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Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elementos de Alg.y Calculo Elemental

GUIA LOGICA Y CONJUNTOS

1. ¿Cual de los siguientes conjuntos son iguales?

A1 = 1, 2 A2 = 1, 3A3 = 2, 1 A4 = 3, 1A5 = 3, 1, 3 A6 = 1, 2, 1A7 =

x ∈ IR/x2 − 4x + 3 = 0

A8 =

x ∈ IR/x2 − 3x + 2 = 0

A9 = x ∈ IN/x es menor que 3 A10 = x ∈ IN/x es menor que 5 y x es impar

2. Escribir de manera extensiva los siguientes conjuntos:

(a) A = x ∈ Z/x es positivo y divisible por 4(b) B =

x ∈ Z/2x+3

3 = x + 2

3. Si p y q son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de:

(a)[p ∧ (q ∨ p)

]⇔ (q ∨ p)

(b) [(q → p) → q] ∨ p ↔ q

4. Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados:

(a) Si 3 < 5, entonces, −3 < −5.

(b) Si 2 + 2 = 4, entonces 3 + 3 = 7, si y solo si, 1 + 1 = 1.

(c)√

16 = 4 o√

16 = −4

(d) 6 + 4 = 10 y√

2 · √2 = 2

(e) 52 = 25 o 3 · 3 = 9

(f) Si 2 + 2 = 4, entonces no es cierto que 2 + 1 = 3 y 5 + 5 = 10

(g) Si 3− 1 = 2, entonces 2 + 2 = 4

5. Elaborar una tabla de verdad para cada una de las siguientes proposi-ciones:

(a) p → (p ∨ q)

(b) [p ∧ (p → q)] → q

(c) (p → q) → (q → p)

(d) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

6. Determinar a que corresponde, ( tautologıa, contradiccion o contin-gencia ) cada una de las siguientes proposiciones:

(a) (p ∧ q) ∧ (p ∨ q)

(b) [(p ∧ q) ∧ s] ↔ [p ∧ (q ∧ s)]

(c) [(p → q) ∧ (p ∧ q ∧ r)] → (p ∨ q)

7. Construir la tabla de verdad apropiada para demostrar las siguientesequivalencias:

(a) [(p ∨ q) ∧ p] ≡ (p ∧ q)

(b) [p ∨ (p ∧ q)] ≡ p

(c) [(p ∨ q) ∨ (p ∧ q)] ≡ p

(d) [p → (q ∧ r)] ≡ [(p → q) ∧ (p → r)]

8. Simplificar las siguientes proposiciones compuestas:

(a) (p → q) → [p → (q ∧ p)]

(b) (q → p) → [(p ∧ q) → (p → q)]

9. Negar las siguientes proposiciones y simplificar la proposicion resul-tante:

(a) p ∧ (q ∨ r) ∧ (p ∨ q ∨ r)

(b) (p ∧ q) → r

(c) p ∨ q ∨ (p ∧ q ∧ r)

10. Considerar las funciones proposicionales siguientes definidas sobreIN :

p(n) : n(n + 1) es numero par.

q(n) : (n2 − n + 41) es un numero primo.

Determinar el valor de verdad de:

a) p(3) → q(4) b) q(6) ∨ p(7)

11. Considerar las funciones proposicionales:

p(x) : x es par

q(x) : x es multiplo de 5

r(x) : x ≥ 8


(a) ∀x ∈ IN : (p(x) ∨ r(x))

(b) ∀x ∈ IN : (p(x) ∧ q(x))

(c) (∃x ∈ Z) (r(x) → q(x))

12. Utilizando el cuantificador apropiado, expresar en forma simbolicacada una de las proposiciones siguientes, y luego determinar su valorde verdad:

(a) Existen numeros enteros tales que x2 − 1 = 0

(b) En todos los numeros naturales x, −xes menor que cero.

(c) Existe un numero racional q, tal que (q − 1) es negativo.

13. Negar cada una de las siguientes proposiciones del ejercicio anterior.

14. Dados A =1, 0,−2,−1

2

y B = −2, 2, 1. Determinar el valor de

verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

(a) (∀x ∈ A) (∃y ∈ B)(xy + 1 < 0 ∨ x2 − y2 = 0

)

(b) (∀x ∈ B) (∃y ∈ A) (xy ≥ 0 → (x + y) ∈ A)

15. Se supone que la proposicion (∀x ∈ U)(p(x)

)es verdadera.


(∃y ∈ U) (p(y)) → (∃x ∈ U)(p(x)

)

16. Sea A = ∅, 1, 2 , 1 , ∅ , 1, 2.¿Cuales de las siguientes afirma-ciones son verdaderas y por que?.

a) 1 ∈ A b) 2 ∈ A c) 2 ⊆ A d) 2 ∈ A e) 2 ⊆ A

f) ∅ ⊆ A y ∅ ∈ A g) 1 ∈ A y 1 ∈ A h) 1, 2 ∈ A

i) 1, 2 ⊆ A j) ∅ ⊆ A

17. Dados los conjuntos A = a, b, c, d ; B = a, b, e, f, g ; C = b, c, e, hy el universo U = a, b, c, d, e, f, g, h. Expresar cada uno de los con-juntos siguientes en terminos de sus elementos:

a) A ∩ C b) A ∪ C c) A−B d) Ac e) Ac ∪Bc

f) Bc ∩ C g) (A ∩B)−B h) (B ∩ Cc)c i) Bc −Ac

j) (C −B)−A k) C − (B −A)

18. Probar que:

(a) (A ∪Bc) ∩B = A ∩B

(b) (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) = A

(c) (Ac ∪B)c ∪ (Ac ∪Bc)c = A

(d) A ∪B = B ∪ (A−B)

(e) B ∩ (A−B) = ∅(f) (A−B) ∩ (A ∩B) = ∅(g) (A ∩B) ∪ (B ∩ C)c = A ∪Bc

19. Considere los conjuntos A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; B = 2, 4, 6, 8 ; C =1, 3, 5, 7, 9; D = 3, 4, 5 y E = 3, 5. En cada caso, ¿a que con-juntos de los dados puede ser igual a X? si

(a) X y B son disjuntos, es decir, X ∩B = ∅.(b) X ⊆ D, pero XB.

(c) X ⊆ A y X ∩B = 4(d) X ⊆ A y X ∩ E = ∅

20. En cada caso, achurar en el diagrama de Venn las siguientes situacionesconjuntistas:

(a) A ∩B ∩ C

(b) Ac ∪B ∪ C

(c) A ∪ (B ∩ C)

(d) A− (B ∪ C)

(e) (A ∪B)− C

(f) Ac ∩Bc ∩ Cc

21. Demostrar que cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

(a) SiA ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D) y (A ∪ C) ⊆(B ∪D)

(b) A ⊆ B si y solo si, (A ∩Bc) = ∅(c) A ⊆ B , si y solo si, (Ac ∪B) = U

(d) Si A ⊆ C y B ⊆ C, entonces (A ∪B) ⊆ C

22. En cada caso hallar IP (M), si:

(a) M = 3, 5(b) M = 3, 5, ∅(c) M = ∅, 1, 1

23. Dados los conjuntos A = ∅, 0, 1 ; B = ∅, 0 ; C = ∅ , 1, 2:

(a) Simplificar D = [IP (B)− (A− C)] ∩ IP (A ∪B)

(b) Determinar card(IP (D)).

24. Si card(A) = 1 y card(IP (AUB)) = 16.¿Cuanto es a lo mas el cardi-nal de IP (B)?

25. Sean B = 1, 2, 3 y A ⊆ R tal que card(IP (A)) = 16 y card(A ∩B) = 1. Determinar card(IP (A ∪B)).

26. En una cierta encuesta, se les pregunto a 500 ejecutivos acerca desu lectura de los periodicos Barron, Financial World y Wall StreetJournal. Las respuestas mostraron que 250 leıan el Barron, 190 elFinancial World y 270 el Wall Street; 50leıan el Barron y el FinancialWorld, 70 el Barron y el Wall Street y 110 el Financial World y WallStreet; 20 leıan los tres periodicos.

(a) ¿Cuantos ejecutivos leıan el Barron o el Financial World o losdos?

(b) ¿Cuantos leıan al menos dos publicaciones?

27. Se realizo una encuesta con 550 personas. Se encontro que 130 veıantelevision, 215 escuchaban la radio y 345 leıan el periodico para enter-arse de las noticias. Mas aın, 100 leıan el periodico y escuchaban laradio, 35 veıan la television y escuchaban la radio y 65 veıan la tele-vision y leıan el periodico. Si 20 personas se enteraban de las noticiaspor los tres medios,¿cuantas personas no utilizaban estos medios decomunicacion?

28. En un estudio de 1000 personas, un inspector mercantil encontro que740 nabıan comprado acciones de minas de oro, 400 acciones de minasde plata y 380 acciones de explotaciones. De estos, 300 compraronacciones de minas de oro y plata, 200 de oro y explotaciones, y 50 deplata y explotaciones. ¿Cuantas personas compraron de los tres tiposde acciones?.

29. En una cierta escuela de ciencias administrativas, se requiere que to-dos los alumnos de ultimo ano cursen Matematicas o Contabilidad oEconomıa. En una clase de 460 de estos estudiantes se sabe que 300cursan Matematicas, 200 Contabilidad y 210 Economıa. Si 140 cur-san Matematicas y Economıa, 90 Matematicas y Contabilidad, y 50Contabilidad y Economıa:

(a) ¿Cuantos estudiantes cursan las tres materias?

(b) ¿Cuantos estudiantes cursan Matematicas y Economıa, pero nocontabilidad?

(c) ¿Cuantos estudiantes cursan Economıa, pero no contabilidad?

(d) ¿Cuantos estudiantes cursan solo contabilidad?

30. Una farmacia rebajo el precio de una locion y de una crema. Lacontabilidad al final de un dıa indico que 56 personas habıan compradocrema; 21 locion y 12 personas ambos productos.

(a) ¿Cuantas personas aprovecharon la oferta?

(b) ¿Cuantas personas compraron solamente locion?

(c) ¿Cuantas personas compraron solamente crema?

UNIVERSIDAD ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALC ELEMENTAL - FMM 032

GUIA NUMEROS NATURALES

1. Hallar la suma indicada.

(a)7∑

i=1

(2i + 1) (b)4∑

i=0

1i1 + 1

(c)5∑

j=3

1j

(d)18∑

i=1

c

(e)12∑

i=1

4(i− 1)(2i + 1) (f)16∑

i=5

(i− 2)3

(g)20∑

i=6

[(i + 1)2 − 2i] (h)14∑

i=2

(i + 1)(i− 3)

2. Usar notacion de sumatoria para escribir la suma dada.

(a)1

3 · 1 +1

3 · 2 +1

3 · 3 + · · · +1

3 · 9

(b)5

1 + 1+

51 + 2

+5

1 + 3+ · · · +

51 + 15

(c)[218

+ 3]

+[228

+ 3]

+ · · · +[288

+ 3]

(d)[1− 1

4

2]

+[1− 2

4

2]

+ · · · +[1− 8

4

2]

(e)[16

2

+ 2](

16

)+ · · · +

[66

2

+ 2](

16

)

(f)[

1n

2

+ 2] (

1n

)+ · · · +

[n

n

2+ 2

](1n

)

(g)[

2n

3

− 2n

](2n

)+ · · · +

[2n

n

3

− 2n

n

] (2n

)

(h)

[1−

(2n− 1

)2](

2n

)+ · · · +

[1−

(2n

n− 1

)2](

2n

)

(i)

[2

(1 +

3n

)2](

3n

)+ · · · +

[2

(1 +

3n

n

)2](

3n

)

(j)(

1n

) √1−

(0n

)2

+ · · · +(

1n

) √1−

(n− 1

n

)2

3. Mediante induccion matematica, pruebe cada una de las siguientes proposiciones:

(a) 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n(n + 1)

(b) 5 + 10 + 15 + · · ·+ 5n =5n(n + 1)

2

(c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =n2(n + 1)2

4(d) 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2n = 2(2n − 1)

(e) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

(f) 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · ·+ n(n + 2) =n(n + 1)(2n + 7)

6

(g)1

1 · 2 +1

2 · 3 + · · ·+ 1n · (n + 1)

=n

n + 1

(h)1

2 · 3 · 4 +2

3 · 4 · 5 + · · ·+ n

(n + 1)(n + 2)(n + 3)=

n(n + 1)4(n + 2)(n + 3)

(i)13

+115

+ · · ·+ 14n2 − 1

=n

2n + 1

(j) 1 + 2 · 3 + 3 · 32 + 4 · 33 + · · ·+ n · 3n−1 =(2n− 1)3n + 1

4(k) 5n3 + 7n es divisible por 3

(l) 3n ≥ 2n + 1

(m) 2n ≤ 2n

(n) n2 > 2n + 1 , para n ≥ 3

(o) n3 + 2n es divisible por 3

(p) (n(n + 1))2 es divisible por 4

(q) n4 + 2n3 + n2 es divisible por 4

(r) n3 + 11n es divisible por 6

(s) n3 + 5n es divisible por 3

(t) n3 − n es divisible por 5

(u) 6n − 5n + 4 es divisible por 5

4. Demuestre utilizando induccion matematica las siguientes proposiciones:

(a)n∑

i=1

i =n(n + 1)

2

(b)n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

(c)n∑

i=1

i(i + 1)2

=n(n + 1)(n + 2)

6

(d)n∑

i=1

12i

= 1− 2−n

(e)n∑

i=1

(2i− 1)2 =n(2n− 1)(2n + 1)

3

(f)n∑

i=1

5i−1 =5n − 1

4

(g)n∑

i=1

(2i− 1)3 = n2(2n2 − 1)

(h)n∑

i=1

i5i =5 + (4n− 1)5n+1

16

(i)n∑

i=1

(2i− 1)(2i) =n(n + 1)(4n− 1)

3

(j)n∑

i=1

1i(i + 1)

=n

n + 1

(k)n∑

i=1

1(2i− 1)(2i + 1)

=n

2n + 1

5. Demuestre que xn − yn es divisible por x− y.

6. Demuestre que x2n−1 + y2n−1 es divisible por x + y.

7. Demuestre que los numeros de la forma:

(a) 32n − 1 son divisibles por 8

(b) 24n − 1 son divisibles por 15

(c) 4n − 1 son divisibles por 3

8. Observe que

1 +12

= 2− 12

1 +12

+14

= 2− 14

1 +12

+14

+18

= 2− 18

deduzca la ley general y demuestrela por induccion.

9. Observe que

1− 12

=12

(1− 12)(1− 1

3) =

13

(1− 12)(1− 1

3)(1− 1

4) =

14

deduzca la ley general y demuestrela por induccion.

10. Encuentre una formula para el producto:

p(n) = (1− 12)(1− 1

3)(1− 1

4) · · · (1− 1

n + 1)

y demuestrela por induccion.

11. Sean a y r dos numeros reales fijos tales que r 6= 1. Demostrar que la suma de los primeros n terminos

de la progresion geometrica a, ar, ar2, ar3, . . . , es arn − 1r − n

12. Si c ∈ R , demuestre que∑n

i=1 c ai = c∑n

i=1 ai.

13. Si los terminos tercero y septimo de una P.A. son 18 y 30 respectivamente. Encuentre el decimo.

14. ¿Que termino de la sucesion 5,14,23,32 es 239?

15. Determine el valor de x tal que (20− x); (x + 12); (2x + 9) sea una P.A.

16. ¿Cuantos terminos de la sucesion 9,12,15 es necesario considerar de modo que su suma sea 306?

17. Una companıa manufacturera instala una maquina a un costo de U$1.500 Al cabo de 9 anos, la maquinatiene un valor de U$420. Suponiendo que la depreciacion anual es constante. Calcule la depreciacionanual.

18. Los pagos mensuales que una persona hace al banco ocasionados por un prestamo forman una P.A.Si el octavo y decimo quinto pago son de $15.300 y $18.100, respectivamente. ¿Cual sera su vigesimopago?

19. En el ejemplo anterior suponga que la persona pago un total de $549.000 al banco.

(a) Calcule el numero de pagos que efectuo

(b) ¿De cuanto fue su ultimo pago?

20. El costo de efectuar una perforacion a 600 metros es como sigue: se fijan $150 por el primer metro yel costo por metro se incrementa a $100 por cada metro subsiguiente. Calcule el costo de perforar elmetro numero 500 y el costo total.

21. Si los terminos segundo y quinto de una P.G. son 1100.000 y 1

100 respectivamente. Encuentre el decimo.

22. Calcule el decimo quinto termino de la P.G: 18 ; 1

4 ; 12 · · ·

23. Interpolar cuatro numeros entre 4 y 128 de modo que esten en P.G

24. La suma de los catorce primeros terminos de una progresion geometrica es igual a 129 veces la sumade los 7 primeros terminos. Hallar la razon.

25. Suponga que alguien le ofrece un trabajo por el que usted va a ganar U$1 el primer dıa, U$2 el segundo,U$4 el tercero, etc. Cada dıa gana el doble de lo que gano el dıa anterior. ¿Cuanto ganara en 30 dıasen ese trabajo?

26. Suponga que lo que usted ahorra en determinado mes es el doble de lo que ahorro en el mes anterior.

(a) ¿Cuanto habra ahorrado al final de un ano, si en enero ahorro$1.000?.

(b) ¿Cuanto si en enero ahorro 250 pesos?.

27. Una maquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo original fue de $10.000y el valor de desecho es de $3.000. Encuentre la vida de la maquina, esto es, el numero de anos hastaque el valor depreciado sea menor que el valor de desecho.

28. Hallar la suma de los 20 primeros terminos de 3, 73 , 5

3 · · ·.29. Si los numeros a, b, c forman una P.A, demuestre que :

a

c=

a− b

b− c

30. En una P.A. la suma del primer y quinto termino es 2. El sexto termino es igual a cuatro veces elcuarto termino. Hallar la suma de los 100 primeros terminos.

31. La suma de los 50 primeros terminos de una progresion aritmetica es 200 y la suma de 50 terminosque siguen es 2700. Determine el primer termino y la diferencia.

32. Una empresa instala una maquina con un costo de $1.700. El valor de la maquina se deprecia anual-mente en $150 y su valor es de $200. ¿Cual es la vida de la maquina?.

33. Los pagos mensuales que Alicia efectua al banco por un prestamo forman una P.A. Si sus pagos sextoy decimo son de $345 y $333 respectivamente. ¿De cuanto sera su decimoquinto pago al banco?

34. Un individuo esta de acuerdo en pagar una deuda libre de interes de $5.800 en cierto numero de pagos,cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pagoes de $100. Calcule cuantos pago debera efectuar con objeto de finiquitar la deuda.

35. Dividir el numero 221 en tres parte que forman una P.G. de tal forma que el tercer numero sobrepaseal primero en 136.

36. En un conjunto ordenado de cuatro numeros, los tres primeros estan en P.G. de razon −12 , y los tres

ultimos estan en P.A. Si el primer numero es igual al cuarto, encuentre los cuatro numeros.

37. En un triangulo equilatero de lado 288 cms, se unen los puntos medios de sus lados y al centrose forma un nuevo triangulo equilatero. En este segundo triangulo se repite el procedimiento y asısucesivamente.¿Cual es el tamano del lado del decimo triangulo?

38. Si(n + 1)!

n!= 6 .¿Cual es el valor de n ?.

39. Encontrar el termino independiente de x,si es que existe, en:

(a)(

3x

2− 2

)4

(b)(√

x +1

3x2

)10

(c)(

6x2

5− 1

3x

)7

(d)(

x2 − 1x

)9

40. Encontrar el valor de n para que los terceros terminos de(

x2 +1x

)n

y(

x3 +1x2

)n

sean iguales.

41. Encuentre, si es que existe, algun termino que contenga a x7 en el desarrollo de:

(x− 1

x

)5

·(

x +1x

)6

42. Encuentre si existe el termino que contiene a x9 en el desarrollo de

(2√x− x3

)40

43. En el desarrollo de(

x · √x +1x4

)n

, el coeficiente del tercer termino es mayor que el coeficiente del

segundo termino en 44 unidades. Determine el valor de n.

44. Exprese como una potencia de binomio la siguiente sumatoria:

2n∑

k=0

(2n

k

)· 3k

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elem.de Alg.y Calculo Elemental

GUIA NUMEROS REALES

1. Utilizando las propiedades de los numeros reales, demuestre que:

(a)ab

c= a ·

(b

c

)

(b)a + b

c=

a

c+

b

c

(c)a

b+

c

d=

ad + bc

bd

2. Demuestre que si a + b + c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc

3. Demuestre que 2−√2 = −√2 + 2

4. Demuestre que (8 + x)− y = 8 + (x− y)

5. Demuestre que 3(4x + 2y + 8) = 12x + 6y + 24

6. En los siguientes problemas, establezca cual propiedad de los numeros reales se usa.

(a) 2(x + y) = 2x + 2y

(b) 2(3y) = (2 · 3)y

(c) 2(x− y) = (x− y) · 2(d) 6

7 = 6 · 17

(e) (−1)(−3 + 4) = (−1)(−3) + (−1)(4)

7. Resuelva la ecuacion de primer grado, utilizando las propiedades de los numeros reales. Indique lapropiedad que va ocupando paso a paso.

2(3x− 1) + 3 = 7x + 4

8. Demuestre que si a, b > 0, entonces

a

b+

b

a≥ 2

9. Demuestre que ∀a, b ∈ R+, se tiene que

a + b

2≥ 2ab

a + b

10. Demuestre que si a < b y c < d, entonces ad + bc < ac + bd

11. Resolver las siguientes inecuaciones

(a) x + 3 < 2x− 4

(b)x− 5

2+

9− x

3> x

(c) (x− 2)(x + 3) > x(x− 1)

(d)1x≤ 1

(e)x + 1x− 4

< 2

(f)4

x + 1− 3

x + 2> 1

(g) −1 <3x + 4x− 7

< 1

(h)2x− 2− x

x− 1≤ 1

(i)x2 − 4x + 3x2 − 6x + 8

≤ −1

(j)x2 − 3x + 2x2 + 2x + 6

< 3

12. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

(a) |x + 1| ≤ |2 + 3x|(b)

|x|x + 2

≥ 0

(c) 2 <

∣∣∣∣2 + x

x− 1

∣∣∣∣ < 3

(d) |x− 1| = 2(e) |x + 1|+ |x− 1| = 0

13. En biologıa existe una regla aproximada, llamada regla bioclimatica para zonas templadas, que es-tablece que en primavera, y a principios de verano, fenomenos periodicos tales como la aparicion deinsectos, la maduracion de la fruta, por lo general se retardan alrededor de 4 dıas por cada 1500 metros.

de altura sobre el nivel del mar, esta regla bioclimatica se resumen en la expresion d =(

h

1500

)donde

d( cambio en dıas ), h( cambio de altura medido en metros). Si esta regla es valida para 0 ≤ h ≤ 400,determinar la mınima y la maxima retardacion para un fruto que florece entre los 1600 y 2300 metrossobre el nivel del mar.

14. En sicologıa el CI de una persona se encuentra al dividir la edad mental por la edad cronologica yluego esta relacion se multiplica por 100. En terminos de formula esto se reduce a

CI =EM · 100

EC

Si el intervalo de variacion de CI de un grupo de alumnos de la UNAB de 20 anos de edad es70 ≤ CI ≤ 120 . Determinar el intervalo de variacion de la edad mental del grupo.

15. El administrador de un centro medico estima que si se emplean x maquinas radiologicas, el costo demantencion y energıa (en millones de pesos) en un mes sera de

C = x +6x

¿Cuantas maquinas se deben utilizar para que el costo sea a lo mas de 5 millones?

16. Un determinado farmaco que se usa para controlar la temperatura se inyecta vıa intramuscular. Su

efecto (en horas) es dado en funcion de x (mg de dosis) por E =74x

8x + 3. ¿ Que cantidad de dosis se

debe inyectar para que el farmaco tenga efecto mas de 4 horas y menos de 8 horas?

17. Use la relacion C =59(F − 32) para determinar el intervalo en la escala Fahrenheit que corresponde a

20 ≤ C ≤ 30 .

18. ¿A que rango de temperatura en la escala Celsius corresponde el intervalo 50 ≤ F ≤ 95 ?

19. Un numero entero positivo excede a otro en 5 unidades y su suma no supera a 29.¿Cuales son losnumeros enteros positivos que verifiquen esta condicion?

20. La sexta parte de un numero mas la novena parte del mismo, tienen una suma mayor o igual a 15.¿Cuales el numero mas pequeno que verifica esta relacion?

PROBLEMAS DE SOLEMNES

21. Sean a, b ∈ R+, tales que a > b. Determine si la siguiente aseveracion es verdadera o falsa. Justifiqueclaramente su respuesta.

a3b− ab3

b− a< 0

22. Resuelva las siguientes inecuaciones:

(a)∣∣∣∣x− 3

2

∣∣∣∣ ≥ 5

(b)x + 2

2− 5

x + 3<

x

2

23. Diversos estudios han determinado que en condiciones normales la sensacion termica de un individuoesta relacionada con la altura a la cual este se encuentra mediante:

T = 20(

1− h

40

)

En que T (sensacion termica) expresada en oC y h la altura en metros.

(a) ¿A partir de que temperatura el individuo comienza a sentir temperaturas bajo cero?

(b) ¿Cual sera el sera el rango de la altitud si se sabe que las temperaturas oscilan entre los -10 oCy 10 oC, inclusive?

24. Determine la veracidad o falsedad ( V o F ), de las siguientes aseveraciones, justificando claramente odando un contraejemplo.

(a) 6 ∃x ∈ R para el cual |x− 1| = |x− 2|(b) x +

1x

> 0,∀x ∈ R

(c) Si |x− 3| < 1 ⇒ 18

<1

x + 4<

16

25. Encuentre el conjunto solucion para:

4x + 1

> 1 +3

x + 2

26. Al realizar un estudio en un sector minero se encontro un gran porcentaje de personas con niveleselevados de plomo en la sangre. El instituto de salud publica decidio comenzar un tratamiento conun costoso medicamento a las personas que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje quedescribe la cantidad del plomo en la sangre como efecto de x gramos del medicamento, viene dado porla relacion

P =x2 + 5x + 6x2 + x + 1

, con P expresado en %

¿Al menos cuantos gramos deben administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %?

27. (a) En un triangulo rectangulo, uno de los angulos agudos x es menor o igual que 3 veces el otroangulo agudo mas 10 grados.¿Cual es el valor maximo del angulo que verifica esta condicion?

(b) Resolver la inecuacion

|1− 2x| ≤ 0

Justifique claramente su respuesta.

28. Para que cualquier medicamento tenga un efecto benefico, su concentracion en el torrente sanguıneodebe exceder un cierto valor llamado ” nivel terapeutico mınimo”. Suponga que la concentracion Cde un farmaco al transcurrir t horas despues de que se ha ingerido esta dada por

C =20t

t2 + 4

[mg

lto

]

Si el nivel terapeutico mınimo es de 4mg

lto, determine cuando se ha excedido este nivel.

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elem.de Alg.y Calc.Elemental

GUIA FUNCIONES

1. Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones

(a) f(x) = 4x2 − 6

(b) f(x) =3

x− 1

(c) f(x) =√

1− x2

(d) f(x) =

√1 +

x2

1− x2

(e) f(x) = 3√

x2 − x

(f) f(t) =4− t2

2t2 − 7t− 4

(g) f(x) =x2 − 3x + 2

x2 − 4

2. Considere las funciones f(x) = 9x + 7 y g(x) = x2 − x, determine

(a)f(2 + h)− f(2)

h

(b)g(x)− g(4)

x− 4(c) f(g(x))− g(f(x))

(d) f(g(1))− g(f(−2))

3. Suponga que f(b) = ab2 + a2b, calcule f(ab) y f(a).

4. Determinar funciones f y g, tales que h(x) = f(g(x)) para cada uno de los siguientes casos

(a) h(x) = (4x− 3)2

(b) h(x) =√

x2 − 2

(c) h(x) =1

x2 − 1(d) h(x) = (x− 1)3 + 3(x− 1)2 + x− 2

5. Graficar las siguientes funciones cuadraticas

(a) f(x) = (4x− 3)2

(b) f(x) = 2x2 − 3x + 4

(c) f(x) = −3x2 + 2x + 1

(d) f(x) = (x− 3)(2− x)

6. Dada la funcion

f(x) =

1− x

x− 2si x < 2

3x + 14

si x ≥ 2

Determinef(−2) + 3f(7)√f(5) + (fof)(0)

7. Grafique las siguientes funciones definidas por ramas e indique en que intervalos la funcion es positiva,negativa, creciente y decreciente

(a) f(x) =

2 si 0 ≤ x ≤ 43x si x > 4

(b) f(x) =

2x + 1 si − 1 ≤ x < 29− x2 si x ≥ 2

(c) f(x) =

x + 1 si 0 ≤ x < 34 si 3 ≤ x ≤ 5x− 1 si x > 5

8. Considere la funcion definida por

f(x) =

x2 + 7 si x ≤ −11x

si − 1 < x < 0

x + 9 si x ≥ 0

(a) Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por (2, f(2)) y que tiene pendiente ”3”.

(b) Encuentre f(f(−2)).

9. Sea f(x) =(a− 1)x− 1

ax + 2. Determine el valor de a ∈ R tal que la imagen de ”1” sea ”1/5”.

10. Dadas las siguientes funciones, encuentre los dominios y recorridos adecuados de modo que seanbiyectivas

(a) f(x) =x + 32x− 1

(b) f(x) = x2 − 1

(c) f(x) = 4x + 1

(d) f(x) =√

x + 1

APLICACIONES

11. Un gran hospital tiene una flota de 30 ambulancias cada una de las cuales recorre aproximadamente200 Km al dıa y gasta en promedio 1 galon por cada 15 Km. El precio de la gasolina es de $70 porgalon.

(a) Establezca una funcion que exprese la cantidad de dinero que se necesita para gastos de gasolinaen los siguientes x dıas.

(b) Si la facturacion mensual promedio en el ultimo ano fue de $485.000, determine la cantidad dedıas promedio que al mes funcionan las ambulancias.

12. Despues de observar una fotocopiadora automatica de trabajo continuo, el tecnico descubre que porun defecto de funcionamiento, la produccion disminuira en un numero constante de hojas impresaspor hora, arrojando 4480 hojas impresas durante la primera hora con desperfectos. Si la hora 30 condesperfecto produjo 3900 hojas

(a) Determine un modelo lineal que sea capaz de predecir la cantidad de hojas arrojadas por lafotocopiadora con defecto, N , en funcion de la cantidad de horas t.

(b) ¿Despues de cuantas horas la cantidad de hojas arrojadas por la fotocopiadora alcanza las 4420?

13. En cierto experimento de aprendizaje, involucrando repeticion y memoria, se estimo que la proporcionde p de elementos recordados se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo t (ensegundos), donde t esta entre 5 y 9 . Para un tiempo de estudio efectivo de 5 segundos la proporcionde elementos recordados fue de 0.32 .Por cada segundo mas en el tiempo de estudio, la proporcionrecordada aumentaba en 0.059

(a) Determine la relacion que exprese p en terminos de t

(b) ¿Que proporcion de elementos fue recordada con 9 segundos de tiempo efectivo de estudio?

14. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210, cada aumentodel 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontro que para un grupo de edadparticular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a un nivel de 231 el riesgoes de 0.192.

