Plot for MeansData Means

Response Table for Signal to Noise RatiosSmaller is better

Level A B C D E1 8.148 9.921 8.671 9.513 9.5132 11.726 9.954 11.203 10.361 10.361Delta 3.578 0.033 2.532 0.848 0.848Rank 1 5 2 3.5 3.5

Response Table for Means

Level A B C D E1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.34752 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125Delta 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350Rank 1 5 2 3 4

Nos resta decidir a que nivel habrá de fijar cada factor significante, y qué podremos esperar. Para tomar esta decisión, es de mucha ayuda obtener los promedios de las lecturas que se tomaron a cada nivel para cada uno de los factores significantes.

Los promedios de la emisión de formaldehído para cada nivel se obtienen dividiendo c/u de los totales entre 4, (c/total es la suma de cuatro lecturas).

A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625

El resto de los promedio son:

Factor Nivel 1 Nivel 2

A A1= 0.3975 A2= 0.2625

B B1= 0.3400 B2= 0.3200

C C1= 0.3775 C2= 0.2825

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D D1= 0.3500 D2= 0.3100

E E1= 0.3475 E2= 0.3125

El promedio general denotado como Y es:

Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n= 2.64/8= 0.33

Los factores A, C, D y E que afectan emisión de formaldehído deberán fijarse al nivel que minimicen la emisión, esto es, al nivel que se obtenga el promedio menor, en este ejemplo; A2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15 segundos como tiempo de prensado, 5% de humedad y 900 psi.

El factor B juega aquí un papel sumamente importante. Dado que no afecta la emisión de formaldehído, dentro del intervalo analizado, se utiliza para reducir los costos de producción. Esto se hace fijándolo a su nivel más económico. ¿Cuál será el nivel esperado de emisión bajo las nuevas emisiones propuestas Y est.?

Para contestar esta pregunta, para cada efecto significante se calcula una resta, que llamaremos el efecto de cada factor respecto al promedio general, para este caso el efecto es

EF A = (promedio bajo la condición propuesta del factor promedio general)

= A2 – Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fijó a su nivel 2)

EF C = C2 – Y= 0.2825-0.3300= -0.0475

EF D = D2 – Y= 0.3100-0.3300=-0.0200

EF E = E2 – Y= 0.3125-0.3300= -0.0175

Finalmente, el resultado esperado bajo las condiciones A2, C2, D2, E2, que llamaremos Yest. se calcula sumando al promedio general Y todos los efectos de los factores significantes.

Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-0.0475-0.0200-0.0175=0.1775

Análisis utilizando gráficas

Existe una alternativa al análisis ANOVA, esta es una serie de gráficas que se muestran enseguida.

1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para cada uno de los factores, incluyendo las columnas vacias.

Para hacer esto, encontramos los totales para cada nivel y dividimos entre el número de lecturas con el que se obtuvo cada total. Para nuestro ejemplo, los totales a cada nivel los tenemos ya en la sección anterior. Los promedios son:

Factor A B C D E e eNivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 0.3200 0.3325

Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.3400 0.3225

Promedio global Y= T/n= 2.64/8 = 0.33

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Observe que para cada factor, uno de los promedios es mayor y el otro menor que el promedio global. Esto siempre debe de ocurrir.

2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para cada factor, y ordénelos de mayor a menor en valor absoluto.

Esto es por ejemplo para el factor A

A1 – A2 = 0.3975 – 0.2625= 0.1350; para el resto tenemos:

Factor A B C D E e e

Diferencia 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0100

En la tabla de ANOVA encontramos los resultados obtenidos anteriormente:

Nº A B C D E e1 e2 Yi

1 1 1 1 1 1 1 1 0.49

2 1 1 1 2 2 2 2 0.42

3 1 2 2 1 1 2 2 0.38

4 1 2 2 2 2 1 1 0.30

5 2 1 2 1 2 1 2 0.21

6 2 1 2 2 1 2 1 0.24

7 2 2 1 1 2 2 1 0.32

8 2 2 1 2 1 1 2 0.28

T1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35 Tot

T2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64

SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080 0.00045 Ve

gl 1 1 1 1 1 2

V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 .00062

F 58.32 1.28 28.88 5.12 3.92

Sg si no si si si

P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 Y

P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.33

Ni 2 - 2 2 2

Ef -0.0675 -0.0475 -0.0200 -0.0175

Yest. = Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2

T1 = Total de lecturas al nivel 1

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T2 = Total de lecturas al nivel 2n = Número total de lecturasSS = (T2 - T1 )2 /ngl = Grados de libertad (columnas)V = SS/glF = V/VeSg = ¿Efecto significante?P1 = Promedio nivel 1P2 = Promedio nivel 2Ni = Nivel seleccionadoEf = Efecto de la variableY = Promedio de todos los datosYest = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas

Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo), tenemos:

Factor A C D E B e e

Diferencia 0.1350 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0200 0.0100

Se puede observar que el orden en que quedaron los datos anteriores, es también el orden de mayor a menor Fexp que se obtiene con la ANOVA.

Siguiendo el orden anterior, se obtiene una gráfica como se muestra en seguida:

.40

.35

.33

.30

.25

Mediante esta gráfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre mayor sea la línea de cada factor, o bien, entre más vertical se encuentre, mayor será el efecto de este factor.

Observamos un grupo de líneas inclinadas, seguida de un grupo de líneas que súbitamente se “acuestan” o se hacen horizontales. Es de esperar que las líneas que presentan columnas vacías o error aleatorio, quedan prácticamente horizontales

Observe que las conclusiones a que se llegamos en este ejemplo son similares a las de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e, igualmente los niveles recomendados se pueden identificar rápidamente, si deseamos reducir la variable de respuesta, se toma el nivel más bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos por debajo de la línea promedio global.

En conclusión, el método gráfico puede ser utilizado para fines de exposición o presentación y el ANOVA para fines de tomar una decisión más objetiva.

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A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2


Para predecir la respuesta con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results

Predict Mean Signal to Noise RatioTerms: A C D ELevels: Seleccionar Coded Units Select levels from a list: A = 2, C = 2, D = 2, E = 2OK

Los resultados se muestran a continuación:

Predicted values

S/N Ratio Mean 13.8404 0.1775

Factor levels for predictions

A C D E2 2 2 2

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Arreglos ortogonales para factores con interacciones:

Como hemos visto anteriormente en los procesos de producción se producen interacciones. En esta sección describiremos esta situación.

En los casos anteriores se asumió que el efecto de un factor sobre la variable de respuesta, no dependía del nivel de otros factores. Cuando el efecto de un factor depende del nivel de otro factor, se dice que existe una interacción entre los factores.

Supongamos que en un experimento se ha encontrado que la temperatura y el tipo de refrigerante, afectan la variable de respuesta llamada planicidad. Existen dos marcas de refrigerante, la marca I y la marca II. Resulta que si usamos el refrigerante I, al aumentar la temperatura la planicidad aumenta. Pero si se utiliza la marca de refrigerante II, al aumentar la temperatura, la planicidad disminuye.

