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Elementi di Logica Matematica

Docente: Francesca Benanti

4 ottobre 2016

Corso di Algebra 1, a.a. 2016/17

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1. Logica Formale

La logica e la disciplina filosofica che studia le forme del ra-gionamento corretto. Da Aristotele al secolo scorso la logicae stata impiegata in campo filosofico nelle argomentazioni ditipo essenzialmente metafisico. A partire dalla seconda meta del XIX secolo la logica e andata progressivamente libe-randosi dei legami con psicologia e metafisica per avvicinarsisempre pi u alla matematica.



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1. Logica Formale


Il tentativo di ricondurre la logica a calcolo e stato un obiet-tivo di uno dei piu grandi logici e filosofi del XVII seco-lo, Leibniz (1646-1716), che cerco una formalizzazione deiragionamenti in modo da operare con essi come si fa inalgebra.



http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Leibniz.html

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1. Logica Formale


Il tentativo di ricondurre la logica a calcolo e stato un obiet-tivo di uno dei piu grandi logici e filosofi del XVII seco-lo, Leibniz (1646-1716), che cerco una formalizzazione deiragionamenti in modo da operare con essi come si fa inalgebra.

Leibniz affermo: ...le verita vengono de-dotte dalla mente umana in virtu di unmetodo di calcolo come nell’aritmetica enell’algebra e che quindi, quando sorge-ranno controversie fra due filosofi, nonsara piu necessaria una discussione,come non lo e tra due persone

che effettuano calcoli. Sara sufficiente, infatti, che essi pren-

dano in mano le penne, si siedano di fronte agli abachi e sidicano l’un l’altro: calculemus!...



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La logica matematica nasce con Boole(1815-1864) e con la sua idea di appli-care alla vecchia logica aristotelica le re-gole e i procedimenti dell’algebra. Boo-le riprendeva su basi nuove le intuizio-ni svolte da Leibniz in questa direzionemolto tempo prima.

In seguito Frege (1848-1925) svilupp o genialmente il pro-getto di Boole e Peano (1858-1932) gli confer ı quel rigoree quella chiarezza simbolica che ispir o i logici formali delsecolo scorso:

ogni ragionamento poteva venir ridotto ad unpuro calcolo formale



http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Boole.html

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Frege.html

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Peano.html

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La logica, dunque, ha come oggetto di studio la correttezzadei ragionamenti. Un ragionamento e logicamente correttoquando e formato da una catena di affermazioni ricavate leune dalle altre attraverso passaggi corretti.



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Ma come si puo valutare se e corretto un passaggio da un’af-fermazione ad un’altra? E, quindi, come possiamo valutarese un ragionamento e o meno corretto?



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La logica si interessa del problema di stabilire un rigoro-so modo di procedere nel passare da un’affermazione veraad un’altra vera, nel ricavare da alcune premesse delle con-seguenze. Analizza i passaggi che permettono di dedurreun’affermazione a partire da alcune ipotesi.



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La logica si interessa del problema di stabilire un rigoro-so modo di procedere nel passare da un’affermazione veraad un’altra vera, nel ricavare da alcune premesse delle con-seguenze. Analizza i passaggi che permettono di dedurreun’affermazione a partire da alcune ipotesi.

L’interesse della logica non e percio rivolto al contenuto diun ragionamento, quanto alla forma con cui il ragionamentosi sviluppa. Si parla, pertanto, di

LOGICA FORMALE

Le regole della logica sono regole sintattiche, ossia regole cheriguardano lo schema di un ragionamento o lo schema diformazione di una frase, indipendentemente dal significatoche essi esprimono.



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2. Proposizioni

I primi oggetti di cui si occupa la logica sono gli enunciati oproposizioni.



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2. Proposizioni


Definizione:Una proposizione o enunciato e una frase acui e possibile attribuire un valore di verita, ossia per laquale si puo dire con certezza e senza ambiguita se esprimeun’affermazione vera o falsa.



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2. Proposizioni



Esempi:



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2. Proposizioni



Esempi:

• A ≡ 3 e un numero primo; SI

• B ≡ Il gatto studia matematica; SI

• C ≡ La mosca e un insetto; SI

• D ≡ Attento a quel che fai! NO

• E ≡ Che ora e? NO

• F ≡ Carlo arrivo la casa. NO



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2. Proposizioni



Esempi:

• A ≡ 3 e un numero primo; SI

• B ≡ Il gatto studia matematica; SI

• C ≡ La mosca e un insetto; SI

• D ≡ Attento a quel che fai! NO

• E ≡ Che ora e? NO

• F ≡ Carlo arrivo la casa. NO

Osservazione: Non sono proposizioni le domande, le escla-mazioni, le frasi non corrette sintatticamente.



