ejercicios propuestos y resueltos total

Modelos Básicos Propuestos y Resueltos

1 Resolución de Modelos Básicos

1.1 Planificación de Recursos

Producto A A

B

C

A

B

C

A

B

C

Recursos en Serie

Producto B

Producto C

Producto A A

B

C

Recursos en Paralelo

Producto B

Producto C

Producto A A

B

C

Producto B

Producto C

Recu

rso 1

Recu

rso 2

Recu

rso 3

Recu

rso 1

Recu

rso 2

Ilustración 1: Recursos en Serie o en Paralelo

El siguiente problema muestra la diferencia entre ambas definiciones. Una fábrica que

elabora tres tipos de teléfonos: celulares, inalámbricos y fijos. Las utilidades de los teléfonos

son de $50, $20 y $25 respectivamente. Para elaborar un teléfono éste debe pasar de forma

consecutiva o en serie por las tres máquinas uno, dos y tres, las cuales pueden trabajar un

máximo de 10 horas, 20 horas y 22 horas diarias respectivamente. La productividad de cada

máquina, expresada en unidades por hora, se muestra en la Tabla 1.

Tabla 1: Productividad de las Máquinas

Celulares Fijos Inalámbricos

Máquina 1 9 3 5

Máquina 2 5 4 1

Máquina 3 3 1 2

La formulación de este problema se desarrolla a continuación.

Variables de decisión:

c : números de teléfonos celulares a producir.

y : números de teléfonos inalámbricos a producir.

f : números de teléfonos fijos a producir.

Maximizar: z = fyc 252050

Sujeto a:

2

10539

yfc

2045

yfc

2223

yf

c

c, y, f 0

Si la elaboración de teléfonos se puede realizar en cualquiera de las tres máquinas que

dispone la fábrica, el número de decisiones aumenta pues se debe determinar en cuál

máquina producir qué modelo de teléfono. La formulación de este problema como un

programa lineal requiere una combinación de variables de tipo de teléfono en cada máquina,

pues se pueden producir en paralelo.


ci = números de teléfonos celulares a producir en la máquina i

yi = números de teléfonos inalámbricos a producir en la máquina i

fi = números de teléfonos fijos a producir en la máquina i

i = 1, 2, 3.

Maximizar: z = 3

1

3

1

3

1

252050i

i

i

i

i

i fyc

Sujeto a:

10539

111 yfc

2045

222 y

fc

2223

33

3 yf

c

0,, iii fyc

1.2 Satisfacción de Receta

Los problemas de satisfacción de recetas, también denominados de satisfacción de dieta,

consisten en buscar la combinación de recursos que satisfacen de la forma más eficiente un

conjunto de requerimientos.

Un ejemplo de satisfacción de receta es el problema de un restaurante que ofrece tres tipos

de menú: J, K y L. Cada uno tiene distinto costos y cantidades de canapés, pasteles, jugos y

bebidas. Se desea entregar el servicio más barato que cumpla con las exigencias que se

entregan en la

Tabla 2.

3

Tabla 2: Exigencias de Menús

Menú J Menú K Menú L Mínimo requerido

Canapés 10 5 15 500

Pasteles 5 3 5 350

Jugos 2 1 - 100

Bebidas - 1 2 120

Costo 500 200 800

Para resolver este problema se definen:


j : cantidad de menú J a comprar

k : cantidad de menú K a comprar

l : cantidad de menú L a comprar

Minimizar: z = 500 j +200 k +800 l

Sujeto a:

10 j +5 k +15 l 500

5 j + 3 k + 5 l 350

2 j + k 100

k + 2 l 120

j, k, l 0

2 Otros Tipos de Problemas

2.1 Un panadero al comienzo del día debe decidir la cantidad de kilogramos de Baguette y

Marraqueta que producirá hoy. Se sabe que el margen de utilidad que obtiene por la

marraqueta es de $10 por kg. mientras que el de baguette es de $15 por kg. Los

insumos utilizados para la producción de pan en general son harina y levadura, además

de la utilización de un horno especial, el cual es compartido en la producción de

marraquetas y baguettes. La Tabla 3 muestra las cantidades de cada insumo que se

deben utilizar para la producción de un kg. de marraqueta o baguette:

Tabla 3: Insumos por Producto

Harina Levadura Minutos de horno

Marraqueta 0.9 0.1 15

Baguette 0.8 0.2 12

La panadería dispone de 1000 kg. de harina y 400 kg. de levadura diariamente, además

el horno puede trabajar durante 10 horas al día.

Dadas las características del proceso productivo, la cantidad de marraqueta que se

produzca debe ser mayor o igual a la cantidad de baguette. Asumiendo que el objetivo

del panadero es maximizar la utilidad por la venta de pan, modele el problema planteado.