Si nos preguntamos cual es el efecto de la temperatura sobre la planicidad, podemos contestar que depende del tipo de refrigerante que se utilice. En este caso se dice que existe una interacción entre la temperatura y el refrigerante.

Otro ejemplo es el caso de 2 medicamentos que al suministrarse en forma independiente, provocan mejoría en las condiciones del paciente. Por otro lado, cuando los dos medicamentos son suministrados al mismo tiempo y la condición del paciente empeora, se dice que los dos medicamentos interactuan.

Gráficamente se puede observar si existe o no interacción entre los factores:

B1

B1

B2

B2

A1 A2 A1 A2

Las dos líneas son paralelas, no El efecto de A depende del nivel de B existe interacción entre los factores. y viceversa. El efecto de A no es consistente. Existe interacción

Las interacciones existen en los procesos en mayor o menor grado. En las secciones anteriores se analizaron aplicaciones de arreglos ortogonales, en los cuales no existían interacciones entre los factores principales. En otros casos, podemos estar interesados en analizar el efecto que algunas interacciones en particular tienen sobre la variable de respuesta.

¿Pero qué sucede cuando se desea incluir interacciones en un arreglo ortogonal?, se puede decir lo siguiente:

a) los arreglos ortogonales a utilizar para los casos con interacciones, son exactamente los mismos que se usan para el caso sin interacciones.

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b) al asignar dos factores, A y B por ejemplo, a ciertas columnas, automáticamente la interacción de esos dos factores AxB se reflejará en otra columna del arreglo. Por lo tanto, esta tercera columna ya no podrá ser utilizada por algún otro factor o interacción a menos que se pueda suponer la interacción AxB como inexistente.

c) una interacción significante que se desee probar, tomará una columna y en consecuencia un grado de libertad. Por lo tanto, si deseamos analizar el efecto de 6 factores y 4 de las interacciones entre ellos, requerimos por lo menos de 10 grados de libertad, esto es de 10 columnas, o sea un arreglo L 16 y no un arreglo L8, que sería suficiente sin interacciones.

d) se deberá tener cuidado especial, en la manera como se asignan los factores a las columnas, para que sus interacciones no se confundan con otros factores principales u otras interacciones que también deseamos probar.

Una condición que existe para el manejo de las interacciones mediante procedimientos de arreglos ortogonales Taguchi, es que se tenga una definición “a priori “ de cuales interacciones específicamente sospechamos que existen. Esto es, debemos definir de antemano qué interacciones creemos son relevantes, a fin de incluirlas en nuestro análisis. Esto se puede saber en base a la experiencia previa del proceso.

Para ayudar en la asignación de factores a un arreglo, se han desarrollado gráficas lineales. Su aplicación se muestra mediante un ejemplo:

NOTA: En los ejemplos que siguen, para denotar una interacción entre dos factores, A y B por ejemplo, se utiliza indistintamente la notación AB o AxB.

Gráficas lineales A continuación se muestra un arreglo L8 junto con una matriz triangular y dos gráficas lineales. Estas se reproducen aquí para su explicación.

Columnas Matriz o tabla de interaccionesNº 1 2 3 4 5 6 7 Columnas 1 2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1 1 (1) 3 2 5 4 7 62 1 1 1 2 2 2 2 (2) 1 6 7 4 53 1 2 2 1 1 2 2 (3) 7 6* 5 44 1 2 2 2 2 1 1 (4) 1 2 35 2 1 2 1 2 1 2 (5) 1 26 2 1 2 2 1 2 1 (6) 17 2 2 1 1 2 2 1 (7)8 2 2 1 2 1 1 2

1 3 2

3 5 1.7 5 4

6

2 6 4 7

(b) (a)

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¿Qué representa cada tabla?. En primer lugar, el arreglo ortogonal L8 es exactamente el mismo que se utilizó en el caso experimental y cada columna un factor o interacción cuyo impacto sobre la variable de respuesta se desea conocer.

La matriz triangular nos representa las interacciones entre columnas. En el primer renglón, con el titulo de columna, cada número corresponde a la columna con ese mismo número del arreglo, al igual que los números entre paréntesis que se encuentran en la diagonal inferior. Por ejemplo, si nosotros asignamos el factor A a la columna 3 y el factor B a la columna 5, la interacción de AxB aparecerá en otra columna ya definida. En el cruce de la columna número 5 y el renglón número 3 de la matriz, aparece el número 6 (marcado con * en la tabla), de manera que la interacción de AxB se deberá asignar a la columna 6 del arreglo ortogonal.

Con ayuda de matriz de interacciones es factible, mediante prueba y error, asignar los factores a las columnas. Sin embargo, para simplificar aun más esta asignación nos podemos auxiliar de las gráficas lineales (1) y (2) que se muestran.

En una gráfica lineal:

a) un efecto principal se representa mediante un punto.b) una interacción se representa mediante una línea.c) los números representan las columnas correspondientes del arreglo ortogonal a donde se asignan los efectos principales y las interacciones.

En particular, el arreglo ortogonal L8 tiene dos alternativas de arreglo mostrados por las gráficas (a) y (b) respectivamente.

Por ejemplo, la gráfica (a) indica que con este arreglo se pueden analizar, tres factores principales, (puntos 1, 2 y 4) y las interacciones entre ellos, (líneas 3, 5 y 6), además de un cuarto factor, (punto 7), que no interactua con los otros tres.

Los números indican que si deseamos lo anterior, los tres factores deberán asignarse a las columnas 1, 4 y 2. Las interacciones aparecen en las columnas 3, 5 y 6.

La gráfica (b) indica cuatro factores, (puntos 1, 2, 4 y 7) con interacciones de uno de ellos con los otros tres (líneas 3, 5 y 6).

Por lo tanto, el factor que interactua con los otros tres se debe asignar a la columna 1 del arreglo, los otros tres factores a las columnas 2, 4 y 7. Las interacciones quedarán en las columnas 3, 5 y 6.

Si se desea analizar un número menor de interacciones y un número mayor de factores en el mismo arreglo ortogonal, la columna de cualquier línea representando una interacción que no es relevante, se puede utilizar para representar un factor adicional.

La aplicación de gráficas lineales se muestra con un ejemplo.

Supongamos que queremos analizar el efecto de cuatro factores A, B, C y D, además de las interacciones AxB, AxC y AxD.

1) Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal tentativo. Esto depende del número de efectos totales a analizar.

4 factores + 3 interacciones = 7 efectos o columnas

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2) Después de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en este caso, el siguiente paso es desarrollar la gráfica lineal que deseamos, de acuerdo con las reglas mencionadas anteriormente: a) un efecto individual se representa con un punto.

b) una interacción se representa mediante una línea que une los dos efectos individuales.

En nuestro caso esto procede como sigue:

Primero dibujamos cuatro puntos, uno para cada efecto.

