Elementi di Logica

Le forme del ragionamento

Corso di Logica e Filosofia della scienza, a.a. 2015-2016

Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento,

con particolare attenzione per il pensiero deduttivo, nel quale un ruolo centrale è svolto da nozioni come

inferenza

conseguenza

deduzione

....

“Il punto di partenza della logica formale è la nozione

tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è unsusseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone sianolegate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che serispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamentocorretto, o argomento valido.»

G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13

Forme dell’argomentazione Struttura dei linguaggi

(induzione/deduzione,...) (sintassi/semantica, linguaggio naturale...)

Dimostrazione Algoritmi & Calcolabilità

(fondamenti della matematica) (fondamenti dell’informaticae delle scienze cognitive)

LOGICA

Logica (formale) e linguaggio naturale:

rapporto complesso!

� Da un lato, infatti, la logica formale costruisce strutture artificiali (i linguaggi logici), tra i cui scopi c’è anche quello di chiarire e talvolta correggere o eliminare le numerose ‘ambiguità’ del linguaggio naturale

� Da un altro lato, tuttavia, il linguaggio naturale costituisce un termine di confronto irrinunciabile per la logica, dal momento che anche il linguaggio naturale ha una sua struttura interna cui la logica è interessata

� Inoltre la linguistica moderna – cioè la scienza del linguaggio – ha profondi contatti teorici con la logica (faremo dei cenni più avanti nel corso)

Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).

Esempi: l’espressione

“Isaac Asimov scriveva romanzi”

è un enunciato,

mentre le espressioni

“C’è nessuno in casa?”“Vietato fumare!”

non sono enunciati.

Distinzione enunciato/proposizione

Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se èvera o falsaProposizione = contenuto o senso di un enunciato

«Paolo mangia la mela»

2 enunciati, 1 proposizione

«La mela è mangiata da Paolo»

Data una simile definizione, esistono alcuni ‘tipi generali’ didomande alle quali la logica si incarica di rispondere:

� Cosa significa che un enunciato ‘implica‘ un enunciato B?

� Ammettendo di sapere che effettivamente l’enunciato A‘implica’ l’enunciato B, come possiamo giustificare una simileimplicazione?

Nel caso di una generica implicazioneA → B

la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazionedi questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolaricontenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.

Natura formale della logica: le analisi della logica risultano, entro

certi limiti, indipendenti dal significato degli enunciati coinvolti, cioè

valgono in virtù della sola “forma logica” degli enunciati stessi e

delle relazioni che li collegano.

Per esempio, nel caso di una generica implicazione

A → B

la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione

di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari

contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.

LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE)

Elementi di base e prime definizioni informali

Argomento (o argomentazione)

Definizione informale:

Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo insieme di

enunciati (detti premesse) sono offerte come base per giustificare

la ‘fondatezza’ di un altro enunciato (detto conclusione).

Esempi:

Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

Giulio non era alla festaquindinon può essere stato lui a rubarti la bicicletta

Gli argomenti possono essere corretti (validi) o scorretti (non-validi)Gli enunciati possono essere veri o falsi

IMPORTANTE! Bisogna distinguere tra

CORRETTEZZA (VALIDITÀ) o SCORRETTEZZA (NON-VALIDITÀ)di un argomento

e

VERITÀ o FALSITÀ

di un enunciato

CORRETTEZZA (VALIDITÀ) di un argomento

Un argomento è corretto se non può darsi il caso che le sue premesse siano vere e la sua conclusione sia falsa.

Quando un argomento è corretto, diremo che la conclusione è conseguenza logica delle premesse.

Attenzione! Un argomento può esserecorretto anche se una o più premessenon sono vere.

Esempi

L’argomento

Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

è corretto (perché le premesse implicano logicamente la conclusione) e le sue premesse sono vere.

L’argomento

Tutti gli ippogrifi volanoIn Australia esistono gli ippogrifiquindiIn Australia c’è almeno un animale che vola

è corretto perché le premesse implicano logicamente la conclusione, anche se almeno una premessa è falsa.

L’argomento

Tutti i cavalli sono mortaliFuria è un cavallo

quindiGeorge Clooney è statunitense

non è corretto perché le premesse non implicano logicamente la conclusione, anche se sia le premesse sia la conclusione sono enunciati veri.

Attenzione!

Una successione di enunciati può essere un argomento,anche se non è immediato riconoscerla come tale.

Esempio:C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e solo 5 dosi di morfina.

Distinzione tra

Argomento deduttivo / Argomento induttivo

Distinzione tra

Enunciati universali

Enunciati particolari

Enunciati singolari

Enunciati universali: enunciati che iniziano con espressioni come ‘tutti’, ‘ogni’, ‘ciascuno’, ecc. (enunciati che riguardano dunque un intero gruppo di individui).

Es.: ‘Tutti gli uomini sono mortali’, ‘I cani sono mammiferi’

Enunciati particolari: enunciati che iniziano con espressioni come ‘alcuni’, ‘certi’, ‘qualche’, ‘un’, ecc.

Es.: ‘Alcuni uomini sono biondi’

Enunciati singolari: enunciati il cui soggetto è uno specifico individuo.

Es.: ‘Renzo Piano è un architetto’

Si usa dire che

Argomento deduttivo:argomento dall’universale al particolare (o singolare)

Argomento induttivo:argomento dal particolare (o singolare) all’universale

Questo è vero in molti casi, ma non in tutti!

Esempi:

L’argomento

Tutti gli uomini sono mortaliSocrate è un uomoquindiSocrate è mortale

è deduttivo ed effettivamente procede dall’universale al singolare.

L’argomento

Nadal è mortaleDjokovic è mortaleFederer è mortale…….…….…….quindiTutti i tennisti sono mortali

è induttivo ed effettivamente procede dal singolare all’universale.

Per vedere però che l’associazione

Deduttivo → dall’universale al particolareInduttivo → dal particolare all’universale

ammette delle eccezioni, consideriamo il seguente argomento

Se Dio può ingannare, allora è malvagioDio non è malvagioquindiDio non può ingannare

Questo argomento è deduttivo ma non procede dall’universale alparticolare.

Caratterizzazione più generale per la distinzione deduttivo/induttivo

Premesse

Argomento deduttivo -------- necessario

Conclusione

PremesseArgomento induttivo -------- non necessario

Conclusione

Natura formale della logica: i due argomenti

Se Dio può ingannare, allora è malvagio Tutti gli uomini sono mortaliDio non è malvagio Socrate è un uomoquindi quindiDio non può ingannare Socrate è mortale

sono esempi dei seguenti schemi di argomenti

Se P allora Q Tutto ciò che ha F ha GNon Q m ha la proprietà Fquindi quindiNon P m ha la proprietà G

= parole logiche

Enunciati composti e valori di verità

Nella logica enunciativa, enunciati come

“Isaac Asimov scriveva romanzi”

esprimono fatti semplici, vale a dire fatti non ulteriormente

analizzabili. Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici.

È naturalmente possibile introdurre enunciati composti (o

molecolari), generati a partire da un certo numero di

proposizioni atomiche.

L’enunciato

“Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a

Cuba”

rappresenta un enunciato composto, generato mediante

l’applicazione di una particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici

“Isaac Asimov scriveva romanzi”

“Italo Calvino era nato a Cuba”

Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che

non sono provviste in sé di significato ma che permettono di

formare enunciati composti a partire da enunciati atomici.

Connettivi principali della logica enunciativa:

- non (connettivo unario, si applica a un singolo enunciato)

- e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a coppie di

enunciati).

Esempi di applicazione dei connettivi a enunciati dati:

“Isaac Asimov scriveva romanzi”↓ non

“Isaac Asimov non scriveva romanzi”

“Isaac Asimov scriveva romanzi”, “Italo Calvino era nato a Cuba”↓ e , o

“Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba”

“Isaac Asimov scriveva romanzi o Italo Calvino era nato a Cuba”

“Isaac Asimov scriveva romanzi”, “Italo Calvino era nato a Cuba”↓ se...allora

“Se Isaac Asimov scriveva romanzi allora Italo Calvino era nato a Cuba”

In simboli:

Connettivi Linguaggio Linguaggionaturale formale

negazione non ¬

congiunzione e ∧

disgiunzione o ∨

implicazione se...allora →

Se ♦ rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la seguente notazione:

se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo ♦ è rappresentato in forma funzionale come

♦: {A, B} →→→→ A♦B

dove il simbolo A♦B rappresenta l’enunciato molecolare.

Esempio:

se ♦ rappresenta il connettivo ∧∧∧∧ (congiunzione), la rappresentazione funzionale di ∧∧∧∧ è

∧∧∧∧ : {A, B} →→→→ A ∧∧∧∧ B

Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto e della nozione di verità, si pone allora in modo naturale il seguente problema:

come si comporta la verità rispetto alla composizione di enunciati composti a partire da un certo numero di enunciati atomici?

Cioè: dato ♦: { A, B } →→→→ A♦B

A può singolarmente essere V o F

B può singolarmente essere V o F

Cosa succede di A♦B ?

Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base (enunciativi)

� I connettivi si comportano come funzioni di verità: i valori di verità

degli enunciati atomici determinano univocamente il valore di

verità dell’enunciato composto.

� I connettivi della logica proposizionale si dicono verofunzionali: il

valore di verità di un generico enunciato P è funzione dei valori di

verità degli enunciati atomici che compongono P. In altre parole,

Val di A fissato, Val di B fissato Val di A♦B fissato

� Il comportamento di ogni connettivo rispetto al valore di verità

di un generico enunciato è regolato da un particolare

strumento teorico, detto tavola di verità.

� Le tavole di verità rappresentano di fatto degli algoritmi per

calcolare il valore di verità di un generico enunciato.

TAVOLA DI VERITÀ DI ∧∧∧∧Congiunzione

A ∧ B

V V VV F FF F VF F F

TAVOLA DI VERITÀ DI ∨Disgiunzione

A ∨ BV V VV V FF V VF F F

TAVOLA DI VERITÀ DI →

Implicazione

A → BV V VV F FF V VF V F

TAVOLA DI VERITÀ DI ¬

negazione

¬ AF VV F

TAVOLA DI VERITÀ DI ↔

(‘se e solo se’)

A ↔ BV V VV F FF F VF V F

Carattere algoritmico delle tavole di verità

valore di A, valore di B

Procedurameccanica

valore di (A♦B), dove ♦ è un connettivo qualsiasi

Proviamo ora ad applicare le tavole di verità, risolvendo un semplice esercizio.

� Prima di tutto definiamo tautologia (o verità logica) un enunciato che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati componenti.

� Verifichiamo poi se un dato enunciato è una tautologia, calcolandone il valore di verità.

� In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli enunciati componenti.

Sia dunque dato un certo enunciato, per esempio

(p→q)↔(¬q→¬p)

p q ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p)------------------------------------------------------------------------------------V V V V V V F V V F VV F V F F V V F F F VF V F V V V F V V V FF F F V F V V F V V F

Nella colonna del connettivo ↔ (il connettivo principale

dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato riceve cioè

valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità agli

enunciati componenti, e risulta dunque una tautologia.

Vediamo ora la proposizione (p→q)↔(q→p)

p q (p → q) ↔ (q → p)

V V V V V V V V VV F V F F F F V VF V F V V F V F FF F F V F V F V F

Sotto il connettivo principale ↔ non troviamo sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti: l’enunciato dato non è una tautologia.

È ragionevole che (p→q)↔(q→p) non sia una tautologia.

Se lo fosse, questo significherebbe che – data una qualsiasi implicazione – noi siamo sempre legittimati a invertire il senso dell’implicazione.

Esempio:

p = Io sono un cittadino italiano

q = Io sono un cittadino europeo

Se (p→q)↔(q→p) fosse una tautologia, allora assumere l’implicazione

Io sono un cittadino italiano → Io sono un cittadino europeo

giustificherebbe anche immediatamente l’implicazione

Io sono un cittadino europeo → Io sono un cittadino italiano

Formalizzazione: qualche esercizio

Linguaggio naturale Linguaggio enunciativop = «piove», n = «nevica»

«Piove ma non nevica» p ∧ ¬n

«Non è vero che sia piove sia nevica»

¬ (p ∧ n)

«Piove se e solo se nevica» p ↔ n

«Se piove e nevica, allora nevica»

(p ∧ n) → n

«O piove e nevica, o piove ma non nevica»

(p ∧ n) ∨ (p ∧ ¬ n)

Verso un linguaggio formaleper la logica enunciativa

Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale:

evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell’indagine sulla

struttura logica degli argomenti.

Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci occuperemo è il

linguaggio della logica enunciativa, composto dei seguenti

elementi:

1. Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative

(eventualmente infinito), indicate con p, q, r, ...

2. Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (∧),

disgiunzione (∨), implicazione (→), negazione (¬)

3. Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,

Una formula del linguaggio enunciativo è dunque una qualsiasi

successione finita di simboli:

q ∧ r, ¬ (s ∧ ¬s), st→, p ∨ r ¬

Si vede subito che non tutte queste successioni possono

rappresentare effettivamente degli enunciati:

come è possibile distinguere in modo adeguato tra formule che

rappresentano enunciati (che chiameremo ben formate) e formule

prive di significato?

Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva o ricorsiva.

Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una definizione che

caratterizza un certo insieme mediante l’applicazione di certe

operazioni a certi elementi di base dell’insieme.

Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti un

insieme che di fatto è infinito (perché il numero di formule ben

formate è in linea di principio infinito).