4

Solución:


xm : producción diaria de marraquetas

xb : producción diaria de baguettes

Maximizar: z = 10 · xm +15 · xb

Sujeto a:

xb xm

0,9 xm + 0,8 xb 1000

0,1 xm + 0,2 xb 400

0,25 xm + 0,2 xb 10

xm, xb 0

2.2 Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero apostado entre cuatro

opciones diferentes. El juego tiene tres desenlaces posibles. La Tabla 4 indica la

ganancia, o pérdida, correspondiente por cada peso depositado en cada una de las

cuatro opciones de los tres resultados.

Tabla 4: Ganancia o Pérdida por Resultado y Opción

Resultado Opción 1 Opción 2 Opción 3 Opción 4

A –3 4 –7 15

B 5 –3 9 4

C 3 –9 10 –8

El jugador tiene un total de $500, que puede jugar sólo una vez. El resultado A tiene un

30% de probabilidad de ocurrencia, el resultado B un 25% y el resultado C un 45%.

Formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar la riqueza.

Solución:


xi = monto de dinero a jugar en la opción i, i = 1, 2, 3, 4.

Maximizar: z = 0,3 · (–3 x1 + 4 x2 – 7 x3 +15 x4) + 0,25 · (5 x1 – 3 x2 +9 x3 + 4 x4)

+ 0,45 · (3 x1 – 9 x2 + 10 x3 – 8 x4)

Sujeto a:

x1 + x2 + x3 + x4 500

x1, x2, x3, x4 0

5

2.3 Un centro de distribución despacha bebidas en envases de medio, uno y dos litros. Se

sabe que las ventas máximas son de 40 mil unidades de medio litro, 80 mil unidades de

un litro y 50 mil unidades de dos litros al mes. La capacidad de la flota es de 180.000

litros al mes y no se pueden transportar más de 10.000 litros de unidades de litro. Los

márgenes unitarios para las unidades de medio, uno y dos litros son de $251, $207 y

$303 respectivamente.

a) Formule el problema mediante programación lineal identificando variables, función

objetivo y restricciones.

b) ¿Cómo modelaría el hecho que la empresa debe despachar como mínimo un 10% de

su capacidad?

c) ¿Cómo queda la función objetivo si la utilidad de las unidades de medio litro es el

doble que la de dos litros, pero la mitad de la utilidad de las unidades de un litro?

Solución:

a) Variables de decisión:

m: Unidades de bebidas de medio litro.

u: Unidades de bebidas de un litro.

d: Unidades de bebidas de dos litros.

Maximizar: z = 251 m + 207 u + 303 d

Sujeto a:

m 40.000

u 80.000

d 50.000

0,5 m + 1 u + 2 d 180.000

u 10.000

m, u, d 0

b) 0,5 m + 1 u + 2 d 18.000

c) Maximizar: z = 4 u + 2 m + d

2.4 Una imprenta produce afiches para cuatro partidos políticos durante la campaña

electoral. Cada partido tiene sólo un diseño para su afiche. Para imprimir cada diseño,

se pueden usar de uno a cuatro colores de tinta. La cantidad de tinta (en mililitros)

usados para imprimir cada uno de los afiches se resume en la Tabla 5.

Tabla 5: Requerimiento de Tinta para Afiches

Rojo Azul Amarillo Negro

Liberal 70 140 50 60

Democrático 0 80 90 100

Verde 0 10 10 100

Independiente 0 0 0 50

6

Los costos de trabajo de producir cada afiche depende del número de colores usados:

$70 por el uso de 1, $210 por el uso de 2, $350 por el uso de 3 y $420 por el uso de 4.

El costo de la tinta por litro es de $7, $21, $35 y $42 para el rojo, azul, amarillo y negro

respectivamente. Los precios pagados por cada afiche son de $2.800, $2.100, $1.400 y

$700 por el partido Liberal, Democrático, Verde e Independiente respectivamente.

La cantidad de tinta disponible cada día son: 300 litros de tinta roja, 100 litros de tinta

azul, 150 litros de tinta amarilla, y 500 litros de tinta negra. Los números de afiches

requeridos cada día por el partido Liberal es a lo menos 300. Los otros partidos quieren

cuantos pueda producir la imprenta.

El costo del papel por cada afiche es $119. Por razones políticas internas de la empresa,

se ha decidido proveer al partido independiente con al menos el doble de los afiches que

la suma de los otros tres partidos. Plantee el problema para ver cómo la imprenta

maximizaría su utilidad.

