Potencial eléctricoEl potencial eléctrico en un punto es el Trabajo requerido para mover una carga unitaria (trabajo por unidad de carga) desde ese punto hasta el infinito, donde el potencial es 0. Matemáticamente se expresa por:

V( volts ) = joules( J ) / Coulomb( C )

Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica

Considérese una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica

Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero dirección contraria, es decir:

(1)

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con

la fuerza . El trabajo queda, entonces, expresado como:

Nótese que en el caso de que la fuerza no esté en la dirección del desplazamiento, sólo se debe multiplicar su componente en la dirección del movimiento. Será considerado trabajo positivo el realizado por un agente externo al sistema carga-campo que ocasione

1

un cambio de posición y negativo aquél que realice el campo. Teniendo en cuenta la expresión (1):

Por lo tanto, el trabajo total será:

Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo. Expresándolo matemáticamente:

Ahora bien, sea una carga q que recorre una determinada trayectoria en las inmediaciones de una carga Q tal como muestra la figura.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria, o sea:

donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial. Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas:

De lo anterior se concluye que el trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. lo cual implica que la fuerza de atracción F, que ejerce la carga Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es: U ó Ep

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Por definición, el nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, o sea,

para

POTENCIAL Y DIFERENCIA DE POTENCIAL.

En el campo gravitatorio, las cargas "gravitatorias" son las masas. Una masa situada a cierta altura, tiende a caer hacia el suelo, (atraida por la masa de la Tierra) y es capaz de desarrollar más trabajo cuanto más alta se la coloque, se dice entonces que tiene más potencial gravitatorio.

En el campo eléctrico, esa "altura" eléctrica (esa capacidad de desarrollar un trabajo), se denomina POTENCIAL ELECTRICO, y las cargas tienden a "caer" desde los potenciales más altos a los más bajos, desarrollando un trabajo.

Como se desprende de la comparación gravitatoria, el concepto de potencial es relativo: (por ejemplo, cuando hablamos de la altura de un edificio, nos referimos a la altura respecto a la calle, sin embargo, cuando hablamos de la altura de una montaña, nos referimos a la altura sobre el nivel del mar) así pues en algún punto habrá que fijar la referencia.

Igualmente en Electrostática, hay que fijar un origen de potenciales que, por otra parte, será arbitrario. Algunas veces se toma como origen el potencial de la Tierra, y se dice entonces que la Tierra está a potencial cero. Otras veces es el infinito el que se toma como punto de referencia.

De todos modos, para nosotros ese no va a ser lo importante, ya que lo que más nos interesa no es el potencial a que está la carga, sino la DIFERENCIA DE POTENCIAL, es decir la "diferencia de alturas" o diferencia entre los potenciales de dos puntos entre los cuales se va a mover nuestra carga.

Así pues, se define la diferencia de potencial (d.d.p.) entre dos puntos como el trabajo que realiza la unidad de carga (el culombio) al caer desde el potencial más alto al más bajo.

El potencial se representa con la letra V. El potencial del punto A se representa por VA (V sub A). y VA-VB (V sub A menos V sub B) 0 simplemente VAB (V sub AB) es la diferencia de potencial entre el punto A y el punto B (en ese sentido y no al revés). Ya que VBA es igual a -VAB. Si VAB es, por ejemplo 5, VBA será -5.

Los potenciales y diferencias de potencial, en el Sistema Internacional, se expresan en VOLTIOS.

Divisores más usuales del voltio:

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Voltios milivoltios Microvoltios

1 Voltio (V) = 1 103 106

1 milivoltio(mV) = 10-3 1 103

1 microvoltio(mV) = 10-6 10-3 1

El múltiplo más usual es el Kilovoltio. 1 KV = 1.000 V.

A la diferencia de potencial también se le suele llamar VOLTAJE o TENSION.

V = kqi / ri

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EJEMPLO:

DOS CARGAS PUNTUALES POSITIVAS E IGUALES DE MAGNITUD +5 NC SE ENCUENTRA SOBRE EL EJE X. UNA ESTÁ EN EL ORIGEN Y LA OTRA EN X = 8 CM. DETERMINAR EL POTENCIAL A) EN EL PUNTO P1 SOBRE EL EJE X EN X = 4 CM Y B) EN EL PUNTO P2 SOBRE EL EJE Y EN Y = 6 CM.

a) Para expresar V en función de las distancias r1 y r2 a las cargas utilizaremos la siguiente ecuación:

V = kqi / ri = kq1/ r1 + kq2 / r2

El punto P1 se encuentra a 4 cm de cada carga y las dos cargas son iguales por tanto

r1 = r 2 = r = 0.04 m y q1 = q2 = q = 5* 10-9 C

Utilizando estos valores:

5

V = kq1/r1 + kq2/ r2 = 2kq/ r = 2* ( 9*109 N.m2/C2)( 5*10-9C) / 0.04 m = 2250V

El punto P2 se encuentra a 6 cm de una carga y a 10 cm de la otra. Por tanto:

V = ( 9*109 Nm2/ C2)( 5*10-9 C) / 0.06m + ( 9* 109 Nm2/ C2)( 5*10-9 C) / 0.10m = 749 V + 450 V = 1200 V

POTENCIAL ELECTRICO.

Como el potencial es la energía potencial electrostática por unidad de carga, la unidad SI para el potencial y diferencia de potencial es el julio por coulomb, llamada voltio ( V )

1 v = 1 J/C

Como la diferencia de potencial se mide en volts , a veces se le llama Voltaje. Por ejemplo, en una batería de automóvil de 12 vlts, la Terminal positiva tiene un potencial que es de 12 volts mayor que el del Terminal negativo. Si a esta batería se conecta un circuito externo y por él circula una carga de un coulomb desde la Terminal positivo al negativo, la energía potencial de la carga disminuye en :

Q V = ( 1C)(12V)

En física atómica y nuclear se trata frecuentemente con partículas elementales que poseen cargas de magnitud e , Tales como electrones y protones que se mueven a través de diferencias de potencial de miles o incluso millones de voltios. Como la energía tiene dimensiones del producto carga eléctrica por potencial eléctrico , una unidad conveniente de energía es el producto de la carga del electrón e por un voltio .Esta unidad se llama electrón-voltio. La conversión de electrón-voltio en julio se obtiene expresando la carga electrónica en coulomb:

1 eV = 1.6*10-19C.V = 1.6*10-19 J

Las lineas del campo eléctrico señalan en la dirección en la que disminuye el potencial eléctrico.

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Las líneas del campo eléctrico apuntan en la dirección del potencial decreciente. Cuando una carga testigo positiva q0 se sitúa en un campo eléctrico, acelera en la dirección del campo. Su energía cinética crece y su energía potencial disminuye

DIFERENCIA DE POTENCIAL

Cuando una fuerza conservativa F actúa sobre una particula que experimenta un desplazamiento d , la variación de la función energía potencial dU viene definida por

dU = - F.d

La fuerza ejercida por un campo eléctrico E sobre una carga puntual q0 es

F = q0E

Cuando la carga experimenta un desplazamiento d en un campo eléctrico E, la variación de energía potencial electrostática es

dU = - q0E.d

La variación de energía potencial es proporcional a la carga testigo q0. La variación de energía potencial por unidad de carga de denomina diferencia de potencial dV:

dV = dU/q0 = _ E.d

Para un desplazamiento finito desde el punto a al punto b, el cambio de potencial es:

V = Vb – Va = U/q0 = - E.D -------------- Diferencia de potencial finita

La diferencia de potencial Va – Vb es el valor negativo del trabajo por unidad de carga realizado por el campo eléctrico sobre una carga testigo positiva cuando ésta se desplaza del punto a al punto b. V es también el trabajo positivo por unidad de carga que debe realizarse contra el campo eléctrico para desplazar la carga de a a b.La función V se denomina POTENCIAL ELECTRICO o simplemente POTENCIAL.Como el campo eléctrico , el potencial V es una función de la posición.Si el potencial eléctrico y la energía potencial de una carga testigo se eligen de modo que sean iguales a cero en el mismo punto, ambas magnitudes están relacionadas por :

U = q0V-------------- Relación entre energía potencial U y potencial V

La función potencial es continua en todos los puntos del espacio. Consideremos un campo eléctrico en la dirección x , E = Exi , la variación de potencial viene dada por:

7

dV = - E.d = - Exi . ( dxi + dyj + dzk ) = - Exdx

Consideremos dos puntos próximos x1 y x2. Si V1 es el potencial en x1 y V2 es el potencial en x2, la diferencia de potencial puede escribirse:

V = ( Ex ) m x = ( Ex)m ( x2 – x1 )

En donde ( Ex ) m es el valor medio del campo eléctrico entre los dos puntos. Cuando x2 se aproxima a x1, la diferencia de potencial V se aproxima a cero en tanto (Ex)m no es infinitoLa función potencial V es , por tanto, continua en cualquier punto no ocupado por una carga puntual. Físicamente , si una carga testigo se desplaza una distancia x , el trabajo realizado por el campo se aproxima a cero cuando x tiende a cero, siempre que el campo eléctrico no sea infinito.

Ejemplo

Un campo eléctrico apunta en la dirección x positiva siendo su magnitud constante de 10 N/C = 10 V/m, Determinar el potencial en función de x, suponiendo que V =0 para x = 0.

Por definición dV = - E.d = - ( 10 V/m ) . ( dxi + dyj + dzk ) = -(10 v/m )dx

Integrando dV: V = dV = - ( 10 V/m )dx = - ( 10 V/m ) x + V0

La constante de integración se determina V0 haciendo V = 0 en x= 0

El potencial es por tanto V = -(10 V/m ) x

CAPACIDAD O CAPACITANCIA

El potencial de un simple conductor aislado, portador de una carga Q, es proporcional a esta carga y depende del tamaño y forma del conductor. En general, cuanto mayor es el conductor, mayor es la cantidad de carga que puede almacenar para un determinado potencial. Por ejemplo, el potencial de un conductor esférico de radio R, portador de una carga Q es:

V = kQ/R

El cociente entre la carga Q y el potencial V de un conductor aislado es su capacidad C:

C = Q/V---------- Definición de Capacidad

Esta magnitud mide la Capacidad de almacenar carga para una determinada diferencia de potencial . Como el potencial es siempre proporcional a la carga, esta relación no

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depende de Q o V , sino sólo del tamaño y forma del conductor. La capacidad de un conductor esférico es:

C = Q/V = Q/kQ/R = R/k = 4 0R

La unidad SI de la capacidad es el coulombio por voltio y se denomina faradio ( F ) .

1 F = 1C/VComo la capacidad se mide en faradios y R en metros, y la permitividad del espacio libre 0 se expresa en faradios por metro:

0 = 8.85*10-12 F/m = 8,85pF/m

Ejercicio .

Determinar el radio de un condensador esférico que tiene la capacidad de 1 faradioR=8.99*109m

Una esfera de capacidad C1 posee una carga de 20 C. Si la carga se incrementa a 60C, ¿ Cual es su nueva capacidad C2?.C2 = C1. La capacidad no depende de la carga. Si la carga se triplica, el potencial de la esfera se triplica también y la relación Q/V ,que depende sólo del radio de la esfera, permanece invariable ).

CONDENSADORES

Un sistema de dos conductores portadores de carga iguales y opuestas constituye un Condensador. Habitualmente un condensador se carga transfiriendo una carga Q de un conductor a otro, con lo cual uno de los conductores queda con la carga +Q y el otro con –Q. La capacidad del dispositivo se define por el cociente Q/V , en donde Q es la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y V la magnitud de la diferencia de potencial entre los conductores. Para calcular la capacidad, situamos cargas iguales y opuestas sobre los conductores y después determinamos la diferencia de potencial V a partir del campo eléctrico E entre ellos

CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS

Un condensador común es el condensador de placas paralelas, formado por dos grandes placas conductoras paralelas. Sea A el área de cada placa y d la distancia de separación, que es pequeña comparada con la longitud y anchura de las placas. Cada placa contribuye con un campo uniforme de magnitud E = /2 0 resultando así un campo total E= / 0 siendo = Q/A la carga por unidad de área en cada una de las placas.Como el campo que existe entre las placas de este condensador es uniforme, la diferencia de potencial entre las placas es igual al campo multiplicado por la separación de las placas , d:

V = Ed = / 0 *d = Qd/ 0A

La capacidad del condensador de placas paralelas es :

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C = Q/V = 0A/d---------- Capacidad de un condensador de placas paralelas

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a) Las líneas del campo eléctrico entre las placas de un condensador plano están igualmente espaciadas, lo que indica que el campo es uniforme en dicha zona.

b) Las líneas de campo eléctrico entre las placas de un condensador plano puede visualizarse mediante pequeñas porciones de hilo suspendidas en aceite.

Cuando los conductores de un condensador se conectan a los terminales de una batería, ésta transfiere carga de un conductor a otro hasta que la diferencia de potencial entre los conductores es igual a la que existe entre los terminales de la batería. La carga transferida es proporcional a la diferencia de potencial.

Q = CV

Ejemplo.

Un condensador de placas paralelas está formado por dos conductores cuadrados de lado 10 cm separados por 1 mm de distancia.

a) Calcular su capacidad.b) Sí este condensador está cargado con 12 V¿ Cuánta carga se transfiere de una

placa a otra?.

