INTERÉS COMPUESTO

Simple Calculamos los intereses sobre el principal

Compuesto Calculamos intereses sobre el principal y sobre los intereses ganados

Conceptos relacionados con los tipos de interés:

El Principal

La tasa de interés Interés simple

El número de periodos

El periodo de capitalización

Por ejemplo:

El Principal S/. 10,000

La tasa de interés 0.36

El número de periodos 1

El periodo de capitalizació Mensual

Ejemplo:

Al final del primer año, se tendrá:

Al final del segundo año, se tendrá:

Al final del tercer año, se tendrá:

Al final del primer año, se tendrá:

Tipos de Interés

Intrerés compuesto

¿Cuáles son los elementos del interés compuesto si el Banco MPZ coloca uaan capital de S/. 10.000, a una tasa de interés de 0,36 anual, capitalizable mensualmente?

¿Cuánto recibirá la empresa REPI S. A., al cabo de tres año si deposita S/. 10.000 en el Banco MPZ, a un porcentaje anual del 8 %, capitalizable anualmente?

Llamaremos S1, S2 y S3 a la cantidad que REPI S. A. va acumulando año tras año.

S1 = 10.000 + 0,08*10.000

S1 = 10.800

S2 = 10.800 + 0,08*10.800

S1 = 11.664

S3 = 11.664 + 0,08*11.664

S3 = 12.597,12

Donde P es el capital inicial o principal o capital

i es la tasa de interés anual

Al final del segundo año, se tendrá:

Al final del tercer año, se tendrá:

n es el número años

Jean Baptiste Say: "Ley del Mercado": "Toda oferta crea su propia demanda"

¿Cómo sería la fórmula si la acumulación fuera semestral?

Yaipén n son los añoSemestre

Rojas n son los añoGeneral

S1 = P + i*P

S1 = P*(1 + i)

S1 es la suma acumulada al final del primer año

S2 = S1 + i*S1

S2 = S1*(1 + i)

pero S1 = P*(1 + i)

reemplazando el valor de S1 en S2:

S2 = P*(1 + i)*(1 + i)

S2 = P*(1 + i)2

S3 = S2 + i*S2

S3 = S2*(1 + i)

pero S2 = P*(1 + i)2

reemplazando el valor de S2 en S3:

S3 = P*(1 + i)2*(1 + i)

S3 = P*(1 + i)3

Sn = P*(1 + i)n

Sn = P*(1 + i/2)2n

Sn = P*(1 + i/m)mn

m son las veces que se capitaliza en el año

n es el número de periodos

n es el número de semestres

n es el número de trimestres

n es el número de meses

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Por ejemplo:

1,080 I = S -P I = 80

i = I/P 0.08 i nominal

n es el número de periodos (trimestres)

al escribir i/4 estamos expresando la tasa trimestral

periodos con tasa de acumulación.

1,082.43 I = S -P I = 82.43

i = I/P 0.082 i efectivo

Generalmente: i efectivo > i nominal

Sn = P*(1 + i/m)n

Sn = P*(1 + i/2)n

Sn = P*(1 + i/4)n

Sn = P*(1 + i/12)n

Si los periodos de capitalización fueran igual al periodo para el que se dio la tasa de interés, no habría problema.

Pero, generalmente, no es así. Por el contrario, en la mayoría de los casos, se nos indica tasaas de interés anual, pero los periodos de capitalización son menores de un año (semestral, trimestral, bimestral, mensual, etc.)

Si depositamos S/. 1.000 durante año y la tasa de interés es 0,08 anual, los intereses diferirán, si la acumulación es anual o si es trimestral, por ejemplo.

Si la acumulación es anual, all final del año se habrá acumulado lo siguiente:

Sn = P*(1 + i)n

S1 = 1.000*(1 + 0,08)1

S1 =

Si la acumulación es trimestral, al final del año se habrá acumulado lo siguiente:

Sn = P*(1 + i/4)n

S1 = 1.000*(1 + 0,08/4)4

S1 =

VALOR PRESENTE

¿Cómo se transformaría la fórmula para el caso en que S fuera 1?

Factor de Actualización de la Serie

El valorde P cuando el valor futuro es 1.

P = S*FASPor ejemplo:

P = 6805.83

Sn = P*(1 + i)nEsta fórmula nos decía cuál era el monto o suma futura o valor futuro que debía recibir una empresa que deposita en un banco un capital inicial o principal (P), a una tasa de interés anual dada, en un cierto número de años o periodos.

