ejercicios potencial elÉctrico
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EJERCICIOS POTENCIAL ELÉCTRICO
Considere un plano infinito de densidad de carga superficial uniforme σ>0 normal al eje x de ecuación x=0. En ax se encuentra una carga puntual –q<0.
a)Encuentre el potencial eléctrico sobre el
eje x y entre la carga –q<0 y el origen
coordenado O
b)Una partícula de masa m y carga –e<0 se
ubica en el punto medio entre-q y O y se
deja libre. ¿Con qué energía cinética llega
la carga al plano?
a) El campo eléctrico generado por la
placa y la carga esta dado por:
El campo eléctrico generado entre O y
la carga –q en un punto a es:
b)A partir de la definición de
potencial eléctrico
Y a partir de la configuración del
problema se tiene que
El campo electrostático es conservativo,
eso indica que la energía potencial y
cinética se conservan, de manera que la
carga –e parte del reposo desde hacia
el plano.
La energía se conserva de manera que:
Considere una varilla delgada de densidad lineal λ y largo L. Encuentre su potencial eléctrico en todo el espacio que la rodea
Para este caso el potencial eléctrico esta
dado por:
Donde Ω representa todo el espacio y
Representan las posiciones del punto ( r ) y
de la varilla (x1), por tanto el potencial
toma la forma
1. Desarrollar la integral,
Extendiendo el resultado a la integral
Se obtiene que:
2. El potencial eléctrico es:
Considere una región esférica, de radio b, que tiene una distribución de carga uniforme ρ(r) = ρ0 para la región determinada por a<r<b y densidad nula para r<a. Determine el potencial electrostático en todo el espacio.
1.Calcular el campo eléctrico
producido por la distribución
completa para determinar el
potencial:
Recordando que el potencial es
igual a cero en el infinito
Este problema tiene simetría
esférica , de manera que,
donde es el vector en dirección
radial.
Para este problema se consideran 3
regiones:
I)r<a
II)a<r<b
III)r>b
I. r<a • En este caso el cascaron esférico de radio
r<a, y tiene un vector normal a esta
superficie que es paralelo a , de esta
manera es paralelo al vector normal ,
por lo que y así:
• Además, la carga en el interior de la
superficie es nula debido a que es un
conductor. Así que
Aplicando la ley de Gauss
Y por tanto para r<a
II. a<r<b
• Se considera un cascarón esférico de radio r,
donde
• Como la densidad de carga es constante
entonces, además
reescribiendo la cantidad de carga en
términos del volumen se tiene:
• Por la ley de Gauss:
III. r>b La carga almacenada en el
conductor es
Aplicando la ley de Gauss se tiene
Vectorialmente:
Campo eléctrico para todo el espacio
• Para determinar el potencial eléctrico es
necesario expresar el vector , para esto se
elige una línea recta que va desde el infinito
hasta una distancia r>b, así que:
El potencial eléctrico será
• Para el caso en que a<r<b,
• Descomponiendo en cada trayectoria, se tiene
• Evaluando la integral en r=b
• Evaluando la segunda integral
Para r<a tenemos 3 trayectorias
• Como el campo eléctrico es nulo para r<a,
entonces
• Así que el potencial será:
Calcular el campo eléctrico y el potencial en función de r para una distribución esférica de carda dada por la expresión:
Para desarrollar este tipo de distribuciones es mejor establecer zonas en las que el cálculo del campo eléctrico E sea más fácil. Para este caso se tienen 3 zonas:
1.R<a/2
2.a/2≤R ≤a
3.R>a
Luego de establecer esta distribución se calcula el campo eléctrico para cada zona
1. R< a/2
• En esta zona no existen cargas eléctricas por
tanto
• Sobre una superficie esférica de radio menor
que a/2 el campo es nulo y por tanto, el
potencial eléctrico es constante a lo largo de
toda la zona:
2. a/2≤R ≤a • Usando ley de gauss, se utiliza la simetría
esférica del problema y por eso se usa una
esfera que encierre la distribución de carga
• Obteniendo que:
• El campo eléctrico en estos límites viene en
dirección radial unitaria, además que esta
determinado en función de la distribución de
carga.