A. B.

C. D.

En seguida mostramos las interacciones que nos interesan, mediante líneas. Para nuestro caso tenemos (gráfica de la izquierda):

AxB 3A B 1 2

AxC AxD 56

C D 7 4

3) Utilizando la segunda gráfica, podremos asignar el factor A a la columna 1, el factor B a la columna 2, la interacción AxB a la columna 3, el factor D a la columna 4, la interacción AxD a la columna 5, el factor C a la columna 7 y la interacción AxC a la columna 6.

Esto es:

A B AxB D AxD AxC C Nº 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 2 2 1 1 5 2 1 2 1 2 1 2 6 2 1 2 2 1 2 1 7 2 2 1 1 2 2 1 8 2 2 1 2 1 1 2

Supongamos que ahora queremos analizar un factor más, el factor E y creemos que la interacción AxC realmente no es relevante. La gráfica lineal que requerimos es:

BAxB

A C E

AxD D

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Esta gráfica es parecida a la gráfica lineal (2) excepto por la interacción de AxC, por lo tanto, una asignación lógica es:

Factor A a la columna 1, factor B a la columna 2, interacción AxB a la columna 3, el factor C a la columna 4, el factor D a la columna 7, la interacción AxD a la columna 6. Por último, a la columna 5 que de otra manera sería la interacción AxC, se le asigna el factor E.

Observe que en este último caso, también se pudo utilizar la gráfica lineal (1).

Si por alguna razón, la gráfica que deseamos, no puede quedar incluida en las gráficas lineales (1) ó (2) es necesario usar otro arreglo ortogonal de mayor tamaño.

Si deseamos analizar los factores A, B, C, D, E y F, además de la interacción AxB, una posible asignación es:

Efecto A D C B AxB E FColumna 1 2 3 4 5 6 7

Ejemplo:

Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable de respuesta de interés es el porcentaje de hidrocarburos no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:

Efecto Descripción Niveles I II

A Tensión del diafragma Baja AltaB Entrada para aire Estrecha AbiertaC Apertura para combustible Pequeña GrandeD Flujo de gasolina Lento RápidoAxC InteracciónAxB InteracciónBxC Interacción

La Gráfica lineal que se desea es:

AAxC AxB

C B .DCxB

Esta gráfica se ajusta a la gráfica lineal (1) del arreglo ortogonal L8, por lo que una asignación apropiada de efectos es:

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Nº A C AxC B AxB CxB D 1 2 3 4 5 6 7

Tensión Apertura Entrada Flujo Yi

1 1 1 1 1 1 1 1 Baja Pequeña Estrecha Lento 11.2 2 1 1 1 2 2 2 2 Baja Pequeña Abierta Rápido 10.8 3 1 2 2 1 1 2 2 Baja Grande Estrecha Rápido 7.2 4 1 2 2 2 2 1 1 Baja Grande Abierta Lento 7.0 5 2 1 2 1 2 1 2 Alta Pequeña Estrecha Rápido 8.0 6 2 1 2 2 1 2 1 Alta Pequeña Abierta Lento 6.9 7 2 2 1 1 2 2 1 Alta Grande Estrecha Lento 10.4 8 2 2 1 2 1 1 2 Alta Grande Abierta Rápido 10.1

Total 71.6

El resultado se expresa en porcentaje de hidrocarburos sin quemar.

Observe que al tomar las lecturas, (efectuar las pruebas), se ignoran las columnas donde se asignaron interacciones.

El análisis utilizado ANOVA es:

A C AxC B AxB BxC DNivel 1 36.2 36.9 42.5 36.8 35.4 36.3 35.5Nivel 2 35.4 34.7 29.1 34.8 36.2 35.3 36.1

La tabla ANOVA que resulta es:

Efecto SS G.l. V FexpA 0.0800* 1 0.0800 -C 0.6050 1 0.6050 8.85AxC 22.4450 1 22.4450 328.46B 0.5000 1 0.5000 7.32AxB 0.0800* 1 0.0800 -BxC 0.1250 1 0.1250 1.83D 0.0450* 1 0.0450 -(e) 0.2050 3 0.0638

Total 23.8800 7

El error aleatorio (e) se estima usando los efectos más pequeños marcados con *

Resulta significante la interacción AxC, el factor C y el factor B.

Dado que el factor B resulta significante, pero no son significantes alguna de sus interacciones, su mejor nivel se puede decidir de manera independiente al igual que se realizó en secciones anteriores. Esto es, se obtienen los promedios:

B1= B1 /4= 36.8/4= 9.20; B2 = B2/4=8.70

Como es un caso de menor es mejor, se selecciona el nivel 2.

El factor C también resulta significante. Sin embargo, también lo es su interacción con el factor A. Cuando resulta significante la interacción de algún factor, no se puede analizar por separado, sino en conjunto con el factor con el que se interactua. En este caso, el factor C se debe analizar

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en conjunto con el factor A, aun cuando el factor C resultó además significante individualmente y el factor A no.

Para analizar estos factores, se reproducen aquí las columnas de A y C:

Nº A C Yi1 1 1 11.20 Siempre existirán entre dos columnas2 1 1 10.80 cuatro posibles combinaciones de 3 1 2 7.2 números: 1 1; 1 2; 2 1; 2 24 1 2 7.05 2 1 8.06 2 1 6.97 2 2 10.48 2 2 10.1

Así la combinación 1 1 se presenta en los renglones Nº 1 y 2, lo que da un total de lecturas de 11.2 + 10.8= 22.00 con un promedio de 22.0/2= 11.00 La combinación 1 2, se presenta en los renglones Nº 3 y 4, con un total de 7.2 + 7.0= 14.2, con un promedio de 14.2/2= 7.10

La combinación 2 1 se presenta en los renglones Nº 5 y 6, con un total de 8.0 + 6.9= 14.9, con un promedio de 7.45

Por último la combinación 2 2, se presenta en los renglones Nº 7 y 8 con un total de 10.4 + 10.1= 20.5 y un promedio de 10.25

En resumen

Combinación Total PromedioA1 C1 22.0 11.00 Como es un caso mejor, A1 C2 14.2 7.10 se selecciona el promedioA2 C1 14.9 7.45 menor, A1 C2 en este A2 C2 20.5 10.25 caso.

Graficando estos promedios se tiene que:

11.0

10.0

9.00

8.00

7.00A1 A2

En resumen, las condiciones propuestas son: factor A a su nivel 1, factor C a su nivel 2, factor B a su nivel 2. El resto a su nivel más económico.

El efecto respecto al promedio de cada factor o interacción es:

EF A1C2 = (A1C2 - Y) – (A1 – Y) - (C2 - Y)= (7.10 – 8.95) – (9.05 – 8.95) – (8.675 – 8.95)= -1.675

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Observe que al efecto de la interacción, se le resta el efecto de los factores individuales que intervienen (hayan resultado significantes de manera individual o no).

EF B2= B2 – Y= 8.70 – 8.95= -0.25

Una estimación del porcentaje de hidrocarburos sin quemar es igual a la suma de los efectos significantes, incluyendo los factores que intervienen en una interacción significante, hayan resultado significantes de manera individual o no.

