Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

Hugo Lombardo Flores

13 Abril 2011

1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Ecuaciones lineales y reducibles a estas.

1.

dy

dx+ 2y = 0

Definimos el factor integrante.

p(x) = 2factor integrante: e

2dx= e2x

multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.

e2x dydx + 2e2x = 0

el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a:

ddx [e

2xy] = 0separamos variables e integramos.

ddx [e

2xy] = 0dx+ c

e2xy = c

y = ce2x

2.

dy

dx= 3y

forma lineal.

dydx 3y = 0

p(x) = 3

Factor integrante: e 3dx=e3x

multiplicamos por factor integrante.

1

e3x dydx 3e3xy = 0

dydx [e

3xy = 0dx+ c

e3xy = c

y = ce3x

3.

3dy

dx+ 12y = 4

pasamos la ecuacion a la forma lineal.

dydx + 4y =

43

p(x) = 4

Factor integrante: e4dx=e4x

e4x dydx + 4e4xy = 43e

4x

ddx [e

4xy] =e4xdx+ c

e4xy = 14e4x + c

y = 14 + ce4x

4.

y = 2y + x2 + 5forma lineal

y 2y = x2 + 5Factor integrante: e

2dx = e2x

e2xy 2e2xy = e2xx2 + 5e2x

ddx [e

2xy] =e2xx2 + 5

e2x + c

e2xy = 52e2x 14e2x(2x2 + 2x+ 1) + C

y = x22 x2 14 + 52 + ce2x

5.

ydx 4(x+ y6)dy = 0ydx = 4(x+ y6)dy

dxdy =

4(x+y6)y ;

dxdy =

4xy +

4y6

y

2

denimos la forma lineal.

dxdy 4xy = 4y5

Factor integrante: e4

1y dy; e4 log(y); elog(y)

4; y4 = 1y4

1y4

dxdy 1y4 4xy = 1y4 4y5

ddy [

1y4x] = 4y

ddy [

1y4x] = 4

ydy

1y4x = 2y

2 + C

x = 2y6 + cy4

6.

xy+ y = ex

y+ 1xy = ex

x

Factor integrante:

e

1xdx = elog x = x

xy+ xxy = xex

x

ddx [xy] = e

x

Integramos:

ddx [xy] =

exdx+ c

xy = ex + c

y = exx1 + cx1

7.

xdy

dx+ y =

2

y2

dydx +

yx =

2xy2 ...(1)

hacemos la sustitucion: u = y1ndonde n = 2u = y1(2) = y3;u1/3 = y

Derivamos esta ultima.

13u2/3 du

dx =dydx

3

Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.

13u2/3 du

dx +u1/3

x =2(u1/3)2

x

Acomodamos a la forma lineal, multiplicando toda la ecuacion por

13u

2/3.

dudx + 3

ux =

6x

Esta es una ecuacion lineal. Denimos el factor integrante.

e3

1xdx = e3 log x = elog x

3

= x3

Multiplicamos por factor integrante.

x3 dudx + 3x3 ux = x

3 6x

ddx [x

3u] = 6x2

integramos.

ddx [x

3u] = 6x2 + c

x3u = 2x3 + c

u = 2 + cx3

Sustituimos u = y3

y3 = 2 + cx3

8. y1/2 dydx + y3/2 = 1; condicion y(0) = 4

dydx +

y3/2

y1/2= 1

y1/2 dydx + y = y1/2

u = y1n; n = 1/2; u = y1(1/2) = y3/2

u2/3 = y

23u1/3 du

dx =dydx

Sustituimos.

23u1/3 du

dx + u2/3 = (u2/3)1/2

Multiplicamos la ecuacion por

23u

1/3

dudx +

32u =

32

La ecuacion se redujo a una lineal.

Factor integrante: e32

dx = e

32x

4

e32x du

dx + e32x 3

2u = e32x 3

2

ddx [e

32xu] = 32e

32x

ddx [e

32xu] =

32e

32xdx+ c

e32xu = e

32x + c

u = 1 + ce32x

Sustituimos u = y3/2

y3/2 = 1 + ce32x Solucion general.

Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4

43/2 = 1 + ce32 0

8 1 = cc = 7Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.

y3/2 = 1 + 7e32x Solucion particular.

9.

y+ 2xy = 2xy2

u = y1n; donde n = 2entonces:

u = y12; u = y1; u1 = y

u2 dudx = dydxsustituimos en la ecuacion.

u2 dudx + 2xu1 = 2x(u1)2

multiplicamos por u2dudx 2xu = 2xesta es una ecuacion lineal con p(x) = 2xobtenemos el factor integrante.

e2

1xdx = elog x

2= x2

x2 dudx x2 2xu = x22xddx [x

2u] = 2x1

integramos.

5

ddx [x

2u] =2x1dx+ c

x2u = 2 log x+ c

u = 2x2 log x+ cx2

sustituimos u = y1

y la solucin es entonces:

y = 12x2 log x+cx2

10,

y+ xy = xy1/2

sea. n = 1/2

u = y1n; u = y1(1/2); u = y3/2; y = u2/3

dydx =

23u1/3

sustituimos en la ecuacion.

23u1/3 + xu2/3 = x(u2/3)1/2

multiplicamos por

23u

1/3

dudx +

32xu =

32x que es una ecuacion lineal con p(x) =

32x

Factor integrante:

e32

xdx = e

34x

2

e34x

2 dudx + e

34x

2 32xu = e

34x

2 32x

ddxe

34x

2

u = 32xe34x

2

dx+ c

ddxe

34x

2

u = 32xe

34x

2

dx+ c

e34x

2

u = e34x

2

+ c

u = 1 + ce34x

2

sustituimos u = y3/2

y3/2 = 1 + ce34x

2

6

1.2 Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.

1.(2x 1)dx+ (3y + 1)dy = 0M(x, y) = 2x 1;N(x, y) = 3y + 1Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion

My =

Nx

My = 0 ;

Nx = 0

son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta.

Ahora tomamos una funcion fx(x, y) =M(x, y)

fx(x, y) = 2x 1

integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g(y)

Mx = 2

xdx dx+ g(y)

f(x, y) = x2 x+ g(y)... (1)

Esta funcion la derivamos con respecto de y.

fy = g

(y)

igualamos con N(x,y)

g(y) = 3y + 1

integramos respecto a y

g(y) = 3

ydy +

dy + c

g(y) = 32y2 + y + c

sustituimos la funcion en (1).

x2 x+ 32y2 + y = c

esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion.

2.

(seny ysenx)dx+ (cosx+ xcosy y)dy = 0

M(x, y) = seny ysenx; N(x, y) = cosx+ xcosy yMy = cosy senxNx = senx+ cosy

7

My =

Nx por lo tanto es una ecuacion exacta.

tomamos fx(x, y) = seny ysenxintegramos con respecto a x

fx(x, y)dx =

(seny ysenx)dx

f(x, y) = xseny y(cosx) + g(y)...(1)

derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y)

fy(x, y) = cosx+ xcosy + g(y) = cosx+ xcosy y

g(y) = y

integramos respecto de y

g(y) = ydy + cg(y) = 12y2 + c

sustituimos en (1)

f(x, y) = xseny + ycosx 12y2

nos queda la solucion implicita.

xseny + ycosx 12y2 = c

3.

(3x2y + ey)dx = (x3 + xey 2y)dy

M(x, y) = 3x2y + ey; N(x, y) = x3 + xey 2y

My(x, y) = 3x2 + ey

Nx(x, y) = 3x2 + ey

My(x, y) = Nx(x, y) entonces es una ecuacion diferencial exacta.Integramos fx(x, y) con respecto de x, y obtenemos una funcion g(y) deconstante de integracion.

f(x, y) =(3x2y + ey)dx

f(x, y) = x3y + xey + g(y)... (1)

Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y)

fy(x, y) = x3 + xey + g(y) = x3 + xey 2y

g(y) = 2y

8

Integramos respecto de y

g(y) = 2 ydy + cg(y) = y2 + csustituimos en (1)

x3y + xey y2 = c... solucion implicita.4.

(6xy 2y2)dx+ (3x2 4xy)dy = 0My(x, y) = 6x 4y, Nx(x, y) = 6x 4yla ecuacion es exacta.

integramos fx(x, y) respecto a x.

f(x, y) =(6xy 2y2)dx

f(x, y) = 3x2y 2xy2 + g(y)...(1)derivamos respcto de y

fy(x, y) = 3x2 4xy + g(y)igualamos con N(x,y)

3x2 4xy + g(y) = 3x2 4xy g(y) = 0integramos respecto de y

g(y) = c

sutituimos en la ecuacion (1)

3x2y 2xy2 = c5.