• Para determinar el potencial eléctrico en esta
distribución se tiene en cuenta que
y así
• Después de desarrollar la integral se obtiene
finalmente que:
3. R>a • Los límites de integración de la distancia para
este caso son a/2 y a, así que la expresión del
campo eléctrico es:
• Finalmente el campo eléctrico es:
Para este distribución se tiene que el potencial
eléctrico se calcula entre 0 e infinito, teniendo
en cuenta que el potencial en infinito es igual a
cero:
Obteniendo:
Sobre un disco plano de radio R se distribuye una carga superficial que varía radialmente:
Donde r es la distancia al centro del disco. Calcular el potencial y el campo en el eje perpendicular a su eje
A partir de la ecuación que define el potencial
d es la distancia al punto del eje en donde se
calcula el potencial:
La expresión para calcular el potencial eléctrico
toma la forma
(Expresando el área en coordenadas cilíndricas)
Como se determino primero el valor del
potencial eléctrico, se usa la definición de
gradiente para determinar el potencial eléctrico
E:
El campo eléctrico tiene dirección del eje z
debido a que en el planteamiento del problema
se establecía esta condición.
Una carga puntual positiva Q está en el centro de una capa conductora esférica con radio interior Ri y radio exterior R0. Determine E y V como función de la distancia radial R.
• Como es un problema de simetría esférica se
usa la ley de Gauss, para determinar primero
el campo eléctrico y luego el potencial
• Para la región 1: R <Ri
• Para la región 2: Ri<R<R0
Como el campo en el interior de un metal es
nulo, la carga en el interior de una superficie
interna de un metal se induce una carga –Q,
esto se produce por que la carga en el interior
del metal es nula, por eso en el área 1 aparecen
dos cargas +Q y –Q.
De manera que el campo eléctrico es:
• Para la región 3: R>R0
Para esta región tiene la misma forma
que en la región 1, por que la carga
encerrada por la superficie gaussiana
va a ser la misma (Q), para esta
superficie la carga es (Q-Q+Q=Q).
Para determinar el potencial eléctrico se
integra la expresión de campo eléctrico
comenzando desde la región 3 a la región
1, teniendo en cuenta la dirección del
potencial eléctrico.
• Para la región 3:
Para determinar el valor de la constante K se
tiene en cuenta que el potencial es cero cuando
r tiende a infinito
•Para la región 2:
Como el campo eléctrico es cero, entonces el
valor del potencial es uniforme, por la
continuidad del potencial toma el valor dela
región 3 haciendo R=R0
• Para la región 1:
Para hallar K, por continuidad del potencial, se
iguala el valor del potencial de la región 1 (Ri) al
de la región 2:
• De manera que el potencial en esta región es:
Suponga un tubo de cobre muy largo con radio exterior de 3cm y radio interior de 2cm que rodea una línea de carga de 6opC/m situada en su eje. Calcular:
a) E en r=1m, 2.5cm y 1.5 cm
b)La diferencia de potencial entre la superficie interior y la exterior del tubo
Usando la ley de Gauss se tiene que la mejor
superficie es un cilindro, donde el campo eléctrico es
perpendicular al eje
• Zona 1 :
• Zona 2: en el interior del conductor no hay
carga eléctrica, por tanto
• Zona 3:
El metal es neutro, de manera que la carga total
es nula, por esto se induce o aparece una carga
igual y opuesta a la del hilo en la superficie
interna, e igual a la del hilo en la superficie
externa. La carga encerrada por la superficie
gaussiana queda igual a la del hilo. Por lo que en
este caso el campo es el mismo que en la zona 1
• Como la diferencia de potencial en el
interior de un conductor es contante,
entonces la diferencia de potencial
en ambas caras es nula.
• Vba identifica la diferencia de
potencial en cada cara.
Considere dos conductores esféricos con radios b1 y b2 (b2>b1), conectados por un alambre conductor. Se deposita una carga total Q en las esferas. La distancia entre los conductores es muy grande en comparación con los radios de las esferas, de modo que las cargas en los conductores esféricos se distribuyen uniformemente. Calcular las densidades de carga superficial y las intensidades de campo eléctrico en la superficie de las esferas.
• La carga se distribuye uniformemente en la
superficie, el campo fuera de las esferas es el
mismo que el que produce una carga puntual
colocada en el centro con el mismo valor de la
carga respectiva. A partir del teorema de
Gauss, la primera superficie tiene radio φ
• Integrando el campo eléctrico, el potencial
fuera de las esferas es análogo al de una carga
puntual. Al ser conductoras, en la superficie
de las esferas se tiene que:
Entre las dos esferas hay una carga encerrada q
Como están unidas por un cable, el potencial en
ambas esferas es el mismo , asi que:
Y como , las cargas en cada una de las
superficies tienen las expresión:
Como la carga esta uniformemente distribuida
entonces se tiene que:
• A partir de los datos conocidos se tiene que:
• Finalmente el campo eléctrico es: