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Elementi di Geometria delle Masse

BARICENTRO

Si consideri un sistema costituito da N punti materiali P1, P2 ... PN dotati di massa m1, m2 ... mN , soggetti alla forza peso FP1, FP2, ... FPN . Ciascun punto è soggetto ad una forza diretta verso il basso e con proporzionale alla propria massa.La risultante delle forze peso è data da:

jgmF iPi

jgmjgmFR iiPiP

Il baricentro del sistema di masse è il punto in cui si considera applicata la risultante delle forze di massa.La posizione del baricentro si trova dall’espressione del momento: la somma dei momenti delle forze i-esime rispetto ad un polo qualsiasi deve essere uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo

Ciascuna forza peso è applicata al punto materiale cui compete, identificato dal vettore posizione ri.La risultante delle forze di massa è data dalla loro somma

j

O

1r

R ir

P1, m1

G

Pi, mi

Gr

2r

P2, m2

1F

2F

iF

jgmrFrM iiPiiPi

BARICENTRO

Il momento rispetto ad un generico punto O della generica FPi è

Il momento risultante è la somma di tutti i contributi i-esimi

jgmrjgmrRrM iGiGPGP

jgmrjgmrjgmrMM iiiiiiPiP

Il momento risultante MP deve essere anche uguale al momento della risultante R

rispetto ad O. La risultante è applicata nel baricentro G, identificato dal vettore rG .

i

ii

Gm

mrr

dall’uguaglianza dei secondi

membri delle ultime due

espressioni si trova la posizione

del baricentro:

j

O

1r

R ir

P1, m1

G

Pi, mi

Gr

2r

P2, m2

1F

2F

iF

BARICENTRO

Dato un corpo costituito da N punti materiali m1, m2 ... mN , identificati dai vettori r1,

r2 ... rN , il vettore rG che identifica il baricentro del corpo è

M

rm

m...mm

rm...rmrmr ii

N21

NN2211G

dove M è la massa complessiva del corpo.Per un corpo costituito da un insieme continuo di materia avente densità , la posizione del baricentro è data da

M

dVr

r VG

ρ

= densitàdV = elemento infinitesimo di volume (se si lavora nel piano sarà un elemento di area)r = vettore posizione di dV

se è costante (ovvero se il corpo è omogeneo) può essere portata fuori dall’integrale e la posizione del baricentro dipende solo dalla geometria.Se il corpo è rigido, la posizione del baricentro rispetto ad un SDR solidale con il corpo stesso è costante.

BARICENTRO

Ovviamente, alle relazioni vettoriali viste precedentemente sono associate le

corrispettive equazioni scalari, per cui le coordinate del baricentro possono essere

scritte anche come

M

zmz

M

ymy

M

xmx

ii

G

ii

G

ii

G

M

dmz

z

M

dmy

y

M

dmx

x

VG

VG

VG

Nel caso si studi un sistema piano, sono sufficienti le coordinate lungo gli assi x ed y (prime due equazioni di ciascun gruppo)

BARICENTRO – Proprietà

a) Il baricentro o centro di massa di due corpi assimilabili a punti materiali, si trova sul segmento che li congiunge e divide questo in parti inversamente proporzionali alle masse dei punti materiali.

b) Se il corpo si estende su un piano o lungo una retta, il baricentro appartiene al piano o alla retta

c) Se il corpo ammette un piano di simmetria materiale, il baricentro si trova su tale piano.

d) Se il corpo ammette due piani di simmetria materiale e dunque la loro intersezione è asse di simmetria materiale, il baricentro si trova su tale asse. Se inoltre esistono tre piani di simmetria materiale, il loro punto di intersezione è centro di simmetria materiale. Il baricentro coincide con tale punto. Il baricentro di un corpo omogeneo che ha forma di poligono o poliedro regolare, coincide col centro geometrico della figura.

e) Il baricentro gode della proprietà distributiva. Se il corpo viene suddiviso in due o più parti e di ognuna di queste viene determinato il baricentro, ivi ritenendo localizzata la massa di ciascuna parte, il baricentro dell’intero corpo coincide con quello dei punti materiali così ottenuti.

f) Se un corpo omogeneo presenta delle cavità, il baricentro si ottiene attribuendo al corpo densità ρ costante e alle cavità la densità fittizia −ρ. Lo stesso si verifica nel caso bidimensionale, in cui sono presenti fori, e nel caso unidimensionale di figure formate da archi separati.