(a) Encuentre una ecuacion lineal que exprese el riesgo R en terminos del nivel de colesterol C.(b) ¿Cual es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

15. En un estudio de paciente HIV que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se encontro quedespues de 4 anos, 17% de los pacientes tenıan sida y que despues de 7 anos 33% lo tenıan.

(a) Encuentre una funcion lineal que modele la relacion entre el intervalo de tiempo y el porcentajede pacientes con sida.

(b) Pronostique el numero de anos hasta que la mitad de esos pacientes tenga sida.

16. La evolucion de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la regeneracion detejidos , sigue el comportamiento lineal, cuya variable independiente, corresponde al numero de dıasen que el organismo regenera en milımetros cuadrados sus tejidos. Segun antecedentes al primer dıano hay tejidos regenerados; sin embargo al cabo de 10 dıas se comprueba que, hay 4,5 milımetroscuadrados de tejidos regenerados. Por lo tanto, de acuerdo al planteamiento, determine

(a) La ecuacion lineal de comportamiento(b) La cantidad de tejido regenerado, cuando han transcurrido 30 dıas(c) El tiempo aproximado, que ha permitido una evolucion en el tejido de 100 milımetros cuadrados.

17. El departamento de salud estima que el numero de personas que consumen cocaına ha ido aumentandoen una proporcion lineal. El numero estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000 y en 1985 fue de1025000.

(a) Determine la funcion lineal que relacione la cantidad de drogadictos en terminos del tiempomedido en anos (t = 0 para 1980)

(b) Interprete el significado de la pendiente

(c) Si el numero de drogadictos sigue creciendo,¿ cuando llegara a 1250000 ?

18. Una clınica ha decidido renovar sus ambulancias. En el presente ano el costo de compra es de 15000dolares. Las unidades se conservan 3 anos.Despues de este tiempo se espera que su valor de reventasea 3600 dolares. Si la depreciacion es lineal, determine la funcion que describe esta devaluacion.

19. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan. Para lospeces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por dıa) esta dada por la funcion:

G(T ) = −0.0346(T − 23)2 − 0.0723(T − 23) + 3.77

(a) Encuentre la temperatura del agua que genera la maxima tasa de crecimiento.

(b) Cuando la temperatura del agua es de 15C ¿ Cual es la tasa de crecimiento?

(c) ¿A que temperatura los peces dejan de crecer?

20. Un investigador en fisiologıa ha decidido que la funcion r(s) = −s2+12s−20 es un modelo matematicoaceptable para describir el numero de impulsos emitidos despues que se ha estimulado un nervio. Aquır, es el numero de respuestas por milisegundos (ms) y s es el numero de milisegundos transcurridosdesde que es estimulado el nervio.

(a) ¿Cuantas respuestas son de esperar despues de 3 ms?

(b) Si hay 16 respuestas,¿cuantos milisegundos han transcurridos desde que fue estimulado el nervio?

(c) Grafique la funcion r(s)

21. Un estudio contable realizado en una determinada clınica, dio como antecedente que el costo deintervenciones quirurgicas , dependıa del numero de insumos utilizados y que la relacion se daba deacuerdo a la funcion

C(x) = x2 − 50x + 8000

Determine el costo mınimo por intervenciones quirurgicas y el numero de insumos a un costo de 7400u.m. de intervenciones.

22. Un investigador en fisiologıa ha decidido que un buen modelo matematico para el numero de impulsosdisparados despues que un nervio ha sido estimulado esta dado por la funcion

y = −x2 + 20x− 60

donde y es el numero de respuestas por milisegundo y x es el numero de milisegundos desde que elnervio fue estimulado.

(a) ¿Cuando se alcanzara la razon maxima de disparos?

(b) ¿Cual es la razon maxima de disparos?

(c) Represente un grafico de la situacion planteada.

23. La temperatura, que experimenta cierto cultivo de bacterias, varıa segun la relacion

y = −(x− 2)2 + 1

donde x, representa el tiempo de exposicion a fuentes de energıa calorica.

(a) Senale el intervalo de tiempo, en que la temperatura del cultivo se mantiene positiva

(b) Determine el tiempo en que la temperatura alcanza, su maxima.

(c) Identifique las variables planteadas en el estudio.

(d) Bosqueje la grafica, asociada a la relacion.

24. Se ha descubierto que los niveles de contaminacion en los primeros 6 meses de 2001 ha variado deacuerdo a la funcion

y = −x2 + 6x

donde x representa el mes esperado.

(a) Determine el mes en que el nivel de contaminacion fue maximo.

(b) Segun la informacion dada ¿en que mes no hubo contaminacion?

(c) Grafique la situacion planteada.

25. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenıaun 10% de proteına. La proteına consistıa en levadura y harina de maız. Variando el porcentaje P delevadura en la mezcla de proteına se estimo que el peso promedio ganado, en gramos, de una rata enun perıodo fue de

f(P ) = −P 2

50+ 2P + 20

con 0 ≤ P ≤ 100 . Encontrar el maximo peso ganado.

26. Un lago formado por un dique contiene inicialmente 1.000 peces. Se espera que su poblacion aumentesegun

N(t) =30

1 + 29e−kt

donde N es el numero de peces, en miles, que se espera despues de t anos.

Si se sabe que al cabo de 6 meses la poblacion aumento a 1900 peces y se planea que el lago estaraabierto a la pesca cuando el numero de peces sea de 20000. ¿Cuantos anos pasaran para que se abrael lago a la pesca?

27. Se estima que la cantidad de material particulado (PM10) que dejan las fuentes moviles en el granSantiago, relacionado con la cantidad de dıgitos afectados por restriccion vehicular esta dada por

f(t) =2000− 9e0.32t

15

partıculas por millon (ppm),donde t representa la cantidad de dıgitos que estan restringidos duranteuna semana.

(a) Si en total en una semana se restringen 12 dıgitos, ¿ Cuantas ppm de PM10 contaminaranSantiago en ese perıodo?

(b) Para que el nivel de contaminacion no supere las 50 ppm ¿ cuantos dıgitos se deberıan restringiren la semana?

28. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la funcion

f(t) =250

1 + e−2t

la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t.

(a) Si el tiempo es medido en semanas, ¿cuantas han sido contagiados en tres semanas?

(b) ¿Cual es la cantidad de contagiados en tres meses?

(c) ¿En que tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas

29. Los registros de salud publica indican que t semanas despues del brote de cierta clase de gripe, aprox-

imadamente f(t) =2

1 + 3e−0.8tmiles de personas han contraıdo la enfermedad.

(a) ¿ Cuantas personas tenıan la enfermedad al comienzo.?

(b) ¿ Cuantas habıan contraıdo la enfermedad despues de tres semanas?

30. Despues de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado de 3000estudiantes , el numero de estudiantes infectados despues de t dıas, se pronostica por

N(t) =3000

1 + 2999e−0.895t

(a) ¿Cuantos estudiantes estaran infectados despues de 10 dıas?

(b) ¿En que perıodo de tiempo, se estima que los infectados, lleguen aproximadamente a 1000 estu-diantes?

31. Una ley de curacion de las heridas es A = Be−n10 , siendo A ( en m2 ) el area danada despues de n

dıas, y B (en m2) el area original danada. Hallar el numero de dıas necesarios para reducir la heridaa su tercera parte del area danada.

32. El valor de reventa V de un equipo radiografico se comporta de acuerdo a la ecuacion V = 750.000e−0.05t,en que t son los anos transcurridos desde el momento de la compra.

(a) ¿ Cual es el valor original del equipo radiografico ?

(b) ¿ Cual es el valor esperado de reventa despues de 5 anos ?

(c) ¿ Despues de cuantos anos el valor de reventa sera de $250000 ?

33. De un elemento radiactivo quedan N gramos despues de t horas, donde

N = 100e−0.035t

(a) ¿ Cuantos gramos estan presente inicialmente ?

(b) ¿ Cuantos gramos permanecen despues de 10 horas ? ¿y despues de 50 horas?

(c) ¿ Es posible estimar la cantidad de horas necesarias para que el elemento radiactivo ya no estepresente ?

34. A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitacion se caracteriza por un efecto derendimientos decrecientes. Es decir, la recuperacion de la funcionalidad suele aumentar con la duraciondel programa terapeutico, pero con el tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relacion con losesfuerzos adicionales del programa. Para una incapacidad particular, los terapeutas han ideado unafuncion matematica que describe el costo C de un programa terapeutico en funcion del porcentaje dela funcionalidad recuperada x dada por

C(x) =5x

120− x

donde C se mide en miles de dolares.

(a) ¿ Para que valores de x tiene sentido dicha funcion ?

(b) ¿ Cual es el costo de la terapia para lograr una recuperacion del 10%?

(c) ¿Cual es el costo de la terapia para lograr una recuperacion total ?

35. Para una relacion de particular huesped-parasito, se determino que cuando la densidad de huespedes(numero de huespedes por unidad de area) es x , entonces el numero de parasitos en un periodo es y,donde

y =900x

10 + 45x

Si la densidad de los huespedes fuera 10000 ¿cual es el numero de parasitos en el periodo?

PROBLEMAS DE SOLEMNES

36. Desde 1980 ha habido un incremento lineal en el porcentaje de la poblacion de alcoholicos en unaciudad europea. En 1980 el porcentaje fue de 10.5% y en 1990 se elevo a 12.9%. Si P es el porcentajede alcoholicos en la poblacion y t representa el tiempo medido en anos desde 1980 (t = 0 en 1980 ),

(a) Encuentre el modelo lineal que permita representar el porcentaje de alcoholicos en funcion deltiempo medido en anos.

(b) ¿Que porcentaje de alcoholicos se preve para el ano 2005?

(c) ¿En que ano el porcentaje de alcoholicos sera de un 18%?

37. Dada la funcion definida por:

f : A ⊆ R→ B ⊆ Rx 7→ y = f(x) = −x2 + 16x + 17

(a) Grafique la funcion f(x), indicando los puntos mas relevantes.

(b) Determine los subconjuntos A y B de modo que la funcion sea biyectiva.

(c) Respecto a la grafica de la funcion en la parte (a), ¿en que intervalo f es positiva?

38. Si x es la presion atmosferica ( medida en milımetros de mercurio), h la altura (medida en metrossobre el nivel del mar) y T es la temperatura (en C), entonces:

h = (30T + 8000) · log(

760x

)

Calcular:

(a) La altura de una montana si los instrumentos ubicados en la cima registran 5C y presion de 500milımetros de mercurio.

(b) La presion fuera del avion volando a 10000 metros de altura, si la temperatura exterior es -10C.

39. El efecto de la anestesia bucal en un paciente en %, luego de t minutos de ser inyectado el farmacoviene dado por

G(t) = −25t2

16+ 25t

(a) Se determina que un paciente no siente dolor cuando el efecto es superior al 75%. Utilizandoinecuaciones, determine el intervalo de tiempo para el cual el paciente no siente dolor.

(b) ¿En que instante se produce el grado maximo de adormecimiento?

40. La funcion definida por

f(x) =1

1 + e−(b+mx)

se denomina funcion logıstica y fue introducida por el biologo matematico aleman Verhulst hacia elano 1840 para describir el crecimiento de poblaciones con recursos alimentarios limitados. Demuestreque

ln(

f(x)1− f(x)

)= b + mx

41. (a) Dada la funcion f(x) = x−2x , calcule los valores de x, tales que |f(x)| < 1.

(b) Considere las funciones reales f(x) = ax+ b y g(x) =x + 1

2. Encontrar el valor de las constantes

a y b de modo que (g f)(1) = 3 y (g f)(−2) = 1

42. En una prueba para metabolismo de azucar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, lacantidad de azucar encontrada esta dada por la funcion A(t) = 3.9 + 0.2t− 0.1t2, donde t es el tiempomedido en horas.

(a) ¿Despues de cuanto tiempo la cantidad de azucar llega a su maximo?

(b) ¿Cual es la cantidad maxima de azucar?

43. Una cierta sustancia radiactiva decrece segun la formula

q(t) = q0 · e−0.0063t

donde q0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en dıas. Determine despues de cuanto tiempola cantidad de sustancia sera la mitad de la inicial.

44. La presion atmosferica ,P , varıa con la altitud, h, sobre la superficie de la tierra. Para altitudes hastacasi los 10 kilometros, la presion P ( en milımetros de mercurio ) esta dada en forma aproximada por

P = 760e−0.125h

donde h esta en kilometros.

(a) Determine la presion a una altitud de 7.3 km.

(b) ¿A que altitud la presion sera de 400 milımetros de mercurio?

45. Considere la funcion

f(x) =

2x + 4 si x < −1x2 − x− 2 si − 1 < x ≤ 2e2x si x > 2

(a) Grafique f(x).

(b) Determine Dominio y recorrido.

(c) Encuentre los intervalos donde f crece, decrece, sea positiva y negativa.

46. Los elementos radiactivos tienen la particularidad de que su cantidad disminuye con respecto al tiempode manera exponencial, es decir,N = N0e

kt , donde N esta en miligramos y t en anos. Suponga queal principio hay 100 miligramos de una sustancia radiactiva y despues de 20 anos hay 50 miligramos.En base a esto se pide:

(a) Determinar completamente el modelo que representa el fenomeno.

(b) Determinar despues de cuanto tiempo la cantidad de sustancia radiactiva es la cuarta parte dela inicial.

47. En pruebas realizadas en una dieta experimental para cerdos, se determino que el peso, P , en kilos,de un cerdo, se comporta linealmente con respecto al numero de dıas, d, despues de iniciada la dieta,donde 0 ≤ d ≤ 100 . Si el peso de un cerdo al inicio de la dieta fue de 20 kg, y a partir de ahı gano6.6 kg cada 10 dıas.

(a) Encuentre un modelo lineal que permita obtener el peso de un cerdo en terminos del numero dedıas.

(b) Calcule el peso del cerdo para 50 dıas despues que inicio la dieta.

(c) ¿Despues de cuantos dıas el peso de un cerdo era 72.8 kg?

48. Determine el dominio de la funcion

f(x) =

√x + 2x− 3

− x + 3x− 2

49. El consumo de oxıgeno ( en mililitros/libra/minuto ) para una persona que camina a x millas/horaesta dada aproximadamente por la funcion

f(x) =53x2 +

53x + 10

mientras que el consumo de oxıgeno para un corredor a x millas/hora esta dada aproximadamente por

g(x) = 11x + 10

(a) Trace las graficas de f y g ( en un mismo plano cartesiano ).

(b) ¿A que velocidad es identico el consumo de oxıgeno para una persona que camina y para otraque corre?

(c) ¿Que sucede con el consumo de oxıgeno para ambas personas a velocidades mayores que ladeterminada en la parte (b)?

50. La concentracion de un medicamento en un organo al instante t ( en segundos ) esta dada por

x(t) = 0.08 + 0.12 · e−0.02t

donde x(t) son gramos/centımetros cubicos (gr/cm3)

(a) ¿Cual es la concentracion pasado 1 minuto?

(b) ¿Cuanto tiempo tardara en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el organo?

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludEscuela de Quımica y Farmacia - Bioquımica - Ing.en Biotecnologıa - B.MarinaFMM 032 - Elem.de Alg.y Calculo Elemental

GUIA TRIGONOMETRIA

1. Se sabe que α y β son los angulo interiores de un triangulo rectangulo, y que cosα =35

. Sin recurriral valor de α y β ,encuentre el valor de la siguiente expresion:

sinα− 3 cos β

tanβ + cotα

2. Dado que tan θ = −23

y que θ esta en el segundo cuadrante, hallar los otros valores funcionales (seno,

coseno, cotangente, secante, cosecante).

3. Dado que cot θ = 2 y que θ esta en el tercer cuadrante, hallar los otros valores funcionales.

4. Dado que sin θ =35

y que θ esta en el primer cuadrante, ¿cual es el valor de sin 2θ?

5. Desde un faro, el angulo de depresion con que se observa un bote, en direccion sur, es de 55 y elangulo de depresion con que se observa otro bote, en direccion poniente es de 28. Calcular la alturadel faro si la distancia entre los botes es de 150 mts.

6. Desde un faro de 25 mts de altura se observa un bote situado en un punto A. Cuando el bote se aleja20 mts., el angulo de elevacion desde este hacia el faro es de 30. Determinar la distancia final entreel bote y el extremo inferior del faro.

7. El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h del piso, formando un angulo de30 con la pared. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formando un angulo de60 con la pared.¿ Cual es la altura de la escalera?

8. Desde lo alto de un edificio de h mts de altura se observa una persona con un angulo de depresion de15. La persona camina 10 mts hacia el edificio y observa el tope de este con un angulo de elevacionde 30. Calcular la altura del edificio.

9. ¿Que altura tiene un arbol si arroja una sombra de 8.5 mts la largo en el momento que el angulo deelevacion del sol es de 45?

10. Desde el extremo superior de un monumento, el angulo de elevacion hasta el remate de un edificio esde 60 y el angulo de depresion de la base es de 45. Si la altura del edificio es de 40 mts, calcular laaltura del monumento.

11. Desde el pie de un poste, el angulo de elevacion de la punta de un campanario es de 60, desde la partesuperior del poste, que tiene 9 metros de altura, al angulo de elevacion es de 30. Hallar la altura delcampanario y la distancia de este al poste.

12. En el borde de una piscina se desea colocar una torre para clavados olımpicos. Si mirando desde puntade la torre hacia el extremo opuesto de la piscina el angulo de depresion es de 30o, ¿Cuanto debe medirla torre, si la distancia de la base de la torre al extremo opuesto de la piscina es de 25 metros.

13. Construya una ecuacion y su grafica tal que cumpla todas las siguientes caracterısticas:

• Funcion coseno

• Amplitud = 3

• Desface = −π3 .

• Perıodo = π

14. El numero de horas con luz de dıa para un area en particular se relaciona con el dıa del ano de lamanera siguiente:

D = 2.5 sin(

t

2− π

6

)

donde D es el numero de horas con luz dıa y t es el dıa del ano, donde t = 1 corresponde al primerode Enero. Trace una grafica de esta funcion, e indique su perıodo, amplitud y desfase.

15. Para la funcion sinusoidal y = −2 sin(2x − π) . Obtenga su grafica, indicando amplitud, perıodo ydesfase.

16. Determinar grafica, amplitud, perıodo y desplazamiento de

y = 3 sin(2x +

π

2

)

17. La cantidad de bioxido de azufre, obtenido de la combustion de combustibles liberados hacia laatmosfera de una ciudad varıa estacionariamente. Suponga que el numero de toneladas del con-taminante liberado en la atmosfera durante cualquier semana despues del primero de enero para ciertaciudad esta dado por:

A(n) = 1.5 + cos(nπ

26

), con 0 ≤ n ≤ 104

Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica.

18. Un adulto normal sentado aspira y exhala cerca de 0,82 litros de aire cada 4 segundos. El volumen deaire en los pulmones t segundos despues de exhalar es aproximadamente

V (t) = 0.45− 0.37 cos(

πt

2

), 0 ≤ t ≤ 8

Grafique la funcion en el intervalo indicado y describa lo que muestra la grafica.

19. Demostrar las siguientes identidades

(a)sinx · cosx

cos 2x− tanx

1− tan2 x= 0

(b)sinα + sin 2α

1 + cos α + cos 2α= tanα

(c) cos 2α =csc2 α− 2

csc2 α

(d)cos 2α

1− sin 2α=

1 + tanα

1− tanα

(e) (sinx− csc x)2 + (cosx− sec x)2 = tan2 x + cot2 x− 1

(f) (sec x− tanx)2 =1− sinx

1 + sinx

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elementos de Alg.y Calculo Elemental

GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Sea f(x) = sen (x)x complete la siguiente tabla:

X 1 0.1 0.01 0.001 0 -0.001 -0.01 -0.1 -1f(x)

De acuerdo con la tabla ¿es posible que exista el limx→0

f(x) ?De ser ası, de un valorestimado.

2. Confeccione una tabla de valores que le permita estimar los lımites de las siguientesfunciones:

(a) f(x) = x−2x2−x−2

cuando x tiende a 2

(b) f(x) =√

x+3−√3x cuando x tiende a 0

(c) g(x) =

x2 + 2 x 6= 11 x = 1

3. Dado que limx→∞ f(x) = 0 y lim

x→∞ g(x) = 1 Analizar:

(a) limx→∞[f(x) + g(x)] b) lim

x→∞

[f(x)g(x)

]c) lim

x→∞

[g(x)f(x)

]d) lim

x→∞ [f(x) ∗ g(x)]

4. La funcion f(x) = [x] se define como el entero mas grande que es menor o igual a x.Por ejemplo:

[ 3.4 ]= 3, [ 0.2 ]= 0, [ -0.5 ]= -1, [ -4.3 ]= -5. Evalue los siguientes lımites:

a) limx→3+

[x] , limx→3−

[x] , limx→3.6

[x].

(a) b) Si n es un entero, evalue limx→n+

[x] , limx→n−

[x]

i. c) ¿Para cuales valores de a existe limx→a

[x]?

5. Sea f(x) = x− [x].

a) Esboce el grafico de f .

b) Si n es un entero, evalue limx→n+

f(x) , limx→n−

f(x).

c) ¿Para cuales valores de a existe limx→a

f(x)?

1

6. Si f(x) = [x] + [−x], demuestre que limx→2

f(x)existe, pero no es igual a f(2).

7. En la Teorıa de la Relatividad la formula de contraccion de Lorentz:

L = L0 ·√

1− v2

c2

expresa la longitud L de un objeto como funcion de su velocidad v respecto a unobservador, donde L0 es la longitud en reposo y c es la velocidad de la luz. Encuentrelim

v→c−L e interprete el resultado. ¿Por que se necesita un lımite por la izquierda?

8. Muestre por medio de un ejemplo que limx→a

(f(x) + g(x))puede existir aunque limx→a

f(x)ni lim

x→ag(x)existan.

9. Muestre por medio de un ejemplo que limx→a

(f(x) · g(x))puede existir aunque limx→a

f(x)nilimx→a

g(x)existan.

10. ¿Hay un numero a tal que: limx→−2

3x2+ax+a+3x2+x−2

exista?. Si es ası determine el valor de a y el lımite.

11. Calcular los siguientes lımites.

(a) limx→0

sen9x

3x

(b) limx→∞

√x6 + x3 −

√x6 − x2

(c) limx→3

x2 − 9x2 − x− 6

(d) limx→0

senx

tg(3x)

(e) limx→1

1− 6√

x

1−√x

(f) limx→0

√4 + x− 2

x

(g) limx→∞

(x + 2

x

)x−2

(h) limx→0

senx · (1− cosx)x3

(i) limx→0

sen2x · senx

x · sen3x

(j) limx→∞

x3√

x3 + 10

(k) limx→a

√x−√a

x− a

(l) limx→0

(sen2x

x

)1+x

2

(m) limx→∞

(x + 2x + 1

)x

(n) limh→0

√x + h−√x

h

(o) limx→0

1− cosx

x2

(p) limx→4

3−√5 + x

1−√5− x

(q) limx→0

1−√cosx

x2

(r) limx→7

2−√x− 3x2 − 49

(s) limx→1

3√

x− 14√

x− 1

(t) limx→0

sen5x

sen2x

12. Analice si los siguientes lımites existen, dada la funcion:

f(x) =

3x2−2x−1 x < −2−5x

3 − 2 ≤ x ≤ 3x + 1 x > 3

(a) limx→−3

f(x)

(b) limx→−2

f(x)

(c) limx→3

f(x)

13. Determine si existe limx→5

f(x), donde f(x) = x2−3x−10|x−5| .


f(x), donde f(x) =√|x−1|+4−2

x−1 .


f(x), donde: f(x) =

2−√x+3

x−1 x > 12x2−3x2+3

x < 1

16. Determine los valores de a y b de modo que los lımites limx→−2

f(x) y limx→2

f(x) existan,,

donde f(x) viene dada por: f(x) =

x + 2a x < −23ax + b − 2 < x < 23x− 2b x > 2

17. Determine si existe limx→−1

f(x) para f(x) definida como: f(x) =

x2−13x+2 x < −1

1x2+1

x > −1

3

18. Determine si la siguiente funcion es continua en x = 0.

f(x) =

senxx x < 0

0 x = 01−√x1−x x > 0

En caso de no ser continua, indique si es reparable o irreparable. Si es reparable,reparela.

19. Determine los valores de a y b, de modo que la funcion:

f(x) =

a(x3−1)x+1 + b si x < 1

2ax− 3 si 1 ≤ x ≤ 2b(x2+3x−10)

x−2 si 2 < x

sea continua en todos los reales.

20. Determine los valores de b y c, de modo que la funcion:

f(x) =

x + 1 1 < x < 3x2 + bx + c |x− 2| ≥ 1


21. Analice si la siguiente funcion es continua o discontinua en x = 0.

f(x) =

e2x−1x x < 0

32 x = 02

ln 2

(2x−1

x

)x > 0

En caso de ser discontinua, diga que tipo de discontinuidad tiene. De ser reparable,reparela.

22. Determine el valor de a, de modo que la funcion:

f(x) =

x + 1 x > 2−x2 + a x ≤ 2


23. Determine el valor de a, de modo que la funcion: f(x) =

x

1+e− 1

x2

x 6= 0

a x = 0


24. Mostrar que ambas funciones son discontinuas en x = 0

f(x) =

− x x < 01 x ≥ 0

g(x) =

1 x < 0x x ≥ 0

4

25. Analizar la continuidad de f(x) = x2−4x−2

En caso de ser discontinua, diga que tipo de discontinuidad tiene. De ser reparable,reparela.

26. Determine para que valores de α la funcion definida por:

f(x) =

x2

senx x 6= 0α x = 0

27. Determine los valores de a y b de modo que la funcion:

f(x) =

−2senx − π < x ≤ −π2

asenx + b − π2 < x < π

2cosx π

2 ≤ x < π


28. Dada la funcion:

f(x) =

x2−9x+3 x 6= −3−6 x = −3

¿Es continua en x = -3?.

29. Determine el valor de α de modo que: f(x) =

x ln xx−1 x > 0; x 6= 1α x = 1

la funcion sea continua en todos los reales.

30. Determine para que valores de a, la funcion definida por:

f(x) =

√1+x2−1

senx·(1+x2)x 6= 0

a x = 0

sea continua en x = 0.

31. Esboce la grafica de un ejemplo de una funcion que satisfaga todas las condicionesdadas:

(a) limx→3+

f(x) = 5, limx→3−

f(x) = 2 , limx→1

f(x) = 2 , f(3) = 2 , f(−1) = 0

(b) limx→1+

f(x) = 1 , limx→1−

f(x) = −1 , limx→−3−

f(x) = 0 , limx→−3+

f(x) = 1/2 , f(−3) =

1/2 , f(1) no esta definido

32. La poblacion N de una ciudad pequena en t anos a partir de ahora se predice que sera :

N = 20000 + 10000(t+2)2

Encuentre la poblacion a largo plazo.

5

33. Si “c” es el costo total en dolares para producir “q” unidades de un producto, entoncesel costo promedio por unidad “c” para una produccion de “q” unidades esta dado por:c = c

q . Si la ecuacion del costo total es c = 5000 + 6 · q, demuestre que el costopromedio se aproxima a un nivel de estabilidad si el productor aumenta infinitamentela produccion.

34. Para una relacion particular de huesped-parasito, fue determinado que cuando la densi-dad de huespedes (numero de huesoedes por unidad de area) es “x”, entonces el numerode parasitos en un perıodo es “y” donde: y = 900·x

10+45·xSi la densidad de los huespedes fuera aumenta infinitamente, ¿a que valor se aproximarıay?

35. Para estudiar la tasa a la que aprenden los ninos pre-escolares , una educadora deparvulos realizo un experimento en el que de modo repetido se le solicita a un nino querealice una prueba de destreza fina. Supongase que el tiempo requerido por el nino pararealizar la n-esima prueba era aproximadamente:

f(n) = 3 +12n

minutos

(a) ¿En que prueba utilizo por primera vez 4 minutos o menos?

(b) Segun la funcion f ¿ que le sucedera al tiempo requerido para que el nino realicela prueba cuando el numero de pruebas aumenta infinitamente?

(c) ¿Podra el nino realizar la prueba alguna vez en menos de 3 minutos?

36. Suponga que una tijera quirurgica se saca de un esterilizador a una temperatura de300oF, en una laboratorio cuya temperatura ambiente es de 70oF. La Ley de enfri-amiento de Newton, predice que la temperatura T de la tijera en cualquier tiempot ( en minutos) medido a partir del instante en que esta es sacado del esterilizadores:T (t) = 70 + 230 · e−0.0246·t

(a) ¿ Cual es la temperatura de la tijera despues de 20 minutos de sacado de equipo?

(b) ¿ Cuanto tiempo lleva la tijera fuera del equipo si su temperatura es de 200˚F

(c) Despues de “infinitas” horas ¿cual es la temperatura aproximada de la tijera?

37. Calcular los siguientes lımites, si es que existen:

(a) limx→0

tanx− sinx

sin3 x

(b) limx→0

√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3

6


f(x) =

x2 + x− 6x + 3

x > −3

−5 x ≤ −3

(a) Para x > −3, calcule limx→∞

1f(x)

(b) Analice la continuidad de f(x) en todos los reales.

7

Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de la SaludFMM 032 - Elem.de Alg.y Calc.Elemental

GUIA DERIVADAS

1. Usando la definicion de derivada calcule las siguientes derivadas dadas las funciones:

(a) f(x) =√

2x + 1

(b) f(x) = x2 + 3x + 5

(c) f(x) = 2√

x

2. Utilizando propiedades y reglas de derivacion, obtenga f ′(x)

(a) f(x) = 2ex + lnx

(b) f(x) =sinx + cosx

sinx− cosx

(c) f(x) = 3 cosx + 2 sinx

(d) f(x) =√

x− 1√x

(e) f(x) =ex · cosx

1− sinx

(f) f(x) =x + 1x− 1

(g) f(x) =sinx

x2

3. Utilizando regla de la cadena, encuentre y′ a partir de

(a) y = e3x2 · x(b) y = (2x− 1)2 − 6 sin(5x)

(c) y =(√

x3 + 5) 5

2

(d) y = 2 ln(cos(2x))

(e) y =√

1−√

(2x + 1)

(f) y =x2 · ln(4x)

e2x

(g) y = sin2(2x) + cos2(2x)

(h) y =ln(sin(x2 + 1))

x

4. Demuestre que

(a) y = xe−x2

2 , satisface la ecuacion xy′ − (1− x2)y = 0.

(b) y = x sinx, satisface la ecuacion x2y′′ − 2xy′ + (x2 + 2)y = 0.

(c) y = xex, satisface la ecuacion xy′ = y − xy

(d) y = ex, satisface la ecuacion y′′ + xy′ − y = xex

5. Hallar f ′(

π2

), si f(x) = sin2(x− cosx).

6. Demuestre que y =x2ex

2, satisface la ecuacion

d2y

dx2− 2

dy

dx+ y = ex

7. Sea f(x) =2x3

3+

x2

2− x − 1. Hallar los puntos de la grafica de f en que la pendiente de la recta

tangente en ese punto sea igual a

(a) 0. Sol: x = 12 o x = −1.

(b) -1. Sol: x = 0 o x = −12 .

(c) 5. Sol: x = 32 o x = −2.

