AJUSTE DE CURVAS

1. Utilize la regresin por mnimos cuadrados para ajustar una lnea recta a:

X 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19 y 5 6 7 6 9 8 7 10 12 12

a) Haga una grafica de los datos y la lnea de regresin.

b) Repita el problema pero ahora efectu la regresin de x vs y , es decir cambie las variables

e interprete los resultados. (utilize sus conocimientos de Estadistica para calcular un

coeficiente de correlacion).

2. Use la regresin por minimos cuadrados para ajustar una lnea recta a :

X 6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39 y 29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3 a)Haga una grafica de los datos y la lnea de regresin. b)Si otra persona hiciera una medicin adicional de x=10 ,y=10 m , usted pensara con base en una evaluacin visual que la medicin era vlida o invalida ?

3. Ajuste los siguientes datos a: a) Un modelo lineal b) Un modelo de potencias y c ) una parbola.

En cada caso elabore una grafica. Cul es el mejor ajuste para este conjunto de datos?

X 0.75 2 3 4 6 8 8.5

y 1.2 1.95 2 2.4 2.4 2.7 2.6

4. Ajuste los datos siguientes con el modelo potencial by ax , use la ecuacin de potencias

resultante para hacer el pronstico de y, en x=9.

X 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20

y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3

5. Ajuste a un modelo exponencial a:

X 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3

y 800 975 1500 1950 2900 3600 Grafique el modelo en escala logartmica y semilogaritmica

6. En vez de usar el modelo exponencial de base e , una alternativa comn consiste en usar un

modelo de base 10: 5510x

y

Cuando se usa para ajustar curvas, esta ecuacin lleva a resultados idntico que los de la

versin con base e, pero el valor del parmetro del exponente : 5 , difiere del estimado con

el modelo exponencial. Use la versin con base 10 para resolver el problema anterior,

adems , desarrolle una formulacin para relacionar el exponente del modelo exponencial y el

valor 5 del modelo con base 10.

7. Mediante transformaciones, linealizar: 44 . .x

y x e

y usarlo para estimar los parmetros

4 4, , con base en los datos siguientes. Elabore una grafica del ajuste junto con los datos:

X 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8

y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18 8. Un investigador reporta los datos tabulados a continuacin, de un experimento para

determinar la tasa de crecimiento de bacterias k (per d), como funcin de la concentracin

de oxigeno c (mg/L). Se sabe que dichos datos pueden modelarse por medio de la ecuacin

siguiente:

2max

2

.k ck

Cs c

, donde max,Cs k son parmetros. Use una transformacin para linealizar esta

ecuacin. Despus utilize una regresin lineal para estimar sus parmetros y pronostique la

tasa de crecimiento para c=2mg/L.

c 0.5 0.8 1.5 2.5 4

k 1.1 2.4 5.3 7.6 8.9 9. Ajuste una ecuacin cubica a los siguientes datos:

X 3 4 5 7 8 9 11 12 y 1.6 3.6 4.4 3.4 2.2 2.8 3.8 4.6

10. Una extensin til de la regresin lineal es el caso en el que y es una funcin lineal de dos o

mas variables independientes. Por ejemplo : 20 1 2y a a x a x e (en este caso la lnea de

regresin , se transforma en un plano), donde e es el error. a) Use el error cuadrtico medio para hallar las ecuaciones normales. b)Para las siguientes tablas de datos, ajustarlos mediante una regresin lineal mltiple: b1)

b2)

11.

Se hace la prueba aun material para estudiar la falla por fatiga cclica, en la que se aplica un

esfuerzo, en MPa, al material y se mide el nmero de ciclos que se necesita para hacer que

falle. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. Al hacerse una grafica log-log, del

esfuerzo versus los ciclos, la tendencia de los datos presenta una relacin lineal. Use una

regresin por minimos cuadrados para determinar la ecuacin de mejor ajuste para dichos

datos.

X1 0 1 1 2 2 3 3 4 4

X2 0 1 2 1 2 1 2 1 2

y 15.1 17.9 12.7 25.6 20.5 35.1 29.7 45.4 40.2

X1 0 0 1 2 0 1 2 2 1

X2 0 2 2 4 4 6 6 2 1

y 14 21 11 12 23 23 14 6 11

N,ciclos 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Esfuerzo, MPa

1100 1000 925 800 625 550 420

12. Los datos siguientes muestran una relacin entre la viscosidad del aceite SAE 70 y su

temperatura. Despus de obtener el logaritmo de los datos, use regresin lineal para

encontrar la ecuacin de la recta que se ajuste mejor a los datos.

13. Luego de una tormenta se vigila la concentracin de la bacteria E. Coli en un rea de natacin.

El tiempo se mide en horas transcurridas despus de finalizar la tormenta y la unidad CFU es

una unidad de formacin de colonia. Use los datos para estimar la concentracin al final de la

tormenta (t=0) y el tiempo en el que la concentracin alcanzar 200 CFU/100mL. Observe que

la eleccin del modelo debe ser consistente con el hecho de que las concentraciones negativas

son imposibles y de que la concentracin de bacterias siempre disminuye con el tiempo.

14. Un objeto se suspende en un tnel de viento y se mide la fuerza para varios niveles de

velocidad del viento. A continuacin estn tabulados los resultados. Use la regresin por

mnimos cuadrados para ajustar :

a) Una lnea recta b) una ecuacin de potencias basada en transformaciones logartmicas

15. En los modelos de crecimiento poblacional es importante la hiptesis de que la razn de

cambio de la poblacin (dp/dt) es proporcional a la poblacin existente (p) en cualquier tiempo

(t), o en forma de ecuacin: dp

kpdt

donde k=factor de proporcionalidad conocido como velocidad de crecimiento especifico y tiene

unidades de tiempo-1. Si k es una constante , entonces la solucin de la ecuacin diferencial

es: 0( )ktp t p e , donde p0 es la poblacin cuando t=0.

Sin embargo, p(t), se aproxima al infinito conforme t crece, lo cual es irreal. Por tanto, se

debe reconocer que la velocidad de crecimiento especifico k no puede ser constante (a

medida que t crece al infinito , existirn limitacin de recursos y produccin de deshechos

txicos). Expresando esto mediante un modelo de velocidad de crecimiento de saturacin tal

que:

Temperatura, C

26.67 93.33 148.89 315.56

Velocidad, 2. . /N s m

1.35 0.085 0.012 0.00075

t(horas) 4 8 12 16 20 24

c(CFU/100mL) 1590 1320 1000 900 650 560

V (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80

F(Newtons) 25 70 380 550 610 1220 830 1450

max .f

k kK f

donde Kmax, es la velocidad de crecimiento mximo obtenible para valores grandes de

alimento (f), y K=constante de saturacin media. Se muestra que cuando f=K, k=kmax/2, por

tanto K es la cantidad de alimento disponible que permite una velocidad de crecimiento

poblacional igual a la mitad de la velocidad mxima. Las constantes K y Kmax son valores

empricos obtenidos de mediciones experimentales de k para diferentes valores de f. Si se

quiere calcular Kmax y K , a partir de estos datos empricos. Esto se lograr invirtiendo:

max max max

1 1 1.

K f K

K K f K f K

, con lo cual se linealiza k y puede ser posible determinar

Kmax y K , para luego poder ser reemplazado en la ecuacin inicial : maxK fdp

pdt K f

.

Dadas los diferentes valores de f y k , haga un ajuste del modelo de velocidad de crecimiento

de saturacin para una levadura empleada en la produccin comercial de cerveza y elabore una

grafica.

16. Usted lleva a cabo experimentos y determina los valores siguientes de capacidad calorfica c

a distintas temperaturas T para un gas:

Use regresin para determinar un modelo para predecir c como funcin de T.

17. El esfuerzo a la tensin de plstico se incrementa como funcin del tiempo que recibe

tratamiento en base de calor. Se obtuvieron los datos siguientes:

a) Ajuste una lnea recta a estos datos y utilice la ecuacin para determinar el esfuerzo a la

tensin en un tiempo de 32 min.

b) Repita el anlisis para una recta con interseccin en el origen.

18. El volumen especfico de un vapor sobrecalentado se presenta en la tabla de vapor para

distintas temperaturas. Por ejemplo, a una presin absoluta de 3000 lb/pulg2.

f 7 9 15 25 40 75 100 150

k 0.29 0.37 0.48 0.65 0.8 0.97 0.99 1.07

T -50 -30 0 60 90 100

c 1270 1280 1350 1480 1580 1700

Tiempo 10 15 20 25 40 50 55 60 75

Esfuerzo a la tension

5 20 18 40 33 54 70 60 78

T, F 700 720 740 760 780

V,pies3/lb 0.0977 0.12184 0.14060 0.15509 0.16643

Determine v, con T=750F.