(2y 2xy3 + 4x+ 6)dx+ (2x 3x2y2 1)dy = 0con la condicion y(1) = 0

My = 2 6xy2 = NXUna vez comprobada que sea exacta.

integramos fx(x, y) respecto a x

f(x, y) =(2y 2xy3 + 4x+ 6)dx

f(x, y) = 2xy 3x2y3 + 2x2 + 6x+ g(y)...(1)

9

derivamos respecto a y:

fx(x, y) = 2x 3x2y2 + g(y)igualamo con N(x, y)

2x 3x2y2 + g(y) = 2x 3x2y2 1g(y) = 1integramos:

g(y) = y + csustituimos en (1)

2xy x2y3 + 2x2 + 6x y = c... solucion implicita.para y(1) = 0

2(1)2 + 6(1) = cc = 4entonces la solucion particular al caso y(-1)=0 es:

2xy x2y3 + 2x2 + 6x y = 46.

(xy sinx+ 2y cosx)dx+ 2x cosxdy = 0;Use el factor integrante (x, y) = xy

My(x, y) = x sinx+ 2 cosxNx(x, y) = 2x sinx+ 2 cosx

NX 6=Myla ecuacion es no exacta, en este ejemplo se nos dio el factor integrante, por

lo tanto procedemos a multiplicar toda la ecuacion por el factor integrante.

xy(xy sinx+ 2y cosx)dx+ xy(2x cosx)dy = 0(x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx+ (2x2y cosx)dy = 0comprobamos que esta ecuacion sea exacta.

My(x, y) = 2yx2 sinx+ 4xy cosxNX(x, y) = 4xy cosx 2x2y sinx

MY = NX por lo tanto esta ecuacion es exacta y la resolvemos como tal.

10

fx(x, y) = x2y2 sinx+ 2xy2 cosxintegramos respecto a x:

f(x, y) =(x2y2 sinx+ 2xy2 cosx)dx

f(x, y) = x2y2 cosx+ g(y)...(1)

derivamos respecto a y:

fy(x, y) = 2x2y cosx+ g(y)igualamos con Nx

2x2y cosx+ g(y) = 2x2y cosxg(y) = 0integramos respecto a y:

g(y) = c

sustituimos en (1)

f(x, y) = x2y2 cosx+ c

2 Ecuaciones de orden superior

2.1 Ecuaciones diferenciales de orden superior reducibles

a primer orden.

1. y = 2x2

Integramos ambos lados de la ecuacion:y = 2 x2dx+ c

y = 23x3 + c1Volvemos a integrar:y = 23

(x3 + c1)dx+ c2

y = ( 23 )(14 )x

4 + xc1 + c2

Solucion:

y = 16x4 + c1x+ c2

11

2. y = sen(kx)Integramos ambos lados de la ecuacion:y = sen(kx)dx+ c1

y = kcos(kx) + c1y = k cos(kx)dx+ c1 dx+ c2

y = k2sen(kx) + xc1 + c2y = k2 sen(kx)dx+ c1 xdx+ c2 dx+ c3

y = k3cos(kx) + 12c1x2 + c2x+ c3

3. y = 1xIntegrando:y = 1xdx+ c1

y = log x+ c1y = log xdx+ c1 dx+ c2

y = x log x x+ c1x+ c2y = x log xdx xdx+ c1 xdx+ c2 dx+ c3

y = x2

2 (log x 12 ) 12x2 + c1 12x2 + c2x+ c34. y = x+ sinxIntegrando:y = xdx+ sinxdx+ c1

y = 12x2 cosx+ c1y = 12

x2dx cosxdx+ c1 dx+ c2

y = 16x3 sinx+ c1x+ c25. y = x sinx, y(0) = 0 y(0) = 0 y(0) = 2Resolvemos la ecuacion diferencial integrando tres veces:y = x sinxdx+ c!

y = sinx x cosx+ c1y = sinxdx x cosxdx+ c1 dx+ c2

y = cosx (cosx+ x sinx) + c1x+ c2y = cosxdx cosxdx x sinxdx+ c1 xdx+ c2 dx+ c3

y = sinx sinx (x cosx+ sinx) + 12c1x2 + c2x+ c3y = 3 sinx+ x cosx+ 12c1x2 + c2x+ c3

12

2.2 Reducibles a primer orden

1. xy+ y = 0Deniendo:

p(x) = dydxdpdx =

d2ydx2

xp+ p = 0nos queda una ecuacion lineal homogenea de orden 1 de variables

separables.

1xdx = 1pdp1xdx =

1pdp+ c1

log x = log p+ log c1log x = log( c1p )

Aplicando exponencial a ambos lados de la ecuacion.

x = c1p

hacemos p(x) = dydx

x = c!dy/dx

x = c1dxdy

integrando:1xdx =

1c1

dy + c2

log x = 1c1 y + c2

y = c1 log x + c2. La constante de integracion conviene que tomevalor positivo.

2.(x 1)y y=0Denimos:

p(x) = dydxdpdx =

d2ydx2

(x 1)p p = 0Dividimos entre (x 1)x1x1p 1x1p = 0p 1x1p = 0nos queda una ecuacion lineal homogenea.

dpdx 1x1p = 0dpdx =

1x1p

1pdp =

1x1dx

integrando:1pdp =

1

x1dx+ c1

13

log(p) = log(x 1) + log(c1)log(p) = log[c1(x 1)]p = c1(x 1)haciendo p = dydxdydx = c1(x 1)dy = c1(x 1)dxintegrando:dy = c1

(x 1)dx+ c2

y = c112x

2 x+ c23.

2.3 Ecuaciones lineales homogeneas.

1.y+ y 2y = 0Resolvemos la ecuacion caracteristica asociada.

m2 +m 2 = 0(m+ 2)(m 1) = 0m1 = 2 m2 = 1Suponemos una solucion y = emx

y1 = e2x

y2 = ex

y(x) = c1e2x + c2ex

2.

y 2y+ y = 0

Ecuacion caracteristica asoiada m2 2m+ 1 = 0(m 1)2 = 0m1,2 = 1

solucion y = emx

y1 = ex

y2 = y1ep(y)dy

y21dx

y2 = exe2x

e2x dx

y2 = exx

solucion.

y(x) = c1ex + c2xe

x

3. 4y 8y+ 5y = 0

14

Ecuacion caracteristica.

4m2 8m+ 5 = 0m1,2 =

864808

m1,2 = 1 12 isolucion.

y = c1exei

12x + c2e

xei12x

y = ex(c1ei 12x + c2e

i 12x)

y = ex(c1cos12x+ c2sen

12x)

4.3y 2y 8y = 0Ecuacion caracteristica:

3m2 2y 8 = 0(3m+ 4)(m 2)m1 = 2

m2 = 43Solucion propuesta de la forma, y = emx

y1 = e2x

y2 = e 43xSolucion:

y(x) = c1e2x + c2e

43x

5.yv 10y+ 9y = 0Ecuacion caracteristica.

m5 10m3 + 9m = 0m(m4 10m2 + 9) = 0m1 = 0 (m

2 9)(m2 1) m2,3 = 3 m4,5 = 1Entonces tenemos las soluciones:

y1 = e0 = 1

y2 = e3x

y3 = e3x

y4 = ex

y5 = ex

Solucion:

y(x) = c1 + c2e3x + c3e

3x + c4ex + c5ex

6. y+ 4y+ 3y = 0 y(0) = 2 y(0) = 3Ecuacion caracteristica.

m2 + 4m+ 3 = 0

15

m1,2 =436

2

m1,2 = 2 3iSolucion:

y(x) = e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)

y(x) = e2x(3c1 sin 3x+ 3c2 cos 3x) 2e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)Resolveremos para los casos y(0) = 2 y y(0) = 3 particularmente.Para y(0) = 2

2 = e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)

2 = c1

Para y(0) = 33 = e0(3c1 sin 0 + 3c2 cos 0) 2e0(c1 cos 0 + c2 sin 0)3 = 3c2 2c13 = 3c2 2(2)3 + 4 = 3c2c2 =

13

Por lo tanto la solucion para el caso en general es:

y(x) = e2x(2 cos 3x+ 13 sin 3x)

7.

d4ydx4 7 d

4ydx2 18y = 0Ecuacion caracteristica:

m4 7m2 18 = 0

2.4 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden

2.4.1 Coecientes indeterminados.

1.

y+ 3y+ 2y = 6

Resolvemos la ecuacion homogenea asociada

yh = y+ 3y+ 2y = 0Ecuacion caracteristica:

m2 + 3m+ 2 = 0

(m 1)(m 2)m1 = 1 m2 = 2

yh = c1ex + c2e

2x

Ahora resolvemos la parte no homogena suponiendo una solucion

particular.

16

en este caso la parte no homogenea es 6, lo que nos sugiere usemos

una solucion de la forma A

yp = A

yp = 0yp = 0Sustituimos en la ecuacion original.