8. Sea f(x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la graficade f en el punto de coordenadas (2, 4).

9. Calcular el area del triangulo formado por el eje OY , la tangente y la normal a la curva y =√

9− xen el punto de coordenadas (5, 2).

10. Calentamiento de un plato. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radioaumenta a razon de 0,01 cm/min. ¿Cual es la razon de cambio del area cuando el radio mide 50 cm?

Sol: πcm2/min

11. Cambio de dimensiones en un rectangulo. El lado ”l” de un rectangulo disminuye a razon de 2 cm/s,mientras que el ancho ”w” aumenta a razon de 2 cm/s. Cuando l = 12 cm y w = 5 cm , hallar lasrazones de cambio de:

(a) El area. Sol: 14 cm2

s .

(b) El perımetro. Sol: 0.

(c) La diagonal.Sol: −1413

cmseg

12. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la baseesta a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razon de 1,5 m/s.

(a) ¿Cual es la razon de cambio del area del triangulo formado. Por la escalera, la pared y el sueloen ese instante?

(b) ¿Cual es la razon de cambio del angulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante?Sol: a) Disminuye a razon de 5.61 m2/s b) 0.986 rad/s

13. Un bloque de hielo cubico se funde de modo que su arista disminuye con regularidad 2 cm/hr, ¿a querazon disminuye su volumen cuando su arista mide 10 cm?

Sol:600cm3

hra

14. Se introduce una poblacion de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en numero de acuerdo con la

funcion P (t) = 500(

1 +4t

50 + t2

)donde t se mide en horas. Hallar a que ritmo esta creciendo la

poblacion cuando han pasado 120 minutos.

Sol: 31.55bacteriashra

15. Un punto se desplaza sobre la curva y = x3 de forma que su ordenada varıa en funcion del tiempo tsegun la ley y = at3 . Hallar la velocidad de variacion de la abscisa en funcion del tiempo.

Sol:a13

16. Demuestre que si f(x) = ln(

1 + x

1− x

)y g(x) = f

(a + x

1 + ax

), entonces f ′(x) = g′(x).

17. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, lapresion P y el volumen V satisfacen la ecuacion PV = c , donde c es una constante. En determinadoinstante el volumen del gas es 600 cm3, la presion es 150 KPa y crece a una razon de 20 KPa/ min.¿Con que velocidad disminuye el volumen en este momento?.

Sol: Disminuye a razon de 80 cm3

min

18. Se estima que dentro de t anos, la poblacion de cierta comunidad suburbana sera p(t) = 10− 20(t + 1)2

miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel medio diario de monoxido de carbonoen el aire sera c(p) = 0.8

√p2 + p + 139unidades cuando la poblacion sea de p miles. ¿ A que razon

porcentual cambiara el nivel de monoxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 ano?

Sol: 1.69 u/ano

19. Un hombre camina a razon de 4 Km por hora hacia la base de una torre de 25 mts. de altura. ¿Conque razon se aproxima a la cima de la torre cuando esta a 20 metros de su base?

Sol: 2.49 m/hra

20. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2 + y2 − 3x + 4y − 31 = 0, en el punto (−2, 3).

Sol:y =7x

10+

225

.

21. (a) La ecuacion sin(x + y) = x sin y define implıcitamente ”y” como una funcion de x. Encuentre y′

en el punto (0, 0).Sol: -1

(b) Encuentre y′ para y = ln(2x3) + sin(1− x)− xe3x.

Sol:y′ =3x− cos(1− x)− e3x − 3xe3x

22. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2y3 − 6 = 5y3 + x cuando x = 2 e y = −2.

Sol: y = −33x

12+

216

23. Hallardy

dxsi x2y + 2y3 = 3x + 2y y evaluela en (2, 1).

24. Sea f(2) = −3; f ′(x) =√

x2 + 5; g(x) = x2 · f(

xx−1

). Hallar g′(2).

Sol: -24.

25. Verificar que la funcion y = sin(lnx) + cos(lnx) satisface la ecuacion

x2y′′ + xy′ + y = 0

26. Se desea cercar un terreno rectangular de area de 10000 m2 , sabiendo que uno de sus lados ya estacubierto por un rıo. Hallar las dimensiones del terreno, de manera que el costo del cercado sea mınimo.

Sol: Ancho=50√

2; Largo=100√

2

27. La reaccion a dos drogas como funcion del tiempo( medido en horas) esta dada por:

R1(t) = t · e−t;R2(t) = t · e−2t2

Debido a las caracterısticas de cierta enfermedad, se optara por aquella droga que tenga una reaccionmaxima mayor ¿Que droga se debe elegir?

Sol: La droga 1.

28. Una persona tose cuando hay un objeto extrano en su traquea. La velocidad de la tos depende deltamano del objeto. Suponga que una persona tiene una traquea cuyo radio es 20 mm. Si un objetoextrano tiene un radio ”r”( en milımetros), entonces la velocidad ”V ” ( en milımetros por segundo),necesaria para eliminar el objeto mediante la tos esta dada por:

V (r) = k(20r2 − r3); 0 ≤ r ≤ 20

donde k es una constante positiva. ¿Para que tamano del objeto se necesita la velocidad maxima conel fin de removerlo?

Sol:r = 403

29. El flujo de sangre en los vasos sanguıneos es mas rapido cuando se dirige hacia el centro del vaso ymas lento hacia el exterior. La velocidad del fluido sanguıneo V esta dada por:

V =p

4Lk(R2 − r2)

donde R es el radio del vaso sanguıneo, r es la distancia que recorre la sangre desde el centro del vaso,y p, L y k son constantes fısicas relacionadas con la presion. Cuando se excava nieve en medio delaire frıo, una persona con historial medico de dificultades cardıacas puede desarrollar angina (dolorde pecho) debido a la contraccion de los vasos sanguıneos. Para contrarrestarlo, puede tomar unatableta de nitroglicerina, que dilata los vasos sanguıneos. Suponga que despues de tomar una tabletade nitroglicerina, el radio de un vaso sanguıneo se dilata a razon de 0.0025 mm/ min en un lugar enel vaso sanguıneo donde el radio es R= 0.02 mm, encuentre la razon de cambio de la velocidad de lasangre.

Sol:2.5 · 10−5 p4Lkmm/min

30. Sean f, g : I ⊆ R→ R dos funciones derivables que tienen un punto crıtico en x0 ∈ I . Demuestre quela funcion h(x) = f(x) · g(x) tiene un punto crıtico en x0 .

31. Se construye un contenedor de modo que su capacidad sea de 288 pies cubicos. El contenedor tienecomo base un cuadrado y cuatro caras verticales. Si la base y la tapa del contenedor estan hechasde acero y las caras laterales de concreto. ¿ Cuales seran las dimensiones del contenedor para que elcosto de construccion sea mınimo sabiendo que el concreto tiene un costo de US 3 por pie cuadrado yel acero un costo de US 4 por pie cuadrado?

Sol: Debe ser de 6 x 6 x 8 pies

32. Para la funcion definida por f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x, encuentre los valores crıticos y clasifıquelos enmaximos o mınimos

33. Encuentre y′ a partir de

y2 + y = ln x

34. (a) El siguiente lımite representa la derivada de una funcion f en un punto x

limh→0

2(x + h)2 − 2x2

hDeduzca f(x).

(b) Calcular la ecuacion de la recta tangente a la curva y = ax2, con a ∈ R, en el punto cuandox = 1.

35. La cosecha de una explotacion agrıcola de maız Y en funcion del nivel de nitrogeno N en el suelo, sepuede modelar como

Y (N) =N

1 + N2con N ≥ 0

Calcule el nivel de nitrogeno que maximiza la cosecha.

36. Sea f(x) = (αx− 2)2 + 3, con α ∈ R. Encuentre el valor de α tal que f ′(1) = −2

37. Verifique si la funcion y = x · e3x, satisface la ecuacion

y′′ − y′ − 6xe3x = 0

38. Un artıculo en una revista de sociologıa afirma que si ahora se iniciase un programa especıfico deservicios de salud, entonces al cabo de ”t” anos, N miles de personas adultas recibirıa beneficiosdirectos, donde

N =t3

3− 6t2 + 32t; 0 ≤ t ≤ 8

¿ Para que valor de t es maximo el numero de beneficiarios?

39. En Nueva Escocia se llevo a cabo un estudio de la polilla de invierno. Las larvas de la polilla caen alpie de los arboles huespedes a una distancia de ”x” pies de la base del arbol. La densidad de larvas”D” ( numero de larvas por pie cuadrado de suelo ), viene dada por:

D = 59.3− 1.5x + 0.5x2; 1 ≤ x ≤ 9

(a) ¿Con que rapidez cambia la densidad de larvas con respecto a la distancia cuando estas estan a6 pies de la base del arbol?

(b) ¿A que distancia de la base del arbol la densidad de larvas decrece a razon de 6 larvas por piecuadrado por pie?

40. Suponga que t semanas despues del brote de una epidemia,

f(t) =2000

1 + 3e−0.8t

personas la adquieren.

¿Cual es la razon de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1?

41. Dada la funcion f(x) = x3 − 3x2 − x + 1

(a) Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto cuando x = 3.

(b) Si g(x) = sinx, calcule (f o g)′.

42. Encuentre la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva y = x3−4x+1, en el punto cuando x = 1.

43. Cuando la basura organica se vacıa en un estanque, el proceso de oxidacion que se lleva a cabo reduceel contenido en el estanque; sin embargo, despues de cierto tiempo, la naturaleza regresa el contenidode oxıgeno a su nivel natural. Supongase que el porcentaje de contenido de oxıgeno t dıas despues detirar la basura organica en el estanque esta dado por

P (t) = 100 ·[t2 + 10t + 100t2 + 20t + 100

]

con respecto de su nivel normal. ¿Que tan rapido cambia el contenido de oxıgeno en el estanque 20dıas despues de vaciar la basura organica?

44. La fuerza R de reaccion del cuerpo humano a una dosis D de cierto medicamento esta dada por

R(D) = D2 ·(

k

2− D

3

)

donde k es una constante positiva. Demuestre que la maxima reaccion se alcanza cuando la dosis es kunidades.

45. Si se sabe que y es una funcion implıcita de x, encuentre y′ en

e4y − ln y = 2x

46. Si s(t) = t4−14t3+60t2, es la posicion de un movil(en metros) en el instante t (en segundos), encuentrela velocidad del movil cuando su aceleracion sea igual a cero.

Ind: Si s(t) es la posicion del movil, entonces s′(t) es la velocidad y s′′(t) es la aceleracion.

47. El porcentaje de alcohol en el flujo sanguıneo de una persona, t horas despues de beber cierta cantidadde whisky esta dado por

P (t) = 0.23 · t · e−0.4t

¿Que tan rapido aumenta el porcentaje de alcohol en el flujo sanguıneo de una persona despues de 12

hora?

48. Sea f definida por: f(x) = (b− a) ·(

x3

6− x2

2

); a 6= b, con a, b ∈ R.

Deduzca la condicion que deben cumplir a y b para que x = 2 sea maximo relativo de f .

49. Calcular el siguiente lımite

limx→0+

(cos x)1/x

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : LÓGICA 1.- Dadas las siguientes proposiciones lógicas, determine el valor de verdad de la siguiente proposición compuesta: (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))rpqrqp ⇒⇒⇒⇒⇔⇔⇔⇔∨∨∨∨⇒⇒⇒⇒∧∧∧∧ sí:

3535:p 22 ++++====++++

24 42:q ≠≠≠≠ 333 )ba(ba:r −−−−====−−−−

2.- Usando tabla de verdad determinar si la siguiente proposición es tautología, contingencia o contradicción: [[[[ ]]]] pqpp ⇔⇔⇔⇔∨∨∨∨∧∧∧∧ )( 3.- Usando algebra proposicional, determine cuál es el valor de verdad de:

[[[[ ]]]])qp()qp( ∨∨∨∨∧∧∧∧⇒⇒⇒⇒ 4.- Sean p, q y r proposiciones, tales que: (((( ))))rqp ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ es una proporción falsa. Determine el valor de verdad de la proposición: (((( )))) (((( ))))rqrp ∧∧∧∧⇔⇔⇔⇔∧∧∧∧ 5.- Determinar el valor de verdad de p y r, para que junto con la proposición q que es verdadera, haga, que la proposición:

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) FalsaSeaqprqqp ⇔⇔⇔⇔⇒⇒⇒⇒∧∧∧∧∧∧∧∧⇒⇒⇒⇒ 6.- Demuestre, usando álgebra lógica, las siguientes equivalencias entre esquemas.

a) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] qpqqp ≡≡≡≡∧∧∧∧∨∨∨∨∧∧∧∧

b) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] qpqpqpq ∧∧∧∧≡≡≡≡∨∨∨∨⇒⇒⇒⇒∧∧∧∧∧∧∧∧

c) [[[[ ]]]] [[[[ ]]]])rq()rp(r)qp( ⇒⇒⇒⇒∨∨∨∨⇒⇒⇒⇒⇔⇔⇔⇔⇒⇒⇒⇒∧∧∧∧ 7.- Si se sabe que: (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]prpqp ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒∨∨∨∨ es falsa, determine el valor de:

a) r,q,p

b) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))rpqrqp ⇒⇒⇒⇒⇔⇔⇔⇔∨∨∨∨⇒⇒⇒⇒∧∧∧∧

8.- Se define el nuevo conectivo o mediante la tabla adjunta.

Use tablas de verdad para determinar el valor de:

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))qpqp)b

qpqp)a

oo

o

∨∨∨∨

⇒⇒⇒⇒∧∧∧∧

9.- Dado el conjunto A = 1, 3, 5, 7 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) ( ∃∃∃∃ x ∈∈∈∈A/ 4x 2 – 19x – 5 = 0 ) ∨∨∨∨ ( ∃∃∃∃ x ∈∈∈∈A/ x 2 = x )

b) ( ∃∃∃∃ x ∈∈∈∈A/ 2x + 3y = 5x ) ∧∧∧∧ ( ∃∃∃∃ x ∈∈∈∈A/ 2x = x )

10.- Simplifique, obteniendo una proposición de tipo afirmativo.

a) ∼∼∼∼ [ ∃∃∃∃x en U/ p(x) ] ⇒⇒⇒⇒ [ ∃∃∃∃x en U/ ∼∼∼∼q(x) ]

b) ∼∼∼∼ ∃∃∃∃x en U/ [ p(x) ∧∧∧∧ ∼∼∼∼q(x) ]

c) ∼∼∼∼ [ ∃∃∃∃x en U/ p(x) ] ∧∧∧∧ [ ∀∀∀∀x en U/ ∼∼∼∼q(x) ]

p q p o q V V F V F F F V F F F V

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AYUDANTIA : LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Calcular los siguientes lımites

(a) limx→0

√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3

(b) limx→4

√3x + 4− 4√x + 5− 3

(c) limx→0

sin(3x)− sin(2x)x

2. En algunas especies animales, el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia a la quese somete al animal mientras come. En realidad, es difıcil comer mucho mientras se siente la vigilanciade un depredador que se lo puede comer a usted. En cierto modelo, si el animal esta buscando alimentoen plantas que brindan un bocado de tamano S, la tasa de consumo de alimento I(S) esta dada porla funcion

I(S) =aS

S + c

donde a y c son constantes positivas. ¿Que le ocurre al consumo de alimento I(S) cuando un bocadode tamano S aumenta indefinidadmente?

3. Encuentre el valor de constante a de modo que la funcion f(x) sea continua en todo R:

f(x) =

(2x + 1)2 − 1

2x, si x < 0

x + a, si x > 0

4. Considere la funcion:

f(x) =

x2 − 1

2si x < 1

0 si x = 11−

√x

1− xsi x > 1

Analice la continuidad de la funcion en todo R.

5. Dada la siguiente funcion definida por ramas, se pide calcular, si es que existen, los siguientes lımites:

(a) limx→−2

f(x).

(b) limx→2

f(x).

(c) limx→0

f(x).

(d) limx→1

f(x).

(e) limx→4

f(x).

(f) limx→−4

f(x).

Obs: Para el tramo en que x ∈]−∞;−2] y x ∈ [1;∞[, la funcion es lineal.

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AYUDANTIA : DERIVADAS ( PARTE 2 )

1. El tamano de una poblacion de insectos al tiempo t medido en dıas, esta dado por:

P (t) = 10000− 90001 + t

¿Cuando la poblacion crece a razon de 1500 insectos por dıa?

2. En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo de bacterias. Se estima que thoras despues de la introduccion de una toxina, la poblacion de bacterias ( en miles ), viene dada por:

P (t) =24t + 10t2 + 1

(a) Determinar el tiempo cuando la poblacion es maxima.

(b) ¿Cual es la poblacion maxima?

3. La cantidad de bioxido de nitrogeno, gas cafe que dificulta la respiracion, presente en la atmosfera encierto dıa de Mayo en una comunidad, se aproxima mediante la funcion

A(t) =544

4 + (t− 4.5)2+ 28; 0 6 t 6 11

donde A(t) se mide con un ındice estandar de contaminacion ( PSI, por sus siglas en ingles ) y t semide en horas, con t = 0 correspondiente a las 7 A.M

(a) ¿Cuando crece el PSI?.

(b) Determine a que hora del dıa el PSI alcanza su maximo.

(c) ¿Cual es el valor maximo del PSI en ese instante?.

4. Suponga que t semanas despues del brote de una epidemia,

f(t) =2000

1 + 3e−0.8t

personas la adquieren.

¿Cual es la razon de cambio del crecimiento de f al finalizar la semana 1?

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AYUDANTIA : DERIVADAS ( PARTE 1 )

1. Encontrar la derivada de las siguientes funciones:

(a) y = x5 · e−3 ln(5x).

(b) y =sinx + cos x

sinx − cos x.

2. Sea f(x) = x2 + ax + b, con a y b constantes. Hallar los valores de a y b tal que la recta y = 2x seatangente a esta curva en el punto (2, 4).

3. Sea g una funcion continua en x = a tal que g(a) = 2. Hallar f ′(a) si f(x) = (x − a) · g(x).

4. Si y define una funcion implıcita de x en

x3 = y2 − 2x2y + x4

Encuentre y′.

5. (a) Sea f(x) = (5x2 + g(x))4. Encuentre f ′(0), si se sabe que g(0) = 1 ; g′(0) = 2.

(b) Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la curva xy − y3 = 1, en el punto (2, 1).

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA: CONJUNTOS 1.- Sea ,10,9,......,3,2,1====U 5,4,3,2,1====A , 8,4,2,1====B , 7,5,3,2,1====C y

8,5,4,2====D . Determine los siguientes conjuntos: a) (((( )))) CBA ∩∩∩∩∪∪∪∪ b) (((( ))))CC DC ∪∪∪∪ 2.- Demuestre que: a) CBACBA −−−−∩∩∩∩====−−−−∩∩∩∩ )()(

b) (((( )))) (((( )))) (((( ))))CBACABA ∪∪∪∪−−−−====−−−−∩∩∩∩−−−− 3.- Dados los conjuntos:

012x3x11x/UxC

11,10,6,5,3,1B

06x5x01x/UxA

17x/xU22

====−−−−++++∨∨∨∨≤≤≤≤∈∈∈∈========

====++++++++∨∨∨∨====−−−−∈∈∈∈====≤≤≤≤∈∈∈∈==== ΝΝΝΝ

a) Confeccione el diagrama de Venn correspondiente, obteniendo por extensión todos

los conjuntos.

b) Obtenga por extensión: (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]ACBCBA cc ∪∪∪∪∩∩∩∩∪∪∪∪∩∩∩∩−−−−

4.- En una encuesta aplicada a 260 estudiantes, se obtuvieron los siguientes datos:

94 estudiantes toman un curso de Matemática ( M ) 64 toman un curso de Computación ( C ) 58 toman un curso de Administración ( A ) 28 toman cursos de Matemática y Administración 26 toman cursos de Matemática y Computación, 22 toman cursos de Administración y Computación y 14 toman los tres cursos.

a) Haga un diagrama de Venn-Euler. b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta no toman ninguno de los tres cursos? c) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta sólo toman el curso de Computación? 5.- Para determinar cual era el canal favorito para ver el Festival de Viña este año se realizó una encuesta a 550 familias, obteniéndose la siguiente información:

130 lo verían en Megavisión 215 en canal 13 345 en TVN 100 en canal 13 y TVN 35 en Megavisión y canal 13 65 en Megavisión y en TVN 20 en los tres canales.

a) ¿Cuántos no verían el Festival? b) ¿Cuántos lo verían sólo en TVN?

Universidad Andres BelloDpto.de MatematicasCoord. Hector AguileraElementos de Alg.y Calculo Elemental - FMM 032

AYUDANTIA: SUCESIONES Y SUMATORIA

1. Usar notacion de sumatoria para escribir la suma dada.

(a)1

3 · 1+

13 · 2

+1

3 · 3+ · · · +

13 · 9

(b)5

1 + 1+

51 + 2

+5

1 + 3+ · · · +

51 + 15

(c)[218

+ 3]

+[228

+ 3]

+ · · · +[288

+ 3]

(d)[1 − 1

4

2]

+[1 − 2

4

2]

+ · · · +[1 − 8

4

2]

2. Hallar la suma indicada, utilizando sumas conocidas.

(a)n∑

i=1

(2i + 1) (b)n∑

i=0

1i + 1

(c)12∑i=1

4(i − 1)(2i + 1) (d)16∑i=5

(i − 2)3

(e)20∑i=6

[(i + 1)2 − 2i] (f)14∑i=2

(i + 1)(i − 3)

3. Encuentre el valor de la constante a de modo que:

20∑i=1

[(2a − i)(i − 30)] = 2650

4. Si ai =i2 + 1

2y bi = 2 − 4i2, demuestre que

12 ·n∑

i=1

ai − 3 ·n∑

i=1

bi = 3n(n + 1)(2n + 1)


AYUDANTIA: PROGRESION GEOMETRICA Y ARITMETICA

1. Tres numeros estan en progresion geometrica. Si el segundo aumenta en 8 unidades, los numerosquedan en progresion aritmetica; pewro si en esta el ultimo se aumenta en 64 unidades, la progresionvuelve a ser geometrica. Determine los numeros.

2. Un carpintero desea construir una escalera con nueve peldanos cuyas longitudes decrecen de manerauniforme, de 24 pulgadas en la base a 18 pulgadas en la parte superior. Determine las longitudes delos siete peldanos intermedios.

3. Encuentre tres numeros en P.A, tales que su suma sea 27 y su producto sea 288.

4. Al preguntar a un empleado cuanto tiempo llevaba trabajando en una empresa, contesto:”No lo se;solo puedo decir que llevo cobrados US$ 174.000, que en este ano me han dado US$ 14.400 y que cadaano he tenido un aumento de salario , respecto al anterior de US$600.” ¿Cuantos anos lleva trabajandoen la empresa?

5. Para llevar su nueva vida, don Daniel ha decidido que el primer mes gastara un millon de pesos yque a partir del segundo mes incrementara uniformemente esta cifra en 100 mil pesos mensuales. ¿Porcuantos anos podra disfrutar don Daniel de su herencia?

6. En un conjunto ordenado de cuatro numeros, los tres primeros estan en P.G. de razon −12 , y los tres

ultimos estan en P.A. Si el primer numero es igual al cuarto, encuentre los cuatro numeros.


AYUDANTIA: INDUCCION Y TEOREMA DEL BINOMIO

1. Demuestre, utilizando el principio de induccion que n2 + 5n es divisible por 2 , ∀n ∈ N

2. Utilizando el principio de induccion, demuestre que ∀n ∈ N:

n∑i=1

i(i + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

3. Utilizando el principio de induccion, demuestre que 4n + 15n + 8 es divisible por 3, ∀n ∈ N.

4. Encuentre el valor de la constante a ∈ R, del binomio(2ax +

y

2

)8, si se sabe que el coeficiente del

sexto termino es 378.

5. Demuestre que no existe el termino independiente de x en el desarrollo del binomio

(2x2

− 3x2

)21

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : NÚMEROS REALES - INECUACIONES 1.- Encuentre el conjunto solución de:

a) 31 >+x

x c) ( )( )4243 22 +−+ xxx 0≤

b) 21

1232

2

>−

−+x

xx d)

3

4

2

1

−+≤

+−

x

x

x

x

2.- ¿Para que valores de x la expresión 7x

5x4x2

2

++++−−−−−−−−

IR ∉

3.- Determine que valores debe tomar la constante 1>a , de modo que:

( ) 03)3(21: 2 >−+−+−∈∀ axaxaIRx 4.- Encuentre el conjunto solución para el siguiente sistema:

2

32

3

632

13

>+−

>−−

xx

xx

5.- Aplicaciones: a) En 1984, al perforar el pozo más profundo del mundo, los soviéticos encontraron que la temperatura a “x” kilómetros de profundidad de la Tierra estaba dada por: 15x3 )3(2530 ≤≤−+= xT donde T es la temperatura en grados Celsius. ¿a que profundidad la temperatura está entre 200 y 300°C? b) Una clínica debe decidir si renta o compra un equipo esterilizador. Si renta el equipo el pago mensual sería de US$600 (con base en un año) y el costo diario (por electricidad, operador, etc.) sería de US$60 por cada día de utilización. Si se compra, su costo anual sería de US$4000 y los costos de operación y mantención serían de US$80 por cada día de uso. ¿Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse el equipo para justificar la renta en lugar de la compra?

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : REALES - VALOR ABSOLUTO 1.- Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a) 81x25 ====++++++++ b) 33x52x3 ====

−−−−++++

c) 2x25

3 <<<<−−−−

d) 54x2x <<<<−−−−++++++++

e) 18x75 ≤≤≤≤−−−−++++ f) 04x

x2x2

<<<<++++−−−−−−−−

2.- Dados 2b 1a <<<<∧∧∧∧>>>> encuentre el conjunto solución de:

x2b1a ≤≤≤≤−−−−++++−−−−

3.- Determinar para que valores de a, la ecuación a

1a1x 2 −−−−

====++++ tiene

soluciones reales 4.- Dos puntos A y B se mueven sobre un mismo eje real de modo que su

posición está

dada en cada instante t por: 1t

tx ;

1t

1t3x

2

2

B2A ++++====

++++−−−−====

Determinar el o los intervalos de tiempo para los cuales la distancia entre A y B es inferior a 5.

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA FUNCIONES (Parte 1: Algebra, Compuesta, Por ramas) 1.- Encuentre Dominio y Recorrido de las siguientes funciones:

a) 8x5x3

)x(f−−−−++++==== b) 7+4x )x(f ==== c) x)x(f ====

d) 2-x1+3x

)x(f ==== e) 3x)x(f ++++====

2.- Considere las funciones:

x=g(x) / : 2-x

1+3x=f(x) / 32:

RRg

RRf

→

−→−

a) Encuentre en términos de “h” h

)3(f)h3(f −−−−++++.

b) Encuentre una función “p” tal que f o p = g

3.-Dadas las funciones x2

2)x(gyxx2)x(f 3

−−−−====−−−−====

Determine: a) h

)x(f)hx(f −−−−++++ b)

2x

)1(g)1x(g

−−−−−−−−−−−−

4.- Dadas las siguientes funciones por ramas:

>>>>−−−−

≤≤≤≤<<<<−−−−++++

−−−−≤≤≤≤++++====

4xsi4x

4x1si1x

11xsi1x2

)x(f

≥≥≥≥−−−−<<<<<<<<++++−−−−

≤≤≤≤−−−−====

7xsi3

7x1si11x

1xsi4x

)x(g

2

Calcule el valor de: )0)(gof()c)2)(fog()b)3)(fog)(a −−−−

5.- Considere la función a;0aax

1)x(g

22>>>>

−−−−==== constante

a) Encuentre, si es que existe, x talque 0)( =xg . Si no existe, justifique.

b) Encuentre los intervalos donde )(xg es positiva

c) Encuentre los intervalos donde )(xg es negativa

6.- Si 5x

x3)x(f

−−−−====

x1x2

)gf(++++====o

Encuentre: a) )x(g b) )x)(fg( o

UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS COORD. HECTOR AGUILERA ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALCULO ELEMENTAL – FMM 032 AYUDANTÍA : FUNCIONES (Parte 2: Características de una función, Función inversa)

1.- Sea IRBIRA:f ⊆⊆⊆⊆→→→→⊆⊆⊆⊆ donde y =6x3x2

−−−−++++

Determine los conjuntos A y B de

modo que f sea una función biyectiva. Encuentre su función inversa

2.- Considere la función x2

1x3)x(f

++++==== calcule )0(f,)1(f,)2(f,)1(f −−−−

a) ¿Qué pasa con el valor de f (x) si x =o? b) ¿Cuál será el Dominio de la función? c) ¿Cuál será el recorrido? d) Que pasa si x crece ¿En qué intervalo? Que puede concluir e) Qué pasa si x decrece ¿En que intervalo? Que puede concluir 3.- a) Defina dos funciones que sean crecientes b) Defina dos funciones que sean decrecientes c) Encuentre una función que no sea ni creciente ni decreciente 4.- Determine si las siguientes funciones son Crecientes; Decrecientes; Pares; Impares a) 2x2)x(f/IRIR:f −−−−====→→→→ b) x2x)x(f/IRIR:f 2 ++++====→→→→ c) x)x(f/IRIR:f ====→→→→

d)

≥≥≥≥<<<<≤≤≤≤++++<<<<<<<<++++

≤≤≤≤

====→→→→

0x9

10x37x

3x01x2

0x6

)x(f/IRIR:f

5.- Sea: 3x5x

)x(f/1R3R:f−−−−++++====−−−−→→→→−−−− Determine si f es Biyectiva, si lo es

encuentre su función inversa.

6.- Sea 3

2+x= f(x) pordefinida RR:f →→→→

2x= g(x)que tal RR:g 3 −−−−→→→→ a) Demuestre que “g” es biyectiva

b) Encuentre (((( )))) 1gf −−−−o

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AYUDANTIA FUNCIONES (PARTE 3): APLICACIONES

1. En un laboratorio de microbiologıa experimental se esta estudiando la bacteria MD y, se ha observadola variacion de la poblacion respecto a la temperatura, obteniendose el siguiente modelo matematico,al someter la bacteria a la temperatura ambiente entre −20oC y 40oC:

P (T ) =

30T + 600 si − 20oC 6 T 6 20oC

600 si 20oC < T < 30oC−60T + 2400 si 30oC 6 T 6 40oC

donde P (T ) se mide en miles de bacterias, y T en grados Celsius.

(a) ¿A que temperatura(s) la poblacion es de 300 mil?.

(b) ¿Que cantidad de bacterias habra a los 20oC?. bacterias.

2. La capacidad del cuerpo humano para ciertas tareas disminuye con la edad. El libro Sex and the Originsof Death, de William Clark, presenta estadısticas de ese tipo. Por ejemplo, la fertilidad femenina cae,como media, de un 100% a los 30 anos hasta un 0% a los 50 anos. Suponiendo que el porcentaje defertilidad P , se comporta de manera lineal con la edad x

(a) Determine la funcion P = f(x).

(b) ¿Que edad corresponde para un porcentaje de fertilidad de 30%?

3. La temperatura (oC), que experimenta cierto cultivo de bacterias, varıa segun la relacion

T = −10t2 + 40t − 30

donde t, representa el tiempo de exposicion a fuentes de energıa calorica, expresado en horas.

(a) Determine el instante en que se alcanza la maxima temperatura.