S = P*(1 + i)n

A partir de dicha fórmula para el valor futuro (S), podemos despejar el valor de P, obteniendo la siguiente expresión formal:

En este caso, P se denomina VALOR PRESENTE de una suma futura S. Y la tasa de interés se acostumbra a denominar "tasa de descuento".

¿Cuál es el valor presente de S/. 10.000 recibidos dentro de 5 años a una tasa de interés de 0,08 anual?

En el ejemplo anterior, estamos suponiendo que el dinero se recibe por una vez al final del periodo ¿Qué tal si se va recibiendo en partes en diferentes momentos? En ese caso, tenemos que hallar el valor presente de cada una de esas sumas y luego sumarlas.

ni)(1S

P

ni)(11

P

ni)(11

FAS

ni)(1S

P

50.08)(110.000

P

Por ejemplo:

Años 2 3 4 5 i = 0.08

Montos 10000 12600 15700 18000

8573.3882

10002.2862

11539.9687

12250.4975

42,366.14

¿Qué tal si todos montos pagados en diferentes momentos en el tiempo fueran iguales?

Pero, ese será tema de la siguiente unidad.

En el ejemplo anterior, estamos suponiendo que el dinero se recibe por una vez al final del periodo ¿Qué tal si se va recibiendo en partes en diferentes momentos? En ese caso, tenemos que hallar el valor presente de cada una de esas sumas y luego sumarlas.

¿Cuál es el valor presente de los siguientes montos: S/. 10.000 recibidos al final del segundo año, S/. 12.600 recibidos al final del tercer año; 15.700 recibidos al final del cuarto año y 18.000 recibidos al final del quinto año, si la tasa de descuento es 0.08?

P2 = 10000/(1 + 0.08)2 =

P3 = 12600/(1 + 0.08)3 =

P4 = 15700/(1 + 0.08)4 =

P5 = 18000/(1 + 0.08)5 =

S1 = S2 = … = Sn

En ese caso, los pagos anuales (o periódicas) se transforman en lo que denomina una ANUALIDAD.

Calculamos intereses sobre el principal y sobre los intereses ganados

m son las veces que se capitaliza en el año

En ese caso, los pagos anuales (o periódicas) se transforman en lo que denomina una ANUALIDAD.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERES COMPUESTO

a. ¿Cuál es el interés compuesto y el monto acumulado?

a) Calcular el importe de cada pago?

b) Si la capitalizacion fuera bimestral ¿Cuál seria el importe de cada pago?

a) ¿Cuál es el descuento bancario compuesto?

b) ¿Cuál es el importe liquido de la letra despues del descuento?

1. Luis recibe S/. 5.000 de la empresa donde labora (por sus vacaciones del año y gratificaciones de fiestas patriass) que tendrá depositado en el Banco Nuevo Mundo, durante 90 días al 24 % de interés anual.

b. Si luis decide que su capital debe estar depositado durante 10 meses, a la tasa de interés pactada anteriormente ¿Cuánto será el interés y el monto acumulado?

c. Ahora Luis desea ganar S/, 1200. Si la tasa de interés no cambia ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para obtener esos intereses?

d. Luis desea que el Banco Nuevo Mundo le pague S/. 1200 de intereses por su depósito, en el lapso de nueve meses ¿Cuál es la tasa de interés anual compuesta que debería solicitar por su depósito?

e. Si la nueva tasa de interés es 0,3322 anual, entonces Luis desea obtener los S/. 1.200 de intereses por su depósito en un periodo de 5 meses ¿Cuál sería el nuevo capital que necesitaría?

2. La empresa Aventura SAC abre una cuenta de ahorros con un deposito inicial de

S/. 220000.00, hace un nuevo deposito 6 meses mas tarde por S/. 95000.00 y otro

deposito por S/. 125000.00 , 15 meses despues. Mantiene dicha cuenta durante 2

años y medio, al final de este tiempo retira el total acumulado. Suponiendo que el

banco le abona un interes sobre el saldo del 5% mensual el primer año y 4%

mensual de alli en adelante, ¿Cuánto retiro la empresa?

3. Una deuda de S/. 10000.00 fue pactada para cancelarse en 4 pagos bimestrales

proporcionales a 2, 4, 6 y 8. Si se aplica una tasa nominal anual de 36% con

capitalizacion mensual.

