“El ajedrez como modelo de resolución de problemas matemáticos”

Esteban Jaureguizar

Fundamentos

El valor pedagógico del ajedrez

El ajedrez es un bien cultural de la humanidad, cuya elaboración demandó a varias civilizaciones y numerosas culturas de al menos tres continentes, alrededor de 1500 años de aportes y transformaciones. Es un bien cultural de -como veremos- alto valor educativo, pero que a diferencia de otros bienes, como el cine, la música, la pintura, la fotografía, por ejemplo, necesita ser intencionalmente transferido para que cada sujeto, cada generación y cada cultura pueda apropiárselo y disfrutarlo.

Este bien cultural, que en su génesis es un juego, modo en que lo viven las inmensas mayorías de sus practicantes en casi todo el globo terráqueo, pero que tiene mucho de lo propio del campo de la creación artística, mucho de lo referente a la forma de construcción de saberes delo científico, y también de las formas de organización, entrenamiento y práctica propios de lo deportivo, encierra un nivel de complejidad en la forma de desafío intelectual a quienes lo practican, que definimos como de “infinito abarcable”: sus confines siguen siendo todo un misterio aún para los ordenadores más potentes del mundo, pero lo despleguemos en el nivel que sea, estaremos ante un conjunto de consecutivas situaciones problemáticas que resolveremos desde nuestra particular comprensión de esa globalidad insondable, que nos permitirá no sólo jugar -y ganar o perder- sino también expresar nuestros argumentos, contraponerlos con la mirada del otro, conjeturar, sistematizar, abordar desde heurísticos, construir y deconstruir teorías acerca de nuestras formas de proceder ante determinados patrones, también construidos desde una determinada percepción acerca de los factores que se interrelacionan en cada situación particular del juego.

En tanto juego, el ajedrez permite trabajar tres polaridades que la escuela tradicional puso en lugares contrapuestos, como complementarios y en estado de flujo y retroalimentación, y que guardan estricta relación con las matemáticas, sus formas de abordaje y las competencias que requiere en relación a la resolución de problemas:

- Lo concreto y lo abstracto- El pensamiento lógico y la creatividad- El lugar de problematizador y problematizado

En ajedrez vemos como el pensamiento concreto y el abstracto nunca son secuenciales: no es que cuando culmina el proceso de lo concreto comenzamos con la simbolización, sino que uno se apoya en el otro de manera permanente: elaboro una idea, pero tomo una pieza concreta y la muevo, para ponerla en marcha; capturo una pieza y la atesoro, la contabilizo, y me ayuda a discernir si voy bien o mal en la partida.

Lo mismo sucede con el pensamiento lógico y el creativo, que no son excluyentes, sino complementarios: es indispensable que elabore una situación deseada en mi cabeza, de

manera creativa, para luego realizar un cálculo preciso de ulterioridades derivadas de las jugadas que intuyo pueden llevarme al sitio imaginado.

También el juego propone un cambio de roles en particular para los alumnos, clásicamente ubicados en el sitio de problematizados por el docente, ya que con cada jugada propondrán unproblema silencioso, sin enunciado, a su rival, quien deberá desentramarlo, resolverlo a su vez a partir de su jugada, que al tiempo se convertirá en un nuevo problema para el otro. Este empoderamiento resulta clave para los procesos educativos en los que el eje fundamental es el desarrollo autónomo de los sujetos y los colectivos.

Y adentrándonos más específicamente en la relación entre el ajedrez y el campo de las matemáticas, entendemos que el ajedrez se ofrece como un juego que se despliega sobre un espacio cartesiano, cuyas piezas describen y coordinan movimientos geométricos, se intersectan permanentemente de manera estratégica y la toma de decisiones tiene una base aritmética -en relación a los cálculos necesarios en relación al valor de las piezas capturadas- y de carácter algorítmico -en función de los modelos de toma de decisiones-. También hay un modo de hacer matemático en relación a los modelos de pensamiento y resolución de problemas propios de ambos campos.

Por eso, y al decir del profesor argentino Daniel Justel, el ajedrez se nos presenta como una maqueta para la toma de decisiones, que no es otra cosa que el ejercicio permanente de la facultad de resolución de problemas. Problemas que por otra parte resultan abiertos, sin enunciado, y que exigen que dispongamos de todos nuestros saberes previos de manera organizada pero también creativa en la búsqueda de esas soluciones.

