31

2.2 Elementos del Álgebra Lineal

Vectores en el espacio.

En el espacio R3, denotamos a los vectores mediante tripletas ordenadas

⟩⟨= 321 ,, aaaV , denotando al vector cero por ⟩⟨= 0,0,00 . Usando los vectores

unitario i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1) en la dirección positiva del eje z, la

notación con los vectores canónicos para V es kajaiaV 321 ++= . Se

representa a V mediante el segmento orientado desde P1=(x1,y1,z1) a

P2=(x2,y2,z2), entonces las componentes de V se obtiene restando las

coordenadas del punto inicial P1 al punto final P2

⟩−−−⟨== 12121221 ,, zzyyxxPPV

y

z

x

P1

P2

32

A continuación enunciamos definiciones y teoremas básicos con vectores en el

espacio que el estudiante debe saber del Álgebra Lineal.

Definición 2.2.1:

El módulo o longitud del vector ⟩⟨= 321 ,, aaaV es ( ) ( ) ( )23

22

21 aaaV ++=

Definición 2.2.2:

Si ⟩⟨= 321 ,, aaaA y ⟩⟨= 321 ,, bbbB son vectores en R3 se dice que los vectores

son iguales si sus componentes son iguales BA = , si a1 = b1 ; a2 = b2 ; a3 = b3

Ejemplo:

1) Si P = (-1,2,3) y Q = (2,-3,4 ) son puntos en R3

a) Hallar el vector PQ

b) Hallar el modulo del vector PQ

Solución:

a) ⟩−⟨=⟩−−−−−⟨= 1,5,334,23),1(2PQ

b) 3512591)5(3 222 =++=+−+=PQ

Definición 2.2.3:

La suma de dos vectores ⟩⟨= 321 ,, aaaA y ⟩⟨= 321 ,, bbbB en R3 es el vector

)( BA+ definida por ⟩+++⟨=+ 332211 ,, bababaBA

33

Ejemplo;

Dado los vectores 3,6,12,3,5 −=−= ByA��

, encontrar la suma BA��

+

Solución: 5,3,432,63),1(53,6,12,3,5 =++−−+=−+−=+ BA��

Definición 2.2.4:

Si ⟩⟨= 321 ,, aaaA es un vector en R3 entonces el vector ⟩−−⟨− 321 ,, aaa se

define como el vector negativo de A y se denota por -A

Definición 2.2.5:

Si A y B son vectores en R3 , la diferencia de A y B que se denota por

BA− es el vector obtenido al sumar A al negativo de B esto es

⟩−−−⟨=⟩−−⟨−+⟩⟨=−+=− 332211321321 ,,,,,,)( babababbbaaaBABA

Definición 2.2.6:

Si c es un escalar y A es un vector en R3 entonces el producto de c por A

que se denota por ⟩⟨=⟩⟨= 321321 ,,,, cacacaaaacAc

Ejemplo:

Si 6,2,3=A�

y el escalar c=5, calcular Ac�

.

34

Solución:

30,10,1565,25,356,2,35 =⋅⋅⋅==Ac�

Teorema 2.2.1:

Si A , B , C son vectores en R3, k, t son escalares entonces la suma de

vectores y la multiplicación de un escalar por un vector satisfacen las siguientes

propiedades:

a) A + B = B + A Ley Conmutativa.

b) ( A + B ) +C = A + ( B + C ) ( Ley Asociativa )

c) Existe un vector 30 R∈ tal que 0 + A = A + 0 = A (Existencia del

neutro aditivo)

d) Existe un vector (-A ) en R3 tal que A + (- A ) = 0

e) (kt) A = k(t A ) (Ley Asociativa entre escalares y un vector)

f) k( A + B ) = k A + k B (Ley Distributiva)

g) (k + t) A = k A + t A (Ley Distributiva)

h) 1 A = A (Identidad para la multiplicación)

Demostración: (Se demostraran algunas y el resto quedan como ejercicio)

35

b) Si 321 ,, aaaA = , 321 ,, bbbB = y 321 ,, cccC = son vectores en

R3

A+( B + C ) = < a1, a2, a3> +( < b1, b2, b3>+< c1, c2, c3>)

A+( B +C ) =< a1, a2, a3>+<b1+ c1 , b2+ c2 , b3+ c3 > (suma de

vectores)

A+( B +C ) = <a1+(b1+ c1) ,a2+(b2+c2) ,a3+(b3+c3

)> (suma de vectores)

A+( B +C ) = <(a1+b1)+ c1 ,(a2+b2)+c2 ,(a3+b3)+c3> (Asociativa)

A+( B +C ) = <(a1+b1) ,(a2+b2),(a3+b3)>+< c 1, c2, c3>

A+( B + C ) = (< a1, a2, a3> + < b1, b2, b3>)+< c1, c2, c3>

A+( B + C ) = ( A+ B )+C

f) Si k( A+ B ) = k (< a1, a2, a3> + < b1, b2, b3>)

K ( A+ B ) = k <(a1+b1) ,(a2+b2),(a3+b3)>

K ( A+ B ) = <k(a1+b1) ,k(a2+b2),k(a3+b3)>

K ( A+ B ) = <ka1+kb1 ,ka2+kb2 ,ka3+kb3>

k( A+ B ) = <ka1 , ka2 ,ka3 > + < kb1 , kb2 , kb3>

k ( A+ B ) = k<a1 , a2 ,a3 > + k < b1 , b2 , b3>

36

k ( A+ B ) = k A + k B

El resto de las demostraciones se dejan al estudiante como ejercicios.

Definición 2.2.7:

Si A = < a1, a2, a3> y B = < b1, b2, b3>, entonces el producto punto o

producto escalar de dos vectores A y B denotado por BA• viene dado por:

A · B = < a1, a2, a3> < b1, b2, b3>= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3.

Ejemplo:

Dado los vectores 2,1,34,1,2 =−= ByA��

, encontrar el producto punto.

Solución:

13816)2)(4()1)(1()3(22,11,34,1,2 =+−=+−+=•−=• BA��

Teorema 2.2.2

Si A = < a1, a2, a3> es un vector no nulo entonces el vector unitario U que

tiene la misma dirección que A viene dado por:

||

,||

,||

321

A

a

A

a

A

aU =

Demostración:

Como AAA

aaa

A

a

A

a

A

aU

1,,

||,

||,

||

321321 ===

37

Por lo tanto U es igual a un escalar positivo por el vector A y así la dirección de

U es la misma dirección del vector A además

123

22

21

2

3

2

2

2

1 ==++

=

+

+

=A

A

A

aaa

A

a

A

a

A

aU

Teorema 2.2.3

Si A , B y C son vectores en R3 y k es un escalar entonces:

a) A . B = B . A

b) CABACBA •+•=+• )(

c) k( A . B ) = k A . B

d) 00 =• A

e) A . A = |A |2

Demostración:

Se presenta la demostración de la primera y las otras demostraciones quedan como

ejercicio para el estudiante.

a) Si 321 ,, aaaA = y 321 ,, bbbB = son vectores en R3.

332211

321321 ,,,,

bababaBA

bbbaaaBA

++=•

•=• (Definición de producto punto)

332211 abababBA ++=• (Ley conmutativa).

38

ABBA •=•

Teorema 2.2.4:

Si θ es la medida en radianes del ángulo entre dos vectores no nulo A y B

en R3 entonces A . B = |A | | B | cosθ.

Demostración:

Si 321 ,, aaaA = y 321 ,, bbbB = son vectores en R3 . Sea OP la representación

de posición de A y OQ La representación de posición de B entonces el ángulo

entre los vectores A y B , es el ángulo en el origen del triangulo POQ ver figura

y

x

z

0

Q P

39

P es el punto (a1,a2,a3 ) y Q es (b1,b2,b3) en el triángulo POQ. A es la longitud

del lado OP y B es la longitud del lado OQ. Así de la Ley del Coseno se obtiene

BA

PQBA

2cos

222

−+=θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BA

babababbbaaa

2cos

233

222

211

23

22

21

23

22

21 −+−+−−+++++=θ

( )BA

BA

BA

bababa

BA

bababa ⋅=++=++=2

2

2

222cos 332211332211θ

por lo tanto θcosBABA =⋅

Ejemplo:

Dados los vectores 4,2,42,1,2 −=−= ByA��

, encontrar el cos θ si θ es la

medida en radianes del ángulo entre ByA��

.

Solución:

( )( )222222 )4()2()4()2()1()2(

4,2,42,1,2cos

++−+−+

−•−=•=

BA

BA��

��

θ

9

1

18

2

)6)(3(

828

)36)(9(

)4)(2()2)(1()4)(2( −=−=+−−=+−+−=

9

1cos

−=θ ( )91cos−=⇒ arθ

40

Definición 2.2.8:

Dos vectores no nulos en R3 se dice que son paralelos si y solo si la medida en

radianes del ángulo que forma es cero ó π.

Definición 2.2.9:

Dos vectores no nulos A y B en R3 son ortogonales (perpendiculares) si y

solo si la medida en radianes del ángulo que lo forma es π/2 .