BARICENTRO – esempi

La determinazione della posizione del baricentro è molto semplice se il corpo è rigido, se presenta geometrie regolari (es assi o piani di simmetrie materiali), se è omogeneo, se è scomponibile in corpi di geometrie più semplici.Nel caso di figure piane/lineari, il baricentro appartiene al piano/linea.Per il calcolo si associa al corpo densità di superficie/lineare.

Baricentro di un rettangoloSi trova nell’intersezione delle due diagonali.

Baricentro di un cerchioSi trova nel suo centro.

Baricentro di un triangoloSi trova nell’intersezione delle mediane(ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2:1, la parte contenente il vertice è doppia rispetto all'altra.)

Baricentro di un arco di circonferenzaIl sistema presenta un asse di simmetria (l’asse Y), per cui il baricentro si troverà su tale asse. Occorre determinarne la posizione yG

0

0

2

G

s

sG

sinRsinR

dR

dcosR

dR

dRcosR

y

cosR) y(dRdm dm

ydm

y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ


YY

O

G

R

2R0Rd

0

d

X

y

Baricentro di un settore circolareIl sistema presenta un asse di simmetria (l’asse Y), per cui il baricentro si troverà su tale asse. Occorre determinarne la posizione yG

Il settore elementare relativo all’angolo infinitesimo d si può assimilare ad un triangolo di altezza R e base Rd, il cui baricentro è localizzato ad un terzo dell’altezza, dalla base

0

0

G

2

3

G

s

sG

sinRsinRy

dR

dcosR

dR

cosRdR

y

cosR) y(dRdm dm

ydm

y

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

3

2

ρ2

1

ρ3

1

2

1ρ

3

2

2

1ρ

3

2

2

1ρ

R

R

R

YY

O

G

R

2R0Rd

0

d

X

R/3

2/3R



Baricentro di geometrie riconducibili a geometrie note

Se il corpo di cui si vuole determinare il baricentro possiede una geometria tale da

poter essere scomposta in un sistema di geometrie di cui è nota la posizione del

baricentro, il baricentro del sistema completo è dato dal baricentro dei baricentri

dei singoli sottosistemi.

y2A2

A1

Y

y1

X

21

2211G

AA

yAyAy

21

2211G

AA

xAxAx

A1

A2

Y

X

y2

G yG


Baricentro di geometrie riconducibili a geometrie note

Se il corpo di cui si vuole determinare il baricentro possiede una geometria tale da

poter essere considerato come il risultato della differenza di geometrie di cui è

nota la posizione del baricentro, il baricentro del sistema si trova come barcentro

dei baricentri dei singoli sottosistemi, considerando negativa la massa dei corpi in

sottrazione.

21

22

21

2211G

AA

yA

AA

yAyAy


Baricentro di un tronco di cono

R1

R2

R(z)

z

22

22

22

222

2222

22222

0

322

22

0

422

322

0

3222

0

42322

0

222

0

3222

0

222

0

222

0

2

0

2

0

0

2

22

πρ

πρ

233πρ

368πρ

2πρ

2πρ

πρ

πρ

2πρ

2πρ

2πρ

2zπρ

πρ

πρz

πρ

πρz

2

πρρ

1122

1122G

1122

1122

22112122

22112122

G

2221121

22

2221121

22

22

22

G

22

22

22

22

G

2

2

2

2

G

2211221

221

2

2

s

sG

RRRR

3RRR2Rh

4

1z

RRRRh3

1

3RRR2Rh12

1

RRRRRRR3Rh3

1

RRR3RRRR8R6h12

1

z

zh

RRRR

3

1z

h

RRRzR

zh

RRRR

4

1z

h

RRR

3

2zR

2

1

z3

1zRzR

z4

1zR

3

2zR

2

1

z

dzzzRR

dzzzRzR

dzzzRR

dzzzRR

z

dzzR

dzzR

dzzR

dzzR

z

h

RRRR A;

