el teorema de perron-frobenius y su aplicación en el ... · trabajo fin de grado curso académico...

Adrián Inés Armas

Oscar Ciaurri Ramírez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

El teorema de Perron-Frobenius y su aplicación en elalgoritmo de búsqueda de Google

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

El teorema de Perron-Frobenius y su aplicación en el algoritmo de búsqueda de Google, trabajo fin de grado

de Adrián Inés Armas, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la Universidad deLa Rioja), se difunde bajo una Licencia

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Facultad

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática Titulación

Grado en Matemáticas Título

El Teorema de Perron-Frobenius y su aplicación en el algoritmo de búsqueda de Google Autor/es

Adrián Inés Armas Tutor/es

Óscar Ciaurri Ramírez Departamento

Departamento de Matemáticas y Computación Curso académico

2014-2015

FACULTAD DE CIENCIAS ESTUDIOS AGROALIMENTARIOS EINFORMATICA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASY

COMPUTACION

TRABAJO FIN DE GRADO EN MATEMATICAS

EL TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS YSU APLICACION EN EL ALGORITMO DE

BUSQUEDA DE GOOGLE

por

Adrian Ines Armas

Dirigido porDr. D. Oscar Ciaurri Ramırez

Logrono, Julio de 2015

Resumen

El objetivo de este trabajo es mostrar como resultados matematicos pro-fundamente abstractos y teoricos pueden llegar a tener aplicaciones practicasrealmente sorprendentes. En concreto veremos como el algoritmo de ordenacionde Google, sin duda uno de los buscadores mas potentes y utilizados que exis-ten, basa su funcionamiento en el Teorema de Perron-Frobenius, un resultado dealgebra lineal relacionado con matrices irreducibles. La prueba de este teoremaes consecuencia del Teorema del punto fijo de Brouwer, que es aparentementesimple en su enunciado pero cuya demostracion es realmente compleja.

En el primer capıtulo de esta memoria enunciaremos y probaremos el Teore-ma de Perron-Frobenius, en el segundo detallaremos el algoritmo de ordenacionusado por Google y lo aplicaremos a un ejemplo particular. La ultima parteestara dedicada a la demostracion del Teorema del punto fijo de Brouwer.

iii

Abstract

The aim of this project is to show how deeply abstract and theoretical mat-hematical results can have really amazing practical applications. In particularwe will see how the Google’s sorting algorithm, undoubtedly one of the mostpowerful and popular search engines that exists, bases its working on the Perron- Frobenius theorem, a result of linear algebra related to irreducible matrices.The proof of this theorem follows from the Brouwer fixed-point theorem , it isapparently simple in its statement but its proof is really complex.

In the first chapter of this report we will state and prove the Perron-Frobeniustheorem, in the second chapter we will detail the sorting algorithm used by Goo-gle and we will apply it to a particular example. The last part will be dedicatedto the proof of Brouwer’s fixed-point theorem.

v

Indice general

Introduccion 3

1. El Teorema de Perron-Frobenius 51.1. El Teorema de Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Demostracion del apartado i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Demostracion del apartado ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. El algoritmo de Google 212.1. Planteamiento del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. PageRank y Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Otro enfoque del vector PageRank . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Calculo del vector PageRank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5. Ejemplo practico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. El Teorema del punto fijo 39

Bibliografıa 47

1

Introduccion

En 1909 Oskar Perron dio un resultado sobre matrices no negativas en elque concluıa que siempre existıa un autovalor de modulo maximo que llevabaasociado un autovector positivo. Anos mas tarde, en 1912, Ferdinand GeorgFrobenius generalizo este resultado a matrices irreducibles, la consecuencia fue eldenominado Teorema de Perron-Frobenius que conocemos hoy en dıa. En aquelmomento este resultado de algebra lineal sobre matrices irreducibles parecıaalgo bastante teorico y abstracto y ninguno de estos dos celebres matematicospodıa imaginar que anos mas tarde este teorema se convertirıa en la base deinnumerables aplicaciones. Hoy en dıa el Teorema de Perron-Frobenius ha dadocomo resultado una importante teorıa matematica que lleva su nombre y quetiene aplicaciones en diversas ramas de la ciencia, desde aplicaciones economicas,hasta el analisis de las caracterısticas demograficas de una poblacion, pasandopor el estudio de la distribucion de poder en una red social. Pero hay que esperarcasi 90 anos hasta encontrar su aplicacion mas famosa, el motor de busquedade Google.

Es en 1998 cuando Brin y Page dos estudiantes de doctorado de informati-ca deciden realizar un proyecto que permitiese ordenar el ingente numero depaginas web que habıa en la epoca y para ello se sustentan en el Teorema dePerron-Frobenius, un teorema abstracto que habıa sido enunciado y demostradocasi cien anos antes. El resultado de este trabajo es por todos conocido, el busca-dor Google, uno de los mas importantes que existen y que se sigue manteniendocomo referente en la busqueda de paginas web en Internet.

En aquella epoca los motores de busqueda que existıan, Yahoo! Excite, Alta-vista, Hispavista. . ., pese a ligeras diferencias, compartıan el mismo criterio a lahora de ordenar las paginas web que surgıan como resultado de una busqueda,priorizando aquellas que condensaban un mayor numero de palabras clave; esdecir, cuantas mas veces figuraba una determinada palabra en una web mejorera la posicion que ocuparıa en los resultados de busqueda. Este criterio deno-minado criterio contextual no ofrecıa resultados optimos ya que empresas queconseguıan situar sus webs en lo mas alto no necesariamente eran las mas impor-tantes o relevantes, dando como resultado que un buen numero de companıasmodestas pudiesen ocupar el ��top 10��. Brin y Page observaron esta situacion ydesarrollaron un nuevo algoritmo de busqueda que evitase ese problema, es eldenominado PageRank. Este algoritmo que comparte nombre con el vector queresulta de su aplicacion sigue siendo el metodo utilizado e imitado por la mayorıa

3

4 INTRODUCCION

de motores de busqueda de nuestro tiempo y fue una revolucion tecnologica enla busqueda de informacion en Internet.

Esta situacion es un claro ejemplo de como resultados profundamente teori-cos y abstractos que en principio parecen no tener aplicaciones directas comoel Teorema de Perron-Frobenius pueden ser, anos mas tarde, la base de inno-vaciones importantes, como en este caso el algoritmo de ordenacion de Google.A menudo parte de la sociedad cree que los resultados matematicos son exce-sivamente teoricos y que no son utiles si no tienen una aplicacion directa, peroeste ejemplo muestra como un resultado abstracto sin demasiadas aplicacionespuede convertirse con el paso del tiempo en la base de aplicaciones economicas,fısicas, tecnologicas. . .

Uno de los ingredientes fundamentales de la prueba del Teorema de Perron-Frobenius es el Teorema del punto fijo de Brouwer. Este teorema, que datatambien de 1910, nos asegura la existencia de un punto fijo para una aplicacioncontinua definida en un conjunto compacto. La idea del teorema le vino ingeridaa Brouwer cuando removıa una taza de cafe, en la que aparentemente siemprehabıa un punto sin movimiento. Este teorema de apariencia simple pero dedifıcil demostracion, ha sido la pieza fundamental de la prueba de diferentesresultados, a parte del Teorema de Perron-Frobenius. Una de las aplicacionesmas famosas del Teorema del punto fijo de Brouwer es la que encontro el celebrematematico John Nash, recientemente fallecido, en su tesis doctoral en 1951. Enella define los equilibrios que hoy llevan su nombre y trata de manera generallas estrategias mixtas, demostrando que cualquier juego con un numero finitode estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash. La prueba de la existenciade dicho equilibrio es consecuencia del Teorema del punto fijo de Brouwer. Losresultados de su tesis doctoral le valieron anos mas tarde el Premio Nobel deEconomıa por la amplia gama de aplicaciones que tuvo este concepto en diversasramas de la ciencia.

En esta memoria presentaremos en el primer capıtulo una demostracion delTeorema de Perron-Frobenius. El segundo capıtulo estara centrado en el algo-ritmo de busqueda de Google y en su relacion con dicho teorema. Finalmente,en el ultimo capıtulo, daremos una prueba rigurosa del Teorema del punto fijode Brouwer.

Capıtulo 1

El Teorema dePerron-Frobenius

En este capıtulo vamos a tratar un teorema que debemos a dos grandesmatematicos alemanes, como son Oskar Perron (a la izquierda en la figura 1.1)y Ferdinand Georg Frobenius (a la derecha en la figura 1.1).

Figura 1.1: Oskar Perron y Ferdinand Georg Frobenius.

Oskar Perron (Frankenthal 7 de mayo 1880 - Munich 22 de febrero 1975)estudio matematicas en su tiempo libre antes de entrar en la Universidad deMunich en 1898, a pesar de que los deseos de su padre era que continuase conel negocio familiar. Siguiendo la tradicion de la epoca de pasar semestres endistintas universidades, tambien curso estudios en las universidades de Berlin,

5

6 CAPITULO 1. EL TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS

Tubingen y Gottingen.Perron estuvo muy influenciado por sus profesores de la Universidad de Mu-

nich. En concreto, las lecciones de Pringsheim le causaron una profunda impre-sion y su influencia es palpable en el trabajo de Perron sobre fracciones conti-nuas1 Die Lehre von den Kettenbruchen (La teorıa de las fracciones continuas),publicado en 1913.

En 1906 fue habilitado como profesor de la Universidad de Munich, traspresentar su tesis doctoral sobre geometrıa, dirigida por Lindemann.2 Tras unosanos en Munich, paso a ser profesor adjunto en Tubingen entre 1910 y 1914 antesde convertirse en profesor titular de la Universidad de Heidelberg en 1914. Sinembargo, el estallido de la Primera Guerra Mundial paralizo su carrera puestoque fue movilizado. En 1915, en reconocimiento a su labor, se le otorgo la Cruzde Hierro. Tras la guerra, continuo ensenando en Heidelberg hasta 1922, cuandole fue concedido un puesto en Munich.

Perron publico un gran numero de trabajos importantes en diversas ramas dela matematica. Trabajo en fracciones continuas, como ya hemos indicado, perotambien hizo aportaciones en ecuaciones diferenciales y en algebra, presentandola base del teorema que vamos a tratar mas adelante. Perron formulo un teoremasobre matrices positivas que aseguraba la existencia de un autovalor maximalpositivo. Este teorema fue generalizado mas tarde por Frobenius, dando lugaral teorema que veremos en este capıtulo.

Perron ademas es muy conocido por la paradoja que lleva su nombre:

Supongamos que el numero natural mas grande es N . Entonces si N > 1tenemos que N2 > N , entrando en contradiccion con la premisa. Con locual N = 1.3

Por su parte Ferdinand Georg Frobenius (Berlın-Charlottenburg 26 de oc-tubre 1849 - Berlın 3 de agosto 1917) comenzo sus estudios universitarios en laUniversidad de Gottingen en 1867; sin embargo, pronto se traslado a la Uni-versidad de Berlın, donde siguio cursos impartidos por Kronecker, Kummer yWeierstrass. Continuo estudiando en Berlın hasta recibir su doctorado (premia-do con distincion) en 1870 supervisado por Weierstrass, el cual lo considerabauno de sus alumnos mas brillantes. Despues de pasar un ano como profesor

1Una fraccion continua es una expresion de la forma

x = a0 +1

a1 + 1a2+

1

. . .

,

que surgio como una representacion de los numeros reales. Ademas nos permite conocer siun numero es racional o irracional dependiendo de su representacion en forma de fraccioncontinua.

2A este celebre matematico aleman le debemos la demostracion de que π es un numerotrascendental; es decir, no es raız de ningun polinomio con coeficientes racionales.

3Realmente no es una paradoja, ya que parte de una premisa incorrecta, como que losnumeros naturales estan acotados, lo cual es falso. Realmente se trata de una demostracionpor reduccion al absurdo de que el conjunto de los numeros naturales no esta acotado supe-riormente.

1.1. EL TEOREMA DE PERRON-FROBENIUS 7

adjunto en Berlın, estuvo diecisiete anos como profesor principal de la Universi-dad de Zurich, donde se caso y formo una familia. Tras la muerte de Kronecker,Frobenius ocupo su lugar en la Universidad de Berlın gracias a la insistencia deWeierstrass.