C = 0A/d = (8.85pF/m)(0.1m)2 / 0.001m = 88.5pF

Q = CV= (88.5pF)(12 V) = 1.06*10-9C = 1.06nC.

¿ Que dimensiones debería tener las placas del ejemplo para que la capacidad sea de 1 F?.R = A =1.13*108 que corresponde a una cuadrado de 10.6 km de lado.

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Ejemplo .

Un condensador de placas paralelas está formado por dos conductores cuadrados de lado 10 cm separados por 1 mm de distancia.

a) Calcular su capacidad.b) Si este condensador está cargado con 12 V, ¿ Cuánta carga se transfiere de una

placa a la otra.?.

a) C = 0A / d = ( 8.85 pF/m)( 0.1m)2 / 0.001m = 88.5 pF

c) Q = CV = ( 88.5 pF)( 12V ) = 1.06*10-9 C = 1.06nC

CONDENSADOR CILINDRICO

Un condensador cilíndrico consta de un pequeño cilindro o alambre conductor de radio r1 y una corteza cilíndrica mayor de radio r2 concéntrica con la anterior.Un cable coaxial, como el utilizado en la televisión por cable puede considerarse como un condensador cilíndrico. La capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial es importante en la determinación de las características de transmisión del cable.

Un cable coaxial es un condensador largo cilíndrico que posee un alambre sólido como conductor interno y un blindaje de alambre trenzado como conductor externo. En este

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caso se ha desprendido la cubierta exterior de caucho para que puedan verse los conductores y el aislante de plástico blanco que los separa.

Ejemplo.Determinar la expresión de la capacidad de un condensador cilíndrico formado por dos conductores de longitud L. Un cilindro tiene de radio r1 y el otro es una corteza cilíndrica coaxial de radio interno r2, siendo r1 < r2 << L como se indica en la figura

Disponemos la carga +Q en el conductor interno y la carga – Q en el conductor externo y calculamos la diferencia de potencial V = V1 – V2 a partir del campo eléctrico entre los conductores, el cual se deduce de la ley de Gauss. Como el campo eléctrico depende de r , debemos integrar para determinar la diferencia de potencial.

La capacidad se define por la relación de Q/V C = Q/V V esta relacionado con el campo eléctrico entre las cotezas dV = - E.d =

- Erdr Para determinar Er escogemos una superficie cilindrica gaussiana de radio r entre

los conductores ( r1 < r < r2 ). El área de la superficie gaussiana es , por tanto, 2L. La ley de gauss nos da:

Er2 rL = Q/ 0 despejando Er = 1/ 2 L 0*Q/r

Integrando para determinar V = V1 – V2: V = V1 – V2 = = =

= Q/2 0L = Q/2 0L* ln r2/r1

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Del resultado anterior se deduce C: C = Q/V = 2 0L/ ln( r2/r1)

La capacidad de un condensador cilíndrico es proporcional a la longitud de los conductores.

¿ Como se modifica la capacidad si el potencial a través de un condensador cilíndrico se incrementa de 20 a 80 V?. La capacidad de un condensador no depende del potencial. Para aumentar V hay que incrementar la carga Q. La relación Q/V depende sólo de la geometría del condensador

ALMACENAMIENTO DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA

Durante la carga de un capacitor, una carga positiva del conductor cargado negativamente se transfiere al conductor cargado positivamente. Parte de este trabajo queda almacenado en forma de energía potencial electrostática. Sea q la carga transferida al cabo de cierto tiempo durante el proceso. La diferencia de potencial es entonces V = q/c. Si se transfiere ahora una pequeña cantidad adicional de carga dq desde el conductor negativo potencial cero hasta el conductor positivo a un potencial V , la energía potencial de la carga se incrementa en:

dU = V dq = q/C *dq

El incremento total de energía potencial U es la suma o integral de esras cargas dU cuando q crece desde cero a su valor final Q:

U = = = ½ * Q2/C

U = ½ * Q2/C = ½*QV = 1/2 *CV2 -------Energía almacenada en un Condensador

Ejemplo.Un condensador de 15 F se carga a 60 V, ¿ Cuánta energía puede almacenar este condensador?.

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Ejemplo

Un condensador de placas paralelas y cuadradas, de lado 14 cm y separadas 2.0 mm se conecta a una batería y se carga a 12 V . Se desconecta entonces la batería del condensador y la separación de las placas se incrementa a 3.5 mm. A) ¿ Cual es la carga del condensador?. b) ¿ Cuanta energía se almacenó originalmente en el condensador?. c) ¿ En cuanto se incremento la energía al modificar la separación de las placas?

La carga del condensador es Q =CV Calcular la capacidad del condensador de placas paralelas C = 0A / d = 8.85pF/m(0.14m)2/ 0.002m = 86.7 pF Sustituyendo para calcular Q: Q = CV =86.7pF( 12V ) = 1.04 nC

b) Calcular la energía original almacenada: U = ½ QV = ½ ( 1.04nC)(12v) = 6.24 nJ

d) Una vez separadas, el potencial es V = Ed

Como E no se modifica y la diferencia de potencial es 12 V cuando la separación de las placas es 2.0mm, la diferencia cuando la separación es 3.5 mm será: V’ = 12 v( 3.5mm/ 2mm) = 21 V

Para d = 3.5 mm, con V’ = 21 V , la energía será U = ½ (1.04 nC )( 21 V) = 10.92 nJ

La resta sera U = 10.92 nJ – 6,24nJ = 4.68nJ

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CONSTANTE DIELECTRICA

La cantidad de carga que puede colocarse en un conductor depende en gran parte de la rigidez dieléctrica del medio circundante. En forma similar, la rigidez dieléctrica del material situado entre las placas de un capacitor limita su capacidad de almacenar carga. La mayoría de los capacitares tienen un material no conductor, llamado dieléctrico, entre las placas para proporcionar una rigidez dieléctrica mayor. Algunas ventajas:

Un material dieléctrico proporciona una menor separación de las placas sin que hagan contacto

Un dieléctrico aumenta la capacitancia de un de un capacitor. Se puede usar altos voltaje sin el peligro de que el dieléctrico alcance el punto

de ruptura. Un dieléctrico a menudo proporciona una mayor resistencia mecánica

Entre los materiales dieléctricos comunes se puede mencionar la mica, el papel parafinado, la cerámica y los plásticos

La constante dieléctrica K para un material particular se define como la razón de la capacitancia C de un capacitor de acuerdo con el material que hay entre las placas a la capacitancia C0 en el vació:

K = C/C0

También se puede expresar de acuerdo a las proporcionalidades como:

K = V0/V

La capacitancia C de un capacitor que tiene un dieléctrico entre sus placas es:

C = K 0* A/d = εA/d

Donde A es el área de las placas y d es su separación. Por lo tanto, con lo cual obtenemos la permitividad del dieléctrico

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Ejemplo.

Un determinado capacitor tiene una capacitancia de 4 F cuando sus placas están separadas 0.2 mm por espacio vació. Se utiliza una batería para cargar las placas a una diferencia de potencial de 500 V y luego se desconecta del sistema.

a) ¿Cual será la diferencia de potencial entre las placas si una hoja de mica de 0.2 mm de espesor se inserta entre las placas? b) ¿ Cuál será la capacitancia después de que se inserta el dieléctrico? c) ¿ Cuál es la permisividad de la mica ?.

a) La constante dieléctrica de la mica es 5. Por tanto

V = V0/K = 500 V / 5 = 100 V

b) C = K C0 = 5*4 F

c) = K 0 = 5 * 8.85*10-12C2/ Nm2 = 44.2* 10-12C2/ Nm2

CORRIENTE ELECTRICA

La corriente eléctrica es la rapidez del flujo de carga Q que pasa por un punto dado P en un conductor eléctrico.

I = Q / t

La unidad de corriente es el ampere. Un ampere ( A ) representa un flujo de carga con la rapidez de un coulomb por segundo, al pasar por cualquier punto.

1 A = 1 C/ 1s

DENSIDAD DE CORRIENTE

La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de área.Puesto que la corriente I = nqVd A, la densidad de corriente es:

J = I / A = nq Vd

Donde : n Es el número de portadores de carga móvil por unidad de volumen q Carga por partícula Vd Velocidad A El área

J - Tiene unidades del SI de A/m2

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Una densidad de corriente J y un campo Eléctrico E se establece en un conductor cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del conductor.Si la diferencia de potencial es constante, la corriente también lo es. Es muy común que la densidad de corriente sea proporcional al campo eléctrico:

J = E

Donde: = Es constante de proporcionalidad que recibe el nombre de conductividad del conductor.

El inverso de conductividad es resistividad

= 1/

Definición de corriente eléctrica

Siempre que se mueven cargas eléctricas de igual signo se establece una corriente eléctrica. Para definir la corriente de manera más precisa, suponga que las cargas se mueven perpendiculares a una superficie de área A, como en la figura 1. (Esta sería el área de la sección transversal de un alambre, por ejemplo.) La corriente es la tasa a la cual fluye la carga por esta superficie. Si ΔQ es la cantidad de carga que pasa por esta área en un intervalo de tiempo Δt, la corriente promedio, Ipro, es igual a la carga que

pasa por A por unidad de tiempo:

Fig. 1 Cargas en movimiento a través de un área A. La tasa de flujo de carga en el tiempo a través del área se define como la corriente I. la dirección de a la cual la carga positiva fluiría si tuviera libertad de hacerlo.

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Si la tasa a la cual fluye la carga varía en el tiempo, la corriente también varía en el tiempo, y definimos a la corriente instantánea I como el límite diferencial de la ecuación:

La unidad de corriente del Sistema Internacional es el ampere (A).

Esto significa que 1ª de corriente es equivalente a 1C de carga que pasa por el área de la superficie en 1s.

Fig. .2. Una sección de una conductor uniforme de área de sección transversal A. los portadores de carga se mueven con una velocidad vd y la distancia que recorren en un tiempo Δt esta dada por Δx = vdΔt. El número de portadores de cargas móviles en la sección de longitud Δx está dado por nAvdΔt , donde n es el número de portadores de carga móviles por unidad de volumen.Las cargas que pasan por la superficie en la figura 1 pueden ser positivas negativas o de ambos signos. Es una convención dar a la corriente la misma dirección que la del flujo de carga positiva. En un conductor como el cobre la corriente se debe al movimiento de electrones cargados negativamente. Por lo tanto, cuando hablamos de corriente en un conductor ordinario, como un alambre de cobre, la dirección de la corriente es opuesta a la dirección del flujo de los electrones. Por otra parte, si se considera un haz de protones cargados positivamente en un acelerador, la corriente está en la dirección del movimiento de los protones. En algunos casos —gases y electrolitos, por ejemplo— la corriente es el resultado del flujo tanto de cargas positivas como negativas. Es común referirse a una carga en movimiento (ya sea positiva o negativa) como un portador de carga móvil. Por ejemplo, los portadores de carga en un metal son los electrones.Es útil relacionar la corriente con el movimiento de partículas cargadas. Pan ilustrar este punto, considere la corriente en un conductor de área de sección transversal A (figura 2). El volumen de un elemento del conductor de longitud Δx (la región sombreada en la figura .2) es A Δx. Si n representa el número de

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portadores de carga móvil por unidad de volumen, entonces el número de portadores de carga móvil en el elemento de volumen es nA Δ Por lo tanto, la carga ΔQ en este elemento esΔQ= Número de cargas x carga por partícula = (nA Δx)qDonde q es la carga en cada partícula. Si los portadores de cargas se mueven con una velocidad vd la distancia que se mueven en un tiempo Δt es Δx = vdΔt. En consecuencia, podemos escribir Δq en la formaΔQ = (nAvdΔt)qSi dividimos ambos lados de la ecuación por Δt, vemos que la corriente en el conductor está dada por

Resistencia y ley de OHM

Las cargas se mueven en un conductor para producir una corriente bajo la acción de un campo eléctrico dentro del conductor. Un campo eléctrico puede existir en el conductor en este caso debido a que estamos tratando con cargas en movimiento, una situación no electrostática. Considere un conductor de área transversal A que conduce una corriente I. La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de área. Puesto que la corriente I=nqvdA, la densidad de corriente es:

Donde J tiene unidades del Sistema Internacional A/m2. La expresión es válida sólo si la densidad de corriente es uniforme y sólo si la superficie del área de la sección transversal A es perpendicular a la dirección de la corriente. En general, la densidad de corriente es una cantidad vectorial:

A partir de esta definición, vemos otra vez que la densidad de corriente, al igual que la corriente, está en la dirección del movimiento de los portadores de carga negativa. Una densidad de corriente J y un campo eléctrico E se establece en un conductor cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del conductor. Si la diferencia de potencia es constante, la corriente también lo es. Es muy común que la densidad de corriente sea proporcional al campo eléctrico.

(7)

Donde la constante de proporcionalidad σ recibe el nombre de conductividad del conductor. Los materiales que obedecen la ecuación 7 se dice que cumplan

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la ley de Ohm, en honor de Simon Ohm (1787-1854). Más específicamente, la ley de Ohm establece queEn muchos materiales (incluidos la mayor parte de los metales), la proporción entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante, σ, que es independiente del campo eléctrico productor de la corriente.Los materiales que obedecen la ley de Ohm y que, en consecuencia, presentan este comportamiento lineal entre E y J se dice que son óhmicos. El comportamiento eléctrico de la mayor parte de los materiales es bastante lineal para pequeños cambiosde la corriente. Experimentalmente, sin embargo, se encuentra que no todos los materiales tienen esta propiedad. Los materiales que no obedecen la ley de Ohm se dice que son no óhmicos. La ley de Ohm no es una ley fundamental de la naturaleza sino más bien una relación empírica válida sólo para ciertos materiales.