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3. Principi Logici

I possibili valori di verita di una proposizione sono due:

V= Vero

F= Falso



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3. Principi Logici


V= Vero

F= Falso

Si parla pertanto di

LOGICA BINARIA



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3. Principi Logici


V= Vero

F= Falso


LOGICA BINARIA

I principi logici che regolano la verita delle proposizioni sono:

Principio di non contraddizione: Non e possibileche una proposizione sia vera e sia falsa.



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3. Principi Logici


V= Vero

F= Falso


LOGICA BINARIA

I principi logici che regolano la verita delle proposizioni sono:

Principio di non contraddizione: Non e possibileche una proposizione sia vera e sia falsa.

Principio del terzo escluso: Una proposizione o evera o e falsa, non esiste una terza possibilita.



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4. Proposizioni Composte

Le proposizioni semplici o atomiche sono quelle formate daun soggetto, un predicato e un oggetto. Nei ragionamenti,pero, spesso utilizziamo proposizioni piu complesse, ottenutea partire da altre piu semplici: Proposizioni Composte.



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Problema:

1. Come costruire una proposi-zione composta?

2. Come stabilire la verita di unaproposizione composta?



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Problema:

1. Come costruire una proposi-zione composta?

2. Come stabilire la verita di unaproposizione composta?

Risposta:1. CONNETTIVI LOGICI

2. TAVOLE DI VERITA



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5. Connettivi Logici

I tre connettivi logici principali:



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1. Congiunzione: AND (∧);

2. Disgiunzione: OR (∨);

3. Negazione: NOT (¬).



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Esempi:

• A ≡ 3 e un numero primo,B ≡ 2 e un numero primo,A∧B ≡ 3 e un numero primo e 2 e un numero primo.

• A ≡ 8 e multiplo di 2,B ≡ 7 e multiplo di 2,A ∨B ≡ 8 e multiplo di 2 o 7 e multiplo di 2.

• A ≡ 3 e un numero primo,¬A ≡ 3 non e un numero primo.



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6. Tavole di Verita

Le tabelle della verit a sono tabelle matematiche usate nellalogica per determinare se, attribuiti i valori di verit a alle pro-posizioni che la compongono, una determinata proposizionee vera o falsa.



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6. Tavole di Verita

Le tabelle della verit a sono tabelle matematiche usate nellalogica per determinare se, attribuiti i valori di verit a alle pro-posizioni che la compongono, una determinata proposizionee vera o falsa.

1. Congiunzione AND (∧):

A ∧B e vera se e solo seA e B sono entrambe vere.

A B A ∧BV V VV F FF V FF F F

2. Disgiunzione OR (∨):

A ∨B e vera se e solo seA e vera oppure B e vera.

A B A ∨BV V VV F VF V VF F F

3. Negazione NOT (¬):

¬A e vera se e solo seA e falsa.

A ¬AV FF V



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7. Tautologie, contraddizioni...

Definizione: Si definisce tautologia una proposizione che esempre vera qualunque siano i valori di verita delle proposi-zioni che la compongono. (T )



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Esempio:

A ∨ ¬A e una tautologia.A ¬A A ∨ ¬AV F VF V V



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Esempio:


Definizione: Si definisce contraddizione una proposizioneche e sempre falsa qualunque siano i valori di verita delleproposizioni che la compongono. (C)



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Esempio:



Esempio:

A ∧ ¬A e una contraddizione.

A ¬A A ∧ ¬AV F FF V F



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Esempio:



Esempio:

A ∧ ¬A e una contraddizione.