h

RR A

zRzh

RRRzR dzzRdvdm

dm

zdm

z

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

AA

AA

AA

AA

AA

AA

A

A

A

O

1r

ir

P1, m1

Pi, mi

2r

P2, m2

k

i

ω ω,

Si consideri un sistema costituito da N punti materiali P1, P2 ... PN dotati di massa m1, m2 ... mN , ogni punto si muove intorno ad O con una certa velocità angolare ed accelerazione angolare. Ogni punto sarà soggetto ad una accelerazione data da:

ii

ii

μω;λω

μωλωωω(ω

iiti2

in

itinii2

iii

ra ra

aarrr)ra

iiiIi,t mrF μω

1112

nI1, mrF λω

111I1,t mrF μω

Ciascun punto materiale sarà dunque soggetto ad una forza di inerzia che ha due componenti, una parallela ed una ortogonale al vettore posizione rispetto al polo O.

112r- λω

11r μω

j

ii2r- λω

iii

2nIi, mrF λω

MOMENTO DI INERZIA

O

1r

ir

P1, m1

Pi, mi

2r

P2, m2

k

i

ω ω,

ii2 mr ω

Il momento complessivo è dato dalla somma dei singoli contributi:

112r- λω

11r μω

Le forze di inerzia che si oppongono alla variazione del regime di rotazione sono quelle tangenziali, che sono quelle che hanno momento rispetto ad O diverso da zero. Il momento della forza di inerzia dell’i-esimo punto materiale è

kmrmrrM i

2

iiiiiiIi

ωμωλ

kmrkmrmr(rMM i

2

ii

2

iiiiiiIiI

ωω)μωλ

iir μω

j

iiiIi,t mrF μω

111I1,t mrF μω

ω

IMI

i

2

i mrI è il momento di inerzia del sistema di masse rispetto all’asse Z (polo O, nel piano), per cui si può scrivere:

00

00

MOMENTO DI INERZIA POLARE

Si consideri un sistema di punti materiali Pi (di massa mi), identificati dai vettori ri

rispetto ad un punto di riferimento O (polo).Si definisce momento di inerzia polare la quantità:

i

2

iii

2

iiO OPmrmI

Se O è anche l’origine del sistema di riferimento Oxyz

ii

2

ii

2

i

2

i

2

iiO

2

i

2

i

2

i

2

iii

2

i

iiiii

dmzyxmI

dzyxrrr

kzjyixOPr

Dove di è la distanza del generico punto i dal polo O

MOMENTO D’INERZIA RISPETTO AD UN PIANO


rispetto ad un punto di riferimento O appartenente ad un piano π.Il momento di inerzia rispetto al piano π è definito come:

i

2

iii

2

iii

2

ii dmOPnmrnmI

π

dove n è il versore normale al piano π, e di è la distanza del punto i-esimo dal piano π.Se si considerano i piani coordinati yz, xz ed xy, i versori normali sono rispettivamente i, j e k ed i relativi momenti di inerzia sono dati da:

i

2

ii

i

2

ii

i

2

ii

zmI

ymI

xmI

xy

xz

yz

momenti di inerzia rispetto ai piani coordinati

MOMENTO D’INERZIA RISPETTO AD UN’ASSE


rispetto ad un punto di riferimento O appartenente ad una retta s.Il momento di inerzia rispetto alla retta s è definito come:

i

2

iii

2

iii

2

ii dmOPumrumI

s

dove u è il versore della retta s e di è la distanza del punto i-esimo dalla retta s.Se si considerano gli assi coordinati x, y e z, i versori sono rispettivamente i, j e k ed i relativi momenti di inerzia sono dati da:

2

i

2

ii

iz

i

2

i

2

iiy

i

2

i

2

iix

yxmI

zxmI

zymI

momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati

RELAZIONI TRA MOMENTI D’INERZIA

yzxzz

yzxyy

xzxyx

III

III

III

i

2

i

2

i

2

iiO zyxmI

2

i

2

ii

iz

i

2

i

2

iiy

i

2

i

2

iix

yxmI

zxmI

zymI

i

2

ii

i

2

ii

i

2

ii

zmI

ymI

xmI

xy

xz

yz

xyxzi

2

iii

2

iii

2

ii

2

iii

2

i

2

iix IIzmymzmymzymI

xyxzyz

2

ii

2

ii

2

ii

2

ii

2

ii

2

ii

2

i

2

i

2

iiO

IIIzmymxm

zmymxmzyxmI

i i i

ii

xyxzyzO IIII

Esplicitando i calcoli si ottengono le seguenti relazioni tra i momenti di inerzia:

polare rispetto ad una retta rispetto ad un piano

yzxzz

yzxyy

xzxyx

III

III

III

xyxzyzO IIII


Si osserva che i momenti d’inerzia (o momenti di secondo grado) rispetto agli assi e rispetto ai pianicoordinati dipendono della terna di riferimento

mala loro somma dipende soltanto dalla posizione

dell’origine e quindi non varia al variare dell’orientazione degli assi, se l’origine del sistema di riferimento O rimane fissata

MOMENTI DI INERZIA: ESTENSIONE AI CORPI RIGIDI

polare

rispetto ad una retta

rispetto ad un piano

V

2

i

2

i

2

i

m

2

i

2

i

2

iO dVzyxdmzyxI ρ

Vm

Vm

Vm

dVdm

dVdm

dVdm

2222z

2222y

2222x

yxyxI

zxzxI

zyzyI

V

2

m

2

V

2

m

2

V

2

m

2

zzI

yyI

xxI

dVdm

dVdm

dVdm

xy

xz

yz

Per un corpo costituito da un insieme continuo di materia avente densità , i momenti di inerzia assumono la forma:


Si consideri adesso il baricentro G di un sistema di masse puntiformi, il piano πG

parallelo a π passante per G e la retta sG passante per G e parallela alla retta s. Osservando che:

0rrmmrrmrmrm)rr(mm

infatti

mdI

mr2mrm

rm2mrm

r2rmrmrmI

Gi

iii

iGi

iiGi

ii

iiGi

iii

i

2/

i iiG

i

2

i

2

Gi

i iGi

i

2

i

2

Gi

iG

22

Gii

2

Gii

2

iiO

Mi

OGG

ii

ii

iii

si può scrivere:ii

Giii

G

ii

rr

P baricentro al rispetto P di posizione Vettore r -r

O origineall' rispetto P baricentro del posizione Vettore r

O origineall' rispetto P di posizione Vettore r

anche scrivere può si oriferiment di sistema del O originel' moconsideria se

G

G

G


2G/

i iiG

i

2

Gi

2

i

i iGi

i

2

Gi

2

i

iG

2

G

2

ii

2

Gii

2

ii

mdI

mnrn2rnmnm

rnnm2rnmnm

rnn2rnnmrnmrnmI

G

ii

ii

iii

2G/ss

i iiG

i

2

Gi

2

i

i iGi

i

2

Gi

2

i

2

iGi

i

2

Gii

2

iis

mdI

muru2rumum

ruum2rumum

ruumrumrumI

G

ii

ii

ii

TEOREMA DI HUYGENS

Il momento di inerzia polare (o rispetto ad un piano o rispetto ad una retta) di un sistema di masse è pari al momento di inerzia baricentrico (polare rispetto al baricentro, rispetto ad un piano baricentrico e parallelo a quello dato, rispetto ad una retta baricentrica parallela a quella data) sommato al momento di inerzia del baricentro.

Il momento d’inerzia polare IP rispetto ad un generico punto P è pari al momento di inerzia calcolato rispetto al baricentro più il prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza ddel baricentro G dal polo P.