19. En la enfermedad de Alzheimer , el numero de neuronas en la corteza disminuye conforme la

enfermedad avanza. Los datos siguientes se tomaron para determinar el nmero de receptores

neurotransmisores que quedan en un cerebro enfermo. Se incubaron neurotransmisores libres

( [F]) con tejido, y se midi, la concentracin que limita especficamente a un receptor( [B]).

Cuando la cubierta es especifica de un receptor, la concentracin lmite se relaciona con la

concentracin libre por medio de la relacin siguiente: max[ ]

[ ][ ]

B FB

K F

.

Con el uso de los datos siguientes, determine los parmetros que minimizan la suma de los

cuadrados de los residuos.

20. Se tomaron los datos siguientes del tanque de un reactor de agitacin para la reaccin:

A B . Use los datos para hacer las estimaciones mejores posibles para 01 1,k E , para el

modelo cintico siguiente: 1

01

EA

RTdA

k edt

, donde R: es la constante de los gases y es igual

a 0.00198 Kcal/mol/K.

21. Emplee el conjunto siguiente de datos de presin volumen para encontrar las mejores

constantes viriales posibles (A1y A2) para la ecuacin de estado que se muestra a continuacin.

R=82.05ml atm/gmol K y T=303 K.

1 22

1A APV

RT V V

22. A continuacin se presenta datos de la vasija de un reactor de crecimiento bacterial (una vez

que termino la fase de retraso ). Se permite que las bacterias crezcan tan rpido como sea

posible durante las primeras 2.5 horas, y despus se les induce a producir una protena

recombinante, la cual disminuye el crecimiento bacterial en forma significativa. El crecimiento

terico de las bacterias se escribe por medio de: dX

Xdt

donde X, es el numero de bacterias, y , es la tasa de crecimiento especifico de las bacterias

durante el crecimiento exponencial. Con base en los datos, estime la tasa de crecimiento

especfico de las bacterias durante las primeras 2 horas de crecimiento, asi como durante las

siguientes 4 horas de crecimiento.

[F],nM 0.1 0.5 1 5 10 20 50

[B],nM 10.57 36.61 52.93 82.65 89.46 94.35 101.00

-dA/dt (moles/L/s)

400 960 2485 1600 1245

A(moles/L) 200 150 50 20 10

T(K) 280 320 450 500 550

P (atm) 0.985 1.108 1.363 1.631

V (ml) 25000 22200 18000 15000

23. El peso molecular de un polmero se determina a partir de su viscosidad por medio de la

relacin siguiente: [ ] avKM

donde [ ] es la viscosidad intrnseca del polmero, vM , es la viscosidad promediada del peso

molecular, y K y a son constantes especificas del polmero. La viscosidad intrnseca se

determina en forma experimental por medio de determinar el tiempo de flujo, o el tiempo que

toma a la solucin polimrica fluir entre dos lneas grabadas en un viscosmetro capilar, a

distintas concentraciones de polmero diluido, y se extrapola para una dilucin infinita. La

grafica de: 01

t

tversus c

c

debe generar una lnea recta , con interseccin en el eje e igual a [ ] . La concentracin de la

solucin polimrica es c , t es el tiempo de flujo de la solucin polimrica y 0t es el tiempo de

flujo del solvente sin polmero. Con el uso de los siguientes datos de tiempo de flujo para

disoluciones diluidas de poliestireno en metil etil acetona a 25C y las constantes K=3.9x10-4 y

a=0.58 , encuentre el peso molecular de la muestra de poliestireno.

Concentracion del polmero , g/dL

Tiempo de flujo, s

0 (solvente puro) 83

0.04 89

0.06 95

0.08 104

0.10 114

0.12 126

0.14 139

0.16 155

0.20 191

24. En promedio el rea superficial A de los seres humanos se relaciona con el peso W y la

estatura H. En la tabla siguiente se presentan los valores de A que se obtuvo con mediciones

de cierto nmero de individuos:

H(cm) 182 180 179 187 189 194 195 193 200

W (kg) 74 88 94 78 84 98 76 86 96

A(m2) 1.92 2.11 2.15 2.02 2.09 2.31 2.02 2.16 2.31

Desarrolle una ecuacin para pronosticar el rea como funcin de la estatura y el peso. sela para

estimar el rea superficial de una persona de 187 cm y 78 kg.

Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 6

Celulas, g/L 0.100 0.332 1.102 1.644 2.453 3.660 5.460

25. Determine una ecuacin para predecir la tasa del metabolismo como funcin de la masa con

base en los datos siguientes:

Animal Masa , Kg Metabolismo, watts

Vaca 400 270

Humano 70 82

Oveja 45 50

Gallina 2 4.8

Rata 0.3 1.45

Paloma 0.16 0.97

26. El tejido suave sigue un comportamiento exponencial ante la deformacin por tensin uniaxial,

mientras este en el rango fisiolgico o normal de elongacin. Esto se expresa como:

0 1aE

ea

, donde 0: , : , ,esfuerzo tension E a son constantes del material que se

determinan en forma experimental. Para evaluar las dos constantes del material, la ecuacin

anterior se diferencia con respecto a . El uso de la ecuacin establece la relacin

fundamental para el tejido suave: 0d

E ad

.

Para evaluar E0 y a, se grafican los datos de esfuerzo-tensin como /d d versus , y la

interseccin y la pendiente de esta grafica son las dos constantes del material,

respectivamente.

En la tabla siguiente se muestran datos de esfuerzo-tensin para los tendones cordados del

corazn (tendones pequeos que se usan para mantener cerradas las vlvulas del corazn

durante la contraccin del musculo cardiaco, estos datos son para tejido que se carga, mientras

que la descarga produce curvas diferentes).

3,10

N/m2

87.8 96.6 176 263 351 571 834 1229 1624 2107 2678 3380 4258

3,10 /m m

153 204 255 306 357 408 459 510 561 612 663 714 765

Calcule la derivada /d d con el uso de diferencias finitas. Grafique los datos y elimine los

puntos de los datos cerca de los ceros que parezcan no seguir la relacin de lnea recta. El error

en dichos datos proviene de la incapacidad de los instrumentos para leer los valores pequeos

en esta regin. Ejecute un anlisis de regresin de los datos restantes a fin de determinar los

valores de E0 y a.

Grafique los puntos del esfuerzo versus los de tensin junto con la curva analtica expresada

por la primera ecuacin . Esto indicar que tan bien la curva analtica concuerda con los datos.

Muchas veces esto no funciona bien debido a que el valor de E0 es difcil de evaluar con esta

tcnica. Para resolver este problema, no se utiliza E0 . Se selecciona un punto de los datos

, a la mitad del rango de anlisis de regresin. Dichos valores se sustituyen en la primera

ecuacin y se determina un valor de E0/a , el cual se sustituye en la primera ecuacin , que se

convierte en:

11

a

ae

e

Con este enfoque, los datos experimentales que estn bien definidos producirn una buena

coincidencia de los puntos de los datos con la curva analtica. Use esta nueva relacin y

grafique otra vez los datos del esfuerzo versus los de tensin, y esta curva analtica nueva.

27.El espesor de la retina cambia durante ciertas enfermedades oculares. Una forma de medir

dicho espesor es proyectar un laser de energa muy baja hacia la retina y grabar las reflexiones

en una pelcula. Debido a alas propiedades pticas del ojo, las reflexiones de la superficie

frontal y traser de la retina aparecern en la pelcula como dos lneas separadas por cierta

distancia.

Esta distancia es proporcional al espesor de la retina. Los datos siguientes se tomaron de una

pelcula grabada. Ajuste a los datos dos curvas con forma gaussiana de altura y ubicacin

arbitrarias y determine la distancia entre los centros de los dos picos. Una curva gaussiana

tiene la forma:

2 2( )

( )k x ake

f x

Posicin Intensidad De luz

Posicin Intensidad De Luz

Posicin Intensidad De Luz

Posicin Intensidad de luz

0.17 5.10 0.24 31.63 0.31 25.31 0.38 5.15

0.18 5.10 0.25 26.51 0.32 23.79 0.39 5.10

0.19 5.20 0.26 16.68 0.33 18.44 0.40 5.10

0.20 5.87 0.27 10.80 0.34 12.45 0.41 5.09

0.21 8.72 0.28 11.26 0.35 8.22 0.42 5.09

0.22 16.04 0.29 16.05 0.36 6.12 0.43 5.09

0.23 26.35 0.3 21.96 0.37 5.35 0.44 5.09

28. Se realizo un estudio de ingeniera de transporte para determinar el diseo apropiado de

pistas para bicicletas. Se recabaron datos del ancho de las pistas y la distancia promedio entre

las bicicletas y los autos en circulacin. Los datos de 9 calles son:

Distancia,m 2.4 1.5 2.4 1.8 1.8 2.9 1.2 3 1.2

Ancho de pista,m

2.9 2.1 2.3 2.1 1.8 2.7 1.5 2.9 1.5

a) Grafique los datos

b) Ajuste una lnea recta a los datos con regresin lineal. Agregue esta lnea a la grafica

anterior.

c) Si se considera que la distancia promedio mnima de seguridad entre las bicicletas y los

autos en circulacin es de 2m, determine el ancho de pista mnimo correspondiente.