Antes de avanzar en la propuesta concreta acerca de las modalidades de implementación de los talleres y sus contenidos, creo que es necesario discriminar el campo del problema, y diseccionarlo del de los ejercicios, para calibrar mejor el sentido de la propuesta.

Problemas y ejercicios

En estos talleres, trabajaremos la cuestión de la resolución de problemas desde el ajedrez como banco de pruebas, que ofrece un espacio tan lúdico como complejo, profundo y flexible, lo cual lo hace un medio atractivo como espacio de trabajo.

Parece necesario definir primero a qué nos referimos con problema, y a su vez diferenciar a éste del ejercicio. Incluso, expresar una idea acerca de en qué momento es procedente utilizar a los unos y a los otros en el marco de una propuesta pedagógica.

Lo primero que entiendo necesario decir, es que “problemas” y “ejercicios” no se diferencian entre sí tanto por su formulación, como por la percepción que de ellos tengan quienes resultaninterpelados por los mismos. La misma situación puede resultar para un sujeto determinado un complejo problema, y para otro, un simple ejercicio.

Habitualmente se habla de ejercicios como lo relativo a aquellas situaciones que presentan una cuestión a resolver y para lo cual ya conocemos los métodos y procedimientos de solución,conocemos las herramientas y sabemos a qué conocimientos recurrir para alcanzar la solución que por lo general, resulta única.

En cambio, cuando hablamos de problemas, tenemos también una situación que hay que dilucidar, pero acerca de la cuál el camino a la solución no está claro, o al menos no se encuentra dentro de nuestro reservorio de procedimientos conocidos.

Siempre pongo como ejemplo de unos y otros el trabajo del carpintero industrial, y el carpintero del “barrio”: mientras el primero toma -en general- siempre una madera similar, la coloca de la misma manera en la máquina, la procesa de un modo determinado, obtiene los cortes predefinidos y los acopia de la manera establecida, el otro se encuentra en su taller con demandas de lo más diversas e inesperadas, con sillas rotas a las que les falta un pernito que no encontramos, o que hay que reemplazar su respaldo… el hombre irá en busca de lo que tenga en su depósito, y se ingeniará del mejor modo para resolver el problema que le trajo su cliente.

Pero en definitiva, lo que diferencia entonces al problema del ejercicio, es la existencia o no deun método o procedimiento de solución conocido por el sujeto, que pueda o no ser aplicado de manera estereotipada. Si a algo que alguna vez se nos presentó como un “problema” lo repetimos indefinida cantidad de veces, y sólo reemplazamos algunas variables, esa misma situación habrá perdido su carácter de problema para ubicarse en el lugar del ejercicio.

Lo que también es importante señalar es que tanto problemas como ejercicios tienen sus sentidos didácticos: los unos, nos ponen en el lugar del descubrimiento, de la búsqueda, la creatividad, la capacidad resolutiva, la toma de decisiones, el trabajo cooperativo y la metacognición en relación a nuestros saberes; los otros, nos dan expertisse en el manejo de determinadas prácticas de solución de situaciones estándar, y nos habilitan a procesar problemas de mayor envergadura que contengan a algunas de estas situaciones como componentes.

Posibles contenidos: juegos y situaciones problemáticas

¿Cuántas casillas blancas hay? ¿De cuántas maneras diferentes podrías calcularlas?

Problema para tercer año de Primaria en adelante

Este sencillo problema de conteo resulta interesante por la pluralidad de estrategias de solución que se pueden mostrar a los niños.

Evidentemente, al tener el tablero de ajedrez ocho casillas por lado, resulta que las casillas blancas serán 32, al igual que las negras.

A esta cifra podemos llegar contando, sumando, multiplicando o dividiendo:

- Podemos simplemente contarlas a todas- Podemos pensar que si el tablero tiene 64 casillas, la mitad

es 32- Podemos contemplar que cada fila o columna cuenta con

cuatro casillas blancas y hay ocho filas (o columnas), elproducto entre ambos valores es 32.

- Finalmente, otra estrategia (más compleja, perointeresante de mostrar) es agrupar las casillas en diagonal.