Solución:


l : cantidad de afiches a producir para el partido Liberal

d : cantidad de afiches a producir para el partido Democrático

v : cantidad de afiches a producir para el partido Verde

i : cantidad de afiches a producir para el partido Independiente

Maximizar: z = 2253,30 l + 1621,97 d + 926,24 v + 508,90 i

Sujeto a:

70 l 300.000

140 l + 80 d + 10 v 100.000

50 l + 90 d + 10 v 150.000

60 l + 100 d + 100 v + 50 i 500.000

l 300

i 2 (d + l + v)

d , v , i 0

2.5 Suponga que cocinará una gran cazuela de peso mínimo 100 kgs. La cazuela debe

cumplir con ciertos requisitos en su composición nutricional: tener un contenido en

materia grasa de al menos 0,8% y no más de 1,2%, en fibra no menor que un 22%, y

no más de 5% de almidón. Suponga además que los principales ingredientes a utilizar

son verduras, carnes y papas. En la tabla 6 se resumen los contenidos de cada

ingrediente. Se pide formular el problema para determinar la mezcla óptima de los

ingredientes para preparar la cazuela con los nutrientes requeridos al mínimo costo.

Tabla 6: Nutrientes y Costo de Ingredientes

Porcentaje de nutrientes por kilo de Ingrediente Costo [$] por kilo

Ingrediente Grasa Fibra Almidón

7

Carne 0,38 0,00 0,00 0,0164

Papas 0,001 0,09 0,02 0,0463

Verduras 0,002 0,5 0,08 0,125

Solución:

Variables de Decisión:

xi [kgs.]: cantidad de carne, papas y verduras para producir la mezcla.

Minimizar: z = 0,0164 xc + 0,0463 xp + 0,125 xv

Sujeto a:

xc + xp + xv 100 Lote diario

0,38 xc + 0,001 xp + 0,002 xv 1,2 (xc + xp +xv) Grasa

0,38 xc + 0,001 xp + 0,002 xv 0,8 (xc + xp +xv) Grasa

0,02 xp + 0,08 xv 5 (xc + xp +xv) Almidón

0,09 xp + 0,5 xv 22 (xc + xp +xv) Fibra

xc, xp, xv 0 No negatividad

2.6 Una empresa de construcción y dispone de un terreno de 800 há no urbanizadas. De

acuerdo al plan de la comuna usted puede construir casas para 1, 2 ó 3 familias, donde

las casas de 1 familia constituyen por lo menos el 50% del total de los inmuebles

construidos. Estudios técnicos señalan que el 15% de los terrenos se utilizan en calles

y vías de acceso. La casa sencilla se espera tenga un precio de venta de 10.000UF, la

casa doble de 15.000UF y la triple en 20.000UF. Para limitar el uso de estanque de

residuo de alcantarillados de las casas se requieren terrenos con tamaños de 2, 3 y 4 há

para casas de 1, 2 y 3 familias respectivamente. El costo de conexión del servicio de

agua potable es proporcional al número de casas que se construya, el cual debe ser

como mínimo de 100.000UF. La empresa de agua potable también ha señalado que

puede proporcionar a dichas casas un máximo de 200.000 m3 por día durante los

períodos de prueba. El costo de conexión y el gasto promedio de las casas se indica

en la Tabla 7. Plantee el modelo que permita maximizar utilidad.

Tabla 7: Costo de Conexión y Gasto Promedio de Casas

Tipo de Construcción A B C

Costo de Conexión [UF] 1000 1200 1400

Consumo [m3] 400 600 840

Solución:

Variables de Decisión

a: número de casas sencillas

b: número de casas dobles

c: número de casas triples

Maximizar: z = 10.000 a +15.000 b + 20.000 c - (1000 a + 1200 b +1400 c)

Sujeto a:

2 a +3 b + 4 c 680 (85% de 800) Disponibilidad de Terreno

8

1.000 a + 1.200 b +1.400 c 100.000 Agua potable

400 a + 600 b + 840 c 200.000 Consumo

a 0.5 (a + b + c) a - b - c 0 Construcción de casas

a, b, c 0 No negatividad

2.7 Un taller especializado en el pintado de buses y camiones desea maximizar sus

utilidades mensuales. El taller trabaja 250 horas a la semana. Para el pintado de cada

bus son necesarias 3 horas, en tanto que es posible pintar 2 camiones en una hora. La

utilidad por vehículo pintado, los requerimientos de pintura y la demanda máxima se

muestran en la Tabla 8.

Tabla 8: Utilidad de Buses y Camiones, Requerimientos de Pintura y Demanda

Utilidad por

vehículo pintado

Pintura necesaria

por vehículo

Demanda máxima

mensual

Bus $5 15 litros 26 buses

Camión $7 20 litros 24 camiones

Si el costo de cada litro de pintura es de $30 y el taller dispone de un presupuesto semanal

máximo de $2.500 para gasto en pintura, se pide:

a) Modele este problema definiendo las variables como las horas de trabajo destinadas a

pintar cada tipo de vehículo.

b) Modele este problema definiendo las variables como el porcentaje del presupuesto

destinado a pintar cada tipo de vehículo.

