elementi di teoria della probabilità e distribuzioni di probabilità
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Elementi di teoria della probabilità e distribuzioni di probabilità
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Eventi aleatori
• Un evento è aleatorio (casuale) quando non si può prevedere con certezza se avverrà o meno
• I fenomeni (eventi) aleatori sono studiati attraverso la teoria della probabilità
Probabilità di un evento semplice
Un evento può risultare:
• Certo (si verifica sempre)
-estrazione di una pallina nera da un’urna contenente solo palline nere
• Impossibile(non si verifica mai)
-estrazione di una pallina bianca da un’urna contenente solo palline nere
• Probabile(può verificarsi o no)
-estrazione di una pallina bianca da un’una contenente sia palline nere che bianche
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Eventi e probabilità
impossibile
probabile
certo
P=0 0<P<1 P=1
Se E indica un evento l’evento corrispondente al non verificarsi di Erappresenta l’evento complementare E con la relazione
P(E) = 1 – P(E)
La prova genera l’evento con una certa probabilità
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Eventi aleatori
• Evento semplice singola manifestazione di un fenomeno
(misura,osservazione, risultato) che esclude altri eventi
(eventi incompatibili: testa o croce nel lancio di una
moneta)
• Evento composto è costituito da una combinazione di più eventi semplici.
Possono verificarsi simultaneamente ovvero sono
compatibili(l’evento testa di una moneta è compatibile con
l’evento croce nel lancio di due monete)
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Eventi aleatori
• L’insieme di tutti gli eventi di un fenomeno costituiscono l’universo o spazio campione (Ω) delle possibilità.
• Si usa il termine successo per segnalare che si è verificato l’evento considerato e insuccesso in caso contrario. Essi sono eventi incompatibili o mutuamente esclusivi
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Eventi necessari ed eventi incompatibili
• Due eventi A e B si dicono incompatibili se non possono verificarsi entrambi nella stessa prova
Se A è l’evento “carta di cuori” e B l’evento “carta di picche”, i due eventi sono incompatibili perché nessuna carta può essere contemporaneamente “cuori” e “picche”
• Due eventi si dicono necessari se almeno uno dei due si presenta in una prova
Nel lancio di una moneta i due eventi T e C sono necessari perché almeno uno si presenta
-necessari ed incompatibili:numero pari e numero dispari
-necessari ma non incompatibili: un numero >3 e un numero <5 (il 4 è in comune)
-incompatibili ma non necessari: l’uscita del numero 2 e del numero 6
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Spazio campionario
• Lo spazio campionario associato al lancio di due monete comprende 4 punti che rappresentano i possibili risultati
• Si chiama evento ogni sottoinsieme dello spazio campionario
•TT•TC•CT•CC
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Cenni di insiemistica
• Un insieme (A,B,C,..) può essere definito come un gruppo di una qualsiasi specie di elementi (a,b,c,...)