Una forma de la ley de Ohm útil en aplicaciones prácticas puede obtenerse considerando un segmento de un alambre recto de área de sección transversal A y longitud e, como se ve en la figura 4. Una diferencia de potencial V =Vb — Va se mantiene a través del alambre, creando un campo eléctrico en éste y una corriente. Si el campo eléctrico en el alambre se supone uniforme, la diferencia de potencial se relaciona con el campo eléctrico por medio de la relación

Por tanto, podemos expresar la magnitud de la densidad de la corriente en el alambre como

Puesto que J=I/A, la diferencia de potencia puede escribirse

La cantidad / A se denomina la resistencia R del conductor. De acuerdo con la última expresión, podemos definir la resistencia como la razón entre la diferencia de potencial a través del conductor y la corriente.

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A partir de este resultado vemos que la resistencia tiene unidades del Sistema Internacional (SI) de volts por ampere. Un volt por ampere se define como un ohm (Ω).

Es decir, si una diferencia de potencial de 1V a través de un conductor produce una corriente de 1ª, la resistencia del conductor es 1Ω. Por ejemplo, si un aparato eléctrico conectado a una fuente de 120 V conduce una corriente de 6ª, su resistencia es de 20 Ω. El inverso de conductividad es resistividad ρ.

= 1/

CAMBINACIONES DE CONDENSADORES.

CONDENSADORES EN PARALELO

Dos condensadores en paralelo. Las placas superiores están conectadas juntas y se encuentran, por tanto, al mismo potencial Va; las placas inferiores están igualmente conectadas entre si, por tanto, tienen el potencial común, Vb .

Los puntos a y b están conectados a una batería que mantiene una diferencia de potencial V = Va – Vb entre las placas de cada condensador.

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Las capacitancias son C1 y C2, las cargas Q1 y Q2 almacenadas sobre las placas viene dadas por:

Q1 = C1V y Q2 = C2V

Por tanto la carga total almacenada es: Q = Q1 + Q2 = C1V + C2V = (C1 + C2)V

Una combinación de condensadores se puede reemplazar por un equivalente.

La capacidad equivalente de dos condensadores en paralelo es el cociente de la carga total almacenada y la diferencia de potencial:

Ceq = Q/V = C1 + C2

CONDENSADORES EN SERIE

Dos condensadores en serie. La carga es la misma en cada condensador.

La diferencia de potencial a través del primer condensador es:

V1 = Va – Vm = Q/C1

En donde Vm es el potencial de las placas adyacentes y el cable de conexión. De igual modo:

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V2 = Vm – Vb = Q/C2

La diferencia de p. entre los dos condensadores en serie es la suma de estas diferencias de p.:

V = Va – Vb = V1 + V2 = Q/C1 + Q/C2 = Q( 1/C1 + 1/C2)

La capacidad equivalente de dos c. en serie es:

Ceq = Q/V

Por tanto 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 --------Capacitancia para C. en serie

Ejemplo:

Un condensador de 2 F y otro de 4 F se conecta en serie con una batería de 18 V . Determinar la carga depositada sobre los condensadores y la diferencia de potencial a través de cada uno de ellos.

1.- Q = CeqV

2.- La capacidad eq. 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 = 1/ 2 F 1/ 4 F = 3/4 F

Ceq = 4/3 F

24

3.- Utilizando este valor para determinar la carga Q: Q = CeqV = (4/3 F)( 18 V ) = 24 C

4.- Utilizando el valor de Q para calcular el potencial a través del condensador de 2 F

V1 = Q/C1 = 24 C/2 F = 12V

5.- para 4 F:

V2 = Q/C2 = 24 C/4 F = 6 V

LA ENERGÍA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

El incremento de energía interna del conductor que da lugar a un aumento de su temperatura se denomina calor de Joule

La energía perdida por unidad de tiempo es la potencia P disipada en el segmento conductor:

P = VI ---------- Potencia disipada en un conductor

Si I se expresa en amperios y V en volts, la potencia perdida viene expresada en vatios.

P = VI = I2R = V2/ R ----------Potencia disipada en una resistencia

Ejemplo:

Una resistencia de 12 transporta una corriente de 3 A. Determinar la potencia disipada en esta resistencia.

Como conocemos la Intensidad y la resistencia, , la ecuación más conveniente

P = I2 R = ( 3 A )2( 12 ) = 108 W

La caída de potencial a través de la resistencia es :

V = IR = ( 3 A )( 12 ) = 36 VCon este resultado se calcula la potencia

P = IV = ( 3 A )( 36 V ) = 108 W

25

Tarea:

Un alambre de resistencia 5 transporta una corriente de 3 A durante 5 s. a) ¿ Que potencia se disipa en el cable?. b ) ¿ Cuanto calor se desprende en ese tiempo?.

P = VI = R I2 = (5 )( 3 A )2 = 45 W

V = J/C J = ( 15 V )( 15 C ) = 225 J + 45

A = C / s ; C = A*S = ( 3 A ) (5 s) = 15 C

FUERZA ELECTROMOTRIZ Y BATERÍAS

Un aparato o dispositivo que suministra energía eléctrica recibe el nombre de fuente de fuerza electromotriz o simplemente fuente de fem. Ejemplos de estas fuentes son una batería o pila. El trabajo por unidad de carga recibe el nombre de fem , , de la fuente.Una batería ideal es una fuente de fem que mantiene una diferencia de potencial constante entre sus dos terminales, independientemente del flujo de carga que existe entre ellos.La potencia suministrada por la fuente de fem es igual a la disipada en la resistencia

P = Q / t = I

En una batería real la diferencia de potencial entre los bordes de la batería, denominada tensión en los bordes no es simplemente igual al valor de la fem de la batería.Consideremos el simple circuito formado por una batería real y una resistencia, como muestra la figura siguiente

26

Si la corriente varía modificando la resistencia R y se mide la tensión en los bordes, resulta que esta decrece ligeramente a medida que crece la intensidad de la corriente, justo como si existiera una pequeña resistencia dentro de la batería. Figura siguiente:

Tensión en los bordes V en función de I para una batería real. La línea de puntos muestra la tensión en los bordes de una batería ideal que tiene el mismo valor de .Así pues, una batería real puede considerarse como una batería ideal de fem más una pequeña resistencia r , denominada resistencia interna de la batería.La figura siguiente:

Muestra un circuito formado por una batería real y una resistencia.

27

Si la corriente en el circuito es I, el potencial en el punto a se relaciona con el potencial en el punto b mediante:

Va = Vb + - Ir

Por tanto la tensión será: Va –Vb = - I r = IR de aquí resulta para la Intensidad de

Corriente que es igual a: I = /R+r

La tensión en los bordes de la batería es inferior a la fem de la batería debido a la caída de potencial que tiene dentro, debido a la resistencia interna.

Frecuentemente las baterías se especifican en amperio – horas ( A.h), lo que indica la carga total que pueden suministrar:

1 A.h = 1 C/s * ( 3600 s) = 3600 C

La energía total almacenada en la batería es la carga total multiplicada por la fem

W = Q

Ejemplo.Una resistencia de 11 se conecta a través de una batería de fem 6 V y resistencia interna 1 . Determinar a) la intensidad de corriente, b) la tensión en los bornes de la batería, c) la potencia suministrada por la fem, d) la potencia suministrada a la resistencia externa y e) la potencia disipada por la resistencia interna de la batería. f) Si la capacidad de la batería es 150 A.h, ¿Cuánta energía almacena?

a) I = / R + r = 6V / = 0.5 A

b) Va – Vb = = 6V – (0.5 A)(1 ) = 5.5 V

c) P = = ( 6V)(0.5 A) = 3 W

d) Resistencia externa P = I2R = ( 0.5)2(11 ) = 2.75 W

e) La potencia disipada en la resistencia interna : P = I2r = ( 0.5A )2( 1 ) = 0.25 W

e) W = Q = 150 A.h ( 3600 C)/ 1A. h * 6 V = 3.24 MJ

COMBINACION DE RESISTENCIAS.

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El análisis de un circuito puede simplificarse reemplazando dos o más resistencias por una sola resistencia equivalente que transporte la misma corriente con la misma caída de potencial que las resistencias originales

RESISTENCIAS EN SERIE.

Cuando dos o más resistencias están conectadas como R1 y R2, en la figura, de modo que transportan la misma corriente I, se dice que las resistencias están conectadas en serie.

La caída de potencial a través de R1 es IR1 y R2 es IR2 Por lo tanto V = IR1 + I R2 = I(R1 + R2). Por lo que Req = R1 + R2.

RESISTENCIAS EN PARALELO

Dos resistencias conectadas como se indica en la figura, de modo que entre ellas se establece la misma diferencia de potencial, se dice que están conectadas en paralelo.

Sea I la corriente que fluye del punto “ a” al punto “ b” . La corriente total es la suma de las corrientes individuales

I = I1 + I2

Sea V = Va – Vb la caída de potencial a través de cada resistencia . En función de las corrientes y resistencias:V = I1 R1= I2 R2

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La resistencia equivalente de una combinación de resistencias en paralelo se define:

Req = V/I donde I = V/Req = I1 + I2 = V/R1 +V/R2 Por tanto 1/ Req = 1/ R1 + 1/ R2

EJEMPLO.

Una Resistencia de 4 Ω y otra de 6Ω se conectan en serie con una batería de fem 12 V y resistencia interna despreciable. Determinar a) la resistencia equivalente, b) la intensidad que circula por el circuito , c) la caída de potencial a través de cada resistencia, d) la potencia disipada en cada resistencia y e ) la potencia total disipada.

Req = 10 Ω

V = I Req ; I = 12V/ 10 Ω = 1.2 A

V1 = ( 1.2 A ) ( 4 Ω ) = 4.8 V

V2 = ( 1.2 A )( 6Ω ) = 7.2 V

P = I2R = ( 1.2 A )2(4 Ω) = 5.76 W

P = ( 1.2 A )2(6Ω) = 8.64 W

Ptotal = 14.4 W

Comprobar los resultados utilizando: P = VI y P = I2Req

EJEMPLO

30

En el circuito de la figura determinar a) la resistencia equivalente del circuito, b) la intensidad total en la fuente de fem, c) la caída de potencial a través de cada resistencia y d) la intensidad transportada por cada

I = I12 + I6

a) 1/ Req = 1/ R12 + 1/ R6 Donde R’eq = R12 R6 / R6 + R12 = 4 Ω Reqtotal = 2Ω +4 Ω = 6 Ω

b) I = V/ Reqtotal = 18 V / 6Ω = 3 A

c) V2 = R2I = 2 Ω( 3 A ) = 6 V

Vp = I R’eq = 3 A ( 4 Ω ) = 12 V

d) I6 = Vp / R6 = 12 V / 6 Ω = 2 A

I12 = Vp / R12 = 12 V / 12 Ω = 1 A

REGLAS DE KIRCHHOFF

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Existen muchos circuitos simples, tales come el indicado en la figura siguiente, que no pueden analizarse meramente reemplazando combinaciones de resistencias por una resistencia equivalente.

Por ejemplo, las dos resistencias R1 y R2 de este circuito parecen estar en paralelo, pero no es así.. La caída de potencial no es la misma a través de ambas resistencias, debido a la presencia de la fuente de fem 2 en serie con R2. Además R1 y R2 no transportan la misma corriente, pues no están en serie . Existen dos reglas, llamadas reglas de kirchhoff que se aplican a éste y a cualquier otro circuito.

1.- La suma algebraica de las variaciones de potencial a lo largo de cualquier bucle o malla del circuito debe ser igual a cero.

2.- En un punto o nudo de ramificación de un circuito en donde puede dividirse la corriente , la suma de las corrientes que entran en el nudo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.

La primera regla, llamada regla de las mallas, se basa en el principio de la conservación de energía. Si tenemos una carga q en un punto donde el potencial es V, la energía potencial de la carga es qV. Cuando la carga recorre un bucle en un circuito, pierde o gana energía al atravesar resistencias, baterías u otros elementos, pero cuando vuelve a su punto de partida, su energía debe ser de nuevo qV. Es decir, el cambio neto en el potencial debe de ser cero.

ENERGIA POTENCIAL = qVRESISTENCIAS PierdeBATERIAS gana

La segunda regla de kirchhoff, llamada regla de los nudos, se deduce de la conservación de la carga.

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La figura muestra la unión o nudo de tres conductores que transportan las corrientes I1, I2 y I3. Puesto que no existe ninguna causa para que se creen o se destruyan cargas en este punto, la conservación de la carga implica la regla de los nudos que en este caso nos da:

I1 = I2 + I3

CIRCUITO DE UNA SOLA MALLA

Aplicando la regla de las mallas consideremos el circuito de la figura.

Formado por dos baterías con resistencias externas r1 y r2 y tres resistencias externas. Deseamos determinar la corriente en función de las fems y resistencias que suponemos conocidas. Comenzaremos en el punto a:Observamos que hay una caída de potencial a través de la fem entre c y d y un incremento de potencial a través de la fuente de potencial entre f y g. La regla de las mallas nos da:

- IR1 – IR2 - 2 – Ir2 – IR3 + 1 – Ir1 = 0

Despejando la intensidad:

I = 1 - 2 / R1 + R2 + R3 + r1 + r2

33

Observamos que si 2 es mayor que 1, se obtiene un número negativo para la corriente I indicando que hemos escogido el sentido equivocado para I.

