el teorema de categoría de baire y aplicaciones

Ttulo de la obra: EL TEOREMA DE CATEGORA DE BAIRE Y APLICACIONES

Autor: Wilman Brito

Editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de Los Andes

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Mrida, estado Mrida. Venezuela

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1a edicin en CD-Rom. 2011

Reservados todos los derechos

Wilman Brito

Diseo de portada: INNOVA. Diseo y Tecnologa C.A.

Mrida, Venezuela, 2011

El Teorema de Categora de Bairey

Aplicaciones

Wilman Brito

DEDICATORIA

A Claudia, mi esposa.

A mis hijos:

Sebastian, Rubn, Noelia, Diego, Andrea y Fabiola,

y a la memoria de mi amigo

Dimedes Brcenas.

PRLOGO

Una trivialidad profunda. As califica T. W. Krner [270] al Teorema de Categora de Baire. Uno estinclinado a pensar que la razn fundamental para tal declaracin es que, aparte de su simple y elegantedemostracin, pocos resultados comparten, como lo hace el Teorema de Categora de Baire, el privilegio deintervenir, directa o indirectamente, en la demostracin de una cantidad elevadsima de resultados muchosde los cuales son no triviales, algunos son un verdadero reto a la propia imaginacin y muchos otros son,simplemente, esplndidos, hermosos. El contenido de estas notas muestran algunas de las formidables y, aveces, inimaginables aplicaciones que se apoyan en dicho teorema.

Como se puede entrever, el ttulo de este libro indica una declaracin de intenciones. A pesar de la in-mensa gama de aplicaciones que se sustentan sobre el Teorema de Categora de Baire, existe un sorprendentevaco de un texto que se dedique exclusivamente a recoger gran parte de esas aplicaciones. Ese vaco no sellena con esta modesta contribucin, pero es un paso hacia adelante. Por consiguiente, el primer objetivo deestas notas es presentar, con un tratamiento absolutamente informal, algunas de esas aplicaciones. Es impor-tante observar que en casi todos los textos de Anlisis Funcional, del Anlisis Real o la Topologa cuandodesarrollan algunas de las aplicaciones del Teorema de Categora de Baire muestran, por su inters particu-lar, casi siempre los mismos resultados entre los que se encuentran, en el caso del Anlisis Funcional, delos Teoremas de Acotacin Uniforme, de la Aplicacin Abierta o del Grfico Cerrado y, en algunos casos,demostrar la existencia de un conjunto abundante de funciones continuas que poseen una serie de Fourierque diverge en un punto. Cuando se trata de la Topologa o el Anlisis, el ejemplo ms emblemtico es lademostracin de la abundancia de las funciones continuas a valores reales definidas, digamos, sobre [0,1]que no poseen derivada finita en ningn punto de su dominio, mientras que en otros casos se dedican ademostrar la imposibilidad de expresar a Q, el conjunto de nmeros racionales, como un G-denso, o unademostracin de que el conjunto ternario de Cantor es no numerable, etc. Esos ejemplos son enteramentecomprensibles y justificables, pero pueden sustentar la idea de que el mbito de aplicaciones del menciona-do teorema se reduce a los ejemplos ya descritos y, tal vez, a otras pocas aplicaciones. Estas notas intentaconvencer al lector de lo contrario al ofrecer un abanico muchsimo ms amplio de aplicaciones que, porlo general, no son fciles de encontrar en casi ningn otro texto donde se aplica el Teorema de Categorade Baire. Por supuesto, muchas otras aplicaciones, adems de los resultados clsicos, son incorporadas enestas notas mostrndose, por supuesto, otras de data ms reciente pero dejando, aun por fuera, muchsimasotras aplicaciones.

En su tesis doctoral Sur les fonctions des variables relles [28], escrita en 1899, Ren Baire, despus

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de introducir los conceptos de primera y segunda categora al final del captulo 2 escribe: el continuum cons-tituye un conjunto de segunda categora, resultado que ms tarde se conocer como el Teorema de Categorade Baire y por el cual Baire es famoso en la comunidad matemtica. Poco tiempo antes, George Cantor habademostrado que ningn conjunto numerable poda llenar totalmente un intervalo abierto; es decir, la totali-dad de los puntos de cualquier intervalo abierto es no numerable. Baire extiende este principio al demostrarque ningn conjunto de primera categora enR (de los cuales, los subconjuntos numerables deR constituyenun caso particular) puede cubrir totalmente un intervalo abierto, es decir, el Teorema de Categora de Bairees una generalizacin de mayor alcance que la no numerabilidad del conjunto de los nmeros reales. El obje-tivo fundamental en la tesis de Baire era caracterizar aquellas funciones de dos variables que eran continuasen cada variable separadamente pero que podan ser o no continuas simultneamente en ambas variables.Cauchy haba afirmado en su famoso libro Cours dAnalyse (una afirmacin falsa) que si una funcinde dos variables es continua respecto a cada una de ellas, entonces dicha funcin es continua como funcinde ambas variables. Casi al final de las primeras 27 pginas de su tesis, Baire haba demostrado que esasfunciones (las funciones de dos variables que eran continuas en cada variable separadamente pero no con-tinuas simultneamente en ambas variables) eran puntualmente discontinuas sobre cada conjunto perfecto.(Una funcin f es puntualmente discontinua con respecto a un conjunto cerrado F , si el conjunto de puntosde continuidad de f |F es denso en F). De hecho, Baire mostr que dichas funciones se pueden representarcomo lmites puntuales de sucesiones convergentes de funciones continuas. Tales funciones sern conocidasposteriormente como funciones de la primera clase de Baire, trmino acuado por Ch. J. de la Valle Poussin(1866-1962) y denotadas por B1. Seguidamente Baire prueba que el conjunto de puntos de discontinuidadde cualquier funcin f B1 es de primera categora y extiende dicho resultado mostrando que las familiasde las funciones derivadas, las semicontinuas y las de variacin acotada estn contenidas en B1. De estamanera, para todas esas clases de funciones, el conjunto de sus puntos de discontinuidad es pequeo. Unaelegante y agradable exposicin histrica del trabajo de R. Baire la desarrolla Gilles Godefroy en [184].

Existen varias maneras de describir o determinar el tamao de los conjuntos. Por ejemplo, en la Teorade Conjuntos ellos se miden en trminos de su cardinalidad y, por consiguiente, tanto los conjuntos finitosas como los infinitos numerables son considerados pequeos, mientras que los conjuntos no numerablesson pensados como muy grandes. Esa manera de clasificar a tales conjuntos fue usado por primera vez porCantor para demostrar la existencia de los nmeros trascendentes. En efecto, en primer lugar Cantor de-mostr que R, el conjunto de los nmeros reales, era no numerable y, posteriormente, que el conjunto delos nmeros algebraicos era numerable. Esos dos ingredientes le permitieron, finalmente, concluir que losnmeros trascendente existen (sin mostrar ninguno de ellos) y que tales nmeros, en comparacin con losnmeros algebraicos, son ms numerosos. Similarmente, en la Teora de la Medida e Integracin, se usala nocin de longitud o medida para describir el tamao de los conjuntos. Los conjuntos de medida cero,as como uniones numerables de tales conjuntos, se piensan como conjuntos pequeos, mientras que los demedida positiva se consideran grandes. Observe que si es la medida de Lebesgue sobre [0,1], entoncescualquier subconjunto finito o infinito numerable de [0,1] tiene medida cero por lo que la nocin de con-junto pequeo coincide en ambas teoras para los conjuntos finitos y los infinitos numerables. Sin embargo,existen en [0,1] conjuntos no numerables que poseen medida de Lebesgue cero como es el caso del conjuntoternario de Cantor. Esta distincin establece que la manera de cmo se mide el tamao de los conjuntosen ambas teoras, al menos desde el punto de vista de los conjuntos no numerables, son distintos. Por otrolado, la nocin de categora de Baire ofrece otra perspectiva de medicin de conjuntos pero desde la pticatopolgica. En este ambiente, los conjuntos nunca densos son considerados conjuntos pequeos. Cualquierconjunto que es unin numerable de estos conjuntos pequeos es llamado un conjunto de primera categorao magro y, en consecuencia, tambin se le considera pequeo. Un conjunto que no es de primera categorase le suele llamar de segunda categora o no-magro. Intuitivamente, los conjuntos de segunda categora son

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conjuntos grandes o muy abundantes. Similar a la observacin anterior existen conjuntos que son grandesdesde el punto de vista de la categora de Baire pero que resultan ser pequeos en la Teora de la Medida eIntegracin y viceversa. Como veremos ms adelante, el Teorema de Categora de Baire resulta ser, en conse-cuencia, un resultado acerca del tamao de los subconjuntos de un espacio mtrico completo u otro espacioapropiado pero siempre sustentado sobre la nocin de densidad. Existen en la literatura otras variedades deconjuntos pequeos que han sido estudiados con cierta profundidad como son, por ejemplo, los conjuntos-porosos o los conjuntos Gamma-nulos, tambin estn los conjuntos de Gauss nulo y los Haar nulo, queson de especial inters, particularmente, en la Teora de Probabilidades, etc.

El Teorema de Categora de Baire constituye, sin lugar a dudas, una herramienta poderosa. Dicho teoremaofrece un mtodo no constructivo para demostrar la existencia, pero sin exhibir ningn ejemplo concreto,de ciertos objetos que por lo general son muy difciles de visualizar y, por supuesto, de construir. Unaformulacin equivalente de dicho teorema en espacios topolgicos es la siguiente: Un espacio topolgicoX es llamado un espacio de Baire si cualquier coleccin numerable de subconjuntos abiertos densos en Xposee interseccin densa. Cmo se aplica el mtodo de categora de Baire? Pues bien, supongamos quequeremos demostrar la existencia de un objeto matemtico x satisfaciendo alguna propiedad P(x). El mtodode categora consiste, esencialmente, en encontrar un espacio mtrico completo adecuado X (o algn otroespacio de Baire suficientemente bueno) y mostrar que el conjunto {x X : P(x)} es abundante en X ; ode modo equivalente, que el conjunto {x X : P(x) no se cumple} es de primera categora en X . Esto noslamente muestra que existe un x tal que P(x) se cumple, sino que en el espacio X casi todos los elementosx tienen, desde el punto de vista topolgico, la propiedad P(x).

Ahora explicaremos cmo hemos organizado la presentacin de estas notas. En el captulo 1 se intro-ducen algunos pre-requisitos necesarios, pero insuficientes, para darle cierta coherencia, armona e indepen-dencia a los resultados objeto de estudios. Posteriormente se introducen las nociones de conjuntos de primeray segunda categora y se prueban algunos resultados relacionados con esas nociones, entre los cuales se en-cuentra, por supuesto, el trivialmente profundo Teorema de Categora de Baire para varios clases importantesde espacios de Baire tales como los espacios mtricos completos, los localmente compactos y, en general,para una categora ms amplia conocida como los espacios Cech-completos. Similarmente, se prueba que elmtodo de categora de Baire tambin es aplicable a los espacios Oxtoby-completos, etc. Ya en ste captulose comienzan a dibujar algunas de las extraordinarias consecuencias que se obtienen por medio el Teore-ma de Categora de Baire al mostrarnos algunos hechos aparentemente excepcionales e insospechados. Elcaptulo 2 es, por su amplitud y variedad, el ms interesante. Las aplicaciones del Teorema de Categora deBaire comienzan, en primer lugar, con una galera de monstruos, es decir, examinando ciertos objetos que enprincipio se consideran como excepcionalmente raros y, a veces, extravagantes pero que tales objetos consti-tuyen, de hecho, la regla y no la excepcin. Algunos de esos resultados generaron, en sus comienzos, ciertasreacciones adversas que les permitieron a algunos matemticos alejarse con horror y temor de esas plagaslamentables, pero a otros les caus una especie de alegra contagiosa en busca de otros monstruos ocul-tos. En todo caso, lo que esos resultados muestran es el triunfo del mtodo de categora de Baire en revelarabundantes objetos ocultos con apariencia inslita y, a veces, inimaginables. La mayora de esas aplicacionesabarcan reas fundamentalmente del Anlisis Real y Complejo incluyendo Teora de la Medida, as comoen la Teora de los Espacios de Banach y de los Operadores Lineales Acotados entre ellos. Por ejemplo, enel transcurso de estas notas tratamos de mostrar cmo el Teorema de Categora de Baire aparece como unaherramienta importante en la demostracin de resultados vinculados con: Principios Variacionales, AnlisisDiferencial en Espacios de Banach, Dentabilidad, Fragmentabilidad, Juegos Topolgicos, Funciones Analti-cas, Series Trigonomtricas y de Fourier, etc. El ltimo captulo es una breve incursin al hermoso, sutil ydelicado resultado conocido con el nombre de El Teorema Grande de Baire. En dicho captulo se tratanciertos aspectos de las funciones de la primera clase de Baire, la caracterizacin clsica de tales funciones,

VI

as como algunas (muy pocas) aplicaciones en el mbito de los espacios de Banach. Tangencialmente nosinvolucramos con ciertos ndices y sus relaciones con las funciones de la primera clase de Baire.

Finalmente queremos hacer notar, en primer lugar, que lo extenso de estas notas se debe fundamental-mente al esfuerzo que se ha hecho para que dicha exposicin sea lo ms autocontenida posible tratando, enlo posible, de demostrar gran parte de los resultados enunciados y utilizados, aunque en algunos casos, muypocos, se provee slo un bosquejo de la demostracin y, en consecuencia, se hace imprescindible pedirleal lector que en la bibliografa recomendada al final del libro consulte los resultados no demostrados enestas notas. Por otro lado, existe una seccin marcada con dos asteriscos, la ltima del Captulo 2, que nopresenta ninguna demostracin. El nico inters en incluirlas es el de informar brevemente al lector sobreciertos resultados actuales e importantes vinculados en, cierta medida, con el Teorema de Categora de Bairey que tratan sobre ciertos conjuntos que sin poseer una estructura lineal, contienen subespacios lineales quea veces resultan ser muy grandes. En segundo lugar, muchos otros aspectos que tienen que ver, directa oindirectamente, con el Teorema de Categora de Baire no han sido incluidos por diversas razones. Por ejem-plo, los relacionados con las versiones computables del Teorema de Categora de Baire, as como la nocinde porosidad en la Teora de los Espacios Mtricos, la nocin de prevalencia en espacios de Banach y surelacin con otras nociones en la Teora de la Medida e Integracin y otros campos del quehacer matemticono aparecen en estas notas. Los libros de John C. Oxtoby [345] (el clsico por excelencia en este tema), R.P. Boas [56], N. L. Carothers [84], A. B. Kharazishvili [253], A. M. Bruckner [76], B. S. Thomson, J. B.Bruckner y A. M. Bruckner [426], as como la tesis de Sara H. Jones [241], el artculo de Haworth-McCoy[208], y algunos otros que no mencionamos, tratan temas que no hemos incluidos en estas notas. Las tesis deIvan Bergman [49] y fundamentalmente la de Johan Thim [424] tambin son ampliamente recomendadas.

Quiero expresar mis ms profundas gracias al profesor y amigo Dimedes Brcenas quien se nos fueas, de improviso, dejndonos con una tristeza que uno no sabe dnde ubicarla y un profundo dolor. En laprimera versin de estas notas, el Dr. Brcenas las ley completamente hacindome llegar sus observacionesque me parecieron muy pertinentes y que, por supuesto, incorpor con sumo entusiasmo. La versin casifinal de las mismas, la que ahora tenemos a mano, fueron sometidas a un riguroso y meticuloso escrutiniopor parte del Dr. Dick van Dulst convirtiendo su lectura en algo ms comprensible y agradable. Tenemosla firme conviccin que su intervencin ha sido determinante en la fase final de la misma y de un enormebeneficio en su presentacin. Muchos resultados fueron corregidos, otros desincorporados y algunos vueltosa rehacer. A ellos un de gratitud. Eso no significa que no puedan seguir existiendo posibles errores uomisiones que, dicho sea de paso, son de mi entera responsabilidad, pero de ninguna manera imputables nial Dr. van Dulst ni al Dr. Brcenas. Aunque tenemos que ceder a la tentacin de las siempre necesarias y,a veces, inagotables ampliaciones y correcciones cuando se escribe unas notas tan extensas, debemos, sinembargo, agradecer a quien, por algn medio, me haga saber sobre omisiones o errores encontrados en elmismo para, en un futuro (si tal cosa es posible), mejorar las mismas. Gracias por adelantado.

Como comentario final debemos decir que lo nico que aspiramos con la publicacin de estas notas esque algn lector encuentre algo de inters en ellas y pueda divertirse disfrutando de la trivialidad profundadel Teorema de Categora de Baire pasendose por sus, a veces simples, y en ocasiones profundas, perosiempre hermosas y poderosas, aplicaciones.

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NDICE GENERAL

Prlogo III

1. El Teorema de Categora de Baire 11.0. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales

y la Hiptesis del Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Espacios mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Espacios topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Espacios normados y de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6. Conjuntos de primera y segunda categora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7. El Teorema de Categora de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8. Algunas formas equivalentes de los espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.9. Primeras consecuencias del Teorema de Categora de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.10. Conjuntos tipo-Cantor que slo poseen nmeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.11. Espacios completamente metrizables y Cech-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.11.1. Espacios completamente metrizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.11.2. Espacios Cech-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.11.3. Espacios Oxtoby-completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.11.4. Espacios topolgicos con un subespacio denso completamente metrizable . . . . 74

1.12. Puntos de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.12.1. El Teorema genrico de Baire-Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.12.2. Funciones cuyos puntos de continuidad es nunca-denso . . . . . . . . . . . . . 931.12.3. Espacios de Baire y funciones exclusivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971.12.4. Funciones que son continuas sobre un conjunto G-denso . . . . . . . . . . . . 100

1.13. El Teorema de Categora de Baire y el Axioma de Eleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031.14. El Teorema de Categora de Baire y el Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.15. El Teorema de Categora de Baire y conjuntos de Luzin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VIII NDICE GENERAL

2. Aplicaciones del Teorema de Categora de Baire 1132.1. Galera de monstruos: funciones y otros objetos raros pero abundantes . . . . . . . . . . . . 113

2.1.1. Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.1.2. Funciones continuas nunca rectificables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.1.3. Convolucin de funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . 1252.1.4. Funciones diferenciables nunca montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.1.5. Funciones continuas nunca Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.1.6. Funciones continuas nunca montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.1.7. Funciones nunca montonas de la 2a especie y de tipo no montonas . . . . . . 1402.1.8. Funciones que no cruzan lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.1.9. Funciones continuas con un conjunto denso de mximos locales propios . . . . 1492.1.10. Funciones continuas con un conjunto no numerable de ceros . . . . . . . . . . . 1512.1.11. Funciones cuyos puntos de discontinuidad son c-densos . . . . . . . . . . . . . 1552.1.12. Funciones de clase C nunca analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572.1.13. Funciones analticas nunca prolongables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1622.1.14. Series de Fourier siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682.1.15. Series universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.1.16. Series condicionalmente convergentes en R y abundantes reordenamientos . . . 1892.1.17. Series con signos alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952.1.18. Nmeros de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992.1.19. Aproximaciones diofnticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

2.2. Otras aplicaciones en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072.2.1. Algunas aplicaciones clsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2072.2.2. Diferenciabilidad en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2422.2.3. Norma LUR, compacidad dbil y puntos ms lejanos . . . . . . . . . . . . . . . 2572.2.4. Dentabilidad, la PRN y densidad de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2602.2.5. Abundantes medidas que no poseen tomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2732.2.6. El Teorema de Vitali-Hahn-Saks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2882.2.7. El Teorema de Acotacin Uniforme de Nikodm . . . . . . . . . . . . . . . . . 2932.2.8. Abundantes medidas de control: Rybakov-Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . . 2962.2.9. Fragmentabilidad y espacios de Asplund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002.2.10. Fragmentabilidad y compacidad dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172.2.11. Fragmentabilidad y cuasi-continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.2.12. Fragmentabilidad y principios variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.2.13. El juego de Banach-Mazur y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3302.2.14. El juego de Banach-Mazur y Principios de seleccin . . . . . . . . . . . . . . . 3402.2.15. El juego de Banach-Mazur y lmite puntual de funciones cuasi-continuas . . . . 3432.2.16. El juego de Banach-Mazur-Oxtoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3462.2.17. El juego de Choquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3532.2.18. El juego de Kenderov-Moors y fragmentabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 3552.2.19. El juego de Banach-Mazur y problemas de optimizacin . . . . . . . . . . . . . 3622.2.20. El Teorema Grande de Namioka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3692.2.21. Las propiedades de Namioka y co-Namioka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3752.2.22. El juego de Christensen-Saint Raymond y la propiedad de Namioka . . . . . . . 3862.2.23. El juego de Banach-Mazur y aplicaciones cuasi-continuas . . . . . . . . . . . . 3922.2.24. Densidad de funciones con un mximo fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

NDICE GENERAL IX

2.2.25. Orbitas y operadores hipercclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4022.2.26. Abundantes bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4232.2.27. Abundantes operadores diagonales e irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 4282.2.28. Abundantes operadores que poseen un vector cclico en comn . . . . . . . . . 4512.2.29. Abundantes operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

2.3. Espacios vectoriales en conjuntos excepcionalmente raros . . . . . . . . . . . . . . . . . 4602.3.1. Funciones continuas nunca diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4602.3.2. Funciones continuas con infinitos ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.3.3. Funciones siempre sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.3.4. Funciones continuas que interpolan sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.3.5. Funciones K-lineales discontinuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4632.3.6. Funciones con un conjunto denso de puntos de discontinuidades removibles . . 4632.3.7. Funciones que poseen un nmero finito de puntos de continuidad . . . . . . . . 4632.3.8. Funciones cuyas derivadas son no acotadas sobre un intervalo cerrado . . . . . . 4642.3.9. Funciones no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4642.3.10. Funciones casi-siempre continuas pero no Riemann-integrables . . . . . . . . . 4642.3.11. Funciones Riemann-integrables que no son Lebesgue-integrables . . . . . . . . 4652.3.12. Funciones continuas con un nico mximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4662.3.13. Operadores hipercclicos y supercclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4662.3.14. Funciones nunca cuasi-analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4672.3.15. El Teorema de Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4672.3.16. Series de Fourier siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4682.3.17. Series de Dirichlet siempre divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4682.3.18. Funciones de clase C nunca analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

3. El Teorema Grande de Baire 4713.0. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4713.1. El Teorema Grande de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

3.1.1. Funciones de la primera clase de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4743.1.2. El Teorema Grande de Baire - Una prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

3.2. Algunos ejemplos de funciones que pertenecen a B1(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.3. Aplicaciones del Teorema Grande de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4983.4. ndices de Szlenk, de Bourgain y de oscilacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

3.4.1. ndice de Szlenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5123.4.2. ndice de Bourgain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5143.4.3. ndice de oscilacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

X NDICE GENERAL

CAPTULO 1

EL TEOREMA DE CATEGORA DE BAIRE

Introduccin

Las aplicaciones clsicas del Teorema de Categora de Baire sustentan la idea de que dicho teoremaes uno de los tantos resultados importantes en matemticas. Que ello sea verdad no aade nada nuevo, sinembargo, dicho resultado va ms all del simple hecho de considerarlo como un teorema importante. Aunquesu demostracin es simple, su amplio abanico de aplicaciones, como intentaremos probarlo en estas notas, esinmenso. Tal vez por esa razn Krner [270] lo califica como una trivialidad profunda. Por ejemplo, su reade influencia en la demostracin de un nmero significativo de resultados importantes e interesantes se hacesentir en el anlisis clsico, en topologa, en ecuaciones diferenciales, en la teora de nmeros, en el anlisisconvexo, en el anlisis funcional, en probabilidades, en anlisis armnico, etc. Constituye, de hecho, unmtodo poderoso para probar, no slo la existencia de ciertos objetos cuyas construcciones son, en muchascasos, tremendamente difciles, sino la abundancia de tales objetos. Sin embargo, y este es uno de los retosque hay que sortear con xito, existe un cierto grado de dificultad en relacin con el mtodo de Categora deBaire el cual consiste en encontrar el espacio mtrico completo adecuado o, en su defecto, algn espaciode Baire apropiado donde dicho mtodo es aplicable. Ocasiones tendremos de exhibir numerosos ejemplosdonde tal mtodo es aplicado tales como la existencia de funciones continuas que no son diferenciables enningn punto de su dominio, as como funciones diferenciables que siempre oscilan en cualquier subintervalode su dominio, etc.

Antes de entrar de lleno en los pormenores del Teorema de Categora de Baire y algunas de sus aplica-ciones, ser necesario revisar de manera sucinta algunas nociones bsicas de Teora de Conjuntos, Funcionesy Espacios Topolgicos que asumiremos, corriendo el riesgo de equivocarnos, que el lector conoce. Sinembargo, parte de la teora de los Espacios de Banach y, en particular, de los Espacios de Hilbert que senecesitan en estas notas no se desarrollan en esta seccin aunque se discuten brevemente en ciertas porcionesdel mismo. En todo caso, la bibliografa al final de estas notas pueden servir al lector de ayuda para conocer(y ver su demostracin) de algunos de los resultados en las que no se provee ninguna prueba.

2 Cap. 1 El Teorema de Categora de Baire

1.1. Conjuntos y funciones

Conjuntos

En esta seccin revisaremos brevemente algunas propiedades bsicas de conjuntos y funciones que sonde inters para el desarrollo de estas notas. Comnmente, un conjunto se describe como una coleccin (oreunin) de objetos de cualquier naturaleza llamados los elementos o miembros del conjunto pero evitandodefinir lo que es una coleccin o lo que es un objeto con el slo propsito de eludir la aparicin de lasdenominadas paradojas de la Teora de Conjuntos. Por tal motivo, en estas notas, los trminos conjunto yelemento permanecern sin ser definidos y sern aceptados como entidades fundamentales confiando enque el lector posee una nocin, o sentimiento intuitivo, de lo que es un conjunto y lo que es elemento deun conjunto. Los elementos que forman parte de un conjunto particular, digamos X , sern denotados porel smbolo x X que se lee: x es un elemento o miembro de X, o tambin se dir que x pertenecea X . Anlogamente, el enunciado x 6 X significa que x no pertenece a X, o x no es un miembro oelemento de X.

En general, usaremos letras minsculas tales como a,b,c, . . . ,x,y,z,,,, . . . para indicar los miembroso elementos de un conjunto, y letras maysculas A,B,C, . . . ,X ,Y,Z,A,B,C, . . . ,A,B,C, etc., para designarconjuntos. Si los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos (los cuales sern representados por letrasmaysculas), entonces dicho conjunto ser llamado una familia, o una coleccin de conjuntos e indicadocon una letra tipo gtica A,B,C, etc., o una letra de tipo caligrafa A,B,C, etc.

Si A y B son conjuntos, el enunciado A B, que se lee: A es un subconjunto de B, o tambin A estcontenido o A es una parte de B, significa que todo elemento de A pertenece al conjunto B aunque puedenexistir elementos de B que no estn en A. Por otro lado, decir que A no es un subconjunto de B, en notacinA * B, significa que existe al menos un elemento de A que no es miembro de B. Como suele suceder enmuchas partes de las matemticas, existen convenciones que resultan ser muy adecuadas. Por ejemplo, enla Teora de Conjuntos, postular la existencia de un conjunto que no posee elementos es una de ellas. A talconjunto se le llama el conjunto vaco y denotado por /0. El conjunto vaco est caracterizado por la siguientepropiedad: x /0 nunca se satisface, cualquiera que sea x. Es importante destacar que, una vez admitido laexistencia del conjunto vaco, siempre se cumple que /0 X , para cualquier conjunto X . En efecto, suponerque /0* X significa que existe algn x tal que x 6 X , pero como x nunca se satisface, entonces elloobliga a sentenciar que /0 X . De esto ltimo se deduce que el conjunto vaco es nico. Un mtodo usualde obtener subconjuntos de un conjunto dado es el siguiente: se parte de un conjunto X y se considera unapropiedad P referente a los elementos de X la cual puede o no ser cierta para algunos o todos los miembrosde X . En este sentido, cualquier conjunto de la forma A = {x X : P(x) es cierta} define un subconjunto deX . Dado un conjunto X , indicaremos por P(X) el conjunto de las partes de X , es decir,

P(X) ={

A : A X}.

Observe que A P(X) si, y slo si, A X . Diremos que A es igual a B, en notacin, A = B, si ocurreque A B y B A. Si la relacin A = B no se cumple, entonces diremos que A y B son distintos y lodenotaremos por A 6= B. La notacin A $ B significa que A B pero A 6= B, que se expresa diciendo queA es un subconjunto propio de B. La diferencia A\B es el conjunto formado por todos los elementos de Aque no son miembros de B, esto es,

A\B ={

x : x A y x 6 B}.

En el caso particular en que X es un conjunto fijo y A X , entonces a X \A se le llama el complemento deA (relativo a X ) y tambin denotado por Ac.

Sec. 1.1 Conjuntos y funciones 3

Dados los conjuntos A y B, la unin e interseccin de ambos conjuntos denotados por AB y AB,respectivamente, se definen como:

AB ={

x : x A x B}

y AB ={

x : x A y x B}.

En el caso particular en que AB = , entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos. Similarmente,el producto cartesiano AB se define por

AB ={(a,b) : a A, b B

}.

Puesto que no existe ninguna limitacin para restringirnos a dos conjuntos en las definiciones de unine interseccin, podemos considerar uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos. Sea entonces A unafamilia de conjuntos, definimos la unin e interseccin, respectivamente, de dicha familia como

AAA =

{x : x A para algn A A

}y

AAA =

{x : x A para todo A A

},

Con frecuencia, escribiremos

A y

A como sinnimos para la unin e interseccin de la familia A,respectivamente. Si A es una familia numerable, digamos A = {A1,A2, . . .}, entonces, en lugar de escribir

AAA, usaremos la notacin

n=1 An. Lo mismo se hace con la interseccin, es decir, escribiremos

n=1 Anen lugar de

AAA. Como antes, si ocurre que AB = para cada par de conjuntos A,B en A, entonces

diremos que A es una familia disjunta o que los conjuntos de A son disjuntos dos a dos.Suponga ahora que X es un conjunto no vaco y que A es una familia de subconjuntos de X . Si ocurre

que X =

AAA, entonces diremos que A es un cubrimiento de X . Si la familia A es disjunta y, adems, esun cubrimiento de X , entonces se dice que A es una particin de X .

Algunas propiedades importantes sobre familias de conjuntos y que se usan frecuentemente son las si-guientes. Sean A,B familias de conjuntos. Entonces se verifica que:

(

AAA)(

BBB)

=

(A,B)AB

(AB

)

y

(

AAA)(

BBB)

=

(A,B)AB

(AB

).

Tambin se cumplen las Leyes de Morgan: si X es un conjunto no vaco y A P(X), entonces

X \

AAA =

AA

(X \A

)y X \

AAA =

AA

(X \A

).

Algunas de las definiciones formuladas anteriormente constituyen una parte de los denominados Axio-mas de la Teora de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, ha-bitualmente referidos como ZF y que evitan la famosa paradoja de Bertrand Russell. Los dems axiomas opropiedades en ZF no formuladas explcitamente en estas notas se pueden consultar, por ejemplo, en [240],o [230].

Confiamos en que el lector ha tenido, o posee, cierta experiencia con el sistema de los nmeros realesR as como tambin con el sistema de los nmeros complejos C por lo que no le dedicaremos tiempo a su


construccin. En particular, asumiremos familiaridad con Z, el conjunto de todos los nmeros enteros, conN, el conjunto de todos los nmeros enteros positivos, con Q, el conjunto de todos los nmeros racionalesy su complemento, I = R \Q, el conjunto de todos los nmeros irracionales. El smbolo K denotar indis-tintamente R o bien C, mientras que N0 = N{0}. Recordemos que un conjunto A de R se dice acotadosuperiormente (respectivamente, inferiormente) si existe una constante M tal que x M (respectivamente,M x) para todo x A. Diremos que A es acotado si l es acotado tanto superiormente as como inferior-mente. Tambin se dice que A tiene o posee un supremo finito a0 R, que escribiremos como, a0 = sup A,si las siguientes dos condiciones se cumplen:

(1) x a0 para todo x A, y(2) si a R es tal que x a para todo x A, entonces a0 a.La condicin (2) puede ser reemplazada por

(2) Dado > 0, existe x A tal que a0 < x.El nfimo, nfA, se define de manera similar. La siguiente propiedad fundamental, conocida con el nombrede Axioma del Supremo, se cumple: cualquier conjunto A de R acotado superiormente (inferiormente)posee un supremo (nfimo). Si A no est acotado superiormente (inferiormente), escribiremos sup A = +(nfA = ).

Funciones

.Sean X ,Y conjuntos no vacos. Una relacin de X en Y es un subconjunto R de XY . Cualquier elemento(x,y) de R se indicar por el smbolo xRy. Si X = Y , entonces a la relacin R se le llama relacin binaria.

Recordemos que una relacin de equivalencia sobre un conjunto X es una relacin binaria R sobredicho conjunto que es reflexiva, simtrica

((x,y) R (y,x) R, para todo x,y X

)y transitiva. Cuando

(x,y) R, escribiremos (x y) mod R y diremos que x y y son R-equivalentes o equivalentes mdulo R.Cuando no exista ninguna posibilidad de un mal entendido, escribiremos x y en lugar de (x y) mod R.La clase de equivalencia de x mdulo R es el conjunto Cx = {y X : (x y) mod R}. Puesto que x Cxpara todo x X , resulta que las clases de equivalencias forman una particin de X , es decir, X =xX Cx y,cualesquiera sean x,y X , se verifica que Cx = Cy o bien Cx Cy =. Al conjunto

X/R ={

Cx : x X},

se le llama el conjunto cociente de X por la relacin R. Observe que si x,y Cz, entonces Cx = Cy = Cz, estoes, todos los elementos de una misma clase dan origen a clases idnticas. La funcin Q : X X/R definidapor Q(x) = Cx para cada x X , se le llama la aplicacin cociente o cannica. Q es claramente sobreyectiva.

Una funcin, o aplicacin, de X en Y es una relacin f de X en Y con la propiedad adicional de que si(x,y) y (x,z) estn en la relacin, entonces y = z, es decir, para cada x X existe exactamente uno, y slo unelemento y Y , al que denotaremos por f (x), tal que (x, f (x)) f . Siguiendo la tradicin, a la funcin f laexpresaremos, en lo sucesivo, con el smbolo f : X Y . Al conjunto X se le llama el dominio de la funcinf , mientras que a Y se le llama el contradominio de f . Dos funciones f : X Y y g : X Y son igualessi X = X , Y = Y y f (x) = g(x) para todo x X . El conjunto

Gra( f ) ={(x, f (x)) X Y : x X

}

es llamado el grfico de la aplicacin f : X Y . Si f : X Y es una funcin y A X , entonces la imagende A por f , es el conjunto

f (A) ={

f (x) Y : x A}.

Sec. 1.1 Conjuntos y funciones 5

Por otro lado, si B Y , la imagen inversa de B por f , es el conjunto

f1(B) ={

x X : f (x) B}.

Es fcil ver que si A P(X), entonces

f(

AAA)

=

AAf (A), f

(

AAA)

AAf (A).

Observe que la inclusin anterior puede ser propia. En efecto, si existen elementos x,y X con x 6= y perosatisfaciendo f (x) 6= f (y), entonces tomando A = {x} y B = {y}, se tiene que AB =, de donde f (AB) =, mientras que f (A) f (B) = { f (x)}.

Para la imagen inversa se cumple que si B P(Y ), entonces

f1(

BBB)

=

BBf1(B) y f1

(

BBB)

=

BBf1(B).

Si B Y , tambin es vlida la siguiente igualdad:

f1(Y \B

)= X \ f1(B).

Ms aun, dado A X , se tiene que A f1( f (A)), mientras que si B Y , entonces f ( f1(B)) B.Una funcin f : X Y se llama inyectiva si dados x,y X arbitrarios, f (x) = f (y) implica que x = y.

Otros sinnimos de la palabra inyectiva que comnmente se usan son biunvoca y uno a uno. La funcin fse dice que es sobreyectiva, o simplemente sobre, si Y = f (X), es decir, si para cada y Y existe un x Xtal que y = f (x). Si f es tanto inyectiva as como tambin sobreyectiva, entonces la llamaremos biyectiva.

Observe que, para que ocurra la igualdad f1( f (A)) = A cualquiera que sea A X , es necesario ysuficiente que f sea inyectiva. Similarmente, f es sobreyectiva si, y slo si, f ( f1(B)) = B para todo B Y .

Si f : X Y y g : Y Z son funciones, entonces podemos definir la funcin compuesta g f : X Zcomo (g f )(x) = g( f (x)) para todo x X . Sea A un subconjunto de X . La aplicacin i : A X , definida pori(x) = x para todo x A, se llama la aplicacin inclusin de A en X . En el caso particular cuando A = X , laaplicacin inclusin de X en X , se llama la funcin identidad y ser indicada por Id : X X . Cada funcinbiyectiva f : A B da origen a otra funcin biyectiva, llamada la inversa de f y denotada por f1 : B Atal que f f1 = f1 f = Id.

Sean f : X Y una funcin y A un subconjunto no vaco de X . La restriccin de f al subconjunto Aes la aplicacin f |A : A Y definida por ( f |A)(x) = f (x) para todo x A. Ntese que f |A = f i, dondei : A X es la inclusin de A en X . Por otro lado, dada una funcin g : A Y , toda aplicacin f : X Y talque g = f |A se llama una extensin de g al conjunto X . La funcin A : X R definida por

A(x) =

{1 si x A,0 si x 6 A

se le denomina la funcin caracterstica de A.

Familias indexadas, productos cartesianos

.Sea J un conjunto no vaco cuyos elementos llamaremos ndices. Dado un conjunto arbitrario X , cual-quier funcin x() : J X es llamada una familia de elementos de X (con ndices en J si es necesario


enfatizar el conjunto de ndices). La imagen de cada elemento J por medio de x() se denotar por x yla funcin x() se indicar por el smbolo (x)J . Cuando J = N, entonces cualquier familia de elementosde X con ndices en N se llamar una sucesin en X y se denotar por (xn)n=1,(yn)

n=1,(zn)

n=1, etc.

Suponga ahora que 6= A P(X) y que x() : J A es una aplicacin sobreyectiva. Por definicin,para cada conjunto A A existe un ndice J tal que x() = A al que denotaremos por A. En este caso,la coleccin A se identifica con la familia de conjuntos {A : J}, lo que frecuentemente escribiremoscomo A= (A)J . En este caso escribiremos

J A en lugar de

AAA y lo mismo para la interseccin. Si

J =N, usaremos la notacin A = (An)n=1 a la que llamaremos una sucesin de conjuntos. Una sucesin deconjuntos (An)n=1 se dice que es creciente (respectivamente, decreciente) si An An+1 (respectivamente,An An+1) para todo n N. Si las inclusiones son todas estrictas, entonces diremos que la sucesin esestrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente).

Sea (A)J una familia cualquier de conjuntos. Se define el producto cartesiano de esta familia comoel conjunto de todas las funciones x que tienen dominio J tal que x() = x A para cada J, es to es,

J

A =

{x() : J

JA x() = x A para cada J

}.

Cada funcin x J A es llamada una funcin de eleccin para la familia (A)J . Si ocurre que todoslos A son iguales, digamos, A = A para todo J, entonces el producto cartesiano J A se denotarbrevemente por AJ. En el caso particular en que J = {1, . . . ,n} para algn n N, escribiremos An en lugar deAJ. Similarmente, si J =N, pondremos AN como un sinnimo de AJ . En general, escribiremos n=1 An comosinnimo de nN An. El conjunto Kn es llamado el espacio Euclideano de dimensin n (o n-dimensional)y si X es un conjunto arbitrario, entonces KX denota el conjunto de todas las funciones f : X R. De interses el producto cartesiano J A donde A = {0,1} para todo J. A ste producto lo denotaremos por2N, el cual consiste de todas las sucesiones de 0s y 1s.

1.2. El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden,Ordinales, Cardinales y la Hiptesis del Continuo

El Axioma de Eleccin

.El Axioma de Eleccin es un axioma de la teora de conjuntos que postula la existencia de ciertos ob-jetos sin dar ninguna indicacin de cmo obtenerlos. Desde su aparicin ha resultado ser un axioma muycontroversial. Su aceptacin, en trminos generales, se sustenta sobre la creencia de que nuestra percepcinsobre los conjuntos finitos se puede ampliar a los conjuntos infinitos, pero ms all de eso, el principal ar-gumento para su aceptacin es que dicho axioma es tremendamente til. Muchos resultados importantesy fundamentales en Anlisis Real, Topologa, Anlisis Funcional, Algebra, etc. se pueden demostrar si seacepta, sin limitaciones, el Axioma de Eleccin. Una muestra de ello se puede ver, por ejemplo, en el librode H. Herrlich: Axiom of Choice [215]. Entre las numerosas formas equivalentes del Axioma de Eleccinque existen, tal vez una de las ms populares sea el siguiente:

Axioma de Eleccin (AC). Si (X)J es una familia de conjuntos tal que X es no vaco paratodo J, entonces existe al menos una funcin de eleccin para la familia (X)J .

Lo anterior se puede expresar diciendo que: dada cualquier coleccin (X)J de conjuntos no vacos, elproducto cartesiano J A es no vaco, lo que cotidianamente se traduce en afirmar que, dada cualquier

Sec. 1.2 El Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn, el Principio del Buen-Orden, Ordinales, Cardinales y la Hiptesisdel Continuo 7

coleccin (X)J de conjuntos no vacos uno puede elegir, de cada X, un nico punto x para formar unnuevo conjunto. Es un hecho ya establecido que el Axioma de Eleccin es independiente de los axiomas dela Teora de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en el sentido de que ni la verdad, ni la falsedad de dichoaxioma puede ser demostrado en ZF. Aadindole a la Teora de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel el Axiomade Eleccin se obtiene una Teora de Conjuntos mucho ms amplia y poderosa denominada brevementeZFC. El uso del Axioma de Eleccin muchas veces se oculta y, aunque sea obvio para el experto, puedeno ser percibido por el principiante. De hecho, grandes matemticos tales como Borel y Lebesgue que eranacrrimos detractores de tal axioma, lo usaron inconscientemente en la prueba de algunos teoremas. Porejemplo, Lebesgue lo utiliz para demostrar que uniones numerables de conjuntos medibles son medibles,mientras que Borel se vali de l para demostrar la existencia de funciones continuas f : R R las cualesno pueden ser representadas como series dobles de polinomios.

El Lema de Zorn

.Entre las numerosas y variadas formas equivalentes del Axioma de Eleccin, se encuentra el as llamadoLema de Zorn, un resultado formulado por M. Zorn en 1935 [456] y que resulta ser extremadamente tilen varias ramas del quehacer matemtico. Por ejemplo, el Lema de Zorn es fundamental para demostrarresultados importantes tales como: el Teorema de Hahn-Banach, el Teorema de Krein-Milman, el Teoremadel Ultrafiltro, la prueba de la existencia de una base de Hamel en cualquier espacio vectorial no trivial, etc.Recordemos que una relacin binaria sobre un conjunto X no es otra cosa que cualquier subconjunto R deX X . La relacin binaria R se dice que es un orden parcial si ella es(a) reflexiva: (x,x) R para todo x X ,(b) antisimtrica: si (x,y) y (y,x) estn en R, entonces x = y,

(c) transitiva: si (x,y) y (y,z) estn en R, entonces (x,z) R.Escribiremos para denotar un orden parcial sobre X . Un conjunto X equipado con un orden parcial esllamado un conjunto parcialmente ordenado y denotado por (X ,). Dos elementos x,y en un conjuntoparcialmente ordenado se dicen que son comparables si x y o y x. Un conjunto parcialmente ordenadoen el cual cualquier par de elementos son comparables es llamado un conjunto totalmente (o linealmente)ordenado y a dicho orden se le denomina un orden total o lineal. Una cadena en un conjunto parcialmenteordenado es un subconjunto que est totalmente ordenado. En un conjunto parcialmente ordenado (X ,) larelacin x y significa que x y pero x 6= y. Con frecuencia escribiremos y x como sinnimo de x y.

Sea (X ,) un conjunto parcialmente ordenado y sea A X . Un elemento x X es una cota superior deA si a x para todo a A. Si x0 es una cota superior de A y si cualquier otra cota superior x de A satisfacex0 x, entonces se dice que x0 es el supremo de A. Un elemento x0 X se dice que es el mximo o elelemento ms grande en X si x x0 para todo x X . Por otro lado, un elemento x0 X se dice que esun elemento maximal en X si no existe y X para el cual x0 y, es decir, si el nico elemento x X quesatisface x0 x es el propio x0. Observe que un elemento maximal no tiene porque ser ms el grande detodos: ms aun, lo que no le est permitido a un elemento maximal es ser menor que cualquier otro elementodel conjunto. Por ejemplo, sea X = {x R2 : x2 1}, es decir, X es la bola cerrada unitaria con la normaeuclideana. Sobre X defina el siguiente orden parcial : si x,y X , x y si, y slo si, x Iy, dondeIy es el segmento radial que va desde el origen al punto y. Es claro que cualquier par de vectores x,y Xno son comparables si ellos estn sobre segmentos radiales distintos. De esto se sigue que cualquier vectorv {x R2 : x2 = 1} es maximal pero no es un mximo. Las definiciones de nfimo, mnimo y minimalse definen de modo enteramente similar. La demostracin del prximo resultado se puede ver, por ejemplo,en [215].


Lema 1.2.1 (Lema de Zorn). Sea (X ,) un espacio parcialmente ordenado. Si cualquier cadena en Xposee una cota superior, entonces X posee un elemento maximal.

Con mucha frecuencia, el Lema de Zorn se utiliza cuando F es una familia de subconjuntos de un con-junto dado X ordenados por la relacin de inclusin con la propiedad de que cualquier cadena C F, suunin

C, tambin est en F. (Observe que

C es una cota superior para C con respecto a ). En este caso

particular, el Lema de Zorn se expresa del modo siguiente:

Corolario 1.2.1 (Principio Maximal de Hausdorff). Sea F una familia de subconjuntos no vacos de unconjunto no vaco X. Suponga que los elementos de F estn ordenados por la relacin de inclusin y quepara cualquier cadena C F, se cumpla que su unin C tambin est en F. Entonces F posee un elementomaximal.

Principio del Buen-Orden

.Entre los conjuntos infinitos, el conjunto de los nmeros naturales con su orden natural (N,) es un con-junto que disfruta del denominado principio del buen-orden, el cual establece que cualquier subconjuntono vaco de N contiene un primer elemento, es decir, el elemento ms pequeo (o mnimo) del subconjunto.Si pudiramos extender dicho principio a cualquier conjunto no vaco con un orden establecido abrigaramosla esperanza de poder trabajar con cualquier conjunto bien ordenado del mismo modo conque trabajamoscon N y, por supuesto, eso nos conducira a extender nuestra manera tradicional de contar ms all de losnaturales y, por supuesto, dispondramos de una extensin del proceso de induccin matemtica. Por talesmotivos, el principio del buen orden es una propiedad que pudiramos pensar como altamente deseada.

Sea (X ,) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que es un buen-orden en X o que X estbien-ordenado por si cualquier subconjunto no vaco A de X posee un primer elemento, es decir, unelemento x A es el primer elemento o el elemento mnimo en A si x a para todo a A. Observe queun buen-orden sobre un conjunto X automticamente lo convierte en un conjunto totalmente ordenado.En efecto, si x,y X , entonces el conjunto A = {x,y} posee, por ser un buen orden sobre X , un primerelemento, es decir, o bien x y, o bien y x. Por esta razn uno puede suponer que un conjunto bien ordenadoes un par (X ,), donde X un conjunto totalmente ordenado y es un buen-orden en X . Si (X ,) y (X ,)son conjuntos bien-ordenados, entonces una funcin f : X X se dice que es un orden-isomorfismo sif es biyectiva y f (x) f (y) siempre que x y. En este caso diremos que X y Y son orden-isomorfos o,simplemente, isomorfos.

El orden lexicogrfico es un ejemplo de un buen-orden en el producto cartesiano de dos conjuntos bien-ordenados. Recordemos su definicin. Sean (A,4A) y (B,4B) dos conjuntos parcialmente ordenados. Elorden lexicogrfico, tambin conocido como el orden del diccionario, es una relacin de orden definidasobre el producto cartesiano AB del modo siguiente: para todo (a,b),(a,b) AB,

(a,b) (a,b) a 4A a o bien (a = a b 4B b)

Ntese que la regla que define a es la misma regla que se utiliza para ordenar las palabras en cualquierdiccionario. De all su nombre.

Suponga ahora que (A,4A) y (B,4B) son dos conjuntos bien-ordenados y que el producto cartesiano AB est provisto del orden lexicogrfico . Sea X un subconjunto no vaco de AB. Observe que el conjuntoX1 = {a A : (a,b) X} por ser no vaco en A, posee un primer elemento, llammoslo a0 (recuerde queestamos asumiendo que (A,4A) es un conjunto bien-ordenado). De modo enteramente similar, el conjuntoX2 = {b B : (a0,b) X} posee, en B, un primer elemento, digamos b0. Resulta claro, por la definicin del


orden lexicogrfico, que (a0,b0) es el primer elemento de X y, por lo tanto, AB con el orden lexicogrfico es un conjunto bien-ordenado. Es fcil ver que si n N y si (Ai,4i) es un conjunto bien-ordenado parai = 1, . . . ,n, entonces uno puede, recursivamente, definir el orden lexicogrfico en el producto cartesianoi=1 Ai y entonces hacer de ste un conjunto bien-ordenado.

Sea (X ,) un conjunto parcialmente ordenado. Para cada x X , defina

S(x) = {y X : y x}.

Al conjunto S(x) se le llama un segmento inicial determinado por x.

Teorema 1.2.1 (Principio del Buen-Orden). Cualquier conjunto no vaco puede ser bien-ordenado.

Prueba. Sea X un conjunto no vaco y sea

F ={

(A,4A) : A X y 4A es un buen-orden sobre A}.

Puesto que cualquier conjunto finito est bien ordenado por cualquier orden lineal o total, resulta que F 6=.Sobre F se define el orden parcial - declarando que: (A,4A) - (B,4B) si

(1) A B,(2) 4A y 4B coinciden sobre A y,

(3) si x B\A, entonces a 4B x para todo a A.Sea ahora C una cadena en F y definamos C =

{A : (A,4A) C}. Sobre C se define el orden 4C del modosiguiente: x 4C y si, y slo, si existe un (A,4A) C tal que x,y A, en cuyo caso, x 4A y. Es fcil verque el ordenamiento 4C est bien definido y es un buen orden sobre C. Por esto, (C,4C) F y es claroque (C,4C) es una cota superior para C. Por consiguiente, por el Lema de Zorn, el conjunto F posee unelemento maximal, digamos, (A0,4). Afirmamos que A0 = X . En efecto, suponga por un momento queA0 6= X y sea x cualquier elemento en X \A0. Ordene el conjunto B0 = A0 {x} con el mismo orden queposee A0 estipulando, adems, que a 4 x para todo a A0. Entonces (B0,4) es un elemento de F tal que(A0,4) - (B0,4), lo que evidentemente contradice la maximalidad de (A0,4). Por esto A0 = X y 4 es unbuen-orden sobre X .

Se puede demostrar que el Axioma de Eleccin, el Lema de Zorn y el Principio del Buen-Orden sontodos equivalente (vase, por ejemplo, [240]).

Nmeros ordinales

.Mientras que el cardinal de un conjunto mide la cantidad de elementos que l posee, el ordinal de unconjunto bien-ordenado mide su longitud. Siguiendo a John von Neumann diremos que:

Definicin 1.2.1. Un nmero ordinal es un conjunto bien-ordenado con la propiedad de que S() = ,para todo .

Esta definicin es equivalente a afirmar que X es transitivo, es decir, si a x X , entonces a X y,adems, que X est totalmente ordenado por la relacin . Con esta definicin podemos escribir, con elorden usual, 0 = , 1 = {0}, 2 = {0,1}, . . . , n + 1 = {0,1,2, . . . ,n}, . . . , es decir, cada nmero naturales un nmero ordinal finito. De conformidad con la notacin estndar denotaremos por 0 el conjunto bien-ordenado de los nmeros naturales N0. En general, si es un ordinal, entonces +1 := {} tambin es


un ordinal llamado el sucesor inmediato de . En lo que sigue escribiremos + = + 1. Similarmente, sepuede demostrar de que si A es un conjunto de ordinales, entonces

A es igualmente un ordinal. Un ordinal

sin un sucesor inmediato es llamado un ordinal lmite, es decir, es un ordinal lmite si =

.Usando la definicin de sucesor inmediato, podemos continuar generando ordinales numerables del modosiguiente:

+0 = 0 + 1, (0 + 1)+ = 0 + 2,

En esta escala, despus de 0,0 +1,0 +2, . . ., viene 0 +0 = 02. Similarmente, despus de 02,02+1,02+2, . . . viene 02+0 = 03. Si se contina con este mecanismo indefinidamente se logra construiruna gigantesca cantidad de ordinales cada uno de los cuales es, por definicin, un ordinal numerable:

0, . . . ,02, . . .03 . . . ,20, . . . ,20 + 1, . . .

20 + 2, . . . ,

20 + 0, . . . ,

20 + 0 + 1, . . . ,

20 + 0 + 2, . . . ,20 + 02, . . . ,

30, . . . ,

00 , . . . ,

000 , . . .

Es importante destacar que ninguno de los ordinales: 0,02, . . . ,20, . . . ,00 , . . . posee un predecesor in-

mediato. Cada uno de ellos es, por supuesto, un ordinal lmite.Se puede demostrar que todos los nmeros ordinales isomrficos entre s, son iguales. Esto permite que

cualquier par de nmeros ordinales puedan ser comparados, esto es, si y son nmeros ordinales y sidefinimos

si, y slo si, = ,

resulta que para cualesquiera dos nmeros ordinales y , se cumplir una, y slo una, de las siguiente tresposibilidades: < , = < . A la relacin de orden la llamaremos el orden cannico de losnmeros ordinales. Es un hecho ya establecido que:

(a) Si A es cualquier conjunto de nmeros ordinales, entonces (A,) est bien-ordenado.

(b) Cualquier conjunto bien-ordenado es isomrfico a nico nmero ordinal.

Sea un nmero ordinal tal que 0 < y sea X un conjunto arbitrario. Similar a la definicin de sucesinen X , por una sucesin transfinita de tipo en X entenderemos cualquier aplicacin : S() X . Elelemento de X asignado al nmero ordinal < es denotado por x en lugar de (), y la sucesin transfinitaen s misma es denotada por x1,x2, . . . ,x, . . . , < , o brevemente por (x)


Prueba. Suponga que A 6= X . El subconjunto B := X \A de X es no vaco y, gracias al hecho de X est bienordenado, B posee un primer elemento, llammoslo x0. Sin embargo, como S(x0) X , nuestra hiptesis nosrevela que x0 A, lo cual contradice el hecho de que x0 6 A. Por esto, A = X .

Existe una forma alternativa de expresar el resultado anterior que guarda una estrecha similitud con elPrincipio de Induccin clsico. Puesto que S() es un conjunto bien ordenado para cada ordinal , enton-ces existe un principio de induccin por cada ordinal. Sea un ordinal y sea A un subconjunto de S()satisfaciendo las siguientes propiedades:

(1) 1 A,(2) + 1 A, siempre que A y, finalmente,(3) A siempre que S() A, para cualquier ordinal limite < .

Entonces A = S().

Otro hecho que con frecuencia usaremos es el siguiente: Suponga que X es cualquier conjunto no vaco.Por el Principio del Buen-Orden existe un conjunto bien ordenado (D,4) que sirve como un conjunto dendices para los elementos de X, es decir, a X lo podemos representar como X =

{x : D

}.

Cardinalidad

.La nocin anterior de nmeros ordinales se introdujo como conjuntos estndar para comparar conjuntosbien-ordenados por medio de isomorfismos. Si la relacin de orden no es nuestra prioridad, entonces laherramienta principal para comparar conjuntos es la nocin de equipotencia. Dos conjuntos X y Y se diceque son equipotentes, o que ellos poseen el mismo nmeros de elementos, si existe una funcin biyectivaf : X Y . Escribiremos X Y para denotar que X y Y son equipotentes. Un extraordinario resultado deCantor establece que:

Teorema 1.2.3 (Cantor). Cualquier conjunto arbitrario X es equipotente a un subconjunto propio de P(X),pero no es equipotente a P(X).

Prueba. Decir que X no es equipotente a P(X) significa que ninguna funcin f : X P(X) puede sersobreyectiva. Para ver esto, sea x X . Entonces f (x) es un subconjunto de X que puede o no contener ax. Considere ahora el conjunto F = {x X : x 6 f (x)}. Afirmamos que no existe x X tal que F = f (x).Suponga por un momento que existe algn x0 X para el cual F = f (x0) y observe que: x0 F si, y slo si,x0 6 f (x0) = F . Esta contradiccin establece que f no puede ser sobreyectiva y, en consecuencia, X y P(X)no son equipotentes. Ms aun, si definimos f (x) = {x} para todo x X , resulta que f es inyectiva y, as, Xes equipotente a un subconjunto propio de P(X) y concluye la prueba.

Sea ahora un nmero ordinal. Por el Teorema de Cantor el conjunto potencia P() posee las siguientesdos propiedades:

(a) es equipotente a un subconjunto propio de P(), y(b) no es equipotente a P().

Por el Principio del Buen-Orden, el conjunto P() admite un buen-orden. Sea el nmero ordinal delconjunto bien-ordenado P() y considere el conjunto F = { : }. Si es cualquier nmeroordinal tal que , entonces < pues, en caso contrario, tendramos que = lo que nos indicaraque P() es equipotente a un subconjunto de , lo cual es imposible. Se sigue ahora del carcter transitivo de que . De all que el conjunto F es el conjunto de todos los nmeros ordinales que son equipotentesa . Lo anterior justifica la siguiente definicin.


Definicin 1.2.2. Un nmero cardinal es un nmero ordinal tal que para todo F, donde F esel conjunto de todos los nmeros ordinales que son equipotentes a .

Claramente cualquier nmero natural es un nmero cardinal finito. Es interesante observar, por lo vistoanteriormente, que N0, el conjunto de los nmeros naturales, admite dos representaciones: una como 0,el primer ordinal infinito y la otra como 0, el primer cardinal infinito. Como cualquier conjunto bien-ordenado es isomrfico a nico nmero ordinal, resulta que cualquier conjunto X es equipotente a niconmero cardinal que denotaremos por card(X). Por otro lado, del Teorema de Cantor se sigue que

0 < card(P(N)) = 20 = c,

donde 20 = c denota el cardinal de R.

La Hiptesis del Continuo

.Un aleph, , es el nmero cardinal de un conjunto infinito bien-ordenado. Puesto que todo subconjuntode un conjunto bien-ordenado hereda esa propiedad, es decir, sigue siendo bien-ordenado, resulta que:

Cualquier cardinal infinito menor que un es un .

Teniendo en cuenta que, en presencia del Axioma de Eleccin, todos los conjuntos estn bien-ordenados,entonces todos los cardinales infinitos son alephs. En particular, el conjunto (A,) de todos los alephs estbien-ordenado. Consideremos ahora el conjunto Z0 formado por todos los ordinales cuya cardinalidad es0. No es difcil ver que Z0 es no-numerable. Definimos entonces 1 como el cardinal de Z0. En general,si para cada n N, el cardinal n ha sido definido, entonces n+1 es el cardinal del conjunto Zn de todoslos ordinales de cardinalidad n. El cardinal 0 es el cardinal de

n=1 Zn y se contina la construccin de

cada para cada ordinal > 0.Se sigue de la definicin de 1 que 1 20 . En su Continuum Hypothesis, G. Cantor estableci su

famosa conjetura:

Hiptesis del Continuo (CH). 20 = 1

Es decir, en la sucesin infinita de cardinales transfinitos 0,1,2 . . ., la Hiptesis del Continuo afirmaque 20 = 1. Esta hiptesis tambin se puede formular en los siguientes trminos: teniendo en cuenta que0 < 20 = c, existir algn conjunto infinito A R tal que 0 < card(A) < c? La Hiptesis del Continuoes la que afirma que un tal conjunto A no existe, en otras palabras: si A es un subconjunto infinito de R,entonces card(A) = 0, o bien card(A) = c.

Muchos resultados interesantes e importantes son posibles si se acepta dicha hiptesis. En 1938 KurtGdel demostr la consistencia del sistema ZFC + CH. Paul Cohen, en 1964, demostr la consistencia delsistema ZFC + CH.

Construccin de 1, el primer ordinal no numerable.Sea X un conjunto no numerable y suponga que X est bien-ordenado por la relacin . Entonces existe

un conjunto X tal que:(1) es no numerable, y

(2) para cada , el conjunto S() = { : < } es numerable.

Sec. 1.3 Espacios mtricos 13

Para demostrar esto, considere el conjunto

S ={

X : S() es no numerable},

donde S() = { X : < }. Nuestro conjunto S puede, o no, ser vaco. Si S 6= , entonces el Principiodel Buen-Orden nos garantiza que S posee un primer elemento, llammoslo 1 y la prueba termina una vezque hallamos definido = S(1). En efecto, como 1 S, tenemos que:(a) S(1) es no numerable, y adems,

(b) por ser 1 es el ordinal ms pequeo para el cual (a) se cumple, se sigue que si = S(1), es decir, < 1, entonces S() es numerable .

If S =, defina W = X {X} y extienda el orden de X al nuevo conjunto W declarando que < X paracualquier X . Si ahora hacemos 1 = X y = S(1), vemos que las conclusiones (a) y (b) dadas arribason inmediatas.

A 1 se le conoce con el nombre de el primer ordinal no numerable, mientras que a los elementos delconjunto 0 = \{1} se les llaman ordinales numerables. Observe que card(1) = 1. El hecho de que posee un primer elemento nos permite pensar a N0 como un subconjunto de identificando al nmero 0con el primer elemento de y, recursivamente, identificando cada n N, n > 0, con el primer elemento de\{0,1,2, . . . ,n1} de modo que se preserve el orden de los naturales.

Conjunto de Bernstein

.El Principio del Buen-Orden permite construir ciertos conjuntos extraos en R. Por ejemplo, existe unsubconjunto no vaco B de R tal que l y su complemento intersectan cualquier conjunto cerrado no nume-rable de R. Tal conjunto se conoce con el nombre de Monstruo de Bernstein o, simplemente, conjunto deBernstein. Veamos su construccin. Considere la familia F de todos los subconjuntos cerrados no numera-bles de R. Por el Principio del Buen-Orden podemos indexar a dicho conjunto con los nmeros ordinalesmenores que 1, esto es, F = {F : < 1}. Usaremos induccin transfinita para construir a B. Para elloes necesario, invocando de nuevo el Principio del Buen-Orden, que asumamos que R est bien-ordenadoy, por consiguiente, que cada F tambin lo est. Sean p1,q1 los primeros dos elementos de F1. Para cada1 < < 1, suponga que p,q han sido definidos para todo < . Puesto que


(1) d(x,y) 0 para todo x,y X ,(2) d(x,y) = 0 si, y slo si, x = y,

(3) d(x,y) = d(y,x) para todo x,y X ,(4) d(x,z) d(x,y)+ d(y,z) para todo x,y X .

El par (X ,d), donde X es un conjunto y d es una mtrica sobre X , es llamado un espacio mtrico. Si lacondicin d(x,y) = 0 no siempre implica que x = y y todas las dems se cumplen, entonces diremos que des una pseudo-mtrica y, en consecuencia, diremos que (X ,d) es un espacio pseudo-mtrico. Si (X ,d) esun espacio mtrico y Y es un subconjunto no vaco de X , entonces la restriccin de d a Y Y es una mtricasobre Y que seguiremos denotando por d. El espacio mtrico (Y,d) se le denomina subespacio mtrico de(X ,d). Aqu estn algunos ejemplos de espacios mtricos.

(a) Una de las mtricas ms simples que se puede definir sobre cualquier conjunto no vaco X es la mtricadiscreta d definida, para todo x,y X , por

d(x,y) =

{1, si x 6= y0, si x = y.

El espacio mtrico (X ,d) se le conoce con el nombre de espacio mtrico discreto.

(b) Si 1 p < , la funcin dnp :Kn Kn R definida por

dnp((xi)

ni=1,(yi)

ni=1

)=

(n

i=1

xi yip)1/p

para todo (xi)ni=1,(yi)ni=1 Kn es una mtrica sobreKn. A tales espacios lo denotaremos por np. Si p = ,

la mtrica dn :Kn Kn R se define por

dn((xi)

ni=1,(yi)

ni=1

)= max

1 in

xi yi

para todo (xi)ni=1,(yi)ni=1 Kn. Como antes, escribiremos n en lugar de (Kn,).

En general, si 1 p < , indicaremos por p el espacio vectorial de todas las sucesiones (xn)n=1 denmeros reales o complejos que son p-sumables, es decir, que satisfacen

n=1

xnp < ,

dotado de la mtrica

dp((xn)

n=1,(yn)

n=1

)=

(

n=1

xn ynp)1/p

,

mientras que si p = , entonces denota el espacio vectorial de todas las sucesiones acotadas deescalares (reales o complejos), es decir, (xn)n=1 si, y slo si, existe una constante no negativa K talque |xn| K para todo n N, provisto de la mtrica del supremo

d((xn)

n=1,(yn)

n=1

)= sup

nN

xn yn.

Dos subespacios realmente importantes de son

c ={(xn)

n=1 : lmn xn existe

}y c0 =

{(xn)

n=1 : lmn xn = 0

}.

Sec. 1.3 Espacios mtricos 15

(c) Si X es un conjunto no vaco, denotaremos por (B(X),d) el espacio mtrico de todas las funcionesf : X R que son acotadas, es decir, existe una constante K f R+ tal que | f (x)| K f para todo x X ,donde d : X X R se define por

d( f ,g) = supxX

f (x)g(x)

para todo f ,g B(X). En el caso particular en que X = N X = {1,2, . . . ,n} para cualquier n N,entonces B(N) = y B({1,2, . . . ,n}) = n.

(d) Para cada n N, sea (Xn,dn) un espacio mtrico y considere el producto cartesiano X = n=1 Xn. Enton-ces las aplicaciones d, : X X R definidas para cada par x = (xn)n=1 y y = (yn)n=1 de elementosde X por

d(x,y) =

n=1

mn{dn(xn,yn),1}2n

y (x,y) =

n=1

12n

dn(xn,yn)1+ dn(xn,yn)

, (P)

representan, cada una, una mtrica sobre X .

Fijemos un espacio mtrico (X ,d). Los conjuntos

U(x,r) ={

y X : d(x,y) < r}, B(x,r) =

{y X : d(x,y) r

}

yS(x,r) =

{y X : d(x,y) = r

}.

los llamaremos, respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera con centro x y radio r > 0.Un subconjunto G X se dice que es abierto si para cada x G, existe un r > 0 tal que U(x,r) G. Unsubconjunto F de X se dice que es cerrado si X \F es abierto. No es difcil demostrar que tanto c, as comoc0 son cerrados en .

Sea A un subconjunto de X . Un punto x A es un punto interior de A si existe un r > 0 tal queU(x,r) A. El conjunto de todos los puntos interiores de A ser denotado por int(A) y llamado el interiorde A. Es fcil ver que int(A) es un conjunto abierto y que si U es un subconjunto abierto de A, entoncesU int(A) A, es decir, int(A) es el conjunto abierto ms grande contenido en A. En particular, A es abiertosi, y slo si, A = int(A). La clausura de A, que indicaremos con el smbolo A, es el conjunto cerrado mspequeo conteniendo a A, esto es, si F es un subconjunto cerrado de X con A F , entonces A A F .Se sigue que A es cerrado si, y slo si, A = A. Un subconjunto A de X es denso en X si A = X . Un puntox X es un llamado un punto frontera de A si para cualquier r > 0, la bola abierta U(x,r) contiene puntostanto de A as como de X \A. El conjunto de todos los puntos frontera de A lo escribiremos por Fr(A) y lonombraremos la frontera o el borde de A.

Si x X y A es un subconjunto no vaco de X , la distancia entre x y A se define como

dist(x,A) := nf{

d(x,a) : a A}.

Se puede comprobar, sin mucha dificultad, que

(a) dist(x,A) = dist(x,A),

(b) dist(x,A) = 0 si, y slo si, x A, y(c)

dist(x,A)dist(y,A) d(x,y) cualesquiera sean x,y X .


Diremos que A es acotado en X , si existe una constante M 0 tal que d(x,y) M para todo x,y A. Si Aes acotado en X , el dimetro de A se define mediante el nmero

diam(A) := sup{

d(a,b) : a,b A}.

Pondremos diam(A) = si el conjunto A no sea acotado en X .Si (xn)n=1 es una sucesin en X y x0 X , diremos que (xn)n=1 converge a x0, en notacin lmn xn = x0

o, brevemente, xn x0, si para cada > 0, existe un N N tal que d(xn,x0) < para todo n N. Es fcilver que si F es un subconjunto de X , x F si, y slo si, existe una sucesin (xn)n=1 en F tal que xn x0. Enparticular, F es cerrado si, y slo si, siempre que (xn)n=1 es una sucesin en F que converge a algn x0 X ,entonces x0 F .

Una sucesin (xn)n=1 en X se llama sucesin de Cauchy si, para cada > 0, existe un N N tal qued(xn,xm) < para todo m,n N. Un hecho importante que hay que destacar referente a las sucesiones deCauchy es que si (xn)n=1 es de Cauchy en X , entonces se puede determinar la existencia una subsucesin(nk)k=1 de enteros positivos tal que d(xnk ,xnk+1) < 2

k para todo k N. Toda sucesin convergente es deCauchy, sin embargo, el recproco no es, en general, vlido. Si una sucesin de Cauchy en X , digamos(xn)n=1,posee alguna subsucesin convergente a algn punto x X , entonces la sucesin (xn)n=1 es en s mismaconvergente y converge, adems, al punto x. Un espacio mtrico en donde toda sucesin de Cauchy convergea un elemento de dicho espacio, es llamado un espacio mtrico completo.

Cualquier espacio mtrico discreto es completo, de hecho, todos los espacios mtricos definidos enlos ejemplos anteriores son completos, salvo, por supuesto, el del producto cartesiano. En este caso, si(Xn,dn)n=1 es una familia numerable de espacios mtricos, entonces el producto cartesiano

(n=1 Xn,d

)

es completo si, y slo si, cada (Xn,dn) es completo.Un espacio mtrico (X ,d) se llama separable si contiene un subconjunto denso numerable. Es fcil

ver que un espacio mtrico (X ,d) es separable si, y slo si, X es 2 numerable, lo cual significa que Xposee una base numerable, es decir, existe una coleccin numerable C de subconjuntos abiertos de X talque todo abierto no vaco U de X se puede expresar como una unin de elementos de C. Ms aun, si Xes un espacio mtrico separable, entonces X es de Lindelf. Esto ltimo significa que, si C es cualquiercubrimiento abierto de X , es decir, una familia de subconjuntos abiertos no vacos de X tal X =

VCV ,

entonces existe una subcoleccin numerable de C, digamos, C0 ={

Vn C : n N}

que tambin cubre a X ,esto es, X =

n=1Vn.

Sea (X ,d) un espacio mtrico. Una sucesin ( fn)n=1 de funciones a valores reales definidas sobre X sedice que converge uniformemente sobre X a una funcin f si para cada > 0, existe un entero N N conla propiedad de que si n N, entonces se cumple que

fn(x) f (x) <

para todo x X .El siguiente test para la convergencia uniforme de una serie dada debido a K. Weierstrass, es muy con-

veniente (vase, por ejemplo, [386], Theorem 7.10, p. 148).

M-Test de Weierstrass. Sea ( fn)n=1 una sucesin de funciones a valores reales definidas sobre unespacio mtrico (X ,d). Suponga que, para cada n N, existe una constante no negativa Mn tal que

fn(x) Mn para todo x X .

Si n=1 Mn < , entonces la serie n=1 fn converge uniformemente sobre X .

Sec. 1.4 Espacios topolgicos 17

Si (X ,d) es un espacio mtrico, denotaremos por (C(X),d) el subespacio vectorial de (B(X),d)formado por todas las funciones continuas y acotadas f : X R. En este caso, (C(X),d) resulta ser cerradoen (B(X),d) y, en consecuencia, un espacio mtrico completo, pues (B(X),d) es completo.

Dado un espacio mtrico arbitrario (X ,d), si dicho espacio no es completo, entonces siempre se puedeconstruir un espacio mtrico completo

(X , d

)y una aplicacin con las siguientes propiedades:

(a) la aplicacin : X X es una isometra de X sobre (X) y (X) es denso en X ,(b) el espacio mtrico completo

(X , d

)es, salvo isometra, nico; es decir, si

((X , d

),)

es otra com-pletacin de (X ,d), entonces existe una nica isometra f : X X tal que f = .

Al par((

X , d),)

lo llamaremos la completacin de (X ,d). En la prctica, casi siempre ocultamos laisometra , identificamos a X con su imagen (X) y simplemente decimos que

(X , d

)es la completacin

de (X ,d). En este caso, d coincide con d sobre X X .

1.4. Espacios topolgicos

Los conjuntos abiertos son las piezas fundamentales en la teora de los espacios mtricos. La abstrac-cin de las propiedades bsicas de tales conjuntos conduce a la construccin de una nueva rea de estudiodenominada los espacios topolgicos.

Definicin 1.4.1. Sea X un conjunto no vaco y suponga que es una coleccin no vaca de subconjuntosde X. Diremos que es una topologa sobre X siempre que se cumplan las siguientes propiedades:

(a) ,X ,(b) si {U : J} es cualquier coleccin de elementos de , entonces

J U , y

(c) si para cualquier k N, U1, . . . ,Uk , entoncesk

i=1Ui .

Los elementos de cualquier topologa son llamados conjuntos abiertos o simplemente -abiertos. Unespacio topolgico es un par (X ,), donde X es un conjunto no vaco y es una topologa sobre X . Confrecuencia hablaremos de un espacio topolgico X sin mencionar la topologa cuando sobre dicho conjuntono se ha definido explcitamente ninguna otra topologa.

Cualquier subconjunto no vaco Y de un espacio topolgico (X ,) puede ser considerado en s mismocomo un espacio topolgico definiendo la topologa Y sobre Y del modo siguiente: Y :=

{U Y : U

},

esto es,G Y si, y slo si, existe U tal que G = U Y.

En este caso se dice que (Y,Y ) es un subespacio de (X ,) y a Y se le llama la topologa inducida por .En un espacio topolgico (X ,), un subconjunto G de X se llama un entorno de un punto x X si existe unconjunto abierto U tal que x U G. El conjunto G se dice que es un entorno abierto de un punto x Xsi G, adems de ser un entorno de x, es un conjunto abierto. Se puede demostrar que un conjunto G X esabierto si, y slo si, para cada x G, existe un entorno abierto Vx de x tal que Vx G. Un subconjunto Fde un espacio topolgico (X ,) se llama conjunto cerrado si X \F es un conjunto abierto. Se sigue de laspropiedades de los conjuntos abiertos que:

(a) y X son conjuntos cerrados,

(b) si {F : J} es cualquier coleccin de subconjuntos cerrados de X , entonces

J F es cerrado, y


(c) si para cualquier k N, F1, . . . ,Fk son conjuntos cerrados, entoncesk

i=1 Fi tambin es cerrado.