29. En ingeniera de recursos hidrulicos, el tamao de los almacenamientos depende de

estimaciones exactas del flujo de agua en el rio que se a va captar. Para ciertos ros es difcil

obtener registros histricos extensos de dichos datos de flujo. Por el contrario, es frecuente

que se disponga de datos meteorolgicos sobre la precipitacin que se extienden mucho hacia

el pasado. Por tanto, con frecuencia resulta til determinar una relacin entre el flujo y la

precipitacin. Entonces, esta relacin se usa pare estimar los flujos durante los aos en que

solo se dispone de medidas pluviales. Se dispone de los datos siguientes para un rio que a

represarse:

Precipitacin, cm

88.9 108.5 104.1 139.7 127 94 116.8 99.1

Flujo, m3/s 14.6 16.7 15.3 23.2 19.5 16.1 18.1 16.6

a) Grafique los datos

b) Ajuste una lnea recta a los datos por medio de regresin lineal. Sobreponga esta lnea a su

grafica.

c) Use la lnea de mejor ajuste para predecir el flujo anual de agua si la precipitacin es de

120cm.

d) Si el rea de drenaje es de 1100km2, estime la fraccin de la precipitacin que se pierde a

travs de procesos como la evaporacin , infiltracin y uso consuntivo.

30. La concentracin del fosforo total (p en mg/m3) y clorofila a (c en mg/m3) para cada una

serie de lagos en el ao 1970, fue:

Lago P (fosforo) C (clorofila)

A 4.5 0.8

B 8.0 2.0

C 5.5 1.2

D 39.0 11.0

E 19.5 4.4

F 17.5 3.8

G 21.0 5.5

La concentracin de clorofila a indica cuanta vida vegetal se encuentra en suspensin en el

agua. Al ser as, indica la claridad y visibilidad del agua. Use los datos anteriores para

determinar la relacin de c como funcin de p. Emplee la ecuacin para predecir el nivel

de clorofila que puede esperarse si se usa el tratamiento del agua para abatir a 10 mg/m3la

concentracion de fosforo del lago D.

31. El mstil de un velero tiene un area de seccin transversal de 10.65 cm2y esta construido de

una aleacin experimental de aluminio. Se llevaron a cabo pruebas para definir la relacin

entre el esfuerzo y la tensin. Los resultados de las pruebas fueron los que siguen:

Tension, cm/cm

0.0032 0.0045 0.0055 0.0016 0.0085 0.0005

Esfuerzo, N/cm2

4970 5170 5500 3590 6900 1240

Los esfuerzos ocasionados por el viento se calculan como F/Ac donde F=fuerza en el mstil, Ac

=rea de la seccin transversal del mstil . Despus, este valor se sustituye en la ley de Hooke

para determinarla deflexin del mstil, L : tensionxL, donde L= longitud del mstil. Si la

fuerza del viento es de 25000 N, use los datos para estimar la deflexin de un mstil de 9m.

32. Las reacciones enzimticas se usan mucho para caracterizar reacciones mediadas

biolgicamente. A continuacin se dan expresiones de tasas propuestas para una reaccin

enzimtica, donde [S] es la concentracion del sustrato y v0 es la tasa inicial de la reaccin. Qu

formula se ajusta mejor a los datos experimentales?

2 3

0 0 0 02 3

[ ] [ ] [ ][ ] , , ,

[ ] [ ] [ ]

k S k S k Sv k S v v v

K S K S K S

[s],M Tasa inicial, 10-6 M/s

0.01 6.3636x10-5

0.05 7.9520x10-3

0.1 6.3472x10-2

0.5 6.0049

1 17.690

5 24.425

10 24.491

50 24.500

100 24.500

33. Se mide la mide la cada de voltaje V a travs de un resistor para cierto nmero de valores

distintos de corriente i . Los resultados son:

i 0.25 0.75 1.25 1.5 2.0

V -0.45 -0.6 0.70 1.88 6.0

Utilize interpolacin de polinomios de primero a cuarto orden para estimar la cada de voltaje

para i=1.15. Interprete los resultados.

34. Se mide con gran precisin la corriente en un conductor como funcin del tiempo:

t 0 0.1250 0.2500 0.3750 0.500

I 0 6.24 7.75 4.85 0.000

Determine el valor de i en t=0.23.

35. Se sabe que la cada de voltaje a travs de un inductor sigue la ley de Faraday: Ldi

v Ldt

,

donde Lv , es la cada de voltaje (en volts), L es la inductancia (en henrios), i es la corriente (en

amperes). Emplee los datos siguientes para estimar L:

di/dt (A/s) 1 2 4 6 8 10

Vt (V) 5.5 12.5 17.5 32 38 49

Cul es el significado, si hubiera alguno, de la interseccin de la ecuacin de regresin que se

obtiene con estos datos?

36. La ley de Ohm establece que la cada de voltaje V a travs de un resistor ideal es linealmente

proporcional a la corriente i que fluye a travs de un resistor , como en V=iR, donde R es la

resistencia. Sin embargo, los resistores reales no siempre obedecen a la ley de Ohm. Suponga

usted que lleva a cabo algunos experimentos muy precisos para medir la cada de voltaje y la

corriente correspondiente para un resistor. Los resultados se enlistan en la tabla siguiente y

sugieren una relacin curvilnea ms que la lnea recta que representa la ley de Ohm. A fin de

cuantificar dicha relacin debe ajustarse una curva a los datos. Debido al error en la medicin,

es comn que la regresin sea el mtodo preferido de ajuste de curvas para analizar dichos

datos experimentales. Sin embargo, la suavidad de la relacin, asa como la precisin de los

mtodos experimentales, sugieren que quiz sera apropiada la interpolacin. Use la

interpolacin de polinomios de Newton para ajustar loas datos y calcular V para i=0.1 Cul es

el orden del polinomio que se uso para generar los datos?

i -2 -1 -0.5 0.5 1 2

V -637 -96.5 -20.5 20.5 96.5 637

37. Es frecuente que en los anlisis avanzados de ingeniera surjan funciones de Bessel, como en

el estudio de campos elctricos. Dichas funciones por lo general no son susceptibles de

evaluarse en forma directa y por ello, no es raro que estn compiladas en tablas matemticas

estndar. Por ejemplo:

X 1.8 2 2.2 2.4 2.6

J1(x) 0.5815 0.5767 0.556 0.5202 0.4708

Estimar J1(2.1) a) Con polinomios de interpolacin b) Con splines cbicos

38. La poblacin (p) de una comunidad pequea en los suburbios de una ciudad crece con rapidez

durante un periodo de 20 aos:

t 0 5 10 15 20

p 100 200 450 950 2000

Como ingeniero , se le pide pronosticar la poblacin que habr dentro de 2 aos a fin de

anticipar la demanda de energa . Emplee un modelo exponencial y regresin lineal para

efectuar dicha prediccin.

39. La Ley de Hooke , que se cumple cuando un resorte no se estira mas all de cierto limite,

significa que la extensin de este resorte y la fuerza que se le aplica estn relacionadas

linealmente. La proporcionalidad esta parametrizada por la constante K del resorte. Un valor

para dicho parmetro se establece en forma experimental con la colocacin de pesos

conocidos en el resorte y la medicin de la compresin que resulta. Tales datos aparecen en

la tabla inferior y estn graficados. Observe que por arriba de un peso de 40x104N, la relacin

lineal entre la fuerza y el desplazamiento desaparece. Esta clase de comportamiento es

comn de lo que se denomina resorte en deformacin. Emplee regresin lineal para

determinar un valor de k para la parte lineal de este sistema. Adems, ajuste una relacin

no lineal a la parte no lineal.

Desplazamiento,m 0.10 0.17 0.27 0.35 0.39 0.42 0.43 0.44 Fuerza, 104N 10 20 30 40 50 60 70 80

Ley de Hooke Comportamiento no

ideal: el resorte esta

endurecido

Desplazamiento, m

Fuerza,

104 N

40. Repita el problema anterior, pero ajuste una curva de potencias a todos los datos de la

tabla. Comente sus resultados.

