ejercicios. flujo interno viscoso incompresible

Fox, McDonald & Pritchard1

CapCaptulo tulo VIIIVIII

FLUJO INTERNO VISCOSO FLUJO INTERNO VISCOSO INCOMPRESIBLEINCOMPRESIBLE

Texto gua:

Jairo A. Sandoval, Ms. Eng.


ContenidoContenido1. Introduccin: Flujo laminar y turbulentoFlujo completamente desarrollado2. Flujo laminar entre placas paralelas3. Flujo laminar en tuberas4. Distribucin del esfuerzo cortante en tuberas5. Perfil de velocidad turbulento en tuberas6. Consideraciones energticas para flujo en tuberas7. Clculo de las prdidas de carga8. Problemas tpicosMedicin de flujo9. Mtodos directos de medicin de flujo10. Medicin de flujo interno con restricciones



Flujo interno vs. Flujo externo


Flujo interno:

Tuberas Ductos Toberas Difusores Contracciones Expansiones Vlvulas Accesorios

Incompresible: M < 0.3 En Aire ~ 100 m/s


8.1. Introduccin: Flujo laminar y turbulento

DVDVRe ==

Tubera:Recritico ~ 2300

Regin no viscosa


Velocidad media: conservacin de la masa constante =m&

AVudAAUmArea

== 0 &


Longitud de entrada para flujo laminar:

D ReL 06.0

Para Rec:

Para obtener informacin sobre el perfil de velocidad usaremos las ecuaciones diferenciales que desarrollamos (laminar).


8.2. Flujo laminar entre placas paralelas

8.2.1. Placas estacionarias

8.2.2. Placas superior movindose a velocidad constante


8.2.1. Placas estacionarias

Aplicacin: prdidas de aceite en un cilindro, por ejemplo.

Consideraciones: Incompresible Estable Viscoso No vara en z (2-D) No vara en x,

completamente desarrollado

00

)(

=

=

=

w

v

yuu

1400=

aVRe


constanteyu

x

p=

=

2

2

gyp

=


constantedy

udyu

x

p==

=

2

2

2

2

x

pdy

ud

=2

2

1cyx

pdydu

+

=

212

21

cycyx

pu ++

=

20 c= ac

ax

p

12

210 +

= ax

pc

=

21

1

La distribucin de velocidades es:


Distribucin de esfuerzos cortantes, Flujo volumtrico, Cada de presin como funcin del caudal, Velocidad media, Punto de velocidad mxima,

Ahora podemos calcular:


Distribucin de esfuerzos cortantes:

+

==

yu

x

vyxxy dy

du= 21221

cycyx

pu ++

=

1cyx

pdydu

yx +

==

Flujo volumtrico:


Cada de presin como funcin del caudal:

laLQp 3

12= ( )laVAVQ ==

Velocidad media:

= Area AdVAV

rr1


Punto de velocidad mxima:

Transformacin de coordenadas: punto medio


Ejemplo: prdidas en pistn hidrulico

T = 50C, Aceite SAE 10W

Cul es la fuga de lquido?

Anlisis:

Suposiciones:(1) Laminar (3) Incompresible(2) Permanente (4) Totalmente desarrollado


Verificar que sea laminar:


8.2.2. Placas superior movindose a velocidad constante

1500=

aVRe

Aplicacin: Lubricacin de cojinetes.

Similar al caso anterior, diferentes condiciones de borde:


Reempezando:

Note que si p/ x = 0 Variacin lineal


Distribucin de esfuerzos cortantes:dydu

yx =

Flujo volumtrico:


Velocidad media: = Area AdVAV

rr1



Distribucin de Velocidades:


Ejemplo: Torque y potencia en un cojineteUn cojinete que soporta el cigeal de un M.C.I. es lubricado con aceite SAE 30 a 210F. El dimetro del cojinete es 3 con una holgura de 0.0025/2; el eje rota a 3600 rpm, la longitud del soporte es 1.25. El cojinete no tiene carga y la holgura es simtrica. Cul es el torque requerido para rotar en cojinete?, Cul es la potencia disipada?