Ejemplo

Loa elementos del circuito de la figura tiene los valores de 1 = 12 V, 2 = 4 V, r1 = r2 = 1 , R1 = R2 = 5 , R3 = 4 como se indica en la figura:

a) Hallar los potenciales en los puntos a hasta g indicados en la figura admitiendo que el potencial en el punto f es cero. b) Determinar la potencia de entrada y de salida en el circuito.

a) 1.-La corriente es igual a: I = 12 V – 4 V / (5+ 5 + 4 +1+1) = 8V / 16 = 0.5ª

2.- El potencial en cada uno de los puntos especificados en el circuito:Vg = Vf + 1 = 0 + 12 V = 12 VVa = Vg – Ir1 = 12 V – ( 0.5 A)( 1 ) = 11.5 VVb = Va – IR1 = 11.5 V – ( 0.5 A)(5 ) = 9 VVc = Vb – IR2 = 9 V – (0.5 A)(5 ) = 6.5 VVd = Vc - 2 = 6.5 V – 4 V = 2.5 VVe = Vd – Ir2 = 2.5 V – (0.5 A)(1 ) = 2 VVf = Ve – IR3 = 2 V – (0.5 A)( 4 ) = 0

b) 1.- Primero se calcula la potencia suministrada por la fem 1:

P 1 = 1I = (12 V)(0.5 A) = 6 W

2.- Parte de esta potencia se disipa en las resistencias, tanto internas como externas

PR = I2 ( R1 + R2 + R3 + r1 + r2 ) = ( 0.5A)2( 5 + 5 + 4 + 1+ 1 ) = 4 W

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3.- Los restantes 2 W de potencia se destinan a cargar la batería 2.

Tarea hacer una grafica de voltaje contra los puntos de referencia de caídas de voltaje

EJEMPLOS:

Una bateria de automóvil en buenas condiciones se conecta mediante cables a otra bateria debilitada para proceder a su carga a) ¿ A que borde de la batería débil debe conectarse el borde positivo de la batería buena?. b ) Suponemos que ésta tiene una fem

1 = 12 V mientras que la débil tiene una fem 2 = 11 V , las resistencias internas de las baterías son r1 = r2 = 0.02 y la resistencia de los cables es R = 0.01 . ¿ Cual será la corriente de carga?. ¿ Y si las baterías se conectan incorrectamente, cuál será la corriente?.

a) Se debe conectarse + con + y – con - , a fin que se pueda suministrarse carga a través de la batería débil desde el borde positivo al borde negativo b) Mediante la regla de las mallas se determina la corriente de carga

I = 1 - 2 / R + r1 + r2 = 12 V – 11 V / 0.05 = 20 A

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c) Si las baterías se conectaran incorrectamente, las fem se sumarian I= 1 + 2 / R + r1 + r2 = 12 V + 11 V / 0.05 = 460 A

CIRCUITO DE MULTIPLES MALLAS. Para analizar circuitos que contiene más de una malla, utilizaremos ambas reglas de kirchhoff, con la regla de los nodos aplicada a aquellos puntos donde la corriente se divide en dos o más partes.

a) Determinar la corriente en cada parte del circuito mostrado en la figurab) Calcular la energía disipada en 3 s en la resistencia de 4

a) 1.- en el punto b. tenemos que : I = I1 + I2

2.- Aplicando la regla de las mallas al circuito exterior abcdefa:

12V – 2 ( I2 )– 5V – 3 ( I1 + I2 ) = 07 V – 5 ( I2 ) – 3 ( I1 ) = 0

3.- Dividiendo la ec. Por 1 : 7 A – 5 I2 – 3 I1 = 0

4.- Utilizando la malla izquierda del circuito abefa:

12 V – 4 ( I1 ) – 3 ( I1 + I2 ) = 012 V – 7 ( I 1 ) – 3 I2 = 0

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12 A – 7 I1 – 3 I 2 = 05.- Utilizando las etapas 3 y 4 para resolver I1 e I2

7 A – 3 I1 – 5 I2 = 0 * - 312 A – 7 I1 – 3 I2 = 0 * 539 A – 26 I1 = 0I1 = 39 A / 26 = 1.5 AI2 = 2.5 A / 5 = 0.5 AI = I1 + I2 = 1.5 A + 0.5 A = 2 A

b)1.- La potencia disipada en la resistencia de 4

P = I12R = ( 1.5 )2 ( 4 ) = 9 Wtts

2.- Energía total disipada en un tiempo t es : W = pt ( 9 W ) ( 3 s ) = 27 J.

METODO GENERAL PARA EL ANALISIS DE CIRCUITOS CON MULTIPLES MALLAS.

1.- Dibujar un esquema del circuito.

2.- Elegir una dirección para la corriente en cada rama del circuito y especificar las corrientes en el diagrama. Añadir los signos más y menos para indicar los extremos del potencial mayor y menor de cada resistencia, condensador o fuente de fem.

3.- Reemplazar cualquier asociación de resistencias en serie o paralelo por su resistencia equivalente.

4.- Aplicar la regla de los nodos, a cada una de las uniones en donde la corriente se divide.5.- Aplicar la regla de la malla a cada uno de los bucles cerrados hasta obtener tantas ecuaciones como incógnitas.

6.- Resolver las ecuaciones para deducir los valores de las incógnitas.

Ejemplo:a) Determinar la intensidad de la corriente en cada parte del circuito mostrado en la

figura siguiente. Dibujar el diagrama del circuito con las magnitudes y direcciones de la intensidad en cada una de sus partes.

b) Asignar V = 0 en el punto c y después especificar el potencial en cada uno de los puntos de a hasta f.

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a) 1.-Determinar la resistencia equivalente de 3 y 6 .

Req = 2

2.- Aplicar la regla de los nodos:

3.- Aplicar la regla de malla abefa

18 V – 12 I – 6 I1 = 0 * 1 / 6 3V – 2 I – 1 I1 = 0 * 1 / 3 V / - 2 I - I1 = 0 3 A – 2 I – I1 = 0 ------- 1

4.- Aplicar la regla a la malla bcdeb

21 V – 2 ( I – I 1 ) + 6 I1 – 3 ( I – I 1) = 021 V – 5 I + 11 I1 = 0 * 1 / 21 A – 5 I + 11 I1 = 0 –-----------23 A – 2 I – I 1 = 0 * 11------------ 154 A = 27 II = 54 A / 27 = 2 A3A = 2 ( 2 A ) + I1

I1 = - 1 A

5.- Determinar la corriente a través de la batería de 21 V

I – I 1 = 2 A – ( - 1 A ) = 3 A

6.- Para determinar la caída de potencial a través de 3 y 6 utilizamos:

V ( I – I 1 ) Req = 3 A ( 2 ) = 6 VLas corrientes en I3 = 2 A , I6 = 1 A

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7.- Dibujar la figura y especificar el valor de la intensidad en cada parte del circuito.Comenzar con V = 0 en el punto c y calcular el potencial en los puntos d, e, f , a y b.

Vd = Vc + 21 V = 0 + 21 V = 21 V

Ve = Vd – 3 A ( 2 ) = 21 V – 6 V = 15 V

Vf = Ve = 15 V

Va = Vf + 18 V = 15 V + 18 V = 33 V

Vb = Va - 12 ( 2 A ) = 33 V – 24 V = 9 V

CIRCUITO RC

Se denomina circuito RC aquel en el que interviene una resistencia y una capacitancía. La corriente en un circuito RC fluye en una sola dirección, como en los circuitos de corriente continua, pero la magnitud de la intensidad de corriente varía con el tiempo.

DESCARGA DE UN CAPACITOR.

Cuando t = 0 se cierra el interruptor, la corriente inicial será : I0 = V0 / R = Q0/RC

Como la carga sobre el condensador va decreciendo, la intensidad de corriente es igual a la disminución de esta carga por unidad de tiempo : I = - dQ / dt

Aplicando la primera regla al circuito anterior : Q/C – I R = 0

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Sustituyendo I = - dQ / dt en la ec anterior tenemos que: Q/C + R dQ/dt = 0 por tanto

dQ/dt = - 1/ RC * Q

Separando las variables Q y t, multiplicando ambos miembros por dt y dividiendo por Q resulta:

dQ/ Q = - dt/RC

Integrando entre Q0 para t = 0 y Q para el tiempo t resulta: ln Q/Q0 = - t / RC ,por tanto, obtenemos:

Q(t) = Q0 e- t/RC = Q0 e-t/ Carga sobre el condensador

Donde : = Cte de tiempo, = RC Q0 = Carga inicial

La intensidad de corriente se obtiene derivando la ecuación: I = - dQ/dt = Q0/ RC *e-t/RC

Por tanto: I = - V0/ R e-t/RC = I0 e- t/ -------- Corriente en el circuito.

En Donde: I0 = Q0/ RC = V0 / R Es la corriente inicial

Ejemplo.Un condensador de 4 F se carga a 24 V y luego se conecta a una resistencia de 200 . Determinar: a) La carga inicial del condensador

b) La corriente inicial a través de la resistencia de 200 .c) La constante de tiempod) La carga que posee el condensador después de 4 ms

a) Q0 = CV = ( 4 F )( 24 V) = 96 Cb) I0 = V0/ R = 24 V / 200 . = 0.12 Ac) = RC = ( 200 )( 4 F) = 800 sd) Q = Q0 e- t/ = ( 96 C) e-4ms/0.8ms = 0.647 C

Ejercicio

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El condensador del circuito que se muestra en la figura, está inicialmente descargado. Determinar la corriente que atraviesa la batería

a) Inmediatamente después de cerrar el interruptorb) Un largo tiempo después de cerrar el interruptor

a) 12 V – ( 4 ) I0 = 0 I0 = 3 A

b)12 V – ( 4 ) Ifluir – ( 8 ) If = 0 : If = 1 A

Nota . Cuando el condensador está descargado actúa igual que un corto circuito entre los puntos cd, como se muestra a continuación

Cuando el condensador está totalmente cargado actúa como el circuito abierto indicado en la figura siguiente:

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42

APLICACIONES DE LAS LEYES DEL MAGNETISMO

INTRODUCCION CAMPO MAGNETICOLos griegos observaron que ciertas clases de piedras tenían la propiedad de atraer pedazos de hierro. Los primeros estudios que se realizaron fueron precisamente sobre materiales con hierro que tenia esta propiedad y los nombres que recibieron provienen de la región de Asia Menor, donde fueron encontrados (Magnesia) de allí que cuando nosotros nos refiramos a estos fenómenos le llamaremos magnetismo.

Al tener una barra magnética (imán) suspendida en un hilo experimenta desviaciones en la presencia de otra barra magnética como se muestra en la figura anterior, a medida que le acercamos la barra magnética a la barra suspendida. Si la alejamos de la presencia de cualquier material magnético o fuerza magnética observamos que se orienta hacia el polo norte de la tierra, debido a que la tierra se comporta como un imán natural, el extremo de la barra magnética que se orienta hacia el polo norte geográfico de la tierra que se conoce como Polo Norte y el otro extremo como Polo Sur. Experimentalmente se observa que polos iguales se repelen y polos diferentes se atraen, similar a lo que sucede con las cargas eléctricas. Cuando una carga fluye por un conductor, existe un campo magnético asociado con esta corriente en el espacio que rodea al conductor. Cuando la carga cesa de fluir, el campo magnético decrece hasta desaparecer. Este fenómeno demuestra que la fuente de los campos magnéticos es el flujo de carga ó corriente.

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La fuerza total ejercida sobre una carga Q en un cierto tiempo y lugar puede dividirse en dos partes: Una fuerza eléctrica que depende solamente del valor de Q y una fuerza magnética que depende de la velocidad v de la carga como también del valor de Q.

CAMPO MAGNETICOUn campo magnético B existe donde quiera que una carga en movimiento sufra la acción de una fuerza magnética. La dirección de B en un determinado lugar es aquella a lo largo de la cual una carga puede moverse sin experimentar una fuerza magnética; en cualquier otra dirección la carga sufriría la acción de una fuerza magnética.La magnitud de B es numéricamente igual a la fuerza ejercida sobre una carga de 1 C moviéndose a 1 m/s perpendicular a B.

La unidad del campo magnético es el tesla ( T ) donde: 1 tesla = 1 Nw / amper- metro.El tesla se denomina a veces Weber / m2.El gauss, es igual a 10-4 T.Nota: Cuando este en unidades de gauss hay que convertirla a tesla.

Experimentalmente se muestra que cuando una carga q posee la velocidad V en un campo magnético , aparece una fuerza que es proporcional a q ya V, y al seno del ángulo que forman V y B. La fuerza es perpendicular a ambos. Cuando una carga q se mueve con velocidad V en un campo magnético B, la fuerza magnética F que actúa sobre la carga es :

F = qVx B---------- Fuerza magnética sobre una carga móvil Como F es perpendicular a ambos , V y B , resulta ser perpendicular al plano definido por estos dos vector . La dirección de F viene dada por la regla de la mano derecha como el eje de rotación cuando V gira hacia B, como se muestra en la figura.

