Notas para los alumnos de Anlisis Matemtico III

Primer Borrador

EL MODELO DE STURM-LIOUVILLE

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingeniera

Departamento de Matemtica

Universidad de Buenos Aires

2003

V 2.02

INDICE

EL MODELO DE STURM LIOUVILLE

1.- INTRODUCCION 1.1.- OBJETIVOS 2.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE 2.1.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE, vL(u) COMO DIFERENCIAL EXACTA 2.2.- RECIPROCIDAD DEL OPERADOR ADJUNTO DE LAGRANGE 2.3.- IDENTIDAD DE LAGRANGE 3.- OPERADOR AUTOADJUNTO 3.1.- DEFINICION OPERADOR AUTOADJUNTO 3.2.- CONDICION PARA QUE DOS OPERADORES SEAN AUTOADJUNTOS 3.3.- INTEGRACION DE v L(u) - u M(v) PARA UN OPERADOR AUTOADJUNTO 3.4.- TRANSFORMACION DE UN OPERADOR ADJUNTO EN AUTOADJUNTO 4.-ECUACION DIFERENCIAL DEL TIPO STURM LIOUVILLE (EDSL) 4.1.- DEFINICION DE LA EDSL 1.4.2.- FORMA AUTOADJUNTA DE LA ECUACION DE STURM LIOUVILLE 1.4.3.- COMO TRANSFORMAR UNA ECUACION DE STURM LIOUVILLE A LA FORMA AUTOADJUNTA 1.4.4.- LA ECUACION DE STURM LIOUVILLE Y EL OPERADOR LINEAL ASOCIADO 1.4.5.- PROPIEDADES DE LA EDSL 1.5.- EL OPERADOR DE STURM LIOUVILLE COMO OPERADOR HERMITICO 1.5.1.- TEOREMA DE STURM LIOUVILLE 1.5.2.- UNA CONDICION SUFICIENTE PARA ANULAR W 1.5.3.- VARIANTES DE CONDICIONES DE CONTORNO (H2 SL) 1.5.4. EJEMPLOS 1.6.- AUTOVALORES NO NEGATIVOS 1.6.1.- CONDICIONES PARA QUE LOS AUTOVALORES SEAN NO NEGATIVOS 1.6.2.- VARIANTES DE H3 APNDICE I ELEMENTOS DE ESTRUCTURA DE ESPACIO HERMTICO 1.- EEH 1.1.- DEFINICIN 1.2.- PORQUE EEH 2.- ESPACIO DE FOURIER 2.1- DEFINICIN 2.2.- EL ESPACIO DE FOURIER COMO EEH 2.2.1.- DEFINICIN DEL PRODUCTO HERMTICO EN EL ESPACIO DE FOURIER 2.2.2.- ESTRUCTURACIN DEL ESPACIO DE FOURIER COMO EEH 2.2.3- DEFINICIN DE NORMA HERMTICA 3.- OPERADORES HERMITICOS (OH)

3.1.- DEFINICION 3.2.- TEOREMAS DE OH 4.- OPERADORES AUTOADJUNTOS EN EL ESPACIO DE HILBERT 4.1.- SUCESIN DE CAUCHY 4.2- ESPACIO NORMADO COMPLETO O E BANACH 4.3.- ESPACIO DUAL. OPERADOR ADJUNTO Y AUTOADJUNTO 4.4.- ESPACIO DE HILBERT 4.5.- OPERADOR AUTOADJUNTO 4.5.- TEOREMA DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS APNDICE II 1.- IDENTIDAD DE LAGRANGE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n

El modelo de Sturm Liouville busca establecer condiciones para que la EDDT anteriores con determinadas Condiciones de Contorno se comporten como Operadores Hermticos. Los Operadores Hermticos tienen valores propios reales (los valores ) y vectores propios ortogonales (las funciones y(x, )). Las soluciones de la ecuacin diferencial y(x, ) se pueden obtener por cualquier mtodo de resolucin, y lo que asegura el modelo de Sturm Liouville es que dichas soluciones bajo ciertas Condiciones de Contorno forman un Sistema de Funciones Ortogonales. Dicho Sistema de Funciones Ortogonales puede ser Sistema Generador de funciones en Series de Funciones Ortogonales, que son las llamadas Series de Fourier En el apndice se recuerdan los conceptos de Operadores Hermticos.

1.2.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE.

Las formas diferenciales

df = A1 dx1 + A2 dx2 + ... + An dxn por medio de un factor integrante se transforman en totales exactas. Nos proponemos obtener lo mismo para Operadores Diferenciales de orden superior como:

L(u) = pn u(n) + pn-1u(n-1) + ... + p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i

es decir buscar una funcin v tal que v L(u) sea total exacta

dF

v L(u) = -----

dx

Por simplicidad de notacin se trabajar con un Operador Diferencial de segundo orden, en el anexo se generaliza la demostracin para un Operador de orden n.