Allí veremos que las diagonales blancas que atraviesan el tablero en un sentido, poseen un número par de casillas, y las perpendiculares a ellas, un número par. Así tenemos que en un sentido tenemos 1 + 3 + 5 + 7 + 7 + 5 + 3 + 1, lo que implica (1*2) + (3*2) + (5*2) + (7*2) = 32. Contando en sentido opuesto, tenemos 2+ 4 + 6 + 8 + 6 + 4 +2, lo que se expresaría (2*2) + (4*2) + (6*2) + 8 = 32

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Perímetro y superficie

Problema para quinto año de Primaria

1- Presentar un tablero de ajedrez, proponer medir el perímetro y la superficiedel tablero tomando como unidad el lado de un escaque para el perímetro yun escaque completo para la superficie.

2- Planteamos eliminar el escaque de la esquina superior y medir. Luegoextrayendo un escaque de uno de los lados.

Per1 = 32 unidades Per2 = 32 unidades Per3 = 33 unidades

Sup1 = 64 unidades Sup2 = 63 unidades Sup3 = 63 unidades

Se plantean en la pizarra otras opciones que los alumnos propongan y se mide.

Conclusiones:i. Superficies de igual área, posean diferente perímetro.

ii. Superficies de igual perímetro, posean diferente área.iii. Determinadas transformaciones de las superficies conservan el perímetro y no el área,

otras conservan el área y no el perímetro, y otras modifican tanto el área como elperímetro.

3- Diseñamos tableros irregulares y luego jugamos partidas de ajedrez -o de alguna desus variantes pre ajedrecísticas- sobre los tableros. Comentamos cómo resultó laexperiencia de jugar en esas formas irregulares.

Un rey está situado en la casilla e1, y quiere alcanzar lae8 en el mínimo número de jugadas posibles (sietemovimientos) ¿Cuántos caminos posibles hay?

Problema para Primer año de Secundaria en adelante

Este desafío matemático está inundado de falsas pistas: al principio parece simple,pues no deberían ser muchos caminos los posibles…. Pero al comenzar a enumerarlos,vemos que se trata de una verdadera jungla, y que no nos será nada fácil determinar eltotal.

La cuestión es que el rey está en e1, y para acercarse a e8, en su primera movida tienetres jugadas posibles: ir a f2, a e2 o a d2. Y tiene un único camino para llegar acualquiera de las tres.

Lo que haremos será anotar ese valor (1), representativo de la cantidad de manerasque el rey tiene para llegar a esa casilla, en el interior de la misma.

Luego, veremos que para dar el siguiente paso, puede caminar hacia g3, f3, e3, d3 o c3,y que de ninguna manera se desvía del camino, ya que aunque se esté “abriendo”hacia los bordes del tablero, siempre tendrá la posibilidad de regresar al centro en lasiguiente jugada.

¿Pero de cuántas maneras puede llegar a cada una de esas casillas? Tomaré comoejemplo la más concurrida, que es e3: allí puede llegar desde cualquiera de las tresanteriores, o sea que tiene 3 rutas distintas para acceder a ella. Justamente, ese valor

es el que arroja la suma de los números que escribimos dentro de las casillasanteriores.O sea: cada casilla de la fila inmediata siguiente a la que el rey puede moveracercándose al objetivo, tiene una cantidad de recorridos posibles igual a la suma delos valores que inscribimos en las casillas desde las que puedo llegar a ella.

Así, iremos sumando los valores de las casillas de acceso hasta llegar a e8, quecontendrá la suma de los ya bastante abultados valores que contengan f7, e7 y d7…. ¡Y

allí tendremos la respuesta! Respuesta que, por otra parte, pueden apreciar en eldiagrama que se ve a la izquierda.

De modo que hemos descubierto que tenemos, para este simple recorrido… trescientas noventa y tres posibilidades diferentes.

¿De cuántas maneras legales es posible colocar dos reyessolitarios en el tablero?

Problema para primer año de Secundaria en adelante

Se trata de un problema de conteo que exige un pequeñoanálisis de cuáles son las regularidades posibles.

Si no existiera la limitación de que ambos reyes no puedencolocarse en casillas contiguas, la solución sería simple: a cadauna de las 64 casillas que puede ocupar uno de los reyes,corresponderían 63 posibilidades para el otro.

Pero la limitación reglamentaria obliga a generar algunasrestricciones, y para ello tomaremos tres posibles situaciones:

- Si un rey está en el rincón, su oponente no puede estar en él, ni en las tres casillas vecinas. Es decir, le quedan 60 posibles ubicaciones. El tablero tiene 4 rincones, lo cuál implica 240 posiciones posibles con uno de los reyes en un rincón.

