ejercicios serie de fourier
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Universidad De La Amazonia
Parcial 3Matematicas De Control Y
Comunicacion
Author:Miguel LeonardoSanchez Fajardo
Supervisor:Prof. Jorge E. Trivino
Macias
17 de octubre de 2013
PREGUNTAS
1. Para f(x) =
0, si −π ≤ x ≤ 0
x, si 0 ≤ x ≤ π
a) Escriba la serie de Fourier de f en [−π, π] y pruebe que esta serieconverge a f en (−π, π).
b) Pruebe que esta serie se puede integrar termino a termino.
c) Use los resultados obtenidos en (a) y (b) para obtener un desarrollo
en series trigonometrica para
∫ x
−πf(t) dt en [−π, π]
2. Sea f(x) = x senx , para −π ≤ x ≤ π.
a) Escriba la serie de Fourier para f en [−π, π].
b) Pruebe que la serie se puede diferenciar termino a termino y utiliceeste hecho para obtener el desarrollo de Fourier de: sen x+x cos xen [−π, π].
3. Encuentre la suma de la serie∞∑n=1
(−1)n
4n2 − 1.
SUGERENCIA: Desarrolle senx en una serie en cosenos en [0, π] yescoja un valor adecuado de x.
OBSERVACION: El documento fue elaborado mediante el softwareLATEX y las graficas fueron realizadas y editadas mediante Geogeobra 4.2.Los ejercicios fueron hechos con las formulas del libro Matematicas Avan-zadas para Ingenieria - Peter O’Neil - 5ta Edicion con el fin de evitarproblemas, mal entendidos (copia del trabajo), discusiones.
1
DESARROLLO
1. Para f(x) =
0, si −π ≤ x ≤ 0
x, si 0 ≤ x ≤ π
a) Escriba la serie de Fourier de f en [−π, π] y pruebe que esta serieconverge a f en [−π, π]. RESPUESTA:
f(x) =1
2a0 +
∞∑n=1
[bn sen
( nπxL
)+ an cos
( nπxL
)]
a0 =1
L
∫ π
−πf(x) dx
=1
π
∫ 0
−π0 dx+
1
π
∫ π
0
x dx
=x2
2π
∣∣∣∣π0
=π
2
an =1
L
∫ L
−Lf(x) cos
( n π xL
)dx
u = x; du = dx | dv = cos(nx) dx; v =1
nsen(nx)u = x; du = dx | dv = cos(nx) dx; v =
1
nsen(nx)u = x; du = dx | dv = cos(nx) dx; v =
1
nsen(nx)
an =1
π
∫ 0
−π0 cos
( nπxπ
)dx+
1
π
∫ π
0
x cos( nπx
π
)dx
=1
nπ
[x sen(nx)
]π0
− 1
nπ
∫ π
0
sen(nx)dx
=1
n2 π
[cos(nx)
]π0
=1
n2 π
[cos(nπ)− 1
]=
1
n2 π
[(−1)n − 1
].
2
bn =1
L
∫ L
−Lf(x) sen
( nπxL
)dx.
u = x; du = dx | dv = sen(nx) dx; v = − 1
ncos(nx)u = x; du = dx | dv = sen(nx) dx; v = − 1
ncos(nx)u = x; du = dx | dv = sen(nx) dx; v = − 1
ncos(nx)
bn =1
π
∫ 0
−π0 sen(nx)dx+
1
π
∫ π
0
x sen(nx)dx
= − 1
nπ
[x cos(nx)
]π0
+1
nπ
∫ π
0
cos(nx) dx
= − 1
nπ
[π cos(nπ)− 0
]+
1
n2 π
[sen(nx)
]π0
= − 1
ncos(nπ) +
1
n2π
[sen(nπ)− 0
]=
1
n(−1)n+1.
La serie general de fourier para f(x) es:
f(x) =π
4+∞∑n=1
[(−1)n+1
nsen(nx) +
(−1)n − 1
n2πcos(nx)
]f(x) =
π
4+∞∑n=1
[(−1)n+1
nsen(nx) +
(−1)n − 1
n2πcos(nx)
]f(x) =
π
4+∞∑n=1
[(−1)n+1
nsen(nx) +
(−1)n − 1
n2πcos(nx)
]Para probar la convergencia de la serie de fourier de f(x) es necesariocomprobar que f sea continua a tramos. Para ello, es necesario graficarla funcion dada y comprobar las hipotesis del teorema de convergenciade serie de fourier.
Comprobamos si f(x) es continua a tramos.
3
• Comprobamos que tenga un lımite finito de discontinuidades.En este caso, f(x) tiene un punto de discontinuidad que es x0 = 0.
• Comprobamos que existan los lımites en los extremos. Entoncesf(−π+) = 0.f(π−) = π.
• Comprobamos que existan los lımites laterales en el punto de dis-continuidad.f(0−) = 0.f(0+) = 0.
Dado que f(x) cumple las 3 hipotesis del teorema, podemos decir conseguridad que f(x) es continua a tramos. Luego f(x) converge a lafuncion Φ que esta dada por:
Φ =
0, −π ≤ x ≤ 0.