Yest = Y + EF A1 C2 + EF A1 + EF C2 + EF B2

= 8.95 + (-1.675) + (9.05 – 8.95) + (8.675 – 8.95) + (-0.25)= 6.85

Considere los siguientes ejemplos propuestos.

Acomodar en un arreglo L8 los efectos A, B, C, D, AxB y CxD Acomodar los siguientes efectos en un arreglo ortogonal: A, B, C, D, E, F, G, H, I, AxB, AxC,

AxG, AxE, ExF. Analizar el problema siguiente:

Variable de respuesta, viscosidad, el mayor valor es deseado.

Factores Nivel I Nivel IIA Mezcla de hule crudo si noB Curado no 24 hrs.C Velocidad de prensado 50m/min 55 m/minD Enfriamiento del tambor con agua sin aguaE Secado con vapor envolvente si no

Interacción ExDInteracción DxC

Arreglo ortogonal y resultados

Nº E D ExD C B DxC A Resultado1 1 1 1 1 1 1 1 16202 1 1 1 2 2 2 2 15803 1 2 2 1 1 2 2 11004 1 2 2 2 2 1 1 11505 2 1 2 1 2 1 2 15006 2 1 2 2 1 2 1 15607 2 2 1 1 2 2 1 10008 2 2 1 2 1 1 2 1020

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Solución con Minitab se crea el arreglo con:

1. Diseñar el arreglo ortogonal definiendo las columnas para los factores principales y las interacciones, en este caso:

Col. 1 Col. 2 Col. 3 Col. 4 Col. 5 Col. 6 Col. 7A C AxC B AxB CxB D1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2

2. Reconocer el arreglo en Minitab con:

Stat > DOE > Taguchi > Define Custom Taguchi DesignFactors A B C DOK

Esta columna es el resultado de los experimentos:

A C AxC B AxB CxB D Yi1 1 1 1 1 1 1 11.21 1 1 2 2 2 2 10.81 2 2 1 1 2 2 7.21 2 2 2 2 1 1 7.02 1 2 1 2 1 2 8.02 1 2 2 1 2 1 6.92 2 1 1 2 2 1 10.42 2 1 2 1 1 2 10.1

3. Analizar el diseño con:

Con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi DesignResponse data in YiAnalysis. Fit linear model for Signal to Noise Ratios MeansGraphs: Signal to Noise Ratios MeansTerms: A B C D Analysis graphs: Residuals for plots Standardized Residual Plots Individual plots Normal plotOptions: Smaller is betterStorage: Signal to Noise Ratios MeansOK


Taguchi Analysis: Yi versus A, B, C, D, E Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E

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Taguchi Analysis: Yi versus A, C, B, D

Linear Model Analysis: SN ratios versus A, C, B, D


Term CoefConstant -18.8709A 1 -0.0544C 1 -0.2520B 1 -0.2625D 1 0.1199A*C 1 1 -1.6491A*B 1 1 0.1223C*B 1 1 -0.1377

S = *

Analysis of Variance for SN ratios Significativo

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 0.0237 0.0237 0.0237 * *C 1 0.5080 0.5080 0.5080 * *B 1 0.5511 0.5511 0.5511 * *D 1 0.1151 0.1151 0.1151 * *A*C 1 21.7554 21.7554 21.7554 * *A*B 1 0.1197 0.1197 0.1197 * *C*B 1 0.1517 0.1517 0.1517 * *Residual Error 0 * * *Total 7 23.2246

Se pueden tomar los MS más pequeños como error = 0.1197 y 0.1151 = 0.2348De esta forma se obtiene FB = 2.34, y FAC = 92.65 Dist.f(2.34,1,2) = 0.2657 Distr.f(92.65,1,2) = 0.010

21

-18.60

-18.75

-18.90

-19.05

-19.2021

21

-18.60

-18.75

-18.90

-19.05

-19.2021

A

Mean o

f SN r

atios

C

B D



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Se observa al factor B como no significativo en términos de afectar la variabilidad

-18.0

-19.5

-21.0

21

21

-18.0

-19.5

-21.0

21

-18.0

-19.5

-21.0

A

C

B

12

A

12

C

12

B

Interaction Plot for SN ratiosData Means


Conclusión: Se observa la interacción AC significativa (p = 0.1), con A= 1, C = 2.

Linear Model Analysis: Means versus A, C, B, D

Estimated Model Coefficients for MeansTerm CoefConstant 8.950A 1 0.100C 1 0.275B 1 0.250D 1 -0.075A*C 1 1 1.675A*B 1 1 -0.100C*B 1 1 0.125S = *Analysis of Variance for Means

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 0.0800 0.0800 0.0800 * *C 1 0.6050 0.6050 0.6050 * *B 1 0.5000 0.5000 0.5000 * *D 1 0.0450 0.0450 0.0450 * *A*C 1 22.4450 22.4450 22.4450 * *A*B 1 0.0800 0.0800 0.0800 * *C*B 1 0.1250 0.1250 0.1250 * *Residual Error 0 * * *Total 7 23.8800

Tomando los MS más pequeños (D y A*B) como el término de error se tiene: MSerror = 0.045 + 0.08 = 0.125 Por tanto los valores F y P de B y AC son:FB = 0.5/0.125 = 4 P = 0.1835 y FAxC = 22.445/0.125 = 179.56 con P = 0.0055

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Un criterio empírico es considerar como significativos los valores de F mayores

a 2.

21

9.2

9.0

8.8

8.621

21

9.2

9.0

8.8

8.621

A

Mean o

f M

eans

C

B D


FB pudiera ser significativo a una alfa de 18%. El major nivel sería B = 2.

11

9

7

21

21

11

9

7

21

11

9

7

A

C

B

12

A

12

C

12

B

Interaction Plot for MeansData Means

La interacción AxC es significativa con P = 0.0055 y los mejores valores para minimizar la salida son: A = 1, C = 2, que coincide con las gráficas de S/N.

Response Table for Signal to Noise RatiosSmaller is better

Level A C B D1 -18.93 -19.12 -19.13 -18.752 -18.82 -18.62 -18.61 -18.99Delta 0.11 0.50 0.52 0.24Rank 4 2 1 3

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Level A C B D1 9.050 9.225 9.200 8.8752 8.850 8.675 8.700 9.025Delta 0.200 0.550 0.500 0.150Rank 3 1 2 4

Para predecir la respuesta en B = 2, A = 1, C = 2, se tiene:

Para predecir la respuesta con Minitab


Predict Mean Signal to Noise RatioTerms: A C D ELevels: Seleccionar Coded Units Select levels from a list: A = 1, B = 2, C = 2, D=1OK

Los resultados se muestran a continuación (se incluye el efecto de AxB, AxC, BxC y D):

Predicted values

S/N Ratio Mean -16.9020 7


A C B D1 2 2 1

Sin considerar el factor D ni las interacciones AxB y BxC se tiene:

Taguchi Analysis: Yi versus A, C, B, D

Predicted values

S/N Ratio Mean -18.5332 8.625


A C B1 2 2

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Algunos comentarios adicionales

Hasta aquí se han considerado ejemplos para arreglos ortogonales L8, por su comodidad en cuanto al tamaño. A continuación se hacen algunos comentarios sobre otros arreglos.