Sea (X ,) un espacio topolgico y suponga que E es un subconjunto de X . La unin de todos los con-juntos abiertos contenidos en E es llamado el interior de E y denotado por int(E) o int(E). Observeque si E no contiene ningn subconjunto abierto, entonces int(E) = . En cualquier caso, int(E) es elconjunto abierto ms grande contenido en E . Escribiremos int(E) cuando no exista ninguna otra topologaexplcitamente definida sobre X . Similarmente, la interseccin de todos los conjuntos cerrados que contienena E es llamado la clausura de E y denotado por E . Observe que E siempre existe. En efecto, la familiaF :{

F X : E F, F cerrado}

es no vaca pues X pertenece a F y gracias a que la interseccin arbitrariade conjuntos cerrados es cerrado, resulta que E

=

FFF . Como antes, si el contexto es claro, es decir,si no existe otra topologa definida sobre X , escribiremos simplemente E en lugar de E

. Se tiene entonces

que E es el conjunto cerrado ms pequeo que contiene a E . Cualquier punto x E es llamado un punto declausura de E .

Teorema 1.4.1. Sea (X ,) un espacio topolgico y suponga que E es un subconjunto de X.

(1) x E si, y slo si, V E 6= para cualquier conjunto abierto V conteniendo a x.

(2) Si E Y X, entonces E Y = E Y .

Prueba. Ejercicio.

Para cada x X , denote por Nx la familia de todos los conjuntos abiertos que contienen a x. Segn elresultado anterior vemos que

E ={

x X : V E 6= para todo V Nx}.

Un resultado que es particularmente til es el siguiente:

Lema 1.4.1. Sean (X ,) un espacio topolgico y U un subconjunto abierto no vaco de X. Si A X es talque U A = , entonces U A = . En particular, si U y V son abiertos no vacos y disjuntos, entoncesU V == U V .

Prueba. Suponga que A es un subconjunto de X para el cual U A =, pero que U A 6=. Sea x U A.Entonces x U y x A. Ahora bien, como x A, del Teorema 1.4.1 se sigue que cualquier entorno abiertode x intersecta a A; en particular, siendo U un entorno abierto de x (pues x U ), tenemos que U A 6=, loque constituye una flagrante violacin a nuestra hiptesis.

Observe que el Lema 1.4.1 tambin se puede reescribir en la forma:

U A 6= si, y slo si, U A 6=.

Definicin 1.4.2. Sea (X ,) un espacio topolgico y sea D un subconjunto de X. Diremos que D es densoen X si D = X.

Notemos que D = X significa que el conjunto cerrado ms pequeo que contiene a D es X . En general,si A y B son subconjuntos de X se dice que A es denso en B si B A. Esto ltimo tambin se puede expresardiciendo que si V es un abierto no vaco de X tal que V B 6= , entonces V A 6= . En efecto, si fueraV A =, entonces el Lema 1.4.1 nos dira que V A = y, en consecuencia, como B A, tendramos queV B =, lo cual es contradictorio.

Una condicin equivalente a la definicin de densidad que no hace referencia a ningn punto del espacioy que usaremos frecuentemente es la siguiente:

Sec. 1.4 Espacios topolgicos 19

Teorema 1.4.2. Sean (X ,) un espacio topolgico Hausdorff y D un subconjunto de X. Entonces, D es densoen X si, y slo si, para cada subconjunto abierto no vaco U de X, U D 6=.

Prueba. Supongamos, en primer lugar, que D es denso en X y sea U un subconjunto abierto no vaco deX . Si fuera U D =, entonces F := X \U sera un conjunto cerrado conteniendo a D y, en consecuencia,D F , lo que contradice la densidad de D, ya que F = X \U $ X .

Recprocamente, suponga que U D 6= para cada subconjunto abierto no vaco U de X . Si fuera D 6= X ,entonces U := X \D sera un conjunto abierto no vaco que satisface U D =. Esta contradiccin estableceque D = X .

Una primera consecuencia del resultado anterior es el siguiente.

Corolario 1.4.1. Sea (X ,) un espacio topolgico de Hausdorff. Si D es denso en X y U es un subconjuntoabierto no vaco de X, entonces U = U D.

Prueba. Puesto que U D U , resulta que U D U . Para verificar la otra inclusin tomemos un x Uarbitrario y suponga que V es un entorno abierto de x. En este caso, U V 6= y como D es denso en X ,vemos que V (U D) = (U V)D 6=. Esto prueba que x U D y, en consecuencia, U U D.

Definicin 1.4.3. Sea (X ,) un espacio topolgico de Hausdorff. Una familia B es llamada una base de, si cada conjunto abierto no vaco es la unin de miembros de B.

La familia B tambin es llamada una base para X . Las familias B que pueden servir como basespara X se caracterizan del modo siguiente:

Teorema 1.4.3. Sean (X ,) un espacio topolgico y B . Son equivalentes:(1) B es una base para X.

(2) Para cada conjunto abierto no vaco G de X y cada x G, existe un V B tal que x V G.

Prueba. (1) (2) Sea x G. Puesto que B es una base para X , existe una subfamilia {V B : J} deB tal que G =

J V. Entonces existe al menos un V B tal que x V G.

(2) (1) Sea G . Para cada x G, encuentre un Vx B con x Vx G. Entonces G =

xG Vx es unabierto, lo cual prueba que B es una base para X .

Adems del resultado anterior, existe un modo ms prctico de describir los conjuntos abiertos de unespacio topolgico.

Corolario 1.4.2. Sean (X ,) un espacio topolgico y B una base para X. Un subconjunto G de X esabierto si, y slo si, para cada x G, existe un V B tal que x V G.

Prueba. Si G es abierto, entonces la condicin sigue del Teorema 1.4.3. Recprocamente, si la condicin secumple, entonces (como en la prueba del Teorema 1.4.3) encontramos que G =

xG Vx donde cada Vx B

y, por consiguiente, G es abierto.

Sobre cualquier conjunto no vaco siempre existen dos topologas extremas: la topologa discretaTD := P(X), y la topologa trivial o indiscreta TT := {,X}. Todo conjunto no vaco X provisto de latopologa discreta (respectivamente, de la topologa trivial) ser llamado un espacio topolgico discreto(respectivamente, un espacio topolgico trivial). Cualquier otra topologa sobre X , digamos , se encuen-tra entre ellas dos, es decir, TT TD. En general, si G es una familia arbitraria de topologas sobre un


conjunto no vaco X , entonces

JGJ tambin es una topologa sobre X . De esto se sigue que, para cual-quier coleccin de subconjuntos A de un conjunto X , siempre existe una topologa A, llamada la topologagenerada por A, con las siguientes propiedades: (1) A A, y (2) A es la topologa ms pequea sobreX que contiene a A, es decir, si es cualquier topologa sobre X con A , entonces . En efecto,la familia GA formada por todas las topologas sobre X que contienen a A es no vaca pues TD GA. Latopologa A =

JGA J cumple con los dos requerimientos anteriores. Sean 1 y 2 dos topologas sobre

un mismo conjunto X . Diremos que 2 es ms fina que 1 si 1 2, es decir, si 2 contiene ms abiertos que1. En este caso tambin se dice que 1 es menos fina que 2.

Si (X ,d) es un espacio mtrico, entonces la coleccin d formada por todas las bolas abiertas U(x,r) conx X y r > 0 constituye una topologa sobre X denominada la topologa mtrica. Un espacio topolgico(X ,) se dice que es metrizable si existe una mtrica d sobre X tal que la topologa mtrica d coincide conla topologa original .

Definicin 1.4.4. Un espacio topolgico (X ,) se llama un espacio de Hausdorff si cualesquiera dos puntosdistintos en X poseen entornos abiertos disjuntos, es decir, si x 6= y, entonces existen entornos abiertos Vx yVy de x e y respectivamente tal que Vx Vy =.

La propiedad de ser Hausdorff implica que para cada x en un espacio de Hausdorff, el conjunto {x} escerrado. En efecto, sea y X \ {x}. Entonces y 6= x de donde existen entornos abiertos Vy y Vx de y y xrespectivamente tal que VyVx =. Esto prueba que cada y X \{x} posee un entorno abierto Vy contenidoen X \{x}, es decir, X \{x} =yX\{x}Vy es abierto y, por lo tanto, {x} es cerrado.

Definicin 1.4.5. Sea (X ,) un espacio topolgico de Hausdorff (X ,). Diremos que X es regular si, dadocualquier conjunto cerrado F X y cualquier punto x 6 F, existen conjuntos abiertos disjuntos G1 y G2tales que x G1 y F G2. Similarmente, diremos que X es normal si, para cualesquiera par de subcon-juntos cerrados y disjuntos F1 y F2, existen subconjuntos abiertos y disjuntos G1 y G2 tales que F1 G1 yF2 G2.

Es claro que todo espacio topolgico normal es regular. Tambin es fcil establecer que todos los espaciosmtricos son espacios de Hausdorff. De hecho, cualquier espacio mtrico es normal y, por consiguiente,regular.

Una de las nociones topolgicas importantes y que se usa frecuentemente es la de compacidad. Sean(X ,) un espacio topolgico y K un subconjunto de X . Una coleccin V =

{V : I

}de subconjuntos

de X se dice que es un cubrimiento abierto de K si cada V es un conjunto abierto y K

I V. Si Jes un subconjunto de I y si la subcoleccin V0 =

{V : J

}cubre a K, entonces decimos que V0 es un

subcubrimiento de K. Diremos que V posee un subcubrimiento finito de K si existen V1 , . . . ,Vn en V talque K nk=1Vk .

Definicin 1.4.6. Un subconjunto K de un espacio topolgico de Hausdorff (X ,) se dice que es compactosi cualquier cubrimiento abierto V =

{V : I

}de K se puede reducir a un subcubrimiento finito, es decir,

existen V1 , . . . ,Vn en V tal que K n

k=1Vk .

Por ejemplo, todo subconjunto cerrado y acotado deKn es compacto para cualquier nN. En general, encualquier espacio normado de dimensin finita (X ,) se cumple que: un subconjunto K de X es compactosi, y slo si, K es cerrado y acotado. Este resultado se conoce como el Teorema de Heine-Borel. Observeque ningn espacio discreto infinito numerable puede ser compacto. En efecto, suponga que (X ,) es unespacio topolgico con la topologa discreta cuya cardinalidad es igual a 0. Escribiendo a X como unasucesin, digamos X =

{x1,x2, . . .

}, resulta que V =

{{xn} : n N

}es un cubrimiento abierto de X del cual

Sec. 1.4 Espaci

el teorema de categoría de baire y aplicaciones

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