Solución:

a) Variables:

b: horas destinadas a pintar buses semanalmente

c: horas destinadas a pintar camiones semanalmente

Maximizar: z = 5b/3+ 7c 2

Sujeto a:

b+ c 250 Horas trabajadas

b/3 26/4 Demanda

2 c 24/4 Demanda

30 15 b/3 +20 30 2 c 2500 Presupuesto

c, b 0 No Negatividad

b) Variables:

xb: porcentaje del presupuesto destinado a pintar buses semanalmente

xc: porcentaje del presupuesto destinado a pintar camiones semanalmente

Maximizar: z = 5 xb 2500 / (15 30) + 7 xc 2500 / (30 20)

Sujeto a:

xb 2500 3 / (15 30) + xc 2500 / (30 20 2) 250

xb 2500 / (15 30) 26/4

xc 2500 / (30 20) 24/4

9

xc + xb 1

xc, xb 0

2.8 Un exportador de peras, manzanas y uvas requiere de temporeros para la cosecha y el

packing de las frutas, y también de cajas para dicho packing. Actualmente cuenta con

30 personas que disponen de 50 horas cada uno para realizar el trabajo de cosecha y

otras 60 horas cada uno para realizar el trabajo de packing.

Cada caja de peras, manzanas y uvas se vende a $3000, $2500 y $4000 respectivamente.

El costo directo de una caja es de $150 pesos y se cuenta con un presupuesto de

$87.000 para dicho insumo. Además se cuenta con la información de la Tabla 9 a

continuación.

Tabla 9: Información para el Exportador de Fruta

Cosecha

(minutos/kilo)

Packing

(cajas/hora)

Capacidad caja

(kilos/caja)

Peras 4 20 25

Manzanas 2 10 20

Uvas 5 5 10

Se estima que no hay restricción en la demanda por manzanas y uvas, pero que a lo más

se venderán 100 cajas de peras. Modele como un problema lineal de modo de maximizar

la utilidad.

Para esto, defina las variables de decisión como:

p : los kilos de peras a vender

m : el tiempo dedicado a cosechar manzanas

u : % del presupuesto de las cajas destinados a empaquetar uvas

Solución:

Maximizar:

z = 3000·0,04 p + 2500·0,025 m + 4000·580 u – 150·(0,04 p +0,025 m +580 u)

Sujeto a:

4·25·0,04 p + 2·20·0,025 m + 5·10·580 u 90.000 Tiempo cosecha

0,05 · 0,04 p + 0,1· 0,025 m + 0,2 · 580 u 1800 Tiempo de packing

0,04 p + 0,025 m + 580 u 580 Presupuesto

p 2500 Máxima demanda peras

p, m, u 0 No negatividad

10

2.9 Una panadería produce marraquetas, hallullas y pan especial, para lo cual necesita dos

procesos. El primero es la preparación de las masas, a cargo de 15 panaderos, quienes

tienen una disponibilidad semanal de 50 horas cada uno. El segundo proceso es el

horneado de las masas, para lo cual se tiene dos hornos con una capacidad de

utilización semanal máxima de 60 horas cada uno

El precio del kilo de marraquetas, hallullas y pan especial son respectivamente de $ 450,

$390 y $600; y sus costos directos de producción respectivos son $160, $140 y $190

por kilo. Para cubrir los costos de producción se cuenta con un presupuesto de

$950.000. Además se cuenta con la información de la Tabla 10 para cada tipo de pan.

Por ejemplo, cada horno puede procesar 60 kilos de marraqueta para lo cual requiere de

40 minutos de cocción.

Tabla 10: Datos de Cada Tipo de Pan

Preparación Masa

[Kilos/Hora]

Horneado Masa

[Minutos]

Capacidad de cada

Horno [Kilos]

Marraquetas 12 40 60

Hallullas 9 30 30

Pan Especial 6 75 25

Al mismo tiempo se sabe que la demanda mínima entre hallullas y marraquetas es de

1600 kilos y que históricamente, no se venden más de 3800 kilos de marraquetas ni más

de 2500 kilos de pan especial. Conjuntamente, la panadería tiene una política de que la

producción de pan especial debe ser al menos un cuarto de la producción total de

hallullas y marraquetas sumadas.

Modele como un problema lineal de modo de maximizar las utilidades de la panadería.

Para esto se definen las siguientes variables:

m : Minutos dedicado a hornear marraquetas semanalmente

h : Minutos dedicado a la preparación de la masa de las hallullas

e : % del presupuesto semanal destinado a la producción de pan especial.