El arreglo L12 es un caso especial. Se observa en el apéndice, que no se muestran gráficas lineales ni matriz de interacciones, esto es porque está diseñado para analizar únicamente hasta once factores individuales sin interacciones. Con este arreglo no se pueden analizar interacciones.

Las interacciones en un arreglo L12 se distribuyen de una manera uniforme en todas las columnas. La ventaja de esto es que le permite investigar 11 factores sin preocuparse por sus interacciones. El arreglo L12 en general tiene buena reproducibilidad de conclusiones.

Algo similar se puede decir del arreglo L18

Para un arreglo L16 existen una gran variedad de posibles gráficas lineales, en el apéndice se muestran las seis más utilizadas con tres variantes cada una.

Para un arreglo L32 se muestran en el apéndice 13 diferentes gráficas dentro de las varias posibles que existen.

En cualquier caso, se puede tratar de construir más gráficas de acuerdo con las necesidades que se tengan, respetando siempre la matriz de interacciones.

En los gráficos lineales que se anexan en el apéndice, se observa que los vértices se representan con diferentes símbolos, específicamente con o, y . La razón y su significado es el siguiente:

Taguchi sugiere que las pruebas o corridas se lleven a cabo en el orden indicado por los renglones del arreglo ortogonal, esto es, primero las condiciones indicadas por el renglón 1, seguidas de las del renglón 2 y así sucesivamente.

Por otra parte, al ejecutar el experimento, no todos los factores tienen la misma flexibilidad de estar variando de nivel de una prueba a otra.

Por otro lado, se sugiere que los factores con menor flexibilidad se asignen al grupo 1 del arreglo representados por el símbolo o, de la gráfica lineal. Estos factores tendrán menos cambios de nivel a lo largo de todo el experimento. De hecho, observe que el factor asignado a la columna 1 de cualquier arreglo, solo tiene un cambio de nivel, mientras que por ejemplo, un factor asignado a la columna Nº 15 de un arreglo L16 cambia 10 veces de nivel.

Los factores que le siguen en inflexibilidad se deberán asignar sucesivamente a los símbolos , y en una gráfica lineal.

Ud. habrá observado ya la complicación que agregan a los análisis la presencia de interacciones. Para lidiar con estas, la gente que sabe mucho de esto le hace las observaciones siguientes:

Por lo general, existen pocas interacciones dentro de las múltiples posibles entre factores. El efecto de las interacciones sobre la variable de respuesta, es por lo general menor que el

efecto de los factores individuales solos. Recuerde que algunos arreglos ortogonales, le permiten analizar un problema sin

preocuparse por las interacciones. El L12 es un ejemplo de ellos. Se sugiere que, en caso de dudas sobre las interacciones, siempre sea preferible incluir más

factores, en lugar de interacciones. Si estas últimas no son muy fuertes, se pueden considerar como ruido.

ANALISIS SEÑAL A RUIDO

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De todos los factores que afectan un proceso, se pueden extraer dos grupos:

Factores de ruido. Son aquellos que no podemos, queremos o deseamos controlar, y más bien deseamos que nuestros procesos y productos sean insensibles a su impacto.

Factores de diseño. Son aquellos que si podemos controlar en nuestro proceso de producción, y deseamos encontrar a qué nivel operarlos, a fin de optimizar el producto o proceso, esto es, que los productos sean de alta calidad y bajo costo.

El análisis se realiza de la siguiente manera:1. Dentro de los factores a estudiar, separe los de ruido y los de diseño o control.2. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la variabilidad del proceso.

Utilícelos para minimizar la variabilidad.3. Dentro de los factores de diseño, identifique aquellos que afectan la media, sin afectar la

variabilidad. Utilícelos para optimizar la media.4. Identifique aquellos factores de diseño que no afectan ni media ni variabilidad. Utilícelos para

reducir costos.

Indices señal ruido

es deseable tener una cantidad o expresión que de alguna manera, involucre media y variación, o que por lo menos, ayude a que nuestras conclusiones sean más confiables.

Esta cantidad ya existe y se llama índice señal ruido, denotado como SN o SR de aquí en adelante.

EL ÍNDICE SE DISEÑÓ DE TAL MANERA, QUE PRODUCTOS MÁS ROBUSTOS SIEMPRE TENGA UN MAYOR VALOR DEL ÍNDICE SN.

En seguida se muestran los tres casos:

IV.2.1 Caso nominal es mejor

Suponga que se tienen “r” lecturas, y1,y2,y3,…yr, el índice SN a utilizar es:

SN= 10 log[ (Sm−Vm)/ (r ) (Vm) ] donde Sm= (y1 + y2 + y3 +,…yr,)2/r

Vm= [ ( y12+ y22+ y32 . ..+ yr2)−Sm ]/ (r−1 )

El lector reconocerá a Vm como la varianza de los “r” datos. Sn estima el logaritmo de base 10 de la relación (media/desviación estándar)2.

En ocasiones se utiliza:

SN= -10 log Vm

IV.2.2 Caso menor es mejor

Para el caso de menor es mejor, el índice recomendado es:

SN= -10 log[ ( y1+ y2 + y3 +,… yr , ) /r ]

Esta cantidad estima el logaritmo de base 10 de (media2 + varianza)

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IV2.3 Caso mayor es mejor

Para el caso mayor es mejor se recomienda:

SN= -10 log [ (1/ y1)2+(1/ y2 )2+(1/ y3)2+ .. .+ (1/ yr )2 ¿ r ]

Esta cantidad funciona de una manera similar al caso anterior, pero con el inverso. Maximizar una cantidad es equivalente a minimizar el inverso.

El uso de logaritmos pretende hacer la respuesta más “lineal” y el signo negativo es para que siempre se maximice el índice SN. Se multiplica por 10 para obtener decibeles.

En un experimento señal ruido, generalmente se incluye un grupo de factores de ruido, contra los que específicamente se desea hacer robusto el producto, y que se pueden controlar durante un experimento.

Un diseño de experimentos para un análisis señal a ruido consiste de dos partes, un arreglo ortogonal o matriz de diseño o interno y un arreglo ortogonal o matriz de ruido o externo. Las columnas de una matriz de diseño representan parámetros de diseño. Las columnas de la matriz de ruido representan factores de ruido.

Ejemplo:

Una característica de calidad importante para un cierto producto metálico es el terminado, que se mide según su planicidad en milésimas de pulgada (mmplg). Esta característica se piensa es afectada por los siguientes factores:

Factor Descripción Nivel 1 Nivel 2A Temperatura del horno 1500 ºF 1600 ºFB Presión de prensado 200 psi 220 psiC Velocidad de recocido 8 seg 12 segD Velocidad de alimentación ref. 80 gal/min 100gal/minG Tipo de modelo chico grandeH Templabilidad del material 25 Rc 30 RcAxC InteracciónAxD Interacción

Los factores G y H son factores que no se pueden controlar durante el proceso, ya que el tipo de modelo depende del requerimiento específico del cliente y la templabilidad es una característica de la materia prima. Estos dos factores se consideran al menos inicialmente como factores de ruido.