4. Usted suscribe un pagare cuyo valor nominal es S/. 5000.00 , se descuenta a una tasa de 3.6% mensual; si desea cancelar estos documentos faltando 60 dias para su vencimiento.

c) Si el descuento esperado es S/. 400.00 durante el mismo tiempo ¿Cuál debera

ser la tasa de descuento aplicada?

a) ¿Cuál es el descuento aplicado al pagare?

b) Que importe liquido recibira el banco?

a) ¿Calcular el importe del pago?

b) Si la capitalizacion fuera trimestral ¿Cuál seria el importe de cada pago?

a. ¿Cuál sería el valor de cada uno de los cinco pagos?

5. Un banco carga una tasa de descuento compuesta 1.3% mensual en sus operaciones. Si la empresa Horizonte S.A. acepta un pagare de S/. 6000.00 a 90 dias:

6. Usted adquiere una maquina cuyo precio contado es US$40000.00, pero el vendedor le otorga facilidades, pagara solamente el 30% de cuota inicial y el resto lo pagara en cinco cuotas mensuales iguales; si la tasa mensual compuesta

7. Usted recibe del banco El Nuevo Mundo S/. 50000.00 y se compromete a cancelarlo en 8 pagos trimestrales iguales y una tasa nominal anual de 24% con capitalizacion mensual.

8. A un acreedor deben pagarle S/. 6.000 al cabo de un año, S/. 5.000 al cabo de dos años, S/. 4.000 al cabo de tres años, S/. 2.000 al cabo de cuatro años y, finalmente, S/. 1.000 al cabo de cinco años. Le gustaría reestructurar el préstamo en cinco pagos anuales iguales, que se vencerían al final de cada año. Si convienen en un interés compuesto de 0.06 anual:

b. Si el valor actual de la deuda acumulada en veinte años es S/, 50.000 ¿Cuál será el valor de cada uno de los veinte pagos anuales si todos los pagos son iguales?

a. ¿Cuál es el interés compuesto y el monto acumulado?

P = 5000 n (días) = 90 i = 0.24

año = 360 S = ? I = ?

S = 5276.25

I = S - P

I = 276.25

P = 5000 n (meses) = 10 i = 0.24

año (meses) = 12 S = ? I = ?

S = 5981.66

I = S - P

I = 981.66

P = 5000 n = ? i = 0.24

año (meses) = 12 S = ? I = 1200

S = P + I

S = 6200

1. Luis recibe S/. 5.000 de la empresa donde labora (por sus vacaciones del año y gratificaciones de fiestas patrias) que tendrá depositado en el Banco Nuevo Mundo, durante 90 días al 24 % de interés anual.

S = P*(1 + i)n

S = 5000*(1 + 0,24)90/360

b. Si luis decide que su capital debe estar depositado durante 10 meses, a la tasa de interés pactada anteriormente ¿Cuánto será el interés y el monto acumulado?

S = P*(1 + i)n

S = 5000*(1 + 0,24)10/12

c. Ahora Luis desea ganar S/, 1200. Si la tasa de interés no cambia ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para obtener esos intereses?

S = P*(1 + i)n

6200/5000 = (1+0.24)^n

log (1,24) = Log(1,24)^n

log (1,24) = n Log(1,24) n = log(24)/log(24)

n = 1

n = 1 año n = 12 meses

P = 5000 n (meses) = 9 i = ?

año (meses) = 12 S = 6200 I = 1200

1.33217797 = 1 + i (1.24)^12/9 = 1 +i

i = 0,3322

P = ? n (meses) = 5 i = 0.3322

año (meses) = 12 S = ? I = 1200

I = S - P S = P (1+i)^n

0.1269481

1200= 0,12694813*P

6200 = 5000*(1 + 0,24)n

1,24 = 1,24n

d. Luis desea que el Banco Nuevo Mundo le pague S/. 1200 de intereses por su depósito, en el lapso de nueve meses ¿Cuál es la tasa de interés anual compuesta que debería solicitar por su depósito?

S = P*(1 + i)n

6200 = 5000*(1 + i)9/12

1,24 = (1 + i)9/12 (1,24)^12 = ((1 + i)9/12)*12

((1,24)^12)^1/9 = (((1 + i)9/12)*12)*1/9

e. Si la nueva tasa de interés es 0,3322 anual, entonces Luis desea obtener los S/. 1.200 de intereses por su depósito en un periodo de 5 meses ¿Cuál sería el nuevo capital que necestaría?