Solución:

Maximizar: z = (450 – 160) · 1,5 · m + (390 – 140) · 0,15 · h + (600 – 190) · 5000 · e

Sujeto a:

(60 / 12) · 1,5 · m + (60 / 9) · 0,15 · h + (60 / 6) · 5000 · e ≤ 45.000

Restricción tiempo panaderos

(40 / 60) · 1,5 · m + (30 / 30) · 0,15 · h + (75 / 25) · 5000 · e ≤ 7200

Restricción tiempo horneado

160 · 1,5 · m + 140 · 0,15 · h + 190 · 5000 · e ≤ 950.000

Restricción presupuestaria

1,5 · m + 0,15 · h ≥ 1.600 Mínima demanda hallullas y marraquetas

1,5 · m ≤ 3.800 Máxima demanda Marraquetas

5000 · e ≤ 2.500 Máxima demanda pan especial

4 · 5000 · e ≥ 1,5 · m + 0,15 · h Política de producción

m, h, e ≥ 0 No negatividad

11

2.10 Suponga que el cuerpo de Carabineros quiere maximizar su dotación total, que

consiste en el número de efectivos motociclistas, número de efectivos destinados a

radiopatrullas y número de efectivos a pie. Su objetivo debe cumplirse sujeto a un

conjunto de condiciones de diversa índole. Desde el punto de vista de la seguridad:

Debe resguardarse una población de por lo menos 3 millones de habitantes.

El número mínimo de efectivos dedicados a la seguridad debe ser de 3000.

Se debe tener capacidad para realizar un mínimo de 1000 arrestos al mes.

El tiempo necesario por cada efectivo a pie para realizar una ronda es de 4 horas, y

cada uno de ellos trabaja 8 horas al día.

Respecto del control de tránsito:

El porcentaje de efectivos dedicados a tránsito debe ser al menos un 30% del total

del cuerpo de Carabineros.

También existen requerimientos de participación en ceremonias oficiales tales como

desfiles y convenciones:

Asumiendo que cada efectivo no puede participar en más de una ceremonia al año, la

institución debe participar en por lo menos 20 ceremonias anualmente.

No pueden haber menos efectivos motociclistas que los destinados a radiopatrullas.

Aspectos operacionales:

Por cada 4 efectivos destinados a radiopatrullas no debe haber más que 2 efectivos

motociclistas.

Debe haber por lo menos 4 efectivos a pie por cada 3 efectivos motociclistas.

La proporción entre efectivos destinados a radiopatrullas y efectivos a pie no puede

ser inferior a ½.

La diferencia entre efectivos a pie y efectivos motociclistas debe ser mayor o igual

que 500.

Cada una de las 1.000 motos disponibles requiere de por lo menos 1,2 efectivos

motociclistas, en tanto que cada una de los 500 radiopatrullas disponibles requiere de

por lo menos 3 efectivos dedicados.

Restricciones presupuestarias:

El presupuesto anual de la institución para sueldos brutos es de 500 millones de

pesos al año.

El presupuesto de operación, que es independiente al de sueldos, alcanzaría para

disponer en forma exclusiva de 3000 efectivos motociclistas, 1000 efectivos

destinados a radiopatrullas ó 5000 efectivos a pie.

Plantee el programa lineal que describe esta situación, considerando los datos

presentados en la Tabla 11.

12

Tabla 11: Datos sobre Tipos de Efectivos de Carabineros

Efectivos

motociclistas

Efectivos en

radiopatrullas

Efectivos a

pie

Porcentaje de efectivos dedicados a tránsito 30% 10% 40%

Porcentaje de efectivos dedicados a la seguridad 40% 50% 30%

Población resguardada por cada efectivo

dedicados a la seguridad [habitantes / efectivo]

300 500 200

Sueldo bruto [$/(efectivo mes)] 500.000 600.000 300.000

Tasa de arrestos [arrestos/(efectivo mes)] 2 3 2

Necesidad de efectivos en cada ceremonia

[efectivos / ceremonia]

10 20 100

Solución:


m. número de efectivos en motocicletas

r: número de efectivos en radiopatrullas

p: número de efectivos a pie

Maximizar: z = m + r + p

Sujeto a:

300 hab/efectivo 0,4 m efectivos + 500 0,5 r + 200 0,3 p 3 MM.