0 + 3(0) + 2A = 6

A = 3

Entonces la solucion es y(x) = yh + yp

y(x) = c1ex + c2e

2x + 3

2. y+ y = sinxResolvemos primer la ecuacion homogenea asociada.

y+ y = 0La ecuacion caracteristica de esta ecuacion es.

m2 + 1 = 0

m2 = 1 m1,2 = 1 m1,2 = i donde = 0 y = 1

m1,2 = iyh = c1e

x cosx+ c2ex sinx

yh = c1 cosx+ c2 sinx

Ahora buscamos una solucion particular, para sinx nos proponenuna solucion de la forma A sinx+B cosx, sin embargo podemosobservar que esta ya es una solucion de la ecuacion homogenea

asociada y + y = 0, entonces segun la regla de multiplicacionpara este caso, debemos multiplicar por xndonde n es el numerode enteros positivos que elimina la duplicacion.

yp = Ax sinx+Bx cosx

yp = A sinx+Ax cosx+B cosxBx sinxyp = A cosx + A cosx Ax sinx B sinx Bx cosx B sinx =

2A cosx 2B sinxAx sinxBx cosxSustituimos en la ecuacion original

2A cosx2B sinxAx sinxBx cosx+Ax sinx+Bx cosx = sinx2A cosx 2B sinx = sinx2A = 0 entonces A = 0

2B = 1 entonces B = 12Sustituyendo

yp = 12x cosx

17

y(x) = yh + yp

y(x) = c1 cosx+ c2 sinx 12x cosx3. y 10y+ 25y = 30x+ 3Resolvemos la ecuacuion homogenea asociada.

m2 10m+ 25 = 0m1,2 = 5

yh = c1e5x + c2xe

5x

La solucion particular propuesta para 30x+ 3 es Ax+B

yp = Ax+B

yp = Ayp = 0sustituimos en la ecuacion

10(A) + 25(Ax+B) = 30x+ 325A = 30...(1) entonces A = 65

25B 10A = 3...(2)25B 10( 65 ) = 325B = 3 + 12

B = 35

yp =65x+

35

y(x) = yh + yp

y(x) = c1e5x + c2xe

5x + 65x+35

4.

14y+ y+ y = x2 2xResolvemos la ecuacion homogenea asociada.

14y+ y+ y = 014m

2 +m+ 1 = 0

m1,2 = 2yh = c1e

2x + c2xe2x

Ahora suponemos una solucion particular para el caso de f(x) =x2 2x

yp = Ax2 +Bx+ C

yp = 2Ax+B

yp = 2A

Sustituimos en la ecuacion original.

14 (2A) + 2Ax+B +Ax

2 +Bx+ C = x2 2x12A+B +Ax

2 + 2Ax+Bx+ C = x2 2x

18

A = 1

2A+B = 2

B = 2 2 = 012A+B + C = 012A+ C = 0

C = 12A = 12yp = x

2 12y(x) = yh + yp

y(x) = c1e2x + c2xe2x + x2 125. y+ 3y = 48x2e3xSe resuelve la parte homogenea.

y+3y=0m2 + 3 = 0

m1,2 =3 m1,2 =

3i

yh = c1cos3x+ c2sen

3x

suponemos una solucion particular para 48x2e3xyp = e

3x(Ax2 +Bx+ C)

yp = 3e3x(Ax2 +Bx+ C) + e3x(2Ax+B)yp = 9e3x(Ax2 + Bx + C) + 3e3x(2Ax + B) + 3e3x(2Ax + B) +

e3x(2A) = 9e3x(Ax2 +Bx+ C) + 3e3x(4Ax+ 2B) + e3x(2A)

Susituimos en la ecuacion.

9e3x(Ax2+Bx+C)+3e3x(4Ax+2B)+ e3x(2A)+9e3x(Ax2+Bx+C) + 3e3x(2Ax+B) = 48x2e3x

9e3xAx2+9e3xBx+9e3xC+12e3xAx+6e3xB+2e3xA+9e3xAx2+9e3xBx+ 9e3xC + 6e3xAx+ 3e3xB = 48x2e3x

9A+ 9A = 4818A = 48A = 83B = 0

C = 0

6.y y = 3y-y=0m2 m = 0m(m 1) = 0m1 = 0 m2 = 1

19

yh = c1e0x + c2e

x = c1 + c2ex

En este caso podemos ver claramente que existe ya una solucion que

es c1igual con 3entonces por la regla de multiplicidad. la solucion propuesta yp = Ax

yp = Ax

yp = Ayp = 0Sustituyendo en la ecuacion.

0A = 3 entonces, A = 3yp = 3x

y(x) = yh + yp

y(x) = c1 + c2ex + 3x

7. y 6y = 3 cosxEcuacion homogenea asociada yh = y 6y = 0m3 6m2 = 0m2(m 6) = 0m1,2 = 0 m3 = 6

yh = c1 + c2x+ c3e6x

La solucion particular propuesta para 3 cosx es yp1 = A yp2 =Bcosx + Csenxsin embargo en la solucion yp1 se repite la con-stante, entonces la multiplicamos por x de acuerdo a la ley de

multiplicidad nos queda.yp1 = Ax2

yp = Ax2 +Bcosx+ Csenx

yp = 2AxBsenx+ Ccosxyp = 2ABcosx Csenxyp = Bsenx CcosxSusituyendo en la ecuacion original.

Bsenx Ccosx 12A+ 6Bcosx+ 6Csenx = 3 Cosx12A = 3 ; A = 146B C = 1...(1)6C +B = 0...(2)

Igualando 1 y 2

B = 637C = 137yp =

12x

3 + 637cosx+137senx

y(x) = c1 + c2x+ c3e6x 14x2 + 637cosx+ 137senx

20

9.y+ 2y+ y = senx+ 3cos2xyh = y+ 2y+ y = 0m2 + 2m+ 1 = 0

(m+ 1)2 = 0

m1,2 = 1yh = c1e

x + c2xex

Solucion particular

yp = Acosx+Bsenx+ Ccos2x+Dsen2x

yp = Asenx+Bcosx 2Csen2x+ 2Dcos2xyp = AcosxBsenx 4Ccos2x 4Dsen2xsustituyendo.

AcosxBsenx4Ccos2x4Dsen2x2Asenx+2Bcosx4Csen2x+4Dcos2x+Acosx+Bsenx+Ccos2x+Dsen2x = senx+3cos2x

3Ccos2x 3Dsen2x 2Asenx+2Bcosx 4Csen2x+4Dcos2x =senx+ 3Cos2x

3C + 4D = 3...(1)3D 4C = 0...(2)C = 925

D = 1225

2A = 1 ; A = 122B = 0 ; B = 0

y(x) = c1ex + c2xe

x 12cosx+ 925cos2x+ 1225sen2x

2.5 Variacion de parametro.

1. y+ y = secxResolvemos la parte homogenea de la ecuacion esta es yh = y+ y = 0Para la ecuacion homogenea asociada, resolvemos la ecuacion caracteristica.

m2 + 1 = 0

m2 = 1

m1,2 =1 ; m1,2 = i

m1,2 = i ; donde = 0 = 1

21

yh = c1cosx+ c2senx

Ahora identicamos y1 = cosx y y2 = senx y las derivamos.

y1 = cosx y2 = senx

y1 = senx y2 = cosxA continuacion calculamos el Wronskiano:

W =y1 y2y1 y

2

=cosx senxsenx cosx = [(cosx)(cosx)] [(senx)(senx)] =

cos2x+ sen2x = 1

W1 =0 y2

f(x) y2=

0 senxsecx cosx

= [(0)(cosx)] [(senx)(secx)] =senxsecx = senxcosx = tanx

W2 =y1 0y1 f(x)

=cosx 0senx secx = [(cosx)(secx) (0)(senx)] =cosxsecx = cosxcosx = 1

u1 =W1W =

tanx1 = tanx ; u1 =

tanxdx = [ln(cosx)] = ln(cosx)

u2 =W2W =

11 = 1; u2 =

dx = x

yp = u1y1 + u2y2

yp = ln(cosx)cosx+ xsenx

y(x) = yh + yp

y(x) = c1cosx+ c2senxi+ cosxln(cosx) + xsenx

2. y+ y = senxResolvemos yh = y+ y = 0

m2 + 1 = 0

m2 = 1m1,2 =

1 ; m1,2 = iDonde:

= 0 y = 1

yh = ex(c1cosx+ c2senx)

yh = e0x(c1cosx+ c2senx)

22

yh = c1cosx+ c2senx

Denimos y1, y2

y1 = cosx ; y1 = senx

y2 = senx ; y2 = cosx

Calculamos el Wronskiano.