Esempio:

definizione ricorsiva dell’insieme N dei numeri naturali, sullabase della relazione primitiva ‘successore’.

BASE: 0 è un numero naturale;

PASSO: Se n è un numero naturale, anche il successore di n èun numero naturale;

CHIUSURA: Nient’altro è un numero naturale.

Prima di fornire la definizione di formula ben formata, però, è

necessario introdurre la nozione di meta-variabile.

I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo funzionano come

variabili nel senso che uno qualsiasi di questi simboli ‘sta per’ un

enunciato.

Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo bisogno

di simboli che ‘stanno per’ le variabili enunciative.

Chiameremo questi simboli meta-variabili (variabili ‘di secondo

grado’): simboli che ‘stanno per’ altri simboli.

IN SINTESI

Enunciato(es.: «Mario mangia la mela»)

↓

Variabile enunciativa p(variabile che sta per un possibile

enunciato come «Mario mangia la mela»)

↓

Meta-variabile α(variabile che sta per una possibile

variabile enunciativa come p)

Definizione RICORSIVA di formula ben formata (fbf)

in un linguaggio enunciativo

BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf.

PASSO: 1) Se α è una fbf, allora anche ¬ α è una fbf.2) Se α, β sono fbf, allora anche α ∧ β è una fbf.3) Se α, β sono fbf, allora anche α ∨ β è una fbf.4) Se α, β sono fbf, allora anche α → β è una fbf.

CHIUSURA: Nient’altro è una fbf.

Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una fbf.

Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di quel simbolo in una fbf.

Prima occorrenza di p Seconda occorrenza di p

(p→q)↔(¬q→¬p)

Prima occorrenza di q Seconda occorrenza di q

Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un connettivo.

Campo (di un connettivo):La più piccola fbf in cui occorre quel connettivo.

Es: nella fbf

(p→q)↔(¬q→¬p)

il campo della prima occorrenza di → è (p→q)il campo della prima occorrenza di ¬ è ……il campo di ↔ è l’intera formula.

Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula, quelconnettivo si chiama principale.

Calcolo logico per la logica enunciativa

Verifica della correttezza di un argomento esprimibile in logica enunciativa

Date le fbf α1,…, αn, β, la forma generale di un argomento inlogica enunciativa sarà

α1,…, αn / βdove

α1,…, αn = premesse

β = conclusione

/ = simbolo di inferenza («quindi»)

Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale:

«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di logica.

Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario ha studiato.»

1) Come è possibile formalizzare questo argomento?

2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento corretto?

Risulta cioè che, ogni volta che le premesse sono vere, anche

la conclusione è vera?

Se Mario ha studiato allora Mario ha passato l’esame di logica[p] [q]

Mario ha passato l’esame di logica [q]

quindi

Mario ha studiato[p]

Formalizzazione

((p → q) ∧∧∧∧ q) → p

((p → q) ∧∧∧∧ q) → pV V V V V V VV F F F F V VF V V V V F FF V F F F V F

Conclusione: l’argomento non è corretto, perché esiste almeno

un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa

(la terza riga).

Calcolo logico per la logica enunciativa

Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni possibileassegnazione di valori di verità degli enunciati atomici checompongono le premesse

Due casi possibili:

1) In tutte le assegnazioni in cui

sono vere le premesse è vera argomento corretto

anche la conclusione

2) Esiste almeno un’assegnazione

in cui sono vere le premesse ma argomento scorretto

la conclusione è falsa

Esempio del caso possibile 1:

p → q, ¬q / ¬p

p q (p → q) , ¬q / ¬p)V V V F FV F F V FF V V F VF F V V V

Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse

risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera: dunque

l’argomento è corretto.

Esempio del caso possibile 2:

p → q, ¬p / ¬q

p q (p → q) ¬p / ¬q)V V V F FV F F F VF V V V FF F V V V

Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano entrambe

vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento è scorretto.

Argomenti e forme condizionali corrispondenti

Dato un qualsiasi argomento

α1,…, αn / β,

definiamo forma condizionale corrispondente di questoargomento la fbf

(α1 ∧∧∧∧… ∧∧∧∧αn) → β

Si dimostra che

Un argomento è corretto se e solo se

la sua forma condizionale corrispondente è una tautologia.

Caso possibile 1:

Argomento Forma condizionalep → q, ¬q / ¬p [(p → q) ∧∧∧∧ ¬q] → ¬p

corretto tautologia

Caso possibile 2:

Argomento Forma condizionalep → q, ¬p / ¬q [(p → q) ∧∧∧∧ ¬p] → ¬q

scorretto non-tautologia