Suposiciones:(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Semejante a 2 placas planas infinitas (ya que L/a =

1.25/0.0125 = 1000)(6) p/ x = 0, pues el flujo es simtrico en el cojinete

Esquema y datos:

Lubricante: aceite SAE-30T = 210F, = 3600 rpm = 9.6 10-3 Ns/m2 (Fig. A-2)

= 2.01 10-4 lbfs/ft2


Anlisis:

( )2DDLT yx = pi


a

Dyx 2

=

0yx Acta hacia la izquierda sobre la placa

LDT yx2

2

pi=

El torque ser:

La potencia ser:


Verificacin del flujo laminar:

< 1500


8.3. Flujo laminar en tuberas

Consideraciones: Incompresible Estable Viscoso

No vara en x, completamente desarrollado

No vara en , simtrico

2300= DVRe


( ) 0== Rru)(

00

ruvv

v

v

xz

r

==

=

=


Ecuacin de continuidad: ( ) ( ) ( ) 011 =

+

+

xr vx

vr

rvrr

Navier-Stokes direccin x:

+

+

+

=

+

+

+

2

2

2

2

211

x

vv

rr

vr

rrx

pg

x

vv

v

r

v

r

vv

tv

xxxx

xx

xxr

x

constanter

vr

rrx

p x=

= 1

1

2

2c

r

x

pr

vr x +

=

r

cr

x

pr

vx 12

+

=


r

cr

x

pr

vx 12

+

=

21

2

ln4

crc

x

pruvx ++

==

c1 debe ser igual a cero pues de lo contrario u(0) no tendra un valor finito:

2

2

4c

x

pruvx +

== Usando la condicin de frontera:

2

2

40 c

x

pR+

=

=

x

pRc 4

2

2


Distribucin de esfuerzos cortantes, Flujo volumtrico, Caudal como funcin de la cada de presin, Velocidad media, Punto de velocidad mxima,

Ahora podemos calcular:

Distribucin de esfuerzos cortantes:

+

=

r

v

x

v xrrx

drdu

drdvx

rx ==


Flujo volumtrico:

drrdA pi2=

Caudal en trminos de la cada de presin:


Velocidad media:


El perfil de velocidad se puede escribir en trminos de U como:


Ejemplo: Viscosmetro de capilaridadEs posible construir un viscosmetro simple y preciso a partir de un tramo de tubera capilar; si se miden el flujo y la cada de presin, y se conoce la geometra del tubo, la viscosidad de un fluido newtoniano puede calcularse a partir de la ecuacin:

Una prueba de cierto lquido en viscosmetro capilar brind los siguientes resultados:

Determine la viscosidad del lquido.


Suposiciones:(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Tubo Horizontal

Esquema y datos:


Anlisis:

Verificacin del flujo laminar:

Asumiendo densidad similar a la del agua (999 kg/m3):

< 2300


Flujo en Tuberas y Ductos Tuberas Ductos Sistemas de flujo

p = ? en

Sin friccin BernoulliCon friccin Real

p PrdidasMayores (tramos rectos)

Menores: Vlvulas, accesorios, Ts, Ys, codos


Tubos y ductos seccin circular Otras formas:dimetro hidrulico

Flujo laminar: Seccin 8.3Flujo turbulento: sigue !


8.4. Distribucin del esfuerzo cortante en tuberas con flujo completamente desarrollado

costante

Esfuerzovs

PresinCada

.

Apliquemos la ecuacin de momentum componente x:

Consideraciones:1. Tubo horizontal, FBx = 02. Permanente

3. Incompresible4. Totalmente desarrollado

0 (1) 0 (2) 0 (3,4)


0,

=xSF

0222

22,

=+

+

= rdxrdxx

pprdxx

ppF rxxS pipipi

022,

=+

= rdxrdxx

pF rxxS pipi xpr

rx

=

2

Vara lineal con rEl cortante en la pared, w:

[ ]x

pRRrrxw

==

= 2 0 si 0

x

pw


x

pRw

=

2

Note que para nada se toc la relacin -u. Esta relacin aplica para rgimen laminar o turbulento.

Si se conoce la relacin entre y u. (p.e. laminar newtoniano) se puede determinar la cada de presin analticamente.

Para caso turbulento no es simple resultados experimentales

=

adyacentescapas entre

momentum

Transporte

aturbulenci velocidadnesFluctuacio

Puede verse como un Esfuerzo extra (aparente)


y distancia desde la pared del tubou velocidad mediau, v componentes fluctuantes de la velocidad en x y yuvmedia en el tiempo del producto u v

: Esfuerzo de Reynolds, cortante turbulento

Cerca de la pared: es dominante el esfuerzo constante laminar (viscoso)

Cerca del centro: es dominante el cortante turbulento

Cortante turbulento


8.5. Perfil de velocidad turbulento en tuberas

En flujo turbulento, el perfil de velocidades puede aproximarse como:

Donde n vara con Re, y U es la velocidad en el centro.