W =cosx senxsenx cosx = cos

2x+ sen2x = 1

W1 =0 senx

senx cosx= sen2x

W2 =cosx 0senx senx = senxcosx

Ahora calculamos u1, u2.

u1 = sen2x1 = sen2x

u1 = sen2xdx = x2 14sen2x

u2 =senxcosx

1 = senxcosx

u2 =senxcosxdx = 12sen

2x

yp = u1y1 + u2y2 = (x2 14sen2x)cosx+ 12sen2x(senx)

yp =12xcosx 14cosxsen2x+ 12sen3x

y(x) = yp + yh

y(x) = c1cosx+ c2senx+12xcosx 14cosxsen2x+ 12sen3x3. y + y = cos2x

Ecuacion homogenea asociada yh = y + y = 0Esta ecuacion tiene solucion de la forma:

yh = c1cosx+ c2senx

Denimos y1, y2

y1 = cosx ; y1 = senx

y2 = senx ; y2 = cosx

Calculamos los Wronskianos:

23

W =cosx senxsenx cosx = cos

2x+ sen2x = 1

W1 =0 senx

cos2x cosx= senxcos2x

W2 =cosx 0senx cos2x = cos

3x

Denimos u1, u2

u1 =senxcos2x

1= senxcos2x

u1 = senxcos2xdx =

[cos

3x

3

]=cos3x

3

u2 =cos3x

1= cos3x

u2 =cos3xdx = senx sen

3x

3

yp = u1y1 + u2y2 =

(cos3x

3

)(cosx) +

(senx sen

3x

3

)(senx)

yp =cos4x

3+ sen2x sen

4x

3

y(x) = c1cosx+ c2senx+cos4x

3+ sen2x sen

4x

3

4.y y = coshx

Ecuacion homogenea asociada y y = 0

m2 1 = 0

m2 = 1; m1,2 = 1 = 1

yh = c1ex + c2e

x

Denimos y1 , y2

y1 = ex; y1 = e

x

y2 = ex; y2 = ex

Calculamos los Wronskianos:

24

W =ex ex

ex ex = ex(ex) ex(ex) = 1 1 = 2

W1 =0 ex

coshx ex = ex(coshx) = excoshx

W2 =ex 0ex coshx

= excoshx

Calculamos u1 y u2

u1 =excoshx2 =

12excoshx

u1 =12

excoshxdx = 18e

2x(2e2xx 1)

u2 =excoshx

2 = 12excoshx

u2 = 12excoshxdx = 12 [

x

2+e2x

4]

yp = ex[ 18e

2x(2e2xx 1)] + (ex)(x4 e

2x

8)

yp =18ex(2e2xx 1) + xe

x

4+ex

8

y(x) = c1ex + c2e

x + 18ex(2e2xx 1) + xe

x

4+ex

8

4. y + 3y + 2y =1

1 + ex

Ecuacion homogenea asociada yh = y + 3y + 2y = 0

m2 + 3m+ 2 = 0

(m+ 2)(m+ 1) = 0

m1 = 2 m2 = 1

yh = c1e2x + c2ex

Denimos y1, y2.

y1 = e2x; y1 = 2e2x

y2 = ex; y2 = ex

Calculamos Wronskianos:

25

W =e2x ex

2e2x ex = (e2x)(ex) (ex)(2e2x) = e3x + 2e3x =

e3x

W1 =0 ex1

1+ex ex= e

x

1 + ex

W2 =e2x 02e2x 11+ex

=e2x

1 + ex

Calculamos u1,u2

u1 = ex

1 + exe3x =

ex

(e3x)(1 + ex)=

1

e2x(1 + ex)= 1

e2x + ex

u1 = 1e2x + ex

dx = ex + ln(ex + 1) 1

u2 =

e2x

1 + ex

e3x=

e2x

(e3x)(1 + ex)=

1

ex + 1

u2 = 1ex + 1

dx = x+ ln(ex + 1)

yp = (e2x)[ex + ln(ex + 1) 1] + [x+ ln(ex + 1)](ex)

yp = ex + e2xln(ex + 1) e2x + xex + exln(ex + 1)y(x) = c1e

2x + c2ex ex + e2xln(ex + 1) e2x + xex + exln(ex + 1)5.3y 6y + 6y = exsecxyh = 3y

6y + 6y = 03m2 6m+ 6 = 0

a = 3 , b = 6 , c = 6Denimos y1, y2

m1,2 =(6)(6)2 4(3)(6)

2(3)=

6

636 726

= 1366

= 1 i

= 1 , = 1

yh = ex(c1cosx+ c2senx)

Deniendo y1 , y2

26

y1 = excosx ; y1 = e

xcosx exsenx

y2 = exsenx ; y2 = e

xsenx+ excosx

Calculamos los Wronskianos

W =excosx exsenx

excosx exsenx exsenx+ excosx = (excosx)(exsenx+ excosx)

(exsenx)(excosx exsenx) = ex(cosxsenx+ cos2x cosxsenx+ sen2x)

W = ex(cos2x+ sen2x) = ex

W1 =0 exsenx

exsecx exsenx+ excosx= (exsenx)(exsecx) = ex(senx

cosx) =

extanx

W2 =excosx 0

excosx exsenx exsecx = (excosx)(exsecx) = ex(

cosx

cosx) = ex

Calculamos u1, u2

u1 = extanx

ex= tanx

u1 = tanxdx = (lncosx) = lncosx

u2 =ex

ex= 1

u2 =dx = x

yp = lncosx(excosx) + x(exsenx)

y(x) = ex(c1cosx+ c2senx) + excosxlncosx+ xexsenx

2.6 Ecuaciones de Cauchy-Euler

x2y 2y = 0Suponemos una solucin de la forma y = xm .

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Sustituimos en la ecuacin original.

x2[(m 1)mxm2] 2(xm) = 0

27

x2[(m 1)mxmx2] 2(xm) = 0

(m 1)mxm 2xm = 0

xm[(m 1)m 2] = 0

xm(m2 m 2) = 0

asi obtenemos la ecuacion auxiliar

m2 m 2 = 0

(m+ 1)(m 2) = 0

m1 = 1 ; m2 = 2

Son races reales y distintas, asi que la solucin es:

y = c1x1 + c2x2

2.

x2y + y = 0

Suponemos la solucion y = xm

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Sustituimos en la ecuacin

x2[(m 1)mxm2] + xm = 0

(m 1)mx2xmx2 + xm = 0

(m2 m)xm + xm = 0

xm(m2 m+ 1) = 0

Ecuacin auxiliar

m2 m+ 1 = 0

m1,2 =12 12

3i

donde: = 12 =12

3

y = c1x12+

12

3i + c2x

12 12

3i

28

Usando la identidad,

xi = (elnx)i = eilnx

con la formula de Euler, es lo mismo que

xi = cos(lnx) + isen(lnx)

xi = cos(lnx) isen(lnx)entonces

xi + xi = cos(lnx) + isen(lnx) + cos(lnx) isen(lnx) = 2cos(lnx)xi xi = cos(lnx) + isen(lnx) cos(lnx) + isen(lnx) = 2isen(lnx)si y = C1x

+i + C2xi

y1 = x(xi + xi) = 2xcos(lnx)

y2 = x(xi xi) = 2xisen(lnx)se concluye que

y1 = xcos(lnx) y = xsen(lnx)

As la solucion general es

y = x[c1cos(lnx) + c2sen(lnx)]

y = x12 [c1cos(

12

3lnx) + c2sen(

12

3lnx)]

3.

x2y + xy + 4y = 0

Suponemos la solucin:

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Sustituimos en la ecuacin.

x2[(m 1)mxm2] + x(mxm1) + 4(xm) = 0xm(m2 m+m+ 4) = 0

xm(m2 + 4) = 0

m2 = 4

29

m1,2 = 4

m1,2 = 2i

= 0 = 2

y = x0(c1cos2lnx+ c2sen2lnx)

y = c1cos2lnx+ c2sen2lnx

4.

x2y 3xy 2y = 0Solucion propuesta.

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Sustituimos.

x2[(m 1)mxm2] 3x(mxm1) 2(xm) = 0

xm[(m2 m) 3m 2] = 0

xm(m2 4m 2) = 0

m1,2 = 26

y = c2x2+6 + c1x

26

5.

25x2y + 25xy + y = 0

Solucin propuesta.

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Sustituimos.

25x2[(m 1)mxm2] + 25x(mxm1) + xm = 0

xm[25m2 25m+ 25m+ 1] = 0

30

25m2 + 1 = 0

m1,2 = 125

= 15i

= 0, =1

5

y = x0(c1cos1

5lnx+ c2sen

1

5lnx)

y = c1cos1

5lnx+ c2sen

1

5lnx

6.

x2y + 5xy + y = 0

Solucion propuesta.

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Sustituimos.

x2[(m 1)mxm2] + 5x(mxm1) + xm = 0xm(m2 m+ 5m+ 1) = 0m2 + 4m+ 1 = 0m1,2 = 2

3

y = c1x2+3 + c2x

23

7.

xy 4y = x4

Solucin propuesta.