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En la figura anterior se aplica la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre una carga que se mueve en un campo magnético.La fuerza es perpendicular a ambos V y B y su sentido es el que correspondería a un tornillo que avanza cuando gira en el mismo sentido de V y B.Si los dedos de la mano derecha señalan la dirección de V de tal modo que pueden curvarse hacia B , el pulgar señala la dirección de F.

En la figura anterior la dirección y sentido de la fuerza magnética sobre una partícula cargada que se mueve con velocidad V en un campo magnético B

Cuando por un alambre situado en el interior de un campo magnético circula una corriente, existe una fuerza que se ejerce sobre el conductor que es simplemente la suma de las fuerzas magnéticas sobre las partículas cargadas cuyo movimiento produce la corriente.

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Segmento de alambre de longitud L que transporta una corriente de intensidad I. Si el alambre está en un campo magnético, se producirá una fuerza sobre cada portador de carga, dando lugar a una fuerza resultante sobre el alambre.La fuerza total sobre el segmento de alambre es : F = ( qV d x B ) nAL,

I = nqVdA por tanto F = ILxB Fuerza magnética sobre un segmento de alambre portador de corriente.

La figura anterior nos muestra una Fuerza magnética sobre un segmento de alambre portador de corriente en un campo magnético. La corriente lleva la dirección x, y el campo magnético está en el plano xy y forma un angulo con el eje x. La fuerza F está dirigida en el sentido positivo de z, perpendicular a ambos , B y L . Su magnitud es :

F = ILBSen

dF = I dLxB Es la fuerza magnética sobre un elemento de corriente, en donde B es el vector campo magnético en el segmento . La magnitud I dL se denomina elemento de corriente. Del mismo modo que el campo eléctrico E puede representarse mediante líneas de campo eléctrico , también el campo magnético B puede ser representado mediante

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líneas de campo magnético. En ambos casos, la dirección del campo viene indicada por la dirección de las líneas de campo y la magnitud del campo por su densidad. Existen, sin embargo, dos importantes diferencias entre líneas del campo eléctrico y líneas del campo magnético:

1.- Las líneas de campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica sobre una carga positiva, mientras que las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza magnética sobre una carga móvil .

2.- La líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas; las líneas de campo magnético forman circuitos cerrados. Como los polos magnéticos aislados aparentemente no existen, no hay puntos en el espacio en donde la línea de campo magnético comience y terminen.

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Líneas de campo magnético dentro y fuera de una barra magnética. Las líneas emergen del polo norte y entran en el polo sur, pero carecen de principio y de fin. En su lugar forman círculos cerrados.

Ejemplo:Un segmento de cable de 3 mm de longitud transporta una corriente de 3 A en la dirección x. Se encuentra en el interior de un campo magnético de magnitud 0.02 T en el plano xy formando un angulo de 30 con el eje x, como indica la figura. ¿ Cual es la fuerza magnética ejercida sobre el segmento de cable ?.

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La fuerza magnética se encuentra en la dirección de L x B como se muestra en la figura, está en la dirección z, por tanto : F = ILxB = ILBsen30 k = 3 A * 0.003m*sen30 = 9*10-5Nk

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CAMPO MAGNETICO CREADO POR CARGAS PUNTUALES EN MOVIMIENTO

Cuando una carga puntual q se mueve con una velocidad v, se produce un campo magnético B en el espacio dado por :

Campo magnético de una carga móvilEn donde r es el vector unitario que apunta desde la carga q al punto del campo P,

Una carga puntual q que se mueve con velocidad v produce un campo magnético B en un punto P del campo en la dirección v x r , en donde r es el vector unitario dirigido desde la carga al punto del campo. El campo varia en razón inversa al cuadrado de la distancia desde la carga al punto considerado del campo y es proporcional al seno del ángulo que forma v y r . La cruz indica en el punto del campo indica que la dirección del campo es perpendicular al papel y hacia dentro.

0 es una constante de proporcionalidad llamada permeabilidad del espacio libre, de valor:

0 = 4 *10-7 N/A2

Las unidades de 0 son de tal índole que B resulta en teslas cuando q se expresa en coulomb, v en metros por segundo y r en metros . La unidad N/A2 procede del hecho de que 1 T = 1 N/A. m

EJEMPLO.

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Una carga puntual de magnitud q1 = 4.5 nC se mueve con la velocidad 3.6 *107 m/s paralelamente al eje x a lo largo de la recta y = 3 m. Determinar el campo magnético producido en el origen por esta carga situada en el punto x = - 4 m, y = 3 m, como se indica en la figura.

El campo se calcula mediante la formula:

Con v = vi. Para determinar y r de la figura y escribir en función de i y j

= 4 m i – 3 mj

r = m = 5 m

= r / r = 4 m i – 3 mj / 5 m = 0.8 i – 0.6 j

Evaluando el producto vectorial : v x = ( v i )( 0.8i – 0.6j) = - 0.6 v k

Aplicando los resultados anteriores obtenemos que : B = 0 / 4 * q( - 0.6v k )/ r2 = - ( 10-7 T . m /A) ( 4.5 * 10-9)( 0.6)( 3.6*107 m/s) k = -3.89 *10-10 Tk

También se puede determinar el campo B sin determinar el vector unitario .Como el producto vectorial v x es v sen , en donde el sen = 3 m / 5 m = 0.6, resulta que v x = v sen ( -k ) = - v ( 0.6) k que coincide con el resultado anterior.

Ejercicio. Determinar el campo magnético sobre el eje y en y = 3 y en y = 6 m.

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CAMPOS MAGNETICOS CREADOS POR CORRIENTES ELECTRICAS:LEY DE BIOT Y SAVART.

Nuestra exposición de las fuerzas que actúan sobre cargas puntuales a las fuerzas que actúan sobre elementos de corriente reemplazando qv por el elemento de corriente I dl. Lo mismo podemos deducir el campo magnético producido por un elemento de corriente. El campo magnético dB producido por un elemento de corriente IdL viene dado por la ec.

Sustituyendo qv por I dL, obtenemos que :

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Esta ecuación es conocida como la ley de Biot y Savart. Esta ley y al ecuación anterior son análogas a la ley de coulomb correspondiente al campo eléctrico de una carga puntual. La fuente del campo magnético es una carga móvil qv o un elemento de corriente I dL , del mismo modo que la carga q es la fuente del campo electrostático.

El campo magnético decrece con el cuadrado de la distancia desde la carga móvil o elemento de corriente, de igual modo que el campo eléctrico decrece con el cuadrado de la distancia desde una carga puntual. Sin , embargo , los aspectos direccionales de los campos eléctricos y magnético son completamente distintos.

Mientras que el campo eléctrico apunta en la dirección radial desde la carga puntual al punto del campo ( para cargas positivas ) , el campo magnético es perpendicular a y a la dirección de movimiento de las cargas , v , que es la dirección del elemento de corriente.

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En un punto situado a lo largo de la línea de un elemento de corriente, tal como el punto P2 de la figura siguiente:

El campo magnético debido a dicho elemento es cero, pues el angulo entre I dL y el vector dirigido a ese punto es cero.El elemento de corriente IdL produce un campo magnético en el punto P1 que es perpendicular tanto a IdL como a . Este elemento no produce campo magnético en el punto P2, que esta en la misma línea de I dL.

B DEBIDO A UNA ESPIRA DE CORRIENTE.

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En la figura anterior muestra un elemento de corriente I dL de una espira de corriente de radio R y el vector unitario dirigido desde el elemento al centro de la espira. El campo magnético en el centro de la espira debido a este elemento está dirigido a lo largo del eje de la misma y su magnitud viene dada por :

dB = 0/ 4 * I dL sen / R2

en donde es el ángulo que forman I dL y que vale 90 para cada elemento de corriente, de modo que el seno = 1 .El campo magnético debido a la corriente total se obtiene integrando para todos los elementos de corriente de la espira. El campo B para esta espira completa es :

Ejercicio. Hallar la corriente en una espira circular , de 8 cm de radio , que pueda crear un campo magnético de 2 G en el centro de la espira.

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CALCULO DEL CAMPO MAGNETICO EN UN PUNTO DEL EJE DE UNA ESPIRA CIRCULAR DE CORRIENTE A LA DISTANCIA X DE SU CENTRO.

Tomando el elemento de corriente IdL en la parte superior de la espira, por tanto I dL es tangente a la misma y perpendicular al vector dirigido desde el elemento de corriente al punto del campo P.El campo magnético dB se encuentra en la dirección indicada en la figura , perpendicular a y también perpendicular a I dl, por tanto la magnitud será:

= 0/ 4 * I / r2 = 0/ 4 * I dL / x2 + R2

En donde se ha tenido en cuenta que r2 = x2 + R2 y que dL y r son perpendiculares, de

modo que = dL.

Cuando sumamos para todos los elementos de corriente de la espira, los componentes de dB perpendiculares al eje de la espira , tal como dBy en la figura , suman cero, quedando sólo los componentes dBx que son paralelos al eje . Por tanto , debe calcular sólo el componente x del campo. Según la figura obtenemos que:

dBx = dB sen = dB ( R / ) = / 4 * I dL/ x2 + R2 * R /

Para determinar el campo debido a la espira completa, integraremos dBx alrededor de la espira:

Bx = = dL

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Como x y R no varían al sumar para todos los elementos de la espira, la expresión anterior se puede escribir como:

Bx = IR / 4 ( x2 + R2)3/2 *

La integral de dL alrededor de la espira es 2 R. por tanto:

CAMPO MAGNETICO SOBRE EL EJE DE UNA ESPIRA DE CORRIENTE.

A grandes distancias de la espira , x es mucho mayor que R, de modo que ( x2 + R2 )3/2

= ( x2 ) 3/2 = 3. Por tanto;

Bx = / 4 * 2I R2/ 3

O sea que:

En donde = I R2 es la magnitud del momento magnético de la espira.Ya que el momento dipolar magnético de una espira de corriente es: = NIA .Las unidades en SI del momento magnético es el amperio-metro2 ( A. m2 ).

Líneas de campo magnético de una espira de corriente circular visualizadas mediante limaduras de hierro.

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EJEMPLO.

Una bobina circular de radio 5 cm tiene 12 vueltas y se encuentra en el plano yz. Por ella circula una corriente de 4 A en un sentido tal que el momento magnético de la espira está dirigido a lo largo del eje x . Determinar el campo magnético sobre el eje x en a) x = 0 b) x = 15 cm c) x = 3 m.

El campo magnético debido a una bobina de N vueltas es N veces mayor que el debido a una sola vuelta.

a) Para x = 0 Bx = N I / 2 R = / 4 * 2 NI / R = ( 4* 3.1416 *10-7)(12 )( 4 A )/2(.05m) = 6.03 *10-4 T

b) Para x = 15 cm

Será Bx multiplicar esta ecuación por N veces

Bx = 1.91* 10-5 T

c) Como 3 m es mayor que el radio R = 0.05m, utilizaremos la ec.

d) La magnitud del momento magnético de la bobina es = NIA = NI R2 = 0.377 A . m2.

e) Aplicando y x = 3 m en Bx tendremos que Bx = 2.79*10-9 T

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Ejercicio. Determinar el campo magnético sobre el eje x en x = -15 cm.

CAMPO MAGNETICO B DEBIDO A UNA CORRIENTE EN UN SOLENOIDE

Un solenoide es un alambre arrollado en forma de una hélice con espiras muy próximas entre si. El solenoide se usa para producir un campo magnético intenso y uniforme en la región rodeada por sus espiras.

Lineas de campo magnético debidas a dos espiras que transportan la misma corriente en el mismo sentido. Los puntos donde las espiras cortan el plano de la pagina están marcados por una x cuando la corriente se dirige hacia adentro y por un punto cuando la corriente emerge. En la región comprendida entre las espiras , los campos magnéticos de las espiras individuales se suman , de modo que el campo resultante es intenso, mientras que en las regiones alejadas de las espiras, los campos se restan y el campo resultante es débil.

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Geometría para el cálculo del campo magnético dentro de un solenoide sobre el eje. El número de vueltas en el elemento dx es ndx, en donde n = N / L es el numero de vueltas por unidad de longitud. El elemento dx se trata como una espira de corriente que transporta una corriente di = nIdx.

El campo magnético en un punto sobre el eje x causado por una espira en el origen que transporta una corriente nIdx viene dado por la ecuación, reemplazando I por nIdx.

dBx = / 4 * 2 R2nIdx / ( x2 + R2 ) 3/2

Esta expresión representa también el campo magnético en el origen debido a una espira de corriente en x. Determinaremos el campo magnético debido al solenoide completo integrando esta expresión desde x = - x1 a x = x2.

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Bx = / 4 * 2 R2nI

La integral puede determinarse mediante una tabla estándar;

= x / R2*

Sustituyendo en la ec:

Para un solenoide largo, en el cual x1 y x2 son mucho mayores que R , los dos términos del paréntesis tienden a valer 1. Con esta aproximación el campo sera de:

Bx = nI. ---- Campo magnético b en el interior de un solenoide largo.

Si el origen está en un extremo del solenoide, x1 o x2 será cero. Por tanto, si el otro extremo está a una distancia grande comparada con el radio, uno de los términos del paréntesis de la ecuación es cero y el otro es uno, de modo que B = 1/2 nI..La figura siguiente es la representación del campo magnético sobre el eje de un solenoide en función de la posición( con el origen en el centro del solenoide )

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Ejemplo:Determinar el campo magnético en el centro de un solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600 vueltas, por el que circula una corriente de intensidad 4 A.