(b) ¿Cual es la temperatura maxima?

4. El radio se descompone segun el modelo Q(t) = Q0 · e−0.5t, donde Q0 corresponde a la cantidad inicialde radio y Q(t) es la cantidad no desintegrada en un tiempo t ( en siglos ).

(a) Determine en cuanto tiempo se habra descompuesto la mitad de la cantidad original de radio ( aeste tiempo se le llama la vida media del radio ).

(b) Si Q0 = 10 gramos, encuentre la cantidad de material que queda despues de 2 siglos.

5. Suponga que la cantidad de sustancia de un elemento radiactivo decrece segun el modelo exponencialN(t) = N0 · e−kt, donde t es el tiempo en anos y N expresado en milıgramos. Suponga que despuesde 10 anos hay 500 milıgramos de material y que despues de 20 anos quedan 100 milıgramos. En basea esto se pide

(a) Determinar completamente el modelo, es decir, N0 y k.

(b) Determinar despues de cuanto tiempo la cantidad de material radioactivo sera la cuarta parte dela inicial.

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AYUDANTIA : TRIGONOMETRIA

1. (a) Si se sabe que sinα + cos α =12, demuestre que

sinα · cos α = −38

(b) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h metros del piso, formando unangulo de 30 con la pared. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formandoun angulo de 60 con la pared.¿ Cual es la longitud de la escalera?

2. Unos observadores en dos pueblos distintos, A y B, en cada lado de la montana de 12.000 pies dealtura, miden los angulos de elevacion entre el suelo y la cima de la montana que corresponden a 28 y46o respectivamente. Asumiendo que los pueblos estan sobre un mismo plano, encuentre la distanciaque hay entre ellos.

3. Demuestre la identidad:

(sec α − tanα)(csc α + 1) = cotα

4. Un espirograma es un instrumento que registra en un grafico el volumen del aire en los pulmones deuna persona en funcion del tiempo. Un trazado de este grafico esta dado por la funcion

V (t) = 3 +120

· sin(160π · t − π

2

)donde el tiempo esta medido en minutos y el volumen en litros.

(a) Dibuje la porcion del grafico que tiene relacion con el problema.

(b) ¿Cual es el volumen para el tiempo cero?.

(c) ¿En que instante el volumen es de 3.025 litros?.

(d) ¿Cuando el volumen es maximo? ¿y mınimo?.

(e) Determine el volumen maximo y mınimo.

Algebra ISumatorias e Induccion

Eduardo Saavedra A.

September 3, 2006

1

1.- Mediante propiedades de sumatoria e induccion pruebe que:

(a)2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)

Entonces por propiedades tenemos:

n∑i=1

2i = n(n + 1)

= 2 ·n∑

i=1

i

= 2 · n(n + 1)

2

= n(n + 1)

Ahora por Induccion...

i)Debemos probar que para n = 1 la proposicion se cumple:n∑

i=1

2i = n(n + 1)

2 · 1 = 1(1 + 1) => 2 = 2

ii) Si para n=1 se cumple entonces para un n = k debe cumplirse tam-bien:k∑

i=1

2i = k(k + 1) : (Hipotesis)

iii) Finalmente debemos demostrar que para n = k + 1 debe funcionar laproposicion:k+1∑i=1

2i = (k + 1)((k + 1) + 1)

k+1∑i=1

2i = (k + 1)(k + 2) : (Por demostrar)

2

Con esto ya tenemos lo que hay que demostrar... Entonces:

k+1∑i=1

2i =k∑

i=1

2i+2 · (k+1) , Y por hipotesis, sabemos quek∑

i=1

2i = k(k+1)

Sustituyendo queda:

k(k + 1) + 2(k + 1), Factorizamos por k + 1

(k + 1)(k + 2), QED

3

(b)5 + 10 + 15 + ... + 5n =5n(n + 1)

2


n∑i=1

5i =5n(n + 1)

2

= 5 ·n∑

i=1

i

= 5 · n(n + 1)

2

=5 · n(n + 1)

2



i=1

5i =5n(n + 1)

2

5 · 1 =5 · 1(1 + 1)

2=> 5 = 5


i=1

5i =5k(k + 1)

2: (Hipotesis)

iii) Finalmente debemos demostrar que para n = k + 1 debe funcionar laproposicion:

k+1∑i=1

5i =5(k + 1)((k + 1) + 1)

2k+1∑i=1

5i =5(k + 1)(k + 2)

2: (Por demostrar)

4


k+1∑i=1

5i =k∑

i=1

5i+5·(k+1) , Y por hipotesis, sabemos quek∑

i=1

5i =5k(k + 1)

2

Sustituyendo queda:

5k(k + 1)

2+ 5(k + 1)

5k(k + 1) + 10(k + 1)

2

5k(k + 1) + 10(k + 1)

2, Factorizamos por k + 1

(k + 1)(5k + 10)

2

(k + 1)5(k + 2)

2

5(k + 1)(k + 2)

2, QED

5

(c)1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3


n∑i=1

i(i + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

=∑

(i2 + i)

=∑

i2 +∑

i

=n(n + 1)(2n + 1)

6+

n(n + 1)

2

=n(n + 1)(2n + 1) + 3n(n + 1)

6

=n(n + 1)[(2n + 1) + 3]

6

=n(n + 1)[(2n + 4)]

6

=n(n + 1)[2(n + 2)]

6

=n(n + 1)(n + 2)

3


i)Debemos probar que para n = 1 la proposicion se cumple:

n∑i=1

i(i + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

1 · (1 + 1) =1(1 + 1)(1 + 2)

3=> 2 = 2

ii) Si para n=1 se cumple entonces para un n = k debe cumplirse tam-bien:

6

k∑i=1

i(i + 1) =k(k + 1)(k + 2)

3: (Hipotesis)


k+1∑i=1

i(i + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)

3k+1∑i=1

i(i + 1) =(k + 1)(k + 2)(k + 3)

3: (Por demostrar)


k+1∑i=1

i(i+1) =k∑

i=1

i(i+1)+(k +1) · ((k +1)+1) , Y por hipotesis, sabemos

quek∑

i=1

i(i + 1) =k(k + 1)(k + 2)

3

Sustituyendo queda:

k(k + 1)(k + 2)

3+ (k + 1) · (k + 2)

k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)

3, Factorizamos por (k + 1)(k + 2)

(k + 1)(k + 2)[k + 3]

3, QED

7

2.- Demuestre utilizando propiedades de la sumatoria y luego induccionque:

n∑i=1

(2i − 1)3 = 2n4 − n2

a) Por propiedades de sumatoria:

Expandemos el cubo de binomio de la sumatoria, lo cual nos entrega:

n∑i=1

(8i3 − 12i2 + 6i − 1) =n∑

i=1

8i3 −n∑

i=1

12i2 +n∑

i=1

6i −n∑

i=1

1 =

8n∑

i=1

i3 − 12n∑

i=1

i2 + 6n∑

i=1

i −n∑

i=1

1,

Luego aplicando propiedades y sumas conocidas, llegamos a

8

[n(n + 1)

2

]2

− 12

[n(n + 1)(2n + 1)

6

]+ 6

[n(n + 1)

2

]− n =

2 [n(n + 1)]2−2 [n(n + 1)(2n + 1)]+3 [n(n + 1)]−n, Factoricemos por n(n+1)

n(n + 1)[2n(n + 1) − 2(2n + 1) + 3] − n

n(n + 1)[2n2 + 2n − 4n − 2 + 3] − n

(n2 + n)[2n2 − 2n + 1] − n

[2n4 − 2n3 + n2 + 2n3 − 2n2 + n] − n

[2n4 − n2 + n] − n

2n4 − n2, Q.E.D

8

b) Por Induccion:


i=1

(2i − 1)3 = 2n4 − n2

(2 ∗ 1 − 1)3 = 2 ∗ 14 − 12 => 1 = 1


i=1

(2i − 1)3 = 2k4 − k2 : (Hipotesis)


k+1∑i=1

(2i − 1)3 = 2(k + 1)4 − (k + 1)2 : (Por demostrar)


k+1∑i=1

(2i − 1)3 =k∑

i=1

(2i − 1)3 + (2k + 1)3 , Y por hipotesis, sabemos que

k∑i=1

(2i − 1)3 = 2k4 − k2

Sustituyendo queda:

2k4 − k2 + (2k + 1)3

2k4 − k2 + (8k3 + 12k2 + 6k + 1) ,

Como en la demostracion esta −(k+1)2, formaremos este termino sumandoceros, sabemos que la forma este es −k2 − 2k − 1.

9

2k4 − k2 + (8k3 + 12k2 + 6k + 1), // − 2k + 2k − 1 + 1

2k4 + (−k2 − 2k − 1) + (8k3 + 12k2 + 8k + 2)

2k4 − (k + 1)2 + (8k3 + 12k2 + 8k + 2)

2k4 + 8k3 + 12k2 + 8k + 2 − (k + 1)2

2(k + 1)4 − (k + 1)2, Q.E.D

10

3.- Demostrar por induccion que n3 + 5n es divisible por 3

i)Como siempre, debemos corroborar para n = 1:1+5=6, y 6 es divisible por 3

ii)Ahora para un n = k:k3 + 5k = 3 · c : (Hipotesis)

Dejamos que c sea una constante cualquiera acompanada de un 3, estohace posible que cualquier c sea divisible por 3

iii)Ahora para un n = k + 1:

(k + 1)3 + 5(k + 1) = 3c′

k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = 3c′, Ahora formemos la hipotesis

k3 + 5k + 3k2 + 3k + 6 = 3c′

(k3 + 5k) + (3k2 + 3k + 6) = 3c′, Por hipotesis sabemos que (k3 + 5k) = 3c

3c + 3(k2 + k + 2) = 3c′, Como TODOS los terminos son multiplos de 3Q.E.D

11

4.-Demostrar por induccion que (xn − yn) es divisible por (x − y)

i)Corroboramos para n = 1:x − y, en efecto es divisible por x − y

ii)Ahora para un n = k:(xk − yk) es divisible por (x − y) : (Hipotesis)

iii)Ahora para un n = k + 1:

(xk+1 − yk+1)

(xkx − yky), Formemos la hipotesis...

(xkx − yky), //−ykx + ykx

(xkx − ykx) + (ykx − yky)

x(xk − yk) + yk(x − y), Aqui tenemos a la hipotesis que es divisible por(x − y), y ademas un termino (x − y), por lo tanto Q.E.D

12

1.- En el desarrollo de(x ·√

x +1

x4

)n

, el coeficiente del tercer termino

es mayor que el coeficiente del segundo termino en 44 unidades. Determineel valor de n.

Bien para empezar DEBEMOS RECORDAR que si nos piden el terminon-esimo, el k que debemos buscar es n-esimo-1, en este caso el k para el tercertermino entonces es k = 2 y por ende para el segundo termino k = 1.

Asi ahora podemos imponer la formula del binomio de Newton:

n∑k=0

(nk

)an−k · bk, para nuestro caso, a = x ·

√x y b =

1

x4, y por medio

del enunciado ademas decimos que:

(n2

)(x3/2)n−2(x−4)2 =

(n1

)(x3/2)n−1(x−4)1 + 44

Ahora como nos hablan de los coeficientes, nos olvidamos de los x (vari-ables) y dejamos en lo propuesto solo las constantes. Es decir

(n2

)=

(n1

)+44

Por propiedades de la combinatoria, expresamos

(nk

)como

n!

k!(n− k)!

n!

2!(n− 2)!=

n!

1!(n− 1)!+ 44

n(n− 1)(n− 2)!

2(n− 2)!=

n(n− 1)!

1(n− 1)!+ 44

n(n− 1)

2= n + 44

1

n(n− 1) = 2n + 88

n2 − 3n− 88 = 0

Aplicamos−b±

√b2 − 4ac

2a:

3±√

9 + 352

2=

3±√

361

2=

3± 19

2, Entonces tenemos las raıces:

22

2= 11 = n1 y

−16

2= −8 = n2

De estas raıces la unica que funcionarıa para nuestro caso, es la n1=11.

Es decir, que para(x ·√

x +1

x4

)11

el segundo y tercer termino en sus

coeficientes hay una diferencia de 44 unidades, si quieren pueden desarrollarel binomio de Newton para comprobar y se daran cuenta que la expansionde ese binomio es de la forma: (

√x)33 +11(x)11 +55(

√x)11 +330(

√x)−11... y

si restamos los coeficientes del tercer y segundo termino (55-11) la diferenciaefectivamente es 44.

2

UNIVERSIDAD ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ELEMENTOS DE ALGEBRA Y CALC ELEMENTAL - FMM 0322do Semestre, 2008

ESTUDIANDO PARA LA PRIMERA SOLEMNE

1. Simplifique al maximo, utilizando propiedades:

[(p ⇒ q) ∧ (q ∨ p)] ∧ (q ∧ p)

2. Demuestre, utilizando propiedades que:

[p ⇒ (q ∨ p)] ∧ q ≡ (p ⇒ q)

3. Utilizando propiedades, demuestre que:

(a) [A− (A ∪B)] ∪ [B − (A ∩B)] = B −A

(b) (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) ∪ (Ac ∩Bc) = U

4. Una agencia de viajes ha preguntado a 180 de sus clientes sobre sus destinos favoritos en America.Los resultados son los siguientes:

• 57 prefieren Colombia

• 77 prefieren Brasil

• 45 prefieren Colombia y Brasil

• 10 prefieren Colombia, pero no Brasil ni Uruguay

• 28 prefieren Colombia y Brasil, pero no Uruguay

• 90 prefieren otros paıses

• 19 prefieren Brasil y Uruguay

Utilizando un diagrama de Venn, calcule el numero de clientes que prefieren como destino turıstico aUruguay.

5. Calcular el valor de la suma en terminos de n:

n∑i=1

[4i(i2 + 1)− (6i2 + 1)]

6. Dadan∑

i=1

Ai =n(3n− 1)

2, calcular

12∑i=7

Ai.

Sol: 159

7. Determinar los lados de una caja de fosforos de volumen 27cm3, sabiendo que los lados estan en P.Gy suman 9.5cm.

Sol: Los lados son:2, 3, 92

8. Demuestre por induccion que 32n − 1 es divisible por 8.

9. Calcular el valor de la constante a en el binomio(x

a− y2

)15, si ocurre que en su desarrollo el termino

que contiene a y22, tiene coeficiente numerico igual a−45527

.

Sol: a = 3.

Calculo IInecuaciones

Eduardo Saavedra A.

September 29, 2006

1

1)Se ha establecido que el virus sinsicial que ataca preferentemente a losnios se debe a dos factores que son la posibilidad de contagio de acuerdo a laedad del nio que obedece a la formula C(x) = 2x2−5x+4 y a la disminucionde cierta vitaminas en el organismo tambien de acuerdo a la edad dado porV (x) = x2 + 6x− 8. Si se estima que los mayores trastornos producidos poreste ”virus” se producen cuando la diferencia entre ambos factores es menorque 12. ¿Cules son las edades de mas riesgo para contraer esta enfermedad?

Sol:Bien, el planteamiento nos dice que las diferencias entre los factores es

menor que 12 y claro, la edad NO PUEDE SER NEGATIVA, entonces:

|2x2 − 5x + 4− (x2 + 6x− 8)| < 12

|x2 − 11x + 12| < 12

Luego por propiedades del valor absoluto:

−12 < x2 − 11x + 12 < 12

Las separamos en 2 inecuaciones:

A)x2 − 11x + 12 > −12 B)x2 − 11x + 12 < 12

x2 − 11x + 24 > 0 x2 − 11x < 0

(x− 8)(x− 3) > 0 x(x− 11) > 0

−∞ 3←→ 8 +∞x− 8 − − +x− 3 − + +sol + − +

−∞ 0←→ 11 +∞x − + +

x− 11 − − +sol + - +

Entonces la solucion Final:]0, 3[U ]8, 11[

2

2)Resolver el sistema de inecuaciones :

A)x

x− 5≤ x

x + 1

B)2x(x + 4) ≤ (x + 6)(x + 1)

A)x

x− 5≤ x

x + 1x

x− 5− x

x + 1≤ 0

x2 + x− x2 + 5x

(x− 5)(x + 1)≤ 0

6x

(x− 5)(x + 1)≤ 0

−∞ −1←→ 0 ←→ 5 +∞x − − + +

x− 5 − − − +x + 1 − + + +sol - + - +

B)2x(x + 4) ≤ (x + 6)(x + 1)

2x2 + 8x ≤ x2 + 7x + 6

x2 + x− 6 ≤ 0

(x− 2)(x + 3) ≤ 0

−∞ −3←→ 2 +∞x + 3 − + +x− 2 − − +sol + - +

Solucion final: (]−∞,−1[∪[0, 5[) ∩ [−3, 2] = [−3, 1[U [0, 2]

3

3)Para una poblacion particular de salmones la relacion entre el nmero Sde ponedoras y el nmero R de hijuelos que sobreviven hasta la edad adulta

est dada por la frmula R =400S

S + 500=¿En que condiciones R > S ?

Como nos piden que R sea mayor que S hacemos lo siguiente:

400S

s + 500> S

400S

s + 500− S > 0

400S − S2 − 500S

s + 500> 0

−S2 − 100S

s + 500> 0

−(S2 + 100S)

s + 500< 0

S(S + 100)

s + 500< 0

−∞ −500←→ −100 ←→ 0 +∞S − − − +

S + 100 − − + +S + 500 − + + +

sol - + - +

Entonces la solucion final es:]−∞,−500[∪]− 100, 0[

4

4)Resuelva: |x + 1| ≤ |2 + 3x|

Sol:

|x + 1| ≤ |2 + 3x|

|x + 1||2 + 3x|

≤ 1

∣∣∣∣ x + 1

2 + 3x

∣∣∣∣ ≤ 1

−1 ≤ x + 1

2 + 3x≤ 1

Luego las separamos en dos inecuaciones:

A)x + 1

2 + 3x≥ −1 B)

x + 1

2 + 3x≤ 1

x + 1

2 + 3x+ 1 ≥ 0

x + 1

2 + 3x− 1 ≤ 0

4x + 3

2 + 3x≥ 0

2x + 1

2 + 3x≥ 0

−∞ −3/4←→ −2/3 +∞4x + 3 − + +2 + 3x − − +

sol + − +

−∞ −2/3←→ −1/2 +∞2x + 1 − − +2 + 3x − + +

sol + − +

Solucion final: ]−∞,−3/4] ∪ [−1/2, +∞[

5

5)Resuelva: |x + 1|+ |x− 1| = 0

Tenemos entonces:

|x + 1| =

x + 1, x ≥ −1

−(x + 1), x ≤ −1

|x− 1| =

x− 1, x ≥ 1

−(x− 1), x ≤ 1

−∞ − 1 1 ∞|x + 1| −(x + 1) (x + 1) (x + 1)|x− 1| −(x− 1) −(x− 1) (x− 1)

|x + 1|+ |x− 1| = 0 −x− 1− x + 1 = 0 x + 1− x + 1 = 0 x + 1 + x− 1 = 0−2x = 0 2 = 0 2x = 0S1 = ∅ S2 = ∅ S3 = ∅

sol ∅ ∅ ∅

La solucion Final entonces es inexistente, no hay solucion para la in-ecuacion dada ;)

6

6)Para que cualquier medicamento tenga un efecto benefico, su concen-tracion en el torrente sanguıneo debe exceder un cierto valor llamado nivelterapeutico mınimo. Suponga que la concentracion C de un farmaco al tran-scurrir t horas despues de que se ha ingerido esta dada por:

C =20t

t2 + 4

[mg

lto

]

Si el nivel terapeutico mınimo es de 4[mg

lto

], determine cuando se ha

excedido este nivel.

20t

t2 + 4> 4

20t− 4t2 − 16

t2 + 4> 0

−4(t2 − 5t + 4)

t2 + 4> 0

−4(t− 1)(t− 4)

t2 + 4> 0

4(t− 1)(t− 4)

t2 + 4< 0

−∞ 1←→ 4 +∞t− 4 − − +t− 1 − + +t2 + 4 + + +sol + - +

Solucion Final: El nivel de concentracion se excede entre 1 y 4 horas.

Sol :]1, 4[

7

7)Un determinado farmaco que se usa para controlar la temperatura seinyecta vıa intramuscular. Su efecto (en horas) es dado en funcion de x (mgde dosis) por:

E =74x

8x + 3

¿Que cantidad de dosis se debe inyectar para que el farmaco tenga efectomas de 4 horas y menos de 8 horas?

4 <74x

8x + 3< 8

Nuevamente dividimos en 2 la inecuacion:

A)74x

8x + 3> 4 B)

74x

8x + 3< 8

74x− 32x− 12

8x + 3> 0

74x− 64x− 24

8x + 3< 0

6(7x− 2)

8x + 3> 0

2(5x− 12)

8x + 3< 0

−∞ −3/8←→ 2/7 +∞7x− 2 − − +8x + 3 − + +

sol + − +

−∞ −3/8←→ 12/5 +∞5x− 12 − − +8x− 3 − + +

sol + - +

Finalmente la solucion es:]2/7, 12/5[

8

Resolver las siguientes inecuaciones:

a)7

x− 1− 6

x2 − 1< 5 R.: (−∞,−1) ∪ (−3

5, 1) ∪ (2,∞)

b)(2x− 1)(3x + 4)

(x− 5)(x + 7)≤ 0 R.: (−7, −4

3] ∪ [1

2, 5)

c) 1 <3x− 1

x− 3< 2 R.: (−5, −1)

d)x

x2 − 3x + 2− x + 2

x2 + 3x + 2< 0 R.: (−1, 1

2] ∪ (1, 2)

e)x− 1

x + 1≤ x + 2

x− 5R.: (−1, 1

3] ∪ (5,∞)

f)x2 − 3x + 1

x2 + 4x− 1< 1 R.: (−2−√5, −2 +

√5) ∪ (2

7, ∞

g)4

x + 2>

1

x− 1R.: (−2, 1) ∪ (2,∞)

h)3

x + 4+

12

x− 5< −1 R.: (−13, −4) ∪ (−1, 5)

i)2x− 1

x + 1≤ 4x− 5

2x− 3R.: (−1, 8

7] ∪ (3

2, ∞)

j) |x + 5

x + 1| < 3 R.: (−∞, −2) ∪ (1,∞)

k) |x + 1|+ |x + 3| ≤ |x− 5|+ x R.: [−72

, 32]

l) 2|x− 2| − |x + 1| < 2 R.: (13, 7)

1

m) ||x + 1| − |x− 3|| ≤ |x− 5| R.: (−∞, 73] ∪ [9,∞)

n) |x2 − 3x + 2| ≤ 2 R.: [0, 3]

n)5x + 3

x− 1≥ |x| R.: (−3,−1] ∪ (1, 3 + 2

√3]

o) |x− 3|+ |x + 4| < 5 R.: φ

p) |x2 − 4x + 3| > 1 R.: (−∞, 2−√2) ∪ (2 +√

2,∞)

q) |3− 2x

x− 1| < 4 R.: (−∞, 1

2) ∪ (7

6,∞)

r) |3x− |2x− 1|| < x R.: (16

, 14)

s) ||x + 1|+ 1| < 2 R.: (−2, 0)

2

UNIVERSIDAD ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE MATEMATICASMATEMATICAS - FMM 002Coord. Hector Aguilera

AYUDANTIA : TRIGONOMETRIA

1. (a) Si se sabe que sinα + cos α =12, demuestre que

sinα · cos α = −38

(b) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h metros del piso, formando unangulo de 30 con la pared. Resbala y su extremo superior desciende un metro y queda formandoun angulo de 60 con la pared.¿ Cual es la longitud de la escalera?

2. Unos observadores en dos pueblos distintos, A y B, en cada lado de la montana de 12.000 pies dealtura, miden los angulos de elevacion entre el suelo y la cima de la montana que corresponden a 28 y46o respectivamente. Asumiendo que los pueblos estan sobre un mismo plano, encuentre la distanciaque hay entre ellos.

3. Demuestre la identidad:

(sec α − tanα)(csc α + 1) = cotα

4. Un espirograma es un instrumento que registra en un grafico el volumen del aire en los pulmones deuna persona en funcion del tiempo. Un trazado de este grafico esta dado por la funcion

V (t) = 3 +120

· sin(160π · t − π

2

)donde el tiempo esta medido en minutos y el volumen en litros.

(a) Dibuje la porcion del grafico que tiene relacion con el problema.

(b) ¿Cual es el volumen para el tiempo cero?.

(c) ¿En que instante el volumen es de 3.025 litros?.

(d) ¿Cuando el volumen es maximo? ¿y mınimo?.

(e) Determine el volumen maximo y mınimo.

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U nivers idad Andres Bello Depart am ent o de Mat.ernat.icas

MATEMATICAS - FMM 002 1er Sem est re, 2009

CONTROL 2

Viernes 08 de Mayo de 2009

1. Si f(x) = 3x + 2 Y g(x) = .,£2 - 3.'£ + 1, encuentre una funcion h(x), tal que f(h(x)) = g(x).

2. En un bosque, un depredador se alimenta de las presas y su poblacion Pesta en funcion del mimero de presas x que hay en el bosque a traves de la formula

2x P('£)=-~+10x+90' 6

(a) Calcule el mimero de depredadores si la cantidad de presas es igual 12.

(b) lY a ra que numero de presas la cantidad de dcpredadorcs es maxima?

(c) Calcule la cantidad maxima de depredadores.

3. Debido principalmente a amplias campafias de vacunacion, la incidencia del tetano ha disminufdo rapidamente en Est ados Unidos. Se pudo establecer que la disminucion ha sido lineal desde 1990. En 1990 hubo 64 casos repor tados, en el ana 2000 se registraron 26. Considerando t el numero de anos desde 1990 ( t = 0 para 1990 ), Y N el mimero de casos, encuentre la funcion lineal N = f(t) que modela el problema, y utilicela para predecir el afio en que no existan casas de tetano en la poblacion.

D URACION: 40 MINUT OS SIN C ON SU LTAS

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UNIVERSIDAD ANDRES BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ELEMENTOS DE CALCU LO y ALGEBRA ELEMENTAL - FMM032 /13 1er Semestre, 2009

CONTROL 2

1.- Hallar el conjunto solucion de la siguiente inecuacion :

2.- Mediante el calculo se puc de dernostrar qu e si una pclota cs lanzada vert ica lmcnte hacia arr iba con una rapidez inicia l de 16 pies/seg desde la part e super ior de un edificio de 128 pies de alt o, entonces su al tura h sobr e el piso despues de t segundos sera de:

h = 128 t 16t - 16t 2

(,Durante que int ervale de tiempo est ara la pclota p or 10 menos 32 pies por a rriba del nivel del suelo?

3.- l,Para que valor es de x, la expresion:

x 2 - 4x - 5

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Calculo IFunciones

Lineal, Cuadratica, Exponencial

Eduardo Saavedra A.

October 12, 2006

1

1. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210,cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontro que paraun grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a unnivel de 231 el riesgo es de 0.192.

(a) Encuentre una ecuacion lineal que exprese el riesgo R en terminos del nivel de colesterol C.(b) Cual es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

a)Para comenzar, como nos dicen que es una ”Ecuacion lineal”, debemos buscar una funcionde la forma y = m · x + n, como tenemos de incognitas a m y n primero obtendremos la pendiente”m”, la cual se define:

m =y2 − y1

x2 − x1

Identificando los pares coordenados, en el eje ”y” tenemos el Riesgo (R),y en el eje ”x” el nivelde colesterol(C):

- El riesgo en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160- Y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192

Por lo tanto:P1 : (x1, y1);P2 : (x2, y2)P1 : (231, 0.192);P2 : (210, 0.160)

Entonces m =0.160− 0.192

210− 231⇒ m = 0.0015

Con ”m” en la funcion R(C) = m ·C + n tenemos R(C) = 0.0015 ·C + n, Debemos sacar ”n”,lo cual es facil si tenemos los puntos dados anteriormente, sustituyendo el punto P1 en la ecuacionincluyendo a ”m”:

0.192 = 0.0015 · 231 + n; Despejando ”n” obtenemos: n = −0.16.

2

Finalmente la ecuacion resultante es: R(C) = 0.0015 · C − 0.16

b) Teniendo la ecuacion si nos preguntan por el riesgo dandonos el nivel colesterol, simplementesustituimos en la ecuacion lineal R(C) = 0.0015 · C − 0.16

El riesgo para un colesterol de 260 es de: R = 0.0015 · 260− 0.16 ⇒ R = 0.23619

3

2. El departamento de salud estima que el numero de personas que consumen cocaına ha idoaumentando en una proporcion lineal. El numero estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000y en 1985 fue de 1025000.

(a) Determine la funcion lineal que relacione la cantidad de drogadictos en terminos del tiempomedido en anos (t = 0 para 1980)(b) Interprete el significado de la pendiente(c) Si el numero de drogadictos sigue creciendo, Cuando llegara a 1250000 ?

a)Al igual que en el ejercicio anterior:

Definimos los puntos coordenados como Pi : (t, D), es decir los puntos estan con respecto altiempo eje ”x” y respecto a la cantidad de drogadictos en el eje ”y”.P1 : (1980, 950000);P2 : (1985, 1025000)

Pero por el enunciado nos dicen que 1980 es t=0, por ende 1985 es t=5, ası...

P1:(0, 950000); P2:(5, 1025000).

Siendo una representacion de ecuacion lineal, tenemos: D = t ·m + n

Donde a ”m” la obtenemos: m =1025000− 950000

5− 0⇒ m = 15000

Luego para ”n” sustituimos en la ecuacion incluyendo a m el punto P1:D = t · 15000 + n ⇒ 950000 = 0 · 15000 + n ⇒ n = 950000

Finalmente la ecuacion queda de la forma D = t · 15000 + 950000

b) La pendiente indica la cantidad de de drogadictos que se agregan por cada ano, es decirdrogradictos/ano

4

c) Para que llegue a 1250000 debemos sustituir en la ecuacion la cantidad de drogradictos paraobtener el tiempo t:

1250000 = t · 15000 + 950000 ⇒ t = 20

Es decir que para el ano 2000 se prevee que la cantidad de drogadictos aumente a 1250000.

5

3. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan.Para los peces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por dia) esta dada porla funcion:

G(T ) = −0.0346(T − 23)2 − 0.0723(T − 23) + 3.77

(a) Encuentre la temperatura del agua que genera la maxima tasa de crecimiento.(b) Cuando la temperatura del agua es de 15C Cual es la tasa de crecimiento?(c) A que temperatura los peces dejan de crecer?

a)Primero debemos desarrollar la ecuacion de tal manera que quede ”expandida”, esto lo hare-mos para identificar mas f´cilmente los coeficientes (a,b y c) de la ecuacion cuadratica. Haciendoel desarrollo correspondiente, llegamos a:

G(T ) = −0.0346t2 + 1.5193t− 12.8705

Bien como sabemos que la forma de la ecuacion cuadr´tica es una parabola, abierta haciaarriba o abajo dependiendo del signo del coeficiente ”a”, deducimos que esta abierta hacia abajo(concavidad hacia abajo) es decir posee un maximo, este maximo es posible calcularlo mediante laecuacion del vertice:

V ertice :(− b

2a, c− b2

4a

), Como nos interesa lo que ocurre en el eje ”x” simplemente usamos

el vertice para la coordenada ”x” (Temperatura):

− b

2a⇒ − 1.5193

2 · (−0.0346)= 21.96

La maxima tasa de crecimiento ocurre a una temperatura de 21.96 C

b)Si la temperatura es de 15C entonces la tasa de crecimiento es:

G(15) = −0.0346 · 152 + 1.5193 · 15− 12.8705 = 2.134

c) Los peces deberıan dejar de crecer cuando la tasa de crecimiento es 0, entonces en la ecuacion

6

podemos hacer lo siguiente:

0 = −0.0346t2 + 1.5193t− 12.8705; Lo cual debemos resolver por la formula de la ecuacion desegundo grado, ello nos otroga 2 temperaturas, estas son: T1 = 11.46 y T2 = 32.45

Es decir que los peces dejan de crecer cuando estan a 11.46 C o a 32.45 C

7

4. Se ha descubierto que los niveles de contaminacion en los primeros 6 meses de 2001 havariado de acuerdo a la funcion y = −x2 + 6x donde x representa el mes esperado.

