hidraulica i-04 flujo viscoso en tuberías 1

Universidad del QuindíoFacultad de Ingenierías - Programa de Ingeniería civil

Curso de Hidráulica I – 110170603

Profesor:

Ingeniero Hernán Alonso Aristizábal Alzate

Curso de Hidráulica I

EL COMPROMISOES CONMIGO

SOY LA BASE DE MI FUTURO

Curso de Hidráulica I 4. FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS.

El estudio del movimiento de un fluido en el interior de uncontorno (tubería, canal) o alrededor de un contorno (barco,ala de avión) es:

• interesantísimo en la técnica:




• el problema central de la mecánica de fluidos;

• altamente complicado:




• el problema central de la mecánica de fluidos;

• altamente complicado: Sin embargo, el movimiento de cadapartícula de fluido obedece a la ley fundamental de ladinámica: Fuerza = masa x aceleración.

Para poder describir de un modo más conciso el movimientode los fluidos definimos los siguientes conceptosfundamentales.


4.1. Línea de corriente.

Se llama trayectoria de una partícula al camino que ésta describe ensu movimiento. La trayectoria es la línea que señala todas lasposiciones que ocupó un punto móvil. Es el lugar geométrico de lospuntos recorridos por dicha partícula al moverse.

El camino que recorre una partícula de fluido en su movimiento se llamatrayectoria de la partícula. En régimen permanente, donde la velocidad semantiene constante en el tiempo, la trayectoria coincide con la llamadalínea de corriente, que es la curva tangente a los vectores de velocidad encada punto (Figura). En régimen permanente las velocidades en los puntos1, 2, 3, etc. serán siempre v1, v2, v3, etc. y la partícula que pasa por 1seguirá la trayectoria 1-2-3-4 que coincidirá con la línea de corriente. Enrégimen variable las líneas de corriente varían de un instante a otro.


4.1. Línea de corriente.

Se llama trayectoria de una partícula al camino que ésta describe ensu movimiento. La trayectoria es la línea que señala todas lasposiciones que ocupó un punto móvil. Es el lugar geométrico de lospuntos recorridos por dicha partícula al moverse.

Por cada punto de la corriente pasa una línea de corriente. Por tanto, si se trazaran todas las líneas de corriente no se distinguiría ninguna y si se trazaran demasiadas el dibujo sería confuso. Por eso se trazan solo unas cuantas; pero de manera que entre cada dos líneas consecutivas circule el mismo caudal, ∆Q.


4.2. Tubo de corriente y superficie de corriente (=tubo deflujo).

Consideremos dentro de un flujo, una curva C que no sea línea de corriente, y el haz de líneas de corriente que cortan dicha curva. Si esta curva es abierta, al haz de líneas de corriente lo denominamos superficie de flujo, mientras que si C es cerrada, al haz de líneas de corriente lo denominamos tubo de flujo o tubo de corriente.



Los vectores de las velocidades, por ser tangentes en cualquierpunto de la superficie lateral del tubo de corriente, tienen nulas lascomponentes normales a este contorno; luego, ninguna partículafluida puede penetrar hacia el interior ni salir hacia el exterior através de ningún punto de la superficie lateral del tubo de corriente,de forma que el tubo de corriente constituye una pared infranqueableo impermeable al fluido, que sólo puede entrar o salir por susextremos.



Cualquiera que sea la forma del tubo de corriente (figura) puedeconsiderarse definido por una sección plana AB que se desplazanormalmente a lo largo de la línea de su baricentro (GG') pudiendovariar de forma y dimensiones. La línea GG' es el eje geométrico deltubo y las secciones normales a este eje se denominan seccionestransversales.


Ejemplo:


Ejemplo:

El flujo en este caso puede estudiarse por el procedimiento gráficode las líneas de corriente. Como el caudal es igual a la secciónmultiplicada por la velocidad, y la sección es proporcional a ladistancia transversal entre líneas de corriente, las cuales se hantrazado de manera que entre dos consecutivas circule el mismo ∆Q =Q/11 en nuestro caso porque hay 12 líneas de corriente, el dibujocontiene gran información gráfica: por ejemplo, en el punto B, dondelas líneas de corriente se separan, la velocidad es mucho menor queen el punto A, y por el contrario en el punto C mucho mayor.


