El MEF permite obtener unasolucin numricaaproximada sobre uncuerpo, estructura o dominio (medio continuo) sobre el que estn definidas ciertasecuaciones diferencialesenforma dbilo integral que caracterizan el comportamiento fsico del problema dividindolo en un nmero elevado de subdominios no-intersectantes entre s denominados elementos finitos. El conjunto de elementos finitos forma una particin del dominio tambin denominada discretizacin. Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntos representativos llamados nodos. Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento finito; adems, un nodo sobre la frontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llama malla.

Los clculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos), que sirven a su vez de base para discretizacin del dominio en elementos finitos. La generacin de la malla se realiza usualmente con programas especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa a los clculos que se denomina pre-proceso. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor de un conjunto de variables incgnitas definidas en cada nodo y denominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir en forma desistema de ecuacioneslineales (o linealizadas). La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llamamatriz de rigidezdel sistema. El nmero de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al nmero de nodos.

Tpicamente el anlisis de los elementos finitos se programa computacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y, posteriormente, a travs de relaciones cinemticas y constitutivas las deformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de un problema de mecnica de slidos deformables o ms generalmente un problema demecnica de medios continuos. El mtodo de los elementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de clculo complejos (en dos o tres dimensiones). Adems el mtodo es fcilmente adaptable a problemas detransmisin de calor, demecnica de fluidospara calcular campos de velocidades y presiones (mecnica de fluidos computacional, CFD) o decampo electromagntico. Dada la imposibilidad prctica de encontrar la solucin analtica de estos problemas, con frecuencia en la prctica ingenieril los mtodos numricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la nica alternativa prctica de clculo.

Una importante propiedad del mtodo es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitos sucesivamente ms finas, la solucin numrica calculada converge rpidamente hacia la solucin exacta del sistema de ecuaciones.

Breve resea histrica[editar]

El Mtodo de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en1943porRichard Courant, quien utiliz elmtodo de Ritzdeanlisis numricoy minimizacin de las variables de clculo para obtener soluciones aproximadas a un sistema devibracin. Poco despus, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, y L. J. Topp estableci una definicin ms amplia del anlisis numrico.1El documento se centr en la rigidez y deformacin de estructuras complejas. Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el clculo matricial de estructuras. ste parte de la discretizacin de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que se conoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultado de aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de la siguiente manera:

(*)

Donde las incgnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o "solicitaciones" en los nodos (vector) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez). Conocidos dichos desplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solucin obtenida es exacta.

Uso prctico del mtodo hacia 1950[editar]

Cuando se produce la llegada de los primeros equipos de cmputo en ladcada de 1950, el clculo de estructuras se encontraba en un punto en el que los mtodos de clculo predominantes consistan en mtodo iterativos (mtodos de Cross y Kani) que se realizaban de manera manual y, por tanto, resultaban bastante tediosos. El clculo de una estructura de edificacin de varios pisos, por ejemplo, poda llevar varias semanas, lo cual supona un coste sustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en laoptimizacinde la estructura.

La llegada de la computadora permiti el resurgimiento del mtodo de los desplazamientos ya conocidos en siglos anteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difciles de aplicar dado que al final conducan a la resolucin de enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.

De 1960 a 1970[editar]

Cuando las aplicaciones prcticas de elementos finitos crecieron en tamao, los requerimientos de tiempo de clculo y memoria de los ordenadores creci. En ese punto el desarrollo de algoritmos ms eficientes se volvi importante. Para la resolucin de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algoritmos ya conocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensable y con ello el uso del mtodo matricial se extiende. Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificacin donde la discretizacin de los prticos en barras, es prcticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.

Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas con emparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandes dificultades ante estructuras continuas (superficies y volmenes) y con geometras complejas. De ah que sea precisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas tcnicas del MEF. Dada su generalidad el mtodo se ampli a otros campos no estructurales como la conduccin de calor, la mecnica de fluidos, etc. donde compiti con otros mtodos numricos como el demtodo de las diferencias finitasque an siendo ms intuitivos, tenan de nuevo dificultades de planteamiento para geometras complejas.

Con la llegada de los centros de clculo y los primeros programas comerciales en los aos 60, el MEF a la vez que se populariza en la industria refuerza sus bases tericas en los centros universitarios.

En los aos 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografa as como la extensin del mtodo a otros problemas como los no lineales. En esta dcada, el MEF estaba limitado a caros ordenadores centrales generalmente posedo por las industrias aeronuticas, de automocin, de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de elementos y se sientan las bases matemticas rigurosas del mtodo, que haba aparecido antes ms como tcnica de la ingeniera que como mtodo numrico de la matemtica.

A partir de 1980[editar]

Estructura generada por FEM para el anlisis de tensiones de la cabeza de un pistn de un motor de combustin interna alternativo.

Por ltimo, a partir de la dcada de los 80, con la generalizacin de los ordenadores personales, se extiende el uso de los programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurndose el uso de pre y postprocesadores grficos que realizan el mallado y la representacin grfica de los resultados. Se contina en el estudio de la aplicacin del mtodo a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, dao continuo, etc.) y en el anlisis de los errores.

En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEF comparte protagonismo con el mtodo matricial, siendo muchos los programas que mezclan el anlisis por ambos mtodos, debido sobre todo a la mayor necesidad de memoria que requiere el anlisis por elementos finitos. As se ha dejado la aplicacin del MEF para el anlisis de elementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los prticos siguen todava discretizndose en barras y utilizando elmtodo matricial. Y desde el rpido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incremento en la potencia de clculo, el MEF ha desarrollado una increble precisin. A da de hoy, los superordenadores son capaces de dar resultados exactos para todo tipo de parmetros.