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Hacemos la ecuacion de la forma de Cauchy Euler, para esto la multiplicamos

por x.

x2y 4xy = x5Resolvemos la parte homogenea.

yh = x2y 4xy = 0Sustituimos

x2[(m 1)mxm2] 4x(mxm1) = 0

31

xm(m2 m 4m) = 0m(m 5) = 0m1 = 0 m2 = 5yh = c1x

0 + c2x5

yh = c1 + c2x5

Resolvemos por variacion de parmetros.

Para esto tenemos que escribir la ecuacion en la forma estandar P (x)y +Q(x)y = f(x)Dividimos la ecuacin original entre xy 4 yx = x3identicamos f(x) = x3

Denimos y1, y2y1 = 1 , y

1 = 0

y2 = x5, y2 = 5x

4

W =1 x5

0 5x4= 5x4 0 = 5x4

W1 =0 x5

x3 5x4= 0 x8 = x8

W2 =1 00 x3

= x3

Calculamos u1, u2u1 =

x85x4 = 15x4

u1 = 15x4dx = 125x5

u2 =x3

5x4 =15x

u2 =15

1xdx =

15 lnx

yp = 125x5(1) + 15 lnx(x5)yp = 125x5 + x

5

5 lnxy(x) = yh + yp

y(x) = c+ c2x5 125x5 + x

5

5 lnx7.

x2y xy + y = 2xSolucion propuesta.

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

Resolvemos la ecuacion homogenea asociada.

yh = x2y xy + y = 0Sustituimos en la ecuacin original.

x2[(m 1)mxm2] x(mxm1) + xm = 0m2 mm+ 1 = 0m2 2m+ 1 = 0

32

(m 1)2m1,2 = 1yh = c1x+ c2xlnxPonemos la ecuacin en la forma estandar

y 1xy + 1x2 y = 2xIdenticamos f(x) = 2xIdenticamos y1 = x , y2 = xlnx y y

1 = 1 , y

2 = lnx+ 1Calculamos los Wronskianos

W =x lnx1 lnx+ 1

= (x)(lnx + 1) (lnx)(1) = xlnx + x lnx = xlnx lnx+ x = xlnxx + x = xln(1) + x = x

W1 =0 lnx2x lnx+ 1

= (lnx)( 2x ) =2x lnx

W2 =x 01 2x

= 2xx 0 = 2Calculamos u1, u2

u1 =2x lnx

x =2lnxx2

u1 = 2lnxx2 = lnx+1x

u2 =2x

u2 = 2

1x = 2lnx

yp = y1u1 + y2u2 = x( lnx+1x ) + xlnx(2lnx) = lnx+ 1+8.

x2y 2xy + 2y = x4ex

Solucin propuesta.

y = xm

y = mxm1

y = (m 1)mxm2

x2[(m 1)mxm2] 2x(mxm1) + 2xm = x4exSolucionamos la ecuacion homogenea

x2y 2xy + 2y = 0xm(m2 m 2m+ 2) = 0m2 3m+ 2 = 0(m 2)(m 1) = 0m1 = 2 , m2 = 1yh = c1x

2 + c2xConvertimos la ecuacion original a la forma estandar

y 2xy + 2x2 y = x2exDenimos y1, y2 , f(x) = x

2ex

y1 = x2; y1 = 2x

y2 = x ; y2 = 1Calculamos el Wronskiano

33

W =x2 x2x 1

= x2 2x2 = x2

W1 =0 x

x2ex 1= 0 x3ex = x3ex

W2 =x2 02x x2ex

= x4ex

Calculamos u1, u2u1 =

x3exx2 = xe

x

u1 =xexdx = ex(x 1)

u2 =x4ex

x2 = x2exu2 =

x2exdx = ex(x2 2x+ 2)

yp = u1y1 + u2y2 = [ex(x 1)]x2 + [ex(x2 2x+ 2)]x

yp = x2ex(x 1) + xex(x2 2x+ 2)

y(x) = yp + yhy(x) = c1x

2 + c2x+ x2ex(x 1) + xex(x2 2x+ 2)9.

3 Soluciones en series de potencias

1.

y xy = 0Sutituyendo y =

n=0 cnx

ny la segunda derivada y =n=2(n1)ncnxn2

n=2(n 1)ncnxn2 x (n=0 cnx

n) = 0n=2(n 1)ncnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.

2(1)c2x0n=3 n(n 1)cnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

2c2n=3 n(n 1)cnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n+ 1 para la segunda serie,de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente.Sutituimos

2c2n=3 n(n 1)cnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

2c2k=1(k + 2)(k + 1)ck+2x

k k=1 ck1xk = 02c2k=1[(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1]xk = 0(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0

ck+2 =ck1

(k + 2)(k + 1)

34

Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, con

el valor de k como enteros positivos.Ahora

2c2 = 0 ; c2 = 0

k = 1 , c3 =c03(2) =

16c0

k = 2 , c4 =c14(3)

= 112c1

k = 3 , c5 =c25(4)

= 120c2 = 0 c2 = 0

k = 4 , c6 =c36(5)

= 130 (16 )c0 =

1180c0

k = 5 , c7 =c47(6)

= 142 (112 )c1 =

1504c1

k = 6 , c8 =c58(7)

= 0 c5 = 0

k = 7 , c9 =c69(8)

= 172 (1180 )c0 =

112960c0

k = 8 , c10 =c7

10(9)= 110(9)(504)c1

k = 9 , c11 =c8

11(10)= 0 c8 = 0

Sustituyendo coecientes en la suposicion original

y =c0+c1x+c2x

2+c3x3+c4x

4+c5x5+c6x

6+c7x7+c8x

8+c9x9+c10x

10+c11x11+...,

y =c0+c1x+0+

16c0x

3+ 112c1x4+0+ 1180c0x

6+ 1504c1x7+0+ 112960c0x

9+ 190(504)c1x10+0

y = c0(1 +16x

3 + 1180x6 + 112960x

9) + c1(x+112x

4 + 1504x7 + 190(504)x

10)

2

y+ x2y+ xy = 0Sutituyendo:

y =n=0 cnx

n

y =n=1 cnnxn1y =n=2(n 1)ncnxn2En la ecuacin originaln=2(n 1)ncnxn2 + x2

[n=1 cnnx

n1]+ x [ cnxn] = 035

n=2(n 1)ncnxn2 +

n=1 cnnx

n+1 +n=0 cnx

n+1 = 02c2x

0+6c3xn=4(n1)ncnxn2+

n=1 cnnx

n+1+c0x1n=1 cnx

n+1 = 0Hacemos k = n2 para la primera serie, yk = n+1para la segunda y terceraseries.

2c2x0+6c3x

k=2(k+21)(k+2)ck+2xk+22+

k=2 ck1(k1)xk1+1+

c0x1k=2 ck1x

k1+1 = 02c2 + 6c3x+ c0x

k=2(k + 1)(k + 2)ck+2x

k + ck1(k 1)xk + ck1xk = 02c2 + 6c3x+ c0x

k=2[(k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1(k 1) + ck1]xk = 0

(k + 1)(k + 2)ck+2 + ck1(k 1) + ck1Entonces tenemos

2c2 = 0 ; c2 = 06c3 + c0 = 0c3 = 16c0ck+2 =

[(k1)+1]ck1(k+1)(k+2) =

kck1(k + 1)(k + 2)Sustituyendo k = 2, 3, 4, ... en la formula se obtienec4 =

2c13(4) =

16c1

c5 =3c24(5) = 0 c2 = 0

c6 =4c35(6) =

215 ( 16c0) = 145c0

c7 =5c46(7) =

542 (

16c1) =

5136c1

c8 =6c57(8) =

656 (0) = 0

c9 =7c68(9) =

772 ( 145 )c0 = 772(45)c0

c10 =8c79(10) =

445 (

5136c1) =

545(34)c1

c11 =9c8

10(11) =9110 (0) = 0

c12 =10c911(12) =

566 ( 772(45)c0) = 766(72)(9)c0Por tanto,

y = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + c4x4 + c5x

5 + c6x6 + c7x

7 + c8x8 + c9x

9 + ...y = c1[

16x

4 + 5136x7 + 59(34)x

10] c0[ 145x6 + 772(45)x9 + 766(72)(9)x12]3.