Ecuación de energía - Teorema de Bernoulli.

Descripción cinemática del flujo.Enfoques de Euler y Lagrange

El campo de velocidades es un campo vectorial en el que en cadapunto del espacio (x, y, z) y en cada instante (t) hay asociado unvalor para la velocidad de la partícula que ocupa esa posición en esemomento. El vector velocidad quedará definido a partir de suscomponentes:

Vx = Vx(x, y, z, t)Vy = Vy(x, y, z, t)Vz = Vz(x, y, z, t)

Para describir el movimiento de una partícula de fluido en un medioconsiderado continuo (es decir, para describir el campo develocidades) se pueden emplear dos criterios distintos: El método deEuler (punto de vista local) y el método de Lagrange (punto devista molecular).



Método de Lagrange

En este caso se describe el comportamiento de una partícula fluidaen particular.



Método de Lagrange

Como la partícula está en movimiento su posición es una función deltiempo, y por consiguiente cada una de sus coordenadas (lasvariables de Lagrange son por tanto las coordenadas) es unafunción de posición que depende de (t):

x=x(t)y=y(t)z=z(t)

Una vez posicionada la partícula en el espacio en un instante dado sepuede indicar su velocidad en ese punto en ese instante, lo cualpuede escribirse así:

V=V(x(t), y(t), z(t))



Método de Euler

Se selecciona un punto en el espacio (xo, yo, zo) y se describe elmovimiento de la partícula que lo ocupa en los diferentes instantes(t).



Método de Euler

Las variables que describen el movimiento (Variables de Euler) sonlas componentes del vector velocidad en cada instante (t).

Así el campo se escribirá V=V(xo, yo, zo) que es una funciónvectorial que indica cual es el valor de la velocidad en un punto fijoen el espacio (xo, yo, zo) a medida que las partículas pasan por allí(t).

De esta forma la velocidad resulta una función del tiempo y lascoordenadas (xo, yo, zo) de la partícula son una variableindependiente.



En la práctica ambos enfoques se pueden ver claramente con elempleo de fotografía e introduciendo partículas de polvo visibles a laluz para que sean arrastradas.

En el método de Lagrange las partículas dibujarán líneas querepresentan las trayectorias del espacio recorrido por una partículadurante el tiempo que dura la exposición de la película fotográfica.

En el método de Euler se dibujan pequeños segmentos que coincidencon la dirección del vector velocidad de las diferentes partículas en elinstante de realizar la foto, por tanto son líneas de corriente.

En la hidráulica tradicional se emplea básicamente el criterioEuleriano.



Régimen de flujo no-uniforme y no-estacionario (variable). Engeneral, las velocidades de las partículas fluidas en dos puntoscualesquiera del espacio son diferentes en un mismo instante; ytambién lo son para las partículas fluidas al pasar por un punto dadoen distintos instantes de tiempo.

Régimen de flujo estacionario o permanente: cuando la velocidad enun punto cualquiera permanece constante al transcurrir el tiempo; esdecir, la velocidad de las partículas fluidas al pasar por un puntodado es siempre la misma. La condición de régimen estacionariosignifica que la velocidad de las partículas fluidas es tan sólo funciónde sus coordenadas espaciales y no del tiempo; v=v(x,y,z).

Régimen de flujo uniforme: cuando la velocidad de las partículasfluidas es la misma en todos los puntos del espacio, aun cuandopueda cambiar en el transcurso del tiempo, decimos que el entonces,el campo de velocidades no es función de las coordenadasespaciales, sino solamente del tiempo, v=v(t).



Ecuaciones de Euler

Consideremos ahora (Figura) el punto A(x, y, z) en el centro del paralelepípedo rectangular de lados dx, dy, dz.