- Si un rey está en cualquiera de las demás casillas de la banda, (son seis por lado, en total, 24 casillas), su oponente no podrá situarse ni en ella, ni en ninguna de sus cinco aledañas. Por lo tanto, puede ocupar cualquiera de las otras 58 posiciones. Por lo tanto, tenemos 24 x 58 = 1392 distribuciones posibles.

- Si un rey está en cualquiera de las casillas que no conforman el borde del tablero, esto es, el cuadrado de seis por seis casillas de su interior, su oponente no podrá ocupar ninguna de las nueve casillas que conforman el cuadrado de 3 x 3 que involucran al reyen cuestión. Por tanto, podrá disponer de 55 posibles ubicaciones. Entonces, tenemos que 55 x 36 = 1980 posibilidades.

- Totalizando, 240 + 1392 + 1980 = 3612 maneras posibles de ubicar dos reyes de manera legal en un tablero de ajedrez.

¿Cuál es la única pieza que se desplaza por la mitad del tablero?

Problema para tercer año de primaria en adelante

Esta pregunta puede resultar casi imposible de ser contestada efectivamente si nos quedamos con la idea que la mitad del tablero es el resultado de partir por la mitad al mismo, sea en un sentido horizontal, vertical e incluso diagonal, e imaginamos que la pieza que buscamos deba circunscribirse a esa área de despliegue. Por supuesto, a ninguna pieza del juego le fue asignada tal limitación.

En realidad, la pieza que tiene una mitad del tablero vedada es justamente el alfil, al movilizarse siempre por las casillas de un mismo color (en diagonal).

El conjunto de las casillas blancas representa una selección de 32 sobre 64 casillas, exactamente la mitad, que resulta difícil de intuir por la persistencia de nuestra representacióncontinua de la mitad.

Así los niños pueden comprender que cualquier conjunto de 32 casillas que seleccionemos, representa la mitad exacta del tablero. Y podemos introducirnos desde allí al trabajo en fracciones.

En un tablero vacío, colocar un alfil donde domine

Problema para Cuarto año de Primaria en adelante

- 7 casillas- 10 casillas- 13 casillas

Este problema tiene una base de conteo, pero un fuerte componente de análisis lógico subyacente.

Después de iterar soluciones con el tablero a la vista,comprobaremos que el alfil domina siete casillas si se ubica encualquier sitio de la banda exterior del tablero, y nueve casillas encualquiera de los escaques pertenecientes al anillo determinadopor las casillas b2 – b7- g7 y g2. En los cuadros centrales dominará13, y en el anillo intermedio entre estos dos últimos, 11; pero queno puede controlar diez casillas de ninguna manera. Se ubiquedonde se ubique, siempre observará un número impar de casillas.

Para echar luz al respecto, podemos detenernos en el análisis delas diagonales perpendiculares del tablero, y por qué siempre secruzarán pares con impares. Si vamos desde fuera hacia el centrodel tablero, vemos que sus diagonales menores tienen dos casillasde largo, y sus paralelas inmediatas serán de tres casillas y de color opuesto. Así, las diagonalesde un color tendrán una cantidad par de casillas, y las del otro, impar.

Pero si observamos sus perpendiculares, lógicamente veremos que el patrón se repite, pero con los colores inversos. De este modo, todas las perpendiculares de un mismo color estarán conformadas por una diagonal par y otra impar. La suma de las casillas de esas dos diagonales que se intersectan, por lo tanto, siempre resultará impar

Tragamonedas

Juego y problemas para primer y segundo año de Primaria

Partimos de un juego en el que el caballo debe capturar las monedas que se encuentran ubicadas sobre el tablero.

Cada jugador a su turno mueve el caballo intentando atrapar la moneda de mayor valor queencuentre.

El objetivo es lograr capturar más “dinero” que el rival una vez que se terminen las fichas.

VARIANTES: Quien atrapa una moneda de 1 juega un turno mas Quien atrapa una moneda de las de menor denominación que queden sobre el

tablero, sigue jugando Se pone un número objetivo, y el que se pasa, pierde Quien encuentra a salto de caballo el mismo número puede atrapar ambas

monedas. Quien encuentra a salto de caballo dos números que completen 10 (decena),

captura a ambos en el mismo turno. Las monedas en juego pueden ser de una cifra o de dos según la numeración

que estemos trabajando.