• È ben definito quando è evidente che un elemento appartiene o no all’insieme stesso e in base al loro numero si fa riferimento a: insieme finito o infinito
• Quando tutti gli elementi di un insieme B fanno anche parte degli elementi di A, si definisce B sottoinsieme
Ø Insieme vuoto
a A l’elemento a appartiene a un insieme A
B A
B è contenuto in A
Ogni insieme è sottoinsieme di un
Insieme più generale detto
universo o spazio campionario Ω
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Rappresentazione grafica sottoinsieme
Ω
AB
B A Ω
Es:risultati del lancio di un datoA = esce 2 A = esce pari A = 1/6 A = 3/6 = 1/2
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Evento complementare
Es: i risultati del lancio di un dado
A = esce 2
A = non esce 2
L’evento complementare di A
è l’evento che
comprende tutti i casi in cui A
non si verifica
p = (A) = 1- p(A)
p(A) = 1/6
p(A) = 5/6
A
A
A
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Intersezione
Insiemi disgiunti A esce 2 B esce 3 A ∩ B = Φ insieme vuoto evento impossibile
A ∩ B insiemi che si intersecano A esce numero pari B esce ≤ 3 A ∩ B = esce 2
l’intersezione di due eventi A e B
comprende tutti i casi in cui si verificano sia A che B
AB
A B
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Unione
A e B insiemi disgiunti
A esce 2 B esce 3
A U B esce 2 oppure 3
p(A U B) = p(A) + p(B)
Es: i risultati del lancio del dado
pari = 2 o 4 o 6
p(pari) = p(2)+p(4)+p(6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
B
A
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Unione
A e B due insiemi che si intersecano
l’unione di A e B comprende tutti i casi
in cui si verifica A oppure B e tutti i casi
in cui si verificano entrambi
(intersezione)
A esce pari B esce un numero ≤ 3
A∩B = esce 2
A U B = esce “1” oppure
2” oppure “3” oppure “4” oppure “6”
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
B A
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Teoria e calcolo della probabilità
• L’entità di successi in una serie di osservazioni (prove) può essere definita come frequenza relativa o
(percentuale) calcolata come rapporto tra il numero di eventi favorevoli rispetto al numero di
casi esaminati • Il grado di aspettativa circa il
verificarsi di un evento E, ovvero la probabilità dell’evento P(E) è possibili casi di numero
successi di numero)( EP
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Concezione classica della probabilità
La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi di E(n) e il numero di casi possibili (N), purché siano tutti equi - probabili
N
nP(E)
Es:
•probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 52 carte = 4/52 = 0.08
•probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta =1/2 = 0.5
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Applicazioni della concezione classica
• Probabilità uscita testa
• Probabilità faccia 6 dado
• Qual è la probabilità che lanciando due volte una moneta si presenti prima la faccia testa poi la faccia croce
1°- TT2°- TC
3°- CT4°- CC
p =
p=
p =
2
1
6
1
4
1
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Concezione frequentista della probabilità
• La probabilità di un evento è la frequenza relativa di successo in una serie di prove tendenti all’infinito, ripetute sotto identiche condizioni
• Nella concezione frequentista la probabilità è ricavata
a posteriori dall’esame dei dati
N
nN
limP(E)
Frequenza relativa su ungran numero di prove
Es: qual è la probabilità post-operatoria dopo l’intervento xyz ?I dati su un decennio in un territorio presentano 30 morti su 933 interventiFrequenza relativa = 30/933= 3.22% = Probabilità di mortalità post-operatoria
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Legge dei grandi numeri
• P(E): ripetendo la prova un gran numero di volte si osserva che il rapporto f= m/n (frequenza relativa) dove m= numero di successi ed n= numero di prove tende ad avvicinarsi sempre più alla probabilità P(E)
La frequenza relativa f al crescere del numero delle prove, tende, pur oscillando, verso un valore
costante (regolarità statistica)
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Concezione soggettivistica
Critiche alla concezione frequentista:• Non sempre è possibile ripetere lo stesso esperimento
nelle medesime condizioni• È impossibile l’analisi probabilistica di fenomeni non
ancora osservati
Concezione soggettivista:la probabilità P(E) di un evento è un valore che traduce numericamente un’opinione personaleE’ la quantificazione della misura della fiducia che vieneassegnata al manifestarsi dell’evento
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Teorie della probabilità
gravidanza 1 su 2 = 50% (definizione classica di probabilità) (probabilità a priori )
maschio femmina
Nel mondo, in assenza di interventi dell’uomo nascono 1057 maschi ogni 1000 femmine 1000/(1000 + 1057) = 48.6% (definizione frequentista di probabilità) (probabilità a posteriori)
L’ ecografista, alla decima settimana di gravidanza, dice ai genitori che80 su 100 il neonato è femmina (definizione soggettivista di probabilità)
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Assiomi della teoria della probabilità
• Ad ogni evento di uno spazio campione è associato un numero, da 0 a 1, detto probabilità dell’evento
• La probabilità 0 è associata all’evento impossibile, la probabilità 1 all’evento certo
• Dati due eventi mutuamente esclusivi E1 e E2 e le rispettive probabilità P1 e P2, la probabilità dell’evento unione E1 E2 sarà determinata da P(E1 E2 )= P1 + P2.
• La probabilità, principio della somma, può essere generalizzata a N eventi incompatibili ed esaustivi, nel caso P1 + P2 +....Pn=1
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Teorema delle probabilità totaliprincipio della somma
• La probabilità del verificarsi di due o più eventi tra loro incompatibili è la somma delle probabilità se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro
p(E1 o E2) = p(E1) + (E2)
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Probabilità eventi incompatibiliEsercizio
• Un urna contiene tre palline bianche, due nere e cinque rosse. Qual è la probabilità che estraendo una pallina a caso sia bianca o nera?
2
1
10
5
10
2
10
3p
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Principio della somma
• Qual è la probabilità che un italiano a caso presenti un gruppo sanguigno di tipo 0 oppure A?
• Calcolare la probabilità dell’insieme unione (0 A)
• Si attribuisce a ogni gruppo sanguigno una probabilità
A = 0.40; B = 0.10; AB = 0.04;0 = 0.46
In base al principio della somma:
P(A 0)= P(A) + P(0)=
=0.40 + 0.46 = 0.86 86%
La probabilità del verificarsi di due o più eventi tra loro incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli eventi
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Probabilità totalieventi incompatibili
P(A B)= P(A)+ P(B)-P(A B)• La probabilità della loro unione è tutta l’area compresa all’interno del
contorno(diagramma Venn);la somma delle due aree include due volte la probabilità della loro intersezione che va sottratta
• Avendo gli eventi una parte in comune facendo la somma delle probabilità associate ai due singoli eventi si conterebbe due volte la parte comune
• Evento A= estrazione di un Re Evento= B estrazione carta di fiori• P(A B)=P(KC KQ KF KP 1F 2F......KF)• La probabilità del verificarsi Kappa di Fiori (KF) è considerata due
volte per cui va sottratta: • P(A B)=P(KC)+P(KQ)+P(KF)+P(KP)+P(1F)+P(2F)+.......
...P(KF)-P(KF)= 4/52+13/52-1/52
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• Il principio della probabilità totale può essere espresso come segue
P(A o B)=P(A)+P(B) – (PA e B)
in cui P(A e B) rappresenta la probabilità di ottenere
contemporaneamente sia A che B
• La probabilità di ottenere A o B può essere calcolata sommando prima la probabilità di ottenere A con la probabilità di ottenere B e sottraendo poi la probabilità di ottenere simultaneamente A e B
• Si deve sottrarre P(A e B) perché la probabilità che si verifichi questo evento congiunto è stata calcolata nella somma due volte in P(A) e una volta in P(B)
• Es: Probabilità di estrarre da un mazzo di carte una donna (A) e probabilità di estrarre dallo stesso mazzo una carta di picche(B)
P(A o B)=P(A)+P(B)-P(A e B)=4/52+13/52-1/52=16/52=4/13
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Probabilità condizionata
La probabilità di un evento cambia in base informazioni che
abbiamo
Es: p( esce 2) = 1/6
Se conosco che “esce un numero pari” p = 1/3
Introduciamo quindi il concetto di probabilità condizionata:
p(A|B) = probabilità di A condizionata a B
Es: Nella popolazione generale, la probabilità di decesso per infarto è 5%;fra i fumatori è 10%.
p(decesso per infarto) = 0.05p(decesso per infarto|fumatore) = 0.10
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Eventi dipendenti e indipendenti
• Quando la probabilità di un evento NON cambia in presenza di condizionamento ad un altro evento, essi si dicono indipendentip(A|B) = p(A)
Il condizionamento non agisce! L’aspettativa di A non si modifica sapendo che si verifica B
• A e B si dicono dipendenti se:p(A|B) ≠ p(A)
L’aspettativa di A si modifica sapendo che si verifica B
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Principio del prodottoeventi indipendenti
• La probabilità di due eventi indipendenti E1 E2 (cioè il verificarsi congiuntamente dell’uno e dell’altro) è uguale al prodotto delle rispettive probabilità.