Por lo tanto, se consideran como factores de diseño a los factores A, B, C y D.

De acuerdo con esto, lo que se desea saber es cuáles deben ser las condiciones de operación o niveles de los factores de diseño A, B, C y D, que lleven el producto a la característica objetivo y además con la mínima variabilidad, a pesar de las variaciones en los factores G y H.

IV. 3.2. Arreglo interno

Considere únicamente los factores de diseño, se desea detectar 6 efectos en total, y para ello, se requiere de un arreglo ortogonal L8. La gráfica lineal requerida es:

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31 A .2 B

5 A xC

4 CAxD 6

7 D

La columna correspondiente a la línea punteada se utilizará para cuantificar el error. Una posible asignación es:

A B e C AxC AxD D Este será el arreglo Nº 1 2 3 4 5 6 7 interno y consiste de 8

condiciones experimentales/renglones

IV.3.3 Arreglo externo

Considere ahora únicamente los factores de ruido G y H. Se requieren de dos columnas, de manera que un arreglo ortogonal L4 es suficiente. El arreglo, al que llamaremos arreglo externo es:

G HNº 1 2 31 1 1 12 1 2 23 2 1 14 2 2 1

Observe que no se asigna efecto alguno a la columna 3, la cual queda libre.

IV. 3.4 Arreglo total

Los dos arreglos anteriores se “mezclan” o “combinan” en un solo arreglo total, tal y como se muestra:

1 2 2 1 H 1 2 1 2 G 1 1 2 2

A B e C AxC AxD DNº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1 Y11 Y12 Y13 Y14

2 1 1 1 2 2 2 2 Y21 Y22 Y23 Y24

3 1 2 2 1 1 2 2 Y31 Y32 Y33 Y34

4 1 2 2 2 2 1 1 Y41 Y42 Y43 Y44

5 2 1 2 1 2 1 2 Y51 Y52 Y53 Y54

6 2 1 2 2 1 2 1 Y61 Y62 Y63 Y64

7 2 2 1 1 2 2 1 Y71 Y72 Y73 Y74

8 2 2 1 2 1 1 2 Y81 Y82 Y83 Y84

Observe que la matriz de ruido o arreglo externo se ha traspuesto o acostado, esto es, escrito sus renglones como columnas. Observe también que existen 8x4= 32 posibles lecturas, tomadas

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bajo diferentes condiciones todas ellas (valores de Y ij ). En general, si el arreglo interno tiene M renglones y el externo tiene N renglones, entonces existen un total de MxN lecturas, que pueden ser tomadas bajo condiciones diferentes.

Por eso se recomienda que el número de factores de ruido (valor de N) no sea mayor que 3.

Pero, ¿cómo se toman exactamente cada una de las 32 lecturas? suponga que inicialmente, deseamos tomar las lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 . Para esto, se fijan todos los factores de diseño de acuerdo con los niveles indicados por el renglón Nº 1 del arreglo interno, esto es, todos los factores de diseño a su nivel 1.

Sin embargo, si bien las cuatro lecturas Y11, Y12, Y13, Y14 se toman a los mismos niveles de los factores de diseño, cada una se toma a diferentes niveles de los factores de ruido.

En resumen se tiene:

Todos los factores de diseño a su nivel 1 Lectura Factores de ruido

Temperatura 1500 ºF Y11 Modelo chico y 25 RcPresión de 200 Psi, 8 seg Y12 Modelo chico y 30 Rcde tiempo de recorrido y Y13 Modelo grande y 25 Rcvelocidad de alimentación Y14 Modelo grande y 30 Rcrefrigerante 80 gal/min

De acuerdo con esto, se toman las primeras cuatro lecturas.

En seguida deseamos obtener las lecturas Y21 , Y22 , Y23 , Y24. Todas estas lectura se tomarán al mismo nivel de los factores de diseño y estos niveles serán indicados por el renglón Nº 2 del arreglo interno. Manteniendo estas condiciones, los factores de ruido se varían a sus cuatro combinaciones indicadas por el arreglo externo.

De esta manera se van obteniendo todas las 32 lecturas. Se fijan los factores de diseño según un renglón del arreglo interno y se mantienen fijos mientras se varían los factores de ruido de acuerdo con el arreglo interno.

Como ejemplo, la lectura Y73 , se obtendrá bajo las condiciones siguientes: factor A, 1600 ºF, 220 psi, factor C. 8 seg, factor D, 80 gal/min; factor G, tipo grande; y factor H, 25 Rc.

Las 32 lecturas son las siguientes:1 2 2 1

H 1 2 1 2 G 1 1 2 2

A B e C AxC AxD DNº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.33 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.14 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.05 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.36 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.07 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.08 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5

Totales= 11.7 13.6 14.2 13.3

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Suponga que por alguna razón para este ejemplo en particular, se tiene un valor deseado de m= 2 mmplg.

Para obtener conclusiones a partir de un experimento señal a ruido se puede usar la tabla ANOVA, o bien, a través de gráficas.

Inicialmente se muestra el análisis usando ANOVA.

Análisis con el Índice SN

Para responder a la pregunta de a qué niveles fijar los factores de diseño, a fin de minimizar la variabilidad en la característica de respuesta, ignoramos el arreglo externo conservando las 32 lecturas, específicamente, el arreglo para análisis es:

A B e C AxC AxD DNº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.7 2 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.03 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.44 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.45 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.96 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.07 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.18 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3

Totales= 11.7 13.6 14.2 13.3 52.8

Lo que observamos en esta última tabla es un arreglo L8 con 4 lecturas para cada condición o renglón.

Estamos interesados en analizar la variabilidad de las 4 lecturas tomadas bajo cada condición. Para esto, nos ayudamos del índice SN, o sea, la variabilidad de las cuatro lecturas que se tomaron bajo cada condición, la resumiremos en un índice señal a ruido. Al hacerlo, en lugar de 32 lecturas individuales tendremos 8 valores del índice SN, uno para cada renglón o condición experimental.