0,4 m + 0,5 r + 0,3 p 3.000

2 0,4 m + 3 0,5 r + 2 0,3 p 1000

0,3 m + 0,1 r + 0,4 p 0,3 m + r + p

m 10 20

r 20 20

p 100 20

m – r 0

2 r – 4 m 0

3 p – 4 m 0

2 r – p 0

p – m 500

m 1,2 efectivos / moto 1000 motos

r 3 efectivos / radiopatrullas 500 radiopatrullas

12 500.000 $ al mes/ efectivo m + 600.000 r + 300.000 p 500 MM

m/3000 + r/1000 + p/5000 1

13

m,r, p >=0

2.11 El dueño de un fundo que produce uvas debe decidir la cantidad de fertilizantes que va

a comprar para aplicar en su campo, de manera de obtener el mayor rendimiento

posible de la tierra y así maximizar sus utilidades. Existen dos tipos de mezclas de

fertilizantes disponibles en el mercado, A y B, las cuales contienen tres tipos de

minerales en distintas concentraciones, como se muestra en la Tabla 12.

Tabla 12: Concentración de Minerales

Nitrógeno Fósforo Potasio

Mezcla A 64% 5% 31%

Mezcla B 25% 65% 10%

Es decir, cada Kg. de la mezcla A contiene 640 grs. de Nitrógeno (N), 50 grs. de

Fósforo (P) y 310 grs. de Potasio (K).

El rendimiento de uvas por hectárea puede explicarse según la Tabla 13.

Tabla 13: Rendimiento de Uvas

Tipo Mezcla Rendimiento por hectárea (Kgs.

de uva por cada Kg. de mezcla)

Mezcla A 30

Mezcla B 20

Es importante que los minerales se encuentren balanceados en la tierra, por lo cual debe

cumplirse que por cada Kg. de Fósforo que se aplica a la tierra no puede aplicarse más

de 3 Kg. de Nitrógeno. Además se ha determinado que cuando se usan los dos tipos de

mezcla en un campo debe cumplirse que por cada Kg. de mezcla B debe haber al menos

2 Kg. de mezcla A.

Las mediciones que se han hecho a la tierra destinada a cultivos de uva han mostrado

que ésta tiene un pH (grado de acidez) igual a 7. Como la uva es una especie sensible a

la acidez de la tierra, se ha determinado que ésta no puede tener un pH menor a 5. Se

sabe que por cada Kg. de Nitrógeno aplicado por hectárea, el pH de la tierra baja en

0,005 y por cada Kg. de Fósforo aplicado por hectárea el pH sube en 0,003.

La uva es exportada a EE.UU. y el productor recibe por ella $300 por kilo.

Los costos de las mezclas de fertilizante se muestran en la Tabla 14.

Tabla 14: Costos de las Mezclas

Mezcla Costo [$/Kg.]

A $310

B $260

14

Considerando todos los datos anteriores, modele este problema como programación

lineal para maximizar las utilidades del fundo, considerando que las variables son los

kilos de mezcla A y de mezcla B a comprar.

Solución:


a [Kg]: cantidad que se compra de la mezcla A

b [Kg]: cantidad que se compra de la mezcla B

Variables auxiliares:

N [Kg.]: Kg. de Nitrógeno

P [Kg.]: Kg. de Fósforo

K [Kg.]: Kg. de Potasio

Maximizar: z = $300 (30 a + 20 b) – ($310 a + $260 b)

Sujeto a:

0,003 P – 0,005 N -2 0,003 (0,05 a + 0,65 b) – 0,005 (0,64 a + 0,25 b) -2

Restricción de PH

3 P N 3 (0,05 a + 0,65 b ) (0,64 a + 0,25 b)

Restricción de minerales

a 2 b Restricción de mezclas

a, b 0 Restricción de no negatividad

2.12 Un dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. Él

puede adquirir manteles a un costo de $20 cada uno, y después de haberlos usado

puede mandar los manteles sucios a lavar, para lo cual tiene dos servicios de

lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda un día) que cuesta $15 por cada

mantel, y otro normal (tarda 2 días) que cuesta $8 por mantel. Formule un modelo que

permita determinar cuántos manteles se deben comprar inicialmente y cuántos se

deben mandar a lavar cada día de manera de minimizar costos.

Solución:

Variables de Decisión

x: Cantidad de manteles comprados (sólo se puede comprar 1er día)

r: Cantidad de manteles lavados en servicio rápido en 1er día

n: Cantidad de manteles lavados en servicio normal en 1er día

s: Cantidad de manteles lavados en servicio rápido en 2do día

Minimizar:

z = 20 x + 15 r + 8 n + 15 s

Sujeto a:

x – 40 + r 60

15

x – 40 + r – 60 + n + s 70

70 x 170

r + n + s 100

r + n 40

s 70

x,r,n.s

2.13 Una bodega produce tres tipos de vinos de alta calidad: Cabernet Sauvignon, Merlot y

Premium, siendo este último una mezcla de los dos primeros. Para poder producir los

vinos debe decidir cuántas cajas de uva debe comprar. Los viñedos de donde

provienen dichas uvas determinan el porcentaje de vino de alta calidad que se puede

extraer, así como el tipo de vino, información expresada en la Tabla 15. El resto del

vino se vende a productores de vino corrientes, a $300 pesos el litro, sin importar de

cuál viñedo provino.