Ecuaciones de Euler

Se supone régimen permanente y se supone también que la únicafuerza exterior que actúa sobre el fluido es la gravedad (dW). Sobreel fluido aislado, actúa también la fuerza debida a la presión queejerce el fluido exterior sobre el paralelepípedo aislado.



Ecuaciones de Euler

La segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleración) según el eje x, siendo la masa del paralelepípedo dm = ρ dxdydz, nos proporciona la siguiente ecuación:

v 1

v 1

v 1

x

y

z

d p

dt x

d p

dt y

d pg

dt z

ρ

ρ

ρ

∂= −∂∂= −∂

∂= − −∂

v

2 2xd p dx p dx

dxdydz p dydz p dydzdt x x

ρ ∂ ∂ = − − + ∂ ∂

– dW = – ρ dxdydz g



Ecuación de Bernoulli para el fluido ideal: deducción por integración de las ecuaciones de Euler según una línea de corriente

Tomando las Ecuaciones inmediatamente anteriores o formasintetizada de las ecuaciones de Euler, y multiplicando la primeraecuación por dx, la segunda por dy y la tercera por dz tendremos:

v 1

v 1

v 1

x

y

z

d pdx dx

dt x

d pdy dy

dt y

d pdz g dz dz

dt z

ρ

ρ

ρ

∂= −∂∂= −∂

∂= − −∂




Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones tendremos:

Ahora, bien, como

vv v 1 yx z

dd d p p pdx dy dz g dz dx dy dz

dt dt dt x y zρ ∂ ∂ ∂+ + = − − + + ∂ ∂ ∂

=v , =v y v x y z

dx dy dz

dt dt dt




El primer miembro de la ecuación se transforma así:

(en efecto, si se diferencia el segundo miembro se obtiene elprimero, lo que demuestra la validez del primer signo igual. Por otraparte, el cuadrado de la diagonal v de un paralelepípedo es igual a lasuma de los cuadrados de sus aristas vx, vy y vz, lo que demuestra lavalidez del segundo signo igual).

( ) ( )2 2 2 21 1v * v v * v v * v = v v v v

2 2x x y y z z x y zd d d d d+ + + + =




Al suponer que el régimen es permanente, p no es función de t, y su diferencial total será:

Con lo cual la Ecuación principal se transforma en:

Integrando esta última ecuación, entre dos puntos cualesquiera 1 y 2, situados en una misma línea de corriente, que en régimen permanente coincide con la trayectoria del movimiento y siguiendo con la hipótesis de un fluido incompresible (ρ = Constante), se tiene:

p p pdp dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

( )2v 0

2

ddpg dz

ρ+ + =

2 21 1 2 2

1 2

v v

2 2

p pg z g z

ρ ρ+ + = + +

2v Constante

2

pg z

ρ+ + =




Dividiendo los dos miembros de esta última ecuación por g se tiene:

o bien

Las anteriores cuatro (4) ecuaciones son expresiones diversas de la ecuación de Bernoulli para un hilo de corriente, que, según las hipótesis establecidas en su deducción, son válidas solamente para el fluido ideal e incompresible que se mueve en régimen permanente. Además los puntos entre los que se establecen estas ecuaciones se suponen que están situados en una misma línea de corriente.

2vConstante

2

pz

g gρ+ + =

2 21 1 2 2

1 2

v vConstante

2 2

p pz z

g g g gρ ρ+ + = + + =



Los términos de las dos primeras ecuaciones representan energíasespecíficas y los de las dos últimas ecuaciones alturas equivalentes.

La técnica estudia los cambios de unas formas de energía en otra,así como su intercambio con el trabajo mecánico y calor, llamadasestas dos últimas formas de energía, energías de tránsito, porquesolo existen cuando pasa energía de un cuerpo a otro. El estudio sesimplifica porque la Mecánica del Fluido incompresible:

No se ocupa del calor ni de su transformación en otras formas deenergía, lo cual pertenece al dominio de la Termodinámica.No se ocupa de la energía atómica liberada en la fisión o fusión delátomo, de la energía química liberada o absorbida en las reaccionesquímicas, ni de otras muchas formas de energía como la eléctrica,magnética, etc.