y 2xy+ y = 0Sutituyendo:

y =n=0 cnx

n

y =n=1 cnnxn1y =n=2(n 1)ncnxn2En la ecuacin originaln=2(n 1)ncnxn2 2x

[n=1 cnnx

n1]+n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn2 2

n=1 cnnx

n +n=0 cnx

n = 02c2n=3(n 1)ncnxn2 2

n=1 cnnx

n + c0n=1 cnx

n = 0Hacemos k = n 2 para la serie uno y k = n para las dos y tres.2c2k=1(k + 2 1)(k + 2)ck+2xk+22 2

k=1 ckkx

k + c0k=1 ckx

k = 02c2 + c0

k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x

k +k=1 ckkx

k +k=1 ckx

k = 02c2 + c0

k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x

k 2ckkxk + ckxk = 02c2 + c0

k=1(k + 1)(k + 2)ck+2x

k 2ckkxk + ckxk = 0

36

De esta igualdad se concluye que

2c2 + c0 = 0c2 = 12c0(k + 1)(k + 2)ck+2x

k 2ckkxk + ckxk = 0[(k + 1)(k + 2)ck+2 2ckk + ck]xk = 0(k + 1)(k + 2)ck+2 2ckk + ckck+2 =

(2k + 1)ck(k + 1)(k + 2)Sustituyendo k = 1, 2, 3, 4, ...

c3 =3c12(3) =

12c1

c4 =5c23(4) =

512 ( 12c0) = 524c0

c5 =7c34(5) =

720 (

12c1) =

740c1

c6 =9c45(6) =

930 ( 524c0) = 116c0

c7 =11c56(7) =

1142 (

740c1) =

116(40)c1

c8 =13c67(8) =

1356 ( 116c0) = 1356(16)c0

c9 =15c78(9) =

1572 (

116(40)c1) =

16172(240)c1

c10 =17c89(10) = 17(13)9(10)(56)(16)c0

c11 =18c910(11) =

155 (

1618(240) )c1

y = c1

[12x

3 + 740x5 + 11240x

7 + 16172(240)x9 + 16155(8)(240)x

11]

c0

[524x

4 + 116x6 + 1356(16)x

8 + 17(13)90(56)(16)x10]4.

(x2 + 2)y+ 3xy y = 0Sutituyendo:

y =n=0 cnx

n

y =n=1 cnnxn1y =n=2(n 1)ncnxn2

(x2 + 2)n=2(n 1)ncnxn2 + 3x

n=1 cnnx

n1 n=0 cnxn = 0x2n=2(n1)ncnxn2+2

n=2(n1)ncnxn2+

n=1 3cnnx

nn=0 cnxn =0

37

n=2(n 1)ncnxn +

n=2 2(n 1)ncnxn2 +

n=1 3cnnx

n n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn +

n=2 2(n 1)ncnxn2 + 3c1x

n=2 3cnnx

n c0 +c1x

n=2 cnx

n = 0

3c1x+ c0 + c1xn=2(n 1)ncnxn + 2(2 1)2c2x22 + 2(3

1)3c3x32

n=4 2(n 1)ncnxn2 +n=2 3cnnx

n n=2 cnxn = 03c1x+ c0 + c1x+ 4c2 + 12c3x

n=2(n 1)ncnxn +

n=4 2(n 1)ncnxn2 +

n=2 3cnnxn n=2 cnxn = 0Hacemos k = n 2 para la segunda serie y k = n para las demas3c1x+ c0 + c1x+ 4c2 + 12c3x

k=2(k 1)kckxk +

k=2 2(k + 2 1)(k +

2)ck+2xk+22 +

k=2 3ckkx

k k=2 ckxk = 04c1x+ c0+4c2+12c3x

k=2[(k1)kck+2(k+1)(k+2)ck+2+3ckk ck]xk = 0De esta igualdad se obtiene

4c1 + 12c3 = 0c3 = c13c0 + 4c2 = 0c2 = c04(k 1)kck + 2(k + 1)(k + 2)ck+2 + 3ckk ckck+2 =

3kck + ck (k 1)kck2(k + 1)(k + 2)

=[3k + 1 k2 k]ck

2(k + 1)(k + 2)=

[4k + 1 k2]ck2(k + 1)(k + 2)Sustituyendo valores de k = 2, 3, 4, 5, ...c2 = c04c3 = c13c4 =

(6+142)c22(3)(4) = 1124 ( 14c0) = 1196c0

c5 =(12+19)c3

2(4)(5) = 2040c3 = 12 ( 13c1) = 16c1c6 =

(16+116)c42(5)(6) = 3160c4 = 3160 ( 1196c0) = 31(11)(60)(96)c0

c7 =(20+125)c5

2(6)(7) =4484 c5 =

1121 (

16c1) =

11126c1

c8 =(24+136)c6

2(7)(8) =59112 (

11(31)60(96)c0) =

11(31)112(60)(96)c0

y = c0[ 14x2 + 1190x4 + 31(11)60(96)x6 + 11(31)112(60)(96)x8] + c1[ 13x3 + 16x5 + 11126x7]

4 Transformada de Laplace

1.

f(t)

{1, 0 t < 11, t 1

L{f(t)} = 0estf(t)dt = 1

0est(1) +

1est(1)

= ests |10 + ests |1

38

= es(1)s [ es(0)s ] +

es(1)s e

s()s

= ess 1s + e

ss +

0s

= 2ess 1s2.

f(t) =

{t,

1,

0 t < 1t 1

L[f(t)] = 0estf(t) =

10esttdt+

1est(1)dt

= ests (t 1s )|10 + ests |1

= es(1)s (1 1s ) [ es(0)s (0 1s )] + [ e

s()s e

s(0)s ]

= ess + ess2 +

1s2 1s

f(t) = te4t

L{te4t} = 0estte4tdt =

0te(s4)tdt

= e(s4)t

(s 4)2[s+ 3]|0

= e(s4)

(s 4)2 [e(s4)0

(s 4)2 ]

=0

(s 4)2 +1

(s 4)2

=1

(s 4)2

3.

y+ 3y+ 2y = 0y(0) = 1 , y(0) = 1Aplicamos transformada de Laplace a toda la ecuacin

L[y] + 3L[y] + 2L[y] = 0[s2Y (s) sy(0) y(0)] + 3[sY (s) y(0)] + 2[Y (s)] = 0s2Y (s) sy(0) y(0) + 3sY (s) 3y(0) + 2Y (s) = 0Sustituimos los valores iniciales

s2Y (s) s(1) 1 + 3sY (s) 3(1) + 2Y (s) = 0s2Y (s) s 1 + 3sY (s) 3 + 2Y (s) = 0Factorizando

Y (s)(s2 + 3s+ 2) s 4

39

Y (s) =4 + s

s2 + 3s+ 2Separamos en fracciones parciales

4 + s

(s+ 2)(s+ 1)=

A

s+ 1+

B

s+ 2Por el mtodo de Heaviside

A =(4 + s)(s+ 1)

(s+ 2)(s+ 1)|s=1 = 4 + (1)1 + 2 = 3

B =(4 + s)(s+ 2)

(s+ 1)(s+ 2)|s=2 = 4 22 + 1 = 2Sustituimos en la ecuacion transformada.

Y (s) =3

s+ 1 2s+ 2Aplicamos la transformada inversa a cada trmino del desarrollo anterior.

y(t) = L1[ 3s+ 1

] L[ 2s+ 2

]

y(t) = 3L1[ 1s+ 1

] 2L[ 1s+ 2

]

y(t) = 3et 2e2t

y xy = 0Sutituyendo y =

n=0 cnx

ny la segunda derivada y =

n=2(n1)ncnxn2

n=2(n 1)ncnxn2 x (n=0 cnx

n) = 0n=2(n 1)ncnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

Ahora sumamos las dos series igualando los indices de ambas sumas.

2(1)c2x0n=3 n(n 1)cnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

2c2n=3 n(n 1)cnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

hacemos k = n 2 para la primera serie y k = n+ 1 para la segunda serie,de modo que: n = k + 2 , n = k 1 respectivamente.Sutituimos

2c2n=3 n(n 1)cnxn2

n=0 cnx

n+1 = 0

2c2k=1(k + 2)(k + 1)ck+2x

k k=1 ck1xk = 02c2k=1[(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1]xk = 0(k + 2)(k + 1)ck+2 ck1 = 0

ck+2 =ck1

(k + 2)(k + 1)

40

Esta relacion genera coecientes consecutivos de la solucion propuesta, con

el valor de k como enteros positivos.Ahora

2c2 = 0 ; c2 = 0

k = 1 , c3 =c03(2) =

16c0

k = 2 , c4 =c14(3)

= 112c1

k = 3 , c5 =c25(4)

= 120c2 = 0 c2 = 0

k = 4 , c6 =c36(5)

= 130 (16 )c0 =

1180c0

k = 5 , c7 =c47(6)

= 142 (112 )c1 =

1504c1

k = 6 , c8 =c58(7)

= 0 c5 = 0

k = 7 , c9 =c69(8)

