ejercicios calculo integral

Universidad Nacional Abierta y a Distancia


Cálculo Integral

Problemas de aplicaciones de cálculo integral

Trabajo colaborativo 2 y 3

Estudiante de ingeniería

Resumen: En el siguiente trabajo utilizaremos diferentes técnicas de integración para

dar solución a múltiples problemas de cálculo integral mostrando de manera clara el

desarrollo matemático y algebraico pasa así entender que en estos aspectos se alcanza

a unir diferentes materias que no ayudan a comprender los fenómenos que simulan las

diferentes integrales. Es de gran importancia aclarar que las integrales describen de

manera aproximada el mundo en el que vivimos, en el desarrollo de nuestras

actividades y en los fenómenos que realizamos en nuestros trabajos.

Palabras claves: Calculo integral, Valor promedio, métodos de integración

TRABAJO COLABORATIVO 2

EJERCICIOS

1. Problemas propuestos: Evaluar las siguientes integrales impropias.

𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥1

0

Como no es una integral directa debemos usar integración por partes

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 ′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Para lo cual la siguiente sustitución se utilizara para resolver el problema

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥

𝑓 ′ 𝑥 =1

𝑥 𝑑𝑥 𝑔′ 𝑥 = 1

Ahora reemplazando los términos según la expresión de integración por partes

tenemos:

𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥1

0

= 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 1

𝑥

1

0

𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥1

0


Debido a que no es posible poner los límites en los resultados se resuelve y al final se

evalúa sin presentar ninguna alteración

𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 = 1 𝑙𝑛 1 − 0 𝑙𝑛 0 − 1 − 0 = −1

2. Desarrolle la siguiente integral.

1

𝑥 − 1 2𝑑𝑥

∞

𝟐

Las técnicas de solución son muy claras en cada uno de los problemas este puede ser

realizado por sustitución o por fracciones parciales factorizando la diferencia de

cuadrado perfecto, para este ejercicio escogemos la integración por sustitución

mostrando un resultado inmediato.

𝑢 = 𝑥 − 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

Ahora se reemplaza en la integral quedando:

1

𝑥 − 1 2𝑑𝑥

∞

𝟐

= 1

𝑢 2𝑑𝑢 = 𝑢−2𝑑𝑢 =

𝑢−2+1

−2 + 1 =

𝑢−1

−1= −

1

𝑢

∞

𝟐

∞

𝟐

Ahora lo que debemos realizar es sustituir la variable u por x, para lo cual nos queda

1

𝑥 − 1 2𝑑𝑥

∞

𝟐

= −1

𝑢= −

1

(𝑥 − 1)=

1

1 − 𝑥

Evaluando la solución de la integral en los límites definidos [2 ∞] tenemos:

1

1 − 𝑥=

1

1 − ∞−

1

1 − 2=

1

∞−

1

−1= 0 − −1 = 1

3. Desarrolle la siguiente integral

𝑒−5𝑥𝑑𝑥+∞

−∞

Para el desarrollo del siguiente problemas debemos entender de manera clara que

la integral de la función euler, nunca cambia en proceso de derivadas y de

integrales por lo cual se mantiene constante.

Aplicaremos la siguiente sustitución elemental

𝑢 = −5𝑥 𝑑𝑢 = −5𝑑𝑥 𝑑𝑥 = −1

5𝑑𝑢

Despejando de la sustitución el valor del diferencial de u que sera reemplazado en

la función original obtendremos lo siguiente:


𝑒−5𝑥𝑑𝑥 =+∞

−∞

𝑒𝑢 −𝑑𝑢

5= −

+∞

−∞

1

5 𝑒𝑢𝑑𝑢 = −

1

5 𝑒𝑢

+∞

−∞

Como ya desarrollamos la integral debemos reemplazar el valor de u por la función

originas así:

𝑢 = −5𝑥

𝑒−5𝑥𝑑𝑥 =+∞

−∞

−1

5 𝑒𝑢 = −

1

5𝑒5𝑥= −

1

5

1

𝑒5 ∗ ∞−

1

𝑒5∗ −∞ = −

1

5[0 −∞ = ∞]

Como podemos apreciar la integral del número de euler tiende a infinito según la

solución planteada, ya que al evaluarlo en los diferentes rangos se tiene este

resultado.

TRABAJO COLABORATIVO 3

Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas

de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las

integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre

curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica)

Problemas propuestos: para dicho punto se desarrollan los ejercicios aplicativos de

cálculo integral:

1. Hallar el área que hay entre las graficas de f(x)= x2+2 y g(x)=1-x entre x=0 y

x=1

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-6 -4 -2 0 2 4 6

ord

en

ada

absisa

Comportamiento de las funciones


La parábola se encuentra por encima de la recta característica importante para

determinar la función que se debe integrar:

[𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ] =1

0

𝑥2 + 2 − 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1

0

𝑥2 + 2 − 1 + 𝑥2 𝑑𝑥1

0

= 2𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = 2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑑𝑥1

0

= [2

3𝑥2]

1

0

+ 𝑥1

0

Al evaluar las integrales entre los rangos definidos en cada una de las funciones

tenemos lo siguiente:

2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑑𝑥1

0

= 2

3𝑥2

1

0

+ 𝑥 = 2

3 12 − 02 + 1 − 0 =

5

3

2. Hallar el are de la región limitada por las graficas de f(x)=(x-1)2 y g(x)=-x+3

Como podemos apreciar la intersección entre las graficas se da en los puntos

x=-1 y x=2, siendo esto los limites para poder hallar el valor del área que se

pide en dicho problema.