Como estamos en un caso de nominal es mejor, el índice apropiado es:

SN= 10 log[ (Sm−Vm) / (r∗Vm) ] ; donde Sm= (∑ Y i )2/r

y Vm= (∑Yi2−Sm )/ (r−1 )

En este caso en particular, r= 4, cada índice se calcula a partir de 4 lecturas individuales. Para la primera condición experimental o renglón Nº 1, se tienen las lecturas siguientes: 1.1, 1.2, 1.3, 1.1, con un total de 4.7

El cálculo del índice es:

Sm= (1.1+1.2+1.3+1.1)2/4= 5.5225Vm= (1.12+1.22+1.32+1.12)= 0.00916

SN= 10 log [ (5 .5225−0 .00916 )/ (4∗0.00916 ) ] = 21.7714

Para el renglón o condición experimental Nº 2 se tienen las lectural: 1.2, 1.3, 1.2, 1.3, con un total de 5.0

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El cálculo del índice SN es:

Sm= (1.2 +1.3+1.2+1.3) 2/4= 6.2500Vm= (1.22 + 1.32 + 1.22 + 1.32 – 6.2500)/3= 0.0033

SN= 10 log [ (6 . 2500−0 . 0033 )/ ( 4∗0 .0033 ) ] = 26.7071

Los ocho índices son:

Nº Sm Vm Sn (dB)1 5.5225 0.00916 21.7712 6.2500 0.00333 26.7073 17.6400 0.00666 28.2034 17.6400 0.00666 28.2035 6.0025 0.02916 17.0926 6.2500 0.04333 15.5397 16.4025 0.10916 15.7188 17.2225 0.18916 13.524

Nuestro arreglo es ahora:

A B e C AxC AxD D SNNº 1 2 3 4 5 6 7 dB1 1 1 1 1 1 1 1 21.7712 1 1 1 2 2 2 2 26.7073 1 2 2 1 1 2 2 28.2034 1 2 2 2 2 1 1 28.2035 2 1 2 1 2 1 2 17.0926 2 1 2 2 1 2 1 15.5397 2 2 1 1 2 2 1 15.7188 2 2 1 2 1 1 2 13.524

Para el factor A se tiene:

A1 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A= 21.7714+26.7071+28.2036+28.2036= 104.8857

A2 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A=17.0927+15.5397+15.7186+13.5420= 61.8750

SSA = (A2 – A1) /Número total de lecturas SN=(61.8750 – 107.8857)2/8= 231.2413, con 1 g.l.

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La tabla ANOVA total es:

Factor SS Gl V FexpA 231.2413 1 231.2413 14.44B 2.5751 1 2.5751 00.16C 0.1764 1 0.1764 00.01AxC 9.4284 1 9.4284 00.59AxD 3.8880 1 3.8880 00.24D 2.3047 1 2.3047 00.14e 16.0135 1 16.0135

El factor A, temperatura del horno, es el factor que estadísticamente afecta el índice señal a ruido, y que por consiguiente “afecta la variabilidad. De acuerdo con los niveles del factor A, se tiene:

A1 = SN promedio= 104.8857/4= 26.22A2 = SN promedio= 61.8750/4= 15.47

Dado que siempre deseamos maximizar el índice señal a ruido, el factor A se fija en su nivel 1, esto es, la temperatura del horno se fija en 1500 ºF.

¿Qué hacer con el resto de los factores? antes de contestar esta pregunta, se deben identificar de entre los factores que NO AFECTARON el índice SN, cuáles afectan la media. Esto se muestra en lo que sigue.

Análisis usando las lecturas individuales

Después de identificar los factores que “afectan” la variabilidad, el siguiente paso es identificar qué factores, dentro de los que no afecta la variabilidad, afectan la media del proceso. Estos factores llamados factores de señal, nos permitirán “ajustar” la media del proceso hacia su valor nominal, sin incrementar la variabilidad del proceso.

Para el análisis, se utilizan las 32 lecturas iniciales. Para ello se obtiene el promedio de cada renglón.

A B e C AxC AxD DNº 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 Total Promedio1 1 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.1 4.7 1.1752 1 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.3 5.0 1.2503 1 2 2 1 1 2 2 2.0 2.1 2.2 2.1 8.4 2.1004 1 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 2.0 8.4 2.1005 2 1 2 1 2 1 2 1.0 1.4 1.2 1.3 4.9 1.2256 2 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 1.0 5.0 1.2507 2 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 2.0 8.1 2.0258 2 2 1 2 1 1 2 1.5 2.0 2.3 2.5 8.3 2.075

Totales 13.200

Considerando únicamente los promedios, tendremos un arreglo L8 con una lectura. El análisis en base a los promedios es:

A1 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 1 del factor A=1.175+1.250+2.100+2.100= 6.625

A2 = Total de las lecturas tomadas bajo el nivel 2 del factor A

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= 1.225+1.250+2.075+2.025= 6.575

SSA = (A2 – A1) 2 /Número total de lecturas SN= (6.625 – 6.575)2/8= 0.0003

Similarmente para el factor B se tiene

B1 = 1.175+1.250+1.225+1.250= 4.900B2 = 2.100+2.100+2.025+2.075= 8.300SSB = (B2 - B1 )2/8= (4.900-8.300) 2/8= 1.4450

Y así sucesivamente

SSC = 0.0028 , SSAxC= 0.0000, SSAxD= 0.0003SSD = 0.0013 , SSe= 0.0028

La tabla ANOVA es:

Efecto SS G.l. V FexpA 0.0003 1 0.0003 0.11B 1.4450 1 1.4450 513.75C 0.0028 1 0.0028 1.00AxC 0.0000 1 0.0000 0.00AxD 0.0003 1 0.0003 0.11D 0.0013 1 0.0013 0.44e 0.0028 1 0.0028

Totales 1.4525 8

El factor B, presión de prensado, es el único factor significante. Mediante este factor se puede ajustar la media del proceso, y llevarla lo más cerca posible a su valor ideal de 2.

También se debe hacer la observación, de que si el factor A hubiera resultado significante en este segundo análisis, no podríamos utilizarlo, ya que resultó significante en el análisis con el índice SN.

En particular, la respuesta promedio para cada nivel del factor B es:

B1 = 4.9/4= 1.225; B2= 8.3/4= 2.075

Si se desea aumentar la planicidad, se deberá incrementar la presión de prensado. Si se desea disminuir la planicidad, se deberá reducir la presión.

Se puede interpolar para conocer el valor al que se debe fijar la presión. La respuesta promedio a 200 psi es de 1.225 y a 220 psi es 2.075

Y 2.0

1.5

1.0 B200 220

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IV. Análisis utilizando gráficas

Como se mencionó anteriormente, una alternativa a la ANOVA son las gráficas de promedios, ya sea del índice SN o de las lecturas individuales.

Por ejemplo, para el factor A encontramos el promedio a cada uno de sus niveles, tanto del índice señal a ruido como de las lecturas individuales.

Para el índice señal a ruido se tiene:

A1 = (21.7714+26.7071+28.2036+28.2036)/4= 26.2214A2 = (17.0927+15.5397+15.7186+13.5240)/4= 15.4687

Para promedio de lecturas individuales se tiene:

A1 = 6.625/4= 1.6562; A2= 6.575/4= 1.6437

En resumen, los promedios para todos los factores son:

Nivel SN promedio Y promedioA1 26.22 1.6A2 15.47 1.6B1 20.38 1.2B2 21.41 2.0C1 20.71 1.6C2 20.99 1.6D1 20.31 1.6D2 21.38 1.6(AxC) 19.76 1.6(AxC) 21.93 1.6(AxD) 20.15 1.6(AxD) 21.54 1.6

Gráficas de estos promedios se muestran más adelante, en estas gráficas, la importancia de cada efecto se observar según la inclinación de cada línea, de hecho, los efectos se encuentran graficados de acuerdo con su importancia. Las conclusiones que se obtienen son las mismas, esto es, el factor A es el que más afecta el índice señal a ruido, y lo hace mayor a su nivel A1. El factor B es el que más afecta la respuesta promedio sin afectar el índice SN, la respuesta promedio aumenta al aumentar el factor B de su nivel 1 al 2.