A ¬A A ∧ ¬AV F FF V F

Definizione: Due proposizioni si dicono logicamente equi-valenti se hanno la stessa tavola di verita. (=)



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8. Proprieta dei Connettivi Logici

1. Idempotenza:A ∨ A = A, A ∧ A = A;



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2. Associativa:(A ∨B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C),(A ∧B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C);



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3. Commutativa:A ∨B = B ∨ A, A ∧B = B ∧ A;



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4. Distributiva:A ∨ (B ∧ C) = (A ∨B) ∧ (A ∨ C),A ∧ (B ∨ C) = (A ∧B) ∨ (A ∧ C);



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5. Legge dei neutri:A ∨ C = A, A ∨ T = T ,A ∧ C = C, A ∧ T = A;



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6. Complemento:A ∨ ¬A = T , A ∧ ¬A = C,¬(¬A) = A, ¬(C) = T , ¬(T ) = C;



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6. Complemento:A ∨ ¬A = T , A ∧ ¬A = C,¬(¬A) = A, ¬(C) = T , ¬(T ) = C;

7. Leggi di De Morgan:¬(A ∨B) = ¬A ∧ ¬B,¬(A ∧B) = ¬A ∨ ¬B.



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9. Leggi di De Morgan

Leggi di De Morgan:

¬(A ∨B) = ¬A ∧ ¬B

Tavola di verita di ¬(A ∨B):

A B A ∨B ¬(A ∨B)V V V FV F V FF V V FF F F V

Tavola di verita di ¬A∧¬B:

A B ¬A ¬B ¬A ∧ ¬BV V F F FV F F V FF V V F FF F V V V



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Esercizi:

1. P ≡ 30 e multiplo di 7,Q ≡ 30 e multiplo di 6.

Costruite le seguenti proposizioni e stabilite quali sonovere e quali false:

• P ∧Q;

• ¬Q;

• ¬P ∧Q;

• P ∨ (¬Q).

2. Dimostrate le proprieta dei Connettivi Logici;

3. Negare le seguenti affermazioni:

a) Luca ama il mare ma non la barca;

b) Angela e Maria hanno gli occhi verdi.

ESERCIZI



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10. Implicazione logica

Implicazione Logica (A⇒ B):

A⇒ B e falsa se e solo seA e vera e B e falsa,in tutti gli altri casi e vera.

A B A⇒ BV V VV F FF V VF F V

A e detta antecedente o premessa,

B e detta conseguente o conseguenza.



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Osservazione: Se la premessa e falsa l’implicazione e sem-pre vera!



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Osservazione: Se la premessa e falsa l’implicazione e sem-pre vera!

Osservazione: A⇒ B = ¬A ∨B


A B ¬A ¬A ∨BV V F VV F F FF V V VF F V V



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Osservazione: A⇒ B puo essere espressa:

• Condizione sufficiente per B e A;

• Condizione necessaria per A e B.



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11. Contronominale e Inversa

Da una proposizione del tipo A ⇒ B ne possiamo ricavarealtre due

• la sua Contronominale: ¬B ⇒ ¬A;

• la sua Inversa: B ⇒ A.



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Osservazione: A⇒ B = ¬B ⇒ ¬A


A B ¬A ¬B ¬B ⇒ ¬AV V F F VV F F V FF V V F VF F V V V



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Osservazione: A⇒ B = ¬B ⇒ ¬A


A B ¬A ¬B ¬B ⇒ ¬AV V F F VV F F V FF V V F VF F V V V

Esempi:

a) Se manca la corrente si ferma l’ascensore,Se non si ferma l’ascensore non manca la corrente;

b) Se un numero e negativo allora e minore di 1,Se un numero non e minore di 1 allora non e negativo;

c) Se hai un fratello allora non sei figlio unico,Se sei figlio unico allora non hai un fratello.



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Osservazione: Se A⇒ B non e detto che B ⇒ A.



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Osservazione: Se A⇒ B non e detto che B ⇒ A.

Esempio:A B A⇒ B B ⇒ AF V V F



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12. Doppia Implicazione

Doppia Implicazione (A⇔ B):

A⇔ B e vera se e solo seA e B son entrambe vere o false.

A B A⇔ BV V VV F FF V FF F V



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12. Doppia Implicazione

Doppia Implicazione (A⇔ B):

A⇔ B e vera se e solo seA e B son entrambe vere o false.

A B A⇔ BV V VV F FF V FF F V

Osservazione: La doppia implicazione e equivalente a:

• La premessa (A) e condizione necessaria e sufficienteper la conseguenza (B);

• La conseguenza (B) e condizione necessaria e sufficien-te per la premessa (A).