L(u) = p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i

v L(u) como Diferencial Exacta ser:

dF(x)

v L(u) = v [p2 u + p1 u + p0 u ] = ------

dx

como para 2 funciones w(x) y u(x) son vlidas las expresiones:

w u = [w u] - w u

w u = [w u- w u] + w u

aplicadas a v L(u) queda

v L(u) = v [p2 u + p1 u + p0 u] =

= ( p2 v ) u + ( p1 v ) u + ( p0 v ) u =

= [( p2 v ) u - ( p2 v ) u ] + ( p2 v ) u + [( p1 v ) u] - ( p1 v ) u + ( p0 v ) u

= [( p2 v ) u - ( p2 v ) u + ( p1 v ) u ] + [( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v )] u

y por lo tanto siendo u 0 si se postula

( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v ) = 0

se obtiene

v L(u) = [( p2 v ) u - ( p2 v ) u + ( p1 v ) u]

es decir una diferencial exacta:

dF(x)

v L(u) = -------

dx

Definiendo como Operador Adjunto de Lagrange del Operador L(u) a M(v) Definicin Si L(u) = p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i M(v) OPERADOR ADJUNTO de L(u) := M(v) := ( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v ) se puede enunciar el Teorema L(u) = p2 u + p1 u + p0 u v L(u) Diferencial Exacta M(v) = ( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v ) = 0 tambin recprocamente puede enunciarse el

Teorema M(v) = ( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v ) u M(v) Diferencial Exacta L(u) = p2 u + p1 u + p0 u = 0 se observa entonces que la relacin de Operador Diferencial Adjunto entre L y M es simtrica. En sntesis combinando los dos Operadores: v L(u) - u M(v) se obtiene una Ecuacin Diferencial Exacta llamada Identidad de Lagrange que reune los resultados anteriores: Teorema L(u) = p2 u + p1 u + p0 u M(v) = ( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v ) v L(u) - u M(v) = [( p2 v ) u - ( p2 v ) u + ( p1 v ) u ] = [ p2 (v u - v u) + (p1 - p2) v u] b b v L(u) - u M(v) = p2 (v u - v u) + (p1 - p2) v u a a

1.3.- OPERADOR AUTOADJUNTO 1.3.1.- DEFINICION OPERADOR AUTOADJUNTO Un Operador Diferencial es autoadjunto por definicin cuando es igual a su adjunto. Definicin: L(u) OPERADOR AUTOADJUNTO := L(u) = M(u) 1.3.2.- CONDICION PARA QUE DOS OPERADORES SEAN AUTOADJUNTOS La condicin para que los dos operadores sean autoadjuntos es: Teorema L(u) = M(u) p2 = p1 L(u) = p2 u + p1 u + p0 u M(u) = ( p2 u ) - ( p1 u ) + ( p0 u ) = p2 u + 2 p2 u + p2 u - p1 u - p1 u + p0 u = p2 u + (2 p2 - p1 ) u + (p2 - p1 + p0 ) u Para que sea valido para todo u, los coeficientes de u y u deben ser 2 p2 - p1 = p1 p2 = p1 p2 - p1 + p0 = p0 p2 = p1 Resultado que se obtiene tambin directamente de la Identidad de Lagrange: u L(u) - u M(u) = [p2 (u u - u u) + (p1 - p2 ) u u ] = [ (p1 - p2 ) u 2 ] = 0 1.3.3.- INTEGRACION DE v L(u) - u M(v) PARA UN OPERADOR AUTOADJUNTO

Teorema L(u) = L(u) = p2 u + p1 u + p0 u b b v L(u) - u M(v) = p2 W(u ,v) L(u) AUTOADJUNTO := L(u) = M(u) a a b b b v L(u) - u M(v) = p2 (v u - v u) = p2 W(u ,v) a a a Siendo W el determinante Wronskiano W := v u - v u b b Obs: Ntese que si p2 W(u ,v) = 0 arrastra v L(u) - u M(v) = 0 a a que es el teorema de Sturm Liouville. 1.3.4.- TRANSFORMACION DE UN OPERADOR ADJUNTO EN AUTOADJUNTO Un operador que no es autoadjunto se puede transformar en tal si se tiene un factor conveniente, a la manera del factor integrante: Teorema L(u) = L(u) = p2 u + p1 u + p0 u x ===> f p2 = Exp( p1/p2 ) f: [f L(u)] AUTOADJUNTO a Como debe ser f p1 = (f p2) = f p2 + f p2 p1 f p2 --- = --- + ---- p2 f p2 de donde x p1/p2 = Ln (f p2 ) a x f p2 = Exp( p1/p2 ) a

EL MODELO DE STURM LIOUVILLE

1.- INTRODUCCION 1.1.- OBJETIVOS Los modelos clsicos de la Fsica como:

Distribucin de Potenciales en los Campos Conservativos Distribucin de Potenciales en los Campos No Conservativos Transmisin de Calor Transmisin de Ondas Transmisiones Telegrficas Funcin de Onda de la Mecnica Ondulatoria

tienen en su estructura bsica una Ecuacin Diferencial en Derivadas Parciales (EDDP). Cuando se busca la

Solucin de dicha Ecuacin (EDDP) por el mtodo de separacin de variables se generan Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Totales (EDDT) del tipo: a(x) y + b(x) y + ( c(x) + d(x) ) y = 0

que se llaman Ecuaciones de Sturm Liouville (ESL). Estas ecuaciones dependen de la variable x y del parmetro , y por lo tanto la solucin esta dada por funciones del tipo y(x, ).