Otras expresiones tiles son:

Donde ReU es el nmero de Reynolds calculado con la velocidad mxima U, y V trazo es la velocidad media.

Para n = 6, ReV (con Vmedia) 15000.Para n = 10, ReV 2.7 106


8.6. Consideraciones energticas para flujo en tuberas

Conservacin de la energa:


Consideraciones:1. Wshaft = 0, Wother = 02. Wshear = 0 pues aunque

hay esfuerzos en las paredes, la velocidad es cero all.

3. Permanente4. Incompresible5. Energa interna y presin uniformes en las secciones (1) y (2)

0 (1) 0 (1)0 (2)

0 (3)


+++=

SCgzVpuQ AdV

2

2 rr&

++++

+++=

21VdA

2VdA

2

22

AAgzVpugzVpuQ

&

+

+++

++=

22

11

22

22

2222

2

11

21

1111

1

dAV2

dAV

dAV2

dAV

AA

AA

Vgzpu

VgzpuQ

&

m&


Para no usar las integrales, definimos el coeficiente de energa cintica, , de tal forma que:


En flujo laminar = 2.0; en flujo turbulento:

Para n = 6, = 1.08. Para n = 10, = 1.03. Al incrementar la turbulencia, 1.0


Entonces la ecuacin de energa puede escribirse como:

o,

Reorganizando tenemos:


Energa mecnica por unidad de masa en la seccin transversal

Diferencia en la energa mecnica entre las secciones (1) y (2).

Conversin irreversible de la energa mecnica en energa trmica no

deseada (u2-u1) y calor.

A este ltimo trmino lo llamaremos la energa total perdida por unidad de masa, hl,T, o prdidas de carga.


[L2/t2][FL/M]

Prdidas de carga:

Energa total perdida por unidad de masa:

Energa total perdida por unidad de peso del fluido:

[L]


8.7. Clculo de las prdidas de carga

+

=

...) ,accesorios (entradas,menores

Prdidas

rectos) (tramosmayoresPrdidas

cargade total

Prdida

mT lll hhh +=


8.7.1. Prdidas mayores: Factor de FriccinEn general tenemos que:

Donde:

[L2/t2][FL/M]

Flujo desarrolladoen tubera de

seccin constante

mT lll hhh +=

0=mlh

22

22

_

2

21

_

1VV

=

( ) lhzzgpp =+ 2121

^

Entonces,


( ) lhzzgpp =+ 2121

Si el tubo es horizontal, z1 = z2, y

La prdida de carga mayor equivale a la cada de presin ( / ) en flujo completamente desarrollado a travs de una tubera horizontal de rea constante.

La prdida de carga es independiente de la orientacin de la tubera.


a) Caso flujo laminarDe la ecuacin 8.13c

Despejamos la cada de presin que podemos reemplazar en la ecuacin 8.32 para las prdidas mayores:

Por lo que las prdidas mayores son:


Es prctico expresarlas en trminos de Re:

DVRe_

=

Otra forma de expresar las prdidas mayores es:


b) Caso flujo turbulento: Experimentalmente

rugosidad

Aplicando anlisis dimensional,

De experimentacin, la prdida de carga adimensional es directamente proporcional a L/D, entonces


* , da

Factor de friccin (de Darcy):Energa cintica por unidad de masa

Consecuentemente,

Fox, McDonald & Pritchard62 (1944)


Esto significa que las prdidas mayores son siempre proporcionales a la velocidad al cuadrado?

CLARO QUE NO!Pero si son proporcionales a la velocidad, no al cuadrado claro.

Factor de friccin flujo laminar: Re < 2300


Factor de friccin flujo turbulento: Re > 2300Hay varias correlaciones.

Ecuacin de Colebrook (1938):

Se recomienda usar en la primera iteracin (error 1%):


Rugosidades de diferentes tuberas (nuevas):

- Acero remachado

- Estaca de madera- Hierro fundido

- Hierro forjado- Tubo estirado

Ecuacin de Blasius (1938): para tubera lisa

510Re


8.7.2. Prdidas menores:

Dos opciones: Coeficiente de prdida Longitud equivalente

Coeficiente de prdida:

Longitud equivalente de tubera recta:


A continuacin veremos:a. Entradas y salidas d. Vlvulas y accesoriosb. Aumentos y contracciones e. Ductos no circularesc. Codosa. Entradas y salidas:


b. Aumentos y contracciones:



Para difusores: Coeficiente de recuperacin de presin, Cp

El coeficiente de recuperacin de presin, Cp , se relaciona con la prdida de carga mediante:

donde, Cp i es el coeficiente de recuperacin de presin en un fluido ideal (no viscoso):



c. Codos:


d. Vlvulas y accesorios:


Dimetro hidrulico:

donde,A = rea de la seccin transversalP = Permetro mojado

e. Ductos no circulares:

En un ducto circular:

En un ducto rectangular, b*h:


En un ducto rectangular, b*h:

Definiendo la relacin proporcional, ar, cmo ar = h/b, entonces:

El dimetro hidrulico puede usarse para


8.7.3. Bombas y Ventiladores:

Balance de energa para el fluido en una bomba, despreciando la transferencia de calor:

La carga (o cabeza) de la bomba, hpump, es la energa suministrada al fluido por unidad de masa:


En muchas situaciones los dimetros de entrada y salida son similares (y por tanto las velocidades) y la elevacin despreciable. Entonces:

Si multiplicamos por


La energa consumida depender de la eficiencia de la bomba:

Por otro lado, si aplicamos la 1 Ley a un tramo que contiene una bomba (o ventilador), la cabeza de la bomba puede verse como una prdida negativa:


Dimetros de tubera comercial:


Energy Equation

8.8. Problemas tpicos

Resumen:


Major Losses


Minor Losses


Single Patha) Find Dp for a given L, D, and Q

Use energy equation directly

b) Find L for a given Dp, D, and QUse energy equation directly

Cmo solucionar problemas:


Single Path (Continued)c) Find Q for a given Dp, L, and D

1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to find V (or Q), or

2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction factor formula using (for example) Excel

d) Find D for a given Dp, L, and Q1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to

find D, or2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction

factor formula using (for example) Excel


Multiple-Path SystemsExample:

Cmo solucionar problemas:


Multiple-Path Systems Solve each branch as for single path

Deben usarse estas dos reglas para determinar las restricciones qua acotan el problema:1. En los nodos no se acumula fluido (Qin = Quot)2. La presin en cada nodo es nica

To complete solution of problem1. Manually iterate energy equation and friction factor for

each branch to satisfy all constraints, or2. Directly solve, simultaneously, complete set of equations

using (for example) Excel


Suposiciones:(1) Permanente(2) Incompresible(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) En turbulento 1

Anlisis: Balance de energa

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VAA


Prdidas mayores:

Prdidas menores:

Adems:

Simplificando:

Despejando d:


Cmo conocemos el caudal:

Determinemos f y K:


51070.1 =Re


??????

=

=

WL&

Suposiciones:

(1) Permanente(2) y constantes(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) Tubo horizontal

(6) Sin prdidas menores


Anlisis: Balance de energa en volmenes de control 1 y 2

Para el CV1:


Para el CV2:



Suposiciones:

(1) Permanente(2) V1 0, 2 1(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) y constantes

???=Q



Iterar


Despejando V:

Como primera iteracin, tomemos f de la regin completamente rugosa:

03.0f



???=D

Suposiciones:

(1) Permanente(2) V1 = V2 0; 1 2; z1 = z2(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso e Incompresible(5) Prdidas menores despreciables

pmax Dmin



Necesitamos poner todo en trminos de D: Re, f, V,


Ahora debemos suponer un dimetro de tubera, por ejemplo 4con un dimetro interno de:

Ahora debemos calcular Re y e / D para determinar f y poder despejar D, e iterar nuevamente.

inD 026.4=


Resolviendo para D encontramos: D= 5.54 (OJO CON LAS UNIDADES). Indicando que si f = 0.012 entonces el dimetro mnimo deber ser el valor calculado.Tomemos entonces una tubera con dimetro nominal 6 y miremos si P es menor que Pmax. El dimetro interno es:

inD 065.6=



EJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS VASAS

Cadas de presin, h:


2

_

2VDLfhp l ==

Despreciando las prdidas menores:

Toca ayudarse con el computador, sino cundo terminamos?


Flow Measurement

Direct Methods Examples: Accumulation in a Container; Positive

Displacement Flowmeter

Restriction Flow Meters for Internal Flows Examples: Orifice Plate; Flow Nozzle; Venturi;

Laminar Flow Element


Linear Flow Meters Examples: Float Meter (Rotameter); Turbine;

Vortex; Electromagnetic; Magnetic; Ultrasonic

Flow Measurement


Traversing Methods Examples: Pitot (or Pitot Static) Tube; Laser

Doppler Anemometer

Flow Measurement

ejercicios. flujo interno viscoso incompresible

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