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Esercizi:

• Costruisci l’inversa e la contronominale delle seguentiproposizioni:

∗ Se un animale cammina allora e vivo;

∗ Se salti in alto piu di 1 metro e 90 cm sei ammessoalle Olimpiadi;

∗ Condizione necessaria affinche due poligoni siano si-mili e che abbiano gli angoli di uguale ampiezza;

∗ Condizione sufficiente affinche due poligoni siano si-mili e che abbiano gli angoli di uguale ampiezza;

∗ Condizione necessaria affinche due figure si corri-spondano in una affinita e che segmenti parallelicorrispondano a segmenti paralleli;

∗ Se hai nazionalita italiana, sei maggiorenne e non seiinterdetto al voto, voterai domenica.

• Riscrivi le seguenti proposizioni utilizzando i terminicondizione necessaria, condizione sufficiente, condizio-ne necessaria e sufficiente:

∗ Se un triangolo ha un asse di simmetria allora eisoscele e se e isoscele ha un asse di simmetria;

∗ Se un numero e intero allora e razionale;

∗ Sei iscritto alle liste di leva se e solo se sei maschio ehai diciotto anni.



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13. Teorema

Un teorema non e altro che una proposizione data sottoforma di implicazione logica:

TEOREMA: A⇒ B

A = Ipotesi;

B = Tesi.



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14. Dimostrazione

Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

1. A⇒ B;

2. ¬B ⇒ ¬A;

3. ¬A ∨B;

4. ¬(A ∧ ¬B).



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14. Dimostrazione

Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

1. A⇒ B;

2. ¬B ⇒ ¬A;

3. ¬A ∨B;

4. ¬(A ∧ ¬B).

L’equivalenza semantica delle formule 1, 2 e 4 e collegata a trediverse possibilita per dimostrare un teorema. Precisamente:

1. Dimostrazione diretta:A⇒ B;

2. Dimostrazione indiretta o per contrapposizione:¬B ⇒ ¬A;

3. Dimostrazione per assurdo:¬(A ∧ ¬B).



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Esempio:



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Esempio:

TEOREMA: Se a e b sono due interi dispari, allora a · be un intero dispari.



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Esempio:


Dimostrazione:

1. (Diretta) a = 2q + 1 e b = 2k + 1, q, k ∈ Z. Alloraab = (2q + 1)(2k + 1) = 4qk + 2q + 2k + 1 = 2(2qk +q + k) + 1 = 2r + 1, r ∈ Z. Dunque ab e dispari.



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Esempio:


Dimostrazione:


2. (Indiretta) Sia ab pari. Allora 2|ab. Dunque, per laproprieta: se un primo divide un prodotto divide unodei due fattori, 2|a oppure 2|b. Possiamo concludereche a e b non sono entrambi dispari.



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Esempio:


Dimostrazione:


2. (Indiretta) Sia ab pari. Allora 2|ab. Dunque, per laproprieta: se un primo divide un prodotto divide unodei due fattori, 2|a oppure 2|b. Possiamo concludereche a e b non sono entrambi dispari.

3. (Per assurdo) Ragioniamo per assurdo e supponiamoche ab non sia dispari mentre a e b sono entrambi di-spari. Allora si ha: ab = 2s, a = 2q + 1 e b = 2k + 1con s, q, k ∈ Z. Dunque 2s = ab = (2q + 1)(2k + 1) =4qk + 2q + 2k + 1 = 2(2qk + q + k) + 1 = 2r + 1, conr ∈ Z. Pertanto 2|1. ASSURDO!



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15. Logica predicativa

Definizione: Un predicato o formula aperta e una frase checontiene almeno una variabile.



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Esempio: A(x) ≡ il numero naturale x e il doppio di 7.



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Osservazione: Ad un predicato non e possibile assegnareun valore di verita.



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Un predicato puo essere trasformato in una proposizione indue modi:

∗ sostituendo un valore alla variabile;

∗ quantificando una variabile, ossia facendo una asserzionesu quanti elementi, sostituiti alla variabile trasformanola formula in proposizione vera.



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Un predicato puo essere trasformato in una proposizione indue modi:

∗ sostituendo un valore alla variabile;

∗ quantificando una variabile, ossia facendo una asserzionesu quanti elementi, sostituiti alla variabile trasformanola formula in proposizione vera.

Esempi:

� A(10) ≡il numero naturale 10 e il doppio di 7;

� Esiste un numero naturale x che e il doppio di 7;

� Tutti i numeri naturali x sono il doppio di 7.



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16. Quantificatori

I quantificatori della Logica Matematica sono due:



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16. Quantificatori


QuantificatoreUniversale:

Per ogni x vale la proprieta A(x):∀x, A(x).