Se ocupa solo de las tres formas siguientes de energía del fluido:

energía potencial geodésica,energía de presión yenergía cinética.

Estudia las transformaciones de estas tres formas entre sí y de suintercambio con el trabajo mecánico.

En las transformaciones reales del fluido viscoso tiene lugar unafricción, que origina un aumento de la temperatura del fluido y portanto de su energía interna. Pero esta fricción no existe en el fluidoideal que estamos considerando.



Energía potencial geodésica

Energía potencial geodésica o simplemente energía geodésica o deposición es igual al trabajo que la fuerza de la gravedad puedeejercer cuando su altura desciende de z1 a z2.

Cuando el líquido se remonta, con una bomba por ejemplo, del nivelinferior z2 al superior z1, es preciso ejercer sobre él un trabajo contrala fuerza de la gravedad igual y de sentido contrario que setransforma en la susodicha energía potencial.

Las alturas se refieren, lo mismo que en hidrostática, a un plano dereferencia, z = 0.



Energía potencial geodésica

Siendo la fuerza de la gravedad igual al peso del fluido, W = ρρρρ g V,se tiene:

Energía geodésica total:

Energía geodésica específica:

Ejemplo: el agua de un embalse posee una energía geodésica que es aprovechada en las turbinas de una central hidroeléctrica.

E = ρ g V z; (J; SI)

2

2

m ; ; SI

sz

g V ze g z

V

ρρ

= =



Energía de presión

En el cilindro de la Figura el aceite a una presión p, quesupondremos constante, desplaza el émbolo de superficie Avenciendo la resistencia F, y recorriendo un espacio x. El trabajo querealiza el fluido es:

T = p*A*x = p*V ; donde V = A*x es el volumen barrido por el pistón.



Energía de presión

Este trabajo se ha realizado a costa de la energía de presión que unvolumen V de aceite a la presión p poseía en el tanque de aceiteantes del desplazamiento del émbolo.

Luego un volumen V de aceite a la presión p posee la energía depresión p*V. Se tiene por tanto:

La energía de presión total es, pues:

La energía de presión específica será:

p

p V mE pV p

ρρ ρ

= = =

( ) ; J; SIp

pE m

ρ=

2

2

m; ; SI

sp

pe

ρ

=



Energía cinética

La energía cinética total de m kg de fluido es:

donde m es la masa total del fluido.

La energía cinética específica será:

( )2v

; J; SI2vE m=

2 2

2

v m; ; SI

2 sve

=



En un fluido ideal no hay viscosidad ni rozamiento ni, por tanto,transformación de energía hidráulica en energía térmica.

Además en régimen permanente la trayectoria de una partícula defluido coincide con una línea de corriente.

Si además esta partícula de fluido no recibe energía de una máquina(bomba) ni tampoco cede energía a una máquina (turbina), en eltránsito de la partícula de un punto 1 a otro punto 2 de una línea decorriente la energía podrá transformarse de una clase a otra, perosegún el principio de conservación de la energía la suma total de laenergía que posee la partícula debe de permanecer constante.

Considerando energías específicas esta suma en un fluido ideal eincompresible se compone de energía geodésica, zg; energía depresión, p/ρ y energía de velocidad, v2/2. La suma de estas tresenergías debe pues permanecer constante. Por tanto:

2 21 1 2 2

1 2

v v

2 2

p pg z g z

ρ ρ+ + = + +



Nótese, sin embargo, que aun en un fluido ideal sin pérdidas, y sinadición ni cesión de energía, no se opone al principio de conservaciónde la energía el que partículas situadas en líneas de corrientediversas puedan transportar diversa cantidad de energía. Por tanto(Figura), en un fluido ideal es posible que, siendo verdad la ecuaciónanterior, porque 1 y 2 están en la misma línea de corriente no seaverdad para los puntos 1 y 3 que están en distinta línea de corriente.