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

-6 -4 -2 0 2 4 6

ord

enad

a

absisa



[𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ] =2

−1

−𝑥 + 3 − 𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 2

−1

= −𝑥 + 3) − (𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥2

−1

= −𝑥 + 3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑑𝑥2

−1

= 𝑥 − 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥2

2−

𝑥3

3+ 2𝑥

2

−1

Evaluado la integral entre los límites tenemos:

𝑥2

2−

𝑥3

3+ 2𝑥 =

22

2−

−1 2

2 −

23

2−

−1 3

3 + 2 2 − −1 =

23

6

3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtienen al rotar la grafica

de y=2√x entre x=3 y y=8 alrededor del eje x.

Como la función se debe hacer rotar sobre el eje y debemos organizar la

función despejando y en función de x y graficas para lo cual nos da una

parábola abierta hacia arriba.

[𝑓 𝑥 ] =4 2

2 2

[𝑦2

2]𝑑𝑦 =

1

2

4 2

2 2

[𝑦2]𝑑𝑥 =1

6𝑦3

4 2

2 2

Evaluando la integral entre los límites establecidos al rotar el sólido sobre el

eje y es

0

2

4

6

8

10

12

14

-6 -4 -2 0 2 4 6

ord

enad

a

absisa



1

6𝑦3 =

1

6 4 2

3− 2 2

3 = 29,5

4. Hallar la longitud de y=x3/6 – 1/2x entre los limites 1 y 3

Como debemos hallar la longitud de dicha función tenemos que aplicar la

definición de longitud de arco así:

𝐿 = 1 − 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥𝑏

𝑎

Dicha definición nos lleva a determinar la derivada de la función de trabajo

𝑓 𝑥 =𝑥3

6+

1

2𝑥

𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥3 + 6

12𝑥=

2𝑥4 + 6

12𝑥

𝑓 𝑥 =2𝑥46

12𝑥= 𝑓′ 𝑥 =

8𝑥3 6 + 2𝑥4 0

12𝑥 2=

48𝑥3

144𝑥2=

𝑥

3

Ahora aplicamos la definición de longitud así:

𝐿 = 1 − 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 1 − 𝑥/3 2𝑑𝑥3

1

= 1 −𝑥2

9𝑑𝑥 =

3

1

9 − 𝑥2

9𝑑𝑥 =

3

1

1

3 9 − 𝑥2𝑑𝑥 =

3

1

La integral de la raíz se encuentra en las tablas de integración paro lo cual

podemos decir que es directa así:

1

3 9 − 𝑥2𝑑𝑥 =

3

1

1

3 𝑥

2 9 − 𝑥2 +

9

2𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛

𝑥

3

Ahora evaluamos la integral en el rango definido:

1

3

𝑥

2 9 − 𝑥2 +

9


𝑥

3 =

1

3 9

2𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛 1 −

2 2

2+

9


1

3

5. La región limitada por las graficas f(x)=x y g(x)=0.5x2 gira alrededor del eje X

¿Cuál es el volumen que resulta de la rotación?

Para dicho ejercicio debemos aplicar la formula de sólidos de revolución por el

método e discos, para lo cual está establecida por:


𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥

Para lo cual según su interpretación matemática dice que la función mayor se

debe restar a la función menor que para esta caso g(x) es mayor a f(x)

𝑉 = 𝜋 0.5𝑥2 2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝜋 0.52𝑥4 − 𝑥2 𝑑𝑥 =0.52𝜋𝑥5

5−

𝜋𝑥3

3

6. La región limitada por las graficas de y=(x-1)2

& y=1+x se hacen girar

alrededor del eje X Hallar el volumen del solido resultante

Para dicho ejercicio debemos aplicar la formula de sólidos de revolución por el

método e discos, para lo cual está establecida por:

𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥

Para lo cual según su interpretación matemática dice que la función mayor se

debe restar a la función menor que para esta caso g(x) es mayor a f(x)

-10

0

10

20

30

40

50

-10 -5 0 5 10

ord

enad

a

absisa


F(X)=X

G(X)=0,5 X^2


𝑉 = 𝜋 1 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 4 𝑑𝑥 = 𝜋 1 + 2𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 4 𝑑𝑥

= 𝜋 + 𝑥2 +𝑥3

3−

𝑥 − 1 5

5+ 𝐶1

8. Hallar el centro de nada Ce de un objeto cuya función densidad es ρ(x)=x/6 + 2

0≤x≤6

Para determinar el centro de masa de la función debemos aplicar la formula de

centro de masa la cual es:

𝑥𝑐𝑚 = 𝑥 ∗ 𝑑

𝑑

𝑥 ∗ 𝑑 = 𝑥 𝑥

6+ 2 𝑑𝑥 =

𝑥2

6+ 2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥3

18+ 𝑥2 =

63

18+ 62 = 48

𝑑 = 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥

6+ 2 𝑑𝑥 =

𝑥2

12+ 2𝑥 =

62

12+ 12 = 15

𝑥𝑐𝑚 = 𝑥 ∗ 𝑑

𝑑=

48

15

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-10 -5 0 5 10

ord

en

ada

absisa


F(X)=(X-1)^2

G(X)=1+X

ejercicios calculo integral

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