I = P*(1+i)^n - P

I = P*([1 + i]n - 1)

1200 =P([1+0,3322]5/12-1)

[1 + 0,3322]5/12 - 1 =

P = 9,452.68

S =9452,68*(1 + 0,3322)5/12

S = 10652.679

S = 10,652.68

I = 1200

2. La empresa Aventura SAC abre una cuenta de ahorros con un deposito inicial de S/. 220000.00, hace un nuevo deposito 6 meses mas tarde

por S/. 95000.00 y otro deposito por S/. 125000.00 , 15 meses despues. Mantiene dicha cuenta durante 2 años y medio, al final de este tiempo

retira el total acumulado. Suponiendo que el banco le abona un interes sobre el saldo del 5% mensual el primer año y 4% mensual de alli en

adelante, ¿Cuánto retiro la empresa?

P1 = 220.000 P2 = 95000 P3 = 125000

5% 5% 5% 5% 4% 4%

0 3 6 9 12 15

P1 S1

P2 S2 S = S1 + S2 + S3

P3 S3

a )

PS1

P1 = 220.000

5% 5% 5% 5% 4% 4%

0 3 6 9 12 15

P1 PS1

P1 = 220000 n (meses) = 12 i = 0.05

año = 12 PS1 = ? I = ?

PS1 = 220000*(1 + 0,05)12

PS1 = 395088.39

PS1 = 395088.39 n (meses) = 18 i = 0.04

año = 12 S1 = ? I = ?

PS1 = P1*(1 + i)n

S1 = PS1*(1 + i)n

S1 = 395088.39*(1 + 0,04)18

S1 = 800376.59

b )

PS2

P2 = 95000

5% 5% 5% 5% 4% 4%

0 3 6 9 12 15

P1 PS1

P2 = 95000 n (meses) = 6 i = 0.05

año = 12 PS2 = ? I = ?

PS2 = 95000*(1 + 0,05)6

PS2 = 127309.09

PS1 = 127309.09 n (meses) = 18 i = 0.04

año = 12 S1 = ? I = ?

S2 = 127309.09*(1 + 0,04)18

S2 = 257904.85

c ) P3 = 125000 n (meses) = 15 i = 0.04

año = 12 P3 = ? I = ?

S3 = 125000*(1 + 0,04)15

S3 = 225117.94

PS2 = P2*(1 + i)n

S2 = PS2*(1 + i)n

S3 = P3*(1 + i)n

d ) S = S1 + S2 + S3

S = 1,283,399.38

2. La empresa Aventura SAC abre una cuenta de ahorros con un deposito inicial de S/. 220000.00, hace un nuevo deposito 6 meses mas tarde

por S/. 95000.00 y otro deposito por S/. 125000.00 , 15 meses despues. Mantiene dicha cuenta durante 2 años y medio, al final de este tiempo

retira el total acumulado. Suponiendo que el banco le abona un interes sobre el saldo del 5% mensual el primer año y 4% mensual de alli en

S

P3 = 125000

4% 4% 4% 4%

18 21 24 27 30

S1 + S2 + S3

S1

4% 4% 4% 4%

18 21 24 27 30

S1

S2

4% 4% 4% 4%

18 21 24 27 30

S1

4. Usted suscribe un pagare cuyo valor nominal es S/. 5000.00 , se descuenta a una tasa de 3.6% mensual; si desea cancelar estos documentos faltando 60 dias

para su vencimiento:

a) ¿Cuál es el descuento bancario compuesto?

b) ¿Cuál es el importe liquido de la letra despues del descuento?

c) Si el descuento esperado es S/. 400.00 durante el mismo tiempo ¿Cuál debera ser la tasa de descuento aplicada?

P

3.6%

0 60 dias

S = 5000 n (meses) = 2 i = 0.036

año = 1 P = ? I = ?

b)

P = 5000/(1 + 0,036)2

P = 4658.55

a) D = S - P

D = 5000 - 4658.55

D = 341.45

c) D = 400

D = S - P

P = S - D

P = 5000 - 400 = 4600

4600 = 5000/(1 + i)2

P = S/(1 + i)n

P = S/(1 + i)n

(1 + i)2 = 5000/4600 = 1.08695652

1 + i = 1.04257207

i = 0.04257

4. Usted suscribe un pagare cuyo valor nominal es S/. 5000.00 , se descuenta a una tasa de 3.6% mensual; si desea cancelar estos documentos faltando 60 dias

c) Si el descuento esperado es S/. 400.00 durante el mismo tiempo ¿Cuál debera ser la tasa de descuento aplicada?

S = 5000