(a) Determine el mes en que el nivel de contaminacion fue maximo.(b) Segun la informacion dada En que mes no hubo contaminacion?(c) Grafique la situacion planteada.

a)Al igual que en el ejercicio anterior el vertice es, en, ”x”: − b

2a:

donde b = 6 y a = −1: − 62(−1)

= 3

Entonces el mes en que el nivel de contaminacion fue el maximo es el 3

b)Para saber en que mes no hubo contaminacion hacemos y=0; entonces: 0 = −x2 + 6x, Fac-torizando: 0 = x(x− 6)

Bien, los resultados de esa factorizacion es x1 = 0 y x2 = 6

Por ende en el mes 6 y 0 no habıan ındices de contaminacion

c) Graficar: Para graficar busquemos los vertices de la ecuacion:(− b

2a, c− b2

4a

)= (3, 9)

Luego busquemos las intersecciones con el eje x(y=0): 0 = −x2 + 6x ⇒ x1 = 0 y x2 = 6

Y ahora para el eje y(x=0): y = −02 +6 ·0 = 0 Con estos 3 puntos podemos graficar de maneraoptima:

8

28. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por lafuncion

f(t) =250

1 + e−2t

la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t.

(a) Si el tiempo es medido en semanas, cuantas han sido contagiados en tres semanas?(b) Cual es la cantidad de contagiados en tres meses?(c) En que tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas

a) Si el tiempo esta medido en semanas, simplemente hacemos t=3 y la ecuacion deberıa en-tregarnos la cantidad de contagios, entonces:

f(3) =250

1 + e−2∗3 =250

1 + e−6⇒ f(3) ≈ 249

b)Asumimos que el t esta medido en semanas, los 3 meses tranformados a semanas (naturales)serian 4 semanas * 3 meses= 12 semanas, es decir debemos evaluar f(t) en 12:

f(12) =250

1 + e−2∗12=

2501 + e−24

⇒ f(12) ≈ 250

c)ahora por otro lado nos preguntan el tiempo en que se contagian 30 personas, logicamente siqueremos obtener el tiempo ella es nuestra incognita!, por ende f(t)=30:

⇒ 30 =250

1 + e−2t

⇒ 30 · (1 + e−2t) = 250

⇒ 30 + 30 · e−2t = 250

⇒ e−2t =22030

// ln(x)

⇒ ln e−2t = ln22030

9

⇒ −2t = ln22030

⇒ t = ln

([22030

]− 12

)t = −0.9962

Tiempo negativo? Algo anda mal con el enunciado del ejercicio, de todas maneras ese serıa elresultado final.

10

50. La concentracion de un medicamento en un organo al instante t ( en segundos ) esta dadapor

x(t) = 0.08 + 0.12e−0.02t

donde x(t) son gramos/centımetros cubicos (gr/cm3)

(a) Cual es la concentracion pasado 1 minuto?(b) Cuanto tiempo tardara en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el organo?

a) Debemos fijarnos bien que nos preguntan por la concentracion pasado 1 minuto, siendo quet esta en SEGUNDOS. Por intuicion simplemente sabemos que un minuto equivale a 60 segundos,es asi como:

x(60) = 0.08 + 0.12e−0.02∗60 ⇒ x(60) ≈ 0.116

La concentracion despues de 1 minuto es de 0.116 (gr/cm3)

b) Ahora debemos imponer la cantidad de medicamento en el organo, esto serıa que la funciones igual a 0.18, entonces:

0.18 = 0.08 + 0.12e−0.02t

0.18 = 0.08 + 0.12e−0.02t

0.10 = 0.12e−0.02t

0.83 = e−0.02t// ln(x)ln 0.83 = ln e−0.02t

−0.19 = −0.02t

t ≈ 9.5

El tiempo transcurrido para que se encuentren 0.18 (gr/cm3) de medicamento en un organo esde 9.5 segundos

11

43. Una cierta sustancia radiactiva decrece segun la formula

q(t) = q0e−0.0063t

donde q0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en dıas. Determine despues de cuantotiempo la cantidad de sustancia sera la mitad de la inicial.

Nos proponen obtener cuando la cantidad es la mitad de la cantidad inicial, si sabemos que lacantidad inicial es q0, entonces la mitad de la cantidad inicial es q0/2.

Con este importante dato vamos a la ecuacion: q(t) = q0e−0.0063t, y q(t) debe ser igual a q0/2.

q0

22 = q0e

−0.0063t

12

= e−0.0063t// ln(x)

ln12

= ln e−0.0063t

ln12

= −0.0063t

ln

([12

]− 10.0063

)= t

t ≈ 110

Entonces despues de 110 dias la cantidad de sustancia es la mitad que la inicial.

12

Salomon Alarcon Araneda & Pablo Gonzalez Lever

Calculo Diferencial

Prefacio

Estimados alumnos de carreras de la salud e ingienerıas en ejecucion, este libro surge

como una respuesta al constante requerimento que muchos de ustedes han manifestado

por encontrar un texto de apoyo al curso de Calculo I de sus respectivas carreras, que

interprete de mejor forma sus necesidades academicas y que concuerde con sus programas

de estudios.

Nuestro interes es atender vuestros requerimientos de una forma adecuada, con el fin

de apoyar y profundizar el estudio del Calculo Diferencial, pero sin entrar en

las sutilezas propias de las matematicas. Por esta razon algunos de los temas

aquı presentados no estan ordenados necesariamente de acuerdo a un enfoque

cientıfico-matematico propiamente tal, sino que mas bien ellos son presentados en un

orden de caracter practico. Aun ası, hemos decidido introducir algunos elementos

formales de la matematica con el unico fin de ahondar en aquellos aspectos que son

razonables en el contexto del curso y que requieren un nivel de abstraccion que conviene

que ustedes desarrollen.

Debemos aclarar que esta es una version preliminar del texto, la cual aun debe ser

mejorada en varios aspectos, lo que esperamos hacer durante el transcurso de este ano.

Por lo tanto, esta version se actualizara constantemente.

Finalmente, esperamos que este texto sea del agrado de ustedes y les sirva de apoyo al

momento de estudiar.

Los autores.

CAPITULO 0. PREFACIO

IV

Indice general

Prefacio III

Indice general V

I Funciones Reales 1

1. El Cuerpo de los Numeros Reales 3

1.1. Axiomas de cuerpo en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Otras propiedades de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Otras propiedades de las desigualdades en R . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.3. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.4. Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones radicales . . . . . . . . . 18

1.2.5. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6. Solucion por Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.7. Construccion de tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.8. Problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. Axioma de completitud (*opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1. Propiedad caracterıstica del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2. Propiedad caracterıstica del ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Funciones 27

2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Definiciones de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

V

INDICE GENERAL

2.3. Propiedades eventuales de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Funcion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6.1. Funcion Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6.2. Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.3. Funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.4. Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.5. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.6. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.7. Funciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6.8. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6.9. Funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II Lımites y Continuidad 53

3. Lımites 55

3.1. Discusion informal de los lımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Definicion del lımite de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Propiedades de los lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4. Teoremas sobre algunos Lımites relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5. Algunas Tecnicas para calcular Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.1. Simplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.2. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.3. Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.4. Uso de identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.5. Uso de lımites especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6. Lımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7. Lımites en infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Continuidad 75

4.1. Continuidad de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3. Dos teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

VI

INDICE GENERAL

4.4. Criterio para maximos y mınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

III La Derivada y sus aplicaciones 81

5. La Derivada 83

5.1. Definicion de la derivada de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3. Dos Teoremas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4. La funcion derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.1. Derivadas de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.2. Derivadas de funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4.3. Derivadas de funciones logarıtmicas y exponenciales . . . . . . . . . 91

5.5. Algebra de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.6. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.8. Derivada de una funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.9. Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.10. Ecuaciones parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.11. Variaciones relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6. Aplicaciones de la Derivada 107

6.1. Maximos y mınimos de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2. Aplicaciones de Maximos y mınimos en intervalos cerrados . . . . . . . . . 108

6.3. Teorema de Rolle y Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4. Criterios de crecimiento y decrecimiento. Criterios de maximos y mınimos

relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.5. Aplicaciones de maximos y mınimos en intervalos reales . . . . . . . . . . . 111

6.6. Concavidad. Puntos de Inflexion. Trazado de curvas . . . . . . . . . . . . . . 113

6.7. Regla de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

VII

INDICE GENERAL

VIII

Parte I

Funciones Reales

1

Capıtulo 1

El Cuerpo de los Numeros Reales

Desde la perspectiva del Calculo el conjunto numerico de mayor relevancia es el de los

numeros reales debido a la gran cantidad propiedades que verifican sus elementos. Estas

propiedades se pueden separar en tres grupos:

1. axiomas de cuerpo

2. axiomas de orden

3. axioma de completitud

El conjunto de los numeros reales se denota por R y antes de estudiar cada uno de los

grupos de axiomas mencionados anteriormente, es conveniente recordar algunos subcon-

juntos notables de R y sus notaciones. Tenemos:

N = 1, 2, 3, . . . denota el conjunto de los numeros naturales.

N0 = N ∪ 0.

Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . denota el conjunto de los numeros enteros.

Q =

pq

: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0

denota el conjunto de los numeros racionales.

I denota a los numeros irracionales.

OBSERVACION 1.1 Es conocido que Q ∩ I = ∅ y Q ∪ I = R. Mas aun, Q contiene

a todos aquellos numeros que tienen representacion fraccionaria, es decir los numeros

con una cantidad finita de decimales o con una cantidad infinita periodica; mientras que Icontiene a todos aquellos numeros que poseen infinitos decimales y que no son periodicos.

1.1. Axiomas de cuerpo en RAhora nos interesa estudiar algunas propiedades que verifican los numeros reales y

para ello consideramos las operaciones: adicion, que denotamos +, y multiplicacion, que

denotamos ·, en R. El trıo (R, +, ·) denota a R dotado de estas dos operaciones y verifica

las siguientes propiedades:

3

CAPITULO 1. EL CUERPO DE LOS NUMEROS REALES

PARA LA OPERACION ADICION EN R.

(A0) Propiedad de clausura:(∀a, b ∈ R)(a + b ∈ R)

(A1) Propiedad conmutativa:(∀a, b ∈ R)(a + b = b + a)

(A2) Propiedad asociativa:(∀a, b, c ∈ R)

(a + (b + c) = (a + b) + c

)(A3) Propiedad de existencia de elemento neutro aditivo (el cero):

(∃0 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(0 + a = a + 0 = a)

(A4) Propiedad de existencia de elemento inverso aditivo:(∀a ∈ R)

(∃(−a) ∈ R

)tal que

(a + (−a) = (−a) + a = 0

).

PARA LA OPERACION MULTIPLICACION EN R.

(M0) Propiedad de clausura:(∀a, b ∈ R)(a · b ∈ R)

(M1) Propiedad conmutativa:(∀a, b ∈ R)(a · b = b · a)

(M2) Propiedad asociativa:(∀a, b, c ∈ R)

(a · (b · c) = (a · b) · c

)(M3) Propiedad de existencia de elemento neutro multiplicativo (el uno):

(∃1 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(1 · a = a · 1 = a)

(M4) Propiedad de elemento inverso multiplicativo salvo para el neutro aditivo:(∀a ∈ R \ 0)(∃a−1 ∈ R \ 0) tal que

(a · a−1 = a−1 · a = 1

)PROPIEDAD QUE RELACIONA LA ADICION Y LA MULTIPLICACION EN R.

(MA) Propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto a la adicion:a · (b + c) = (b + c) · a = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ R

Las propiedades (A0)-(A4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par (R, +); las

propiedades (M0)-(M4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par (R \ 0, ·). y

ademas tenemos la propiedad (MA). En consecuencia, el trıo (R, +, ·) posee la estructura

algebraica conocida como cuerpo. Todas las propiedades anteriores constituyen los axiomas

de cuerpo en R por lo que ellas se aceptan y no requieren demostracion.

4

1.1. AXIOMAS DE CUERPO EN R

1.1.1. Otras propiedades de los numeros reales

A partir de estos axiomas y usando las reglas de la logica formal, podemos obtener

otras propiedades que cumplen los numeros reales:

1. [0 es elemento absorvente multiplicativo] (∀a ∈ R)(a · 0 = 0)

Demostracion.

a · 0 = a · 0 + 0 propiedad (A3)

= a · 0 + (a + (−a)) propiedad (A4)

= (a · 0 + a) + (−a) propiedad (A2)

= (a · 0 + a · 1) + (−a) propiedad (M3)

= a · (0 + 1) + (−a) propiedad (MA)

= a · 1 + (−a) propiedad (A3)

= a + (−a) propiedad (M3)

= 0 propiedad (A4).

2. (∀a, b ∈ R)(a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0)

Demostracion.

(⇒) Queremos probar que el enunciado

(∀a, b ∈ R)(a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0)

es verdadero. Para ello argumentamos por reduccion al absurdo, esto es, asumamos

que la negacion del enunciado es verdadera y lleguemos a una contradiccion.

Asumamos que

a · b = 0 ∧ a 6= 0 ∧ b 6= 0.

Se sigue quea = a · 1 propiedad (A3)

= a · (b · b−1) propiedad (M4)

= (a · b) · b−1 propiedad (M2)

= 0 · b−1 pues a · b = 0

= 0 por 1. anterior.

Concluimos que a = 0, pero por otro lado partimos suponiendo que a 6= 0. Entonces

hemos obtenido una contradiccion. Esto quiere decir que la negacion del enunciado

es falsa, y por lo tanto el enunciado es verdadero.

5


(⇐)

(∀a, b ∈ R)(a = 0 ∨ b = 0 ⇒ a · b = 0)

es directo desde 1.

3. [Cancelacion aditiva] (∀a, b, c ∈ R)(a + b = a + c ⇔ b = c)

Demostracion.(⇒) b = b + 0 propiedad (A3)

= b + (a + (−a)) propiedad (A4)

= (b + a) + (−a) propiedad (A2)

= (c + a) + (−a) pues a + b = a + c

= c + (a + (−a)) propiedad (A2)

= c + 0 propiedad (A4)

= c propiedad (A3).

(⇐) Es directa desde la definicion de igualdad.

4. (∀a ∈ R)(− (−a) = a

)Demostracion. Sea a un numero real, entonces (−a) es su inverso aditivo. A su vez,

[−(−a)] es el inverso aditivo de (−a). Entonces tenemos

−(−a) = 0 + [−(−a)] propiedad (A3)

= (a + (−a)) + [−(−a)] propiedad (A4)

= a +((−a) + [−(−a)]

)propiedad (A2)

= a + 0 propiedad (A4)

= a propiedad (A3).

Antes de continuar introducimos la siguiente notacion:

1. Se define la operacion sustraccion en R, la cual denotamos por −, como sigue:

(∀a, b ∈ R)(a− b = a + (−b)

)2. Se define la operacion division en R, la cual denotamos por :, como sigue:

(∀a ∈ R)(∀b ∈ R \ 0)(a : b = a · b−1 =

a

b

)3. Se define la operacion potencia entera de un numero real como sigue:

(∀a ∈ R \ 0)(∀n ∈ N)(an = a · a · . . . · a︸︷︷︸multiplicar n veces a

)

(∀a ∈ R \ 0)(∀n ∈ N)(a−n = (a−1)n

)00 = 1

6


EJERCICIOS 1.1 Demuestre cada una de las siguientes propiedades en R.

1. (∀a, b ∈ R)(a− (−b) = a + b

)2. (∀a, b ∈ R)

(a− b = 0 ⇔ a = b

)3. (∀a, b, c ∈ R)

(a− (b + c) = a− b− c

)4. [Cancelacion multiplicativa] (∀a, b, c ∈ R)(a · b = a · c ∧ a 6= 0 ⇔ b = c)

5. (∀a ∈ R)((a−1)−1 = a

)6. (∀a, b ∈ R)

(a−1 · b−1 = (a · b)−1

)7. (∀a ∈ R)

((−1) · a = −a

)8. (∀a ∈ R)

(a

1= a

)9. (∀a ∈ R)

(a 6= 0 ⇒ 1

a= a−1

)10. (−1)2 = 1

11. (∀a ∈ R)((−a)2 = a2

)12. (∀a, b, c, d ∈ R)

(b 6= 0 ∧ d 6= 0 ⇒

[a

b=

c

d⇔ a · d = b · c

])13. (∀a, b, c, d ∈ R)

(b 6= 0 ∧ d 6= 0 ⇒ a

b· c

d=

a · cb · d

)14. (∀a, b, c, d ∈ R)

(b 6= 0 ∧ d 6= 0 ⇒ a

b± c

d=

a · d± b · cb · d

)15. (∀a, b, c, d ∈ R)

(b 6= 0 ∧ c 6= 0 d 6= 0 ⇒ a

b:

c

d=

a · db · c

)

1.1.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita

El siguiente teorema establece la existencia y unicidad de soluciones de una ecuacion

de primer grado con una incognita con coeficiente no nulo:

TEOREMA 1.1 Sean a, b, c ∈ R, a 6= 0. La ecuacion de primer grado:

ax + b = c

posee solucion unica.

7


Demostracion. Para la existencia tenemos:

ax + b = c ⇒ ax + b + (−b) = c + (−b)

⇒ ax +(b + (−b)

)= c− b

⇒ ax + 0 = c− b

⇒ ax = c− b

⇒ a−1 · a · x = a−1 · (c− b)

⇒(a−1 · a) · x =

c− b

a

⇒ 1 · x =c− b

a

⇒ x =c− b

a.

Para la unicidad supongamos que existe una segunda solucion de la ecuacion, la cual

llamaremos z y probemos que en realidad se trata de la misma solucion. Tenemos:

ax + b = c ∧ az + b = c ⇒ ax + b = az + b

⇒ ax = az

⇒ x = z.

OBSERVACION 1.2 Antes de continuar es conveniente recordar los siguientes productos

notables:

1. [Cuadrado de un binomio] (x± a)2 = x2 ± 2ax + a2

2. [Cubo de un binomio] (x± a)3 = x3 ± 3x2a + 3a2x± a3

3. [Suma por su diferencia] (x + a)(x− a) = x2 − a2

4. [Producto de binomios con termino comun] (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

5. [Diferencia de cubos] x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax + a2)

6. [Suma de cubos] x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2).

EJEMPLOS 1.1 Resolver las siguientes ecuaciones para x.

1. 4x + 16 = 14

2. (x + 3)2 = (x− 2)(x + 1)

3. (x− 3)(x + 1) = (x +√

3)(x−√

3)− 2x

4. (x + 1)2 − 2x = x2

5.1

x− 3− 3

x− 2− 4

1− 2x= 0 [x 6= 2 ∧ x 6= 3]

6. a)x + a

5+

x + b

10= 1

b) ¿Cuanto vale x si a = 5 y b = 0?

8


7. a) (x− a)(x + a) = (x− 2a)2 [a 6= 0]

b) ¿Cual debe ser el valor de a para que la solucion en a) sea 12?

Soluciones.1. 4x + 16 = 14 ⇒ 4x = 14− 16

⇒ 4x = −2

⇒ x = −2

4= −1

2

2. (x + 3)2 = (x− 2)(x + 1) ⇒ x2 + 6x + 9 = x2 − x− 2

⇒ 6x + 9 = −x− 2

⇒ 7x = −11

⇒ x = −11

7

3. (x− 3)(x + 1) = (x +√

3)(x−√

3)− 2x ⇒ x2 − 2x− 3 = x2 − 3− 2x

⇒ 0 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es verdadero, tenemos que∴ cualquier x ∈ R es solucion de la ecuacion.

4. (x + 1)2 − 2x = x2 ⇒ x2 + 2x + 1− 2x = x2

⇒ 1 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es falso, tenemos que∴ ningun x ∈ R es solucion de la ecuacion.

5.1

x− 3− 3

x− 2− 4

1− 2x= 0 ⇒ (x− 2)− 3(x− 3)

(x− 2)(x− 3)=

4

1− 2x

⇒ x− 2− 3x + 9

(x− 2)(x− 3)=

4

1− 2x

⇒ −2x + 7

(x2 − 5x + 6)=

4

1− 2x

⇒ (7− 2x)(1− 2x) = 4(x2 − 5x + 6)

⇒ 7− 16x + 4x2 = 4x2 − 20x + 24

⇒ 4x = 17

⇒ x =17

4

6. a)x + a

5+

x + b

10= 1 ⇒ 2(x + a) + (x + b)

10= 1

⇒ 2x + 2a + x + b = 10

⇒ 3x = 10− 2a− b

⇒ x =10− 2a− b

3

9


b) Cuando a = 5 y b = 0, obtenemos x =10− 2a− b

3=

10− 10− 0

3= 0.

7. a) (x− a)(x + a) = (x− 2a)2 ⇒ x2 − a2 = x2 − 4ax + 4a2

⇒ 0 = −4ax + 5a2

⇒ 4ax = 5a2

⇒ x =5a2

4a(pues a 6= 0)

⇒ x =5a

4

b) x =1

2⇔ 5a

4=

1

2⇔ a =

4

10=

2

5

EJERCICIOS 1.2

1. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a)(1

2a2 +

1

3b +

1

4

)·(2

3a− 1

2

)b) (12b + 3a)2 − (1− 2b + 3a)2

c)a + 5b

a2 + 6ab:

ab + 5b2

ax3 + 6a2b

d)3ax2 + 3a2x− 6a2x2

ax3 − a3x

2. Verificar que se cumplen las siguientes igualdades

a)ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)

ab(x2 − y2) + xy(a2 − b2)=

ax + by

ax− by, si ax 6= by ∧ bx 6= −ay

b)(x− a

x− b

)3

− x− 2a + b

x + a− 2b= 0, si x =

a + b

2

3. Demuestre que si a 6= −b, a 6= −c y b 6= −c, entonces:

bc

(a + b)(a + c)+

ac

(b + c)(b + a)+

ab

(c + a)(c + b)+

2abc

(a + b)(a + c)(b + c)= 1

4. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a)2

4x− 5− 6x + 5

16x2 − 25=

3

4x + 5

b)x

x− 3− x

x + 3− 6x− 4

x2 − 5x + 6= 0

5. Hallar el valor de a y b, de modo que para cada x ∈ R \ −3, 4 se verifique la

igualdad:6x− 2

x2 + x− 12=

a

x + 4+

b

x− 3

10

1.2. AXIOMAS DE ORDEN

1.2. Axiomas de orden

Para establecer una relacion de orden en el conjunto de los numeros reales, es conve-

niente considerar un subconjunto de R, denotado por R+, el cual llamaremos conjunto de

los numeros reales positivos. Este conjunto queda definido por los siguientes axiomas:

(O1) Propiedad de invarianza para la adicion

La suma de numeros positivos es un numero positivo. Esto es:

(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a + b ∈ R+)

(O2) Propiedad de invarianza para la multiplicacion

El producto de numeros positivos es un numero positivo. Esto es:

(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a · b ∈ R+)

(O3) Propiedad de Tricotomıa

Un numero real verifica una y solo una de las siguientes posibilidades, o bien el

numero es positivo, o bien el numero es cero, o bien su inverso aditivo es un numero

positivo. Esto es:(∀a ∈ R)(a ∈ R+ ∨ a = 0 ∨ − a ∈ R+)

DEFINICION 1.1 Sean a, b dos numeros reales. Se definen las iguientes relaciones de de-

sigualdad entre a y b:

1. a es mayor que b, lo que denotamos por a > b, si y solo si a− b es un numero positivo;

es decir:a > b ⇔ a− b ∈ R+

2. a es mayor o igual que b, lo que denotamos por a > b, si y solo si a − b es un numero

positivo, o a es igual a b; es decir:

a > b ⇔ a− b ∈ R+ ∨ a = b

3. a es menor que b, lo que denotamos por a < b, si y solo si b− a es un numero positivo;

es decir:a < b ⇔ b− a ∈ R+

4. a es menor o igual que b, lo que denotamos por a 6 b, si y solo si b − a es un numero

positivo, o a es igual a b; es decir:

a 6 b ⇔ b− a ∈ R+ ∨ a = b

11


Notemos que por definicion de “mayor que”, tenemos que

a ∈ R+ ⇔ a > 0.

Por otro lado, por propiedad de tricotomıa tenemos que, si a ∈ R+, entonces

−a ∈/ R+ ∧ a 6= 0 ⇒ −a ≤ 0 ∧ −a 6= 0

⇒ −a < 0.

De esta forma surge naturalmente otro subconjunto en R, denotado por R−, el cual lla-

mamos conjunto de los numeros reales negativos. Mas aun,

a ∈ R− ⇔ a < 0.

Es claro ahora que R− corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los elemen-

tos en R+, y que la union de ambos conjuntos con cero resulta ser todo R. Es decir,

a ∈ R ⇔ a ∈ R− ∨ a = 0 ∨ a ∈ R+

En otras palabras,

R = R− ∪ 0 ∪ R+ ∧ ∅ = R− ∩ R+ ∧ ∅ = 0 ∩ R+ ∧ ∅ = R− ∩ 0.

Graficamente esta situacion se puede representar en una recta horizontal, donde a cada

punto de la recta se le asocia un numero real, los cuales son ordenados de acuerdo a cri-

terios ya conocidos por todos (siguiendo el esquema de los numeros enteros), partiendo

de izquierda a derecha por los negativos, continuando con el cero y finalmente los posi-

tivos. Los numeros se anotan en orden creciente de izquierda a derecha. El 0 es el punto

de simetrıa entre un numero positivo y su inverso aditivo (numero negativo) correspon-

diente. En cada extremo de la recta se agregan ademas los sımbolos −∞ (a la izquierda)

y +∞ (a la derecha), los cuales se leen “menos infinito” y “mas infinito” respectivamente,

con el fin de dar a entender que los numeros continuan decreciendo o creciendo sin lımite

(pues de acuerdo al Principio de Arquımides los numeros reales no poseen cota superior

ni cota inferior).

Ahora, de acuerdo a los axiomas y definiciones dados previamente, no es difıcil demos-

trar que en R la relacion “mayor o igual que” constituye una relacion de orden; es decir,

satisface las siguientes propiedades:

12


(O4) Propiedad reflexiva(∀a ∈ R)(a > a)

(O5) Propiedad antisimetrica

(∀a, b ∈ R)(a > b ∧ b > a ⇒ a = b)

(O6) Propiedad transitiva

(∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ b > c ⇒ a > c)

Demostracion. Sean a, b y c tres numeros reales cualesquiera. Entonces:

1. Para la reflexividad,

a = a ⇒ a > a.

2. Para la antisimetrıa,

a > b ∧ b > a ⇒ (a− b ∈ R+ ∨ a = b) ∧ (b− a ∈ R+ ∨ b = a)

⇒

(a− b ∈ R+ ∨ a = b) ∧ a− b ∈ R+

∨(a− b ∈ R+ ∨ a = b) ∧ b = a

⇒

(a− b ∈ R+ ∧ b− a ∈ R+) ∨ (a = b ∧ b− a ∈ R+)

∨(a− b ∈ R+ ∧ b = a) ∨ (a = b ∧ b = a)

⇒ (0 ∈ R+) ∨ (a = b)

⇒ a = b.

3. Para la transitividad,

a > b ∧ b > c ⇒ (a− b ∈ R+ ∨ a = b) ∧ (b− c ∈ R+ ∨ b = c)

⇒

(a− b ∈ R+ ∨ a = b) ∧ c− b ∈ R+

∨(a− b ∈ R+ ∨ a = b) ∧ b = c

⇒

(a− b ∈ R+ ∧ b− c ∈ R+) ∨ (a = b ∧ b− c ∈ R+)

∨(a− b ∈ R+ ∧ b = c) ∨ (a = b ∧ b = c)

⇒ a− c ∈ R+ ∨ a = c

⇒ a > c.

13


Cambiando en (O4)–(O6) los signos > por signos 6, tenemos que la relacion “menor o

igual que” tambien constituye una relacion de orden en R.

1.2.1. Otras propiedades de las desigualdades en R

A continuacion probaremos algunas propiedades de las desigualdades enR.1. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ⇒ a + c > b + c)

2. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c > 0 ⇒ a · c > b · c)

3. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c < 0 ⇒ a · c < b · c)

4. (∀a ∈ R)(a 6= 0 ⇒ a2 > 0)

5. (∀a ∈ R)(a > 0 ⇒ a−1 > 0)

6. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0 ⇒ b−1 > a−1)

7. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0 ⇒ a2 > b2)

Demostracion. Sean a, b y c numeros reales, entonces:

1. q a > b ⇒ (a− b) ∈ R+

⇒ (a + c− c− b) ∈ R+

⇒ [(a + c)− (b + c)] ∈ R+

⇒ a + c > b + c

2. q a > b ∧ c > 0 ⇒ (a− b) ∈ R+ ∧ c ∈ R+

⇒ (a− b) · c ∈ R+

⇒ (a · c− b · c) ∈ R+

⇒ a · c > b · c

3. q a > b ∧ c < 0 ⇒ (a− b) ∈ R+ ∧ c ∈ R−

⇒ (a− b) ∈ R+ ∧ (−c) ∈ R+

⇒ (a− b) · (−c) ∈ R+

⇒ (b · c− a · c) ∈ R+

⇒ a · c < b · c

4. q a > 0 ⇒ a ∈ R+

⇒ a · a = a2 ∈ R+

⇒ a2 > 0,

∧ a < 0 ⇒ a ∈ R−

⇒ (−a) ∈ R+

⇒ (−a)2 = (−a) · (−a) = a2 ∈ R+

⇒ a2 > 0

14


5. Antes de probar la propiedad, notar que 1 = 1 · 1 = 12 > 0. Ahora probaremos

la propiedad por reduccion al absurdo, esto es, supondremos que la negacion del

enunciado es verdadera y llegaremos a una contradiccion.

Supongamos que

a > 0 ∧ a−1 6 0.

Entonces por propiedad 3. tenemos que a · a−1 < 0, pues a−1 6= 0, pero esto es una

contradiccion con el hecho que a · a−1 = 1 > 0. Esto quiere decir que la negacion del

enunciado es falsa y luego el enunciado es verdadero.