Las aportaciones de Ferdinand Georg Frobenius a las matematicas fueronabundantes y en diversas materias. Investigo en teorıa de grupos y en su trabajocombino resultados sobre ecuaciones algebraicas, geometrıa y teorıa de numeros,que le condujeron al estudio de los grupos abstractos, publicando su obra Ubergruppen von vertauschbaren elementen (Sobre los grupos de elementos permuta-bles) en 1879. En 1896, ya en Berlın, publico Uber die gruppencharactere (Sobreel caracter de los grupos), que fue la base de todo su trabajo sobre la teorıa decaracteres desarrollada en los anos posteriores. Tambien construyo un conjuntocompleto de representaciones por medio de numeros complejos de los gruposfinitos, que es de gran aplicacion en fısica cuantica. Pero la aportacion por laque es mas conocida este matematico es el Teorema de Rouche-Frobenius.4

Ademas generalizo el teorema desarrollado por Perron ocupandose del casode matrices no negativas, dando lugar a la version del Teorema de Perron-Frobenius que presentamos a continuacion. Este teorema, que cuenta ya casi con100 anos, es un ejemplo de como un resultado fundamentalmente teorico puedetener importantes aplicaciones en diversos ambitos de la ciencia y la tecnologıa.Entre otras aplicaciones, ha sido utilizado en el analisis de las caracterısticasdemograficas de una poblacion, en la distribucion del poder en una red social,o en el desarrollo de motores de busqueda como Google (que estudiaremos eneste trabajo). La denominada teorıa de Perron-Frobenius, que tiene como baseel teorema de mismo nombre, ha demostrado tener una multitud de importantesaplicaciones.

1.1. El Teorema de Perron-Frobenius

Antes de dar el Teorema de Perron-Frobenius vamos a presentar una defini-cion necesaria para establecer el enunciado del mismo.

Definicion 1. Una matriz A de orden n × n se dice reducible en uno de lossiguientes casos:

i) A es la matriz cero de orden 1× 1.

ii) Si n ≥ 2 y existe una matriz de permutacion5 P tal que

PAPT =

(B 0C D

),

donde B y D son matrices cuadradas y 0 es la matriz cero.

4Este teorema permite determinar el numero de soluciones de un sistema de ecuacioneslineales en funcion del rango de la matriz de coeficientes y del rango de la matriz ampliadaasociadas al sistema.

5Una matriz P de orden n×n se dice matriz de permutacion de orden n si puede obtenersede la matriz identidad de orden n permutando sus filas y columnas.


Una matriz A se dice irreducible si no es reducible.

Una vez que tenemos el concepto de una matriz irreducible y contando conunos conocimientos basicos de algebra lineal, podemos presentar sin mas dilacionel enunciado del Teorema de Perron-Frobenius.

Teorema 1 (Teorema de Perron-Frobenius). Sea A una matriz cuadrada n×ncon entradas no negativas (A ≥ 0). Si A es irreducible entonces:

i) Existe un autovalor λ > 0 tal que Av = λv, donde el autovector corres-pondiente es v > 0. Ademas:

a) λ ≥ |μ| para cualquier otro autovalor μ de A.

b) El autovalor λ tiene multiplicidad algebraica y geometrica uno.

c) Cualquier autovector w ≥ 0 no nulo de A es multiplo de v.

ii) Si hay k autovalores de modulo maximo, entonces son las soluciones de laecuacion xk − λk = 0.

Lo que nos dice este teorema, a grandes rasgos, es que una matriz no negati-va e irreducible siempre tiene un autovalor positivo de modulo maximo que llevaasociado un autovector positivo. Este autovector tendra un papel muy impor-tante en el algoritmo de ordenacion de Google como veremos en el Capıtulo 2.

Una vez comprendido el enunciado de este teorema, vamos a ir desmenu-zando la prueba del mismo en las siguientes secciones. Para ello seguiremos unaestructura similar a la que se propone en [7] y ademas utilizaremos algunos delos lemas propuestos tanto en [1] como en [4].

1.2. Demostracion del apartado i)

Antes de comenzar con la prueba del primer apartado del Teorema de Perron-Frobenius, vamos a introducir una serie de lemas que nos permitiran realizar lademostracion de manera mas sencilla.

A continuacion presentamos dos lemas relacionados con el concepto de matrizirreducible. El primero de ellos nos permite identificar una matriz reducible yes una pieza importante en la demostracion del segundo, en el que se dan variascaracterizaciones para matrices irreducibles.

Lema 2. Sean A una matriz cuadrada de orden n, con n ≥ 2, S un subconjuntono vacıo de {1, 2, . . . , n} y T su complementario. Si aij = 0 cuando i ∈ S yj ∈ T , entonces A es reducible.

Demostracion. Sean S = {i1, i2, . . . , ik}, donde sin perdida de generalidad po-demos considerar i1 < i2 < · · · < ik−1 < ik, y T = {j1, j2, . . . , jn−k}, conj1 < j2 < · · · < jn−k, el complementario de S. Consideramos la permutacion σdel conjunto {1, 2, . . . , n}, dada por

σ =

(1 2 . . . k k + 1 k + 2 . . . ni1 i2 . . . ik j1 j2 . . . jn−k

).

1.2. DEMOSTRACION DEL APARTADO I) 9

Notar que σ puede ser representado por la matriz de permutacion P = (pij),donde prs = 1 si σ(r) = s. Veamos que

PAPT =

(B 0C D

),

donde B es una matriz k×k, D una matriz (n−k)×(n−k) y 0 es la matriz cerode orden k × (n− k). Consideramos la columna α y la fila β, donde 1 ≤ α ≤ ky k + 1 ≤ β ≤ n. Con lo cual

(PAPT )αβ =n∑

i=1

n∑j=1

pαiaijpβj .

Veamos que entonces cada termino del sumatorio es nulo. Supongamos quepαi = pβj = 1, por definicion de σ tenemos σ(α) = i y σ(β) = j. Ahora bien,como hemos tomado 1 ≤ α ≤ k y k + 1 ≤ β ≤ n, entonces i ∈ S y j ∈ T .Ası aplicando la hipotesis del lema, tenemos que aij = 0, con lo que acaba lademostracion.

Lema 3. Sea A ≥ 0 una matriz n× n. Entonces son equivalentes

i) A es irreducible.

ii) (I +A)n−1 > 0.

iii) Para cualquier (i, j), 1 ≤ i, j ≤ n, existe un entero m = m(i, j) ≤ n para

el que (Am)ij = a(m)ij > 0, donde Am es la potencia m-esima de A.

Demostracion. Para demostrar este lema vamos a utilizar una demostracioncircular de la forma

i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ i).

i) ⇒ ii) : Sea y ≥ 0 un vector no nulo en Rn y A una matriz irreducible.Por ser y un vector no nulo tendra al menos una coordenada no nula, queseguira siendo no nula para el vector (I+A)y = y+Ay. De esta forma podemosafirmar que (I+A)y tiene menos coordenadas nulas que y (siempre que y tengaal menos una coordenada nula).

Veamos con un poco mas de detalle esta afirmacion. Supongamos que esfalsa, entonces (I +A)y tendra las mismas coordenadas nulas que y. Notar queno puede tener mas coordenadas nulas, ya que A es una matriz no negativa.Con lo cual si yj = 0, ((I +A)y)j = 0 y tambien (Ay)j = 0.

Sea J = {j : yj > 0}. Entonces para cada j ∈ Jc, por la observacion anterior,(Ay)j =

∑nk=1 ajkyk = 0. Como para cada r ∈ J se tiene que los yr > 0, la

identidad anterior implica que ajr = 0 si j ∈ Jc y r ∈ J , lo que nos lleva a unacontradiccion con el lema anterior, pues A es irreducible. De esta forma quedaclaro que (I +A)y tiene menos coordenadas nulas que y.

Por definicion y tendra como maximo n − 1 coordenadas nulas y por laafirmacion anterior (I + A)y tendra como maximo n − 2 coordenadas nulas.


Siguiendo con este razonamiento (I +A)2y tendra a lo sumo n− 3 coordenadasnulas. Y mediante un sencillo ejercicio de induccion podemos concluir que (I +A)n−1y tendra todas sus coordenadas positivas.

Tomamos ahora y = ei, donde ei representa el i-esimo vector canonico deRn. Ası (I + A)n−1ei, con i = 1, 2, . . . , n, que da como resultado la i-esimacolumna de (I + A)n−1, tendra todas sus componentes positivas y concluimosque (I +A)n−1 > 0 como querıamos ver.

ii) ⇒ iii) : Supongamos (I +A)n−1 > 0 y A ≥ 0, entonces es claro que A noes la matriz nula. Ademas como (I+A)n−1 > 0, se cumple que A(I+A)n−1 > 0.Si desarrollamos ahora (I +A)n−1 mediante el binomio de Newton obtenemos

A(I +A)n−1 =

n∑k=1

(n− 1

k − 1

)Ak > 0.

Con lo que podemos concluir que para cada i, j existe al menos una matrizA,A2, . . . , An que tiene su (i, j)-esima coordenada positiva.

iii) ⇒ i) : SupongamosA reducible, entonces por definicion existe una matrizde permutacion P tal que

PAPT =

(B1 0C1 D1

),

dondeB1 yD1 son matrices cuadradas. De esta forma (PAPT )2 = PAPTPAPT =PA2PT , donde

PA2PT =

(B2 0C2 D2

),

por ser B1 y D1 matrices cuadradas y, mediante un sencillo proceso de inducciontenemos

PAmPT =

(Bm 0Cm Dm

),

para cualquier m.De esta forma (PAmPT )αβ = 0 para cualquier m = 1, 2, . . ., donde α, β

corresponden a las entradas de la submatriz cero de PAPT . Entonces

0 = (PAmPT )αβ =n∑

k=1

n∑l=1

pαka(m)kl pβl,

para cualquier m y mas concretamente para m = 1, 2, . . . , n. Ahora tomando

una pareja k, l para la que pαk = 1 = pβl, tenemos que a(m)kl = 0 para todo m,

lo que entra en contradiccion con la hipotesis. De esta forma concluimos que lamatriz A es irreducible.

Veamos ahora una expresion para la derivada del determinante de una ma-triz que emplearemos en la prueba de la simplicidad del autovalor maximo delTeorema de Perron-Frobenius.


Lema 4. Sea X(t) una matriz cuadrada n × n cuyas entradas son funcionesdiferenciables con respecto a t, entonces

(detX(t))′ =n∑

i,j=1

(−1)i+j det(X(t)(i|j))x′ij(t),

donde X(t)(i|j) es la matriz obtenida al eliminar la fila i-esima y la columnaj-esima de la matriz X(t).

Demostracion. Para realizar la demostracion de este lema comenzamos recor-dando la definicion de determinante de una matriz utilizando permutaciones.

Sea σn el conjunto de permutaciones de {1, . . . , n} y p ∈ σn una de es-tas permutaciones. Si ε(p) denota −1 elevado al numero de inversiones de unapermutacion p, es conocido que

detX(t) =∑p∈σn

ε(p)x1p(1)(t)x2p(2)(t) · · ·xnp(n)(t).

Con esta definicion de determinante, derivamos con respecto a t y obtenemos

(detX(t))′ =∑p∈σn

ε(p)x′1p(1)(t)x2p(2)(t) · · ·xnp(n)(t)

+∑p∈σn

ε(p)x1p(1)(t)x′2p(2)(t) · · ·xnp(n)(t) + · · ·

+∑p∈σn

ε(p)x1p(1)(t)x2p(2)(t) · · ·x′np(n)(t)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x′11(t) x′

12(t) . . . x′1n(t)

x21(t) x22(t) . . . x2n(t)...

.... . .

...xn1(t) xn2(t) . . . xnn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x11(t) x12(t) . . . x1n(t)x′21(t) x′

22(t) . . . x′2n(t)

......

. . ....

xn1(t) xn2(t) . . . xnn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ · · ·+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x11(t) x12(t) . . . x1n(t)x21(t) x22(t) . . . x2n(t)

......

. . ....

x′n1(t) x′

n2(t) . . . x′nn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Nos fijamos ahora en el primer determinante de la suma anterior

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x′11(t) x′

12(t) . . . x′1n(t)

x21(t) x22(t) . . . x2n(t)...

.... . .

...xn1(t) xn2(t) . . . xnn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣,


y desarrollando por la primera fila obtenemos

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x′11(t) x′

12(t) . . . x′1n(t)

x21(t) x22(t) . . . x2n(t)...

.... . .

...xn1(t) xn2(t) . . . xnn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

n∑j=1

(−1)j+1x′1j(t) det(X(t)(1|j)).