= 172 (1180 )c0 =

112960c0

k = 8 , c10 =c7

10(9)= 110(9)(504)c1

k = 9 , c11 =c8

11(10)= 0 c8 = 0

Sustituyendo coecientes en la suposicion original

y =c0+c1x+c2x

2+c3x3+c4x

4+c5x5+c6x

6+c7x7+c8x

8+c9x9+c10x

10+c11x11+...,

y =c0+c1x+0+

16c0x

3+ 112c1x4+0+ 1180c0x

6+ 1504c1x7+0+ 112960c0x

9+ 190(504)c1x10+0

y = c0(1 +16x

3 + 1180x6 + 112960x

9) + c1(x+112x

4 + 1504x7 + 190(504)x

10)

2.

y (x+ 1)y y = 0Sutituyendo y =

n=0 cnx

nla primera derivada

n=1 cnnx

n1y la segunda

derivada y =n=2(n 1)ncnxn2

n=2(n 1)ncnxn2 (x+ 1)n=1 cnnx

n1 n=0 cnxn = 0n=2(n 1)ncnxn2

n=1 cnnx

n n=1 cnnxn1 n=0 cnxn = 041

2c2x0n=3(n 1)ncnxn2

n=1 cnnx

n c1x0n=2 cnnx

n1 c0x

0n=1 cnx

n = 0

hacemos k = n 2 para la primera serie, k = n 1 para la tercera, k = npara la segunda y la cuarta serie.

c2c1c0+n=3(n1)ncnxn2

n=1 cnnx

nn=2 cnnxn1n=1 cnxn =0

c2 c1 c0 +k=1(k + 2 1)(k + 2)ck+2xk

k=1 ckkx

k k=1 ck+1(k +1)xk k=1 ckxk = 0

c2 c1 c0 +k=1[(k + 1)(k + 2)ck+2 kck (k + 1)ck+1 ck]xk = 0

De aki se concluye que

c2 = 0

c1 = 0

c0 = 0

(k + 1)(k + 2)ck+2 (k + 1)ck+1 kck ck = 0

ck+2 =(k + 1)ck+1 + (k + 1)ck

(k + 1)(k + 2)

Sustituyendo k = 1, 2, 3, ...,k = 1 , c3 =

2c2+2c12(3) = 0

k = 2 , c4 =3c3+3c23(4) =

312c3 = 0

k = 3 , c5 =4c4+4c34(5) = 0

Serie de Taylor

1.

y = x+ 2y2

y(0) = 0

y(o) = 1

Derivando

y = 1 + 4yy

y = 4yy + 4yy

yiv = 4yy + 4yy + 4yy + 4yy = 12yy + 4yy

yv = 12yy + 12yy + 4yy + 4yyiv

42

yvi = 12yy+12yy+12yy+12yyiv+4yy+4yyiv+4yyiv+4yyv =36yy + 12yyiv + 4yy + 4yyiv + 4yyiv + 4yyv

y(0) = 1 , y(0) = 4 , yiv(0) = 12 , yv(0) = 76 , yvi(0) = 408

y(x) = x1! +x2

2! +4x3

3! +12x4

4! +76x5

5! +408x6

6!

1.

f(t) = 4t 10L[f(t)] = 4L[t] 10L[1]L[f(t)] = 4

0testdt 10

0estdtIntegramos por partes la primera integral

40testdt =

u = t , du = 1

dv = est , v = ests= 4[(1)( ests )|0 + 1s

0(1)(est)]dt

= 4ses() ( 4ses(0)) + 1s ests |0

= 4s +1s

[( es()s e

s(0)s )

]= 4s +

1s ( 1s ) =

4

s 1s2Hacemos la segunda integral

100estdt = ests |0

= es()s ( es(0)s )

=1

sentonces

L[f(t)] = 4s 1s2 1s=

3

s 1s2

2.

f(t) = et/5

L[f(t)] = L[et/5] = 0et/5estdt

=0et5 (15s)dt = e

t5(15s)

15 (15s)

|0= e

5(15s)

15 (15s)

e05(15s)

15 (15s)

= 51 5s =

5

5s 1

3.

f(t) = et2

L[f(t)] = L[et2]

43

=0et2estdt = e2

et(1s)dt

= e2[ et(1s)1s ]|0 = (e2)( e

()(1s)1s ) (e2)( e

(0)(1s)1s )

= e2

1 s =e2

s 1

4.

f(t) = et cos t

L[f(t)] = L[et cos t]Por el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)a = 1

L[cos t] = ss2+1 = L[et cos t] =s

(s 1)2 + 1

5.

f(t) = et cos t

L[f(t)] = L[et cos t]Por el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)a = 1L[cos t] =

0est(cos t)dtIntegramos por partes

u = cos t , du = sin tdv = est, v =

estdt = ests

0est(cos t)dt = cos t(e

st

s)|0

0ests ( sin t)dt

= (cos t)est

s|0 1s

0est(sin t)dtEvaluamos el primer trmino y volvemos a integrar por partes el segundo

trmino

u = sin t , du = cos t

dv = est , v = ests= [(cos)e

s (cos 0)e

0

s] 1s

[sin t( ests )|0

0( ests ) cos tdt

]=(1 + 1s2

) (0est cos tdt

)=

1

s2estsin t|0

1

sestcos t|0 =

1

s

0est cos tdt =

1s

1 + 1s2=

s

s2 + 1Aplicando el teorema de traslacion del eje sL[f(t)] = F (s)L[eatf(t)] = F (s a)

44

a = 1L[et cos t] = s+ 1

(s+ 1)2 + 1

6.

f(t) =

10

1

0 < t < 2

2 t < 4t 4

L[f(t)] = 0estf(t)dt =

20est(1)dt+ 4

2est(0)dt+

4est(1)dt

20est(1)dt = [1

sest]20 =

1

se2s 1

se0 =

1

s

[e2s 1] 4

2est(0)dt = 0

4est(1)dt = 1

sest|4 =

1

set +

1

se4s =

1

se4s

L[f(t)] = 1s

(e2s 1)+ 1

se4s =

1

s

(e2s + e4s 1)7.

f(t) =

{3t

0

0 < t < 1

t 1L[f(t)] = 1

0est3tdt+

1est(0)dt 1

0est3tdt = 3

10testdt

u = t , du = 1

dv = est , v = est

s

= 3

{t(e

st

s)|10

10(e

st

s)dt = t(e

st

s)|10

1

s[est

s]

}

=3

s

{t(est)|10

1

s[est]10

}=

1

s

{[(es) 0] 1s [(es) 1]

}3

s[es 1ses] =

3

ses(1 1

s) +

1

s21

0dt = 0

L[f(t)] = 3ses(1 1

s+

1

s)

Encontrar f(t) dada su transformada de Laplace F (s), donde f(t) = L1{F (s)}

8.

F (s) =1

s2

45

L1[ 1s2 ]L1[ n!sn+1 ] = f(t) = tnL1[ 1s2 ] = t

Usar el teorema de la transformada de la derivada de una funcion para

encontrar F (s) dada f(t)

9.

f(t) = t sin 3t

sean f(t) = t sin 3t , f(0) = 0f (t) = sin 3t+ 3t cos 3t, f (0) = 0f (t) = 3 cos 3t+ 3 cos 3t 9t sin 3t, f (0) = 6L[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)L[3 cos 3t+ 3 cos 3t 9t sin 3t] = s2L[t sin 3t] 0 06L[cos 3t] 9L[t sin 3t] = s2L[t sin 3t]6L[cos 3t] = s2L[t sin 3t] + 9L[t sin 3t]6L[cos 3t] = (s2 + 9)L[t sin 3t]6[

s

s2 + 9] = (s2 + 9)L[t sin 3t]

L[t sin 3t] = 6s(s2 + 9)2

10.

f(t) = t cosh t

sean:

f(t) = t cosh t , f(0) = 0f (t) = cosh t+ t sinh t , f (0) = 1f (t) = sinh t+ sinh t+ t cosh tL[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)L[2 sinh t+ t cosh t] = s2L[t cosh t] 0 12L[sinh t] + L[t cosh t] = s2L[t cosh t] 12L[sinh t] = s2L[t cosh t] L[t cosh t] 12

1

s2 1 = (s2 1)L[t cosh t] 1

2

(s2 1) + 1 = (s2 1)L[t cosh t]

2 + s2 1(s2 1) = (s

2 1)L[t cosh t]

L[t cosh t] = s2 + 1

(s2 1)2

46

11.

f(t) = t2 cos 3t

Sean:

f(t) = t2 cos 3t , f(0) = 0

f (t) = 2t cos 3t 3t2 sin 3t , f (0) = 0

f (t) = 2 cos 3t6t sin 3t(6t sin 3t+9t2 cos 3t) = 2 cos 3t12t sin 3t9t2 cos 3t

Aplicando el teorema

L[f (t)] = s2F (s) f(0) f (0)

L[2 cos 3t 12t sin 3t 9t2 cos 3t] = s2L[t2 cos 3t] 0 0

2L[cos 3t] 12L[t sin 3t] 9L[t2 cos 3t] = s2L[t2 cos 3t]

2L[cos 3t] 12L[t sin 3t] = s2L[t2 cos 3t] + 9L[t2 cos 3t]

2s

s2 + 9 12 6s

(s2 + 9)2= (s2 + 9)L[t2 cos 3t] podemos observar que la

transformada de t sin 3t es6s

(s2 + 9)2pues ya la habiamos resuelto

anteriormente.