• Se gli eventi indipendenti sono k si ha:
P(E1) P(E2) ...... P(Ek)
Un evento E2 è indipendente da un evento E1 se il
verificarsi di E1 non altera la probabilità che E2 ha di
manifestarsi
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Principio del prodotto eventi indipendenti
• Evento : estrazione asso di spade
Non sono eventi
mutuamente esclusivi A∩C = asso di spade
• Il concetto di intersezione indica sia contemporaneità di eventi ma si riferisce anche al verificarsi di eventi in tempi diversi
• Calcolo della probabilità di una intersezione
P(A∩C)= P(A) P(C)=
• Da un’urna contenente due palline nere(N) e una Bianca(B) si fanno due estrazioni di una pallina, con reimmissione. Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera alla prima estrazione (N1) e una bianca alla seconda (B2)?
P(N1∩ B2)= (P(N1) P(B2)=
Probabilità indipendente
40
1
40
10
40
4
9
2
3
1
3
2
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Distribuzioni di probabilità
• Una distribuzione di probabilità è formata dall’insieme di probabilità associate a tutti i possibili eventi casuali di uno spazio campione
• Si definisce variabile casuale (aleatoria) una variabile x che può assumere in un esperimento casuale, certi valori x1, x2,...,xn rispettivamente con probabilità p1, p2,...., pn
• L’insieme dei valori che la variabile può assumere e delle corrispondenti probabilità costituisce una distribuzione di probabilità
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Variabile casuale e variabile statistica parallelismo e differenze
• La probabilità è un dato teorico determinato “a priori”
• La frequenza è un dato sperimentale derivante da prove o osservazioni fatte
• Una variabile casuale è originata da un esperimento casuale mentre la variabile statistica emerge dall’osservazione empirica dei fenomeni del reale
• Per le variabili casuali, in corrispondenza di ciascuna determinazione della variabile si considera la probabilità, mentre per le variabili statistiche si considera la frequenza relativa
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Distribuzioni di probabilità variabili casuali continue
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Distribuzioni di probabilità variabili casuali continue
• Le aree dei singoli rettangoli rappresentano le frequenze osservate delle modalità comprese tra gli estremi (X1, X2) degli intervalli di base
• Effettuata la rappresentazione analitica, all’area dei rettangoli si sostituisce l’area della superficie individuata dallo stesso intervallo di base e dal tratto di curva interpolata
• Questa area è la frequenza teorica delle modalità i cui valori sono compresi fra gli stessi estremi (X1, X2)
• A un rettangolo finito di base ΔX (ampiezza di classe) e di altezza Y(densità di frequenza relativa osservata), corrisponde un rettangolo infinitesimo di base dX e di altezza Y* (densità di frequenza relativa teorica)
Frequenza area di un rettangolo relativa osservata = finito
Frequenza area di un rettangolorelativa teorica = infinitesimo
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Distribuzioni di probabilità variabili casuali continue
• La legge di probabilità di una v.c. è espressa da una funzione matematica p(x) detta funzione di densità di probabilità
• La probabilità in un evento casuale non è più un determinato valore della variabile casuale ma solo la probabilità che si abbia un valore della v.c. compreso in un intervallo x1 – x2 cioè
Pr(x1 ≤ x ≥ x2) = area individuata dalla curva (px) in corrispondenza degli estremi x1 e x2
• Per una v.c. continua x non è possibile elencare ed enumerare gli infiniti valori che essa può assumere
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Variabili casuali continuedistribuzione di Gauss
• Se viene rilevata infinite volte le misure di una grandezza μ l’insieme di misure saranno +/- scostate dal valore vero di μ
• Si ipotizza che gli scarti (positivi e negativi) dal valore vero (x - μ) abbiano la stessa probabilità di verificarsi e gli scarti maggiori saranno i meno frequenti
Sono necessarie due informazioniIl valore vero della grandezza μ (la media del carattere)e la dispersione delle misureσ(deviazione standard)