Algunas de las ecuaciones diferenciales del tipo de Sturm Liouville son:

Nombre Forma cannica

Fourier y + y = 0

Euler x2 y+ x y + y = 0

Bessel x2 y + x y + ( x2 2) y =0

Legendre (1x2 ) y 2x y + y = 0

Tchebychev (1x2 ) y x y + y = 0

TchebychevII (1x2 )y 3 x y + y = 0

Mathieu y" + ( 2a cos x) y = 0

Weber-Hermite y x y + y = 0

Jacobi x(1x)y+[a (a+b)x]y+ y=0

Laguerre y + (1x) y+ y = 0

El modelo de Sturm Liouville busca establecer hiptesis para que la EDDT del tipo anterior, acompaadas con

determinadas Condiciones de Contorno se comporten como Operadores Hermticos. Los Operadores Hermticos tienen valores propios reales (los valores ) y vectores propios ortogonales (las

funciones y(x, )).

Las soluciones de la ecuacin diferencial y(x, ) se pueden obtener por cualquier mtodo de resolucin, y lo que asegura el modelo de Sturm Liouville es que dichas soluciones bajo ciertas Condiciones de Contorno forman un Sistema de Funciones Ortogonales.

Dicho Sistema de Funciones Ortogonales puede ser Sistema Generador de funciones en Series de Funciones Ortogonales, que son las llamadas Series de Fourier

En el Apndice se recuerdan los conceptos de Espacios de Banach y Hilbert, Operadores Hermticos, Operadores Adjuntos y Autoadjuntos y la propiedad que todo Operador Autoadjunto es Hermtico.

2.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE. As como las formas diferenciales

df = A1 dx1 + A2 dx2 + ... + An dxn

por medio de un factor integrante se transforman en totales exactas, se propone obtener lo mismo para

Operadores Diferenciales de orden superior como: L(u) = pn u(n) + pn-1u(n-1) + ... + p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i

es decir buscar una funcin v tal que v L(u) sea total exacta

v L(u) = dxdF

Por simplicidad de notacin se trabajar con un Operador Diferencial de segundo orden, en el anexo se

generaliza la demostracin para un Operador de orden n.

2.1.- OPERADOR ADJUNTO. IDENTIDAD DE LAGRANGE, vL(u) COMO DIFERENCIAL EXACTA

Sea el Operador L(u) = p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i

v L(u) como Diferencial Exacta ser:

v L(u) = v [ p2 u + p1 u + p0 u ] = dxdF

como para 2 funciones w(x) y u(x) son vlidas las expresiones: w u = [w u] w u w u = [w u w u] + w u

aplicadas a v L(u) queda

v L(u) = v [ p2 u + p1 u + p0 u] =

= ( p2 v ) u + ( p1 v ) u + ( p0 v ) u = = [( p2 v ) u ( p2 v ) u ] + ( p2 v ) u + [( p1 v ) u] ( p1 v ) u + ( p0 v ) u = [( p2 v ) u ( p2 v ) u + ( p1 v ) u ] + [( p2 v ) ( p1 v ) + ( p0 v )] u y por lo tanto siendo u 0 si se postula

( p2 v ) ( p1 v ) + ( p0 v ) = 0

se obtiene v L(u) = [( p2 v ) u ( p2 v ) u + ( p1 v ) u]

es decir una diferencial exacta:

v L(u) = dxdF

Se define entonces como Operador Adjunto de Lagrange del Operador L(u) al Operador M(v)

Definicin: L(u) = p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i

M(v) Operador Adjunto de L(u) := M(v) := ( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v ) Entonces por lo visto ms arriba se puede enunciar el teorema:

Teorema: L(u) = p2 u + p1 u + p0 u

v L(u) Diferencial Exacta M(v) = ( p2 v ) ( p1 v ) + ( p0 v ) = 0 O tambin recprocamente puede enunciarse el teorema:

2.2.- RECIPROCIDAD DEL OPERADOR ADJUNTO DE LAGRANGE

Teorema M(v) = ( p2 v ) - ( p1 v ) + ( p0 v )

u M(v) Diferencial Exacta L(u) = p2 u + p1 u + p0 u = 0 se observa entonces que la relacin de Operador Diferencial Adjunto entre L y M es simtrica.

2.3.- IDENTIDAD DE LAGRANGE En sntesis combinando los dos Operadores v L(u) u M(v) se obtiene una Ecuacin Diferencial Exacta

llamada Identidad de Lagrange que rene los resultados anteriores:

Definicin : Identidad de Lagrange v L(u) u M(v) = [( p2 v ) u ( p2 v ) u + ( p1 v ) u ]

= [ p2 (v u v u) + (p1 p2) v u]

v L(u) u M(v) = [ pb

a2 (v u v u) + (p1 p2) v u] a

b

Teorema de la Identidad de Lagrange

L(u) = p2 u + p1 u + p0 u

v L(u) u M(v) Diferencial Exacta M(v) = ( p2 v ) ( p1 v ) + ( p0 v )

3.- OPERADOR AUTOADJUNTO 3.1.- DEFINICION OPERADOR AUTOADJUNTO Un Operador Diferencial es autoadjunto por definicin cuando es igual a su adjunto.