41. La distancia que se requiere para detener un auto consiste en componentes tanto de

pensamiento como de frenado, cada una de los cuales es funcin de velocidad. Se

recabaron los siguientes datos experimentales para cuantificar dicho relacin. Desarrolle la

ecuacin de mejor ajuste para ambos componentes, pensamiento y frenado. Utilize estas

ecuaciones para estimar la distancia total en que se detiene un auto que viaja a 110km/h.

Velocidad, km/h

30 45 60 75 90 120

Pensamiento,m 5.6 8.5 11.1 14.5 16.7 22.4

Frenado,m 5.0 12.3 21.0 32.9 47.6 84.7

42. Se realiza un experimento para definir la relacin entre el esfuerzo aplicado y el tiempo

para que se fracture cierto tipo de acero inoxidable . Se aplican ocho valores distintos de

esfuerzo, y los datos resultantes son:

Esfuerzo, x, (k/mm2)

5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo para la fractura, y (h)

40 30 25 40 18 20 22 15

Grafique los datos y despus desarrolle la ecuacin de mejor ajuste para predecir el

tiempo de fractura para un esfuerzo aplicado de 20kg/mm2.

43. La aceleracin de la gravedad a una altitud y por enciam de la superficie de la Tierra esta

dada por:

y,m 0 30000 60000 90000 120000

g, m/s2 9.81 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682

Calcule g para y=55000m.

44. De un procedimiento de pruebas se obtuvieron la tasa de arrastre *

que es tasa de tiempo

a que aumenta la tensin, y de esfuerzos, los cuales se presentan a continuacin. Con el uso

de una ley de curva de potencias para ajustar : *

mB

Encuentre el valor de B y m. Grafique sus resultados con el empleo de una escala log-log.

Tasa de arrastre, min-1

0.0004 0.0011 0.0021 0.0031

Esfuerzo, MPa 5.775 8.577 10.874 12.555

45. Al examinar el comportamiento viscoso de un fluido es prctica comn graficar la tasa de

corte (gradiente de velocidad).

*d

dy

, en las abscisas versus el esfuerzo cortante , ,en las ordenadas.

Cuando un fluido muestra un comportamiento en lnea recta entre esas dos variables, se

denomina fluido newtoniano, y la resultante es: *

.

Donde es la viscosidad del fluido. Muchos fluidos comunes siguen este comportamiento

como el agua, leche y aceite. Los fluidos que no se comportan de este manera se llaman

no newtonianos. Si se tienen tres tipos de fluidos no newtonianos:

-Para plsticos Bingham, hay un esfuerzo inducido y que debe superarse para que el

flujo comience: *

y (un ejemplo es la pasta dental).

- Para seudoplasticos, el esfuerzo cortante se eleva a la potencia: n (ejemplo de

estos son el yogurt y el champu).

Los datos siguientes muestran la relacin entre el esfuerzo cortante y la tasa de tensin

cortante: *

y para un fluido plstico Bingham. El esfuerzo inducido y es la cantidad de esfuerzo

que debe superarse antes de que comience el flujo. Encuentre la viscosidad (pendiente), y ,

por medio de regresin.

Esfuerzo , 3.58 3.91 4.98 5.65 6.15

Tasa de tensin cortante, *

1 2 3 4 5

46. La relacin entre esfuerzo y la tasa de tensin cortante *

para un fluido seudoplastico, puede

expresarse mediante: n . Los datos siguientes provienen de hidroxietilcelulosa en una

solucin de agua. Con el empleo de un ajuste por ley de potencias, encuentre los valores de

y n.

Tasa de tensin cortante, *

50 70 90 110 130

Esfuerzo , 6.01 7.48 8.59 9.19 10.21

46. Se mide la velocidad u del aire que fluye a varias distancias y de una superficie plana .

Ajuste una curva a esos datos si se supone que la velocidad en la superficie es igual a cero

(y=0). Utilice su resultado para derterminar el esfuerzo cortante ( /du dy ) en la superficie

( 51.8 10x )

y, m 0.002 0.006 0.012 0.018 0.024

U, m/s 0.287 0.899 1.915 3.048 4.299

47. La ecuacin de Andrade ha sido propuesta como modelo del efecto de la temperatura sobre la

viscosidad: /. B TaD e , donde =viscosidad dinmica del agua (10-3N.s/m2), Ta=temperatura

absoluta (k)y D ,B son parmetros . Ajuste este modelo a los datos del agua:

T 0 5 10 20 30 40 1.787 1.519 1.307 1.002 0.7975 0.6529

48. Para el conjunto de datos que se muestra , determine la curva de cada familia que mejor se le

ajuste en el sentido de los mnimos cuadrados:

a) ( ) Axf x C e b) ( ) Af x Cx c) Use E2(f) para determinar cul de las curvas es la que mejor se

ajusta.

xk 1 2 3 4 5

yk 0.6 1.9 4.3 7.6 12.6

49. Para el conjunto de datos que se muestra, determine la curva de cada familia que mejor se le

ajuste en el sentido de los mnimos cuadrados:

a) ( ) Axf x C e b) ( ) 1 / ( )f x Ax B c) Use E2(f) para determinar cul de las curvas es la que

mejor se ajusta.

xk -1 0 1 2 3

yk 6.62 3.94 2.17 1.35 0.89

50. Para el conjunto de datos que se muestra, determine la curva de cada familia que mejor se le

ajuste en el sentido de los mnimos cuadrados:

a) ( ) Axf x C e b) 2( ) ( )f x Ax B c) Use E2(f) para determinar cul de las curvas es la que

mejor se ajusta.

51. Cuando una poblacin P(t) no puede crecer mas alla de un cierto valor limite L. La grafica de la

funcin P(t) es una curva, llamada curva logstica, de ecuacin / (1 )Axy L Ce .Calcule A y C

para los siguientes datos , siendo L un valor conocido.(0,200), (1,400),(2,650), (3,850),(4,950),

L=1000.

52. Use los siguientes datos sobre la poblacin de una pas X, para hallar la curva logstica P(t),

correspondiente y estime la poblacin en el ao 2000.

a) Suponga L=8x108

Ao tk Pk

1800 -10 5.3

1850 -5 23.2

1900 0 76.1

1950 5 152.3

b) L=8x108

Ao tk Pk

1900 0 76.1

1920 2 106.5

1940 4 132.6

1960 6 180.7

1980 8 226.5

53. Realice el cambio de variable indicado para linealizar las siguientes funciones:

a) A

y Bx

b) 1

yAx B

c) ln( )y A x B d) 2( )y Ax B e) D

yx C

f) Dxy Cxe

54.a) Deducir ecuaciones normales que permiten hallar la curva de la forma cos( ) sin( )y A x B x , que mejor se ajusta a un conjunto de datos en el sentido de mnimos

cuadrados. (use el error E2(f) y derivadas parciales . Investigue el mtodo de Newton para sistemas no lineales)

b)Use los resultados del apartado (a) para hallar la curva de ecuacin cos( ) sin( )y A x B x ,

que mejor se ajusta a los datos:

xk -3 -1.5 0.0 1.5 3.0

yk -0.1385 -2.1587 0.8330 2.2774 -0.5110

55. Deduzca las ecuaciones normales en el sentido de mnimos cuadrados de z Ax By C ,

que mejor se ajuste a un conjunto de N puntos (x1,y1,z1), (x2,y2,z2),..,(xn,yn,zn) (usando el error

cuadrtico medio y derivadas parciales igualadas a cero).

56. Determine los planos que mejor se ajusten a los siguientes conjuntos de datos en el sentido de

mnimos cuadrados:

a)(1,1,7),(1,2,9),(2,1,10),(2,2,11),(2,3,12) b)(1,2,6),(2,3,7),(1,1,8),(2,2,8),(2,1,9)

57. La relacin, hora a hora, de temperaturas en Puerto Real (Cdiz) durante un da de noviembre

se da en la tabla que figura ms abajo. Calcule la funcin de la forma cos( ) sin( )y A Bx C Dx

, que mejor se ajusta a los datos de la tabla siguiente en el sentido de mnimos cuadrados.

Dibuje los datos y la curva obtenida en una misma grafica y calcule E2(f).