2
)( 2
2
1)(
x
exP
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Curva di Gauss
Caratteristiche• E’ simmetrica rispetto alla media:la probabilità di un valore
superiore alla media di una quantità prefissata è uguale alla probabilità di un valore inferiore per la stessa quantità
• L’area compresa tra la funzione e l’area delle ascisse
( da + a - ) sia = 1 così da esaurire lo spazio campionario
• Esiste la probabilità al 100% che la misura sia inclusa nella distribuzione
• La frazione di area compresa tra due valori della variabile è assimilabile alla probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo
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Le aree sottese alla curva normale
• Spesso è necessario determinare la probabilità di riscontrare casualmente una misura entro tale intervallo
Proprietà della curva normale
l’area sottesa alla porzione di curva che vi è tra le media e una ordinata posta a una distanza data, determinata in termini di una o più deviazione
standard, è costante
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Applicazione curva di Gauss
• Se una popolazione di unità classificate secondo un certo carattere X si distribuisce normalmente, la conoscenza di media e varianza (o loro stime) consente di calcolare (o di stimare) la frequenza relativa delle unità che presentano un valore di X compreso in un certo intervallo
• Calcolare la probabilità che, estraendo da tale popolazione un’unità questa abbia un valore di X compreso in un certo intervallo
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Distribuzione gaussiana standardizzata
• Per agevolare il ricercatore la variabile x viene trasformata in una nuova variabile Z
• Mentre la distribuzione di X è normale con media X e DS s, quella della nuova variabile è normale con media 0 e DS 1
• La distribuzione standardizzata presenta il vantaggio di consentire la predisposizione di tabelle che permettono di calcolare porzioni di area della distribuzione e di stabilire la probabilità statistica di riscontrate valori in relazione a determinati valori Z
x
z
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Valori notevoli della distribuzione z
z area compresa area esterna all’intervallo
nell’intervallo (- z + z) (code della distribuzione)
(-z + z)
1 (-1<z<+1) 0.683 (≈ 68%) 0.317 (≈ 32%)
1.96 (-1.96<z<+1.96) 0.95 (≈ 95%) 0.05 (≈ 5%)
2.58 (-2.58<z<+2.58) 0.99 (≈ 99%) 0.01 (≈ 1%)
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Esempio di utilizzazione della distribuzione z
• Qual è la probabilità che un individuo estratto a caso da una popolazione con peso medio
72 Kg e deviazione standard
25 Kg pesi tra i 60 e 80 Kg:?
• Occorre calcolare la porzione di area compresa tra 60 e 80 Kg.
ai cui valori corrispondono rispettivamente i valori
48.025
)7260(60
Kg
Kgz
32.025
)7280(80
kg
kgz
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Esempio di utilizzazione della distribuzione Z
• Facendo riferimento alla tabella z
per z=0.48 nelle due code è 0.631
• L’area di interesse tra -0.48 e 0 è 0.5 -
• Con analogo procedimento si calcola la porzione di area tra 0 e 0.32
P(60kg<peso<80kg=P(z60<z<z80) =
=P(-0.48<z<0) + (P(0<z<+0.32) =
=1-0.3155 - 0.3745=0.310 31,0%2
631.0
2
749.05.0
2
631.05.0
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0 z
0,5
2
v
25,0
v
Ripartizione delle aree di probabilità della distribuzione z
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Esempio di utilizzazione della distribuzione z
• Una popolazione di bambini presenta valori di statura distribuiti in modo gaussiano con media = 120 cm. e deviazione standard = 16 cm.
1. Quale è la probabilità che un bambino scelto a caso presenti una statura inferiore a 132 cm.?
2. Quale è la probabilità che l’altezza sia maggiore di 116 cm., ma inferiore a 132 cm.?
1R 75.016
)120132(132
cm
cmz
%4.777735.02265.01)2
453.05,0(5,0
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Esempio di utilizzazione della distribuzione z
• 2R
• P(Z116<Z<Z132)0.7735-0.4015=0.3720 37.20%
25.016
)120116(116
cm
cmz
4015.02
803.0