Analiza: ¿Cuál es la mejor opción para el caballo en su primeramovida? ¿Y si calculamos dos jugadas adelante? ¿Y si miramostambién la tercera?

¿Ha sido siempre la misma jugada inicial la más conveniente encada caso?

Se trata de un problema de horizonte, propio también delpensamiento computacional.

Según cuántas jugadas hacia adelante calculemos, decidiremos dediferente manera, lo que tendrá impacto sobre la primera jugada,ya que probablemente tengamos que tomar distintos caminos enuno u otro caso.

Si evaluamos sólo una jugada, la mejor posibilidad es tomar en e2 (3 puntos), ya que en f3 obtiene 1 y en h3, 2.

Si evaluamos dos movimientos hacia adelante, tenemos que:

a) e2 - c3: 3 + 1 = 4 puntos b) f3 – h4: 1 + 3 = 4 puntosc) h3 – f2: 2 + 3 = 5 puntos

Con lo cual, si evaluamos dos jugadas hacia adelante, nuestra decisión original, que era de comer en e2, varía, ya que evaluamos como mejor comer en h3.

Finalmente, si mirásemos tres jugadas sucesivas, tenemos que:

a. e2 - c3 – d5: 3 + 1 + 2 = 6 puntos b. f3 – h4 – g6: 1 + 3 + 3 = 7 puntosc. h3 – f2 – d3: 2 + 3 + 1 = 6 puntos

Con lo que nuestra determinación inicial vuelve a variar, y ahora asumimos que la mejor jugada inicial es la paradójica 1.Cf3.

En una partida de ajedrez, las blancas han movido únicamente sus caballos hasta situarlos uno al lado del otro, en casillas vecinas de la misma fila. Las negras han realizado 38 jugadas. ¿A quién le toca mover?

Problema para segundo año de Secundaria en adelante

El problema parece imposible de solucionarse con los datos que se tienen, pero hay una serie de pistas muy sutiles, a saber:

- Los caballos blancos están uno al lado del otro, por lo tanto, en casillas de diferente color, tal como iniciaron el juego.

- Las negras realizaron un número par de movidas.- Si sabemos que las blancas siempre mueven primero, sólo nos resta saber si entre los

dos caballos realizaron un número de movimientos par o impar. En el primer caso, seráel turno de juego de las blancas (deberán realizar su jugada número 39), y en caso contrario, de las negras, ya que si las blancas realizaron un número impar de movimientos, éste necesariamente debe ser 39, ya que nunca pueden haber hecho menos jugadas que las negras.

De este modo, todo se reduce a saber si para que los caballos blancos se hallen situados en casillas de color opuesto entre sí, deberían mover una cantidad par o impar de veces en la sumatoria de ambos. Y para ello, es crítico el dato de que el caballo siempre cambia de color de la casilla que ocupa al mover. Si ambos caballos empezaron el juego en casillas de distinto color, ante el primer movimiento (impar) igualaron el color de los escaques, ya que el que movió se situó en una casilla del mismo color que la que ocupa el otro; y en la segunda jugada, sea del caballo que sea, volvieron a la situación desigual del inicio.

Por tanto, en las jugadas pares los caballos se ubican tal como lo dice el problema, en casillas de color opuesto. Las blancas, por ende, movieron 38 veces y es su turno de juego.

En la posición del diagrama, siendo la casilla objetivo a8, señalizada con el rey negro, ¿qué caballo está más cerca del objetivo? ¿El de b8 o el de c4?

Problema para tercer año de Primaria en adelante

Evidentemente, el caballo de b8 tiene una cercanía física mayor al de c4. ¿Pero es eso relevante en términos de alcanzar el objetivo?

Lo que necesitamos en comparar distancias en términos de tiempo, en términos de movimiento de caballo.

Y allí notamos que el caballo de c4 demora dos tiempos, (b6 -a8) y el caballo de b8, al menos tres.

Podemos hacer un análisis cromático del tema, ya que el caballo se desplaza cambiando el color de la casilla que ocupa en cada jugada, siempre ocupará una casilla de color opuesto a la

que inicia la maniobra en un número de jugadas impares. Por tanto, para ir de b8 a a8, al no llegar en una jugada, y tampoco en dos por ser éste un número par, lo hará al menos en tres (que es la respuesta correcta, en términos del camino más corto posible, ya que vía a6 puede acceder a la casilla crítica c7, o vía d7 a la b6).

