UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE

COAHUILA

FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOSTRANSFORMADA DE UNA DERIVADA

Dr. Héctor Arturo Ruiz Leza E.I.Q. Ricardo Peña Flores

6to Semestre

Saltillo, Coahuila 14/03/2016

Encontrar y (s) para la ecuación diferencial:

d3 ydt 3

−3 d2 ydt 2

+3 dydt

− y=t 2e−t

[ s3 y ( s )−s2 y (0 )−s y ' (0 )− y ' ' (0 ) ]−3 [ s2 y (s )−s y (0 )− y ' (0 ) ]+3 [s y ( s )− y (0 ) ]− y (s )= 2(s+1)3

con condiciones iniciales:

y (0 )=1

y ' ( 0 )= 0

y ' ' (0 )=−2

[ s3 y ( s )−s2+2 ]−3 [ s2 y (s )−s ]+3 [sy ( s)−1 ]− y (s )= 2(s+1)3

Agrupando términos:

[ s3−3 s2+3 s−1 ] y (s )−s2+3 s−1= 2(s+1)3

( s−1 )3 y (s )=(s2−3 s+1)+2

(s+1)3

( s−1 )3 y (s )=(s−1)2−( s−1 )−1+2

(s+1)3

y (s )= 1(s−1)

− 1( s−1 )2

− 1(s−1 )3

+ 2(s+1)3(s−1)3

Resolvemos aplicando fracciones parciales:

2(s+1)3(s−1)3

= A(s+1)

+ B(s+1)2

+ C(s+1)3

+ D(s−1)

+ E(s−1)2

+ F(s−1)3

Resolvemos en MatLab aplicando el siguiente código

clcclearformat ratnum=[0 0 0 0 0 0 2];den=[1 0 -3 0 3 0 -1];[r,p,k]=residue(num,den)

Resultado

r =

3/8

-3/8

1/4

-3/8

-3/8

-1/4

p =

1

1

1

-1

-1

-1

k =

[]

Obtenemos los valores de A,B,C,D,E,F y sustituimos:

2(s+1)3(s−1)3

=

38

(s+1)−

38

( s+1 )2+

14

( s+1 )3−

38

(s−1 )−

38

(s−1 )2−

14

(s−1)3

Aplicamos Inversa de Laplace:

L−1 { y (s ) }=L−1 { 1( s−1 ) }−L−1 { 1

( s−1 )2 }−L−1 { 1(s−1 )3 }+L−1{

38

( s+1 )}−L−1 {

38

(s+1 )2}+ L−1{

14

( s+1 )3}−L−1{

38

( s−1 )}−L−1{

38

(s−1 )2}−L−1 {

14

(s−1 )3}

El resultado final nos queda como:

F ( t )=et−t e t−12t2e t+ 3

8e−t−3

8t e−t+ 1

8t 2e−t−3

8et−3

8t e t−1

8t 2e t