1,- Con esta ec. Calculamos el campo2,- Para un punto en el centro del solenoide, x1 y x2 = 10 cm, asi cada término entre los paréntesis vale:

X1 / = x2 / = 10 cm/ = 0,990

3.- sustituyendo los valores:

Bx = 1.50*10-2 T CAMPO MAGNETICO B DEBIDO A UNA CORRIENTE EN UN CONDUCTOR RECTILINEO.

En esta figura muestra la geometría para el calculo del campo magnético B en un punto P debido a la corriente que circula por el segmento de alambre recto que se indica. Se escoge el eje x a lo largo del alambre y el punto P está sobre el eje y. Debido a la simetría de este problema, cualquier dirección perpendicular al alambre podía escogerse como eje y.

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El campo debido al elemento de corriente indicado tiene el valor de :

dB = / 4 * I dx / r2 * cos

Para sumar los campos elementales de todos los elementos de corriente necesitamos relacionar las variables , r y x. Lo mas sencillo es expresar x y r en función de . Así tenemos que:

x = y tanPor tanto

dx = y sec2 = y r2 / y2 *d = r2 /y *d

En donde sec = r / y. Sustituyendo dx en la ecuación:

dB = / 4 = / 4

Calculemos primeramente los elementos de corriente a la derecha del punto x = 0. Se suma respecto a todos estos elementos integrando desde = 0 , hasta , siendo 1

el ángulo comprendido entre la línea perpendicular al conductor y la línea que va desde P hasta el extremo derecho del conductor. Obteniendo :

B1 = =

Análogamente a la izquierda de x = 0 es

B2 =

El campo magnético total debido al segmento conductor, es la suma de B1 y B2. Sustituyendo y por R, distancia perpendicular desde el segmento conductor al punto del campo, obtenemos que:

B =

Este resultado expresa el campo magnético producido por un segmento de conductor en función de la distancia R perpendicular, y los ángulos subtendidos en el punto del campo por los extremos del conductor. Si éste es muy largo. Los ángulos indicados son próximos a 90. . El resultado corresponde a un conductor muy largo se obtiene que :

------ Campo magnético debido a un conductor largo rectilíneo.

En cualquier punto del espacio, las líneas de campo magnético de un conductor largo rectilíneo que transporta una corriente, son tangentes a un circulo de radio R alrededor del conductor, en donde R es la distancia perpendicular desde el conductor al punto del campo. La dirección de B puede determinarse aplicando la regla de la mano derecha como se indica en la figura:

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Ejemplo:Determinar el campo magnético en el centro de una espira de corriente cuadrada, de la do 50 cm, por la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A.

El campo magnético en el centro de la espira es la suma de las contribuciones debidas a cada uno de los cuatro lados del cuadrado.

1.- B = 4Bs

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2.- Calculemos el campo B de un lado de la espira, según la figura R = ½ L y

Bs = = 8.49*10-7 T

2.- Se multiplica este valor por 4 para determinar el campo total:

B = 4Bs = 4( 8.49*10-7 T) = 3.39*10-6 T

Ejercicio:

Determinar el campo magnético a una distancia de 20 cm de un alambre recto y largo que transporta una corriente de 5 A.

Ejemplo:Un conductor largo y rectilíneo que transporta una corriente de intensidad de 1.7 A en la dirección z positiva, se encuentra a lo largo de la línea x = - 3 cm, y = 0. Un conductor semejante que transporta una corriente de 1.7 A en la dirección z positiva está situado sobre la línea x = +3 cm, y = 0 como indica la figura. Determinar el campo magnético en un punto sobre el eje y en y = 6 cm.

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1.- El campo en P es el vector suma de los campos BL y BR: B = BL+ BR

2.- En la figura se puede ver que el campo se encuentra en la dirección x negativa y tiene magnitud igual a ; B = – 2BL cos i

3.- Las magnitudes de BL y BR esta dada por: BL = BR =

4.- R es la distancia de cada alambre al punto P

R =

BL = BR = 5.07*10-6 T

5.- De la figura se obtiene que cos : cos = 6 cm / 6.71 cm = 0.894

6.- Sustituyendo los valores: B = - 2( 5.07* 10-6 T )( 0.894) i = -9.07*10-6 T.

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LEY DE AMPERE.La ley de ampere, que relaciona el componente tangencial de B, sumado alrededor de una curva cerrada C con la corriente Ic que pasa atraves de la curva puede utilizarse para obtener una expresión del campo magnético en situaciones con un alto grado de simetría. En forma matemática, la ley de Ampere es:

---- C cualquier curva cerrada

En donde Ic es la corriente neta que penetra en el área limitada por la curva C. La ley de Ampere es válida para cualquier curva C en tanto que las corrientes sean continuas. Es util para calcular el campo magnético B en situaciones con alto grado de simetría, en

la cual la integral de línea puede escribirse como el producto de B por cierta

longitud.La aplicación de la ley de Ampere es la determinación del campo magnético creado por un conductor infinitamente largo y rectilíneo portador de una corriente . Como se muestra en la figura:

Podemos suponer que el campo magnético es tangente a este circulo y que posee la misma magnitud B en cualquier punto del círculo. La ley de Ampere nos da:

En donde se ha tenido en cuenta que B tiene el mismo valor en todos los puntos del circulo. La integral de dL alrededor del circulo es igual a 2 y la intensidad IC es la que corresponde al alambre. Asi se obtiene:

B ( ) =

B = campo magnético debido a un conductor largo rectilineo

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Ejemplo:Un alambre largo y recto de radio a transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda el área transversal del conductor. Determinar el campo magnético dentro y fuera del alambre.

1.- Debido a la simetría utilizaremos la ley de Ampere :2.- A una distancia r sabemos que B es tangente a la circunferencia de radio r alrededor del conductor y constante en magnitud en todos los puntos de la misma.3.- La corriente a través de C depende que r sea menor o mayor que el radio del alambre R.

1.- Aplicando la ley de Ampere a un círculo de radio r;

B =

2.- Fuera del alambre r>R y la corriente total pasa a través de la curva C: IC = IB =

3.- Dentro del alambre r<R y la corriente que pasa a través de C es multiplicada por una corriente total I: IC =

B =

Por lo tanto el campo magnético debido a una corriente uniformemente distribuida sobre un alambre de radio R viene dado por:

B =

B =

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Aplicando la ley de Ampere calcularemos el campo magnético de un Toroide, formado por espiras de conductor arrolladas alrededor de una figura en forma de neumático como se muestra en la figura:

Por simetría , B es tangente a este círculo y constante en magnitud en todos los puntos de la circunferencia. Por tanto:

Sean a y b los radios interiores y exteriores del toroide. La corriente total a través del círculo de radio r para a<r<b es NI. La ley de Ampere nos da :

O sea que B = _____ Campo magnético interior al toroide

Si r es menor que a, no existe corriente a través del círculo de radio r. Si r es mayor que b, la corriente total a través de r es cero, pues por cada corriente I hacia dentro de la pagina en la figura en la superficie interna del toroide, existe una corriente igual I hacia fuera de la pagina en la superficie exterior. Así el campo magnético es cero, tanto parar<a y r>b.

B = 0, r<a y r>b

INVESTIGACIÓN

1.- PARAMAGNETISMO2.- FERROMAGNETISMO3.- DIAMAGNETISMO.

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INDUCCIÓN MAGNETICA

Faraday y Joseph Henry descubrieron independientemente que un campo magnético induce una corriente en un conductor, siempre que el campo magnético sea variable.Las fuerzas electromotrices y las corrientes causadas por los campos magnéticos variables se denominan fems inducidas y corrientes inducidas . En si mismo, el proceso se denomina inducción magnética.Al extraer la clavija del enchufe de un circuito eléctrico observamos la producción de una pequeña chispa. Antes de la desconexión, el cordón eléctrico transporta una corriente, que como sabemos genera un campo magnético alrededor de la corriente.Al desconectar, la corriente cesa bruscamente y el campo magnético que lo rodea se colapsa. El campo magético variable produce una fem que tiende a mantener la corriente original engendrando así una chispa a través del enchufe.

Todos los métodos de inducción magnética pueden resumirse mediante una simple expresión llamada ley de Faraday, que relaciona la fem inducida en un circuito con el cambio de flujo magnético a través del circuito.

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FUJO MAGNÉTICO

El flujo de un campo magnético a través de una superficie se define de un modo análogo al flujo de un campo eléctrico. Sea dA un elemento de área sobre la superficie y el vector unitario perpendicular al elemento.

Si el campo B forma un ángulo con la normal el área de un bucle, el flujo a través del mismo es B cos . El fujo magnético se define por la expresión:

La unidad de flujo magnético es la del campo magnético multiplicada por la unidad del área, tesla-metro cuadrado, y se denomina weber ( Wb):

1 Wb = 1 T.m2

Como el campo magnético es proporcional al número de líneas de campo magnético por unidad de área, el flujo magnético es proporcional al número de líneas que a traviesa el área.Si la superficie es un plano de área A y B es constante en magnitud y dirección sobre la superficie y forma un ángulo con el vector unitario normal , el flujo es:

Con frecuencia trataremos el flujo a través de una bobina que contiene varías vueltas de alambre. Si la bobina contiene N vueltas, el flujo a través es igual al producto de N por el flujo que atraviesa una sola vuelta:

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El área A total vinculada a una bobina de dos vueltas es igual al doble del área correspondiente a una vuelta. En general, el área vinculada a una bobina de N vueltas es igual al producto de N por el área de cada vuelta.

Ejemplo.

Determinar el flujo magnético a través de un solenoide de 40 cm de longitud, 2.5 cm de radio y 600 vueltas, cuando transporta una corriente de 7.5 A.El campo magnético de un solenoide B esta uniformemente dirigido a lo largo de su eje.Por tanto, es perpendicular al plano de las espiras. Necesitamos determinar B dentro del solenoide y luego multiplicar B po NA.

1.- Flujo magnético es:

2.- El campo de un solenoide es: en donde n = N/L es el numero de vueltas

por unidad de longitud: .

3._ Expresar el área de las espiras en función de su radio; A =

4.- Sustituyendo los valores para encontrar el flujo:

-7 T.m/A)(600 vueltas)2(7.5 A) (0.025m)2 / (0.40m)= 1.66*10-2Wb

Fem INDUCIDA Y LEY DE FARADAY

Los experimentos de faraday y Henry demostraron que si el flujo magnético a través de un área rodeada por un circuito varía por cualquier medio, se induce una fem que es igual en magnitud a la variación por unidad de tiempo del flujo inducido en el circuito. La fem se detecta usualmente observando una corriente en el circuito, pero aparece incluso aunque el circuito sea incompleto ( abierto ), de modo que no existe corriente.Consideremos una sola espira de un conductor en un campo magnético, como se muestra en la figura:

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Si el flujo a través de la espira es variable, se induce en la misma una fem. Come esta fem es el trabajo realizado por unidad de carga , debe existir una fuerza ejercida sobre la carga asociada con la fem.. La fuerza por unidad de carga es el campo eléctrico E, inducido en este caso por el flujo variable . La integral lineal del campo eléctrico alrededor de un circuito completo es igual al trabajo realizado por unidad de carga , el cual , por definición, es la fem del circuito:

Los campos eléctricos que hemos estudiado eran el resultado de cargas eléctricas estáticas. Estos campos son conservativos, la cual significa que la integral lineal del campo electrostatico alrededor de una curva cerrada es cero. Sin embargo, el campo eléctrico resultante de un flujo magnético variable no es conservativo. La integral de línea alrededor de una curva cerrada es igual a la fem inducida, la cual es igual a la variación con el tiempo del flujo magnético:

Este resultado se conoce con el nombre de Ley de Faraday. El signo negativo de la ley de Faraday está relacionado con la dirección de la fem inducida.

EjemploUn campo magnético uniforme forma un ángulo de 30 con el eje de una bobina circular de 300 vueltas y un radio de 4 cm. El campo varia a razón de 85 T/s. Determinar la magnitud de la fem inducida en la bobina.

Nota: La fem inducida es igual a N veces la variación de flujo a través de cada vuelta por unidad de tiempo. Como B es uniforme, el flujo a través de cada vuelta es

, en donde A = es el área de una espira.

1.- La magnitud de la fem viene dada por la ley de Faraday:

2.- Para un campo uniforme ,el flujo es :

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3.- Al sustituir por esta expresión y calcular :

= = (300)(3.14)(0.04m)2cos30(85T/s) =

111V.

Ejercicio. Si la resistencia de la bobina es de 200 , ¿ Cual es la corriente inducida?.

EjemploUna bobina de 80 vueltas tiene un radio de 5 cm y una resistencia de 30 . Determinar cuál debe ser la variación del campo magnetico perpendicular al plano de la bobina para inducir en ésta una corriente de 4 A.

Nota: La variación por unidad de tiempo del campo magnético está relacionada con la variación del flujo, que a su vez depende de la fem inducida según la ley de Faraday. La fem en la bobina es igual a IR.1.- Escribir el flujo magnético en función de B;N y el radio:

, despejando B

B = 2.- Derivando B respecto al tiempo:

dB/dt =

3.- Utilizando la ley de Faraday para relacionar la variación con el tiempo del flujo y la fem:

4.- Calcular la fem en la bobina a partir de la corriente y la resistencia en la bobina:

5.- Sustituyendo los valores de ε, N y r para calcular dB/dt:

dB/dt =

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INDUCTANCIA

AUTOINDUCTANCIA.