Tabla 15: Datos de los Viñedos

Viñedo A Viñedo B

Tipo de vino Cabernet Sauvignon Merlot

Costo por caja $400 $600

Rendimiento por caja 200 litros 400 litros

Costo de proceso por caja $350 $500

% de alta calidad extraíble 40% 50%

Para obtener la mezcla Premium que distingue a la marca, se deben usar 2 partes de

Merlot por cada parte de Cabernet Sauvignon.

De acuerdo a los precios y demandas que se muestran en la Tabla 16 modele el problema

lineal que permitirá buscar la maximización de utilidades.

Tabla 16: Información de Demanda

Hint: modele el problema con cuatro variables

Solución:

Cabernet Sauvignon Merlot Premium

Litros por unidad 1 1 1

Precio por unidad $2500 $2400 $2200

Demanda de unidades Máx 10.000 Min. 5.000 Entre 2000 y 9000

16

Variables de decisión: (6 puntos)

ac : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Carmenere

as : Cajas de uva compradas en el terreno A para producir Cabernet Sauvignon

bc : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Carmenere

bm : Cajas de uva compradas en el terreno B para producir Merlot

Variables auxiliares:

S : 200 · 0.4 · as : litros de vino Cabernet Sauvignon

M : 400 · 0.5 · bm : litros de vino Merlot

C : 200 · 0.4 · ac + 400 · 0.5 · bc : litros de vino Carmenere

Maximizar:

z = 2500 · 80 as + 2400 · 200 bm + 2200 · (80 ac + 200 bc ) – 750 · (as + ac)

– 1100 · (bm + bc) + 300 · (120as + 120ac + 200bm + 200bc)

Sujeto a:

2 · 80 ac = 200 bc Mezcla del Carmenere

80 as 10000 Demanda máxima de Cabernet Sauvignon

200 bm 5000 Demanda mínima de Merlot

2000 80 ac + 200 bc 9000 Demanda de Carmenere

as, ac, bm, bc 0 No negatividad

2.14 La refinería de petróleo “MÄRKLIN” tiene actualmente en stock dos tipos petróleo:

3000 litros del tipo DB y 2000 litros del tipo DR. La empresa debe ocupar este stock

en un período máximo de dos años, para lo cual tiene dos opciones: producir bencina

o parafina.

Dados los procesos de refinamiento con 4 litros del tipo DB se produce 1 litro de

bencina, y con 1 litro del tipo DB se obtienen 5 litros de parafina. Se obtienen 8 litros de

parafina con 1 litro de DR, y se requieren 3 litros de DR para producir 1 litro de bencina.

Por cada litro de parafina vendido se obtiene una utilidad de $10 el primer año y de $15

el segundo; por cada litro de bencina la utilidad es de $70 el primer año y $110 el

segundo.

Para cumplir con regulaciones de la empresa deben respetarse las siguientes condiciones:

i) Por lo menos la mitad de petróleo tipo DB debe destinarse a bencina.

ii) Al menos el 30% de petróleo tipo DR debe procesarse el segundo año.

iii) No se puede producir más de 15 litros de parafina en cada año.

iv) Debe producirse al menos 170 litros de bencina.

Modele el siguiente problema de decisión como programa lineal.

17

Solución:


DBbi: litros de petróleo del tipo DB destinados a bencina en el año i

DRbi: litros de petróleo del tipo DR destinados a bencina en el año i

DBpi: litros de petróleo del tipo DB destinados a parafina en el año i

DRpi: litros de petróleo del tipo DR destinados a parafina en el año i

Tabla 17: Variables de Decisión

DB DR

Año 1 Año 2 Año 1 Año 2

Bencina DBb1

DBb2

DRb1

DRb2

Parafina DBp1

DBp2

DRp1

DRp2

Relaciones: 1 litro de DB = 5 litros de parafina

1 litro de DB = 1/4 litros de bencina

1 litro de DR = 8 litros de parafina

1 litro de DR = 1/3 litros de bencina

Maximizar:

z = 10(5DBp1

+ 8DRp1) + 15(5DBp

2 + 8DRp

2) + 70(DBb

1 /4 + DRb

1/3) +

110(DBb2/4 + DRb

2/3 )