Definicin: L(u) Operador Autoadjunto := L(u) = M(u) 3.2.- CONDICION PARA QUE DOS OPERADORES SEAN AUTOADJUNTOS La condicin para que los dos operadores sean autoadjuntos es: p2 = p1

Teorema: L(u) = M(u) p2 = p1

D1- L(u) = p2 u + p1 u + p0 u

M(u) = ( p2 u ) ( p1 u ) + ( p0 u )

= p2 u + 2 p2 u + p2 u p1 u p1 u + p0 u

= p2 u + (2 p2 p1 ) u + (p2 p1 + p0 ) u Para que sea valido para todo u, los coeficientes de u y u deben ser

2 p2 p1 = p1 p2 = p1

p2 p1 + p0 = p0 p2 = p1 Resultado que se obtiene tambin directamente de la Identidad de Lagrange:

u L(u) u M(u) = [p2 (u u u u) + (p1 p2 ) u u ] = [ (p1 p2 ) u 2 ] = 0 3.3.- INTEGRACION DE v L(u) u M(v) PARA UN OPERADOR AUTOADJUNTO

Teorema: L(u) = L(u) = p2 u + p1 u + p0 u

L(u) Operador Autoadjunto := L(u) = M(u) v L(u) u M(v) = pb

a2 W(u v) a

b

W(u v) := v u - v u : determinante Wronskiano

D.- v L(u) u M(v) = pb

a2 (v u - v u) a

b = p2 W(u v) a

b

Obs: Ntese que si p2 W(u ,v) ab

= 0 arrastra v L(u) u M(v) = 0 que es el teorema de Sturm Liouville. b

a

3.4.- TRANSFORMACION DE UN OPERADOR ADJUNTO EN AUTOADJUNTO Un operador que no es autoadjunto se puede transformar en tal si se tiene un factor conveniente, a la manera

del factor integrante:

Teorema: L(u) = L(u) = p2 u + p1 u + p0 u

f: [ f L(u) ] Operador Autoadjunto f p2 = 21x

a pp

e

D.- Como debe cumplirse

f p1 = (f p2)

= f p2 + f p2

2

1

pp

= f'f +

2

2

p'p

de donde

x

a 2

1

pp

= Ln (f p2 )

f p2 = 21x

a pp

e

3.5.- PROPIEDADES DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS

Teorema: H Espacio de Hilbert L(u) Operador Autoadjunto := L(u)=M(u) L(u) Operador Hermtico:= x L(g) = L(x) g

En un Espacio de Hilbert todo Operador Autoadjunto es Hermtico (Ver Apndice) . Entonces el modelo que

debe sostenerse con Operadores Autoadjuntos (Y por lo tanto Hermticos) para asegurar que las soluciones de las EDDT conforman Sistemas Ortogonales.

4.- ECUACIN DIFERENCIAL DEL TIPO STURM-LIOUVILLE (EDSL) 4.1.- DEFINICIN DE LA EDSL

La Resolucin de las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales por separacin de variables, generan

Ecuaciones en Derivadas Totales del tipo siguiente, que se llamaran de Sturm-Liouville:

Definicin:

a(x) y" + b(x) y' + ( c(x) + d(x) ) y = 0 := Ecuacin Diferencial de Sturm-Liouville

Estas ecuaciones dependen de la variable x y del parmetro , y por lo tanto la solucin esta dada por funciones de la forma y(x,)

Ejemplo de las ecuaciones diferenciales del tipo de Sturm-Liouville son las ya mencionadas en la Introduccin

Coeficientes constantes, Euler, Bessel, Legendre, Tchebycheff I y II, Mathieu, Weber-Hermite, Jacobi, Laguerre, etc.

El modelo de Sturm-Liouville establece condiciones de contorno para que la EDDT anteriores se comporten como Operadores Hermticos. Estos operadores tienen valores propios reales y los vectores propios son las funciones y(x,).

El modelo de Sturm Liouville asegura entonces que las soluciones y(x,), que se pueden obtener por cualquier mtodo de resolucin, forman un Sistema de Funciones Ortogonales.

Este puede ser Sistema Generador de las llamadas Series de Fourier.

En el apndice se recuerdan los conceptos de Operadores Hermticos.

4.2.- FORMA AUTOADJUNTA DE LA ECUACION DE STURM LIOUVILLE Las Ecuaciones de Sturm-Liouville conviene presentarlas en una Forma llamada Autoadjunta que se define a continuacin: Definicin: f: (r(x) y) + ( p(x) + q(x)) y = 0 EDSL (Forma Autoadjunta)

4.3.- EQUIVALENCIA ENTRE LAS ECUACIONES DE STURM-LIOUVILLE ENTRE LA FORMA

NORMAL Y AUTOADJUNTA

La equivalencia de las Ecuacin Diferencial de Sturm-Liouville entre las formas clsica y autoadjunta est justificada por el siguiente Teorema Teorema 1.- f: (r y) + ( p + q) y = 0 g: a y+ b y + ( c + d ) = 0

f g r = ab

e ; p = ac r; q =

ad r

D.- Las dos ecuaciones diferenciales son equivalentes si y solo si sus coeficientes son proporcionales

ar =

b'r =

cp =

dq

r'r =

ba r = a

b

e

y de aqu

p = ac r; q =

ad r

4.4.- LA ECUACIN DE STURM-LIOUVILLE Y EL OPERADOR LINEAL ASOCIADO

La ecuacin de Sturm-Liouville se puede presentar de la forma

L(y) = y

De aqu demostrando que L(y) es un Operador Lineal se arrastra que los pares ( ,y(x,)) son respectivamente los autovalores y autovectores del Operador L(y).