Hora Grados Hora Grados

1 8 13 16

2 8 14 16

3 8 15 15

4 8 16 14

5 7 17 13

6 7 18 13

7 7 19 12

8 8 20 11

9 10 21 10

10 14 22 10

11 14 23 9

12 15 24 8

INTERPOLACION 59. Suponga que una relacin funcional y=f(x) esta dada en forma tabular como:

X 0 0.25 0.50 0.75 1.00

Y 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055

Donde y(x) es una funcin monotonicamente decreciente de x. Encuentre los valores de

x que satisfacen y=0.9, 0.7, 0.6 ,0.5

60. A continuacin damos la densidad del sodio a tres temperaturas.

i 1 2 3

Temperatura : Ti (C) 94 205 371

Densidad :di (kg/m3) 929 902 860

a)Escriba la interpolacin de Lagrange que se ajusta a los tres puntos de datos

b) Obtenga la densidad para T=2510 mediante Lagrange.

61. Determine el polinomio en forma de serie de potencias que pasa por cada uno de los

siguientes conjuntos de datos:

a) (-1,1),(1,4)

b) (-2,2),(0,-1),(2,1)

c) (-1,-1),(0,2.5),(1,1),(2,-1)

d) (-1,-1),(0,0),(1,2),(2,5)

Usando : polinomio de Lagrange, Newton, mtodos matriciales.

62. Es criba una formula de interpolacin lineal que aproxime sen(x) en el intervalo

0 / 4x , usando los valores de x=0 y / 4x .

63. Sabiendo que max '' 0.3827f en 0 / 4x , prediga el error mximo posible de la

interpolacin lineal determinada en el problema anterior

64. a)Escriba el polinomio y(x) en forma de serie de potencias ajustado a los siguientes puntos

de datos:

I 1 2 3 4

X 0 0.5 2.0 2.5

Y 1.21 1.32 1.05 0.97

b) Evalu la derivada en x=1.75

65. a)Escriba la interpolacin de Lagrange que pasa a travs de los siguientes puntos de

datos:

X 0 0.4 0.8 1.2

Y 1.0 1.491 2.225 3.320

b) Conociendo ''''(0.6) 1.822f estime el error en x=0.2, 0.6, 1.0

c) Dado el hecho de que la tabla de datos se obtuvo de ( ) xf x e , evalue el error de la

formula de interpolacin en x=0.2,0.6,1.0 mediante: ( ) ( ) ( ) e ( )xe x f x g x g x

66. Ajuste . ( )x sen x en 0 / 2x , con el polinomio de interpolacin de Lagrange de

orden 4, utilizando puntos equiespaciados. Calcule el error de cada formula de

interpolacin en cada incremento de /16

67. Escriba la formula de interpolacin de Lagrange ajustada a:

X 0.5 1.0 1.5 2.0

Y Y1 Y2 Y3 Y4

Donde yk son valores desconocidos. Escrbalo en serie de potencias y deduzca la primera

derivada del polinomio.

68. Aproxime: 2

1

1 2 3

xy

x x

en 0 5x mediante la interpolacin de Lagrange de orden 4

y evalue segn el error : ( ) ( )e x y g x . Proceda siguiendo los siguientes pasos: a)

Determine los puntos b) Escriba la interpolacin de Lagrange c) Calcule el error por cada

incremento de 0.2 en x.

69. Para que tipos de nodos el polinomio de interpolacin de Lagrange reduce su error?

70. En una planta qumica se sintetiza un producto que es utilizado posteriormente como conservante de productos enlatados. El rendimiento del proceso depende de la temperatura. Se dispone de los siguientes datos:

71. Se considera un rendimiento ptimo el que va de 38.5 a 45, por lo que la planta

trabaja a 175C. Si la temperatura de trabajo cae a 162C por una avera, ser el proceso satisfactorio hasta que sea reparada?

72. El pentxido de dinitrgeno gaseoso puro reacciona en un reactor intermitente segn una reaccin quimica. Se calcula la concentracin de Pentoxido de dinitrogeno en

ciertos instantes, obteniendo los siguientes datos: Si lo

tenemos en el reactor un tiempo mximo de 35 minutos (2100 segundos), cul es la concentracin de pentxido de dinitrgeno que queda sin reaccionar?

73. Estime el logaritmo natural de 10 por medio de la interpolacin lineal. Interpole entre log8= 0.9030900 y log12=1.0791812 Interpole ente log9=0.9542425 y log 11=1.0413927 Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo porcentual con base en el

valor de calculadora. 74. Ajuste un polinomio de interpolacin de Newton de segundo orden para estimar el log10,

con los datos del problema anterior en x=8 , 9 y 11. Calcule el error relativo porcentual verdadero.

75. Ajuste un polinomio de interpolacin de Newton de tercer orden para estimar log10 con los datos del problema 13.

T ( C) 150 160 170 180 190 200 210

R (%) 35.5 37.8 43.6 45.7 47.3 50.1 51.2

T (s) 0 200 400 650 1100 1900 2300

C 5.5 5.04 4.36 3.45 2.37 1.32 0.71

76. Estime el logaritmo 5 usando interpolacin lineal a) interpole ente log 4=0.60206 y log 6=0.7781513 b) interpole entre log 4.5=0.6532125 y log 5.5 0.7403627 c) en cada una de las interpolaciones, calcule el error relativo porcentual con base en el

valor verdadero. Use interpolacin de Lagrange 77. Ajuste un polinomio de interpolacin de Newton de segundo grado para estimar log 5

usando los datos del problema 16. 78. Con los datos

x 1 2 2.5 3 4 5

F(x) 1 5 7 8 2 1

Calcule f(3.4) usando interpolacin de Newton de grado 1 a 3 79. Desarrolle splines cuadrticas para los primeros 5 datos del problema 3 y prediga f(3.4 y f(2.2) 80. Desarrolle splines cbicas para los siguientes datos: y

calcule f(4) y f(2.5) 81. Obtener el polinomio de lagrange de los siguientes datos:

X 1 2 3 4 5

F(X) 2.16794 1.81638 2.08982 2.32419 2.24607

F(X) 2.44137 1.48436 2.03122 1.93357 1.85545

F(X) 2.79293 2.85153 2.92965 2.87106 2.85153

F(X) 2.53903 2.7734 2.69528 2.75387 2.7734

82. Los termostatos se usan para medir la temperatura de los cuerpos. El principio de su funcionamiento se basa en el cambio de la Resistencia con la temperatura. Para medir su temperatura, los fabricantes proveen al instrumento de una curva de calibracin de temperatura vs resistencia. Si se mide resistencia, puedes hallar la temperatura. Un fabricante de termostatos hace varias observaciones las que se resumen en la tabla:

R (ohm) 1101.0 911.3 636.0 451.1

T(C) 25.113 30.131 40.120 50.128

Determinar la temperatura correspondiente a 754.8 ohms usando un polinomio de Lagrange de primer orden.

Evalu ahora lo mismo usando polinomios de interpolacin de segundo y tercer orden. 83. La caracterstica principal de una termoclina es el cambio repentino de la temperatura .

Damos a continuacin la tabla para las termoclinas sobre un lago:

T (C) 19.1 19.1 19 18.8 18.7 18.3 18.2 17.6 11.7 9.9 9.1

Z(m) 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

donde Z, es la profundidad en metros a) Usando los datos dados, se nota que el cambio ms notable en la temperatura es entre

z=-8 y z=-7. Determine el valor de la temperatura en z=-7.5 usando un polinomio de newton de primer orden

b) De Segundo orden c) De tercer orden , adems si se sabe que la posicin donde la termoclina existe esta dada

por : 02

2

dz

Td. Usando la expresin anterior, evalu el valor de la profundidad para la

cual la termoclina existe.

x 1 2 3 5 6

F(x) 4.75 4 5.25 19.75 36

84. Ayudado por la interpolacin de Newton, halle el valor de x que corresponde a f(x)=0.85 para los datos tabulados:

X 0 1 2 3 4 5

f(x) 0 0.5 0.8 0.9 0.941176 0.961538

Observe que los valores de la tabla se generaron con la funcin 2 2( ) / (1 )f x x x

Calcule el valor verdadero y el error relativo porcentual. 85. Desarrolle splines cuadrticos y cbicos para los datos:

X 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5

f(x) 2 8 14 15 8 2

y pronostique f(3.4) y f(2.2) 86. Calcule la parbola que pasa por los tres ltimos puntos de la tabla del ejercicio anterior a) Matricialmente b) Usando Lagrange, 87. Emplee la porcin de la tabla de vapor que se da para el agua supercalentada a 200 MPa,

para: a) Encontrar la entropa correspondiente s para un volumen especifico v de 0.108 m3/kg con interpolacin lineal b) Encontrar la misma entropa correspondiente al uso de interpolacin cuadrtica, c) Hallar el volumen correspondiente a una entropa de 6.6 con empleo de interpolacin inversa.