Si realizamos el mismo proceso con los demas determinantes llegamos a

(detX(t))′ =n∑

i,j=1

(−1)i+jx′ij(t) det(X(t)(i|j)),

como querıamos demostrar.

Una vez vistos todos los lemas anteriores, podemos comenzar con la pruebadel primer apartado del Teorema de Perron-Frobenius, pero no sin antes pre-sentar el enunciado del Teorema del punto fijo de Brouwer, que es una de laspiezas basicas de la demostracion.

Teorema 5 (Teorema del punto fijo de Brouwer). Sea Dn := {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤1} el disco unidad cerrado de Rn y f : Dn −→ Dn una aplicacion continua.Entonces f tiene un punto fijo; es decir, existe x ∈ Dn tal que f(x) = x.

Cabe destacar que la propiedad del punto fijo es una propiedad topologica,por lo que si X es homeomorfo a Y y X tiene la propiedad del punto fijo,entonces Y tambien.

Demostracion del apartado i) del Teorema de Perron-Frobenius. Tomamos el si-guiente conjunto

S = {x = (x1, x2, . . . , xn)T : ‖x‖ = 1, xi ≥ 0, i = 1, . . . , n}.

Definimos ahora la aplicacion f : S −→ S como

f(x) =Ax

‖Ax‖ .

Veamos que Ax �= 0 para cada x ∈ S y de esta forma la aplicacion f estara biendefinida; ya que en ese caso ‖Ax‖ �= 0.

Supongamos Ax = 0 para algun x �= 0 y x ∈ S. Entonces x ∈ Ker(A) y

⎧⎪⎨⎪⎩

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0,...an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = 0.

(1.1)

Como aijxj ≥ 0 para i, j = 1, . . . n, ya que aij ≥ 0 y xj ≥ 0, para que sesatisfaga (1.1) se debe cumplir aijxj = 0. Ahora bien, como x �= 0, existe almenos un k ∈ {1, . . . n} tal que xk �= 0. Entonces aikxk = 0 para i = 1, . . . , n


lo que implica aik = 0; es decir, A tiene una columna de ceros. Pero esto noes posible por ser A una matriz irreducible. En efecto, si A tiene una columnaentera de ceros

A+ I =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

b11 b12 . . . 0 . . . b1nb21 b22 . . . 0 . . . b2n...

......

...bk1 bk2 . . . 1 . . . bkn...

......

...bn1 bn2 . . . 0 . . . bnn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=⇒

(A+ I)n−1 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

c11 c12 . . . 0 . . . c1nc21 c22 . . . 0 . . . c2n...

......

...ck1 ck2 . . . 1 . . . ckn...

......

...cn1 cn2 . . . 0 . . . cnn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

,

lo que, por ii) del Lema 3, contradice el hecho de que A es irreducible.Ademas es claro que f es una aplicacion continua y envıa S en S, ya que

Ax ≥ 0, y

‖f(x)‖ =

∥∥∥∥ Ax

‖Ax‖∥∥∥∥ = 1.

Con lo cual, por ser S homeomorfo a Dn−1, aplicando el Teorema del punto fijode Brouwer podemos asegurar que existe v ∈ S tal que f(v) = v; es decir,

Av

‖Av‖ = v ⇐⇒ Av = ‖Av‖v.

Si denotamos ahora λ := ‖Av‖ tenemos el autovalor buscado en i) y, ademas,λ > 0.

Usando que Av = λv, veamos que v > 0. Es claro que

(I +A)v = v +Av = v + λv = (1 + λ)v

y, mediante un proceso de induccion,

(I +A)n−1v = (1 + λ)n−1v. (1.2)

Por ser A irreducible, (I + A)n−1 > 0, lo que implica (I + A)n−1v > 0 y por(1.2) v > 0.

Antes de probar a); es decir, λ > |μ| para cualquier autovalor μ de A, vamosa ver que la matriz traspuesta de A tambien tiene como autovalor maximo a λ.

Es claro que AT ≥ 0 e irreducible, por serlo A. De esta forma, por lo vistoanteriormente existe λ1 > 0 tal que AT z = λ1z, con z > 0. Multiplicamos ahora


a izquierda esta ultima igualdad por vT , donde v > 0 es el autovector de Aasociado con λ,

λ1vT z = vTAT z = (Av)T z = λvT z.

Con lo que acabamos de demostrar que λ1 = λ ya que vT z > 0.Veamos ahora que λ > |μ| para cualquier autovalor μ de A. Sea μ un au-

tovalor real o complejo de A. Dado u = (u1, u2, . . . , un)T un autovector de A

asociado a μ, definimos |u| := (|u1|, |u2|, . . . , |un|)T . Sin perdida de generalidadconsideramos |u| ∈ S. De esta forma

n∑j=1

aij |uj | ≥∣∣∣

n∑j=1

aijuj

∣∣∣ = |μui| = |μ||ui|.

Con lo que A|u| ≥ |μ||u|. Si z es el autovector de AT asociado con λ, multipli-camos a izquierda por zT la anterior desigualdad y obtenemos

λzT |u| = (AT z)T |u| = zTA|u| ≥ zT |μ||u| = |μ|zT |u|,y como zT |u| > 0, obtenemos λ ≥ |μ|.

Continuamos la demostracion con la prueba del apartado b), λ tiene multi-plicidad geometrica y algebraica uno.

Comenzamos con la multiplicidad geometrica. Para verificar que es uno de-bemos ver que cualesquiera dos autovectores asociados a λ son linealmente de-pendientes.

Tomemos un vector w no nulo y real tal que Aw = λw; es decir, w esun autovector asociado a λ. Comprobemos entonces que w y v son linealmentedependientes. Procedamos por reduccion al absurdo. Supongamos que v y w sonlinealmente independientes, entonces existe α ∈ R tal que (v−αw) es un vectorno nulo y no negativo, que tiene al menos una componente nula. En efecto, siw tiene alguna componente positiva podemos tomar α = mın{ vi

wi: wi > 0}, en

otro caso tomamos α = max{ viwi

: wi < 0}. Pero observamos que (v−αw) es unautovector de A asociado a λ, ya que

A(v − αw) = Av − αAw = λv − αλw = λ(v − αw),

y como los vectores no negativos asociados a λ son estrictamente positivos,6

llegamos a un absurdo, puesto que (v − αw) tenıa al menos una componentenula. Podemos proceder de la misma forma si consideramos w complejo. En estecaso, separamos la parte real y la parte compleja y seguimos el procedimientoanterior, obteniendo que tanto la parte real como la parte compleja son un

6Este hecho puede probarse facilmente. Ya vimos en la prueba del Lema 3 que si A esuna matriz irreducible e y ≥ 0, con alguna coordenada nula, el vector (I + A)y tiene menoscoordenadas nulas que y. Entonces si x ≥ 0, x �= 0, es un autovector de la matriz irreducibleA asociado al autovalor λ con alguna coordenada nula se tiene que

(I +A)x = (1 + λ)x,

luego (I +A)x y x tienen el mismo numero de coordenadas nulas, lo que no es posible y, portanto, x > 0.


multiplo complejo de v, con lo cual w es un multiplo complejo de v. Ası acabamosde probar que λ tiene multiplicad geometrica uno.

Veamos ahora que λ tiene multiplicidad algebraica uno (λ simple); es decir,tenemos que ver que es una raız simple del polinomio caracterıstico de A.

Si Δ(β) = det(βIn−A), basta comprobar que Δ′(λ) �= 0. Aplicando el Lema4 y usando la identidad d

dβ (βIn −A)ij = δij tenemos

Δ′(β) =d

dβ(det(βIn −A)) =

n∑i=1

det((βIn −A)(i|i)) = tr(adj(βIn −A)),

donde tr denota la traza de una matriz y adj su matriz adjunta. De este modo

Δ′(λ) = tr(adj(λIn −A)). (1.3)

Denotamos ahora B(λ) = (adj(λIn − A))T = adj(λIn − AT ). Aplicando que elproducto de una matriz por la traspuesta de su adjunta es la matriz identidadpor el determinante de la matriz7

(λIn −A)B(λ) = In det(λIn −A) = 0, (1.4)

ya que λ es raız del polinomio caracterıstico.Ademas acabamos de ver que λ tiene multiplicidad geometrica uno, de este

modo el rango de la matriz λIn−A es n−1, de forma que B(λ) �= 0. Supongamosahora que la columna j-esima de la matriz B(λ) es diferente de cero. Entoncesaplicando (1.4)

(λIn −A)B(λ)(j) = 0 ⇐⇒ λB(λ)(j) = AB(λ)(j),

lo que significa que B(λ)(j) es un autovector asociado al autovalor λ y B(λ)(j)

es un multiplo escalar del vector v > 0. Ası B(λ)(j) > 0 o B(λ)(j) < 0. Estosignifica que toda columna de B(λ) es estrictamente positiva, estrictamentenegativa o cero y al menos una de ellas es distinta de cero.

Ahora aplicando el mismo razonamiento a (B(λ))T = adj(λIn −A) tenemosque las columnas de (B(λ))T , que son las filas de B(λ), son estrictamente po-sitivas, estrictamente negativas o cero y con al menos una de ellas distinta decero. De esta forma es facil ver que

B(λ) > 0 o B(λ) < 0,

luego por (1.3)Δ′(λ) = tr(B(λ)) �= 0.

Con lo que queda probado que λ es simple; es decir, que tiene multiplicidadalgebraica uno.

7Esta afirmacion se deduce facilmente de la expresion de la matriz inversa, que dice

A−1 =1

detA(adjA)T .


Concluimos la demostracion del apartado i) del teorema con la prueba dec), viendo que cualquier autovector w ≥ 0 no nulo es multiplo de v. Para ellonos vamos a apoyar en el hecho de que la multiplicidad geometrica del autovalormaximo λ es uno, como hemos visto en el punto b).

Suponemos Aw = μw para un cierto vector w ≥ 0 no nulo. Multiplicamosa izquierda por vT , con v el autovector positivo asociado al autovalor λ > 0, ytendremos

μvTw = vTAw = λvTw

y, puesto que vTw > 0 (ya que w ≥ 0 y vT > 0), obtenemos que μ = λ. De estaforma tenemos que w es un autovector de A asociado a λ y como acabamos dever que λ tiene multiplicidad geometrica uno, entonces podemos concluir que wes un multiplo escalar de v, con lo que queda probado c).

1.3. Demostracion del apartado ii)

Concluimos este capıtulo con la demostracion del ultimo apartado del teo-rema. Para la prueba de este ultimo punto vamos a necesitar el lema que enun-ciamos a continuacion.

Lema 6. Si una matriz compleja C de orden n × n esta dominada por unamatriz irreducible A ≥ 0 (|C| ≤ A) cuyo maximo autovalor es r, entonces paracada autovalor s de C tenemos

|s| ≤ r.

Ademas la igualdad |s| = r se cumple si y solo si

C = eiϕDAD−1,

donde s = reiϕ y |D| = In.

Demostracion. Sea Cy = sy para algun autovalor s con y �= 0. Tomamos elvector |y| y aplicando la desigualdad triangular obtenemos

n∑j=1

|cij ||yj | =n∑

j=1

|cijyj | ≥∣∣∣

n∑j=1

cijyj

∣∣∣ = |syi| = |s||yi|,

lo que quiere decir |C||y| ≥ |s||y|. Ahora bien, como A ≥ |C| deducimos que

A|y| ≥ |C||y| ≥ |s||y|. (1.5)

Sea ahora z el autovector correspondiente al autovalor maximo de AT , queexiste por la parte i) del Teorema de Perron-Frobenius, entonces de (1.5) setiene

rzT |y| = (AT z)T |y| = zTA|y| ≥ zT |s||y| = |s|zT |y|, (1.6)

con lo que obtenemos |s| ≤ r, por ser zT |y| > 0.Procedamos a probar la afirmacion sobre la igualdad. Sea C = eiϕDAD−1,

con |D| = In. Entonces las matrices C y eiϕA son semejantes, con lo cual si r

1.3. DEMOSTRACION DEL APARTADO II) 17

es el autovalor maximo de A, reiϕ lo es de eiϕA y, por consiguiente, de C. Deeste modo obtenemos que |s| = r.

Probemos ahora la implicacion en el otro sentido. Supongamos s = reiϕ; esdecir, |s| = r. Este hecho implica que la desigualdad en (1.6) se convierte enuna igualdad, con lo que

A|y| = |s||y| = r|y|y, por (1.5),

A|y| = |C||y| = r|y| ⇒ (A− |C|)|y| = 0.