Teorema 2.- (r y) + ( p + q) y = 0

L(y) = p1 [ (r y) + q y] L(y) = y

L OL Operador Lineal (, y(x,)) S Autovalores y Autovectores de L D.- Partiendo de (r y ) + ( p + q) y = 0

se obtiene

p1 [ (r y ) + q y ] = y

L(y) = y L(y) se llama Operador de Sturm-Liouville, y es un Operador Lineal pues

L(a1 y1 + a2 y2) = p1 [ (r (a1 y1 + a2 y2) ) + q (a1 y1 + a2 y2) ]

= a1 [ p1 [ (r y1 ) + q y1 ] ] + a2 [ p

1 [ (r y2 ) + q y2 ] ]

= a1 L(y1) + a2 L(y2) Entonces como L(y) = y

e y(x,)

son respectivamente los autovalores y autovectores del Operador Lineal, y representan las soluciones de la EDSL.

4.5.- PROPIEDADES DE LA EDSL

Teorema 3.-

H1 (r y) + ( p + q) y = 0 EDSL (Forma Autoadjunta) r r p q : R R ( y ) S ( y ) S

D.- Como los coeficientes de la EDSL son reales se tiene (r y ) + ( p + q) y = 0 (r y ) + ( p + q) y y = 0

1.5.- EL OPERADOR DE STURM-LIOUVILLE COMO OPERADOR HERMTICO 1.5.1.- TEOREMA DE STURM-LIOUVILLE Este teorema establece condiciones para que el Operador de Sturm-Liouville sea Operador Hermtico:

Teorema

H1.- EDSL (Forma Autoadjunta) (r y')' + ( p + q) y = 0 r r' p q : R R

r' p q IR p(x) 0

H2.- Condicin de Contorno

(1 y1) S

(2 y2 ) S : r W( 2y y1 ) ab

= 0

T1 ( 2 1 ) ( y1 y2 ) T2 i i = i (i R) T3 1 2 y1 y2 = 0 T4 y1 y2 0 1 = 2

D1 .- y1 L(y2) = L(y1) y2

yb

a1 )y(L 2 p = L(y

b

a1 ) 2y p

yb

a1 ]y q )''y r)[(p

1( 22 + p =

b

a)

p1( [ (r y1 ) + q y1 ] 2y p

siendo p q r funciones reales

yb

a1 )p

1( [ (r 'y 2 ) + q 2y ] p = b

a)

p1( [ (r y1 ) + q y1 ] 2y p

yb

a1 [ (r 'y 2 ) + q 2y ] = [ (r y

b

a1 ) + q y1 ] 2y

yb

a1 (r 'y 2 ) (r y1 ) 2y = 0

y1 (r 'y 2 ) (r y1 ) 2y ab

(r yb

a1 ) 'y 2 (r 'y 2 ) y1 = 0

r W( 2y y1 ) ab

= 0

D2 (1 y1) S (r y1 ) + (1 p + q ) y1 = 0 | * 2y (2 y2 )S ( 2 2y )S ( r 'y 2 ) + ( 2 p + q) 2y = 0 | * y1

. (r y1 ) 2y (r 'y 2 ) y1 = ( 2 1 ) y1 2y p Integrando

(r y1 ) 2y (r 'y 2 ) y1 ab

(r yb

a1 ) 'y 2 (r 'y 2 ) y1 = ( 2 1 ) y

b

a1 2y p

(r y1 ) 2y (r 'y 2 ) y1 ab

= ( 2 1 ) ( y1 y2 )

r W( 2y y1 ) ab

= ( 2 1 ) ( y1 y2 )

0 = ( 2 1 ) ( y1 y2 ) De esta proposicin se extrae:

T1 y1 = y2 ( 1 1 ) (y1 y1 ) = 0 y1 y1 0 1 = 1 (1 R) Como 2 = 2 ( 2 1 ) (y1 y2 ) = 0 (2 1 ) (y1 y2 ) = 0 T2 2 1 y1 y2 = 0 T3 y1 y2 0 1 = 2

Una segunda forma de Demostrar el teorema de SL es:

1.5.2. UNA CONDICIN SUFICIENTE PARA ANULAR W( 2y y1 )

Teorema CCL: a1 y(a) + a2 y'(a) = 0

(a1 a2 ) R2 W( 2y y1 ) a = 0

(a1 a2 ) ( 0,0 )