El flujo magnético que atraviesa un circuito puede relacionares con la corriente en el mismo y con las corrientes que circulan por circuitos próximos. Consideremos una espira por la que circula una corriente I. La corriente produce un campo magnético B que varía de un punto a otro, pero en todos los puntos B es proporcional I. El flujo magnético a través de la espira, por tanto, es también proporcional a I :

------- Definición de Autoinductancia

En donde L es una constante llamada autoinducción de la espira. La autoinducción depende de la forma geométrica de la espira. La unidad SI de la inductancia es el Henrio(H), donde es igual a la unidad de flujo, el weber, dividido por la unidad de intensidad de corriente, el amperio:

1H = 1 Wb/A = 1 T.m2/ AEl campo magnético en un solenoide de estas características, de longitud y N vueltas que transporta una corriente I fue calculada con la siguiente ecuación:

En donde n = N/ es el numero de vueltas por unidad de longitud. Como es lógico, el flujo es proporcional a la intensidad de corriente I. La constante de proporcionalidad es la autoinducción:

L = __ Autoinducción de un solenoide.

La autoinducción es proporcional al cuadrado del número de vueltas por unidad de longitud n y el volumen A . La autoinducción depende sólo de factores geométricos.De acuerdo con las dimensiones de la ecuación anterior, puede expresarse en henrios por metro:

Ejemplo:Determinar la autoinducción de un solenoide de longitud 10 cm, área 5 cm2, y 100 vueltas.

1.- L viene expresada por L =

2.- convertir las magnitudes conocidas en unidades SI: = 10 cm = 0.1 m

A = 5 cm2 = 5*10-4m2

n = N/ = (100 vueltas )/ (0.1 m) = 1000 vueltas/m

3.- Sustituir los valores en L:

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La fem autoinducida es proporcional a la variación con el tiempo de la intensidad de corriente.

L = = 6.28*10-5 H

Cuando la intensidad de corriente de un circuito varía, el flujo magnético debido a la corriente también se modifica y, por tanto, en el circuito se induce una fem. Como la autoinducción del circuito es constante, la variación del flujo está relacionada con la variación de intensidad por:

d

De acuerdo con la ley de faraday, resulta:

= - d

Una bobina o solenoide con muchas vueltas posee una gran autoinductancia y se denomina inductorLos materiales magnéticos se clasifican de acuerdo a su permeabilidad comparada con la que corresponde al espacio vació. La razón de la permeabilidad del material con respecto a la correspondiente al vació de llama permeabilidad relativa y se expresa:

Donde es la permeabilidad del núcleo.Por ejemplo

Ejemplo Un solenoide se construye devanando 400 vueltas de alambre en un núcleo de hierro de 20 cm. La permeabilidad relativa del hierro es de 13000. ¿ Que corriente se requiere para producir una inducción magnética de 0.5 T en el centro del solenoide?.

1.- La permeabilidad del núcleo

= (13000)(4 *10-7 Tm/A = 1.63*10-2 Tm/A

Despejando I:

I = BL/ = ( 0.5 T)( 0.2m)/( 1.63*10-2Tm/A)(400 espiras)= 0.015A

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PRINCIPIOS BASICOS DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA.

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.

Las ecuaciones de Maxwell, propuestas por vez primera por el gran físico escocés James Clerk Maxwell, relacionan los vectores de campo eléctrico y magnético E y B con sus fuentes, que son las cargas eléctricas, las corrientes y los campos variables. Estas ecuaciones resumen las leyes experimentales de la electricidad y el magnetismo: las leyes de Coulomb, Gauss, Biot y Savart, Ampere y Faraday. Estas leyes experimentales se cumplen en un modo general excepto la ley de Ampere, que no puede aplicarse a las corrientes discontinuas como las que tiene lugar en la carga o descarga de un condensador.Maxwell fue capaz de generalizar la ley de Ampere introduciendo el concepto de corriente de desplazamiento. Con ello pudo demostrar que las leyes generalizadas de electricidad y magnetismo implican la existencia de ondas electromagnéticas.Las ecuaciones de Maxwell desempeñan en el electromagnetismo clásico un papel análogo a las leyes de Newton en la mecánica clásica.Maxwell demostró que estas ecuaciones podían combinarse para originar una ecuación de onda que debía satisfacer los vectores de campo eléctrico y magnético, E Y B. Estas ondas electromagnéticas están originadas por cargas eléctricas aceleradas como, por ejemplo , las cargas eléctricas alternantes presentes en una antena.. Estas ondas fueron producidas por primera vez por Hertz. Maxwell mostró que la velocidad de las ondas electromagnéticas en el espacio vacío debía ser :

c = 1/

en donde , la permitividad del espacio libre, es la constante que aparece en las leyes

de Coulomb y Gauss, mientras que , la permeabilidad del espacio libre, es la incluida

c = 1/ en las leyes de Biot y Savart y de Ampere. Cuando se introducen en la

ecuación anterior el valor medido de y el valor definido de , resulta que la

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velocidad de las ondas electromagnéticas vale aproximadamente 3*108 m/s, igual que la velocidad de la luz. Maxwell se dio cuenta de esta coincidencia y repuso correctamente que la propia luz es una onda electromagnética.

La figura siguiente muestra los vectores de campo de una onda electromagnética.

Los campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Las ondas electromagnéticas son, por tanto, ondas transversales. Las magnitudes de E y B están en fase y relacionadas por la expresión:

E = cB

En donde c = 1/ es la velocidad de la onda. En general, la dirección de

propagación de una onda electromagnética es la dirección del producto vectorial ExB.

ESPECTRO ELECTROMAGNETICO.

Los diversos tipos de ondas electromagnéticas- la luz, ondas de radio, rayos X, rayos gammas, microondas, -- difieren sólo en su longitud de onda y frecuencia, que están relacionado con la velocidad c en la forma usual, f = c / . En la tabla se muestra el espectro electromagnético y los nombres normalmente asociados con los diversos intervalos de frecuencia y longitud de onda.

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El ojo humano es sensible a la radiación electromagnética con longitudes de onda comprendida entre 400 y 700 nm , margen que se denomina luz visible. Las ondas electromagnéticas con longitudes de onda ligeramente inferiores a las de la luz visible se denomina rayos ultravioletas y las que poseen longitudes de onda superiores, se conocen como ondas infrarrojas.Las diferencias que poseen las longitudes de onda de las diversas clases de onda electromagnética tienen una gran importancia. Las microondas tiene longitudes de onda del orden de algunos centímetros y frecuencias que son cercanas a las frecuencias de resonancia natural de las moléculas de agua que hay en los sólidos y líquidos . Por tanto, las microondas son fácilmente absorbidas por las moléculas de agua que contienen los alimentos, que es el mecanismo mediante el cual calientan los hornos de microondas. Características fisicas; Acetatos 1 al 8

PRODUCCION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS.

Las ondas electromagnéticas se producen cuando se aceleran las cargas eléctricas o cuando los electrones ligados a los átomos y moléculas verifiquen transiciones a estados de menor energía . Las ondas de radio, que tienen frecuencias desde 550 a 1600 khz aproximadamente para las ondas de AM y desde 88 a 108 MHz para las ondas de FM, están producidas por corrientes eléctricas macroscópicas que oscilan en las antenas de radio. La frecuencia de las ondas emitidas es igual a la frecuencia de oscilación de las cargas .

Un hecho de crucial importancia es reconocer que las ondas acústicas que creamos cuando hablamos tienen frecuencias relativamente bajas: nuestro oído es sensible a ondas acústicas cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Estás frecuencias son pequeñas si las comparamos con la frecuencia de la luz visible, por ejemplo, que son del orden de 1014 Hz.Supongamos que se hacen interferir dos ondas , una de baja y otra de alta frecuencia, como se muestra en la siguiente figura:

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Si la diferencia de frecuencias es muy grande, entonces la onda resultante tiene la misma frecuencia que la onda de alta frecuencia, pero su amplitud va cambiando con la misma frecuencia que la onda de baja frecuencia. Se dice que la onda resultante está modulada en amplitud. Por tanto, si la señal es una onda de baja frecuencia, es posible incorporarla en una onda de alta frecuencia haciéndola interferir. Con base en lo anterior se diseño un aparato transmisor que se muestra en la figura siguiente:

Diagrama de bloque de un emisor de amplitud modulada

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Diagrama de bloques de un receptor de amplitud modulada.

Frecuencia modulada( FM). En este sistema la frecuencia emitida por el oscilador se cambia de acuerdo con el valor de la amplitud de la onda sonora que se desea transmitirMientras más intensa sea la onda acústica, mayor será el valor de la frecuencia de la onda emitida.

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La señal modula la frecuencia de la onda de radiofrecuencia

Las transmisión por FM, comparada con la forma de amplitud modulada(AM), tiene la ventaja de que sus transmisiones no se alteran con las perturbaciones, ya sean atmosféricas ó producidas por el hombre , que afectan la amplitud de la onda pero no su frecuencia. En el sistema FM no se presenta el llamado fenómeno de “ estática “ , que es un ruido sistemático que se oye en emisiones AM.

La figura siguiente muestra una antena dipolar eléctrica , que consta de dos varillas conductoras dobladas que se alimentan mediante un generador de corriente alterna.

En el instante t = 0 los extremos de las varillas se encuentran cargados y existe un campo eléctrico cerca de la varilla paralelos a ellas.. También existe un campo magnético que rodea a las varillas y se debe a la corriente que circula por ellas. Estos campos se mueven alejándose de las varillas con la velocidad de la luz.Cuando t = T/4 las varillas se encuentran descargadas y en sus proximidades el campo eléctrico es nulo.Para t= T/2 , las varillas se encuentran cargadas de nuevo, pero las cargas son opuestas a las que tenía t = 0.Los campos eléctricos y magnéticos a grandes distancias de esta antena transmisora son muy diferentes de los que existen cerca de la misma. Lejos de la antena, los campos oscilan en fase con un movimiento armónico simple, perpendicular el uno del otro y a la dirección de propagación. La figura siguiente muestra los campos lejos de una antena bipolar eléctrica, las líneas de color rojo son los campos eléctricos y las azules son los magnéticos..

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Líneas de los campo eléctricos y magnéticos producidas por un dipolo eléctrico oscilante.Las ondas electromagnéticas de frecuencia de la radio o la televisión pueden detectarse mediante una antena dipolar receptora orientada de forma paralela al campo eléctrico, de modo que induce una corriente alterna en la antena.

Antena dipolar eléctrica para la detección de la radiación electromagnética. El campo eléctrico alterno de la radiación produce una corriente alterna en la antena.

También puede detectarse con una antena en forma de espira orientada perpendicular al campo magnético, de forma que el flujo magnético variable que atraviesa la espira induzca una corriente en la misma.

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Antena en forma de espira para detectar la radiación electromagnética. El flujo magnético alterno que atraviesa la espira debido al campo magnético de la radiación, induce una corriente alterna en la misma.La radiación procedente de una antena de dipolo como se muestra en la figura anterior se denomina radiación dipolar eléctrica.

Una característica importante de este tipo de radiación es que la intensidad de la onda electromagnética radiada por una antena dipolar es cero a lo largo del eje de la antena y máxima en la dirección perpendicular al eje de la misma. Si el dipolo está en la dirección y con su centro en el origen como se muestra en la figura

Representación polar de la intensidad de una radiación electromagnética producida por una antena dipolar eléctrica en función del angulo. La intensidad I( ) es proporcional a

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la longitud de la flecha. La intensidad es máxima perpendicularmente a la antena a = 90 y mínima a lo largo de la misma a = 0

La intensidad es nula a lo largo del eje y y máxima en el plano xz. En la dirección de una línea que forme un ángulo con el eje y, la intensidad es proporcional a sen2 .

Ejemplo Para detectar ondas electromagnéticas en las que Eef = 0.15 V/m, se utiliza una antena constituida por una sola espira de alambre conductor de 10 cm de radio. Hallar la fem eficaz inducida en la espira si la frecuencia de la onda es a) 600kHz y b) 600MHz.

La fem inducida en la espira está relacionada con la variación del flujo magnético por unidad de tiempo según la ley de faraday.

a) La ley de Faraday relaciona la magnitud de la fem con la variación del flujo magnético por unidad de tiempo:

=

Calcular dBef/dt a partir de un campo B sinusoidal;

B =Las ecuaciones de ondas para las ondas electromagnéticas se pueden expresar como una superposición de funciones de ondas armónica de la forma

y(x,t) = y0sen(kx – wt) y y(x,t) = y0sen(ky + wt) donde k = 2 π/λ es el numero de ondas y ω = 2 πf es la frecuencia angular

dB/dt =

( dB/dt)ef =

Relacionando Bef con Eef :

Bef = Eef / c

=

b) La fem inducida es proporcional a la frecuencia y por tanto, a 600 Mhz será 100 veces superior que a 600 Khz:

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ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN UNA ONDA ELECTROMAGNETICA.

Como todo tipo de onda, las ondas electromagnéticas transportan energía y cantidad de movimiento. La energía transportada viene descrita por la intensidad, es decir, por la potencia media por unidad de área incidente sobre una superficie perpendicular a la dirección de propagación. La cantidad de movimiento por unidad de tiempo y por unidad de área transportada por una onda electromagnética se denomina presión de radiación.