La ecuación de Bernoulli generalizada para un tubo de corriente

Se demuestra matemáticamente que para que la ecuación deBernoulli cumpla entre dos puntos cualesquiera, no situados en unamisma línea de corriente (puntos 1 y 3 en la Figura anterior) de untubo de corriente imaginario o materializado (tubería, canal),además de ser el fluido ideal (viscosidad cero) es menester que elflujo sea irrotacional (las partículas se trasladan sin realizar giroalguno alrededor de su centro de gravedad). Si se cumple lahipótesis de que el flujo es irrotacional además de ser el fluido idealla Ecuación de Bernoulli se cumple entre dos punto, cualesquiera deun fluido.

Es decir:

(1 y 2 no necesariamente en la misma línea de corriente;velocidades locales en dichos puntos; fluido ideal e irrotacional)

2 21 1 2 2

1 2

v v

2 2

p pg z g z

ρ ρ+ + = + +




Es muy frecuente en la práctica diaria de la ingeniería aplicar laecuación de Bernoulli al conjunto de la corriente que circula por uncanal, tubería, etc., sintetizando por decirlo así la corriente completaen un hilo de corriente al que se le asignan los valores medios detoda la sección: la altura del centro de gravedad de la sección comoaltura geodésica, la presión media obtenida, por ejemplo, por tomasde presión convenientemente repartidas alrededor de la sección, y lavelocidad media obtenida mediante la Ecuación:

Esto equivale a aplicar la ecuación de Bernoulli no entre dos puntosde una línea de corriente, sino entre dos secciones de un tubo decorriente, por ejemplo entre dos secciones transversales circularesde 3 m de diámetro de la tubería forzada de una centralhidroeléctrica.

vQ

A=




Este método se conoce con el nombre de método unidimensional oteoría de los hilos de corriente, que proporciona muchas veces lasolución del problema o al menos una primera aproximación. Lavalidez del método unidimensional, del que se hace uso constante enhidráulica y del que haremos nosotros uso constante también, estácorroborado por la experiencia. Por tanto:

(v1, v2 velocidades medias en las secciones 1 y 2)

Adviértase que en las anteriores ecuaciones, v1, y v2 son lasvelocidades locales de los puntos 1 y 2; mientras que en la ecuacióninmediatamente anterior v1, y v2 son las velocidades medias en lassecciones 1 y 2.

2 21 1 2 2

1 2

v v

2 2

p pg z g z

ρ ρ+ + = + +



Comparando la Ecuación de Bernoulli con la Ecuación Fundamentalde la Hidrostática se observa que esta última no es más que un casoparticular de la ecuación de Bernoulli: ya que en el fluido en reposoel término v2/2 = 0. (En un fluido en reposo solo existe energía depresión y energía geodésica.)



Dimensionalmente dividiendo la energía específica [e] por laaceleración de la gravedad, que es una constante en todos losproblemas del curso, [g]=[L][T] -2, se obtiene

Llamaremos a , Altura equivalente.

Aplicando la ecuación anterior sucesivamente a las ecuaciones de las energías de presión, geodésica y cinética, se obtiene:

Altura geodésica Altura de Presión Altura de velocidad

[ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]2 2

2

e L TL

g L T

−

−= =

eH

g=

( ) ; m; SIzez

g= ( ); m; SIpe p p

g gρ γ= = ( )

2v; m; SI

2ve

g g=



Asimismo se denomina:

1. Altura total, H, a la constante de la ecuación de Bernoulli en la forma de la ecuación anterior, o sea

La altura total es la suma de las alturas de presión, geodésica y cinética, y es constante en el fluido ideal e incompresible.

2. Altura piezométrica, h

La altura piezométrica en un fluido real pero incompresible en reposo es constante.

2v

2

pH z

g gρ= + +

p

h zgρ

= +


Medida de las presiones estática y dinámica en un flujo

Medida de la presión estática.

Para un flujo estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional enel interior de una tubería.

La presión estática p+ρgz es la misma en todos los puntos de una

misma sección recta de la tubería.

La presión estática en una sección recta de la tubería puede medirseacoplando a ésta un tubo piezométrico; esto es, un tubo abierto porsus dos extremos y colocado, generalmente, en posición vertical.