Teorema 2.2.5:

Si A y B son dos vectores no nulos en R3 A y B son perpendiculares si

y solo si A . B = 0 (La demostración es sencilla y queda propuesta para el

estudiante como ejercicio).

x

y

z

90º

41

Ejemplo:

Sea 2,1,22,4,1 =−= ByA��

. Probar que son ortogonales.

Prueba: Si 2,1,22,4,1 =−= ByA��

0=•⇒ BA��

Tenemos que

0)2)(2()1)(4()2)(1(2,1,22,4,1 =+−+=•−=• BA��

Definición 2.2.10:

Los ángulos directores de un vector no cero en R3 son los tres ángulos que

tienen la menor medida en radianes no negativos: α, β y γ desde los ejes positivos

x,y,z respectivamente a la posición del vector.

En general es mas conveniente trabajar con los cósenos directorios βα cos,cos y

γcos . Si 321 ,, aaaA = entonces A

a

A

aaa

iA

iA 1321 0,0,1,,cos ===α

Y en forma semejantes se tiene A

a2cos =β y A

a3cos =γ

42

Teorema 2.2.6:

Si cosα, cosβ y cosγ son los cósenos directores de un vector entonces

Cos2α + cos2β + cos2γ = 1 .

Demostración:

Si 321 ,, aaaA =�

, entonces los cosenos directorios son:

A

ay

A

a

A

a���

321 coscos,cos === γβα Por lo tanto

2

3

2

2

2

1222 coscoscos

+

+

=++

A

a

A

a

A

a���γβα

2

23

22

21

A

aaa�

++=

12

2

==A

A�

�

x

y

z

43

Ejemplo:

Dado el vector 2,1,4 −=A�

, encontrar la magnitud y los cosenos directorios de

A�

y verifique el teorema 2.2.6.

Solución:

21)2()1()4( 222 =−++=A�

y los cosenos directorios son:

21

2cos

21

1cos,

21

4cos

−=== γβα y Ahora verificando el teorema

121

4116

21

2

21

1

21

4coscoscos

222222 =++=

−+

+

=++ γβα

A continuación se presenta todo las instrucciones del software MAPLE V,

referente al álgebra lineal con sus respectivos ejemplos que se van a utilizar en el

resto de los contenidos de los capítulos siguientes.

Lo primero es cargar la librería de Álgebra Lineal, la cual nos permite ejecutar las

instrucciones el comando es with(linalg), si se finaliza con punto y coma (;) nos

aparece todas las instrucciones que contiene la librería y si se finaliza con dos puntos

(:) aplica y acepta las instrucciones pero no las muestra.

44

> with(linalg); BlockDiagonal GramSchmidtJordanBlock LUdecompQRdecompWronskian, , , , , ,[

addcol addrow adj adjoint angle augment backsub band basis bezout, , , , , , , , , ,blockmatrix charmat charpoly cholesky col coldim colspacecolspan, , , , , , , ,companion concat cond copyinto crossprod curl definite delcols delrows det, , , , , , , , , ,diag diverge dotprod eigenvals eigenvalues eigenvectors eigenvects, , , , , , ,entermatrix equal exponential extend ffgausselim fibonacci forwardsub, , , , , , ,

frobenius gausselim gaussjord geneqns genmatrix grad hadamard hermite, , , , , , , ,hessian hilbert htranspose ihermite indexfunc innerprod intbasis inverse, , , , , , , ,ismith issimilar iszero jacobian jordan kernel laplacian leastsqrs linsolve, , , , , , , , ,matadd matrix minor minpoly mulcol mulrow multiply norm normalize, , , , , , , , ,nullspace orthog permanentpivot potential randmatrix randvector rank, , , , , , , ,

ratform row rowdim rowspace rowspan rref scalarmul singularvals smith, , , , , , , , ,stackmatrix submatrix subvector sumbasis swapcol swaprowsylvester toeplitz, , , , , , , ,trace transpose vandermonde vecpotent vectdim vector wronskian, , , , , , ]

A continuación como etiquetar algunos vectores.

> a:=vector(3,[2,3,4]);

:= a [ ], ,2 3 4

> b:=vector(3,[1,4,6]);

:= b [ ], ,1 4 6

> c:=vector(3,[x,y,z]);

:= c [ ], ,x y z

Para sumar dos vectores se utiliza el comando matadd que realmente es para

sumar matrices de igual tamaño. En este caso considera a los vectores como matrices

de1x3. Ejemplo: Sumar al vector a = <2,3,4> y b = < 1 , 4, 6 >

> matadd(a,b);

[ ], ,3 7 10

45

El comando scalarmul es para multiplicar un escalar por un vector y se utiliza en

esta operación para poder realizar la diferencia de vectores.

Ejemplo:

Multiplicar el escalar 4 por el vector a y el escalar 3 por el vector c.