Lema a1 y(a) + a2 y'(a) = 0 a1 )a(y + a2 )a('y = 0

y1 S a1 y1(a) + a2 y'1(a) = 0 y2 S a1 )a(y2 + a2 )a('y2 = 0 Que es un Sistema de Ecuaciones Lineal y Homogneo con solucin no trivial, pues (a1 a2 ) ( 0,0 ) lo cual

arrastra

W( 2y y1 ) a = 0

1.5.3. VARIANTES DE CONDICIONES DE CONTORNO (H2 SL) 1.- CCL(a) = 0 CCL(b) = 0 2.- CCL(a) = 0 U r(a) = 0 r(b) = 0 CCL(b) = 0 3.- r(a) = 0 r(b) = 0 4.- r(a) = r(b) W(a) = W(b)

1.5.4. EJEMPLOS

Nombre Forma cannica Forma Autoadjunta r(x) p(x) q(x) CC1

Fourier y + y = 0 (y ) + y = 0 1 1 0 W(a)=0 W(b)=0

Euler x2 y+ x y + y = 0 (x y ) +

x1 y = 0 x

x1 0 W(a)=0 W(b)=0

Bessel x2 y + x y + ( x2 2) y =0 (x y ) + ( x

x

2 )y = 0 x X x

2 W(a)=0 W(b)=0

Legendre (1x2 ) y 2x y + y = 0 ((1x2) y ) + y = 0 1x2 1 0 W(a)=0 W(b)=0

Tchebychev (1x2 ) y x y + y = 0 ((1x2)1/2 y ) +(1x2)1/2 y=0 (1x2)1/2 (1x2 )1/2 0 W(a)=0 W(b)=0

TchebychevII (1x2 )y 3 x y + y = 0 ((1x2)3/2 y ) +(1x2)1/2 y =0 (1x2)3/2 (1x2 )+1/2 0 W(a)=0 W(b)=0

Mathieu y" + ( 2a cos x) y = 0 (y ) + ( 2a cos x ) y = 0 1 1 -2acosx W(a)=0 W(b)=0

Weber-Hermite y x y + y = 0 ( 2x2

e

y ) + y = 0 2/x2

e 2x2

e

2x2

e

0 W(a)=0 W(b)=0

Jacobi x(1x)y+[a (a+b)x]y+ y = 0 (xa(1x)by)+xa-1(1x)b1y = 0 xa(1x)b xa-1(1x)b1 0 W(a)=0 W(b)=0

Laguerre y + (1x) y+ y = 0 xe-x y+(1x) e-x y+ ex y =0 x e x e x 0 W(a)=0 W(b)=0

APNDICE I

ELEMENTOS DE ESTRUCTURAS DE ESPACIOS HERMTICOS 6.1.- DEFINICIN DE EEH 6.1.1.- AXIOMAS DE EEH

Un caso particular de introducir una norma y por lo tanto una mtrica en los EEL es por medio de una generalizacin del Producto Escalar.

Esto se realiza, como se ver, por medio de una funcin que se llama Producto Hermtico y que tiene casos particulares como el Producto Interior y el Producto Eucldeo.

Se definir la Estructura de Espacio Hermtico:

Def:

(E,C,I,II,T,P,) EEH :=

==

=

=

=

x 0 xx

0 x)Re(x E x A

xy y x Ey) x( A

y) (x II y x) P ( C Ey) x( A

z) (x I y)(x z) T(y x E)z y x( A :

y)(x C ExE :

EEL P)T,II,I,C,(E,

4

23

22

31

(E,C,I,II,T,P, ) EEH : La nupla de 7 elementos (E,C,I,II,T,P, ) conforma una Estructura Hermtica o Prehilbertiana : Producto Hermtico (escalar) A1 : Propiedad Distributiva de respecto a T A2 : Propiedad Distributiva de respecto a P A3 : Propiedad Conmutativa Conjugada de A4 : Propiedad x x (Norma)

Obs 1: Se remarca el hecho que las EEH se han definido sobre el cuerpo de los complejos (C + . ) y no sobre cualquier cuerpo.

Obs 2: Se puede crear otra estructura anloga (isomorfismo) a la EEH sobre el cuerpo de los reales (R + . ) , por supuesto tomando las correspondientes leyes de suma y producto sobre los reales.

Esta Estructura (E,R,+, . ,T,P, R) es en un todo semejantes a la EEH definida sobre los complejos y se llama

Estructura de Espacio con Producto Interior (EEI). La funcin Producto Hermtico est reemplazada por un funcin Producto Interior, y cuya definicin es

formalmente anloga a la realizada para el Producto Hermtico modificando A3.

(E,R,+, . ,T,P, R) EEI R: ExE C

(x y) x y : A3 (x y) E2 x y = y x

Las propiedades de stas Estructuras EEI son , como ya se ha mencionado, anlogas a las de las EEH, tomando

los recaudos del caso por la modificacin del Cuerpo de apoyo de Complejo a Real. Obs 3: Llamando C1 := { (x,0) : (x,0) C } el conjunto de los Complejos de Segunda Componente Nula, se

recuerda que se establece un isomorfismo entre las estructuras (C1, T, P) y (R, +, .) por medio de la funcin biyectiva f Teorema

),

+

x0 x( R C :f

.) , (R,P) T, ,(C

1

1

((C1, T, P) (R, +, .) f ) Estructuras Isomorfas / f

En razn del isomorfismo establecido se usar en este captulo, con abuso de lenguaje C1 = R

Obs 4: Se emplear tambin cuando no lleve a confusin la notacin clsica de la suma y producto del cuerpo y

la de suma vectorial y producto externo: I + II . T + P .