6. q a > b > 0 ⇒ (a− b) ∈ R+ ∧ a−1 ∈ R+ ∧ b−1 ∈ R+

⇒ (a− b) ∈ R+ ∧ a−1 · b−1 ∈ R+

⇒ (a− b) · a−1 · b−1 ∈ R+

⇒ (a · a−1 · b−1 − b · a−1 · b−1) ∈ R+

⇒ (b−1 − a−1) ∈ R+

⇒ b−1 > a−1

7. q a > b > 0 ⇒ (a− b) ∈ R+ ∧ (a + b) ∈ R+

⇒ (a− b) · (a + b) ∈ R+

⇒ (a2 − b2) ∈ R+

⇒ a2 > b2

EJERCICIOS 1.3

1. Sean a, b, c ∈ R. Demuestre que a > b ∧ b > c ⇒ a > c

2. Sean a, b, c ∈ R. Demuestre que a < b ∧ c < 0 ⇒ a · c > b · c

3. Sean a, b ∈ R. Si a 6= b, demuestre que a2 + b2 > 2ab

4. Sean a, b, c ∈ R. Si a 6= b, b 6= c, a 6= c, demuestre que a2 + b2 + c2 > ab + bc + ac

5. Sean a, b, c, d ∈ R. Si a2 + b2 = 1 y c2 + d2 = 1, demuestre que ac + bd ≤ 1

6. Sean a, b, m, n ∈ R. Si a > b y m,n ∈ R+, demuestre que b <ma + nb

m + n< a

7. Sean a, b, c ∈ R. Si a 6= b, b 6= c, a 6= c, demuestre quea + b

c+

b + c

a+

a + c

b> 6

8. Sean x, y, z ∈ R+. Pruebe que (x + y + z)(1

x+

1

y+

1

z

)≥ 9.

15


1.2.2. Intervalos

Una forma de agradable de escribir y representar ciertos subconjuntos de los numeros

reales que involucran desigualdades en su definicion son los intervalos:

1. Llamamos intervalo abierto al conjunto:

]a, b[:= x ∈ R : a < x < b

Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:

2. Llamamos intervalo cerrado al conjunto:

[a, b] := x ∈ R : a ≤ x ≤ b


3. Llamamos intervalo semi abierto por derecha al conjunto:

[a, b[:= x ∈ R : a ≤ x < b


4. Llamamos intervalo semi abierto por izquierda al conjunto:

]a, b] := x ∈ R : a < x ≤ b


5. Llamamos intervalo infinito abierto por derecha al conjunto:

]−∞, b[:= x ∈ R : x < b


16


6. Llamamos intervalo infinito abierto por izquierda al conjunto:

]a, +∞[:= x ∈ R : x > aGraficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:

7. Llamamos intervalo infinito cerrado por derecha al conjunto:

]−∞, b] := x ∈ R : x ≤ bGraficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:

8. Llamamos intervalo infinito cerrado por izquierda al conjunto:

[a, +∞[:= x ∈ R : x ≥ aGraficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:

1.2.3. Valor absoluto

Sea a ∈ R. Llamaremos valor absoluto de a a un valor real que denotamos por |a| y que

definimos como sigue:

|a| =

a si a > 0,

0 si a = 0,

−a si −a < 0.

Algunas propiedades que verifica el valor absoluto de un numero real son las

siguientes:

1. (∀a, b ∈ R)(|a · b| = |a| · |b|)

2. (∀a, b ∈ R)(b 6= 0 ⇒

∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

)3. (∀a, b ∈ R)

(∣∣|a|−|b|∣∣≤|a±b|≤|a|+|b|)

(Desigualdad triangular)

4. (∀a ∈ R)(|a| =√

a2) (otra forma de definir valor absoluto)

17


1.2.4. Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones radicales

Dada la ecuacion de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, se tiene que:

1. Si b2 − 4ac > 0 , la ecuacion tiene dos raıces o soluciones distintas dadas por:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

2. Si b2 − 4ac = 0, la ecuacion tiene una raız real unica dada por:

x =−b

2a

3. Si b2 − 4ac < 0, la ecuacion no tiene raıce reales, tiene raıces complejas conjugadas.

1.2.5. Inecuaciones

Sean p ∧ q , expresiones algebraicas , las afirmaciones

1. p(x) ≤ q(x)

2. p(x) ≥ q(x)

se llaman inecuaciones o desigualdades. Si al reemplazar x por un valor , por ejemplo

a se obtiene una expresion verdadera, entonces a , recibe el nombre de solucion de la

inecuacion. Resolver una inecuacion es determinar el intervalo de numeros reales para los

cuales la desigualdad se satisface. Tal conjunto de numeros se llama conjunto solucion de

la inecuacion.

EJEMPLO 1.1 Resolver la desigualdad: 5x + 1 > 3x− 3

Solucion. 5x + 1 > 3x− 3 ⇒ 5x + 1− (3x− 3) > 0

⇒ 5x + 1− 3x + 3 > 0

⇒ 2x + 4 > 0

⇒ 2x > −4

⇒ x > −2

18


Luego el conjunto solucion es : S = x ∈ R/x > −2

1.2.6. Solucion por Intervalos

Una inecuacion puede ser resuelta usando la teorıa de conjuntos, al final la solucion

resulta de la interseccion o union de intervalos segun corresponda.

EJEMPLO 1.2 Hallar el conjunto solucion en la inecuacion que satisface las desigualdades:

3x > −9 ∧ 2x ≤ x + 5.

Solucion. 3x > −9 ⇒ x > −3 ∧ 2x ≤ x + 5 ⇒ x ≤ 5

luego el conjunto solucion es : x ∈]3, 5].

1.2.7. Construccion de tablas

Este metodo consiste en estudiar el signo + o −, en cada uno de los intervalos en una

vecindad del punto crıtico ( la denominacion de punto crıtico a los valores anuladores es

convencional), luego se efectua el producto , manteniendo la ley de los signos.

EJEMPLOS 1.2

1. Determinar el conjunto solucion de x+5x(x+1)

≤ 0

Solucion. En primer lugar determinamos los puntos crıticos:

x + 5 = 0 ⇒ x = −5x + 1 = 0 ⇒ x = −1

x = 0

factor/intervalo −∞ < x < −5 −5 < x < −1 −1 < x < 0 0 < x < ∞x − − − +

x + 5 − + + +

x + 1 − − + +

sol. − + − +

Se encuentra que el conjunto solucion es: S =]−∞;−5]∪]− 1; 0[.

19


2. Encontrar el conjunto solucion de: |x2 − 5x + 5| < 1

Solucion. De acuerdo con la definicion de valor absoluto, se tienen dos casos

a) Si x2 − 5x + 5 ≥ 0, entonces se resuelve la inecuacion : x2 − 5x + 5 < 1

ordenando y factorizando se tiene: (x− 4)(x− 1) < 0,

donde los puntos crıticos son: x = 4 ∧ x = 1

al construir la tabla para analizar el signo se tiene:

factor/intervalo ∞− < x < 1 1 < x < 4 4 < x < ∞+

x− 1 − + +

x− 4 − − +

sol. + − +

De acuerdo con esta tabla se observa que el conjunto solucion es : ]1, 4[.

b) Si x2 − 5x + 5 < 0, entonces se resuelve la inecuacion : x2 − 5x + 5 > −1

la que despues de ordenar y factorizar queda: (x− 3)(x− 2 > 0)

donde los puntos crıticos son : x = 3 ∧ x = 2

al construir la tabla para analizar el signo se tiene:

factor/intervalo ∞− < x < 2 2 < x < 3 3 < x < ∞+

x− 3 − − +

x− 2 − + +

sol. + − +

Finalmente se encuentra que el conjunto solucion de la inecuacion es: ]1, 2[∪]3, 4[.

EJERCICIOS 1.4 Resuelva las siguientes inecuaciones:

1. 6x− 2 ≤ 3x + 10

2. 2 ≤ 4x−23≤ 6

3. 2x− 2−x

x−1≤ 1

4. x + 1 > 4xx+1

5. x2 − 2x− 8 < 0

20


6. |x|2 + 2|x| − 3 ≤ 0

7.∣∣∣3x−2

x+1

∣∣ > 2

8. |x2 − |3 + 2x|| < 4

9. |x|+ |x + 2| < 4

10. |x−1|−|2x+3|3x−4

≥ 0

11. Si xsatisface la desigualdad 74

< x < 94. Determinar los posibles valores de y, cuando

y = 4x− 8

12. Si y = 3x + 5, demostrar que |x− 1| < 110⇒ |y − 8| < 3

10

1.2.8. Problemas con enunciado

1. Una Companıa manufactura termostatos. El costo combinado de labor y material es

$4 por termostato. El costo fijo que paga la companıa en un mes (gastos de luz, agua,

arriendo, etc.) es de $60,000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿Cuantos

termostatos debe vender la companıa para obtener ganancia en un mes?

2. La UNAB esta considerando ofrecer un curso de gestion en recursos medioambien-

tales al personal de la companıa ACME. Si este deja ganancias, se ofrecera a otras

companıas. El curso resulta economicamente factible si se matriculan al menos 30

personas pagando US$50 cada una. La UNAB, pensando en reducir los gastos de

costo a cada persona, descontara US$1,25 por cada persona que se matricule por

sobre los treinta. Como asesor financiero de la UNAB indique el tamano lımite del

grupo para que el dinero recibido por matrıculas nunca sea menor que el recibido

por 30 personas.

3. Un inversionista tiene US$8000 colocados al 9 % de interes anual y desea invertir

mas dinero al 16 % de interes anual a fin de obtener un monto final de al menos 12 %

sobre la inversion total en un ano. ¿Cual es la cantidad mınima de dinero que debe

invertir?

4. A los pintores generalmente se les paga por hora o por obra terminada. El salario que

reciben puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden tra-

bajar por US$8,50 la hora, o por US$300 mas US$3 por cada hora por debajo de 40, si

21


completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma“t”horas.

¿Para que valores de “t.el salario por hora es mejor?

5. En biologıa existe una regla aproximada, llamada regla bioclimatica para zonas tem-

pladas, que establece que en primavera y a principios de verano, fenomenos periodi-

cos tales como la aparicion de insectos y la maduracion de frutas, por lo general se

demoran alrededor de 4 dıas mas por cada 1500 mts. de altura sobre el nivel del

mar, esta regla bioclimatica se resume en la siguiente expresion d = 4n1500

, donde

d = demora en dıas; n = cambio de altura medida en metros. Si esta regla es valida para

0 ≤ n ≤ 4000. Determinar la mınima y la maxima demora para que un fruto madure

entre los 1600 y 2300 mts. sobre el nivel del mar.

6. En un pequeno negocio familiar se emplean dos trabajadores que solo laboran unas

horas por semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados

varıa desde $128,000 hasta $146,000 por mes. Si un empleado gana $18,000 mas que el

otro, determine las posibles cantidades ganadas mensualmente por cada empleado.

7. Un cliente se dirige a una farmacia y adquiere un paquete de algodon de 125 gramos.

El vendedor le manifiesta que es de esperar no recibir un peso exacto de 125 gramos.

Suponga que el peso real, “r”(en gramos) de un paquete de algodon marcado como

de 125 gramos esta dado por |r − 125| ≤ 4. Si el cliente decide comprar 5 paquetes

de algodon. ¿Cual es la cantidad maxima y mınima de algodon que debe esperar

obtener?

8. Se ha establecido que el virus sincicial que ataca preferentemente a los ninos, se debe

a dos factores: 1) la posibilidad de contagio de acuerdo a la edad del nino, la cual

obedece a la formula c(x) = 2x2− 5x + 4; y 2) la disminucion de ciertas vitaminas en

el organismo, tambien de acuerdo a su edad, dada por la formula V (x) = x2 +6x−8.

Si se estima que los mayores transtornos producidos por este “virus”se producen

cuando la diferencia entre ambos factores es menor que 12 . ¿Cuales son las edades

de mayor riesgo para contraer la enfermedad?

9. Una resistencia de 7 Ohm y una resistencia variable R se instalan en paralelo. La

resistencia resultante RT = 7R7+R

. Determine los valores de la resistencia variable R

para los cuales la resistencia resultante es mayor que 3 Ohm pero menor que 5 Ohm.

10. La suma de dos numeros es 64 y su diferencia es 16. ¿Cuales son los numeros?

22


11. La diferencia de dos numeros es a su producto como 1:30. Si la suma de los valores

recıprocos de los numeros es 215

. ¿Cuales son los numeros?

12. Dos numeros estan en la razon de 5:3. Si se resta 10 del primero y se agrega 10 al

segundo, resulta la razon inversa. ¿Cuales son los numeros?

13. La suma, la diferencia y el producto de dos numeros son entre si como 5:3:16. ¿Cuales

son los numeros?

14. 10m de un genero de seda y 12m de uno de lana valen, con un 2 % de descuento,

US$207,76; mientras que 4m del primer genero y 6m del segundo, con un 4 % de

descuento, valen US$82,32. ¿Cual es el precio del metro de cada genero?

15. Un objeto compuesto de oro y plata pesa 502g. Su volumen es de 41cm3. Calcular el

peso del oro y la plata que contiene el objeto, sabiendo que 1cm3 de oro pesa 19g y

que 1cm3 de plata pesa 10, 5g.

16. Dos conductos de agua llenan un deposito, si el primero permanece abierto por

15min y el segundo por 18min. Si el primero se abre por 12min y el segundo por

15min, se alcanza a llenar 4150

del deposito. ¿En cuantos minutos se llenarıa el deposito

por cada uno de los conductos separadamente?

17. Aumentando la base de un triangulo en 6m y la altura en 4m, el area aumenta 120m2

y aumentando la base en 2m y la altura en 9m el area aumenta 160m2. Calcular la

base y la altura.

18. Sobre la misma hipotenusa se construyen dos triangulos rectangulos. Los catetos

del segundo triangulo miden 4m menos y 8m mas, respectivamente, que los catetos

correspondientes del primero. El area de segundo triangulo es 66m2 mayor que el

area del primero. Calcular los catetos del primer triangulo.

19. Un hombre tiene a lo menos 30 anos mas que su hijo y a lo mas 25 anos menos que

su padre. ¿Que edad podrıa tener si entre los tres suman a lo menos 100 anos?

20. Un carpinero fabrica cierto numero de mesas, vende 70 de ellas y le quedan por

vender mas de la mitad. Luego fabrica 6 mesas mas y vende 36 mesas quedandole

menos de 42 mesas por vender. Determinar cuantas mesas fabrico el carpintero

23


(1)Al menos 20001. (2)El lımite es 40 personas. (3)US$6000. (4)Para t ≥36,52 (5)Mın: 4,26 dıas ; Max: 6,13 dıas. (6)Entre $55,000 y $64,000 recibe el que

gana menos. (7)Mın: 605g; Max: 645g. (8)0-3 anos o 8-11 anos. (9)214ohm <

R < 352ohm. (10)(24,40). (11)(20,12). (12)(25,15). (13)(16,4). (14)$14

y $6. (15)Oro: 361g ; Plata: 231g. (16)37,5min y 30min. (17)b = 30m ; h = 16m.

(18)24m; 7m.

1.3. Axioma de completitud (*opcional)

1. Un conjunto S ⊂ R, es acotado superiormente si existe un numero real M tal que

x ≤ M, ∀x ∈ S, esto es:

S acotado superiormente ⇐⇒ (∃M ∈ R)(∀x ∈ S)(x ≤ M)

2. Un conjunto S ⊂ R es acotado inferiormente si existe un numero real m tal que

x ≥ m, ∀x ∈ S, esto es:

S acotado inferiormente ⇔ (∃m ∈ R)(∀x ∈ S)(x ≥ m)

El numero M o cualquier otro mayor que el se llama cota superior de s. El numero m o

cualquier otro menor que el se llama cota inferior de S.

Sea S un conjunto acotado, se llama supremo de S, lo que se anota sup(S) a la menor

de las cotas superiores de S A la mayor de las cotas inferiores se le llama ınfimo de S, lo

que se anota ınf(S)

1.3.1. Propiedad caracterıstica del supremo

Si M = sup(S), entonces se debe satisfacer que:

1. a ≤ M , ∀a ∈ S, pues M es cota superior de S

2. (∀ε > 0)(∃k ∈ S)(k > M − ε), pues M es el supremo de S

geometricamente esto es:

si no existiera el numero k, el numero M , no serıa el supremo

24

1.3. AXIOMA DE COMPLETITUD (*OPCIONAL)

1.3.2. Propiedad caracterıstica del ınfimo

Sea m = ınf(S) , entonces:

1. a ≥ M , ∀a ∈ S, pues m es cota inferior de S

2. (∀ε > 0)(∃k ∈ S)(k < m + ε), pues m es el ınfimo de S

Geometricamente esto es:

Si no existe tal k , el numero m no serıa infimo.

Finalmente el axioma de completitud establece que para S ⊂ R:

a) Si S esta acotado superiormente, entonces S tiene supremo.

b) Si S esta acotado inferiormente, entonces S tiene ınfimo

EJEMPLO 1.3 Sea S =

x ∈ R/x+3x+2

≤ 0

1. Pruebe que S es un conjunto acotado

2. Demuestre que ınf(S) = −3

Solucion.

a) x+3x+2

≤ 0 ⇔ [(x + 3) ≥ 0 ∧ (x + 2) < 0] ∨ [(x + 3) ≤ 0 ∧ (x + 2) > 0]

⇔ (x ≥ −3 ∧ x < −2) ∨ (x ≤ −3 ∧ x > −2

⇔ x ∈ [−3,−2[∪φ

⇔ S = [−3,−2[

i) Cotas inferiores de S = (−∞,−3] ⇒ S , es acotado inferiormente

ii) Cotas superiores de S = [−2,∞) ⇒ S , es acotado superiormente. Por lo tanto de i) , ii)

se tiene que S es un conjunto acotado.

b) P.D que m = −3 es el ınfimo de S = [−3,−2[. Esto es :

∀ε > 0 ∃m = −3 ∈ R /m + ε > x ∀x ∈ S.

En particular si x = −3, se tiene que −3 + ε > −3. Sea ε = 0,3 =⇒ −3 + 0,3 > −3, esto es :

−2,7 > −3. Luego, se cumple que m = −3 es el ınfimo de S.

25


26

Capıtulo 2

Funciones

2.1. Preliminares

Antes de introducir el concepto de funcion examinaremos previamente algunos ideas

basicas.

Variable: Es un sımbolo (x, y, z, u, ...) que representa a un elemento no especificado de un

conjunto dado. Dicho conjunto es llamado universo de la variable, y cada elemento del

conjunto es un posible valor de la variable.

EJEMPLO 2.1 Sea x una variable cuyo universo es el conjunto A = 1, 2, 3, 4, entonces x

puede tomar cualquier valor de los elementos de A, esto es ; x = 1 , x = 2 , x = 3 , x = 4.

Constante: Es un simbolo (a, b, c, ...k...etc) utilizado para designar al elemento de un con-

junto que tiene un unico elemento, por lo que la constante tiene un valor unico.

EJEMPLO 2.2 Si A = 2; entonces x = 2 , Si B = c ; entonces x = c

Parametro: Ademas de las variables y las constantes, hay otras cantidades o simbolos que

en cada caso particular son constantes, pero que en general funcionan como variables.

Estas cantidades reciben el nombre de parametros y que definen en general una familia

de curvas.

EJEMPLO 2.3 Sea y = ax + b , a y b son parametros, pueden tomar cualquier valor pero

en todo caso representa la ecuacion de una recta.

Par ordenado: Es un conjunto de dos elementos (x, y), que satisfacen una proposicion Px,y,

donde x es la primera componente e y es la segunda componente. En general, el par or-

denado (a, b) es diferente al par ordenado (b, a)

Producto cartesiano:El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto

27

CAPITULO 2. FUNCIONES

cuyos elementos son todos los pares ordenados tales que la primera componente pertenece

al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B, esto se anota:

A×B = (x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ B

Relacion: Sean A y B conjuntos. Se define una relacion R de A en B como cualquier

subconjunto de A x B.

EJEMPLO 2.4 Sean A = a, b, c y B = 1, 2, 3 entonces:

A×B=(a, 1); (a, 2); (a, 3); (b, 1); (b, 2); (b, 3); (c, 1); (c, 2); (c, 3) ,luego :

R1, R2, R3 y R4 son relaciones de A×B, donde:

R1 = (a, 1), (b, 3)R2 = (a, 2), (b, 3), (a, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)R3 = (c, 1)R4 = (a, 1); (a, 2); (b, 2); (b, 3); (c, 1); (c, 3)Observe que R1, R2, R3, R4, son subconjuntos de A×B

EJEMPLO 2.5 Sean A = 1, 2, 3 ; B = 1, 3, 4, 5; N,

determine por extension las siguientes relaciones:

R1 = (x, y)/x + y es imparR2 = (x, y)/x es parR3 = (x, y)/x2 + y2 ≤ 8R4 = (x, y)/2x + y = 10

Solucion.

A×B= (1,1),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,3),(3,4),(3,5)R1 = (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 4)R2 = (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5)R3 = (1, 1), (2, 1)R4 = (3, 4)

DEFINICION 2.1 Sea R ⊆ A×B=(x, y)/P (x, y) es una relacion entonces:

1. Dominio de la relacion: Se anota Dom (R) y se define:

Dom (R) = x ∈ A/∃ y ∈ B tal que (x, y) ∈ R

Luego el dominio de una relacion es el conjunto formado por las primeras compo-

nentes de cada uno de los pares ordenados que pertenecen a la relacion

28

2.2. DEFINICIONES DE FUNCION

2. Recorrido de la relacion : Se anota Rec (R) y se define:

Rec(R) = y ∈ B/∃x ∈ A tal que (x, y) ∈ R

Luego el recorrido de una relacion es el conjunto formado por las segundas compo-

nentes de los pares ordenados que pertenecen a la relacion

3. Relacion inversa: Se anota R−1 y se define:

R−1 = (x, y)/(y, x) ∈ R

Luego la relacion inversa esta formada por los pares ordenados reciprocos de los

pares ordenados de R

2.2. Definiciones de funcion

DEFINICION 2.2 f es una funcion entre dos conjuntos A y B si y solo si f , es una relacion

especial entre A y B de modo que todo elemento de A tiene un unico elemento correspon-

diente en B

DEFINICION 2.3 Una funcion f es el conjunto de pares ordenados de tal forma que la

primera componente no se repite

DEFINICION 2.4 Sean A ,B ⊆ R. Una funcion f , definida en A con valores en B, es toda

relacion subconjunto de A×B tal que, a cada elemento de A le asigna un unico elemento

en B graficamente esto es:

29


De acuerdo con este esquema tenemos que :

f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 3

Esto se lee : la imagen de a es 2, la imagen de b es 3, etc,.

EJERCICIOS 2.1 Sea h = (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1)

1. Indicar si h es funcion o no

2. Indicar el dominio de h

3. Indicar el recorrido de h

4. Dar forma o regla de correspondencia como una ecuacion que contenga los sımbolos

h(x), x

2.3. Propiedades eventuales de las funciones

En algunos problemas que aparecen en matematicas y otras ciencias nos encontramos

que el dominio y el codominio tienen restricciones, de acuerdo a dichas restricciones las

funciones se clasifican en :

1. Funcion inyectiva

Una funcion f : A → B es inyectiva si y solo si se satisface la siguiente propiedad:

f(a) = f(b) ⇒ (a) = (b)

2. Funcion epiyectiva

Una funcion f : A → B es epiyectiva si y solo si se satisface la siguiente propiedad:

∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = b

3. Funcion biyectiva

Una funcion f : A → B , es biyectiva si y solo si:

i) f es inyectiva

ii) f es epiyectiva

30

2.3. PROPIEDADES EVENTUALES DE LAS FUNCIONES

EJEMPLO 2.6 Sean A = R−− 1

2

; B = R−

− 1

2

; f : A → B, definida por

f(x) =x− 3

2x + 1.

Verificar que la funcion es:1. inyectiva

2. epiyectiva

Solucion.

Primero verificaremos si la funcion es inyectiva, para ello aplicamos la definicion de in-

yectividad, esto es:

i) f(a) = f(b) ⇒ a = b

f(a) =a− 3

2a + 1; f(b) =

b− 3

2b + 1

igualando ambas expresiones se tiene:

a− 3

2a + 1=

b− 3

2b + 1

(a− 3)(2b + 1) = (b− 3)(2a + 1)

2ab + a− 6ab− 3 = 2ab + b− 6ab− 3

agrupando terminos semejantes se tiene que : a = b, luego la funcion es inyectiva.

En segundo lugar se verifica si la funcion es epiyectiva:

ii) b =a− 3

2a + 1⇒ b(2a + 1) = a− 3

⇒ 2ab− a = −3− b

⇒ a(2b− 1) = −3− b

⇒ a =3 + b

1− 2b

⇒ f( 3 + b

1− 2b

)=

3+b1−2b

− 3

2(

3+b1−2b

)+ 1

⇒ f( 3 + b

1− 2b

)=

3+b−3+6b1−2b

6+2b+1−2b1−2b

.

agrupando terminos semejantes y simplificando se encuentra que:

f(a) = b

luego la funcion es epiyectiva.

De i) e ii) se concluye que la funcion es biyectiva.

31


2.4. Funcion inversa

Sea f : A → B, una funcion biyectiva. Se llama funcion inversa de f a la funcion

f−1 : B → A tal que a cada elemento b ∈ B, le hace corresponder el unico elemento

a ∈ A, de tal manera que f(a) = b

EJEMPLO 2.7 Sean A = 2, 4, 6 ; B = 1, 5, 9y f : A → B definida por f(x) = 2x − 3 ,

hallar f−1(x) Solucion.

Se observa que

f(2) = 2 · 2− 3 = 1

f(4) = 2 · 4− 3 = 5

f(6) = 2 · 6− 3 = 9

debemos encontrar si es que existe una funcion f−1(x) tal que :

f−1(1) = 2

f−1(5) = 4

f−1(9) = 6

para ello procedemos de la siguiente forma:

Sea y = 2x− 3, de esta expresion despejamos x en funcion de y, lo que nos queda:

x =y + 3

2

, haciendo el cambio de variables correspondiente nos entrega la expresion que buscamos,

esto es:

f−1(x) =x + 3

2

Verificacion de la expresion obtenida:

f−1(1) =1 + 3

2= 2

32

2.5. FUNCION COMPUESTA

f−1(5) =5 + 3

2= 4

f−1(9) =9 + 3

2= 6

lo que comprueba el resultado esperado

2.5. Funcion compuesta

Sean f : A → B, g : B → C funciones. La funcion g f : A → C tal que

(g f)(x) = g(f(x)) se llama funcion compuesta de f y g. Graficamente esto es:

EJEMPLO 2.8 Sean f(x) = 3x + 2 y g(x) = 5x2 + 4, hallar

1. (f g)(x)

2. (g f)(x)

Solucion.

1.

(f g)(x) = f [g(x)]

= f(5x2 + 4)

= 3(5x2 + 4) + 2

= 15x2 + 14

33


2.

(g f)(x) = g[f(x)]

= g(3x + 2)

= 5(3x + 2)2 + 4

= 5(9x2 + 12x + 4) + 4

= 45x2 + 60x + 24

Se observa que, en general, (f g)(x) 6= (g f)(x)

EJERCICIOS 2.2

1. Considere la funcion biyectiva f : R − 1 → R − 2 tal que f(x) =2x + 3

x− 1deter-

mine f−1(x)

2. Considere la funcion f : R → R ;definida por f(x) = x2 − 2x encontrar:

a) f(1) ; f(0) ; f(−2)

b) f(1−√

3) ; f(2m) ; f(m + n) ; 2f(m + n2)

3. Considere la funcion f(t) = t2 + t− 6 ; t ∈ R determinar:

a) La imagen de −2

b) Las primagenes de 0

c) Las primagenes de -10

4. Determinar el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =√

4− x2

b) f(x) =x + 1

x3 − 9x

c) f(x) =√

3 + x +√

x− 1

5. Sean f(x) = 2x2 + 5x− 1 , g(x) = −x2 + 5x− 3 hallar

a) f(2) ; f(−1) , f(−2) ,g(1

2

)b) f(f(1)) ; g(g(−2)) ; f(x) · g(x)

c) Si h(x) = x3 + x2 − x + 3 , hallar f(x) + 3g(x)− h(x)

34

2.6. FUNCIONES REALES

6. Si p(x) =3

x + 1; q(x) =

b

x2; r(x) =

3x2

2 + x2, si (p q) = r(x) encuentra el valor de b

7. Dado f(x) = ax + b y (f f f)(x) = 64x + 21 encuentra los valores de a y b

8. Si f(x) =1

1− x,hallar f(f(f(x)))

9. Si f(x− 1) = x2 hallar f(x + 1)

10. Si f(x) =2

3− xresolver para x la ecuacion f(1− x) = 2

11. Considere las funciones f, g tales que f(x) = x2 , g(x) = ax + 1 , a > 0, con dominio

real apropiado para que ambas sean biyectivas, si (f−1 g−1)(3

2

)=

1

2determine

(g f)(−2)

12. Dadas las funciones en R : f(x) = 2x2 − 3x + m y g(x) = 3x + 1. Para que valor de

de m ∈ R existe un unico R x tal que : (f g)(x) = (g f)(x)

2.6. Funciones reales

Las funciones vistas haste el momento en general se llaman ”aplicaciones ”

El termino funcion corresponde al caso en que A y B son conjuntos numericos que es el

caso de las funciones f : R → R,llamadas funciones reales. Como estas pueden represen-

tarse en el sistema cartesiano, resultan de gran utilidad a la hora de visualizar propiedades

de las funciones tales como paridad, monotonıa, acotamiento, etc. Agreguemos tambien

que una funcion puede venir dada por una tabla, una formula matematica, un grafico ,

etc. En una funcion distinguimos los siguientes elementos o caracterısticas:

1. Dominio de la funcion : Dom(f)=x ∈ R/∃ y ∈ R tal que y = f(x)

2. Recorrido de la funcion : Rec(f) = y ∈ R/∃x ∈ R tal que y = f(x)

3. Ceros de la funcion: x ∈ Dom(f)/f(x) = 0

4. Grafico de la funcion: Graf(f) = (x, f(x))/x ∈ Dom(f)

5. f es una funcion par si:f(−x) = f(x)∀x,−x ∈ Dom(f)

6. f es una funcion impar si: f(−x) = −f(x)∀x,−x ∈ Dom(f)

35


7. f es creciente en A⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2) ,∀x1 , x2 ∈ A

8. f es decreciente en A⇐⇒ x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)∀x1 , x2 ∈ A

9. f es periodica de perıodo p ∈ R− 0 ⇐⇒ f(x + p) = f(x)∀x, x + p ∈ Dom(f)

Con esta informacion analicemos algunas funciones de uso habitual.

2.6.1. Funcion Valor absoluto

La funcion f : R → R, tal que f(x) = |x| =

x si x > 0

−x si x < 0

se llama funcion valor absoluto , su grafica es :

El dominio de la funcion es REl recorrido de la funcion es R+ ∪ 0

Se observa que es una funcion par, ya que: f(−x) = | − x| = |x| = f(x) ∀x ∈ RSea I1 =]−∞, 0[ , I2 =]0,∞[, entonces:

a) La funcion valor absoluto es decreciente en I1

b) La funcion valor absoluto es creciente en I2

La funcion esta acotada inferiormente por el eje x

Su unico cero es x = 0

36


2.6.2. Funciones polinomiales

Son aquellas que responden a la forma general:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a0, an 6= 0, n ∈ N

donde an, an−1, .., a0 son numeros reales o complejos, llamados coeficientes. Ejemp-

los :

f(x) = 3x6 + 5x4 + 2x es una funcion polinomial de grado 5

f(x) =√

2x− 5x2 + 2 es una funcion polkinomial de grado 2

f(x) = 5√

x− x3 no es una funcion polinomial ya que n =1

2El dominio de todas las funciones polinomiales es el conjunto de todos los reales.