Ademas como |y| ≥ 0, por el punto c) del apartado i) sabemos que es multiplodel autovector maximo de de A y por consiguiente |y| > 0. Recordemos queA ≥ |C| con lo que (A− |C|) ≥ 0 y entonces

(A− |C|)|y| = 0 ⇐⇒ A = |C|.

Definimos

D = diag

(y1|y1| ,

y2|y2| , . . . ,

yn|yn|

),

y

G = e−iϕD−1CD. (1.7)

Teniendo en cuenta que D|y| = y, Cy = sy y s = reiϕ obtenemos

CD|y| = Cy = sy = sD|y| = reiϕD|y|.

De este modo

G|y| = e−iϕD−1CD|y| = e−iϕD−1reiϕD|y| = r|y| = A|y|. (1.8)

Si tomamos ahora valores absolutos en (1.7)

|G| = |e−iϕD−1CD| = In|C|In = |C|,

y como |C| = A tenemos |G| = A. Por lo tanto |G||y| = A|y| = G|y|, dondehemos usado (1.8). Ası

n∑j=1

(|gij | − gij)|yj | = 0,

y como |yj | > 0, entonces

|gij | − gij = 0.

De esta forma G = |G| = A, con lo cual A = e−iϕD−1CD o, lo que es lo mismo,C = eiϕDAD−1.

Con este lema que acabamos de ver, ya estamos listos para acometer laprueba del ultimo apartado y concluir ası con la demostracion del Teorema dePerron-Frobenius.


Demostracion del apartado ii) del Teorema de Perron-Frobenius. Sean r el au-tovalor positivo de modulo maximo de A y λj = reiϕj , j = 1, 2, . . . , k, los kautovalores de modulo maximo. Si aplicamos ahora el Lema 6 con C = A ys = λj tenemos

A = eiϕjDjAD−1j , j = 1, 2, . . . , k, (1.9)

con lo cual A y eiϕjA son matrices semejantes. Por este motivo, como r es unautovalor simple de A, entonces eiϕjr es un autovalor simple de eiϕjA y porsemejanza tambien de A.

Ası, aplicando dos veces (1.9) podemos obtener la siguiente igualdad

A = eiϕlDl(eiϕjDjAD

−1j )D−1

l = ei(ϕl+ϕj)(DlDj)A(DlDj)−1.

De este modo A y ei(ϕl+ϕj)A son semejantes para cualesquiera l y j. Con lo cualrei(ϕl+ϕj) es un autovalor de ei(ϕl+ϕj)A y por semejanza de matrices tambiende A.

Ahora bien, como A solo tiene k autovalores simples de modulo r (reiϕj

para j = 1, 2, . . . , k) entonces rei(ϕl+ϕj) tiene que ser uno de estos autovalores;es decir,

ei(ϕl+ϕj) = eiϕm , para algun m ∈ {1, . . . , k}. (1.10)

Por (1.10) hemos probado que el conjunto G = {eiϕ1 , eiϕ2 , . . . , eiϕk} es cerradopor multiplicacion. Veamos ahora que tiene elemento neutro y que cada elementode G tiene inverso.

Comprobemos primero que 1 ∈ G. Denotamos ahora zi := eiϕi . Para zi ∈ G,consideramos el conjunto {zni : n ∈ N}; puesto que G es cerrado por multi-plicacion existiran n1 y n2 con n1 > n2 tal que zn1

i = zn2i y se deduce que

zn1−n2i = 1. En efecto, supongamos que no se cumple, ası zn1−n2

i �= 1 y entoncesmultiplicando por zn2

i tenemos

zn2i zn1−n2

i �= zn2i ⇐⇒ zn1

i �= zn2i ,

lo que es absurdo. Ası, como zn1−n2i ∈ G entonces 1 ∈ G.

Probemos ahora que cada elemento de G tiene elemento inverso. Sea zi ∈ Gentonces

ziG = {ziz1, . . . , zizk} = {z1, . . . , zk} = G.

Puesto que 1 ∈ G, existe j tal que zizj = 1; es decir, zj = z−1i ∈ G. De este

modo G es un grupo multiplicativo de orden k y, por tanto, zki = 1. En efecto

ziG = G =⇒ {ziz1, . . . , zizk} = {z1, . . . , zk},con lo cual

zki z1 · · · zk = z1 · · · zk =⇒ zki = 1.

De esta forma podemos concluir que G es el conjunto de raıces de xk − 1 = 0 yası los k autovalores de modulo maximo (λi) son raıces de la ecuacion xk−λk =0, concluyendo de este modo la prueba de ii) y del teorema.

1.3. DEMOSTRACION DEL APARTADO II) 19

Ası queda demostrado el Teorema de Perron-Frobenius a excepcion de laprueba detallada del Teorema del punto fijo de Brouwer que ya hemos enuncia-do. Esta prueba es la parte mas abstracta y compleja de la demostracion delTeorema de Perron-Frobenius, debido a esto y a su extension la posponemospara el tercer capıtulo.

Capıtulo 2

El algoritmo de ordenacionde Google

En la actualidad todos utilizamos el buscador de Google varias veces al dıa.Es mas, este hecho se ha convertido en algo natural y habitual para nosotros,pero rara vez nos paramos a pensar que hay detras de esta sencilla pagina que alintroducir una palabra y hacer un simple clic nos devuelve miles de resultadosen menos de un segundo.

Google Inc. se creo en 1998 como un buscador de paginas web que fueserapido y fiable y en menos de 20 anos se ha convertido en una de las empresasmas importantes del mundo, ampliando su ambito empresarial con todo tipo denovedades. Esta empresa surgio como resultado de un trabajo de doctorado enInformatica de dos estudiantes de la Universidad de Stanford, Lawrence Page (ala izquierda en la figura 2.1) graduado en Informatica y Sergei Brin (a la derechaen la figura 2.1) graduado en Matematicas. Brin y Page querıan crear un motorde busqueda que permitiese buscar entre el creciente numero de paginas webde aquella epoca (unos 100 millones) y que ademas mostrase los resultadosordenados segun su importancia, esto lo consiguieron con ayuda del Teoremade Perron-Frobenius. Pero Google no esta relacionado con las matematicas solopor esto, su propio nombre esta estrechamente ligado a las matematicas, yaque Brin y Page decidieron poner este nombre a la empresa debido al terminogoogol,1 con el que querıan reflejar la mision de la companıa de organizar lainmensa cantidad de informacion disponible en la web y en el mundo.

El metodo inicial que desarrollaron los fundadores de Google para obtenerun vector de ordenacion (que recibe el mismo nombre que el metodo) de laspaginas web se denomino PageRank. Este metodo que en un principio calculabael vector PageRank en funcion de la estructura de la red y que por consiguiente

1Este termino fue acunado en 1938 por Milton Sirotta, un nino de 9 anos, sobrino delmatematico estadounidense Edward Kasner y hace referencia al numero 10100. Kasner loconsidero para ilustrar la diferencia entre un numero inimaginablemente grande y el infinito,y a veces es usado de esta manera en la ensenanza de las matematicas.

21

22 CAPITULO 2. EL ALGORITMO DE GOOGLE

Figura 2.1: Lawrence Page y Sergei Brin

era independiente de la persona que realizase la peticion, ha sido objeto decontinuas modificaciones hasta el punto de tener en cuenta los ��gustos�� de losusuarios a la hora de hacer esta ordenacion.

Con ayuda de [6] y [3] vamos a ir desgranando en las siguientes seccionescomo funciona este algoritmo de una manera muy elemental. Ademas veremosque relacion existe entre este vector de ordenacion, PageRank, y el teorema quehemos probado en el capıtulo anterior. Por ultimo veremos un ejemplo practicode este metodo de ordenacion aplicandolo a una clasificacion deportiva.

2.1. Planteamiento del modelo

En esta seccion vamos a modelizar de manera sencilla las paginas web quehay en la red y sus enlaces, con el fin de establecer un orden en el que mostrarlas paginas que se obtendran como resultado de una busqueda realizada por unusuario.

Esta claro que la relevancia de una pagina en dicha busqueda dependera demuchos parametros, como puedan ser el numero de visitas, la confianza delsitio al que pertenece, la posicion en la que aparecen los terminos buscados, lasreferencias que se realicen ha dicha pagina, . . .; es decir, una infinidad de cosasque como es obvio no podemos tratar aquı en su totalidad.

Para simplificar el modelo, vamos a considerar que la importancia de unapagina web unicamente depende de las referencias que se hagan a ella; es decir,de los enlaces que apuntan a dicha pagina.

Si hacemos una representacion grafica de la Web en la que suponemos quecada pagina es un punto y unimos dos de ellas, a y b, mediante una flecha si aenlaza con b, podemos visualizar la Web como un grafo dirigido de dimensiones

2.1. PLANTEAMIENTO DEL MODELO 23

colosales. Recordemos que un grafo viene determinado por dos conjuntos quedenotamos por V , cuyos elementos representan los vertices del grafo, y E, for-mado por pares de elementos de V , los cuales reciben el nombre de aristas delgrafo.

En nuestro caso como es obvio no vamos a trabajar con la representaciongrafica de este grafo, que serıa imposible de plasmar en el papel, si no que vamosa tomar una consideracion mas abstracta de este grafo, utilizando su matriz deadyacencia.

Definicion 2. Dado un grafo G = (V,E) con V = {v1, v2, . . . , vn}, se denominamatriz de adyacencia a la matriz M = (mij) de orden n× n que verifica

mij = 1, si {vi, vj} ∈ E,mij = 0, si {vi, vj} /∈ E.

Denotamos por Pi con i = 1, 2, . . . , n, las distintas paginas web y por xi laimportancia de la pagina Pi. Teniendo en cuenta los enlaces entre paginas, po-demos considerar la red como un grafo dirigido, cuyos vertices seran las paginasy las aristas seran los enlaces entre ellas. Es decir, habra una arista de la paginaPi a la Pj si en la pagina Pi hay un enlace a la pagina Pj .

Ası la traspuesta de la matriz de adyacencia del grafo que hemos conside-rado, que es con la que vamos a trabajar y que por simplicidad continuaremosdenotando por M , tendra un 1 en la entrada mij si hay un enlace de la paginaPj a la pagina Pi y un 0 en caso contrario.

De esta forma la fila i-esima de la matriz estara determinada por los enlacesque hay a la pagina Pi desde los diferentes sitios Pj . Con lo cual para saberel numero de enlaces que hay a cada pagina, servira con sumar las entradasde la fila correspondiente. De la misma manera, la columna i-esima representalos enlaces que tiene la pagina Pi a los diferentes sitios de la red. Con lo cualtendremos que tener en cuenta que la matriz M que vamos a utilizar no essimetrica.

Ejemplo 1. Consideramos una pequena Web formada unicamente por cuatropaginas, que se relacionan como muestra la figura 2.2.

Figura 2.2: Web de cuatro paginas con sus respectivos enlaces

El grafo que corresponde a la web descrita es el que se muestra en la figura 2.3


1 2

3 4


De esta manera la matriz asociada a esta Web serıa la siguiente

M =

⎛⎜⎜⎝0 0 1 11 0 1 11 1 0 00 1 0 0

⎞⎟⎟⎠ ,

que obviamente no es simetrica.

En realidad en este capıtulo no vamos a utilizar exactamente esta matriz,si no que vamos a utilizar una matriz M∗ muy parecida y facil de construir apartir de M . Unicamente vamos a dividir cada termino de la columna i por elnumero de unos que haya en dicha columna; es decir, m∗

ij =mij

Nj, donde Nj

representa el numero de unos de la columna j. Ası la matriz M∗ que resultarıadel Ejemplo 1 tendrıa la siguiente forma.

M∗ =

⎛⎜⎜⎜⎝0 0 1

212

12 0 1

212

12

12 0 0

0 12 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Observando la matriz M∗ que acabamos de construir podemos ver que cadaentrada es un numero entre cero y uno y que cada columna suma uno; es decir,nos encontramos ante una matriz estocastica. Esta matriz M∗ es la que vamosa utilizar a partir de ahora como base del modelo.

El motivo para tomar M∗ en vez de M , quedara claro en la siguiente seccion.

