Jalan terbaik untuk memahami prosedur untuk menyelesaikan persamaan gelombang dan

pentingnya solusi adalah dengan mempelajari beberapa contoh. Marilah kita menyelesaikan

persamaan Shrödinger bebas waktu ??ψ = Eψ untuk sebuah partikel dengan massa m yang

terkurung pada daerah (0 < x < L) pada sumbu-x (kotak satu dimensi). Hamiltonian untuk sistem

ini dituliskan sebagai berikut

U(x) adalah energi potensial dari sistem yang dipelajari. Pembatasan terhadap gerakan partikel

dilakukan pada U(x) dengan ketentuan sebagai berikut (Gambar 1.13)

(1.43)

Perlakuan ini secara alami akan menuju pada ketidakmungkinan untuk menemukan partikel di luar

kotak. Jika ψ(x) ≠ 0 pada U(x) = +∞, maka kedua sisi pada persamaan ??ψ = Eψ akan divergen.

Gambar 1.13 Energi potensial U(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

Karena U(x) = 0 di dalam kotak, persamaan gelombang ??ψ = Eψ akan menjadi bentuk yang

sangat sederhana yaitu

(1.44)

dimana

(1.45)

Solusi umum dari persamaan (1.44) telah diketahui dengan baik dan dituliskan sebagai berikut

(1.46)

Substitusi dari ekspresi ini pada sisi kiri persamaan (1.44) akan menghasilkan suku di sisi kanan.

Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam persamaan (1.46) dalam

konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam

kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi

berikut harus diperlukan.

Pada perbatasan kotak (x = 0), 

dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L), 

(1.47)

(1.48)

Karena nilai yang mungkin untuk nilai eigen energi E tidak muncul, kita harus melakukan klasifikasi

atas kasus-kasus yang mungkin sebagai berikut.

1) (E < 0)

Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku dalam tanda kurung

pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0

dan kemudian ψ(x) = aeikx + be &minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak

konsisten dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.

2) (E = 0)

Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L). Ini juga tidak sesuai

dengan asumsi dari partikel dalam kotak.

3) (E > 0)

Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di persamaan (1.48) dapat

menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai

(1.49)

Perlu dicatat bahwa e2ikL = 1 adalah untuk κ yang merupakan bilangan bulat sem barang. Dengan

demikian nilai-nilai untuk κ (κ > 0) yang mungkin harus memenuhi kondisi berikut

(1.50)

Dengan memasukkan nilai κ ke dalam persamaan (1.45), kita akan mendapatkan nilai-nilai yang

mungkin untuk energi E dengan nilai integer n.

(1.51)

Ini adalah formula untuk tingkat-tingkat energi dari sebuah partikel yang berada dalam sebuah

kotak satu dimensi. Untuk energi yang bernilai lain selain yang diberikan pada persamaan (1.51),

tidak ada solusinya. Munculnya tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit adalah sebuah

konsekuensi dari kuantisasi energi. Tingkat energi yang terkuantisasi diklasifikasikan dengan

bilangan bulat positif n. Bilangan-bilangan ini merepresentasikan keadaan terkuantisasi dan

disebut sebagai bilangan kuantum.

Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi Eω, dapat ditentukan

melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).

Di sini, rumus eiθ = cos θ + i sin θ digunakan dan 2ai ditulis sebagai c. Nilai dari c ditentukan

melalui persyaratan normalisasi.

Nilai dari integral terakhir adalah L/2 dan c2 ·(L/2) = 1. Dengan demikian maka c = √2/L, dan kita

memperoleh solusi di dalam kotak sebagai berikut.

Tingkat energi En dan fungsi gelombang ψn(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu

dimensi dengan panjang L ditunjukkan pada Gambar 1.14.

Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan dasar dari sebuah

partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel yang terbesar adalah pada posisi di

tengah kotak dan kemudian menurun jika bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia

makroskopik, kita dapat meletakkan sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan

tetapi di dalam dunia kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh

adalah energi tingkat dasar E1 = h 2/8mL2 > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang ada

dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi minimum dari

sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan energi akan sama dengan

energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini Umin = 0). Fakta yang menyatakan bahwa E1 −

Umin > 0 menunjukkan bahwa sebuah partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E1 − Umin,

bahkan pada temperatur absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem

lagi. Karenanya energi sebesar E1 − Umin disebut sebagai energi titik-nol (zero-point energy) dan

gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-point motion). Dalam dunia

makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari kotak L adalah sangat besar dan karenanya

energi sebesar E1 = h2/8mL2 dapat dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi

titik-nol dan gerakan titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit

hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat

berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi

untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai

m da n L yang sangat besar. Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14,

terdapat beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam keadaan

tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi geometris di mana ψ = 0

disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda dalam kotak adalah n-1, yang akan

meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak

secara umum memiliki energi yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan

sangat berguna untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.

Gambar 1.14 Tingkat-tingkat energi En = h2/8mL2 dan fungsi gelombang ψn(x) untuk partikel dalam

sebuah kotak satu dimensi.

Contoh 1.11. Tunjukkan hubungan berikut akan terjadi di antara fungsi gelombang ψn(x) danψm(x)

untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

δ nm adalah Kronecker delta di mana akan sama dengan 1 jika n = m dan 0 jika n ≠ m.

(Jawaban) Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L)

dengan panjang L diberikan oleh persamaan

(1.52)

Untuk posisi di luar kotak ψn(x) = 0 . Marilah kita menyebutkan integral yang menjadi masalah

sebagai Inm.

Rumus penjumlahan sudut untuk fungsi trigonometri

akan menghasilkan

Dengan demikian

Inm = I(−) − I(+)

Disini

Dengan menuliskan θ = πx/L dan dengan menggunakan dθ = (π/L)dx , kita akan memperoleh

Ketika (n ± m) tidak sama dengan 0,

Ketika (n − m = 0),

Karenanya,

1. Untuk n = m, Inm = 1 − 0 = 1 dan

2. Untuk n ≠ m, Inm = 0 − 0 = 0, dengan menggunakan delta Kronecker, kita akan memperoleh Inm =

δnm.

Integral dari contoh ini dengan n = m adalah kondisi normalisasi, dengan diberikan bahwa fungsi

gelombangnya telah dinormalisasi terlebih dahulu. Untuk n ≠ m, integralnya akan sama dengan 0,

di mana dua fungsi gelombangnya dikatakan saling ortogonal dan memenuhi sifat ortogonalitas.

Sifat ortogonalitas berlaku secara umum antara sembarang fungsi gelombang yang

berkorespondensi dengan nilai eigen yang berbeda. Ketika fungsi-fungsi ternormalisasi dan saling

ortogonal, maka himpunan fungsi-fungsi tersebut dikatakan ortonormal dan mengikuti sifat

ortonormalisasi.

http://www.chem-is-try.org/materi_kimia/kimia_kuantum/teori_kuantum_dan_persamaan_gelombang/sebuah-partikel-dalam-kotak-satu-dimensi/

Sekilas tentang Fisika Statistik23.38 | 0 comments

Mengenai persamaan kajian dari Termodinamika dan Fisika Statistika yakni Termodinamika adalah contoh cabang ilmu fisika yang menerapkan pandangan makroskopik seperti suhu, volume dan tekanan, yang menggambarkan fisik, sistem termodinamika. Sedangkan berkenaan dengan kajian fisika statistik ini sama merupakan cabang dari kajian fisika yang sebetulnya hubungan antara termodinamika dan fisika statistik sangatlah erat di antara keduanya. Pada dasarnya kajian antara termodinamika dan fisika statistik adalah sama kedudukanya di dalam ilmu fisika. Kedudukan termodinamika dan fisika statistik ibarat pemahaman yang kontinu tentang suatu cabang ilmu pengetahuan dimana terdapat hubungan kekerabatan yang sangat dekat sebab pokok bahasan dari fisika statistik tidak lain adalah termodinamika lanjut.

Berkenaan dengan pemahaman kajian perbedaan termodinamika dan fisika statistik dimana untuk pemahaman secara mikroskopik suatu sistem meliputi beberapa ciri khas seperti adanya pengandaian bahwa sistem terdiri atas sejumlah molekul, dan kuantitas-kuantitas yang diperinci tidak dapat diukur secara makroskopis. Contoh penerapan pandangan mikroskopik untuk cabang ilmu fisika yaitu dalam fisika statistik itu sendiri. Bila kedua pandangan itu diterapkan pada sistem yang sama maka keduanya harus meghasilkan kesimpulan yang sama. Ruang lingkup fisika statistik meliputi dua bagian besar, yaitu teori kinetik dan mekanika statistik. Berdasarkan pada teori peluang dan hukum mekanika, teori kinetik mampu menggambarkan sistem dalam keadaan tak seimbang, seperti: proses efusi, viskositas, konduktivitas termal, dan difusi. Disini, molekul suatu gas ideal tidak dianggap bebas sempurna tetapi ada antar aksi ketika bertumbukan dengan molekul lain atau dengan dinding. Bentuk antar aksi yang terbatas ini diacukan sebagai antar aksi lemah atau kuasi bebas. Ruang lingkup ini tidak membahas partikel berantaraksi kuat Tidak seperti pada teori kinetik, mekanika statistik tidak membahas perincian mekanis gerak molekular, tetapi berurusan dengan segi energi molekul. Mekanika statistik sangat mengandalkan teori peluang untuk menentukan keadaan seimbang sistem. Berbicara termodinamika dan fisika statistik ini akan di jembatani oleh Termodinamika Statistik dimana metode termodinamika statistik dikembangkan pertama kali beberapa tahun terakhir oleh Boltzmann di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat. Dengan ditemukannya teori kuantum, Bose, Einstein, Fermi, dan Dirac memperkenalkan beberapa modifikasi ide asli Boltzmann dan telah berhasil dalam menjelaskan beberapa aspek yang tidak dipenuhi oleh statistik Boltzmann. Pendekatan statistik memiliki hubungan dekat dengan termodinamika dan teori kinetik. Untuk sistem partikel di mana energi partikel bisa ditentukan, kita bisa menurunkan dengan statistik mengenai persamaan keadaan dari suatu bahan dan persamaan energi bahan tersebut. Termodinamika statistik memberikan sebuah penafsiran tambahan tentang konsep dari entropi.

Dasar pokok bahasan fisika statistik khususnya kajian mekanika statistik yaitu merupakan kajian tentang jenis partikel tertentu dapat dibedakan antara satu dengan yang lain. Dalam statistika kuantum secara garis besar digunakan untuk menentukan probabilitas partikel dari sebuah group yang memiliki energi partikel yang similar/ sama. Suatu sistem kuantum memiliki diskritisasi energi. Dengan kata lain dapat dibedakan antara tingkat energinya dan keadaan energinya. Tingkat energi (energy level) dalam kajian ilmu fisika bisa disebut dengan keadaan energi, tetapi tingkat energi bersifat umum sedangkan keadaan energi lebih bersifat khusus pemahamannya. Tingkat energi merupakan sebuah nilai yang dihasilkan dari

hubungan antara energi sebuah partikel dan panjang gelombangnya. Dengan mengetahui tingkat energi suatu atom, maka akan diketahui karakteristik dari atom tersebut. Adapun cara teori statistik yang di gunakan yaitu untuk menentukan probabiltas partikel dilakukan :

a.       Melihat semua keadaan-keadaan yang mungkin,b.      Menentukan besarnya probilitas atau peluan keadaan yang mungkin,c.       Partikel dibedakan,d.      Penyisihan prisip Paulli semisal untuk integer fermion spin ½.

Kajian atau pembahasan ruang fasa sangat di perlukan hal ini di karenakan definisi dari ruang fasa ini merupakan suatu ruang dimana semua kemungkinan keadaan dari semua sistem direpresentasikan, dengan tiap kemungkinana keadaan dari sistem dihubungkan pada satu titik tertentu dalam ruang fase. Ruang fase terdiri dari semua kemungkinan nilai posisi dan momentum. Saat sebuah partikel bergerak dalam ruang tiga dimensi (x, y, z) dan memiliki momentum pada ketiga arah tersebut (px,py, pz), keadaan partikel tersebut setiap saat secara lengkap dispesifikasikan dengan enam koordinat yaitu (x, y, z, px, py, pz). Ruang di mana partikel dispesifikasikan dengan enam koordinat tersebut disebut sebagai ruang enam dimensi atau ruang Г (gamma). Dalam bahasan energi keadaan (state energy)  dan energi tingkat (level energy) merupakan kajian dari energi dimana dalam bahasan ruang fasa ini salah satunya penerapannya dalam kajian energi secara rumusan yakni :Energi setiap partikel dalam bentuk energi kinetik terkait dengan momentumnya adalah melalui hubungan

ε =

sehingga dapat dituliskan bahwadε =

Rumuskan dГ dalam bentuk dεDengan menggunakan ε =  dε = .dan dГ = 4πV  dapat diperoleh

dГ = 4πVdГ = 4πV ε) (

dГ = 2πV (2m)3/2 ε1/2 dεRumusan di atas merupakan rumusan energi yang berhubungan dengan integral volume

ruang fasa untuk energi. Selain rumusan energi ruang fasa juga di rumuskan  momentum, kecepatan,frekuensi dan panjang gelombang. Jadi perumusan ruang fasa merupakan alat matematis untuk membantu membahasakan fisika statistik khususnya berkenaan dengan kajian tingkat energi (energy level) dan keadaan energi (energy state).

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2. Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi partikel dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua partikel dianggap tak terbedakan. Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebutruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi ke dalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah distribusi molekul menurut sel. Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap status makro disebut status mikro dari sistem.

Kemudianjumlah status mikro terhadap status makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamik.Dalam metoda statistik ini dilakukan penentuan probabilitas termodinamik danselanjutnya ditentukan pula hubungan dari probabilitas termodinamik dengan masalah tenaga-dalam untuk selanjutnya memperoleh jumlah molekul dalam sel. Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann berguna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.

a.    Statistik KuantumStatistika kuantum adalah paradigma statistik bagi partikel atau sistem partikel yang

perilaku penyusunnya harus digambarkan oleh mekanika kuantum, alih-alih mekanika klasik karena ukuran mikroskopiknya. Sebagaimana di dalam statistika klasik (statistika Maxwell-Boltzmann), pusat permasalahannya adalah mencari fungsi distribusi yang tepat untuk berbagai temperatur (melukiskan energi kinetik rerata sistem gas). Meskipun demikian, mengingat fungsi distribusi di dalam mekanika statistik klasik menggambarkan jumlah partikel di dalam unsur ruang fase pada jangkau posisi dan momentum tertentu, di dalam statistika kuantum fungsi distribusi memberikan jumlah partikel di dalam grup tingkat-tingkat energi. Cacahan partikel yang menghuni setiap tingkat energi individual dapat satu atau dapat berlebih, tergantung pada derajat kemerosotan energi serta sifat simetri fungsi gelombang terkait dengan pertukaran partikel. Untuk fungsi gelombang antisimetrik, hanya ada sebuah partikel yang dapat menghuni sebuah keadaan, sedangkan untuk fungsi gelombang simetrik, sejumlah partikel dapat menghuni sebuah keadaan (pada saat yang sama). Berdasarkan batasan ini, terdapat dua distribusi kuantum terpisah, yaitu distribusi Fermi-Dirac untuk sistem yang digambarkan oleh fungsi gelombang antisimetrik dan distribusi Bose-Einstein untuk sistem yang digambarkan oleh fungsi gelombang simetrik.Statistika Bose-Einstein menentukan distribusi statistik bagi boson pada berbagai tingkat energi di dalam kesetimbangn termal. Tidak seperti fermion, boson adalah zarah berspin bulat sehingga tidak mematuhi asas larangan Pauli;sejumlah besar zarah boson dapat menempati keadaanyang sama pada saat yang sama pula. Hal itu dapat menjelaskan mengapa pada temperatur rendah boson dapat berperilaku sangat berbeda dengan fermion; semua zarah akan menggumpal bersama-sama pada keadaan energi yang paling rendah. Proses yang demikian itu disebut sebagai “kondensasi Bose- Einstein”, misalnya fenomena superfluida di dalam helium cair. Di samping itu sejumlah zarah tergandeng secara efektif juga dapat bertindak sebagai boson, misalnya, di dalam teori superkonduktor BCS, sejumlah pasangan elektron tergandeng bertindak seperti boson dan berkumpul atau menggumpal ke sebuah keadaan yang mengakibatkan resistansi elektrik nol. Statistika Bose-Einstein diperkenalkan oleh Bose (untuk foton) pada tahun 1920 dan diperluas oleh Einstein untuk atom pada tahun 1924.

a.       Statistik Fermi-DiracStatistika Fermi-Dirac menentukan distribusi statistik bagi fermion pada berbagai tingkat

energi untuk sebuah sistem di dalam kesetimbangan termal. Dengan kata lain, statistika ini merupakan probabilitas bagi suatu tingkat energi untuk dihuni fermion. Fermion adalah zarah tak terbedakan berspin tengahan dan karena itu mematuhi asas larangan Pauli,yaitu pada saat yang sama tidak boleh ada lebih dari satu zarah yang dapat menempati keadaan kuantum yang sama. Kumpulan fermion yang tak saling berinteraksi disebut sebagai gas Fermi ideal. Statistika Fermi-Dirac diperkenalkan oleh Enrico Fermi dan Paul Dirac pada tahun 1926. Pada tahun itu pula, Ralph Fowler memanfaatkannya untuk menggambarkan keruntuhan bintang menjadi katai putih, dan pada tahun 1927, Arnold Sommerfeld menerapkannya untuk elektron di dalam logam.

http://rizqidiaz.blogspot.com/2012/01/sekilas-tentang-fisika-statistik.html