0, x = 0.
x, 0 < x ≤ π.
π
2, x± π.
b) Pruebe que esta serie se puede integrar termino a termino.
RESPUESTA: La serie se puede integrar tertmino a termino porquef(x) es una funcion continua a tramos en [−L, L], con serie de Fourier:
f(x) =1
2a0 +
∞∑n=1
[ancos
( nπxL
)+ bn sen
( nπxL
)].
c) Use los resultados obtenidos en (a) y (b) para obtener un desarrollo en
series trigonometrica para
∫ x
−πf(t) dt en [−π, π]
RESPUESTA: Entonces para cada x con −L ≤ x ≤ L:
4
∫ x
−Lf(t) dt =
∫ x
−π
π
4dt+
∞∑n=1
[ ∫ x
−π
(−1)n − 1
n2πcos(nt)dt+
∫ x
−π
(−1)n+1
nsen(nt)dt
]
∫ x
−Lf(t) dt =
π
4
∫ x
−πdt+
∞∑n=1
[(−1)n − 1
n2π
∫ x
−πcos(nt)dt+
(−1)n+1
n
∫ x
−πsen(nt)dt
]
∫ x
−Lf(t) dt =
π
4
[t
]x−π
+∞∑n=1
[(−1)n − 1
n3π
[sen(nt)
]x−π
+(−1)n+2
n2
[cos(nt)
]x−π
]
∫ x
−Lf(t) dt =
π
4
[x+ π
]+∞∑n=1
[(−1)n+1 + 1
n3π
[sen(nx) + sen(nπ)
]
+(−1)n+2
n2
[cos(nx)− cos(nπ)
]]∫ x
−Lf(t) dt =
π(x+ π)
4+∞∑n=1
[(−1)n+1 + 1
n3π
[sen(nx)
]+
(−1)n+2
n2cos(nx)− (−1)n
].
5
2. Sea f(x) = x senx , para −π ≤ x ≤ π.
a) Escriba la serie de Fourier para f en [−π, π]. RESPUESTA:
f(x) =1
2a0 +
∞∑n=1
[bn sen
(nπxL
)+ an cos
(nπxL
)]f(x) =
1
2a0 +
∞∑n=1
[bn sen
(nπxL
)+ an cos
(nπxL
)]f(x) =
1
2a0 +
∞∑n=1
[bn sen
(nπxL
)+ an cos
(nπxL
)]
a0 =1
L
∫ π
−πf(x) dx
=1
π
∫ π
−πx senx dx
=2
π
∫ π
0
x senx dx
u = x; du = dx | dv = senx dx; v = − cosxu = x; du = dx | dv = senx dx; v = − cosxu = x; du = dx | dv = senx dx; v = − cosx
a0 = − 2
π
[x cosx
]π0
+2
π
∫ π
0
cosxdx
= − 2
π
[(π) cos(π)− (0) cos(0)
]+
2
π
[senx
]π0
= − 2
π
[(π) cos(π)
]+
2
π
[sen(π)− sen(0)
]= − 2
π[−π]
= 2.
an =1
L
∫ L
−Lf(x) cos
(nπxL
)dx
=1
π
∫ π
−πx sen(x) cos(nx)dx
=2
π
∫ π
0
x sen(x) cos(nx)dx
u = x; du = dx | dv = sen(x(1± n)) dx; v = − 1
n± 1cos(x(1± n))u = x; du = dx | dv = sen(x(1± n)) dx; v = − 1
n± 1cos(x(1± n))u = x; du = dx | dv = sen(x(1± n)) dx; v = − 1
n± 1cos(x(1± n))
6
an =1
π
∫ π
0
x
[sen(x(1 + n)) + sen(x(1− n))
]dx
=1
π
∫ π
0
x sen(x(1 + n)) dx+1
π
∫ π
0
x sen(x(1− n)) dx
= − 1
π(1 + n)
[x cos(x(1 + n))
]π0
+1
π(1 + n)
∫ π
0
cos(x(1 + n)) dx
− 1
π(1− n)
[x cos(x(1− n))
]π0
+1
π(1− n)
∫ π
0
cos(x(1− n)) dx
= − 1
π(1 + n)
[(π) cos(π(1 + n))− (0) cos(0(1 + n))
]+
1
π(1 + n)2
[sen(x(1 + n))
]π0
− 1
π(1 + n)
[(π) cos(π(1− n))− (0) cos(0(1 + n))
]+
1
π(1− n)2
[sen(x(1− n))
]π0
= − 1
π(1 + n)
[π cos(π(1 + n))
]+
1
π(1 + n)2
[sen(π(1 + n))− sen(0(1 + n))
]− 1
π(1 + n)
[(π) cos(π(1− n))
]+
1
π(1− n)2
[sen(π(1− n))− sen(0(1− n))
]= − 1
π(1 + n)
[(π) cos(π(1 + n))
]+
1
π(1 + n)2
[sen(π(1 + n))
]− 1
π(1 + n)
[(π) cos(π(1− n))
]+
1
π(1− n)2
[sen(π(1− n))
]= − 1
π(1 + n)
[(π)(−1)n cos(π)
]+
1
π(1 + n)2
[(−1)n sen(π)
]− 1
π(1 + n)
[π(−1)n cos(π)
]+
1
π(1− n)2
[(−1)n sen(π)
]=
(−1)n+1
n2 − 1.