INTENSIDAD.

La intensidad de una onda es igual al producto de la velocidad de la onda por la densidad energética media, ( eta ).

La densidad energética total de la onda u es la suma de las densidades energéticas eléctricas y magnéticas. La densidad energética eléctrica ue y la correspondiente magnética, um viene dada por:

ue = ½( ) y um = B2/ 2

En una onda electromagnética en el espacio libre, E es igual a cB, de tal modo que podemos expresar la densidad de energía magnética en función del campo eléctrico:

Um =

En donde hemos utilizado c2 = 1/ . Por tanto, las densidades energéticas eléctricas y magnéticas son iguales. Consideramos que E = cB, podemos expresar la densidad energética total en diversas formas útiles :

u = ue + um = ---- Densidad energética de una onda electromagnética Para calcular la densidad energética media , reemplazamos los campos instantáneos E y B por sus valores eficaces Eef = E0 / y Bef = B0 / , en donde E0 y B0 son los valores máximos de los campos. La intensidad es , por tanto:

I = --- Intensidad de una onda

electromagnética.

En donde el vector : S = E x B / Se denomina vector de Poynting,La magnitud media o eficaz de S es la intensidad de la onda y la dirección de S es la dirección de propagación de la onda. Una característica más importante de las ondas electromagnéticas es que son capaces de llevar energía de un punto a otro . El vector

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que nos da la dirección y la magnitud de la rapidez de flujo de energía electromagnética por unidad de área en un punto del espacio es llamado vector de Poynting, las unidades serán en watts / m2.

PRESIÓN DE RADIACIÓN

Consideremos una onda que se mueve a lo largo del eje x e incide sobre una carga estacionaría como se indica en la figura

Supondremos que E se encuentra en la dirección y y B en la dirección z. La partícula experimenta una fuerza qE en la dirección y y, por tanto, es acelerada por el campo eléctrico.

En cualquier instante t, la velocidad en la dirección y es :vy = at = (qE/m)t

Al cabo de un corto tiempo t1 , la carga adquiere una energía cinética igual a:

Ec = ½ mvy2 = ½ ( mq2E2t1

2/ m2) = ½( q2EB/ m)t12 ---------- 1

Al moverse en la dirección y , la carga experimenta una fuerza magnética:

Fm = qv x B = qvyj x Bk = qvyBi = (q2EB/ m)ti

Observando que la fuerza se encuentra en la dirección de propagación de la onda. A partir de Fx = dpx / dt, se puede determinar la cantidad de movimiento px transferido por la onda a la particula en el tiempo t1:

px =

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Teniendo encuesta que B = Ec , resulta:

px = 1/c( ½ *q2E2/m*t12) ----------- 2

Comparando las ecuaciones 1 y 2 vemos que la cantidad de movimiento adquirida por la carga en la dirección de la onda es 1 / c multiplicada por la energía. La magnitud de la cantidad de movimiento transportada por una onda electromagnética es 1 / c multiplicada por la energía que transporta la onda:

p = U / c----- Cantidad de movimiento y energía de una onda electromagnética

Como la intensidad de una onda es la energía por unidad de tiempo y por unidad de área, la intensidad dividida por c es la cantidad de movimiento transportada por la onda por unidad de tiempo y unidad de área . La cantidad de movimiento transportada por unidad de tiempo es una fuerza . La intensidad de onda dividida por c es , pues , una fuerza por unidad de área, que resulta ser una presión. Esta presión se denomina presión de radiación Pr:

Pr = I / c ---- Presión de radiación e intensidad

Podemos relacionar la presión de radiación con los campos eléctricos y magnéticos con el empleo de la ecuación que relaciona I con E y B y la ecuación E = cB para eliminar E o B:

Pr = --- Presión

de radiación en función de E y B.

Ejemplo

Una bombilla eléctrica emite ondas electromagnéticas uniformemente en todas las direcciones. Calcular a) la intensidad, b) la presión de radiación y c) los campos eléctricos y magnéticos a una distancia de 3 mts de la bombilla, suponiendo que se convierten 50 W en radiación electromagnética.

A una distancia r de la bombilla, la energía se distribuye uniformemente a lo largo de un área de 4 r2. La intensidad es la potencia dividida por el área. La presión de radiación se determina a partir de la expresión: Pr = I/c.

a) 1.- I = Pr / Area = 5 W /

2.- Sustituir r = 3 mts: I = 50 W / = 0.442W / m2

b) La presión de radiación es igual a : Pr = I/c = 0.442 W/m2 / 3*108 m/s = 1.47*10-

9 Pa.

c) 1.- B0 está relacionado con Pr por la ecuación : = ( 2(4 *10-

7Tm/A)(1.47*10-9 Pa))1/2 = 6.08*10-8 T

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2.- El valor máximo del campo eléctrico E0 es igual a: E0 = cB0 = ( 3*108 m/s)( 6.08*10-8 T ) = 18.2 V/m.3.- Los campos eléctricos y magnéticos en el punto considerado son de la forma:

E = E0sen y B = B0sen con Eoy B0 ya calculados.

ECUACIONES DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS.

E = E0 sen ( kx – wt ) =

B = B0 sen ( kx – wt )

E/B = c ; B0 = E0/ c

ejemplos

ECUACIONES DE MAXWELL.

Las ecuaciones de Maxwell en forma integral ó diferencial nos resumen en una forma matemática simple los complicados fenómenos electromagnéticos. A partir de estas ecuaciones se obtiene la ecuación de onda que es una de las culminaciones del electromagnetismo, obteniendo como resultado que los campos eléctricos y magnéticos transportan energía electromagnética en forma ondulatoriaLas ecuaciones de Maxwell son:

----- 1

--------------------2

---3

--4

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla:

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Nombre Forma diferencial Forma integral

Ley de Gauss:

Ley de Gauss para el campo magnético:

Ley de Faraday:

Ley de Ampère generalizada:

Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenómeno electromagnético. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeñas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Además Maxwell descubrió que la cantidad era simplemente la velocidad de la luz en el vacío, por lo que la luz es una forma de radiación electromagnética. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magnética se resumen en la siguiente tabla:

Símbolo Nombre Valor numéricoUnidad de medida SI

Tipo

Velocidad de la luz en el vacío

metros por segundo

definido

Permitividadfaradios por metro

derivado

Permeabilidad magnética henrios por metro definido

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La ecuación 1 es la ley de Gauss; establece que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a 1/ veces la carga neta encerrada dentro de la misma. La ecuación 2 es a veces denominada ley de Gauss del magnetismo, establece que el flujo del vector de campo magnético B es cero a través de cualquier superficie cerrada. Esta ecuación describe la observación experimental de que las líneas de campo magnético no divergen de ningún punto del espacio ni convergen sobre ningún otro punto; es decir, esto implica que no existen polos magnéticos aislados.La ecuación 3 es la ley de Faraday; afirma que la integral del campo eléctrico a lo largo de cualquier curva cerrada C, que es la fem, es igual a la variación por unidad de tiempo( con signo negativo) del flujo magnético que atraviesa cualquier superficie S limitada por la curva.La ecuación 4 , es la ley de Ampere con las modificaciones de Maxwell de la corriente de desplazamiento, establece que la integral de línea o circulación del campo magnético B a lo largo de cualquier curva cerrada C es igual a multiplicado por la corriente que atraviesa cualquier superficie limitada por la citada curva más el producto de por la variación respecto al tiempo de flujo eléctrico que atraviesa la superficie. Esta ley describe cómo rodea las líneas de campo magnético a una superficie a través de la cual está pasando una corriente o bien existe un flujo eléctrico variable.

Ecuaciones originales de Maxwell

En el capítulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagnético", Maxwell formuló ocho ecuaciones que las nombró de la A a la H.16Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epíteto lo reciben las ecuaciones que agrupó Heaviside. La versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuación de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sería la ecuación G. Además Heaviside fusionó la ecuación A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampère que en el trabajo de Maxwell era la ecuación C. Esta fusión, que Maxwell por si mismo publicó en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampère para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell.

Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial así:

Denominación Nombre Ecuación

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A Ley de corrientes totales

BDefinición de vector potencial magnético

C Ley circuital de Ampère

D Fuerza de Lorentz

E Ecuación de electricidad elástica

F Ley de Ohm

G Ley de Gauss

H Ecuación de continuidad de carga

donde : es el vector intensidad de campo magnético (llamado por Maxwell como

intensidad magnética), es la densidad de corriente eléctrica y es la corriente total

incluida la corriente de desplazamiento, es el campo desplazamiento (desplazamiento

eléctrico), es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad), es el vector

potencial magnético (impulso magnético), es el campo eléctrico (fuerza electromotriz

(no confundir con la actual definición de fuerza electromotriz)), es el potencial eléctrico y es la conductividad eléctrica (resistencia específica, ahora solo resistencia).

Maxwell no consideró a los medios materiales en general, esta formulación inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, isótropos y no dispersos, a pesar que también se las puede usar en medios anisótropos.

Maxwell incluyó el término en la expresión de la fuerza electromotriz de la ecuación D, que corresponde a la fuerza magnética por unidad de carga en un conductor

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que se mueve a una velocidad . Esto significa que la ecuación D es otra formulación de la fuerza de Lorentz. Esta ecuación primero apareció como la ecuación 77 de la publicación On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicación de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuación adicional fundamental en el electromagnetismo.

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LAS GUÍAS DE ONDAS

El mundo de las comunicaciones está basado en la transmisión de información mediante ondas electromagnéticas (OEM) entre un emisor y un receptor. Fundamentalmente podemos dividir esta transmisión en dos tipos fundamentales:

A través de un cable o guía de ondas (GdO).

Radiación de OEM a través del aire, el espacio libre o de un medio dieléctrico.

La búsqueda de canales con baja atenuación y la necesidad de enviar señales con un ancho de banda cada vez mayor ha hecho que las GdO, que son el objeto de estudio de este proyecto, jueguen un papel cada vez más importante en del conjunto de medios físicos para la comunicación. La televisión por cable, la telefonía, Internet, etc. obligan a un uso cada vez mayor de GdO, en particular de fibras ópticas.

Se llama GdO a cualquier estructura, o parte de una estructura, que hace que una OEM se propague en una dirección determinada, con algún grado de confinamiento en el plano transversal a la dirección de propagación. El guiado de las ondas se consigue debido a la conexión entre los campos y las cargas o corrientes en los contornos o bien por condiciones de reflexión en los límites. Su origen se sitúa en los años 30 cuando se empezaron a utilizar en radares y emisoras de radio de frecuencias de microondas.

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La estructura y el material de construcción de les GdO depende de la frecuencia de les ondas que deben transportar. Para frecuencias del orden de las microondas son habitualmente sistemas abiertos o cerrados de conductores metálicos. A frecuencias ópticas se utilizan GdO dieléctricas.

Todas ellas presentan la característica común de que, si la frecuencia es suficientemente alta, diversas configuraciones de los campos eléctrico y magnético (los llamados modos) se pueden propagar en la misma guía simultáneamente, aunque con diferentes velocidades. La estructura de estos modos es a menudo bastante complicada y difícil de visualizar debido a su estructura tridimensional.

El objetivo de este proyecto es precisamente la visualización gráfica de estos modos para una guía de ondas rectangular de paredes conductoras.

Es necesario comentar también que todas las GdO tienen una frecuencia de corte por debajo de la cual la transmisión es imposible. Esta frecuencia es inversamente proporcional a la dimensión transversal de la guía. Esto produce que sean factibles para la transmisión de señales de frecuencias a partir de 1GHz (microondas) ya que a frecuencias menores requerirían unas dimensiones demasiado grandes.

Guía de ondas rectangular

La GdO rectangular de paredes conductoras es la más importante de les GdO en forma de tubo. Consideramos una región dieléctrica de ancho a y altura b que se extiende indefinidamente en la dirección axial (z) y que está totalmente cerrada por paredes conductoras.

Con el objetivo de encontrar los modos de la GdO se tiene que encontrar la solución de las ecuaciones de Maxwell bajo las condiciones de contorno

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impuestas por las características de la guía. Se supone que la región dieléctrica limitada por los conductores no tiene pérdidas y por tanto la densidad de

corriente eléctrico en el su interior es nula, . La dependencia en la posición y el tiempo de los campos que consideramos es:

donde usamos la habitual notación compleja y el superíndice + (-) indica una OEM que se propaga en el sentido positivo (negativo) del eje z.

Las ecuaciones de Maxwell que gobernaran el comportamiento de las ondas son:

donde son respectivamente el campo eléctrico, el vector de inducción magnética, el campo magnético y el desplazamiento eléctrico. A partir de estas ecuaciones se llega a las ecuaciones de onda vectoriales:

donde son la permisividad eléctrica y la permeabilidad magnética del medio dieléctrico, respectivamente.

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Las soluciones de estas ecuaciones se pueden descomponer en clases que reciben el nombre de modos y que pueden ser, en general, de los siguientes tipos:

Modos transversales magnéticos (TM) en los cuales .

Modos transversales eléctricos (TE) en los cuales .

Modos transversales electromagnéticos (TEM) en las que tanto

como .

En las GdO vacías como las que estudiaremos aquí se puede demostrar que no existen los modos TEM, que por otra parte son los dominantes en los sistemas de dos conductores, como los cables coaxiales.

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