> scalarmul(a,4);

[ ], ,8 12 16

> scalarmul(c,3);

[ ], ,3 x 3 y 3 z

Ejemplo:

1) Realizar la diferencia entre el vector a y el vector b.

> matadd(a,scalarmul(b,-1));

[ ], ,1 -1 -2

2) Sumar los vctores a y c.

> matadd(c,a);

[ ], , + x 2 + y 3 + z 4

3) Obtener la diferencia entre los vectores c y b.

> matadd(c,scalarmul(b,-1));

[ ], , − x 1 − y 4 − z 6

Para calcular el producto punto (escalar) entre dos vectores se usa el comando

dotprod.

46

Ejemplo:

1) Realizar el producto punto entre los vectores a y b.

> dotprod(a,b);

38

2) Calcular el producto punto entre los vectores c y a.

> dotprod(c,a);

+ + 2 x 3 y 4 z

El producto vectorial se calcula con el comando crossprod.

Ejemplo:

1) Calcular el producto vectorial entre los vectores a y b.

> crossprod(a,b);

[ ], ,2 -8 5

> vector([2, -8, 5]);

> crossprod(c,a);

[ ], , − 4 y 3 z − 2 z 4 x − 3 x 2 y

Para calcular el vector unitario en dirección del vector , se utiliza la instrucción

normalize(el vector de la dirección) A continuación un ejemplo.

Ejemplo:

1) Calcular el vector unitario a los vectores c,a y b de un ejemplo anterior.

47

> normalize(c);

, ,x

+ + x 2 y 2 z 2

y

+ + x 2 y 2 z 2

z

+ + x 2 y 2 z 2

> normalize(a);

, ,

2 2929

3 2929

4 2929

> normalize(b);

, ,

5353

4 5353

6 5353

> normalize(matadd(a,b));

, ,

3 158158

7 158158

5 15879

Para etiquetar matrices se procede con el comando

a1:=matrix(números de filas ,números de columnas,[l os

valores de la matriz en forma corrida y separado po r

coma]);

Ejemplo:

> a1:=matrix(3,3,[1,2,3,5,3,4,2,3,4]);

:= a1

1 2 35 3 42 3 4

El determinante se calcula con el software MAPLE V, con el comando det(la

matriz)

48

Ejemplo:

1) Hallar el determinante a la matriz del ejercicio anterior.

> det(a1);

3

2) Encontrar el determinante a la matriz

222

321

kji

> n:=matrix(3,3,[i,j,k,1,2,3,2,2,2]);

:= n

i j k

1 2 32 2 2

> N:=det(n);

:= N − + − 2 i 4 j 2 k

49

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Expresar los vectores en la forma ckbjai ++ muéstrelo como flecha en R3.

a) 21PP si P1 es el punto (5, 7,1) y P2 es el punto (2,9,-3)

Resp. -3i+ 2j-4k

b) 21PP si P1 es el punto (1,3,-5) y P2 es el punto (1,-2,4)

Resp. 0i-5j+ 9k

c) AB si A es el punto (-7,-8,-9) y B es (6,11,9)

Resp. 13i+19k j +18k

d) AB si A es el punto (5,-3,4) y B es (-6,-3,-2)

Resp. -11i+ 0j-6k

2. Dados los vectores A = 5i-3j+4k, B = 6i-2j-3k, C = 4i-9j y D = 4i – k.

Calcular los siguientes operaciones:

a) BBA ).( + Resp. 73

b) BA−2 Resp. 4i-4j+11k

c) AC 25 − Resp. 10i-39j-8k

d) BA. Y DA. Resp. 24 Y 16

e) CxA Resp. 36i+16j-33k

f) DxB 32 Resp. 12i-36j+48k.

3. Demuestre que los cuadrados son los únicos rectángulos con diagonales

perpendiculares.

50

4. Encuentre los ángulos entre los vectores dados.

a) jiA += 2... y kjB ++= 21... Resp: 4

3radianes

b) jiA 73... −= y kjiB 23... −+= Resp: 1,77 radianes

5. Encuentre los ángulos interiores del triangulo ABC cuyos vértices son

A(-1, 0, 2) ; B(2, 1, -1) y C(1, -2, 2)

Resp: ∠ A ≈ 1,24 rad.

Resp: ∠ B ≈ 2,48 rad.

Resp: ∠ C ≈ 1,24 rad.

6. Sea .A = 5i-j+k, .B = j-5k, .C = -15j+3j-3k.

Que vectores son:

a) Perpendicular,

b) Paralelos.

Resp: a) Ninguno

b) A y C

7. Realice todos los ejercicios anteriores con la ayuda del software MAPLE V.