2s(s2 + 9) 36s(s2 + 9)2

= (s2 + 9)L[t2 cos 3t]2s3 + 18s 36s

(s2 + 9)2= (s2 + 9)L[t2 cos 3t]

2s3 18s(s2 + 9)2(s2 + 9)

= L[t2 cos 3t]

L[t2 cos 3t] = 2s3 18s

(s2 + 9)3

. Hallar f(t) mediante el teorema de la transformada de la integral dadaF (s)

12.

F (s) =1

s(s 4)

L1[

1

s(s 4)]Sabemos que L1

[1

s a]= eat, entonces:

47

L1[

1

s(s 4)]=

t0ead =

ea

a|t0 =

eat

a 1adonde: a = 4

=e4t

4 1

4=

1

4(e4t 1)

13.

F (s) =1

s2(s+ 3)

L1[

1

s2(s+ 3)

]=

Si L1[

1

(s+ a)

]= eat , donde a = 3, entonces:

L1[

1

s(s+ 3)

]=

t0e3d =

1

3e3 |t0 =

1

3e3t 1

3

L1[

1

s2(s+ 3)

]=

t0

(1

3e3t 1

3

)d =

[1

9e3 1

3

]t0

=1

9e3t 1

3t 1

9

f(t) =1

9(e3t 3t 1)

14.

F (s) =3

s2(s2 9)

L1[

3

s2(s2 9)]=

Conociendo L1[

a

s2 a2]= sinh at, donde a = 3, entonces:

L1[

3

s(s2 9)]=

t0sinh 3d =

1

3cosh 3 |t0 =

1

3cosh 3t 1

3

L1[

3

s2(s2 9)]=

t0

(1

3cosh 3 1

3

)d =

[1

9sinh 3 1

3

]t0

=1

9sinh 3t

1

3t

f(t) =1

9(sinh 3t 3t)

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, usando la transformada de

Laplace

15.

y+ y = 0 , y(0) = 1

L{y+ y} = L{0}

48

Por el teorema de transformadas de derivadas

s2Y (s) sy(0) y(0) + Y (s) = 0Sustituyendo el valor inicial

s2Y (s) s(1) 0 + Y (s) = 0Y (s)(s2 + 1) 1 = 0Y (s) =

1

s2 + 1Aplicamos la transformada inversa a Y (s)

L1[

1

s2 + 1

]= et

por linealidad

y = ex

16.

y+ 4y = 2 , y(0) = 0 , y(0) = 0

L [y+ 4y] = L [2]s2Y (s) sy(0) y(0) + 4Y (s) = 2

sSustituyendo el valor inicial

s2Y (s) 0 0 + 4Y (s) = 2s

Y (s)(s2 + 4) =2

s

Y (s) =2

s(s2 + 4)se aplica la transformada inversa

L1[

2

s(s2 + 4)

]=

Si L1[

s2 + 2

]= sint donde = 2, entonces

L1[

2

s(s2 + 4)

]=

t0sin 2d = 1

2cos 2 |t0 =

1

2cos 2t+

1

2

f(t) =1

2 1

2cos 2t

por linealidad

y =1

2 1

2cos 2x

17.

y+ 16y = 4 , y(0) = 1 , y(0) = 0

Aplicamos transformada de Laplace a la ecuacin

L[y+ 16y] = L[4]

49

s2Y (s) + sy(0) + y(0) + 16Y (s) = 4sSustituimos los valores iniciales, y despejamos Y (s)

Y (s)(s2 + 16) + s+ 0 =4

s

Y (s) =

4

s s

(s2 + 16)=

4s2s

(s2 + 16)=

4 s2s(s2 + 16)Aplicamos transformada inversa

L1[

4 s2s(s2 + 16)

]= L1

[4

s(s2 + 16)

] L1

[s

(s2 + 16)

]=

L1[

s

s2 + 2

]= cost , donde = 4

L1[

s

(s2 + 16)

]= cos 4t

Entonces para L1[

4

s(s2 + 16)

]si L1

[

s2 + 2

]= sint , donde = 4

L1[

4

s(s2 + 16)

]=

t0sin 4d =

[1

4cos 4

]t0

= [1

4cos 4t 1

4

]=

14cos 4t+

1

4

L1[

4 s2s(s2 + 16)

]= 1

4cos 4t+

1

4 cos 4t = 3

4cos 4t+

1

4

por linealidad

y =3

4cos 4x+

1

418.

y 2y+ 5y = 0 , y(0) = 2 , y(0) = 4;Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuacin

L [y 2y+ 5y] = L [0]Usamos formulas de transformadas de Laplace de derivadas

L[y](s) = Y (s)L[y](s) = sY (s) y(0) = sY (s) 2L[y](s) = s2Y (s) sy(0) y(0) = s2Y (s) 2s 4Al sustituir estas expresiones en la ecuacin nos da

s2Y (s) 2s 4 2 [sY (s) 2] + 5Y (s) = 0s2Y (s) 2s 4 2sY (s) 4 + 5Y (s) = 0Factorizamos y despejamos Y (s)Y (s)(s2 2s+ 5) 2s 8 = 0Y (s)(s2 2s+ 5) = 2s+ 8Y (s) =

2s+ 8

(s2 2s+ 5)Ahora calculamos la transformada inversa de la funcin racional Y (s), paraesto usaremos un desarrollo en fracciones parciales

50

Como s22s+5 es irreducible, escribimos este factor en la forma (s)2+2(s 1)2 + 22Y (s) =

2s+ 8

(s 1)2 + 22 =A(s 1) + 2B(s 1)2 + 4

2s+ 8 = A(s 1) + 2BHacemos s = 1, 1en el primer caso obtenemos

2(1) + 8 = A(2) + 2B , 6 = 2A+ 2B2(1) + 8 = A(0) + 2B , B = 56 = 2A+ 10 , A = 2Sustituimos estos valores en el desarrolo de fracciones parciales.

Y (s) =2(s 1) + 2(5)(s 1)2 + 4 =

2s 2 + 10(s 1)2 + 4 =

2s+ 8

(s 1)2 + 4aplicamos transformada inversa de Laplace

2L1[

s

(s 1)2 + 4]+ 4L1

[2

(s 1)2 + 4]

f(t) = 2et cos 2t+ 4et sin 2t

19.

w+ w = t2 + 2 , w(0) = 1 , w(0) = 1s2W (s) sw(0) w(0) +W (s) = L[t2] + L[2]W (s)(s2 + 1) s+ 1 = 2

s3+

2

s

W (s)(s2 + 1) =2 + 2s2

s3+ s 1

W (s) =

2(1 + s2) + s4 s3s3

s2 + 1=

2 + 2s2 + s4 s3s3(s2 + 1)Aplicamos la transformada inversa

f(t) = L1[

2

s3(s2 + 1)

]+L1

[2

s(s2 + 1)

]+L1

[s

(s2 + 1)

]L1

[1

(s2 + 1)

]Aplicamos el teorema de la transformada de la integral para las dos primeras

transformadas inversas.

L1[

2

s3(s2 + 1)

]=

t02 sin d = 2 cos |t0 = 2 cos t+ 2

= 2 t0[cos 1] d = 2(sin )|t0 = 2(sin t t) = 2t 2 sin t

= 2 t0( sin )d = 2(1

22 + cos )|t0 = t2 + 2 cos t 1

= t0(2 + 2 cos 1)d = (1

33 + 2 sin )|t0 =

1

3t3 + 2 sin t t

L1[

2

s(s2 + 1)

]=

t02 sin d = 2 cos |t0 = 2 cos t+ 2

L1[

s

(s2 + 1)

]= cos t

51

L1[

1

(s2 + 1)

]= sin t

Sustituyendo

f(t) =1

3t3 + 2 sin t t 2 cos t+ 2 + cos t sin t

References

[1] Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill,

Novena edicin, Editorial Cengage learning. Ejercicios 7.1, Problema 21

[2] Ecuaciones diferenciales, Isabel Carmona Jover, Cuarta edicin, Editorial

Pearson Educacin, Ejercicios 7.1, Problemas 1, 4, 14, 18. Ejercicios 7.2,

Problemas 1, 2, 5, 9, 10, 15, 18, 19

[3] Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, R. Kent Na-

gle, Edward B. Sa, Arthur David Snider, Cuarta edicin, Editorial Pearson

educacin. Ejercicios 7.5, Problemas 1

52