2.2. El algoritmo PageRank y el Teorema dePerron-Frobenius

Una vez que tenemos la Web modelada, debemos decidir como vamos aasignar la importancia de cada pagina web para poder ordenarlas. Recordar

2.2. PAGERANK Y PERRON-FROBENIUS 25

que la importancia de la pagina Pi la denotamos por xi.Como hemos considerado que para este cometido solo vamos a tener en

cuenta los enlaces entre las paginas, la idea mas intuitiva es que cuantos masenlaces haya a una pagina mas importante sera. De esta forma obtendrıamos laimportancia de cada pagina sumando las entradas de la fila correspondiente dela matriz M . Bajo esta premisa las paginas del Ejemplo 1 se ordenarıan a partirdel vector de importancias (2, 3, 2, 1).

Como se puede intuir esta no es la situacion que queremos, ya que pue-de haber paginas que son referenciadas desde paginas muy importantes, peroque tengan pocas referencias. Para entender mejor este hecho imaginemos lasiguiente situacion. Tenemos una pagina web con un artıculo matematico quetiene referencias desde www.rsme.es (Real Sociedad Matematica Espanola) ywww.ams.org (American Mathematical Society) y otra pagina distinta con otroartıculo, enlazada desde www.miPaginaWeb.com y www.ejemplo.com, dos pagi-nas ficticias supuestas de poco importancia. Con esta forma de medir la im-portancia de las paginas, ambas tendrıan la misma valoracion, pero es obvioque deberıamos darle mas importancia a la primera debido a las paginas que laenlazan. Por este motivo debemos modificar la forma de asignar la importancia.

Ası surge la segunda idea, que consiste en que la importancia xi de cadapagina Pi es directamente proporcional a la suma de las importancias de laspaginas que la enlazan. De esta forma esta claro que evitamos el problema quemostrabamos anteriormente.

En esta situacion para la web del el Ejemplo 1 tendrıamos que las impor-tancias seguirıan las siguientes relaciones

x1 = α(x3 + x4),

x2 = α(x1 + x3 + x4),

x3 = α(x1 + x2),

x4 = αx2,

(notar que todos los terminos estaban divididos por dos, con lo que los hemosabsorbido en α) que representado en forma matricial tendrıa el siguiente aspecto⎛

⎜⎜⎝x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎠ = α

⎛⎜⎜⎝0 0 1 11 0 1 11 1 0 00 1 0 0

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎠ .

Si ahora denotamos por x el vector que contiene las importancias de las paginasweb y llamamos λ a α−1, tenemos que resolver la siguiente ecuacion

M∗x = λx.

De esta forma llegamos a que el vector de importancias buscado, es un autovectorde la matriz M∗ que, por supuesto, debe tener todas sus entradas positivas.En este momento es cuando nos damos cuenta de que el Teorema de Perron-Frobenius que hemos tratado en el Capıtulo 1 puede tener una gran importancia,ya que bajo ciertas condiciones nos asegura la existencia del vector buscado.


Una vez visto que nos encontramos en una situacion en la que puede quenos sea util el Teorema de Perron-Frobenius, es hora de comprobar que real-mente podemos aplicarlo; es decir, que estamos ante una matriz no negativa eirreducible.

Que la matriz M∗ es no negativa esta claro, debido a la forma de definirla,pero que la matriz M∗ es irreducible es algo mas complicado de comprobar. Enel Ejemplo 1 si que nos encontrabamos en una situacion ideal (es facil ver quela matriz es irreducible), pero se pueden dar casos como los que vamos a ver enlos siguiente ejemplos en los que la matriz no es irreducible.

Ejemplo 2 (Pagina no enlazada). Vamos a considerar una Web formada porcuatro paginas de las cuales una de ellas no tenga enlaces salientes ni entrantes.Es decir, una Web como la que se describe en la figura 2.4.

1 2

3 4


La matriz asociada a este ejemplo serıa

M∗ =

⎛⎜⎜⎜⎝0 0 1

2 0

1 0 12 0

0 1 0 0

0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Como podemos observar la matriz anterior es reducible, ya que cuenta con unacolumna, e incluso con una fila, de ceros (recordar lo que vimos en la demostra-cion del Teorema de Perron-Frobenius en la seccion 1.2).

Este tipo de paginas web aisladas (no tienen enlaces entrantes ni salientes)no las vamos a considerar en nuestro modelo, ya que no tienen ningun tipo deinteres.

Otro ejemplo que podemos encontrar es que haya una pagina que no tengaenlaces salientes, algo habitual por otro lado, lo que harıa que la matriz queestamos considerando no fuese irreducible. Veamos un ejemplo que ilustre estasituacion.

2.2. PAGERANK Y PERRON-FROBENIUS 27

Ejemplo 3 (Pagina web sin enlaces salientes). Tomamos una Web formada porcuatro paginas estructuradas como en la figura 2.5.

1 2

3 4


De esta forma la matriz asociada a este caso sera

M∗ =

⎛⎜⎜⎜⎝0 1

312 0

12 0 1

2 012

13 0 0

0 13 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Observamos entonces que nos encontramos con una matriz que cuenta con unacolumna de ceros, por lo que es reducible.

En la situacion descrita en el ejemplo anterior, podemos encontrarnos enuna pagina que no tiene enlaces salientes; es decir, no podemos desplazarnos aninguna otra pagina. Esta claro que esta situacion en la realidad no se da, cuandonos encontramos en una pagina como esta lo que hacemos es ir a cualquier otrapagina de la red. Esto podemos trasladarlo a nuestro modelo considerando quesi nos encontramos en una pagina sin enlaces salientes, podremos desplazarnosa cualquier otra pagina de la red con la misma probabilidad. Para representareste hecho en la matriz, sustituiremos la columna de ceros por una columna enla que cada elemento es 1

n , donde n es el numero de nodos de la red. De estaforma la matriz que resulta es la siguiente

M ′ = M∗ + vdT .

donde v ∈ Rn×1 es el vector de probabilidad v = 1n (1, . . . , 1)

T y dT ∈ R1×n sedefine tomando di = 1 si Ni = 0 y di = 0 en otro caso, siendo i la columna contodas sus entradas nulas.

Por ultimo presentamos el siguiente ejemplo que podemos encontrar al na-vegar por Internet y que por lo tanto debemos tener en cuenta.


1 2

3 4


Ejemplo 4 (Caso reducible). Tomamos ahora una Web con la disposicion es-tablecida en la figura 2.6.

La matriz que obtenemos en este caso es

M ′ =

⎛⎜⎜⎜⎝0 1

2 0 013 0 0 013 0 0 113

12 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠ .

Esta situacion se puede dar de forma normal en la Web y se observa a simplevista que esta matriz es reducible, con lo que no se puede aplicar el Teorema dePerron-Frobenius.

Brin y Page se dieron cuenta de que en la Web aparecıan este tipo de situa-cion con lo que la matriz asociada no serıa irreducible. Debido a esto modificaronun poco mas el modelo creando una matriz M ′′ de la forma

M ′′ = αM ′ + (1− α)veT ,

donde α es un valor comprendido entre 0 y 1,2 e ∈ R1×n con eT = (1, . . . , 1) y vun vector de probabilidad que se suele tomar como en el caso anterior v = 1

ne.Ası acabamos de conseguir una matriz M ′′ irreducible en todos los casos a

costa de hacerla densa.3 Este nuevo termino que hemos introducido ((1−α)veT ),se puede considerar como la probabilidad de que un usuario se canse de navegarsiguiendo los enlaces y salte a una pagina cualquiera. Esta claro que cuanto mas

2Al parametro α se le denomina damping (amortiguacion) y se suele tomar α = 0.85, quefue el valor tomado por Brin y Page. Este parametro es objeto de estudio constante con el finde mejorar el rendimiento del algoritmo.

3A esta matriz se le denomina matriz de Google y podemos ver que es una matriz irreducibley estocastica lo que es fundamental al calcular el vector de importancias.

2.3. OTRO ENFOQUE DEL VECTOR PAGERANK 29

cercano a uno sea el valor de α, mas nos acercaremos a la matriz del grafo dela Web, pero a costa de poder perder la irreducibilidad.

Al construir la matriz de esta forma acabamos de conseguir que la matrizsiempre sea irreducible, con lo que el Teorema de Perron-Frobenius nos asegurala existencia del vector de ordenacion buscado. Pero como la demostracion deeste teorema no es constructiva, esta claro que no nos ayudara a encontrarlo,debido a esto deberemos recurrir a otros metodos para encontrar este vector.Ademas es obvio que no podremos calcular todos los autovectores asociados ala matriz y quedarnos con el asociado al del autovalor maximo, ya que la matrizes de proporciones gigantescas.

2.3. Otro enfoque del vector PageRank

Acabamos de ver en las secciones anteriores como Google utiliza el vectorPageRank para ordenar las paginas web que resultan de las busquedas realizadapor un usuario, pero en esta seccion vamos a dar otro enfoque de este vector.

Una de las caracterısticas del PageRank es que si una persona navega alea-toriamente por Internet durante un tiempo suficiente, tendra una gran proba-bilidad de visitar las paginas de mayor importancia segun este algoritmo; esdecir, podemos considerar el vector PageRank como un vector cuyas entradasdeterminan el tiempo que pasamos en cada pagina. Veamos esta propiedad masdetenidamente.

Supongamos que somos un surfista que va navegando de unas paginas aotras de forma aleatoria; es decir, si nos encontramos en la pagina Pi escogemosmediante una distribucion de probabilidad uniforme entre las paginas enlazadas.De esta forma tenemos la misma probabilidad de acceder a cualquiera de losenlaces de la pagina en la que nos encontramos, esta suposicion es la base delmodelo que Brin y Page disenaron en un primer momento.

Ası en nuestro primer ejemplo de Web (Ejemplo 1), supongamos que nosencontramos en la pagina 1, entonces tenemos la misma probabilidad de ir ala pagina 2 o a la pagina 3. Si en su defecto nos encontramos en la pagina 2,podremos ir con la misma probabilidad a la pagina 3 o a la 4. De esta manerala matriz de transicion de saltos que nos dara la probabilidad de saltos entre laspaginas, sera la matriz M∗ construida en la Seccion 2.2.

De esta forma el modelo construido va a ser un modelo probabilıstico y nodeterminista, ya que sabremos con que probabilidad estaremos en cada paginaen un instante posterior, pero no en que pagina nos encontraremos exactamente.Ademas vamos a ver que se trata de un modelo dinamico, puesto que el mismorazonamiento servirıa para el segundo instante, para el tercero . . .

Imaginemos que nos encontramos en una pagina Pi y queremos saber conque probabilidad nos encontraremos en la pagina Pj en el instante siguiente,para ello unicamente debemos multiplicar la matriz M∗ por el vector ei, quedenota el i-esimo vector canonico de Rn. De la misma manera si deseamos sabercon que probabilidad estaremos en el segundo instante en la pagina Pj , debe-remos realizar (M∗)2ei. Ahora bien si continuamos con estos pasos y hacemos


tender el tiempo a infinito, llegaremos a lımn→∞(M∗)nei. El resultado de estelımite sera el denominado vector estacionario de la matriz M∗, que a su vezcoincidira con el autovector maximo del Teorema de Perron-Frobenius y, portanto, con el vector PageRank.

En nuestro caso (Ejemplo 1) el vector PageRank buscado serıa ( 29 ,13 ,

518 ,

16 ) ≈

(0.22, 0.33, 0.28, 0.17), lo que significa que si estamos navegando por la Web denuestro ejemplo un tiempo suficientemente largo nos encontraremos en la pagina1 con una probabilidad de 0.22, en la pagina 2 con otra probabilidad de 0.33,. . .; o lo que es lo mismo pasaremos el 22% de nuestro tiempo en la pagina1, el 33% en la pagina 2, . . . Observamos entonces que el vector PageRanktambien nos muestra el porcentaje de tiempo que pasamos en cada pagina, loque esta muy relacionado con la forma de ordenar las paginas, ya que cuantomas tiempo pasemos en una pagina sera que su contenido nos es mas interesantey, por tanto, la pagina ocupara los puestos mas altos de la lista.

2.4. Calculo del vector PageRank

Hasta ahora hemos estado viendo como el Teorema de Perron-Frobenius quehemos probado en el Capıtulo 1 nos asegura la existencia del vector PageRank,que da solucion al problema de ordenacion de las paginas web planteado por Briny Page, pero nada hemos visto de como calcular este vector; es decir, sabemosque existe pero desconocemos un algoritmo para calcularlo de forma eficiente.

Al explicar el metodo de ordenacion en este capıtulo hemos visto que el vectorbuscado es el autovector correspondiente al autovalor maximo, pero esta claroque no podemos calcular todos los autovectores y autovalores y quedarnos conel que nos interesa, ya que las proporciones de la matriz de Google son desorbi-tadas, lo que hace imposible su calculo.