Conclusiones generales del experimento

De acuerdo con los resultados que se han obtenido de los análisis, las conclusiones generales son:

a) El factor A afecta la variabilidad y se debe de fijar a su nivel 1.b) El factor B afecta la media del proceso, aumenta la media del proceso.c) El resto de los factores de diseño, (factores C y D), se fijarán al nivel en que sea más económico para el proceso, ya que no afectan sustancialmente ni la media, ni la variabilidad del proceso.

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Solución con Minitab se crea el arreglo con:

1. Diseñar el arreglo ortogonal definiendo las columnas para los factores principales y las interacciones, en este caso:

FACTORES DE CONTROLA B e C AxC AxD D1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 2 21 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 1 12 1 2 1 2 1 22 1 2 2 1 2 12 2 1 1 2 2 12 2 1 2 1 1 2

2. Reconocer el arreglo en Minitab con:

Stat > DOE > Taguchi > Define Custom Taguchi DesignFactors A B C DOK

Estas columnas es el resultado de los experimentos:

FACTORES DE CONTROL COMB. FACTORES DE RUIDO

A B e C AxC AxD DH1_G

1H2_G

1H1_G

2H2_G

21 1 1 1 1 1 1 1.1 1.2 1.3 1.11 1 1 2 2 2 2 1.2 1.3 1.2 1.31 2 2 1 1 2 2 2 2.1 2.2 2.11 2 2 2 2 1 1 2.1 2.2 2.1 22 1 2 1 2 1 2 1 1.4 1.2 1.32 1 2 2 1 2 1 1.2 1.3 1.5 12 2 1 1 2 2 1 1.6 2.1 2.4 22 2 1 2 1 1 2 1.5 2 2.3 2.5

3. Analizar el diseño con:

Con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi DesignResponse data in H1_G1 H2_G1 H1_G2 H2_G2Analysis. Fit linear model for Signal to Noise Ratios MeansGraphs: Signal to Noise Ratios MeansTerms: A B C D Analysis graphs: Residuals for plots Standardized Residual Plots Individual plots Normal plotOptions: Nominal is Best Seleccionar Use adjusted formula for nominal is bestStorage: Signal to Noise Ratios MeansOK

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La gráfica de residuos estandarizados muestra un comportamiento normal:

3210-1-2-3

99

95

90

80

70

605040

30

20

10

5

1

Standardized Residual

Perc

ent

Normal Probability Plot(response is Means)

Taguchi Analysis: H1_G1, H2_G1, H1_G2, H2_G2 versus A, B, C, D

Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D


Term Coef SE Coef T PConstant 20.8451 1.415 14.733 0.043A 1 5.3764 1.415 3.800 0.164B 1 -0.5674 1.415 -0.401 0.757C 1 -0.1485 1.415 -0.105 0.933D 1 -0.5367 1.415 -0.379 0.769A*C 1 1 -1.0854 1.415 -0.767 0.583A*D 1 1 -0.6972 1.415 -0.493 0.709

S = 4.002 R-Sq = 94.0% R-Sq(adj) = 57.8%

Analysis of Variance for SN ratios

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 231.241 231.241 231.241 14.44 0.164B 1 2.575 2.575 2.575 0.16 0.757C 1 0.176 0.176 0.176 0.01 0.933D 1 2.305 2.305 2.305 0.14 0.769A*C 1 9.425 9.425 9.425 0.59 0.583A*D 1 3.888 3.888 3.888 0.24 0.709Residual Error 1 16.014 16.014 16.014Total 7 265.625

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21

25.0

22.5

20.0

17.5

15.021

21

25.0

22.5

20.0

17.5

15.021

A

Mean o

f SN r

atios

B

C D


Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log10((Ybar**2 - s**2/n)/s**2))

El único factor significativo en relación a la variabilidad es el factor A, que en su nivel 1 sería el mejor

25

20

15

25

20

15

21

21

21

25

20

15

A

C

D

12

A

12

C

12

D

Interaction Plot for SN ratiosData Means

Signal-to-noise: Nominal is best (10*Log10((Ybar**2 - s**2/n)/s**2))

Las interacciones no parecen ser significativas

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Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D

Estimated Model Coefficients for Means

Term Coef SE Coef T PConstant 1.65000 0.01875 88.000 0.007A 1 0.00625 0.01875 0.333 0.795B 1 -0.42500 0.01875 -22.667 0.028C 1 -0.01875 0.01875 -1.000 0.500D 1 -0.01250 0.01875 -0.667 0.626A*C 1 1 -0.00000 0.01875 -0.000 1.000A*D 1 1 -0.00625 0.01875 -0.333 0.795

S = 0.05303 R-Sq = 99.8% R-Sq(adj) = 98.6%

Analysis of Variance for Means

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 0.00031 0.00031 0.00031 0.11 0.795B 1 1.44500 1.44500 1.44500 513.78 0.028C 1 0.00281 0.00281 0.00281 1.00 0.500D 1 0.00125 0.00125 0.00125 0.44 0.626A*C 1 0.00000 0.00000 0.00000 0.00 1.000A*D 1 0.00031 0.00031 0.00031 0.11 0.795Residual Error 1 0.00281 0.00281 0.00281Total 7 1.45250

21

2.0

1.8

1.6

1.4

1.221

21

2.0

1.8

1.6

1.4

1.221

A

Mean o

f M

eans

B

C D


El factor B es el único que parece ser significativo. Se puede interpolar su valor codificado a 1.5 (en 210 psi).

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1.68

1.64

1.601.68

1.64

1.60

21

21

21

1.68

1.64

1.60

A

C

D

12

A

12

C

12

D

Interaction Plot for MeansData Means

No parecen ser significativas las interacciones.

Response Table for Signal to Noise RatiosNominal is best (10*Log10((Ybar**2 - s**2/n)/s**2))

Level A B C D1 26.22 20.28 20.70 20.312 15.47 21.41 20.99 21.38Delta 10.75 1.13 0.30 1.07Rank 1 2 4 3


Level A B C D1 1.656 1.225 1.631 1.6382 1.644 2.075 1.669 1.663Delta 0.012 0.850 0.038 0.025Rank 4 1 2 3

Para predecir la respuesta con A = 1 y B = 1.5 se tiene:


Predict Mean Signal to Noise RatioTerms: A B C D AxC AxDLevels: Seleccionar Coded Units Select levels from a list: A = 1, B = 1, C = 1, D=1OK

Predicted values

S/N Ratio Mean 23.1863 1.19375

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A B C D1 1 1 1

Solo considerando A = 1, B = 2 se tiene:

Predicted values

S/N Ratio Mean 25.6541 1.23125


A B1 1

Conclusión: como el valor de la presión de prensado es el único factor que ajusta a la media, debe ajustarse para que la planicidad se encuentre en su valor nominal de 2.

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ejemplo dise o taguchi

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