bn =1
L
∫ L
−Lf(x) sen
(nπxL
)dx
=1
π
∫ π
−πx sen(x) sen(nx)dx
Como los lımites son simetricos y la funcion es impar dado que x y senson funciones impares y segun las formulas
impar ∗ impar = parimpar ∗ impar = parimpar ∗ impar = par
7
Pero como son 3 funciones impares entonces
impar ∗ impar ∗ impar = par ∗ impar = imparimpar ∗ impar ∗ impar = par ∗ impar = imparimpar ∗ impar ∗ impar = par ∗ impar = impar
Las funciones impares son = 0. Por lo tanto: bn = 0
La serie general de fourier para f(x) es:
f(x) = 1 +∞∑n=1
[(−1)n+1
n2 − 1
]cos(nx)f(x) = 1 +
∞∑n=1
[(−1)n+1
n2 − 1
]cos(nx)f(x) = 1 +
∞∑n=1
[(−1)n+1
n2 − 1
]cos(nx)
b) Pruebe que la serie se puede diferenciar termino a termino y utilice estehecho para obtener el desarrollo de Fourier de:
senx+ x cosxsenx+ x cosxsenx+ x cosx en [−π, π]
RESPUESTA:
Comprobamos si f(x) es continua a tramos. Para ello, es necesario com-probar si cumple las 3 hipotesis del teorema.
• Comprobamos que tenga un lımite finito de discontinuidades. Eneste caso, f(x) tiene cero puntos de discontinuidad.
8
• Comprobamos que existan los lımites en los extremos.f(−π+) = 0f(π−) = 0
• Como f(x) es continua entonces no hay problema en el punto dediscontinuidad.
Por lo tanto, comprobamos que f(x) es continua a tramos. Ademasf(−π) = f(π). Luego el siguiente paso es encontrar la derivada def(x).
f ′(x) = x cosx+ senx en[−π, π].
Comprobamos si f ′(x) es continua a tramos.
• Comprobamos que tenga un lımite finito de discontinuidades. Eneste caso, f(x) tiene cero puntos de discontinuidad.
• Comprobamos que existan los lımites en los extremos.f(−π+) = 0f(π−) = 0
Comprobamos que f ′(x) es continua a tramos. Despues, comprobamosla existencia de f ′′(x). Entonces:
f ′′(x) = 2 cosx− x senx en [−π, π].
Entonces f(x) es igual a la serie de fourier para [−π, π].
f ′(x) =∞∑n=1
nπ
L
[−an sen
(nπxL
)+ bn cos
(nπxL
)]
x cosx+ senx = −∞∑n=1
n
[[(−1)n+1
n2 − 1
]sen(nx)
]
9
3. Encuentre la suma de la serie∞∑n=1
(−1)n
4n2 − 1
SUGERENCIA: Desarrolle senx en una serie en cosenos en [0, π] yescoja un valor adecuado de x.
RESPUESTA:
Serie de Cosenos: =⇒ 1
2a0 +
∞∑n=1
an cos(nπxL
).
a0 =2
π
∫ π
0
sen(x)dx
= − 2
π
[cos(x)
]π0
= − 2
π
[cos(π)− cos(0)
]π0
= − 2
π
[(1− 1)
]= 0
10
an =2
L
∫ L
0
f(x) cos(nπxL
)dx
=2
π
∫ π
0
sen(x) cos(nx)dx
=1
π
∫ π
0
[sen(x+ nx) + sen(x− nx)
]dx
=1
π
∫ π
0
[sen(x(1 + n)) + sen(x(1− n))
]dx
=1
π
[−1
1 + ncos(x(1 + n))− 1
1− ncos(x(1− n))
]π0
=1
π
[−1
1 + ncos(π(1 + n))− cos(0)
]+
1
π
[1
1− ncos(π(1− n))− cos(0)
]=
1
π
[−1
1 + n(−1)1+n − 1
]+
1
π
[1
1− n(−1)1−n − 1
]=
1
π
[(−1)2+n
1 + n+
1
1 + n
]+
1
π
[(−1)−n
1− n+
1
1− n
]=
1
π
[(−1)2+n
1 + n+
2
1 + n2
(−1)−n
1− n
]Serie de Cosenos:
1
2(0) +
∞∑n=1
1
π
[(−1)2+n
1 + n+
2
1− n2+
(−1)−n
1− n
]cos(nx)
∞∑n=1
1
π
[(−1)2+n
1 + n+
2
1− n2+
(−1)−n
1− n
]cos(nx)
Si x = π, entonces
∞∑n=1
1
π
[(−1)2+n
1 + n+
2
1− n2+
(−1)−n
1− n
]cos(nπ)
∞∑n=1
1
π
[(−1)2+n
1 + n+
2
1− n2+
(−1)−n
1− n
](−1)n
11