V (m3/kg) 1.6 2 2.5

S (kl/kg.K) 6.4147 6.5453 6.7664

88. La velocidad de un tren viajando entre dos estaciones es medida a diferentes distancias desde la estacion inicial. Si la distancia x se mide en km, desde la estacin inicial, la velocidad v(x), en km/h, para diferentes distancias x esta dada por la siguiente tabla:

x 0 50 100 150 200 250

v(x) 0 60 80 110 90 0

Encuentre la velocidad del tren en el punto medio entre las dos estaciones.

89. La tabla de valores dada a continuacin, corresponde al valor de : 2

0

( )2

x

S x sen t dt

,

para diferentes valores de x:

x 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20

v(x) 0 0.00003 0.00026 0.0009 0.00214 0.00419

Obtener un polinomio interpolante de Newton de grado 5 para S(x) , luego calcular S(2) y estimar su error.

90. Se dan a continuacin los datos de temperatura (C) entre las 8:00am y las 8:00pm del 23 de octubre del 2012 en una ciudad. Estimar la temperatura a las 5pm

Hora 8:00a.m 12:00m 4pm 8pm

Temperatura 30 37 43 38

91. El pago mensual por una hipoteca a 30 aos de $100,000. para dos tasas de inters diferentes esta dado en la tabla siguiente. Use una interpolacin lineal para estimar el pago mensual correspondiente a una tasa de inters 8.25% al ao.

Tasa de inters anual ik 7% 10%

Pago mensual Ak=f(ik) $665.30 $877.57

92. Suponga que se dispone de dos datos adicionales sobre la tasa de inters y el pago mensual en el problema anterior. La nueva data , se resume en la tabla siguiente. Estimar el pago mensual para 8.25% anual usando una interpolacin de segundo orden (use uno de los dos puntos adicionales para esto).

Tasa de inters anual ik

7% 10% 8% 9%

Pago mensual Ak=f(ik)

$665.30 $877.57 $733.76 $804.62

93. Los datos torque-velocidad para un motor elctrico esta dado en las dos primeras columnas

de la tabla dada. Hallar el polinomio interpolante de Newton que pasa por los datos dados y estimar el torque a 1800 rpm

Velocidad ( ) rpm x 1000

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Torque , Ti (Pies/lb)

31 28 24 14 2

94. La solucin de la ecuacin diferencial '( ) ( ) 1y t y t , (0) 0y , ( ) 1 ; 0ty t e t , sea T, el

tiempo requerido para alcanzar el valor A, donde 0 1A , ( )y T A , varios puntos de la

forma ( )y T A , se muestran en la tabla de la parte inferior. Generalmente se usan

polinomios de orden bajo para hallar un T para un valor dado de A:

T 0 0.1054 0.2231 0.3567 0.5108 0.6931 0.9163 1.2040 1.6094

A 0.00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Usando un polinomio de tercer orden adecuado evaluar f(0.45) (Considere la interpolacin de newton donde A es variable independiente y T es variable dependiente)

95.Un servicio de tutoras lleva un registro de rendimiento de una prueba estandarizada y del nmero de das que los estudiantes asistir a sus clases de repaso. La mejora del desempeo Y representa la mejora porcentual en los calificaciones de los estudiantes en las pruebas tomadas por segunda vez. X es el nmero de das de asistencia a la clase de repaso.

X :Dias de atencin

X0 =1 X1 =2.5 X2=5 X3=6.5 X4=9

Y:% Mejora Y0=2 Y1=5 Y2=11 Y3=14 Y4=17

a) Graficar los puntos. b) Construir una tabla de diferencias divididas. c) Estimar f(4), el % de mejora en alguno de los puntajes luego de 4 das de asistencia a las clases de repaso, asumir que y = f(x) es una funcin que relaciona X y Y . Tome como base las diferencias divididas de tercer orden y el polinomio de Newton correspondiente f3(x). d) Graficar f3(x) sobre el grafico de la data. e) Estimar el erro en el valor interpolado de f(4). Use el punto extra, es decir, el no usado en la parte c) para obtener la respuesta. f) Repetir la parte e) con x = 0, y = 0 como punto adicional. Compare sus resultados de e) y f)

96.a) Referido a la interpolacin con splines, considere el polinomio 2 3

0 1 2 3y a a x a x a x , pruebe que las condiciones S(1)=1 , S(1)=0, S(2)=2, S(2)=0 ,

producen el sistema de ecuaciones:

0 1 2 3

1 2 3

0 1 2 3

1 2 3

1

2 3 0

2 4 8 2

4 12 0

a a a a

a a a

a a a a

a a a

a) Resuelva el sistema del apartado (a) y dibuje el spline

97. Considere el polinomio 2 30 1 2 3y a a x a x a x , pruebe que las condiciones S(1)=3 ,

S(1)=-4, S(2)=1, S(2)=2 , producen el sistema de ecuaciones:

0 1 2 3

1 2 3

0 1 2 3

1 2 3

3

2 3 4

2 4 8 1

4 12 12

a a a a

a a a

a a a a

a a a

Resuelva el sistema y grafique la curva.

98. Determine el spline cubico sujeta a los puntos (3,-2), (-2,0),(1,3), (4,1) y verifica las

condiciones sobre la derivada primera en los extremos dadas por S(-3)= -1, S(4)=1. 99. Halle el spline cubico natural que pasa por los puntos (-3,2), (-2,0),(1,3) y (4,1) y

verifica las condiciones de frontera libre S(-3)=0 y S(4)=0. 101. Determine el spline cubico con terminacin parablica que pasa por los puntos (-3,2),

(-2,0), (1,3) ,(4,1).

16. Determine el spline cubico con curvatura dada en los extremos que pasa por los puntos

(-3,2), (-2,0), (1,3), (4,1) y verifica las condiciones sobre la derivada segunda en los

extremos dadas por S(-3)=-1 , y S(4)=2.

102. Halle el spline cubico sujeta a los puntos 3

0, ( )k k k

x f x

que estn en la grafica de

2( ) ,f x x

x usando los nodos 0 1 / 2x , 1 1x , 2 3 / 2x , 3 2x . Utilice las condiciones de

frontera libre S(x0)=0 , S(x3)=0. Dibuje f y el spline cubico natural en un mismo grafico.

103. a) Halle el spline cubico que pasa por los puntos que estn en la grafica de 2( ) cos( )f x x , usando los nodos 0 1 2 30, / 2 , 3 / 2 , 5 / 2x x x x . Utilice las

condiciones sobre la derivada en los extremos dadas por S(x0)=f (x0) , S(x3)=f (x3). Dibuje f y el spline cubica interpoladora en un mismo grafico.

b) Halle el spline cubico que pasa por los puntos que estn en la grafica de 2( ) cos( )f x x ,

usando los nodos 0 1 2 30, / 2 , 3 / 2 , 5 / 2x x x x . Utilice las condiciones de

frontera libre S(x0)=0 , S(x3)=0. Dibuje f y el spline cubico en un mismo grafico. 104. Las distancias recorridas dk por un coche en los instantes tk se dan en la siguiente tabla.

Use las condiciones sobre la primera derivada dadas por S(0)=0 y S(8)=98 para determinar el spline cubico que interpola estos puntos:

Tiempo, tk 0 2 4 6 8

Distancia, dk 0 40 160 300 480

105. La siguiente tabla contiene las coordenadas (x, y) de varios puntos a lo largo de la

catenaria mostrada en la figura siguiente. La variable s es la longitud del cable desde el punto ms bajo x = 0, y = 328 hasta el punto (x, y).

i Xi Yi Si

0 0 328.0 0

1 50 331.8 50.2

2 100 343.4 101.6

3 150 362.9 155.3

4 200 390.9 212.6

5 250 428.0 274.9

a) Graficar los puntos (xi, si), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

b) Halle el polinomio de interpolacin de Newton de primer orden f1(x) usando solo los

puntos (x0, s0) y (x5, s5). Graficar la funcin lineal en el mismo grafico que la data.

c) Usar la funcin de interpolacin f1(x) para estimar la longitud del cable requerida para

trazar una distancia horizontal de 150 pies desde el punto ms bajo del cable (0,328).

d) Suponer que la funcin de relacin entre s y x es s = f(x). Estimar el error verdadero

R1(150) = f(150) - f1(150) mediante el uso del punto adicional (200, 212.6).

e) Encontrar el polinomio interpolante de Newton de Segundo orden f2(x) usando los

puntos (x0, s0) y (x5, s5) y el punto adicional (x4, s4). Graficarlo sobre el grafico de f1(x) y la

data.

100 pies

f) La funcin verdadera f(x) es : sinhx

s cc

, graficar sobre el mismo grafico f1(x), f2(x)

y la data.

g) Calcular el error R1(150 ).