Calcular la cantidad de posiciones legales que pueden alcanzarse después de

A) 1 jugada de las blancasB) 1 jugada de cada bandoC) La segunda jugada de las blancasD) La segunda jugada de cada bando

Problema para Primer año de Secundaria en adelante

Analizar todas las posibles combinaciones de jugadas que se pueden realizar en el ajedrez, es un desafío que la humanidad se ha propuesto desde hace siglos, y que hace décadas ha trasladado su esfuerzo a los desarrollos de inteligencia artificial, hasta el momento, sin éxito.

Este problema, que tiene aristas muy complejas a pesar de que sólo explora las posibles posiciones en el tablero luego de dos movimientos por bando, es una demostración mínima dela dificultad a la que nos enfrentaríamos, y una muy buena situación problemática.

Calcular la cantidad de opciones de uno y otro bando para la primera jugada (situaciones A y B)es bastante sencillo: en la posición inicial se pueden mover cada uno de los ocho peones y los dos caballos, todos a dos casillas diferentes. En total, 10 trebejos por dos ubicaciones, dan 20 posibilidades.

Si combinamos cada una de las 20 posibles jugadas blancas con las otras tantas respuestas negras, tenemos un total de 400 posiciones posibles diferentes después del primer movimiento de cada jugador.

Pero a partir del segundo turno las cosas se complican, ya que aparecen líneas que se abren a torres y alfiles, jugadas que se hacen imposibles por estar las casillas ocupadas, capturas y jaques, que aumentan o disminuyen ese número base de 20 posibilidades por turno. Si proyectásemos a partir de esa base, tendríamos que después de la segunda jugada negra (cuarto movimiento entre ambos jugadores), tendríamos un total de 20 a la cuarta potencia posiciones diferentes, lo que arroja un total de 160.000 posiciones.

Sin embargo, los números precisos dicen otra cosa: se trata de “solamente” 71.852 posiciones diferentes, que se pueden alcanzar de 197.281 maneras distintas. ¿Cómo es eso? ¿Profundizamos?

Proponemos algunas posiciones para analizar: ¿De cuántas jugadas legales disponen las blancas en cada uno de estos casos?

Como podemos apreciar, en el primer diagrama las blancas disponen de 19 jugadas posibles, ya que han perdido una posible movida de caballo (Ch3) y su peón h ya no tiene

dos opciones, como cuando estaba en h2, sino una, pero a cambio han ganado la posibilidad Th2, de la que antes no disponían.

Mientras que en el segundo diagrama las blancas tienen para elegir entre 29 jugadas: su peón d4 mantiene sus mismas dos jugadas (d5 y dxc5), mientras que el caballo ganó una (Cd2), lo mismo que el rey (Rd2), la dama dos y el alfil cinco.

¿Pero qué pasa con la segunda jugada de las negras? Aquí aparecen por primera vez las situaciones de jaque, que reducen las opciones en algunos casos puntuales. Veámoslo: en el primer diagrama, las negras sólo cuentan con cinco jugadas legales (sobre las veintisiete que podrían realizar de no encontrarse en jaque. Y en el segundo, sólo una sobre diecinueve.

Finalmente, el detalle más importante que produce un importante impacto en la reducción delnúmero que calculamos de manera aproximada al inicio (160.000 posiciones), reside en el hecho de que no estamos contando series de jugadas posibles, sino posiciones finales posibles.Muchas series distintas pueden arrojar la misma posición final. Por ejemplo: 1.e4, e6 2.Cf3, d5 y 1.Cf3, e6 2.e4, d5.

Por este motivo, los estudios –que metodológicamente se basan en calcular cuántas posibles posiciones arrojan las combinaciones de mover un peón y un caballo, un peón y otro peón, etcétera- han determinado ya a principios del siglo XX, que la cantidad de posiciones diferentes después de la segunda jugada de las negras es de 71.852. pero para alcanzarlas existen 197.281 caminos, un número que se parece mucho más al de 160.000 que nuestro cálculo aproximado había arrojado.

Variante:

Podemos proponer el mismo problema con una posición de final de partida, con muy pocas piezas en el tablero. Realmente, es de este modo como los ordenadores están intentando resolver el juego de ajedrez, avanzando desde las situaciones con pocas piezas hacia las complejas.