Sujeto a:

i) DBb1

+ DRb2

1500 (0.5 3.000)

ii) DRb2

+ DRp2

600 (30% de 2.000)

iii) 5DBp1

+ 8DRp1

15

5DBp2

+ 8DRp2 15

iv) DBb1/4 + DRb

1/3 +DBb

2/4 + DRb

2/3 170

DBb1 + DBb

2 +DBp

1 + DBp

2 = 3000

DRb1 + DRb

2 +DRp

1 + DRp

2 = 2000

DRbi, DRp

i, DBb

i, DBp

i 0 para i = 1,2

2.15 Suponga que usted dispone de 800 puntos para apostar en la inscripción de los ramos

mínimos A y B, y de los ramos optativos C y D. Los ramos A y C son de la rama de

Economía en tanto que B y D son de Administración. La probabilidad de ser aceptado

en un ramo es lineal respecto del número de puntos apostados: probabilidad = 0 si se

apuesta 0 puntos, y probabilidad = 1 si se apuestan 500 puntos en el caso de los ramos

mínimos, y 300 en el caso de los optativos. Se sabe que el ramo B demanda 10 horas

semanales de estudio, un tercio de lo que requiere A y el doble de lo que requiere C,

en tanto que D requiere un sexto de lo que demanda A.

La asignación de puntos debe respetar las siguientes condiciones:

El valor absoluto de la diferencia entre puntaje asignado a los ramos económicos y el

puntaje asignado a los ramos administrativos no puede superar el 25% del total de

puntaje apostado. (debe transformar la expresión de “valor absoluto” a fórmulas

lineales, es decir, no puede ocupar el símbolo “|”)

18

El puntaje asignado a los ramos mínimos al menos debe duplicar al puntaje asignado

a los optativos.

La probabilidad de ser aceptado en un ramo mínimo no puede ser inferior al 20%.

Por cada punto apostado al ramo D la escuela subsidia en 0,5 puntos la

disponibilidad de puntos del alumno, si bien el total de puntos apostados a D no

puede superar 300.

El valor esperado de horas semanales de estudio debe ser no superior a 60.

Plantee el programa lineal que asigna de manera óptima los puntos, considerando que

usted valora en el doble el ser aceptado en un ramo mínimo que en uno optativo.

Maximizar:

2 a/500 + 2 b/500 + c/300 + d/300

Sujeto a:

a 500; b 500; c 300; d 300 Probabilidades 1

a + c – (b + d) ¼ (a + b + c + d) Valor absoluto de la diferencia

a + c – (b + d) -¼ (a + b + c + d))

a + b 2 (c+d) Puntaje mínimos al menos duplica

a 100 Probabilidad ramo mínimo

b 100

a + b + c + d 800 + 0,5 d Subsidio

d 300

30/500 a + 10/500 b + 5/300 c + 5/300 d 60Horas semanales de estudio

a, b, c, d 0 No negatividad

2.16 Un supermercado debe planificar las compras diarias de los distintos tipos productos

[en kilos] dados los precios diarios y considerando que existe un cierto espacio en

góndolas para exponer los distintos productos en venta.

El supermercado tiene la política de mantener las góndolas con su capacidad Kg de

exhibición copada al menos en un 87% todos los días (al final del día) y se supone que

las compras diarias van directamente a reposición de las góndolas. Las góndolas pueden

exhibir más de un tipo de producto así como también un mismo producto puede

encontrase exhibido en más de una góndola. Además, debe cumplirse con la política de

que todos los días haya un mínimo de cada producto en exhibición (al final del día). Se

sabe además que cada producto enfrenta una demanda distinta cada día.

Defina las variables y modele este problema para maximizar el flujo de caja del

supermercado en un horizonte de un año, donde el flujo de caja se mide como los

19

ingresos por ventas menos los costos por compras realizadas durante el año. Utilice los

parámetros que se definen a continuación.

Conjuntos:

G = {pasillo1 superior, pasillo 4 inferior, ...} : Góndolas

T = {peras, manzanas, ...} : Tipos de Productos

D = {1,2, ..., 360} : Días del año

Parámetros:

Pt,d : precio del producto t el día d

Kg : capacidad de la góndola g

Ct,d : costo del producto t comprado el día d

Et : cantidad diaria mínima en exhibición del producto t

Dt,d : demanda del producto t el día d

Solución:.-

Variables:

vt,d,g, : Ventas del producto t, el día d en la góndola g

xt,d,g, : Compras del producto t, el día d en la góndola g

it,d,g : Inventario del producto t, el día d en la góndola g

Maximizar:

z = t d g

gdtdt

g

gdtdt xvp360

1

,,,,,, C

Sujeto a:

it,d,g = it,d-1,g + xt,d,g - vt,d,g g,d Ecuación Inventario

t

gdti ,, Kg g,d Capacidad de las góndolas

g

gdti ,, 0.87*Kg g,d Mínimo de inventario en las góndolas

g

gdti ,, Et t,d Mínimo de cada producto en exhibición

g

gdtv ,, dt,d t,d Ventas máximas

xt,d,g, vt,d,g, it,d,g 0 t,d,g No negatividad

ejercicios propuestos y resueltos total

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