El extremo del tubo piezométrico acoplado a la tubería se llama tomade presión estática y puede estar situado sobre la pared de la tuberíao en el interior de ésta.



Medida de la presión estática.

El fluido penetra y sube por el tubo piezométrico hasta que alcanzaen él un cierto nivel, que mediremos respecto a un plano horizontalde referencia; este nivel recibe el nombre de altura piezométrica



Medida de la presión dinámica.

Acoplaremos otro tubo piezométrico que desemboque en el interior de la tubería, en el punto C, de modo que esa obertura esté orientada perpendicularmente a las líneas de corriente; el fluido penetrará y ascenderá por este tubo hasta alcanzar un nivel z2. El punto C recibe el nombre de punto de estancamiento, por ser nula en él la velocidad del flujo.


Ecuación de Bernoulli para el fluido real

En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto del fluidocon el contorno (tubería, canal, etc.) como de las partículas de fluidoentre sí. Entonces, la ecuación de Bernoulli no se cumple.Naturalmente se sigue cumpliendo el principio de la conservación dela energía o primer principio de la Termodinámica.

Es decir, además de las tres clases de energías enumeradas yestudiadas en la Sección anterior aparece la energía de fricción,que según la Termodinámica no es una energía distinta de las quefiguran en la Ecuación de Bernoulli, la fricción provoca tan solo unavariación del estado térmico del fluido.

Esta fricción en la mecánica de fluidos incompresibles no esaprovechable y solo en este sentido la llamaremos energía perdida obien expresada en forma de altura, altura perdida Hr.


Ecuación de Bernoulli para el fluido real

Ahora bien, siguiendo el mismo razonamiento de la Sección anterior,diremos que:

La energía en el punto 1 (o suma de la energía de posición, depresión y cinética en el punto 1) menos la energía perdida entre elpunto 1 y 2 por rozamiento es igual a la energía en el punto 2 (osuma de energía de posición, de presión y cinética en el punto 2), osea:

(Fluido real; viscoso e incompresible; v1 y v2 velocidades mediasmedidas en las secciones 1 y 2) donde Hr1-2 es la altura perdidaentre el punto 1 y el punto 2.

2 21 1 2 2

1 1 2 2

v v

2 2r

p pz H z

g g g gρ ρ−+ + − = + +


Ecuación de Bernoulli Generalizada

Si la corriente atraviesa una o varias máquinas que le suministranenergía (bombas) experimenta un incremento de energía que,expresada en forma de altura llamaremos ΣΣΣΣHb. Asimismo si lacorriente atraviesa una o varias máquinas a las que cede energía(turbinas) experimenta un decremento de energía, que, expresadaen forma de altura, la llamaremos -ΣΣΣΣHt. Por tanto:

La energía del fluido en el punto 1 menos la energía perdida entre elpunto 1 y el punto 2 más la energía suministrada al fluido por lasbombas que haya entre el punto 1 y el punto 2 menos la energíacedida por el fluido a las turbinas o motores que haya entre el punto1 y el punto 2, ha de ser igual a la energía en el Punto 2.

Ecuación de Bernoulli Generalizada:

2 21 1 2 2

1 1 2 2

v v

2 2r b t

p pz H H H z

g g g gρ ρ−+ + − + − = + +∑ ∑ ∑


Ecuación de Bernoulli Generalizada

Si hay pérdidas y no hay adición de energía (mediante una o variasbomba) la altura (energía) total de la corriente disminuye siempre enel sentido de la misma.

Luego al aplicar la Ecuación generalizada el punto 1 se escogerásiempre aguas arriba y el punto 2 aguas abajo de la corriente.

H únicamente puede aumentar en dirección de la corriente si en elcircuito hay una bomba.

Por tanto en el fluido real la altura (energía) total siempre disminuyeen el sentido de la corriente (si no hay bomba); puede suceder quela altura de presión, la de velocidad, o la geodésica aumenten o bienque aumenten dos cualesquiera de estas tres energías, pero nuncapuede aumentar la suma de las tres.


Ejemplos

hidraulica i-04 flujo viscoso en tuberías 1

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