Ası para el calculo de este vector se suele utilizar el metodo de la potenciaque explicaremos a continuacion. Para este metodo es importante el hecho deque el vector buscado es el asociado al autovalor maximo. Supongamos que Mes diagonalizable, entonces los autovectores de la matriz M forman una base deRn.4 Ordenamos ahora los autovectores de M de la forma {v1, . . . vn}, tal quelos autovalores correspondientes esten ordenados como sigue

λ1 ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn|.Tomamos un vector v ≥ 0 de Rn y como los autovectores de M forman una

base de Rn ponemos el vector v en funcion de estos autovectores

v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn,

donde los valores c1, . . . , cn, que no necesitaremos calcular explıcitamente sinoque bastara con saber que existen, son las coordenadas del vector v en la basetomada.

4En caso de que la matriz no sea diagonalizable procedemos de un modo analogo peroconsiderando una base de Rn obtenida mediante la descomposicion asegurada por el Teoremade Cayley-Hamilton.

2.5. EJEMPLO PRACTICO 31

Multiplicamos a izquierda por la matriz M el vector v y como los vectores{v1, . . . vn} son autovectores de la matriz M obtenemos

Mv = λ1c1v1 + λ2c2v2 + · · ·+ λncnvn.

Notar que solo necesitamos calcular la parte izquierda de la igualdad y saber quela parte de la derecha existe. Seguimos multiplicando el vector v por la matrizM hasta obtener

Mkv = λk1c1v1 + λk

2c2v2 + · · ·+ λkncnvn.

Suponiendo que c1 �= 0 dividimos a ambos lados por la k-esima potencia delautovalor de modulo maximo

1

λk1

Mkv = c1v1 +

(λ2

λ1

)k

c2v2 + · · ·+(λn

λ1

)k

cnvn.

Ademas como λ1 es el autovalor de modulo maximo∣∣ λi

λ1

∣∣k < 1 para todo i =2, . . . , n y de esta forma

1

λk1

Mkvk→∞−−−−→ c1v1.

Ası a medida que vamos multiplicando por la matriz M vamos consiguiendode manera mas exacta el vector buscado, con una velocidad que depende delcociente entre los dos primeros autovalores.

Este metodo es conocido como el metodo de la potencia y hay diferentesvariantes que permiten un calculo mas eficiente del vector buscado, como losmetodos de la potencia con extrapolacion, el metodo adaptativo. . ., que podemosencontrar en [3].

2.5. Ejemplo practico

Hasta ahora hemos estado viendo el algoritmo del PageRank a nivel teorico,pero en esta seccion vamos a ver una aplicacion practica diferente a la de ordenarlas paginas de la red, que es para lo que lo utiliza Google. En nuestro caso lovamos a utilizar para crear una clasificacion deportiva.

Por todos es conocido en mayor o menor medida como funcionan las cla-sificaciones en las ligas deportivas; si ganas te dan una puntuacion, si pierdesotra... Es evidente que en ligas en las que todos los equipos se enfrentan a losrestantes un mismo numero de veces, la clasificacion final dependera unicamen-te del nivel deportivo de los equipos. Sin embargo, cuando los enfrentamientosno son simetricos (por ejemplo si la liga esta dividida en varios grupos y cadaequipo se enfrenta con los de su grupo mas veces que con los restantes) esa asi-metrıa puede repercutir en los resultados finales. ¿Que ocurrirıa si pudiesemosaplicar en esos casos el metodo de ordenacion que hemos estado estudiando eneste capıtulo? A continuacion vamos a ver un ejemplo aplicado a la clasificacionpara los Playoffs de la liga de baloncesto americana, NBA, mas reciente.


El baloncesto y en concreto la NBA es uno de los deportes mas seguidos enEstados Unidos. Esta competicion que comenzo en 1946 cuenta con 30 equiposde todos los lugares de Estados Unidos y Canada divididos en dos conferen-cias, que se enfrentan en 82 partidos de la fase regular. Al final de esta fase sedetermina la clasificacion de la fase regular en funcion de las victorias y derro-tas cosechadas por cada equipo y los 8 mejores equipos de cada conferencia seenfrentan entre sı por el tıtulo de la NBA, en lo que se denomina Playoffs.

Como acabamos de mencionar compiten 30 equipos de todo el paıs (verfigura 2.7), por lo que los desplazamientos que deben realizar pueden ser muylargos; ademas juegan una gran cantidad de partidos en poco tiempo, lo queaumenta aun mas los viajes y el cansancio. Para evitar esto los equipos estandivididos en dos conferencias, Este y Oeste; y a su vez estas conferencias estansubdivididas en tres divisiones cada una, dejando seis grupos de cinco equiposcada uno organizados como podemos ver en las tablas 2.1 y 2.2.

Figura 2.7: Equipos NBA situados en el mapa.

Conferencia EsteAtlantico Central Sureste

Boston Celtics Chicago Bulls Atlanta HawksBrooklyn Nets Cleveland Cavaliers Charlotte Hornets

New York Knicks Detroit Pistons Miami HeatPhiladelphia 76ers Indiana Pacers Orlando MagicToronto Raptors Milwaukee Bucks Washington Wizards

Tabla 2.1: Conferencia Este

Los enfrentamientos entre estos equipos se realizan de una manera un poco


Conferencia OesteNoroeste Pacıfico Suroeste

Denver Nuggets Golden State Warriors Dallas MavericksMinnesota Timberwolves Los Angeles Clippers Houston RocketsOklahoma City Thunder Lon Angeles Lakers Memphis GrizzliesPortland Trail Blazers Phoenix Suns New Orleans Pelicans

Utah Jazz Sacramento Kings San Antonio Spurs

Tabla 2.2: Conferencia Oeste

especial para evitar el problema de las largas distancias que hemos comentado.Ası, cada equipo se enfrenta:

Cuatro veces a los equipos de su division, dos como local y dos comovisitante (16 partidos).

Tres o cuatro veces al resto de equipos de su conferencia (36 partidos).

Dos veces a los equipos de la otra conferencia, uno como local y otro comovisitante (30 partidos).

Con lo cual podemos observar que no todos los equipos tienen los mismos enfren-tamientos, de esta forma puede que un equipo tenga un calendario mas sencilloque otro. Ası puede ocurrir que los enfrentamientos de los Boston Celtics seandiferentes a los de los Chicago Bulls y sin embargo contaran igual en la clasi-ficacion del Este, lo que puede llevar a ligeras desventajas. Para ver claro estoveamos que hubiese ocurrido en la temporada regular de este ano si hubiesemosutilizado el metodo de PageRank para ordenar la clasificacion.

Para construir nuestra clasificacion comenzamos creando la matriz M cu-yas entradas mij son las victorias que ha obtenido cada equipo dividido porel numero total de partidos de cada equipo. De esta forma si denotamos porE1, E2, . . . , E30 los 30 equipos de la competicion entonces las entradas de lamatriz M seran

mij =victorias de Ei sobre Ej

partidos de Ei.

Al igual que en las secciones anteriores asignamos a cada equipo Ei su��ranking�� o importancia que denotaremos por xi, de forma que la clasificacionfinal quede determinada por los valores x1, x2, . . . , x30.

Como en la Seccion 2.2 la primera idea es que xi sea proporcional al numerode victorias cosechadas por el equipo Ei, notar que ası es como funciona laNBA (y la mayorıa de deportes), pero nosotros vamos a estudiar una segundaopcion. Esta segunda opcion consiste en que xi sea proporcional al numero devictorias pero teniendo en cuenta la importancia de cada victoria; es decir, noasignamos la misma importancia ganarle al primero que al ultimo. De esta formael ��ranking�� xi viene determinado por

xi = K

n∑j=1

mijxj .


Lo que nos lleva otra vez al sistema

Mx = λx

y de nuevo debemos buscar un autovector de M con todas las entradas delmismo signo.

Para construir la matrizM , nos fijamos en los resultados de la fase regular dela temporada 2014-2015. Debido a las dimensiones de esta matriz, la incluimosal final de este capıtulo en las tablas 2.4 y 2.5.

Con esta matriz que acabamos de construir vamos a calcular la importanciade cada equipo en funcion de la importancia de las victorias que ha conseguido;es decir, buscamos un vector x tal que Mx = λx. Para buscar este autovectorpodemos utilizar cualquier programa que nos permita utilizar el metodo de lapotencia o calcular los autovalores de la matriz M . En nuestro caso hemosrealizado un pequeno programa en Mathematica para aplicar el metodo de lapotencia y como resultado hemos obtenido el autovector buscado que en estecaso es: ⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

2.132941.680121.682861.539161.720561.744151.480631.396541.307821.13681.139630.9076590.8280320.6195810.470661.863171.64741.529491.410611.315551.101611.132331.064061.07761.004

0.9262320.9808990.695270.4948570.47931

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠


A la vista del vector anterior la clasificacion de cada conferencia quedarıacomo muestra la tabla 2.3. Recordar que el vector anterior muestra la importan-cia de cada equipo en el orden en el que se encuentran en las tablas 2.4 y 2.5. Elorden de estas tablas es el de la clasificacion real de la NBA de la temporada queestamos estudiando, donde primero se muestran los equipos de la conferenciaOeste y despues los de la conferencia Este.

Conferencia OestePos. Equipo1 Golden State Warriors2 San Antonio Spurs3 Memphis Grizzlies4 Los Angeles Clippers5 Houston Rockets6 Portland Trail Blazers7 Dallas Mavericks8 New Orleans Pelicans9 Oklahoma City Thunder10 Utah Jazz11 Phoenix Suns12 Denver Nuggets13 Sacramento Kings14 Lon Angeles Lakers15 Minnesota Timberwolves

Conferencia EstePos. Equipo1 Atlanta Hawks2 Cleveland Cavaliers3 Chicago Bulls4 Toronto Raptors5 Washington Wizards6 Boston Celtics7 Milwaukee Bucks8 Indiana Pacers9 Brooklyn Nets10 Miami Heat11 Detroit Pistons12 Charlotte Hornets13 Orlando Magic14 Philadelphia 76ers15 New York Knicks

Tabla 2.3: Clasificacion con nuestro metodo

Figura 2.8: Clasificacion 2014-2015

Como podemos ver en la figura 2.8 la clasificacion se modifica levemente.Apreciamos como en la conferencia Oeste hay varios cambios de posiciones en-tre los equipos clasificados para los Playoffs. Por ejemplo los San Antonio Spurs


escalan desde la sexta plaza a la segunda, mientras que los Houston Rocketsdescienden desde la segunda plaza hasta la quinta, pero ninguno de estos cam-bios de posicion afectarıa a los equipos clasificados para los Playoffs, sino queunicamente cambiarıan los enfrentamientos posteriores de estos equipos. Porotra parte en la conferencia Este hay un cambio significativo. Si observamos laclasificacion de esta temporada vemos que los Brooklyn Nets, que han quedadoen la octava posicion, se han clasificado para los Playoffs, mientras que los In-diana Pacers han quedado novenos y no han conseguido el pase. Sin embargo,el algoritmo de PageRank que hemos aplicado en este ejemplo invierte sus po-siciones. Esta observacion permite pensar que el calendario y el grupo de cadaequipo puede llegar a ser un factor determinante para su pase a los Playoffs.