De acuerdo con la observacin hecha en la definicin de Estructura de Espacio Lineal sobre dicha notacin. Obs 5: Algunos autores llaman a los EEH tambin Espacios Prehilbertianos. 6.1.2.- PORQUE EEH

Las EEH se introducen para generalizar en los EEN (funciones lineales y continuas) el concepto de Producto

Escalar. Esto se establece por medio de la definicin del Producto Hermtico y del Producto Interior. Con el Producto Hermtico se generalizan los conceptos Geomtricos de ngulo y en particular de

ortogonalidad.

2.- ESPACIOS DE FOURIER 4.- OPERADORES AUTOADJUNTOS EN EL ESPACIO DE HILBERT 4.1.- SUCESION DE CAUCHY

Sea E un Espacio Mtrico. La sucesin {xn} se llama Sucesin de Cauchy a aquella que: Definicin: Sucesin de Cauchy

E Espacio Mtrico {xn} E {xn} Sucesin de Cauchy/E := >0 n0 : p > n > n0 | xp xn | < Teorema: Se cumple que toda Sucesin Convergente es de Cauchy. (E d) EEM {xn} CV/E {xn} Sucesin de Cauchy /E

Obs: La proposicin reciproca es falsa como se observa en el siguiente contraejemplo: Si en el conjunto de los Racionales Q se considera la sucesin:

{ 1 1.4 1.41 1.414 1.4142 ... } es una Sucesin de Cauchy pero no converge en el mismo espacio Q, converge a 21/2 Q

4.2.- ESPACIO NORMADO COMPLETO O DE BANACH Sea B un Espacio Normado. Este Espacio se llama Completo o de Banach si:

Definicin: B Espacio Completo o de Banach :=

}}

B/CV {x Cauchy de Sucesin {xNormado EspacioB

nn

Son ejemplos de Espacios de Banach: a.- Rn n1 || x || = [ (x1)2 + (x2)2 + + (x1)n ] 1/2 b.- E:= {f:fC[a b] } := Espacio de la Funciones Continuas definidas sobre el intervalo [a b] con || f || = max | f(t) |

6.- AUTOVALORES NO NEGATIVOS

6.1.- CONDICIONES PARA QUE LOS AUTOVALORES SEAN NO NEGATIVOS

Teorema H1.- Ecuacin Diferencial SL (r y')' + ( p + q) y = 0 H2.- Condicin de Contorno SL 0 H3.- Condicin de Contorno SL Complementaria

r y y ab

+ ( r | y|b

a

2 q | y |2 ) 0

D.- (r y ) + ( p + q) y = 0 | * y

Multiplicando por y (r y ) y + ( p + q) y y = 0

Integrando por partes entre a y b

r y y ab

r y b

ay + ( p + q) y

b

ay = 0

r y y ab

r | y |b

a

2 + ( p + q) | y |b

a

2 = 0

p | y |b

a

2 = r y y ab

+ r | y |b

a

2 q | y |b

a

2

|| y ||2 = r y y ab

+ ( r | y |b

a

2 q | y |2 ) 0

0

1.6.2.- VARIANTES DE H3 Variante 1.- r 0 q 0

r y y ab

= 0

Variante 2.- r 0 q 0 y(a) = y(b) = 0 y(a) = y(b) = 0 etc

1.7.- APENDICE 1.7.1.- OPERADORES HERMITICOS Se recuerda las definiciones y propiedades de los Operadores Hermticos:

1.7.1.1.- DEFINICIN DE OPERADOR HERMTICO Un Operador lineal L se dice que es Hermtico cuando:

Definicin: L OH := x L(y) = L(x) y

1.7.1.2.- TEOREMAS DE OPERADORES HERMITICOS Teoremas L OH T1 i i = i (i R) T2 2 1 v1 v2 = 0 T3 v1 v2 0 2 = 1 D.- Tomando dos pares de valores y vectores propios del Operador Hermtico L L(v1) = 1 v1 L(v2) = 2 v2

Aplicando la definicin de Operador Hermtico: v1 L(v2) = L(v1) v2 v1 ( 2 v2 ) = (1 v1 ) v2 2 (v1 v2 ) = 1 (v1 v2 ) ( 2 1 ) (v1 v2 ) = 0

de donde se deducen las siguientes 3 proposiciones: T1 v1 = v2 ( 1 1 ) (v1 v1 ) = 0 v1 v1 0 1 = 1 (1 R) T2 ( 2 1 ) (v1 v2 ) = 0 (2 1 ) (v1 v2 ) = 0 2 1 v1 v2 = 0 T3 v1 v2 0 2 = 1

1.7.2.- IDENTIDAD DE LAGRANGE PARA ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n

Se propone obtener un factor integrante que transforme Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n en totales exactas de la siguiente manera:

Sea

L(u) = pn u(n) + pn-1u(n-1) + ... + p2 u + p1 u + p0 u : pi = pi(x) i

se buscar una funcin v tal que v L(u) sea total exacta : es decir

v L(u) = dxdF

1.7.2.2.- ADJUNTA DE LAGRANGE

Teorema L(u) = p u" + q u' + r u v L(u) Diferencial Exacta v: M(v) := (p v)" (q v)' + (r v) = 0

Partiendo de las siguientes expresiones:

u' v = [u v]' - u v' u" v = [u' v - u v' ]' - u v" u(3) v = [u"v - u'v' + u v"]' - u v(3) u(4) v = [u(3) v - u" v' + u'v" - u v(3) ]' + u v (4) ... u (n) v = [u(n-1) v - u(n-2) v' + u(n-3) v" - ... + (-1)(n-1) u v (n-1) ]' - (-1)n u v(n)

se obtiene de v L(u)

v L(u) = v [pn u(n) + pn-1u(n-1) + ... + p2 u + p1 u + p0 u] = [u(n-1) v - u(n-2) v' + u(n-3) v" - ... + (-1)(n-1) u v (n-1) ]' - (-1)n u v(n)

y por lo tanto v satisface:

p v = a q v = a' + b r v = b'

entonces (p v)" = a" (q v)' = a" + b'

reemplazando en esta ultima ecuacin:

(q v)' = (p v)" + (r v)

se obtiene la condicin que debe cumplir el factor v:

(p v)" - (q v)' + (r v) = 0

M(v) es la ecuacin que se llama Adjunta de Lagrange de L(u) = 0 y satisface:

M(v) = 0

1.7.2.3.- RECIPROCIDAD DE LA ADJUNTA DE LAGRANGE

La correspondencia entre los operadores diferenciales es reciproca como se ve de la demostracin anterior :

M(v) := (p v)" - (q v)' + (r v) u M(v) Diferencial Exacta u: L(u) = p u" + q u' + r u = 0

4.3.- ESPACIO DUAL . OPERADOR ADJUNTO Y AUTOADJUNTO

Sean: H1.- Dos Espacios de Banach V y W H2.- Una funcin lineal L de V a W L: V W x y = L(x) : funcin lineal H3.- Una funcin lineal acotada g de W a R g: W R y g(y) : funcin lineal acotada

Al conjunto de las funciones g se lo llama W* Espacio dual de W

Definicin: W* := { g: g: W R y g(y) : funcin lineal acotada } W* : Espacio Dual de W

Tambin se puede definir una funcin compuesta f de V a R tal que f(x) = g(y) Definicin f: g: V R x f(x) = g(L(y))

Al conjunto de las funciones f = g o L se lo llama V* Espacio dual de V

Definicin: V* := { f: f: V R x f(x) = g(L(y)) } V* : Espacio Dual de V

La funciones f que tiene las siguientes propiedades de ser una funcin lineal y acotada

T1.- f lineal f(a x1 + b x2 ) = g( L(a x1 + b x2 ) ) = g( a L(x1) + b L(x2) ) = a g( L(x1)) + b g(L(x2 ) ) T2.- f acotada | f(x) | = | g(y) | = | g(L(x)) | || g || || L(x) || Como f es entonces una funcin lineal se puede definir una funcin lineal y acotada M que aplica W* sobre V* haciendo corresponder g con f y que se llamar Operador Adjunto de L Definicin: M: W* V* g f = M( g) M : Operador Adjunto de L En resumen: L Operador Lineal L: V W x y = L(x) : funcin lineal g: W R y g(y) : funcin lineal acotada M Operador Adjunto de L f: g: V R x f(x) = g(L(y)) : funcin lineal acotada M: W* V* g f = M( g)

4.4.- ESPACIO DE HILBERT

Se llama Espacio de Hilbert a un Espacio de Banach en el cual esta definido un producto hermtico y que es completo para la norma asociada a dicho producto hermtico.

Definicin: H Espacio de Hilbert :=

+=

x.x ||x|| x

RH : || || Banach de EspacioH

4.5.- OPERADOR AUTOADJUNTO

Definicin: M(u) Operador Autoadjunto de L(u) := L(u) = M(u)

4.6.- TEOREMA DE LOS OPERADORES AUTOADJUNTOS

Teorema: Todo Operador Lineal Autoadjunto sobre un espacio de Hilbert complejo, es Hermitico. T.- H Espacio de Hilbert x L(g) = L(x) g L = M D.- f(x) = x f = y g = L(x) g = g(L(x)) x M(g) = x f = y g = L(x) g x L(g) = L(x).g que es la definicin de Operador Hermtico.

Ing. Juan SacerdotiINDICEEL MODELO DE STURM LIOUVILLEAPNDICE IIDefiniendo como Operador Adjunto de Lagrange del Operador L(Teorema: L\(u\) = M\(u\) \( Teorema: H( Espacio de Hilbert

Definicin:a\(x\) y" + b\(x\) y' + \( \( c\(L\(y\) = [ \(r y\) + q y] ( L( OL Operador Lineal[ \(r y \) + q y ] = \( yTeorema 3.-LemaFourierEulerBesselDef:TeoremaDefinicin: L\( OH := xTeorema L(u) = p u" + q u' + r u