106. Referida a la misma tabla de datos usados en el problema anterior.

a) Graficar los puntos (yi, si), i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

b) Hallar f1(y), el polinomio interpolante de Newton de primer orden usando los puntos

(y0, s0) y (y5, s5). Plotear la funcin lineal en el mismo grafico de la data.

c) Usar la funcin interpolante f1(y) para estimar la longitud del cable , con una longitud de

34.9 pies desde el punto ms bajo del cable (0,328) .

d) Suponer que la funcin verdadera que relaciona s y y es: s = f(y). Estimar el error

verdadero R1(362.9 ) = f(362.9) - f1(362.9) usando el punto adicional (390.9, 212.6).

e) Hallar el polinomio interpolante de Segundo orden f2(x) usando los puntos (y0, s0), (y5,

s5) y el punto adicional (y4, s4). Graficarlo sobre la grafica de f1(y) y la data.

f) La funcin verdadera f(y) es 2 2328s y . Plotearla sobre el grafico de f1(y),

f2(y) y la data.

g) Calcular el error R1(362.9).

107.La regin desde el nivel del mar hasta aproximadamente 36,000 pies se llama

troposfera donde la temperatura de la atmosfera standard varia linealmente con la altitud a) Describa la verdadera variacin T = T(h) si la temperatura en el nivel del mar (h= 0 pies)

es 518.69 R y 447.43 R a una altitud de 20,000 pies. b) La presin del aire y la velocidad del sonido varan con la altitud en la troposfera. La

siguiente tabla contiene varios datos que reflejan la variacin de estas cantidades con la

altitud.

Altitud : h (pies) Presion: p (psi) Velocidad sonido , v (pies/s)

0 14.7 1116.4

5000 12.2 1097.1

10000 10.1 1077.4

20000 6.76 1036.9

30000 4.37 994.85

36000 3.31 968.75

Se requiere un polinomio interpolante para estimar p para diferentes valores de la altitud.

Reordenar los puntos de la data si es necesario, y calcular el conjunto completo de

diferencias divididas.

Determinar el menor polinomio de interpolacin de Newton de diferencias divididas fn(h)

adecuado para interpolar p . No escoger el polinomio completo de 5 orden, i.e. n < 5. c) Graficar la data (hi, pi), i = 0,1,2,3,4,5 junto con el polinomio interpolante

p = fn(h) , donde 1 4n en el mismo grafico. d) Use fn(25,000) para estimar la presin atmosfrica en la troposfera a una altitud de

25,000 pies , i.e. f(25,000) donde p = f(h) es la relacin entre ambas.

e) Seleccionar algunos de los puntos de la tabla de datos, que no hayan sido usados para

hallar fn(h) y aplicarlo para estimar el error en fn(25,000).

f)La funcin verdadera que relaciona p (en psi) y h (en pies) es ( )

( ) (0)(0)

g

aRT hp f h p

T

donde g=constante gravitacional a nivel del mar (32.17 pies/s2)

R= constant de gas para el aire (1718 pies-lb/slug R) a = Gradiente para la temperature atmosferica en la troposfera, i.e. pendiente de la

funcin lineal T = T(h)

p(0) = presion atmosferica a nivel del mar, psi

T(0) = Temperatura atmosferica a nivel del mar, R Plotear la funcion p = f(h) para 0 36000h en el mismo grafico de los datos (hi, pi),

i = 0,1,2,3,4,5 y el polinomio interpolante p = fn(h), 1 4n

g) Calcular el error verdadero f(25,000) - fn(25,000).

108. Referido a la tabla de datos del problema anterior .

a) Se require un polinomio interpolante para estimar v sobre el rango complete de altitudes .

Reordenar el conjunto de datos si es necesario, calcular el conjunto complete de diferencias

divididas .

Determinar el polinomio de interpolacion de Newton de menor orden fn(h) mas adecuado

para interpolar v. No considere el polinomio completo de quinto orden, i.e. n < 5.

b) Plotear el conjunto de datos (hi, vi), i = 0,1,2,3,4,5 junto con los polinomios interpolantes

v = fn(h) donde 1 4n en el mismo grafico.

c) Estimar la velocidad del sonido en la troposfera a una altitud de 15000 pies, es decir

f(15,000) donde v = f(h) es la relacion entre las variables.

d) Seleccionar uno de los puntos de la tabla , no usado para determinar fn(h) para estimar

el error en fn(15,000).

e) La velocidad real del sonido a 15,000 pies de altitud es 1057.4 pies/s. Calcular el error

verdadero f(15000) - fn15000)

.

109. Un tanque esta lleno de agua hasta cierto nivel H0. Se abre una vlvula y el tiempo T

requerido para vaciar completamente el tanque se anota. Los siguientes datos fueron

obtenidos

Altura Inicial Ho (Pies) Tiempo de vaciado T

(min)

50 58.9

37 50.7

28 44.1

10 26.4

5 18.7

a) Plotear la data con T como variable dependiente.

b) Hallar el polinomio interpolante de Newton f3(H0) mas adecuado para estimar el tiempo

de vaciado cuando el tanque esta inicialmente lleno con entre 20 y 30 pies de agua. Plotear

f3(H0) en el mismo grafico.

c) Estimar el tiempo que toma vaciar al tanque cuando contiene inicialmente 25 pies de

agua .

d) Estimar el error en la respuesta c) usando el punto restante.

e) Estimar el error en la respuesta c) usando el punto adicional (0 ft, 0 min). Compare las

respuestas en las partes d) y e) y comentar resultados.

f) La funcin real para calcular la altura de un fluido en el tanque para cualquier tiempo es: 2

1/2 1/22( ) 02

o o

ct AH t H t H

A c

Donde : H0 : es la altura inicial del agua en el tanque (pies)

A: es el rea de la seccin transversal del tanque, pies2

c: es la constante especifica del tanque, pies3/min/pies1/2

Plotear el grafico de T = f(H0) para un tanque con A = 100 pies2 and c = 12 pies3/min/pies1/2.

h) Calcular el error verdadero R3(25)

110. La dinmica de un sistema fsico es a menudo modelado por una ecuacion diferencial

de Segundo orden de la forma:

2 2

2( ) 2 ( ) ( ) ( )n n n

d dy t y t y t K u t

dtdt

donde u(t) es la entrada y (t) es la respuesta. Cuando la entrada u(t)=1 , para 0t , la salida y(t) se llama respuesta de escaln unitario y esta dado por:

22

1( ) 1 sin 1

1

tnny t K e t

donde : 1cos , 0 1

Los parmetros del sistema , ,n K se llaman: frecuencia natural, razn de freno y ganancia

del estado estable respectivamente. Una respuesta tpica se obtiene cuando 1n , rad/seg, K=1

, , 0 1 . El porcentaje de sobrecarga (P.O), se refiere al valor para el cual el valor pico Mp de

la respuesta en el tiempo, sobrepasa el valor final de K. La tabla siguiente recoge los diferentes P.O obtenidos para diferentes valores de .

a) Graficar la respuesta y(t) contra , usando algunos de los valores de la tabla y verifcar que

el porcentaje de sobrecarga de la respuesta este en conformidad con los valores tabulados de

P.O ( 1n rad/seg , K = 1)

b) Plotear los datos , . , 0,1...,9i iP O i

c) Hallar el polinomio interpolante de Newton de segundo orden f2( ), mediante los puntos

correspondientes a = 0, 0.3 y 0.9. Plotear el polinomio en el mismo grafico de los datos

y discutir que tan bien aproxima este polinomio a la funcin verdadera P.O. = f( ).

d) Use f2( ) para estimar f(0.2) y f(0.8).

e) Estimar los errores verdaderos : R2(0.2) = f(0.2) - f2(0.2) , R2(0.8) = f(0.8) - f2(0.8)

usando los puntos adicionales ( = 0.6, P.O. = 9.48).

f) Calcular los errores verdaderos R2(0.2) y R2(0.8).

g) Usar el punto adicional empleado en e) para hallar un polinomio interpolante de tercer

orden f3( ). Plotearlo en el mismo grafico de toda la data y f2( ).

h) La funcin verdadera P.O. = f( ) esta dada por : 21

. ( ) 100P O f e

plotear f ( ) en el mismo grafico de los datos y los dos polinomios interpolantes.