2mdII GP

2mdIIG

2mdIIG

ss

Il momento d’inerzia Iπ rispetto ad un generico piano π è pari al momento di inerzia calcolato rispetto al piano baricentrico πG

parallelo a π più il prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d del baricentro G dal piano π.

Il momento d’inerzia Iπ rispetto ad una generica retta s è pari al momento di inerzia calcolato rispetto alla retta baricentrica sG

parallela ad s più il prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d del baricentro G dalla retta s.

MOMENTI DI INERZIA: esempi

Sbarretta omogenea

G

dx

X

Y

2Y

332

L

2L-

32L

2L-

2Y

M

2Y

ML12

1I

L12

1

8

L2

3

1

3

xdxxI

dxdm dmxI

ρρρρ

ρ

Il momento d’inerzia di una sbarretta omogenea calcolato rispetto ad un asse ortogonale all’asse della sbarretta stessa e passante per il suo baricentro si può calcolare come:

L

x


Rettangolo omogeneo

G

dx

X

Y

2Y

332

a

2a-

32a

2a-

2Y

M

2Y

Ma12

1I

ab12

1

8

a2b

3

1

3

xbdxbxI

dxbdm dmxI

ρρρρ

ρ

Il momento d’inerzia di un rettangolo omogeneo calcolato rispetto ad un asse di simmetria (es: y) può essere calcolato come:

a

x

b

Analogamente, se si considera il momento di inerzia rispetto all’altro asse di simmetria (x) si ottiene:

2X Mb

12

1I


y

r

R

dr dr

X

Y

24

z

2

0

4R

0

2

0

2z

m

2z

MR2

1

2

RI

d4

RdrdrrI

drdrdm dmrI

πρ

ρρ

ρ

ππ

24

X

42

0

4

X

R

0

2

0

3R

0

2

0

2

X

m

2X

MR1

R

I

Rd

RI

drdrdrdrrI

r ydrdrdm dmyI

44ρ

)cos()sin(2

1

24ρ)(sin

4ρ

)(sinρρ)sin(

)sin(ρ

2

0

π2

π2

π

disco omogeneo (spessore unitario)

Momento di inerzia rispetto all’asse del disco (z):

Momento di inerzia rispetto ad un asse diametrale (es: x). Per motivi di simmetria materiale, tutti i momenti d’inerzia calcolati rispetto ad un qualsiasi asse diametrale sono uguali.

d


cilindro omogeneo

Momento di inerzia rispetto all’asse del cilindro (Z):

h Y

R

X

Z

2z

4

z

2

0

42h

2h-

R

0

2

0

2z

m

2z

MR2

1I

2

RhI

d4

RhdzdrdrrI

dz drdrdm dmrI

πρ

ρρ

ρ

ππ


cilindro omogeneo

h Y

R

X

Z

Momento di inerzia rispetto ad un asse trasversale baricentrico (es: X):Si consideri un elemento infinitesimo di massa costituito da un disco di spessore infinitesimo dz, il cui baricentro si trovi alla quota z. Il momento di inerzia del disco rispetto ad un suo diametro è pari a

222diam RdzR

4

1MR

4

1dI ρπ

Il momento di inerzia dello stesso elemento, rispetto all’asse X è pari al momento diametrale sommato al momento di trasporto Md2 (M = massa dell’elemento, d = distanza del baricentro dall’asse X, in questo caso pari alla quota z)

22X

3242

h

2

h

324

X

2

h

2

h

224224X

222222X

h12

1R

4

1MI hR

12

1hR

4

1

3

zRzR

4

1I

dzzRR4

1dzzRdzR

4

1dI

zdzRRdzR4

1MdMR

4

1dI

ρπρπρπρπ

ρπρπρπρπ

ρπρπ


Tronco di cono

Momento di inerzia rispetto all’asse di simmetria del solido (Z):

Momento di inerzia rispetto ad un asse trasversale baricentrico (es: X):

R1

R2

R(z)

z

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