Warriors

Houston

Clippers

Portlan

d

Mem

phis

Spurs

Dallas

Pelicans

Oklahoma

Phoen

ix

Utah

Denver

Sacramento

Lakers

Minnesota

Warriors – 241

382

382

141

182

241

382

382

382

382

141

241

382

241

Houston 0 – 141

182

141

182

382

141

382

382

382

241

382

141

241

Clippers 182

141 – 3

82141

141

141

141

141

241

241

382

382

241

382

Portland 0 141

182 – 0 3

82141

382

382

382

141

241

141

241

141

Memphis 182

141

141

241 – 1

41382

141

382

382

141

141

382

241

141

Spurs 141

382

141

182

141 – 1

41182

141

382

182

241

382

141

241

Dallas 0 182

182

141

182

141 – 3

82382

182

382

141

382

241

382

Pelicans 182

141

182 0 1

41382

182 – 3

82141

141

182

382

241

241

Oklahoma 182 0 1

82182

182

182

182

182 – 3

82141

382

382

382

241

Phoenix 182

182 0 1

82 0 182

382

182

182 – 1

41141

182

241

382

Utah 182

182 0 1

41141

141

182

182

141

182 – 1

41382

141

382

Denver 182 0 1

82 0 182 0 1

82382

182

182

141 – 1

41382

382

Sacramento 0 0 182

182

182

182 0 1

82182

382

182

141 – 3

82382

Lakers 182

182 0 0 0 1

82 0 0 0 0 182

182

182 – 3

82

Minnesota 0 0 0 141

182 0 0 0 0 1

82182

182 0 1

82 –Atlanta 1

82141

141

141

182 0 1

41182

182

141

141

182

141

182

141

Cavaliers 182 0 1

41182

141

182

182

182

182

182

182

182

182

141

141

Chicago 182

182

182

182

182

182

182

141

182

182

182

182

182

182

141

Toronto 0 182

141 0 1

82182 0 0 1

82182

141

141

141

182

141

Wizards 0 182

182

182

141

182 0 1

41 0 0 141

141

182

141

182

Milwaukee 0 0 182

182

182 0 0 0 1

82182 0 1

82141

182

141

Boston 0 0 0 182

182 0 0 1

41 0 182

141

141

182

182

182

Brooklyn 182 0 1

82182 0 1

82182 0 1

41 0 0 141

141

141

182

Indiana 182 0 0 0 0 0 1

41141

182 0 1

41 0 0 182

182

Miami 0 0 182

182 0 0 1

82 0 0 141

182

182

141

141

182

Charlotte 0 0 0 0 0 0 0 182 0 1

82182

141 0 1

82141

Detroit 0 182 0 0 1

82182

182 0 1

82182 0 1

82141 0 0

Orlando 0 182 0 1

82 0 0 0 182 0 1

82182 0 1

41182

141

Philadelphia 0 0 0 0 0 0 0 182 0 0 0 1

41182 0 1

41

Knicks 0 0 0 0 0 182 0 1

82182 0 0 1

82 0 141 0

Tabla 2.4: Resultados NBA 2014-2015


Atlan

ta

Cavaliers

Chicago

Toron

to

Wizards

Milwaukee

Boston

Brook

lyn

Indiana

Miami

Charlotte

Detroit

Orlando

Philadelphia

Knicks

Warriors 182

182

182

141

141

141

141

182

182

141

141

141

141

141

141

Houston 0 141

182

182

182

141

141

141

141

141

141

182

182

141

141

Clippers 0 0 182 0 1

82182

141

182

141

182

141

141

141

141

141

Portland 0 182

182

141

182

182

182

182

141

182

141

141

182

141

141

Memphis 182 0 1

82182 0 1

82182

141

141

141

141

182

141

141

141

Spurs 141

182

182

182

182

141

141

182

141

141

141

182

141

141

182

Dallas 0 182

182

141

141

141

141

182 0 1

82141

182

141

141

141

Pelicans 182

182 0 1

41 0 141 0 1

41 0 141

182

141

182

182

182

Oklahoma 182

182

182

182

141

182

141 0 1

82141

141

182

141

141

182

Phoenix 0 182

182

182

141

182

182

141

141 0 1

82182

182

141

141

Utah 0 182

182 0 0 1

41 0 141 0 1

82182

141

182

141

141

Denver 182

182

182 0 0 1

82 0 0 141

182 0 1

82141 0 1

82

Sacramento 0 182

182 0 1

82 0 182 0 1

41 0 141 0 0 1

82141

Lakers 182 0 1

82182 0 1

82182 0 1

82 0 182

141

182

141 0

Minnesota 0 0 0 0 182 0 1

82182

182

182 0 1

41 0 0 141

Atlanta – 382

141

182

382

382

141

241

382

241

141

382

382

382

141

Cavaliers 182 – 3

82382

382

382

141

382

141

141

382

382

382

141

141

Chicago 182

182 – 2

41141

382

382

382

141

141

141

141

141

382

382

Toronto 382

182 0 – 3

82141

141

141

382

141

141

141

241

241

382

Wizards 182

182

141 0 – 1

41141

141

141

382

141

141

241

382

241

Milwaukee 182

182

182

182

182 – 1

41382

141

241

182

382

141

241

241

Boston 182

141

182

141

182

182 – 3

82382

182

141

141

141

241

382

Brooklyn 0 182

182

141

141

182

182 – 1

41 0 141

141

382

382

241

Indiana 0 141

141 0 1

41141

182

182 – 3

82382

141

382

382

241

Miami 0 141

182

182

182 0 3

82241

182 – 1

41182

382

382

382

Charlotte 141 0 1

41141

141

141

141

182

182

141 – 1

41141

141

382

Detroit 182

182

141

141

182

182

182

182

141

141

141 – 3

82182

382

Orlando 182 0 1

41 0 0 141

141 0 0 1

82141

182 – 1

41141

Philadelphia 182

182 0 0 1

82 0 0 182

182

182

182

382

182 – 1

82

Knicks 182

182 0 1

82 0 0 182 0 0 0 1

82182

141

382 –

Tabla 2.5: Resultados NBA 2014-2015

Capıtulo 3

El Teorema del punto fijode Brouwer

En este capıtulo vamos a completar la prueba del Teorema de Perron-Frobenius que vimos en el Capıtulo 1 dando una demostracion detallada delTeorema del punto fijo de Brouwer. Antes de proceder con la prueba vamos adar unas pinceladas sobre la vida de su autor.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer, a la izquierda en la figura 3.1, (Overschie27 de febrero 1881 - Blaricum 2 de diciembre 1966) realizo sus estudios preuni-versitarios en la ciudad de Hoorn, al norte de Amsterdam, obteniendo unosresultados excepcionales y terminandolos a los catorce anos. La formacion deBrouwer no incluıa ni griego ni latın, lo que le llevo a estar los dos anos siguientesestudiando estas dos lenguas en Harleem, pues eran un requisito indispensablepara poder acceder a la universidad en esa epoca.

En 1897 Brouwer entro en la universidad de Amsterdam, donde su profesorKorteweg noto rapidamente que se encontraba ante un excelente estudiante.Durante sus estudios universitarios ya fue capaz de probar resultados sobremovimientos continuos en cuatro dimensiones. Korteweg le animo a presentardichas demostraciones y en 1904, el mismo ano en el que se graduo y contrajomatrimonio con Lize de Holl, la Real Academia de Ciencias de Amsterdampublico su primer artıculo con dichos resultados.

Durante toda su vida Brouwer estuvo muy interesado en la filosofıa y en losfundamentos logicos de las matematicas, pero tambien se intereso fuertementepor el quinto problema de la lista que Hilbert presento al Congreso Internacio-nal de Matematicos de Parıs en 1900.1 Cabe destacar que ciertos aspectos de sutesis doctoral, publicada en 1907, contribuyeron al debate sobre los fundamen-tos logicos de las matematicas que en aquel momento mantenıa la comunidadmatematica.

Anos mas tarde, en 1909, Brouwer mantuvo un encuentro en Parıs con Poin-

1Este problema preguntaba si todos los grupos topologicos localmente euclidianos sonisomorfos a grupos de Lie.

39

40 CAPITULO 3. EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO

Figura 3.1: L. E. J. Brouwer a la izquierda y a la derecha primera pagina de sutrabajo en Mathematische Annalen en el que publico su conocido teorema delpunto fijo.

care, Hadamard y Borel que le condujo al estudio de la invariancia de la dimen-sion. Entre 1909 y 1913 realizo sus primeros estudios de topologıa destacandosus caracterizaciones de las aplicaciones topologicas del plano cartesiano y la de-mostracion de algunos teoremas de puntos fijos. Es precisamente en este periodocuando publica en la revista Mathematische Annalen (el artıculo aparecio en1910), el teorema del punto fijo que nos ocupa, cuya primera pagina podemosver a la derecha en la figura 3.1. Originalmente lo demostro para una esfera dedos dimensiones pero mas tarde generalizo el resultado a esferas n dimensio-nales. Parece ser que la idea del teorema le vino a Brouwer mientras removıauna taza de cafe para disolver un terron de azucar y observo que siempre apa-recıa un punto sin movimiento. El teorema del punto fijo de Brouwer fue unode los primeros logros de la topologıa algebraica y es la base de otros teoremasde punto fijo mas generales que son importantes en analisis funcional. Aunquetradicionalmente se atribuye a Brouwer, en 1910 Hadamard tambien dio una de-mostracion independiente del mismo Teorema del punto fijo. Debemos resenarque ambas ambas pruebas eran no constructivas.

En 1914 Brouwer fue nombrado miembro del consejo de redaccion de larevistaMathematische Annalen pero en 1928 Hilbert quiso echarlo del consejo yaque pensaba que se estaba volviendo demasiado poderoso y, a pesar del respaldode personajes como Einstein o Caratheodory, Hilbert se salio con la suya, lo quefue devastador mentalmente para Brouwer. A partir de ese momento hasta suretiro, en 1951, compagino la vida academica con una importante actividadpolıtica.

41

Desde 1970, la Sociedad Matematica Holandesa concede cada tres anos laMedalla Brouwer. Esta medalla se entrega en el Congreso Matematico de losPaıses Bajos a un matematico de gran relevancia internacional y ha alcanzadonotable prestigio.

A continuacion recordamos el Teorema del punto fijo de Brouwer y poste-riormente veremos su demostracion. Debemos notar que la prueba mas estandardel Teorema del punto fijo de Brouwer se basa en demostrar por argumentostopologicos que no existe ningun retracto2 continuo de Dn en Sn−1, mientrasque la demostracion que vamos a incluir en este capıtulo se fundamenta enun lema que asegura que no existen retractos de clase C1(Dn). Posteriormenteutilizamos el Teorema de aproximacion de Weierstrass para pasar a funcionescontinuas.

La prueba que presentamos esta basada en la dada por J. Milnor en [5] yque fue simplificada por C. A. Rogers en [2] unos anos mas tarde.

Teorema 7 (Teorema del punto fijo de Brouwer). Sea Dn := {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤1} el disco unidad cerrado de Rn y f : Dn −→ Dn una aplicacion continua.Entonces f tiene un punto fijo; es decir, existe x ∈ Dn tal que f(x) = x.

Antes comenzar con la prueba del teorema del punto fijo de Brouwer, vamosa enunciar y demostrar el lema auxiliar que contendra el paso fundamental dela demostracion.

Lema 8. No existen aplicaciones f : Dn −→ Sn−1 de clase C1(Dn) tal quef(x) = x para todo x ∈ Sn−1.

Demostracion. Vamos a proceder por reduccion al absurdo, ası que supongamosque existe tal funcion f ; es decir, existe una funcion f : Dn −→ Sn−1 de claseC1(Dn) tal que fija todos los puntos de la esfera Sn−1.

Para t ∈ [0, 1], consideramos la aplicacion

ft(x) = (1− t)x+ tf(x) = x+ g(x),

donde g(x) = f(x)− x. Notar que ft(x) ∈ Dn para todo x ∈ Dn. En efecto

‖ft(x)‖ ≤ (1− t)‖x‖+ t‖f(x)‖ ≤ (1− t) + t = 1,

y, por lo tanto, ft : Dn −→ Dn. Ademas como para todo x ∈ Sn−1 se verifica

que f(x) = x, tenemos

ft(x) = (1− t)x+ tf(x) = (1− t)x+ tx = x

y, de este modo, ft fija todos los puntos de la esfera Sn−1.Veamos ahora que la aplicacion ft que hemos definido es una aplicacion

biyectiva. Como f es C1(Dn), g tambien lo es y por el teorema del valor medioexiste una constante C tal que, para todo x1, x2 ∈ Dn,

‖g(x2)− g(x1)‖ ≤ C‖x2 − x1‖. (3.1)

2En topologıa un retracto es una funcion continua f : X −→ A con A ⊂ X tal que serestringe a la identidad en su imagen; es decir, que la aplicacion f |A : A −→ A es la funcionidentidad.


Demos una prueba mas detallada de esta ultima afirmacion. Sea h : G −→ R

una funcion C1(G), donde G ⊂ Rn es un conjunto cerrado y acotado, entoncespor el teorema del valor medio en varias variables y la desigualdad de Cauchy-Schwartz

|h(x)− h(y)| = |∇h(c) · (x− y)| ≤ ‖∇h(c)‖‖x− y‖,donde c es un punto intermedio de x e y; es decir, c = (1 − λ)x + λy paraun cierto λ ∈ (0, 1). Ademas, como cada ∂h

∂xies continua y esta definida en un

compacto, se verifica que | ∂h∂xi| < Ki. Por tanto, ‖∇h(c)‖ ≤ K y

|h(x)− h(y)| ≤ ‖∇h(c)‖‖x− y‖ ≤ K‖x− y‖.