0

P

111. Dos puntos sobre un crculo de 1 milla de radio se muestran en el diagrama siguiente.

El punto inicial O esta fijo y el segundo punto P tiene coordenadas (x,y). La distancia del

punto O al punto P a lo largo del crculo es D1 y la distancia a lo largo de una lnea recta es D2. La diferencia 1 2D D es de inters. Los valores D1 y D2 se midieron para

diferentes valores a lo largo del crculo. Los resultados se resumen en la tabla:

Mp

. 100%Mp K

P O xK

1D

2D

( , )P x y

1

i xi,millas yi, millas D1i, millas D2i, millas imillas

0.00

Plotear los datos (xi, i ), i = 0, 1, , 8. b) Halle el polinomio de interpolacin de Newton de menor orden que se ajusta a los datos

razonablemente bien. Plotearlo sobre el mismo grafico que la data.

c) Plotear el polinomio de octavo orden de Newton sobre el mismo grafico (use toda la

data)

d) Plotear los puntos de la forma (yi, i ), i = 0, 1, , 4 sobre un nuevo grafico.

e) Sera posible construir un polinomio de interpolacin de Newton con los puntos de la

forma (yi, i ), i = 0, 1, , 4, para aproximar en forma adecuada la funcin ( )Yf y ?. Explique porque los datos usados para hallar el polinomio de interpolacin est restringido

a un subconjunto de la tabla, ie, solo yi correspondientes a 0 1ix ?. Si puedes hallar un

polinomio interpolante adecuado grafcalo junto al grafico obtenido en c) y la data, caso

contrario explica porque.

f) Muestra que la funcin real ( )Xf x esta dada por 1/21cos 1 2x x

g) Plotear la funcin verdadera ( )Xf x sobre los grficos sobre los grficos obtenidos en

la partes a), b) y c).

h) Halle la ecuacin de la funcin verdadera ( )Yf y . Usarlo para generar muchos ms

puntos (yi, i ).

i) Repetir las partes d) y e) usando el conjunto de datos aumentados en c).

j) Discutir los pasos necesarios para hallar un polinomio interpolante que aproxime

( )Yf y para 0 1 , 1 2y x .

112. Un filtro digital es usado para extraer informacin de una seal analgica

distorsionada con ruido. La seal analgica es muestreada para generar datos discretizados

el cual es numricamente procesado por un microprocesador convencional o Procesador de

seales digital especializado (DSP) optimizado para efectuar los calculos requeridos. La

razn de muestreo est determinada por las frecuencias del ruido y los componentes de la

seal de la forma de onda sin filtrar. Un tipo comn de filtros digital se llama filtro de impulso de respuesta infinita (IIR) . El orden de un filtro IIR est relacionado con la capacidad de rechazo del ruido. La cantidad clculos numricos incrementa con el orden de

los filtros. Un chip DSP con conversin I/O, A/D y memoria adicional se prob para

determinar la mxima razn de muestreo alcanzable para implementar filtros IIR de

diferentes rdenes. Los resultados se resumen en la tabla.

i Orden del filtro

IIR (ni)

Maxima razn de muestreo

(fmax)i (KHz)

0 1 1700

1 12 550

2 24 270

3 36 200

4 48 150

5 60 130

b) Plotear los datos [ni, (fmax)i], i = 0,1,5. b) Hallar el polinomio interpolante de quinto orden de Newton f5(n) usando toda la data.

c) Sera posible usar un filtro IIR de 15 orden , para una seal donde la frecuencia

caracterstica del ruido muestreado es de 400kHz, usando un hardware de prueba DSP ?

Base su respuesta en el polinomio de interpolacin hallado en la parte b).

d) Use f5(n) para estimar la mxima razn de muestreo para un filtro digital IIR de 30

orden.

e) Halle el polinomio interpolante de Newton de 2 orden f2(n) calculado usando los puntos

correspondientes a los filtros de ordenes 12, 24 y 36. Repetir la parte d) usando f2(n).

Compare f2(30) y f5(30) y discuta cual es mas prximo al valor verdadero.

f) Si se tienen dos puntos adicionales disponibles (20, 320) y (50,140). Cual escogera

para estimar el error verdadero R5(30) = f(30) - f5(30), donde fmax= f(n) es la funcin

verdadera relacionada al filtro de orden n y la mxima razn de muestreo fmax. Explique

g) Escoger el dato apropiado (de los adicionales) y calcular estimando R5(30).

113. Una interseccin sealizada es objeto de un estudio de demora en el trfico. Las

grabaciones hechas sobre los mismos periodos de tiempo a lo largo de varias semanas

indican que el mayor flujo promedio es de 1200 vehculos /hora en ambas direcciones. y

que el menor flujo promedio es de 600 vehculos / hora entrando en la interseccin en

ambas direcciones. La demora en el tiempo de parada D se refiere al tiempo que el vehculo

esta detenido sobre la va a travs de la interseccin. Las mediciones del tiempo de demora

en las paradas fueron hechas en cada vehculo a travs de la interseccin durante el periodo

de inters. Los vehculos que entraban en la interseccin cuando la seal era verde se les

asigno un cero en el tiempo de demora, puesto que no se detuvieron. El promedio de

demora por vehculo Dave fue calculado entonces fcilmente.

El ciclo de tiempo C de la seal fue fijado en 90 segundos. La porcin del ciclo del

tiempo cuando el mayor flujo recibe una luz verde se designo G/C. El ingeniero en trafico

est intentando determinar el valor optimo de G/C durante el periodo de tiempo de inters.

Los siguientes datos se obtuvieron de ese estudio:

i (G/C)i (Dave)i , segundo/vehiculo

0 0.55 32.6

1 0.60 32.2

2 0.50 34.6

3 0.65 33.0

4 0.45 40.8

5 0.70 35.5

a) Plotear los datos [(G/C)i, (Dave)i] , i = 0,1,,5.

b) Calcular el polinomio de interpolacin de Newton completo usando todos los puntos .

Comentar que tan adecuado es usar un polinomio de interpolacin de Newton fn(G/C),

n = 2, 3, 4, 5 para aproximar la funcin (Dave) = f(G/C).

c) Plotear los polinomios de Newton fn(G/C) para n = 2, 3, 4 y 5.

d) Estimar el ciclo ptimo de la razn G/C y el correspondiente decaimiento mnimo

promedio en la demora para cada polinomio de la parte c).

N APELLIDOS Y NOMBRES EJERCICIO ASIGNADO

1 AREVALO CARHUAYANO, FABIAN HOMERO 1 32 63 94

2 CONDOR FERNANDEZ, MAX DICSON 2 33 64 95

3 ESPINOZA GARAY, DAVIS 3 34 65 96

4 GARRIDO MALLQUI, ROBERT ALEX 4 35 66 97

5 INOCENTE EUGENIO, ORLANDO 5 36 67 98

6 JUSTINIANO TUCTO, HENRY ELEODORO 6 37 68 99

7 LABAN GUPIOC, ORLANDO 7 38 69 100

8 LOYOLA TANTA, SILVER PAUL 8 39 70 101

9 MALPARTIDA AREVALO, NIGEL ROMARIO 9 40 71 102

10 MARTIN PARDO, JOHN DEIVIS 10 41 72 103

11 MELENDEZ TEJADA, ALBERTH JHEMMER 11 42 73 104

12 MELGAREJO RENGIFO, GIANELLA 12 43 74 105

13 MITAC PAUCAR, JHON 13 44 75 106

14 ORTIZ MORALES, ELKIN FAUSTO 14 45 76 107

15 ORTIZ SUAREZ, JHON FITZGERALD 15 46 77 108

16 PAREDES FLORES, YUDNER TAYSON 16 47 78 109

17 PENADILLO BETETA, JUAN 17 48 79 110

18 RAMIREZ DIAZ, EFLL YOVANKA 18 49 80 111

19 RAMIREZ PORTOCARRERO, PAUL KEVIN 19 50 81 112

20 RAMOS CRUZADO, JUAN RICARDO 20 51 82 113

21 RIOS IBAEZ, LUIS GUSTAVO 21 52 83 1

22 RIVERA VEGA, ISAIAS 22 53 84 2

23 RIVERA VEGA, JAMES JONATAN 23 54 85 3

24 RUBIO GARCIA, GERSON 24 55 86 4

25 SALAZAR VELEZ, ODALIS LUCERITO 25 56 87 5

26 SALDAA PANDURO, CESAR ARTURO 26 57 88 6

27 SILUPU MAZA, JUAN JOSE 27 58 89 7

28 SOTO PEAHERRERA, KENIN AKIRE 28 59 90 8

29 VASQUEZ CISNEROS, CARLOS CLEMENTE 29 60 91 9

30 VASQUEZ RUBIO, ALDAIR ALBENIS 30 61 92 10

31 VENTURA PIAN, ISAI OBED 31 62 93 11

FECHA DE PRESENTACION 28 DE JUNIO 7:00 PM