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El valor del pixel (tono de gris) varia de una manera continua. El máximo valor se encuentra en el centro. Si se toma el valor de pixel igual a D1, entonces se encuentra una curva cerrada.
Las líneas de contorno, formarán curvas cerradas que rodean regiones que tienen un valor de pixel mayor o igual a D1. De la misma manera se pueden definir líneas de contorno que encierren una región con un valor D2. El valor de D2 es mayor que D1
El área umbral A(D), de una función continua, es el área encerrada por todas las líneas de contorno que tienen valor D.
)()()(
0lim y)} ,H{D(x DAdDd
DDDADA
D
El histograma puede ser definido de la siguiente manera
En el caso de funciones discretas - imágenes digitales -, fijamos D a la unidad y la ecuación anmterior se convierte en:
H(D) = A(D) – A(D + 1)
Propiedades del histograma.Cuando una imagen se representa por su histograma, se
pierde toda la información espacial. Dada una imagen, su histograma es único, pero el inverso
no es verdadero. Esto quiere decir que imágenes diferentes, pueden tener el mismo histograma.
)()]([)( DAPAD
dPPH D
la función de área.
imagendeáreadPPH '_0
)(
Para el caso discreto tenemos:
255
0
)(
D
sNcolsxNrenDH
Representa la el área de la imagen.
Si la imagen contiene un objeto único, con el valor de pixel uniforme, en un fondo de alto contraste, y si además la frontera del objeto es la la línea de contorno con valor D1, entonces:
objetodeáreaD
dPPH '_1
)(
Interpretación alternativa del histogramAsumiendo que la imagen D(i, j) se puede representar
como una arreglo 1-D, llamémosle I(k). Entonces el histograma se puede obtener como.
Ni
kkIiH
1)()(
Histograma acumulado.Considerando la definición anterior del histograma,
entonces se puede obtener el histograma acumulado de la imagen como.
f
iA iHfH
0)()(
f es la frecuencia con que ocurre un valor de pixel.
Ni es el número de pixeles dentro de la imagen tal que I(k) tiene el valor i.
Las operaciones puntuales ‘mapean’ o transforman una imagen en la entrada a una imagen en la salida
•los valores de los pixeles de la última dependen del valor de sus correspondientes a la entrada. •En otras palabras, los valores de pixel en la imagen resultante, dependen del valor de pixel de la imagen origen y de la relación funcional entre ambos.
B[i][j]=fA[i][j]
A[i][j] B[i][j]
A las operaciones puntuales se les conocen con otros nombres: •reducción de contraste,•realzado del contraste, •transformaciones de la escala de gris, •reducción del intervalo dinámico
Algunas veces, aún cuando los mapeos o transformaciones son lineales, estas transformaciones no son invertibles.
Por invertible, debemos entender que no existe una operación inversa que nos permita obtener nuevamente y de manera exacta la imagen A[i][j] de la cual partimos.
]}][[{1 jiBf
Usos de las operaciones puntuales.•Calibración fotométrica. En el caso de que la respuesta del sensor no sea lineal, las operaciones puntuales se pueden usar para distribuir de una manera regular y homogénea los valores, a lo largo del intervalo dinámico disponible. •Realce del contraste. En algunas imágenes los rasgos de interés, ocupan solo una pequeña porción del intervalo dinámico, mediante las operaciones puntuales es posible realzar esos rasgos de interés.•Calibración de monitores. La mayoría de los monitores no mantienen una relación lineal entre los valores del pixel de la imagen y los tonos de gris desplegados. •Líneas de contorno. Mediante las operaciones puntuales se pueden agregar líneas de contorno a una imagen. •Corte, redondeo (Clipping). Comúnmente las imágenes son almacenadas como enteros, frecuentemente 8 bpp. Para imágenes que ocupan mas de un bytepp, la salida tiene que reducirse al intervalo de valores (0 – 255). Los valores negativos se envían a cero, los valores positivos mediante alguna relación funcional son redistribuidos a lo largo del intervalo [0,255
bDaDfDB AA )(
Operaciones Puntuales lineales.El primer tipo de operaciones puntuales que vamos a
considerar, son aquellas que relacionan el pixel de entrada DA con valor DB a la salida, mediante una función lineal.
Si a =1 y b =0, se obtiene la operación identidad, esta solo copia el valor A(x, y) al valor B(x, y) sin modificarlo.Si a>1, el contraste será incrementado en la imagen de salida. Para a<1, el contraste es reducido. Si a=1 y b0, la operación sólo desplaza los valores del pixel, hacia arriba o hacia abajo. Este efecto hace que toda la imagen se vea más brillante o más obscura.Si a<0, las áreas obscuras se vuelven brillantes, y viceversa (negativo de la imagen).
0
255b
a
Valor de pixel entrada.
salida
bDaDfD AAB )(
HISTOGRAMA DE SALIDA.Supongamos que la operación puntual, definida por una
transformación de la escala de gris f(D) sobre la imagen A(x, y) a la entrada produce la imagen B(x, y) a la salida.
B(x, y) = f{A(x, y)}
Tablas.Las tablas, en inglés se escribe look up table (LUT), son una herramienta muy útil que permite agilizar el procesamiento digital de imágenes, reduciendo del tiempo de total de computo.
3]][[2]][[ jiAjiB
B[i][j], es la imagen resultante después de la operación lineal puntual.
1 1 2 3
1 1 2 3
2 2 2 3
3 3 3 3
A[i][j]
5 5 7 9
5 5 7 9
7 7 7 9
9 9 9 9
B[i][j]
F[D]
Las tablas reducen el número de operaciones, lo cual repercute en el tiempo total de computo para procesar una imagen. Para usar tablas, el primer paso es construir dicha tabla, como se explica a continuación.
32 DDTablaD Tabla(D)
1 5
2 7
3 9
]]][[[]][[ jiATablajiB
.