Análisis retrógrado

¿Cuál de las dos posiciones que vemos en los diagramas es posible de ser alcanzada por medios legales y cuál no? ¿Por qué?

Problema para tercer año de Primaria en adelante

El análisis retrógrado (o retrospectivo), es un tipo de situación problemática que nos invita a indagar no en el futuro de la posición que se muestra, sino en su pasado. La pregunta no es acerca de qué sucederá, sino de cómo pudo haber sucedido. Algo así como el trabajo de un investigador detectivesco.

Las dos posiciones que se muestran parecen iguales, aunque el tablero esté invertido. El alfil da jaque al rey en ambos casos por la gran diagonal blanca, y parecería que resultó imposible que lo lograra, ya que en la jugada inmediata anterior no debía haber jaque, ya que está prohibido por las reglas que un rey permanezca en jaque por más de un movimiento.

¿De dónde pudo haber venido el alfil? Evidentemente no hay ninguna casilla desde la cual pueda haberse trasladado a su rincón sin haberse violado las reglas.

Ambas situaciones parecen inviables, pero aparece una sutileza: en el caso del alfil que se encuentra en a8 (diagrama de la izquierda), existe la posibilidad de que haya llegado allí fruto de una coronación. Es decir, en la jugada precedente no estaba él sobre el tablero sino un peón blanco en a7, que avanzó, coronó y pidió ser alfil, produciéndose por medios legales la situación que tenemos sobre el tablero. Cosa que es imposible en el segundo diagrama.

En las dos posiciones que vemos a continuación: ¿Cuál fue la última jugada de las blancas, que posibilitó el jaque del alfil desde un rincón a otro del tablero? ¿Hay una única respuesta posible en cada caso?

Problema para sexto año de Primaria en adelante

Una vez trabajado el concepto anterior, y visto que el alfil ubicado en la fila 8 puede ser producto de un peón coronado, entendemos también la sutil diferencia entre estos dos diagramas.

Pero el primer caso se asemeja al precedente, con un alfil en h1: ¿cómo pudo dar ese jaque? Evidentemente, no a través de un movimiento propio, sino de una pieza que se apartó de la diagonal blanca, y liberó su ataque sobre el rey negro. Este bien pudo ser el rey blanco, que podría haber estado en d5 o en c6, tapando al alfil, y desde cualquiera de esas dos ubicaciones mover hacia c5.

Pero también pudieron ser los peones: si el peón que está en f5 recientemente estuviese en e4y capturase en la última movida a una pieza negra en f5, hubiese habilitado legalmente a la posición actual. Lo mismo el de g4, que podría provenir de f3 y haber comido en g4. Pero no así el de h3, porque para lograr el mismo efecto, debería provenir de g2. Y si así fuese, el alfil no hubiese tenido modo alguno de ubicarse previamente en h1… La misma consideración corre para el peón de g4, que no pudo haber liberado al alfil tras avanzar dos pasos viniendo desde g2, por idénticos motivos.

En consecuencia, hay cuatro posibilidades: el rey viene de c6 o d5, o hubo capturas de peones en f5 o g4.

En cambio, el segundo diagrama ofrece muchas más alternativas: siguen estando las posibles “descubiertas” con el rey, proviniendo desde d5 o e4. A ello se suma la posibilidad de que la torre de c8 en su jugada inmediata anterior haya estado en c6 y movido a c8.

¿Y los peones? Bueno, aquí la cosa cambia, ya que ahora sí podríamos haber tenido un peón en g2, ya que el alfil no está encerrado en h1. De modo que a las posibles capturas e4xf5, y f3xg4, hay que sumar g2xh3 y el movimiento g2-g4.

¿Eso es todo? ¡No! ¡Faltan las coronaciones! Y en este caso son tres: un peón desde a7 coronó en a8, un peón desde b7 comió en a8 (y en ambos casos eligió ser alfil) o un peón desde b7, que bloqueaba a su alfil, comió en c8 y eligió torre.

¡Un total de 10 posibilidades!

Pero si quisiéramos saber cuántas situaciones diferentes previas pudieron haberse dado en el tablero, tenemos un número muchísimo mayor: cada una de esas piezas pudo tanto mover a una casilla vacía, o capturar a alguna de las cinco figuras negras (dama, torre, caballo, alfil o peón).

El número total de posibles posiciones precedentes es de 42 posiciones… ¡muy interesante para analizar!