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16. Quantificatori




QuantificatoreEsistenziale:

Esiste un x per il quale vale laproprieta A(x): ∃x, A(x).



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16. Quantificatori




QuantificatoreEsistenziale:

Esiste un x per il quale vale laproprieta A(x): ∃x, A(x).

Esempi:

� ∃x ∈ N tale che x = 2 · 7;

� ∀x ∈ N, x = 2 · 7.



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Osservazione: E possibile passare da un quantificatore adun altro utilizzando la negazione:

- Per ogni elemento x vale la proprieta P,- Non esiste un elemento x per cui non vale la proprieta P;

♦ Esiste un elemento x per cui non vale la proprieta P,♦ Non per ogni elemento x vale la proprieta P.

ESEMPI:

• Ogni gatto nero porta sfortuna,Non esiste un gatto nero che non porta sfortuna;

• Tutti sono usciti,Non esiste qualcuno che non e uscito;

• Non tutti sono entrati,Esiste qualcuno che non e entrato;

• Per ogni intero n se p|n e q|n allora pq|n,Non esiste un intero n tale che p|n, q|n e pq - n.



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Osservazione: Un quantificatore e la negazione dell’altro:

- Non per ogni elemento x vale la proprieta P,- Esiste un elemento x per cui non vale la proprieta P;

♦ Non esiste un elemento x per cui vale la proprieta P,♦ Per ogni elemento x non vale la proprieta P.

ESEMPI:

• La negazione dell’enunciato:

Per tutti i numeri naturali n, n + 2 > 8

e equivalente all’asserzione

Esiste un numero naturale n tale che n + 2 ≤ 8.

• La negazione dell’enunciato:

Esiste un pianeta abitabile

e equivalente all’asserzione

Tutti i pianeti sono inabitabili.



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Osservazione: Siano A(x) e B(x) due predicati. ScriviamoA(x)⇒ B(x) se ogniqualvolta A(x) e vera allora e vera ancheB(x).



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Esempio:A(x) ≡x e un intero relativo diverso da zero;B(x) ≡x2 e un intero positivo;

Allora A(x)⇒ B(x).



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Scriviamo A(x) 6⇒ B(x) se esiste un x per il quale A(x) evera ma B(x) e falsa.



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Scriviamo A(x) 6⇒ B(x) se esiste un x per il quale A(x) evera ma B(x) e falsa.

Esempio:A(x) ≡x e un intero positivo minore di 4;B(x) ≡x2 e un intero minore di 8;

Per x = 1: A(x) vera, B(x) vera;

Per x = 2: A(x) vera, B(x) vera;

Per x = 3: A(x) vera, B(x) falsa;

Conclusione A(x) 6⇒ B(x).



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Esercizi:

• Quali quantificatori sono sottointesi in queste frasi?

? L’uomo e mortale;

? Il cane e un animale fedele;

? C’e chi sa chi e l’assassino;

? Nel triangolo un lato e sempre minore della sommadegli altri due.

• Esprimi formalmente queste due frasi:

? A qualsiasi ora c’e un medico di guardia all’ospedale;

? C’e un medico che a qualsiasi ora e di guardia all’o-spedale.

• Quantifica le seguenti formule aperte con un quantifi-catore che ritieni opportuno:

? x e il quadrato di 4;

? x e un giorno di quest’anno;

? x e il Presidente del Consiglio;

? x e la radice quadrata di 9.



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• Quali delle seguenti proposizioni sono vere?

? per ogni x vivente, x e femmina;? per ogni x vivente, x e femmina o maschio;? per ogni x triangolo, se x ha i lati uguali allora ha

gli angoli uguali;? esiste un x triangolo tale che se x ha i lati uguali

allora ha gli angoli uguali;? esiste x naturale divisibile per 3 e per 5;? per ogni x naturale x e divisibile per 3 e per 5.

• Esprimere ciascuna delle seguenti frasi con il quantifi-catore diverso da quello che compare in essa:

? Tutti sono usciti;? Esiste qualcuno che ha preso la sufficienza;? Ogni persona le ha portato un regalo;? Non tutti sono entrati;? Non esiste qualcuno che non ha letto questo libro.

• Negare le seguenti asserzioni:

? Esiste un x naturale tale che x + 3 = 10;? Esiste un x naturale tale che x + 3 < 5;? Per ogni x naturale x + 3 < 10;? Per ogni x naturale x + 3 ≤ 7.



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17. Circuiti di Commutazione

File sui Circuiti di Commutazione



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