Sea ahora H : G −→ Rm con G ⊂ Rn cerrado y acotado. Es claro que

‖H(x)−H(y)‖ =√

(h1(x)− h1(y))2 + · · ·+ (hn(x)− hn(y))2

≤√

C1‖x− y‖2 + · · ·+ Cn‖x− y‖2 ≤ C‖x− y‖,

con lo que queda vista la afirmacion.Supongamos ahora que la aplicacion ft no es inyectiva; es decir, que existen

dos puntos distintos x1 y x2 ∈ Dn tal que ft(x1) = ft(x2). Esto implica quex2 − x1 = t(g(x1)− g(x2)) y, usando (3.1),

‖x2 − x1‖ = t‖g(x1)− g(x2)‖ ≤ Ct‖x2 − x1‖.

Como x1 �= x2 podemos dividir la desigualdad anterior por ‖x2−x1‖, lo que noslleva a que Ct ≥ 1. Ası cuando t < 1

C llegaremos a un absurdo, lo que implicaque ft : D

n −→ Dn sera inyectiva.Sea Gt = ft (B

n), la imagen por ft de la bola unidad de Rn. Para cadax ∈ Dn, la derivada de ft es una aplicacion lineal f ′

t(x) : Rn −→ Rn, dada por

f ′t(x) = In + tg′(x),

donde In es la matriz identidad de orden n. Ası como g es de clase C1(Dn)existe un numero real t0 tal que det f ′

t(x) > 0 para todo t ∈ [0, t0].3 De este

modo, por el teorema de la funcion inversa, Gt es un conjunto abierto para todot ∈ [0, t0].

4 Y haciendo t0 suficientemente pequeno, tambien tendremos que paratodo t ∈ [0, t0] la funcion ft sera inyectiva.

3Para comprender mejor esta situacion tomamos para cada x ∈ Dn la funcion

h : [0, 1] −→ R

t −→ h(t) = det(In + tg′(x)).

Observamos que esta funcion es continua en t, de hecho es un polinomio en t. Ademas es obvioque h(0) = 1 y por conservacion del signo existe un t0 para el que h(t) > 0 cuando t ∈ [0, t0].

4Sabemos queGt = ft(Bn) y como acabamos de ver que, para todo t ∈ [0, t0], det f ′t(x) �= 0,

podemos aplicar el teorema de la funcion inversa para asegurar la existencia de una funcion hcontinua tal que h(Gt) = Bn. Ası Gt es la preimagen de un conjunto abierto por una funcioncontinua con lo que podemos concluir que Gt es un conjunto abierto.

43

Ahora vamos a ver que Gt = ft(Bn) = Bn para todo t ∈ [0, t0]. Asumamos

que es falso, con lo que la frontera ∂Gt intersecara a la bola abierta Bn en algunpunto y0.

Comprobemos este ultimo hecho mas detenidamente. Hasta ahora sabemosque ft(D

n) ⊆ Dn, que ft fija los puntos de Sn−1 y es inyectiva para todot ∈ [0, t0]. Ası es sencillo ver que ft(B

n) ⊆ Bn. Supongamos que no es cierto,entonces existira x ∈ Sn−1 tal que x ∈ ft(B

n), luego existira y ∈ Bn tal queft(y) = x, pero como ft fija Sn−1 tenemos que ft(x) = x. Ası ft(y) = ft(x) loque es absurdo ya que ft es una funcion inyectiva. Por tanto si Gt �= Bn, setiene que ft(B

n) � Bn. Ahora queremos ver que Bn∩∂Gt �= ∅, para ello vamosa utilizar el siguiente lema.

Lema 9 (Paso de aduana). Sea X un espacio topologico, A ⊂ X conexo, B ⊂ Xtal que A ∩B◦ �= ∅ y A ∩ ExtB �= ∅, entonces A ∩ ∂B �= ∅.5

Supongamos que Bn ∩ ∂Gt = ∅ y tomemos en el lema anterior X = Dn,A = Bn y B = Gt. Sabemos que Gt � Bn y, como Gt es abierto, entoncesBn ∩G◦

t = Bn ∩Gt �= ∅. Veamos ahora que Bn ∩ ExtGt �= ∅. Como Gt � Bn,existe y ∈ Bn \Gt, comprobemos que y ∈ Bn ∩ ExtGt. Supongamos que no esası, entonces y /∈ ExtGt = (Gt)

c y, por tanto, y ∈ Gt. Puesto que y /∈ Gt = G◦t ,

concluimos que y ∈ ∂Gt, lo que implica que y ∈ Bn ∩ ∂Gt, que es absurdo yaque Bn ∩ ∂Gt = ∅. Pero de esta forma, por el Lema 9, llegamos a Bn ∩ ∂Gt �= ∅lo que es una contradiccion y podemos concluir que la frontera ∂Gt intersecara ala bola abierta Bn en algun punto y0 como querıamos ver.

Como y0 ∈ ∂Gt existe una sucesion {x�} ⊂ Bn tal que lım�→∞ ft(x�) = y0;es decir, podemos acercarnos a y0 por una sucesion de puntos de Gt que sonde la forma ft(x�) con x� ∈ Bn. Ahora bien, como Dn es un conjunto compac-to en un espacio metrico Dn, sera secuencialmente compacto6 y ası podremostomar una subsucesion convergente de x�; es decir, una subsucesion tal quelımk→∞ x�k = x0, para un cierto x0 ∈ Dn. Por la continuidad de ft tendremosque lımk→∞ ft(x�k) = ft(x0) y entonces ft(x0) = y0. Pero como Gt es un con-junto abierto y los conjuntos abiertos son disjuntos de su frontera, y0 ∈ ∂Gt nopertenecera a Gt = ft(B

n). Ası x0 /∈ Bn y de esta forma x0 ∈ Dn\Bn = Sn−1.Con lo cual para x0 ∈ Sn−1 se cumple que ft(x0) = x0 (recordar que ft fijapuntos de Sn−1) y como hemos visto que y0 = ft(x0), entonces y0 = x0 lo quees absurdo ya que x0 ∈ Sn−1 e y0 ∈ Bn. Por tanto ft(B

n) = Bn y ası para todot ∈ [0, t0] la aplicacion ft : D

n −→ Dn es biyectiva.Definimos ahora la aplicacion F : [0, 1] −→ R de la siguiente forma

F (t) =

∫Dn

det f ′t(x) dx =

∫Dn

det(In + tg′(x)) dx,

donde dx denota la medida de Lebesgue en Rn. Si nos fijamos en la definicionde esta funcion podemos observar que F (t) es un polinomio en t. Puesto que

5Recordar que B◦ denota el conjunto interior de B, que es el mayor abierto contenido enB, mientras que ExtB denota el conjunto exterior de B, que es equivalente a B

c= (Bc)◦.

6Recordar que un espacio (X, d) se dice secuencialmente compacto cuando toda sucesionen X posee alguna subsucesion convergente.


ft : Dn −→ Dn es una funcion biyectiva para t ∈ [0, 1], aplicando el cambio de

variable z = ft(x) (notar que el jacobiano de la transformacion es precisamentedet f ′

t(x)), tenemos que

F (t) =

∫Dn

det f ′t(x) dx =

∫ft(Dn)

dz, t ∈ [0, t0] ,

obteniendo que F (t) es el volumen de ft(Dn) = Dn; es decir,

F (t) = Volumen(Dn), para t ∈ [0, t0] .

Recordemos que si un polinomio es constante en un intervalo, es constante entodo su dominio, con lo que F (t) = Volumen(Dn) para todo t ∈ [0, 1] y, enparticular, F (1) = Volumen(Dn) > 0. Puesto que f1(x) = f(x) ∈ Sn−1 paratodo x ∈ Dn, se tiene

〈f1(x), f1(x)〉 = ‖f1(x)‖2 = 1.

Ası para cualquier vector v ∈ Rn

2〈f ′1(x)v, f1(x)〉 =

d

ds〈f1(x+ sv), f1(x+ sv)〉

∣∣∣∣s=0

=d

ds1

∣∣∣∣s=0

= 0.

Esto implica que la imagen de f ′1(x) esta contenida en f1(x)

⊥, el complementoortogonal de f1(x). Ası el rango de f ′

1(x) es menor o igual que n− 1 para todox ∈ Dn y por lo tanto det f ′

1(x) = 0 para todo t ∈ Dn.7 De este modo, comodet f ′

1(x) = 0,

F (1) =

∫Dn

det f ′1(x) dx = 0,

lo que entra en contradiccion con F (1) > 0 que habıamos visto antes, terminandoası la demostracion.

Una vez concluida la prueba de este lema auxiliar pasamos a la prueba delTeorema del punto fijo de Brouwer.

Demostracion del Teorema del punto fijo de Brouwer. Sea f : Dn −→ Dn unaaplicacion continua. Por el Teorema de aproximacion de Weierstrass para cada ∈ N existe una sucesion de funciones de clase C1(Dn), p� : Dn −→ Rn,tales que ‖f(x) − p�(x)‖2 ≤ 1

� , para todo x ∈ Dn. Es mas, podemos tomar lasfunciones p� como polinomios. Teniendo en cuenta que ‖p�(x)‖2 ≤ ‖f(x)‖2 +‖p�(x)− f(x)‖2 ≤ 1+ 1

� , si definimos h� = (1+ 1� )

−1p� tenemos h� : Dn −→ Dn

y h� converge uniformemente a f .8

7Para ver que el rango de f ′1(x) es menor o igual que n − 1 procedamos por reduccion al

absurdo. Supongamos que el rango de f ′1(x) es exactamente n, lo que implica Im f ′

1(x) = Rn.Como Im f ′

1(x) ⊆ f(x)⊥ y f(x)⊕ f1(x)⊥ = Rn, se deduce que f1(x) se reduce al vector nulo,lo que es absurdo.

8Notar que

‖h�(x)− f(x)‖2 ≤ ‖h�(x)− p�(x)‖2 + ‖p�(x)− f(x)‖2

45

Veamos que cada h� tiene un punto fijo en Dn. Para comprobar esta afir-macion supongamos que es falsa. Definimos la aplicacion f� : Dn −→ Sn−1 dela siguiente forma: para cada x ∈ Dn, f�(x) es la interseccion de Sn−1 con lasemirrecta que comienza en h�(x) y va hacia x (ver la figura 3.2).

h�(x)

x

f�(x)

Figura 3.2: Estructura de la aplicacion f�(x).

Si h� no tiene puntos fijos la aplicacion f� es de clase C1(Dn) y cumplef�(x) = x para todo x ∈ Sn−1, entrando en contradiccion con el lema anterior.

Veamos mas detenidamente que realmente esta aplicacion f� es de claseC1(Dn). Notar que la recta que va de h�(x) a x puede describirse como

z = (1− t)h�(x) + tx,⇐⇒

⎧⎪⎨⎪⎩

z1 = (1− t)h�,1(x) + tx1

...zn = (1− t)h�,n(x) + txn

con t ≥ 0, y al hacer el corte con Sn−1 obtenemos

z21 + · · ·+ z2n = 1 ⇐⇒n∑

i=1

((1− t)h�,i(x) + txi)2 = 1

⇐⇒ t2n∑

i=1

(xi − h�,i(x))2 + 2t

n∑i=1

h�,i(x)(xi − h�,i(x)) +n∑

i=1

h2�,i(x) = 1.

Si denotamos por w el vector que va desde h�(x) a x, entonces la ecuacionanterior se transforma en

t2‖w‖2 + 2t〈h�, w〉+ ‖h�‖2 − 1 = 0.

≤ ‖p�‖2(

�

1 + �− 1

)+

1

�≤

(1 +

1

�

)1

1 + �+

1

�=

2

�,

para todo x ∈ Dn.


Despejando t y teniendo en cuenta que t ≥ 0, tenemos que el unico corte conSn−1 se obtiene tomando el valor

t0 =

√〈h�(x), w〉2 − (‖h�(x)‖2 − 1)‖w‖2 − 〈h�(x), w〉‖w‖2 .

De este modo es obvio que f�(x) es una funcion de clase C1(Dn).Sea x� un punto fijo de h�; es decir, h�(x�) = x�. Como Dn es un conjunto

compacto, del conjunto {x�}�≥1 podemos extraer una subsucesion convergente;es decir, x�k −→ x0 para algun x0 ∈ Dn. Ahora bien, h� converge uniformementea f y ası

f(x0) = lımk−→∞

h�k(x�k) = lımk−→∞

x�k = x0,

lo que completa la prueba.

Bibliografıa

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