El recorrido de una funcion polinomial depende de n, si este es par o impar y del

valor del coeficiente an, esto es:

a) Si an > 0 y n es par, entonces el recorrido es el intervalo [m,∞[, siendo m el

mınimo valor de la funcion. Por ejemplo, con an = 1 ; n = 2 se tiene la parabola

y = x2, que satisface esta propiedad. m = 0

b) Si an < 0 y n es impar, el recorrido es el intervalo ]−∞, M ] , siendo M el maximo

valor de la funcion. Por ejemplo, con an = −1, n = 2 se tiene la parabola y =

−x2, que satisface esta propiedad. M = 0

c) Si n es impar , entonces el recorrido es el intervalo ] − ∞,∞[. En este caso la

funcion no tiene valor mınimo ni maximo. Por ejemplo con n = 3 se tiene la

parabola y = x3, que satisface esta propiedad.

Casos particulares de la funcion polinomial son la funcion constante, la lineal , la

cuadratica.

2.6.3. Funcion constante

La funcion f : R → R tal que f(x) = K se llama funcion constante, donde K ∈R ,∀x ∈ R. Sus caracterısticas son:

a) Dom (f) = R

37


b) Rec (f) = K

c) Ceros de f = φ ∨ R

d) Graf (f) = (x, K)/x ∈ R

e) f es par ya que f(−x) = f(x) = K

f ) f no es creciente ni decreciente

g) f periodica de perıodo p ya que f(x + p) = f(x) = K

Geometricamente es una recta paralela al eje de las x,esto es :

2.6.4. Funcion lineal

La funcion f : R → R, tal que f(x) = ax + b, con a, b, constantes, a 6= 0∀x, a, b ∈ R,

sus caracterısticas son:

a) Dom f = R

b) Rec f = R

c) Ceros de f = −a

b, ya que f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = − b

a

d) La funcion lineal no es par ni impar, ya que:

i) f(−x) = −ax + b 6= f(x) = ax + b

ii) f(−x) = −ax + b 6= −f(x) = −ax− b

e) Si a > 0 ⇒ f es creciente, esto porque:

Sean x1, x2 ∈ R, x1 < x2, por demostrar que f(x1) < f(x2)

x1 < x2 ⇒ ax1 < ax2 ⇒ ax1 + b < ax2 + b ⇒ f(x1) < f(x2)

38


Si a > 0 ⇒ f , es decreciente, esto porque:

Sean x1, x2 ∈ R, x1 < x2, por demnostrar que f(x1) > f(x2)

x1 < x2 ⇒ ax1 > ax2 ⇒ ax1 + b > ax2 + b ⇒ f(x1) > f(x2)

f ) La funcion lineal no es periodica.

g) Graf f = (x, y)/y = ax + b, x ∈ Reso es:

2.6.5. Funcion cuadratica

La funcion f : R → R, tal que f(x) = ax2 + bx + c con a, b, c constantes, a 6= 0 se

llama funcion cuadratica sus caracterısticas son:

a) Dom(f) = R, ya que ∀x ∈ R ,∃y = ax2 + bx + c ∈ R

b) Rec(f) = y ∈ R/∃x ∈ R tal que y = f(x) Aquı debemos considerar dos casos:

1) Si a > 0 ⇒ Recf =

y ∈ R/y ≥ c− b2

4a

2) Si a < 0 ⇒ Rec f =

y ∈ R/y ≤ c− b2

4a

Esto es:

y = ax2 + bx + c ⇒ ax2 + bx + (c− y) = 0

a(x2 +

b

ax +

c− y

a

)= 0

39


x2 +b

ax = −c− y

acompletando cuadrados se tiene

x2 +b

ax +

b2

4a2=

b2

4a2− c− y

a(x +

b

2a

)2

=b2 − 4a(c− y)

4a2, luego al despejar x se tiene:

x =−b±

√b2 − 4a(c− y)

2aanalizando esta expresion se tiene

Si b2 ≥ 4a(c− y) entonces se tiene que:

a > 0 ⇒ y ≥ c− b2

4a

y a > 0 ⇒ y ≤ c− b2

4a

c) Ceros de f = x ∈ R/y = 0

De ax2 + bx + c = 0 ⇒ x2 +b

ax +

c

a= 0

⇒(x +

b

2a

)2

+c

a=

b2

4a2

⇒(x +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

⇒ x =−b±

√b2 − 4ac

2aluego:

1) si b2 − 4ac < 0, entonces ceros de f = φ

2) si b2 − 4ac > 0, entonces ceros de f =−b−

√b2 − 4ac

2a;−b +

√b2 − 4ac

2a

d) La funcion cuadratica no es par ni impar

e) Consideremos la siguiente grafica

1)

40


;

2)

Sean I1 =]∞− ,− b

2a

[; I2 =

]− b

2a,∞

[, entonces se prsentan los siguientes

casos:

1) a > 0 ⇒

i) f es decreciente en I1

ii) f es creciente en I2

2) a < 0 ⇒

i) f es creciente en I1

ii) f es decreciente en I2

Observaciones respecto de la funcion cuadratica

Si−b−

√b2 − 4ac

2a;−b +

√b2 − 4ac

2a, son ceros de la funcion:

f(x) = ax2 + bx + c a, b, c ∈ R , a 6= 0 entonces:

a) x1 + x2 = − c

ab) f(x) = ax2 + bx + c = a(x− x1)(x− x2)

c) Si a < 0, entonces: f tiene un maximo en x = − b

2a

d) Si a > 0, entonces f tiene un mınimo en x = − b

2a

e) El numero real4ac− b2

4a, es el valor maximo o mınimo dependiendo del coefi-

ciente a.

f ) Al punto(− b

2a, f

(− b

2a

)), se le llama vertice de la parabola

2.6.6. Transformaciones

Existen dos transformaciones basicas que permiten describir graficamente una fa-

milia de curvas, estas son las traslaciones y las reflexiones. Estas transformaciones

41


se presentan en el siguiente esquema.

Grafica original: y = f(x)

Traslacion k unidades a la derecha y = f(x− k)

Traslacion k unidades a la izquierda y = f(x + k)

Traslacion k unidades hacia abajo y = f(x)− k

Traslacion k unidades hacia arriba y = f(x) + k

Reflexion en el eje x y = −f(x)

EJEMPLO 2.9 Funcion original. y = x2

EJEMPLO 2.10 Funcion original y = x2

42


2.6.7. Funciones Racionales

Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces la funcion h(x) =f(x)

g(x)g(x) 6= 0, se llama

funcion racional. Para efectos de graficar esta funcion se debe considerar la busque-

da de ceros, sus indeterminaciones, las intersecciones con los ejes y un elemento im-

portante lo costituyen las asıntotas.Estas son rectas que limitan las curvas, pero sin

intersectarlas, para su determinacion se analizan los numeradores y denominadores

de la funcion, tanto en terminos de x como de y.

Las asıntotas verticales se obtienen en : f(x, y) = 0 ⇒ y =Nx

Dx

; si D(x1) = 0, , en-

tonces x1, es una asıntota vertical.

Las asıntotas horizontales se obtienen en: f(x, y) = 0 ⇒ x =Ny

Dy

si ,Dy1 = 0 ,

entonces y1, es una asıntota horizontal.

EJEMPLO 2.11 Sea f(x, y) = y − x− 1

x− 2= 0

Despejando x, y respectivamente se obtiene:

y =x− 1

x− 2⇒ x = 2 , es una asıntota vertical

x =2y − 1

y − 1⇒ y = 1 es una asıntota horizontal

43


graficamente:

44


2.6.8. Funcion exponencial

Sea a > 0, a 6= 1. La funcion f : R → R+, tal que f(x) = ax se llama funcion exponen-

cial de base a.Para un mejor entendimiento de la funcion exponencial consideremos

a = 2 esto es: f(x) = 2x y f(x) = 2−x,lo que graficamente es:

Como la base es mayor que la unidad a medida que x crece, la funcion exponencial

crece sin cota, no hay ceros , esto es , la curva no cruza al eje x.Si x crece negativa-

mente, entonces la curva se aproxima al eje x teniendolo como asıntota horizontal.

Cuando x=0 la curva corta al eje y en el punto (0,1).

De la grafica de la funcion exponencial se puede deducir que es biyectiva, esto quiere

decir que la funcion exponencial admite inversa. Por otra parte si a > 1, la funcion

exponencial es creciente, y si 0 < a < 1, entonces es decreciente, en cualquier caso

ella admite inversa.

Existe una gran variedad de problemas de aplicacion relacionado con la funcion ex-

ponencial, antes de tomar en consideracion esta aplicaciones es conveniente recordar

45


como se resuelve una ecuacion exponencial

EJEMPLO 2.12

4x − 3(x−1/2) = 3(x+1/2) − 2(2x−1)

22x + 22x · 2−1 = 3x · 31/2 + 3x · 3−1/2

2x(1 +

1

2

)= 3x(31/2 + 3−1/2)

22x(3

2

)= 3x

( 4√3

)(4

3

)x

=( 2√

3

)3

( 22

(√

3)2

)x

=( 2√

3

)3

( 2√3

)2x

=( 2√

3

)3

x =3

2

EJEMPLO 2.13

9x+1 − 3x = 6534

9x · 9− 3x = 6534

9 · 32x − 3x− 65345 = 0

usando incognita auxiliar 3x = t tenemos

9t2 − t− 6534 = 0

resolviendo la ecuacion cuadratica se encuentra que:

t1 = 27 ; t2 = −484

18

3x = 27 ; 3x = −484

18

de estas ecuaciones se desprende que solo es solucion del problema x = 3

46


2.6.9. Funcion logaritmo

Sea a > 0, a 6= 1, la funcion f : R+ → R, con f(x) = loga x, se llama funcion logaritmo

en base a Se observa que como operacion entre las formas exponencial y logarıtmica

se tiene que: y = ax ⇔ loga y = x.

Las funciones exponencial f(x) = ax y logaritmo g(x) = loga x son inversas.

Demostracion

Debemos probar que la funcion compuesta, en ambos sentidos, es la identidad. Sean

f(x) = ax y g(x) = loga x , entonces:

(f g)(x) = f [g(x)] = f(loga x) = aloga x = x

(g f)(x) = g[f(x)] = g(ax) = loga ax = x

Cuando a = 10 la funcion logaritmo de base 10, se denomina logaritmo decimal, lo

que se anota:

y = log10 x = log x

. Cuando a = e la funcion logaritmo de base e, se denomina logaritmo natural, lo

que se anota:

y = loge x = ln x

.

Graficamente las funciones exponencial y logaritmo se representan por:

47


Se observa su simetrıa respecto de la recta y = x

Propiedades de y = ex

a) Dominio: ∀x ∈ R

b) Recorrido:∀y > 0

c) Es una funcion creciente

d) Es una funcion biunıvoca, esto es: Si ex1 = ex2 entonces x1 = x2

e) 0 < ex < 1 , para x < 0

e0 = 1

ex > 1 para x > 0

f ) ex1ex2 = ex1+x2

g)ex1

ex2= ex1−x2

h) (ex1)x2 = ex1·x2

i) eln x = x

j) Ecuacion de la asıntota horizontal y = 0

Propiedades de y = ln x

a) Dominio ∀x > 0

b) Recorrido R

c) Es una funcion creciente

d) Es una funcion biunivoca, esto es : Si ln x1 = ln x2 entonces x1 = x2

e) ln x < 0 para 0 < x < 1

ln 1 = 0

ln x > 0 para x > 1

f ) ln x1 · x2 = ln x1 + ln x2

g) ln(x1

x2

)= ln x1 − ln x2

h) ln(x1)x2 = x2 · ln x1

i) ln ex = x

48


j) Ecuacion de la asıntota vertical x = 0

Observacion:Las propiedades del logaritmo en base 10 son las mismas que las

del logaritmo natural

EJEMPLO 2.14 Resolver la ecuacion:

x + log(1 + 2x) = x log 5 + log 6

log 10x + log(1 + 2x) = log 5x + log 6

recuerde que loga a = 1 y que loga an = a

log[10x(1 + 2x)] = log(5x · 6)

recuerde que loga x + loga y = loga(x · y)

10x(1 + 2x) = 5x · 6

(2 · 5)x(1 + 2x) = 5x · 6

2x · 5x(1 + 2x) = 5x · 6

2x(1 + 2x) = 6

2x + (2x)2 = 6

(2x)2 + 2x − 6 = 0

(2x + 3)(2x − 2) = 0

2x = −3 =⇒ no existe tal x en R

2x = 21 =⇒ x = 1

EJEMPLO 2.15 Si log8 3 = M y log5 = N demuestre que

log 6 =3M + 1

3MN + 1Solucion.

log 6 =3 log8 3 + 1

3 log8 3 · log3 5

=

3log 3

log 8+ 1

3log 3

log 8· log 5

log 3+ 1

49


=3 log 3 + log 8

3 log 5 + log 8

=3 log 3 + 3 log 2

3[log 10− log 2] + 3 log 2

=log 3 + log 2

log 10= log 6

EJEMPLO 2.16 Una sustancia radiactiva se desintegra ( y se convierte en otro el-

emento quımico) de acuerdo con la formula: y = Ae−0,2x donde y es la cantidad

remanente despues de x anos.

1) Si tenemos una cantidad inicial A = 80 gr.¿Que cantidad quedara despues

de 3 anos?

2) La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en de-

scomponerse la mitad de la misma. Encuentre la vida media de esta sus-

tancia en la que A = 80 gr

Solucion.

Como A = 80 tenemos que: y = 80e−0,2x luego se requiere resolver esta ecuacion

cuando x = 3

y = 80e−0,2x

y = 80e−0,2(3)

y = 80e−0,6

y = 80(0,549)

y = 43,920

Luego despues de tres anos hay 43.9 gramos de la sustancia

Para el calculo de la vida media se tiene:

40 = 80e−0,2x

1

2= e−0,2x

ln1

2= ln e−0,2x

−0,2x = − ln 2

x =ln 2

0,2

50


x = 3,465

Luego la vida media es aproximadamente 3.465 anos

Ejercicios Encuentre x en :

1) xx3= 3

2) log 15√27 3 9√

9 =

√47 + 4

√14 + 5

√29 + 3

√x

3) Resuelva: log√a81 · loga 81 · loga√

a 81 · loga2 81 =32

34) Encuentre la solucion de: log(7x− 9)2 + log(3x− 4)2 = 2

5) Encuentre x si: 2[log4(x)]2 + 3 log4(x)− 2 = 0

6) Sean f(x) = log3(x2 − 1) − 2 log9(x − 1 y g(x) =

(1

3)x − 1 verificar que

(g f)(x) = − x

x + 17) El valor de reventa de un equipo radiografico se comporta de acuerdo con

la funcion: v(t) = 750000e−0,05t

a′ Determinar el valor original del equipo radiografico

b′ Determinar el valor esperado de reventa despues de 5 anos

c′ Indicar despues de cuantos anos el valor de reventa sera 250000

51


52

Parte II

Lımites y Continuidad

53

Capıtulo 3

Lımites

3.1. Discusion informal de los lımites laterales de una fun-

cion

En el ambito matematico la expresion lımite lateral de una funcion real debe entenderse

como sinonima de valor frontera de una funcion o valor al cual se esta aproximando una

funcion cuando su variable se esta aproximando a un determinado valor real, digamos r,

ya sea mediante valores mayores que r, o mediante valores menores que r. Observemos

los siguientes ejemplos para entender mejor esta idea:

EJEMPLO 3.1 Sea f(x) = x + 1.

i) ¿A que valor se va aproximando f(x) cuando x se va aproximando a 1 por la izquierda

en la recta real (esto es, por valores menores que 1)?

ii) ¿A que valor se va aproximando f(x) cuando x se va aproximando a 1 por la derecha

en la recta real (esto es, por valores mayores que 1)?

Recurrimos a una tabla de valores y a nuestra intuicion para responder estas preguntas:

x f(x)

0,9 1,9

0,99 1,99

0,999 1,999

0,9999 1,9999

0,99999 1,99999

... ...

x se aprox. f(x) se aprox.

a 1, x < 1. a 2.

x f(x)

1,1 2,1

1,01 2,01

1,001 2,001

1,0001 2,0001

1,00001 2,00001

... ...


a 1, x > 1. a 2.

55

CAPITULO 3. L IMITES

Entonces tenemos:

Para i) “El valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1, mediante valores

menores que 1, es 2” y denotamos esto como sigue

lımx→1−

(x + 1) = 2

Aquı la expresion x → 1− indica que nos aproximamos a 1 por el lado izquierdo en la

recta real (x < 1) y matematicamente leemos ası: “Lımite lateral izquierdo de f(x) cuando

x tiende a 1 por la izquierda es 2”.

Ahora, con el objetivo de dar una interpretacion analıtica del concepto de lımite lateral

izquierdo, es conveniente hacer un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor

ε > 0 arbitrariamente pequeno de manera que, para valores de x proximos a 1, pero

menores que 1, la diferencia entre la funcion y su lımite sea menor que ε (y por lo tanto

tan pequena como deseemos); es decir estamos en la situacion |f(x)− 2| < ε. Observemos

cuidadosamente el siguiente grafico

El grafico nos dice que: dado un valor arbitrariamente pequeno ε > 0, es posible determi-

nar un valor δ > 0 tal que si la variable x es mayor que 1 − δ y menor que 1, entonces la

diferencia entre la funcion y su lımite lateral izquierdo es menor que el valor ε > 0 dado.

En sımbolos tenemos para f(x) = x + 1:

lımx→1−

f(x) = 2

que es equivalente a decir que

(∀ε > 0) (∃δ > 0) tal que (1− δ < x < 1 ⇒ |f(x)− 2| < ε).

56

3.1. DISCUSION INFORMAL DE LOS LIMITES LATERALES

Para ii) “El valor el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1, mediante

valores mayores que 1, es 2” y denotamos esto como sigue

lımx→1+

(x + 1) = 2

Aquı la expresion x → 1+ indica que nos aproximamos a 1 por el lado derecho en la

recta real (x > 1) y matematicamente leemos ası: “Lımite lateral derecho de f(x) cuando

x tiende a 1 por la derecha es 2”.


derecho, es conveniente estudiar el grafico de la funcion. Consideremos un valor ε > 0 ar-

bitrariamente pequeno de manera que, para valores de x proximos a 1, pero mayores que

1, la diferencia entre la funcion y su lımite sea menor que ε (y por lo tanto tan pequena

como deseemos); es decir estamos en la situacion |f(x) − 2| < ε. Observemos cuidadosa-

mente el siguiente grafico


nar un valor δ > 0 tal que si la variable x es mayor que 1 y menor que 1 + δ, entonces la

diferencia entre la funcion y su lımite lateral derecho es menor que el valor ε > 0 dado.

En sımbolos tenemos para f(x) = x + 1:

lımx→1+

f(x) = 2


(∀ε > 0) (∃δ > 0) tal que (1 < x < 1 + δ ⇒ |f(x)− 2| < ε).

57


EJEMPLO 3.2 Sea f(x) =

2− x si x < 0

1 si x ≥ 0.


(esto es, por valores menores que 1)?


(esto es, por valores mayores que 1)?


x f(x)

-0,1 2,1

-0,01 2,01

-0,001 2,001

-0,0001 2,0001

-0,00001 2,00001

... ...


a 0, x < 0. a 2.

x f(x)

0,1 1

0,01 1

0,001 1

0,0001 1

0,00001 1

... ...


a 0, x > 0. a 1.

Entonces tenemos:

Para i) “El valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 0, mediante valores

menores que 0, es 2” y denotamos esto como sigue

lımx→0−

f(x) = 2

Aquı la expresion x → 0− indica que nos aproximamos a 0 por el lado izquierdo en la

recta real (x < 0) y matematicamente leemos ası: “Lımite lateral izquierdo de f(x) cuando

x tiende a 0 por la izquierda, es 2”.


izquierdo, es conveniente hacer un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor


menores que 0, la diferencia entre la funcion y su lımite sea menor que ε (y por lo tanto



58

3.1. DISCUSION INFORMAL DE LOS LIMITES LATERALES


nar un valor δ > 0 tal que si la variable x es mayor que 0 − δ y menor que 0, entonces la

diferencia entre la funcion y su lımite lateral izquierdo es menor que el valor ε > 0 dado.

En sımbolos tenemos para f(x) =

2− x si x < 0

1 si x ≥ 0:

lımx→1−

f(x) = 2


(∀ε > 0) (∃δ > 0) tal que (0− δ < x < 0 ⇒ |f(x)− 2| < ε).

Para ii) “El valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 0, mediante valores

mayores que 0, es 1.” y denotamos esto como sigue

lımx→0+

f(x) = 1

Aquı la expresion x → 0+ indica que me aproximo a 0 por el lado derecho en la recta real

(x > 0) y matematicamente leemos ası: “Lımite lateral derecho de f(x) cuando x tiende a

0 por la derecha es 1”.


derecho, es conveniente hacer un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor


mayores que 0, la diferencia entre la funcion y su lımite sea menor que ε (y por lo tanto



59



nar un valor δ > 0 tal que si la variable x es mayor que 0 y menor que 0 + δ, entonces la

diferencia entre la funcion y su lımite lateral derecho es menor que el valor ε > 0 dado.

En sımbolos tenemos para f(x) =

2− x si x < 0

1 si x ≥ 0:

lımx→1+

f(x) = 1


(∀ε > 0) (∃δ > 0) tal que (0 < x < 0 + δ ⇒ |f(x)− 2| < ε).

EJERCICIOS 3.1 Con ayuda de una tabla de valores, calcule intuitivamente los lımites lat-

erales que se le solicitan para cada una de las siguientes funciones

a) f(x) =x2 − 4

x + 2, lım

x→−2−f(x); lım

x→−2+f(x)

b) f(x) =x

|x|, lım

x→0−f(x); lım

x→0+f(x)

c) f(x) =√

1− x2, lımx→1−

f(x); lımx→0+

f(x)

d) f(x) =

x− 1

x2 − 1si x < 1

x2 si x ≥ 1

, lımx→1−

f(x); lımx→1+

f(x)

3.2. Definicion del lımite de una funcion a traves de lımites

laterales

DEFINICION 3.1 Sea f una funcion real definida en ]a, b[, salvo tal vez para c ∈ ]a, b[.

60

3.2. DEFINICION DEL LIMITE DE UNA FUNCION

1. Decimos que un numero real L− es el lımite lateral izquierdo de f(x) cuando x se

aproxima a c por la izquierda, si

(∀ε > 0) (∃δ = δε > 0) tal que(c− δ < x < c =⇒

∣∣f(x)− L−∣∣ < ε

)y escribimos

lımx→c−

f(x) = L−.

2. Decimos que un numero real L+ es el lımite lateral derecho de f(x) cuando x se aprox-

ima por la derecha, si

(∀ε > 0) (∃δ = δε > 0) tal que(c < x < c + δ =⇒

∣∣f(x)− L+∣∣ < ε

)y escribimos

lımx→c+

f(x) = L+.

3. Decimos que un numero real L es el lımite de f(x) cuando x se aproxima a c, si:

i) ∃ lımx→c−

f(x) = L−

ii) ∃ lımx→c+

f(x) = L+

iii) L− = L+ = L,

y escribimos

lımx→c

f(x) = L.

OBSERVACION 3.1 La Definicion de Lımite se puede escribir como sigue: un numero real

L es el lımite de f(x) cuando x se aproxima a c, si

(∀ε > 0) (∃δ = δε > 0) tal que (0 < |x− c| < δ =⇒ |f(x)− L| < ε)

y escribimos

lımx→c

f(x) = L.

En efecto,

(⇒) Sea ε > 0 dado. Si ∃ lımx→c−

f(x) = L, entonces (∃δ1 = δ1ε > 0) tal que

(c− δ1 < x < c =⇒ |f(x)− L| < ε) ⇔ (−δ1 < x− c < 0 =⇒ |f(x)− L| < ε) (3.2.1)

Por otra parte, si ∃ lımx→c+

f(x) = L, entonces (∃δ2 = δ2ε > 0) tal que

(c < x < c + δ2 =⇒ |f(x)− L| < ε) ⇔ (0 < x− c < δ2 =⇒ |f(x)− L| < ε) . (3.2.2)

61


Escojamos ahora el valor mınimo entre δ1 y δ2, digamos δ = mınδ1, δ2. Notemos que

cuando reeplazamos δ por δ1 y δ2 respectivamente en (3.2.1) y (3.2.2), las relaciones allı es-

critas permanecen validas. Es decir, para el valor ε dado inicialmente tenemos que ∃δ > 0

tal que:

−δ < x− c < 0 ∧ 0 < x− c < δ ⇒ |f(x)− L| < ε,

o equivalentemente

0 < |x− c| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

(⇐) Es directo, siguiendo un sentido inverso a lo expuesto previamente.

OBSERVACION 3.2 Si el lımite (o lımite lateral) existe, entonces es unico.

En efecto,

Si lımx→c

f(x) = L1 y lımx→c f(x) = L2, entonces para ε > 0 dado:

∃δ1 > 0 tal que(0 < |x− c| < δ1 =⇒ |f(x)− L1| <

ε

2

),

∃δ2 > 0 tal que(0 < |x− c| < δ2 =⇒ |f(x)− L2| <

ε

2

).

Entonces para |x− c| < mınδ1, δ2 se tiene

0 ≤ |L1 − L2| = |f(x)− L2 + L1 − f(x)| ≤ |f(x)− L1|+ |f(x)− L2| <ε

2+

ε

2= ε.

Es decir

(0 ≤ |L1 − L2| < ε) (∀ε > 0) ,

y por definicion de ınfimo no queda mas posibilidad que |L1 − L2| = 0, o equivalente-

mente, que L1 = L2.

EJEMPLO 3.3 Sea c un valor real fijo. Usando la definicion de lımite pruebe que:

lımx→a

c = c ∀a ∈ R

Solucion: Sea ε > 0 dado y pongamos f(x) = c, ∀x ∈ R. Debemos probar que

∃δ > 0 tal que (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− c| < ε).

Notemos que

|f(x)− c| = |c− c| = 0 < ε, ∀x ∈ R.

Luego, basta escoger cualquier valor δ > 0 y entonces tendremos que:

|x− a| < δ ⇒ |f(x)− c| < ε.

62

3.2. DEFINICION DEL LIMITE DE UNA FUNCION


lımx→a

x = a ∀a ∈ R

Solucion: Sea ε > 0 dado y pongamos f(x) = x, ∀x ∈ R. Debemos probar que

∃δ > 0 tal que (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− x| < ε).

Notemos que

|f(x)− a| = |x− a|, ∀x ∈ R.

Entonces, si escogemos δ = ε tendremos que:

|x− a| < ε ⇒ |f(x)− a| < ε.


lımx→a

x2 = a2 ∀a ∈ R

Solucion: Sea ε > 0 dado y pongamos f(x) = x2, ∀x ∈ R. Debemos probar que

∃δ > 0 tal que (0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− a2| < ε).

Notemos que

|f(x)− a2| = |x2 − a2| = |x + a||x− a|, ∀x ∈ R.

En este momento necesitamos acotar la expresion |x + a| y para esto procedemos como

sigue: fijamos un valor real conveniente y ponemos

|x− a| < 1 ⇒ −1 + a < x < 1 + a ⇒ −1 + 2a < x + a < 1 + 2a ⇒ |x + a| < 1 + |2a|.

Entonces, si escogemos δ = mın1, ε

1+|2a|

, tendremos que:

|x− a| < δ ⇒ |f(x)− a2| < ε.

EJEMPLO 3.6 Usando la definicion de lımite pruebe que:

lımx→1

3x + 1

x− 2= −4.

Solucion: Sea ε > 0 dado y pongamos f(x) = 3x+1x−2

, ∀x ∈ R \ 2. Debemos probar que

∃δ > 0 tal que (0 < |x− 1| < δ ⇒ |f(x)− (−4)| < ε).

63


Notemos que

|f(x)− (−4)| =∣∣∣3x + 1

x− 2+ 4

∣∣∣ =∣∣∣7x− 7

x− 2

∣∣∣ = 7∣∣∣x− 1

x− 2

∣∣∣ =7

|x− 2||x− 1|, ∀x ∈ R.

En este momento necesitamos acotar la expresion 7|x−2| y para esto procedemos como

sigue: fijamos un valor real conveniente y ponemos

|x− 1| < 1

2⇒ −1

2+ 1 < x <

1

2+ 1 ⇒ 1

2− 2 < x− 2 <

3

2− 2 ⇒ −3

2< x− 2 < −1

2< 0

⇒ −2 <1

x− 2< −2

3

⇒ 14

3<

7

|x− 2|< 14.

Entonces, si escogemos δ = mın

12, ε

14

, tendremos que:

|x− 1| < δ ⇒ |f(x)− (−4)| < ε.

EJERCICIOS 3.2 Usando la definicion ε− δ del lımite de una funcion, demuestre que:

1. lımx→4

(2x + 1) = 9

2. lımx→a

|x| = |a|

3. lımx→3

(7− x2) = −2

4. lımx→−1

x2 − 1

x + 1= −2

5. lımx→1

x− 2

x + 3= −1

4

3.3. Propiedades de los lımites

TEOREMA 3.1 [Teorema Algebra de Lımites]

Sean f, g dos funciones reales definidas en ]a, b[, salvo tal vez para c ∈ ]a, b[. Supongamos

que

∃ lımx→c

f(x) ∧ ∃ lımx→c

g(x).

Especıficamente, consideremos

lımx→c

f(x) = A ∈ R ∧ lımx→c

g(x) = B ∈ R.

64

3.3. PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Entonces

∃ lımx→c

(f(x) + g(x)) , ∃ lımx→c

(f(x)− g(x)) , ∃ lımx→c

(k · f(x)) ∧ ∃ lımx→c

(f(x)g(x)) .

Si ademas B 6= 0, entonces tambien

∃ lımx→c

f(x)

g(x).

Mas particularmente,

1. El lımite de la suma es la suma de los lımites:

lımx→c

(f(x) + g(x)) = A + B

2. El lımite de la resta es la resta de los lımites:

lımx→c

(f(x)− g(x)) = A−B

3. El lımite del producto con un escalar es el escalar por el lımite:

lımx→c

(k · f(x)) = k · A

4. El lımite del producto es el producto de los lımites:

lımx→c

(f(x)g(x)) = A ·B

5. Si B 6= 0, el lımite del cuociente es el cuociente de los lımites:

lımx→c

f(x)

g(x)=

A

B.

OBSERVACION 3.3 Todos los lımites en el teorema pueden ser reemplazados por los cor-

respondientes lımites laterales.

EJERCICIOS 3.3

1. Calcule los siguientes lımites:

a) lımx→a

x3 b) lımx→a

(|x|+ b) c) lımx→a

x2

x + b; para a 6= b.

2. Calcule lımx→2

f(x) para

a)f(x) =

2x + 1 si x > 2

x + 3 si x ≤ 2b)f(x) =

x2 + 1 si x > 2

x− 3 si x ≤ 2.

65


3.4. Teoremas sobre algunos Lımites relevantes

En esta seccion omitimos las demostraciones pues no tenemos las herramientas matematicas

necesarias para realizarlas al alcance de nuestra mano, sin embargo necesitamos estos re-

sultados para calcular lımites de una forma mas rapida y sencilla que hacer una tabla de

valores y usar nuestra intuicion, o bien usar la definicion formal del lımite con ε− δ.

TEOREMA 3.2 [Teorema sobre Lımites de Polinomios y Funciones Radicales]

1. Sea p un polinomio. Entonces

lımx→a

p(x) = p(a).

2. Sea f una funcion tal que lımx→a f(x) = L y sean m, n ∈ Z, n 6= 0. Entonces

lımx→a

[f(x)]mn = L

mn ,

siempre que Lmn ∈ R. En otro caso el lımite no esta definido.

TEOREMA 3.3 [Teorema sobre Lımites de Funciones Exponenciales, Logarıtmicas y Trigonometri-

cas]

Sea f(x) = eax+b o f(x) = loga (bx + c) o f(x) = sen (ax + b) o f(x) = cos(ax+b). Entonces

lımx→x0

f(x) = f(x0) para x0 ∈ Dom(f).

TEOREMA 3.4 [Teorema sobre Algunos Lımites Especiales]

1. lımx→0+

ax − 1

x= ln a

2. lımx→0+

ln(1 + x)

x= 1

3. lımx→0

senx

x= 1

4. lımx→0

(1 + x)1x = e.

3.5. Algunas Tecnicas para calcular Lımites

En general, las siguientes tecnicas se usan para calcular lımites sobre todo cuando el

reemplazo directo no procede.

66

3.5. ALGUNAS TECNICAS PARA CALCULAR L IMITES

3.5.1. Simplificacion

Se usa en caso de que el denominador es cero cuando uno trata de hacer un reemplazo

directo.

EJERCICIOS 3.4 Calcular los siguientes lımites

a) lımx→−1

x2 + x

x2 − x− 2b) lım

x→2

x2 − 2x

x2 − 4c) lım

x→ 12

6x2 + 7x− 5

2x2 + x− 1.

3.5.2. Racionalizacion

Se usa en caso de que el denominador es cero cuando uno trata de hacer un reemplazo

directo. Se puede racionalizar en el numerador o en el denominador, segun convenga.


a) lımx→1

x− 1√x− 1

b) lımx→0

3√

x + 1− 1

xc) lım

h→0

√x + h−

√x

h.

3.5.3. Sustitucion

Se usa para facilitar el calculo de un lımite pasando a alguna forma de lımite conocido

o al cual se le puede aplicar alguna otra tecnica.


a) lımx→1

6√

x− 13√

x− 1b) lım

x→4

√x− 2

x− 4c) lım

θ→0

sen3θ

sen5θ.

3.5.4. Uso de identidades trigonometricas

Se hacen los arreglos necesarios para usar las identidades trigonometricas y entonces

obtener alguna forma de lımite conocido o al cual se le puede aplicar alguna otra tecnica.


a) lımθ→0+

√1− cosθ

θb) lım

θ→0

1− cosθ

senθc) lım

θ→π2

1− senθπ2− θ

.

67


3.5.5. Uso de lımites especiales

Se hacen los arreglos necesarios para usar los lımites especiales acompanados de algu-

na forma de lımite conocido o al cual se le puede aplicar alguna otra tecnica.


a) lımx→0

ex − e−x

2xb) lım

θ→0

[sen (senθ)

senθ

]−1

c) lımx→0

4x3 (ex − 1)

(1− cos (2x))2 .

3.6. Lımites al infinito

Observemos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 3.7 Sea f(x) = 1x.


(esto es, por valores menores que 0)?


(esto es, por valores mayores que 0)?


x f(x)

-1 -1

-0,01 -100

-0,0001 -10000

-0,000001 -1000000

-0,00000001 -100000000

... ...

x se aprox. f(x) decrece

a 0, x < 0. sin lımite.

x f(x)

1 1

0,01 100

0,0001 10000

0,000001 1000000

0,00000001 100000000

... ...

x se aprox. f(x) crece

a 0, x > 0. sin lımite.

Entonces tenemos:

Para i) f(x) decrece sin lımite cuando x tiende a 0 por la izquierda y denotamos esto como sigue

lımx→0−

1

x= −∞

68

3.6. L IMITES AL INFINITO

Para ii) f(x) crece sin lımite cuando x tiende a 0 por la izquierda y denotamos esto como sigue

lımx→0+

1

x= +∞

DEFINICION 3.2 Sea f una funcion real definida en ]a,b[, salvo tal vez para c ∈]a, b[.

1. Decimos que f(x) crece sin lımite cuando x tiende a c por la derecha si:

(∀N ∈ N)(∃δ > 0) tal que (c < x < c + δ =⇒ f(x) > N).

En este caso escribimos

lımx→c+

f(x) = +∞.

2. Decimos que f(x) decrece sin lımite cuando x tiende a c por la derecha si:

(∀N ∈ Z−)(∃δ > 0) tal que (c < x < c + δ =⇒ f(x) > N).


lımx→c+

f(x) = −∞.

3. Decimos que f(x) crece sin lımite cuando x tiende a c por la izquierda si:

(∀N ∈ N)(∃δ > 0) tal que (b− δ < x < b =⇒ f(x) > N).


lımx→c−

f(x) = +∞.

4. Decimos que f(x) decrece sin lımite cuando x tiende a c por la izquierda si:

(∀N ∈ Z−)(∃δ > 0) tal que (c− δ < x < c =⇒ f(x) > N).


lımx→c−

f(x) = −∞.

5. En el caso (1), (2), (3) o (4) la lınea recta vertical x = c es llamada asıntota vertical de la

grafica de f .

OBSERVACION 3.4 Por simplicidad es usual decir que f tiene lımite infinito positivo en

(1) o (3) y que f tiene lımite infinito negativo en (3) o (4), pero debe aclararse que esta

verbalizacion indica un comportamiento de la funcion, ya que por definicion de lımite,

los lımites en (1), (2), (3) y (4) no existen.

69


TEOREMA 3.5 Si r es cualquier entero positivo, entonces

1. lımx→0+

1

xr= +∞

2. lımx→0−

1

xr=

−∞ si r es impar

+∞ si r es par

EJERCICIOS 3.9 Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→0−

1

x3b) lım

x→0+

1

x5c) lım

x→0−

1

x4d) lım

x→0+

1

x2

TEOREMA 3.6

Sean f, g dos funciones definidas en ]a, b[, salvo tal vez para c ∈]a, b[. Si

lımx→c

f(x) = 0 ∧ lımx→c

g(x) = k,

donde k es una constante distinta de 0, entonces tenemos que

1. Si k > 0 y si f(x) → 0 a traves de valores positivos de f(x), entonces

lımx→c

g(x)

f(x)= +∞.

2. Si k > 0 y si f(x) → 0 a traves de valores negativos de f(x), entonces

lımx→c

g(x)

f(x)= −∞.

3. Si k < 0 y si f(x) → 0 a traves de valores positivos de f(x), entonces

lımx→c

g(x)

f(x)= −∞.

4. Si k < 0 y si f(x) → 0 a traves de valores negativos de f(x), entonces

lımx→c

g(x)

f(x)= +∞.



EJERCICIOS 3.10

70

3.6. L IMITES AL INFINITO

1. Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→3−

3

(x− 3)3b) lım

x→2+

x + 2

x2 − 4c) lım

θ→π2−

tanθ d) lımx→1+

2x

x− 1

2. Encontrar las asıntotas verticales de las siguientes funciones, si es que existen:

a) f(x) =x + 2

x2 − 1b) f(x) =

x− 1

x3 − 1c) f(x) =

x

x5 − 5

TEOREMA 3.7

Sean f, g dos funciones definidas en ]a, b[, salvo tal vez para c ∈]a, b[. Entonces

lımx→c

f(x) = ±∞ ∧ lımx→c

g(x) = k,

donde k es una constante cualquiera, entonces

lımx→c

(f(x) + g(x)

)= ±∞.




a) lımx→3−

[3

(x− 3)3+

1

x

]b) lım

x→2+

[1

x− 2+

1

x + 2

]c) lım

θ→π−

[tanθ + cotθ

]TEOREMA 3.8

Sean f, g dos funciones definidas en ]a, b[, salvo tal vez para c ∈]a, b[. Si

lımx→c

f(x) = ±∞ ∧ lımx→c

g(x) = k,

donde k es una constante distinta de cero, entonces

1. k > 0 ⇒ lımx→c

(f(x) · g(x)

)= ±∞.

2. k < 0 ⇒ lımx→c

(f(x) · g(x)

)= ∓∞.




a) lımx→2+

[4

x− 2· x + 2

x + 3

]b) lım

x→0

[1

x4· 2

x− 5

]c) lım

x→2−

[√4 + x2

x− 2· x + 2

x + 3

]d) lım

x→1+

[1

1− x· 2

x− 5

]

71


3.7. Lımites en infinito

Ahora nos interesa encontrar el comportamiento de una funcion f en intervalos abiertos

no acotados. En particular, nos interesa conocer un valor hacia el cual se aproxima f(x)

cuando x crece ilimitadamente (x se aproxima a +∞), o cuando x decrece ilimitadamente

(x se aproxima a −∞.

DEFINICION 3.3

Sea f una funcion definida en un intervalo del tipo ]a, +∞[. Si existe L ∈ R tal que

(∀ε > 0)(∃M > 0) tal que (x > M =⇒ |f(x)− L| < ε),

entonces decimos que L es el lımite de f(x) cuando x crece ilimitadamente y escribimos:

lımx→+∞

f(x) = L.

OBSERVACION 3.8 La expresion “x crece ilimitadamente” puede reemplazarse por “x tiende

a infinito positivo”.

DEFINICION 3.4

Sea f una funcion definida en un intervalo del tipo ]−∞, b[. Si existe L ∈ R tal que

(∀ε > 0)(∃M < 0) tal que (x < M =⇒ |f(x)− L| < ε),

entonces decimos que L es el lımite de f(x) cuando x decrece ilimitadamente y escribimos:

lımx→−∞

f(x) = L.

OBSERVACION 3.9 La expresion “x decrece ilimitadamente” puede reemplazarse por “x

tiende a infinito negativo”.

OBSERVACION 3.10 El Teorema Algebra de Lımites se mantiene valido cuando reeplazamos

“x → c” por “x → +∞” o “x → −∞”.

TEOREMA 3.9

Si r es cualquier entero positivo, entonces

1. lımx→+∞

1

xr= 0

72

3.7. L IMITES EN INFINITO

2. lımx→−∞

1

xr= 0.

OBSERVACION 3.11 En el infinito tambien se pueden considerar definiciones formales

para “lımites infinitos”, tales como:

lımx→+∞

f(x) = +∞, lımx→−∞

f(x) = +∞, lımx→+∞

f(x) = −∞ ∧ lımx→−∞

f(x) = −∞.

Recuerde que en cualquiera de estos casos el lımite no existe, pues solo se trata de una

expresion matematica que indica el tipo de comportamiento de la funcion para valores de

|x| cada vez mas grandes. En estos casos podemos usar los criterios de lımites al infinito,

pero no el Teorema de Algebra de Lımites.


a) lımx→+∞

4x− 3

2x + 5b) lım

x→−∞

2x2 − x + 5

4x3 − 1c) lım

x→+∞

x2

x + 1

d) lımx→+∞

3x + 4√2x2 − 5

e) lımx→−∞

3x + 4√2x2 − 5

f) lımx→+∞

2x− x2

3x + 5

DEFINICION 3.5

La recta y = L, L ∈ R recibe el nombre de asıntota horizontal de la grafica de f si L satisface

al menos una de las siguientes aseveraciones:

1. lımx→+∞

f(x) = L y a partir de cierto numero positivo M , f(x) 6= M, ∀x > M.

2. lımx→−∞

f(x) = L y a partir de cierto numero negativo M , f(x) 6= M, ∀x < M.

EJERCICIOS 3.14 Hallar, si existen, las asıntotas horizontales de las siguientes funciones:

a)f(x) =3x− 5

3√

2x3 − x2 + 1, x ∈ Dom f b)f(x) =

6x3 + 3x2 − 8

7x4 + 16x2 + 2, x ∈ Dom f

TEOREMA 3.10 [Teorema Algunos Lımites Especiales]

1. lımx→+∞

(1 +

1

x

)x

= e

2. lımx→+∞

ax = 0, si |a| < 1.


a) lımx→+∞

(x + 1

bx

)cx

, |b| > 1, c > 0 b) lımx→+∞

(ax + b

cx + d

), a, b, c, d ∈ R \ 0

c) lımx→+∞

(2x + 2)2x

92x−1d) lım

x→+∞

2x(x + 1)

5x(3x + 2)

73


DEFINICION 3.6 La grafica de la ecuacion y = f(x) tiene a la recta y = mx + b, m 6= 0,

como asıntota oblicua si se satisface al menos una de las siguientes aseveraciones:

1. lımx→+∞

[f(x) − (mx + b)] = 0 y a partir de un numero positivo M , f(x) 6= mx + b,

∀x > M.

2. lımx→−∞

[f(x) − (mx + b)] = 0 y a partir de un numero negativo M , f(x) 6= mx + b,

∀x < M.

EJERCICIOS 3.16 Encontrar las asıntotas oblicuas de las siguientes funciones:

a)f(x) =x2

x− 2b)f(x) =

x3 − 4

x2b)f(x) =

4x3 + 5

−6x2 − 7x

74

Capıtulo 4

Continuidad

4.1. Continuidad de una funcion

DEFINICION 4.1 Sea f una funcion real definida en un intervalo [a,b].

1. Decimos que f es continua en c ∈]a, b[ si:

i) ∃ lımx→c

f(x)

ii) lımx→c

f(x) = f(c).

En caso contrario decimos que f es discontinua en c.

2. Decimos que f es continua por la derecha de c ∈ [a, b[ si:

i) ∃ lımx→c+

f(x)

ii) lımx→c+

f(x) = f(c).

3. Decimos que f es continua por la izquierda de c ∈]a, b] si:

i) ∃ lımx→c−

f(x)

ii) lımx→c−

f(x) = f(c).

OBSERVACION 4.1 Se deduce desde las definiciones anteriores que f es continua en c ∈]a, b[ si:

i) ∃ lımx→c+

f(x)

ii) ∃ lımx→c−

f(x)

iii) lımx→c−

f(x) = lımx→c+

f(x) = f(c).

75

CAPITULO 4. CONTINUIDAD

OBSERVACION 4.2 Una funcion es continua en un intervalo ]a, b[ si ella es continua en

cada c ∈]a, b[.

DEFINICION 4.2 Una discontinuidad en un punto a de una funcion f que se puede elim-

inar redefiniendo la funcion en el punto, de modo que f quede continua en a, recibe el

nombre de discontinuidad reparable o evitable. Si la discontinuidad en el punto a no se

puede eliminar, decimos que la discontinuidad es irreparable o no evitable.

TEOREMA 4.1

Supongamos que ∃ lımx→c

f(x) y que lımx→c

f(x) = L ∈ R. Entonces:

lımx→c

f(x) = L ⇐⇒ lımh→0

f(c + h) = L ⇐⇒ lımx→c

(f(x)− L) = 0

EJERCICIOS 4.1

1. Estudie la continuidad de las siguientes funciones, en el valor indicado:

a) f(x) =

|x−2|x−2

si x < 2

ex−2 si x ≥ 2en x = 2

b) f(x) =

x2+5

10x+20si x 6= −2

35

si x = −2en x = −2

2. Analizar las discotinuidades en R de las siguientes funciones. Indique cuales son

reparables y cuales no. Justifique adecuadamente.

a) f(x) =x2 + 2x

x− 1b) f(x) =

x2 − 3x + 2

x2 − 5x− 6

c) f(x) =x2 + 4x + 4

x2 + x− 2d) f(x) =

senx

xsi x < 0

0 si x = 0

1−√

x

1 +√

xsi x > 0

4.2. Propiedades de las funciones continuas

TEOREMA 4.2 [Teorema Algebra de Funciones continuas]

76

4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Sean f, g dos funciones reales con dominio comun D. Sea a ∈ D y supongamos que f y g

son continuas en a. Entonces:

f + g, f − g ∧ f · g son continuas en a.

Si ademas g(a) 6= 0, entoncesf

ges continua en a.

TEOREMA 4.3 [Teorema Algunas Funciones Continuas]

Las siguientes funciones son continuas: f(x) = senx, f(x) = cosx, f(x) = ex, f(x) = p(x),

con p(x) un polinomio, f(x) = ln x , x > 0 y f(x) = xnm , con n, m ∈ N y x ∈ Dom(f).

TEOREMA 4.4 [Teorema Lımites y Funciones Continuas]

Si f es una funcion real continua en L ∈ R y si g es una funcion real tal que lımx→a

g(x) = L.

Entonces

lımx→a

f(g(x)

)= f

(lımx→a

g(x))

= f(L).

TEOREMA 4.5 [Teorema Composicion de Funciones Continuas]

Sean f, g dos funciones reales tales que Rec(g) ⊂ Dom(f). Si a ∈ Dom(g) es tal que g es

continua en a y f es continua en g(a) ∈ Rec(g); entonces f g es continua en a.

EJEMPLOS 4.1

1. f(x) = ex + senx es una funcion continua en R pues ex y senx lo son en R.

2. f(x) = tanx es una funcion continua en R \ n2π : n ∈ Z pues tanx = senx

cosx; senx y

cosx son continuas en todo R y cosx 6= 0 para todo x 6= n2π, con n ∈ Z

3. f(x) = sen(log x

)es una funcion continua en R+, pues es la compuesta de las fun-

ciones continuas senx, x ∈ R, y log x, x > 0.

EJERCICIOS 4.2

1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones. En caso de discontinuidad en

un punto, indique si ella es reparable o no, y reparela de ser posible:

a)f(x) = cos(x2 − 5x + 2) b)f(x) = sen xx

c)f(x) = sen(3x+7)ex−1

d)f(x) =

tan (2x)sen(3x)

si x < 0

1 si x = 0

7x2 − 3x− 3 si x > 0

e)f(x) = cos( 1

x2

)

77


2. Determine los valores de α y β, si existen, para que la funcion f sea continua en todo

R:

a)f(x) =

αx si x ≤ 1

αx2 + βx + 3 si 1 < x ≤ 4

β si x > 4

b)f(x) =

x2−3x+2

x−2si x < 2

α si x = 2

αx + β si x > 2

c)f(x) =

αx3−1

x−1+ β si x < 1

2αx− 3 si 1 ≤ x ≤ 2

β x2+3x−10x−2

si x > 2

d)f(x) =

sen[(1−α)x]

xsi x < 0

β(x− α)2 si 0 ≤ x < 1

sen[(x−1)α]ln x

si x > 1

4.3. Dos teoremas importantes

TEOREMA 4.6 [Teorema del Sandiwch]

Sean f, g y h funciones reales definidas en ]a, b[, salvo tal vez en c ∈]a, b[. Supongamos que

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para toda x 6= c. Supongamos tambien que

∃ lımx→c

f(x), ∃ lımx→c

h(x) ∧ lımx→c

f(x) = lımx→c

h(x) = L.

Entonces

∃ lımx→c

g(x) ∧ lımx→c

g(x) = L.

EJERCICIOS 4.3

1. Sea g una funcion real tal que |g(x) − 2| ≤ 3(x2 − 1)2, para toda x ∈ R. Encontrar, si

es posible, lımx→1

g(x).

2. Usando el Teorema del Sandiwch, encuentre los siguientes lımites:

a) lımx→0

xcos1

xb) lım

x→0x sen

1

xc) lım

x→0x2 sen

13√

x

3. Dada una funcion real f tal que −senx < f(x) < 2 + senx para toda x ∈] − π, 0[,

determine el valor de lımx→π

2

f(x).

4. Sea f una funcion real tal que |f(x)| ≤ M para toda x ∈]−a, a[\0, donde M es una

constante positiva. Demuestre que lımx→0

x2f(x) = 0.

78

4.4. CRITERIO PARA MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS

TEOREMA 4.7 [Teorema del Valor Intermedio]

Sea f una funcion continua en un intervalo cerrado [a, b] y supongamos que f(a) 6= f(b),

entonces para cada numero k entre f(a) y f(b) existe un numero c ∈ [a, b] tal que f(c) = k.

EJERCICIOS 4.4 Determine si el Teorema del Valor Intermedio es valido para el valor k

dado. Si el teorema se cumple, encuentre un numero c tal que f(c) = k. si el teorema no es

valido, de la razon.

1. f(x) = 2 + x− x2; [a, b] = [0, 3]; k = 1.

2. f(x) =

x− 1 si 0 ≤ x ≤ 2

x2 si 2 < x ≤ 3; [a, b] = [0, 3]; k = 3.

3. f(x) = 4x+2

; [a, b] = [−3, 1]; k = 12.

4.4. Criterio para maximos y mınimos absolutos

DEFINICION 4.3 Sea f : I → R una funcion, donde I es un intervalo en R.

i) Si existe s ∈ I tal que

supx∈ I

f(x) = f(s)

decimos que f(s) es un maximo absoluto de f en I .

ii) Si existe t ∈ I tal que

ınfx∈ I

f(x) = f(t)

decimos que f(t) es un mınimo absoluto de f en I .

TEOREMA 4.8 [Teorema Criterio para Maximos y Mınimos Absolutos]

Sea f : [a, b] → R una funcion continua; entonces ∃s, t ∈ [a, b] tales que

f(s) = maxx∈ [a,b]

f(x) = supx∈ [a,b]

f(x) ∧ f(t) = mınx∈ [a,b]

f(x) = ınfx∈ [a,b]

f(x).

79


80

Parte III

La Derivada y sus aplicaciones

81

Capıtulo 5

La Derivada

5.1. Definicion de la derivada de una funcion

DEFINICION 5.1 Sea f :]a, b[→ R una funcion y sea x0 ∈ ]a, b[. Entonces si:

∃ lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h,

diremos que f es derivable en x0 y anotamos:

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

entendiendo que f ′(x0) es la “derivada de f en x0”.

EJEMPLOS 5.1

i) Sea f(x) = c, entonces:

f ′(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

c− c

h= 0.

ii) Sea f(x) = x, entonces:


f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

x + h− x

h= 1.

iii) Sea f(x) = ax2 + bx + c, entonces:


f(x + h)− f(x)

h

= lımh→0

a(x + h)2 + b(x + h) + c− (ax2 + bx + c)

h

= lımh→0

ax2 + 2ahx + ah2 + bx + bh + c− ax2 − bx− c

h

= lımh→0

h(2ax + ah + b)

h

= 2ax + b

83

CAPITULO 5. LA DERIVADA

EJERCICIOS 5.1

1. Encuentre la derivada de cada una las siguientes funciones, en su correspondiente

dominio, usando la definicion:

a)f(x) = xn b)f(x) = m√

x c)f(x) = senx d)f(x) = cosx

e)f(x) = tanx f)f(x) = secx g)f(x) = cscx h)f(x) = cotx

i)f(x) = loga x j)f(x) = ax k)f(x) = ln x l)f(x) = ex

2. Utilizando la definicion de derivada, hallar f ′ (x0) en el valor dado x0.

a) f (x) = (x2 + x) , x0 = 2 b) f (x) = −2x3 , x0 = 0

c) f (x) = 1√1−3x

, x0 = −8 d) f (x) =√

5x− 6 , x0 = 2

e) f (x) =

x3 si x ≤ 1

2− x si x > 1, x0 = 1

f) f (x) =

2x si x < −1

3x2 si −1 ≤ x < 2

x + 3 si x ≥ 2

,x0 = 1

x0 = 2

3. Utilizando la definicion de derivada determina, si existe, la funcion derivada f ′ (x)

e indica su dominio.

a) f (x) = x2+1x

b) f (x) = 1x−2

c) f (x) = 1+√

x1−√

xd) f (x) = x5 − 4x3 + 2x− 3

e) f (x) =

x si x < 0

2x si 0 ≤ x ≤ 3

9− x si x > 3

f) f (x) =

2x si x ≤ 3

3 si > 3

4. Determina condiciones para a, b, c, de modo que la funcion definida por

f (x) =

x2 si x ≤ c

ax + b si x > c, a, b, c constantes

sea derivable en x = c.

84

5.2. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

5. Indica si existe f ′ (x0) .

a) f (x) =

3x2 si x < 1

6x− 3 si x ≥ 1, x0 = 1

b) f (x) =

8− x si x ≥ 3

25x− 1 si x < 3, x0 = 3

c) f (x) =

12x2 + x si x < 0

13x3 + x si x ≥ 0

, x0 = 0

d) f (x) = |x− 2| , x0 = 2

6. Sea la funcion f : ]−∞, 2[ −→ R definida por:

f (x) =

x4 − x3 − x2

2+ 3 si x < 0

2x3 − 3x2 + 3 si 0 ≤ x ≤ 1

sen (πx) + 1 si x > 1

i) Determina si f es derivable en x = 0 y en x = 1.

ii) Define f ′ (x) donde exista.

7. Encuentra a, b ∈ R tal que f sea derivable en ]0, +∞[ y calcula

f ′ (x) si:

f (x) =

3√

3x , si 0 < x ≤ 9

ax2 + bx , si x > 9

5.2. Interpretacion geometrica de la derivada

Sabemos que la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos dados, a saber (x0, y0) y

(x1, y1), esta dada por:

y − y0 =y1 − y0

x1 − x0

(x− x0), (5.2.1)

donde el valor m = y1−y0

x1−x0es conocido como la pendiente de la recta. Por otra parte, si

se conoce un punto (x0, y0) por donde pasa la recta y su pendiente m, entonces tambien

podemos determinar la ecuacion de la recta reemplazando el valor de m en la ecuacion

(5.2.1), la cual se reduce a

y − y0 = m(x− x0).

85


Consideremos una curva cualquiera en el plano R2 y un punto cualquiera de ella por

donde pase una recta tangente, por ejemplo, consideremos la curva f(x) = x(2 − x) y la

recta L que es tangente a ella en el punto (x0, f(x0)):

Notemos que la ecuacion de la recta L esta dada por

y − y0 = m(x− x0) ⇔ y − f(x0) = m(x− x0)

⇒ y − f(x0)

x− x0

= m con y0 = f(x0)

⇒ f(x0 + h)− f(x0)

x0 + h− x0

≈ m ∀h pequeno

⇒ lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= m

⇒ f ′(x0) = m.

Luego, podemos interpretar la derivada de una funcion f en un punto x0 como la pendi-

ente de la recta tangente a la grafica de f en el punto (x0, f(x0)).

DEFINICION 5.2 Sea f una funcion real definida en ]a, b[ y derivable en x0 ∈]a, b[. Lla-

mamos

1. recta tangente a la curva representada por la grafica de f en el punto (x0, f(x0)) a la

recta de ecuacion

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).

86

5.2. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

2. recta normal a la curva representada por la grafica de f en el punto (x0, f(x0)) a la

recta de ecuacion

y − f(x0) = − 1

f ′(x0)(x− x0).

87


EJEMPLOS 5.2

1. La pendiente de una funcion lineal es constante en R. En efecto,

f(x) es lineal ⇔ f(x) = ax + b con a, b ∈ R

y


f(x + h)− f(x)

h= lım

h→0

a(x + h) + b− ax− b

h= a

Entonces, para cualquier x tenemos m = a, donde m es la pendiente de grafica de f

(que es una recta) en el punto (x, f(x))∀x ∈ <.

2. La pendiente de la funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0, es igual

a 2ax + b para cualquier x ∈ R. En efecto,

f(x) = ax2 + bx + c ⇒ f ′(x) = lımh⇒0

f(x + h)− f(x)

h= 2ax + b = m

EJERCICIOS 5.2

1. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal al grafico de la funcion

dada en el punto P dado:

a) y = x3 , P (1, 1) b) y = x2 + 1 , P (0, 1)

c) y = x− x3 , P (1, 0) d) y =√

1− x2 , P (0, 1)

e) y = xx2+1

, P (0, 0) f) y = −x4 + 2x2 + x , P (1, 2)

g) y = 8a3

4a2+x2 , P (2a, a)

2. Encuentra el punto en que la recta tangente al grafico de f (x) = x3 + 4 en (1, 5) se

intersecta con ella nuevamente.

3. Dada la funcion f (x) = (x + 2)2 − 4, determina:

a) La ecuacion de la recta normal N al grafico de f en el origen.

b) La ecuacion de la recta tangente T al grafico de f en el origen.

4. Determina el valor de a, b para que la recta y = 5x − 3 sea tangente al grafico de

f (x) = x3 + ax + b en el punto (1, 2) .

5. Demuestra que la recta tangente al grafico de f (x) = x3 − 2x2 − 3x + 7 en el punto

(2, 1) es una de las rectas normales al grafico de g (x) = x2 − 3x + 2.

88

5.3. DOS TEOREMAS IMPORTANTES

6. ¿Para que valores de a, b, c los graficos de g (x) = x3 +cx y f (x) = x2 +ax+b tienen

una recta comun en el punto (2, 2)?

7. ¿En que punto la tangente del grafico de f (x) = x2 − 7x + 3 es paralela a la recta

5x + y − 3 = 0?

8. Muestre que existe un punto en R2 tal que la recta 4y = x + 4 es tangente a la grafica

de la funcion f(x) =√

x.

5.3. Dos Teoremas Importantes

TEOREMA 5.1 [Teorema Forma Alternativa de la Derivada]

Sea f una funcion real definida en un intervalo abierto ]a, b[ y sea x0 ∈]a, b[ tal que existe

f ′(x0). Entonces:

f ′(x0) = lımx→x0

f(x0)− f(x)

x− x0

.

TEOREMA 5.2 [Teorema Derivabilidad Implica Continuidad]

Sea f una funcion real definida en un intervalo abierto ]a, b[ y sea x0 ∈]a, b[ tal que existe

f ′(x0). Entonces f es continua en x0.

OBSERVACION 5.1 El contrarecıproco del teorema siempre es cierto: Si f es una funcion

discontinua en x0 ∈]a, b[, con ]a, b[⊂ Dom(f), entonces f no es derivable en x0.

OBSERVACION 5.2 El recıproco del teorema no siempre es cierto.

EJEMPLOS 5.3

1. Sabemos que f(x) = x2 tiene derivada f ′(x) = 2x para todo x ∈ R. Luego, f(x) = x2

es una funcion continua en todo R.

2. Sabemos que la funcion f(x) = |x| es continua en x = 0. Sin embargo:

lımh→0+

f(0 + h)− f(0)

h= lım

h→0+

|h| − |0|h

= lımh→0+

h

h= 1

y

lımh→0−

f(0 + h)− f(0)

h= lım

h→0−

|h| − |0|h

= lımh→0−

−h

h= −1.

89


En otras palabras,

lımh→0

f(0 + h)− f(0)

h

y por lo tanto, no existe f ′(0).

EJERCICIOS 5.3 Sea la funcion g : R −→ R definida por:

g (x) =

√

(x−1)2+1−1

x−1, si x 6= 1

2 , si x = 1

i) ¿Es g continua en todo su dominio?

ii) ¿Es g derivable en x = 1?

5.4. La funcion derivada

DEFINICION 5.3 Sea I un intervalo real, y sea f : I ⊆ R → R una funcion bien definida.

Llamamos funcion derivada de f (o primera derivada de f ) a la funcion f ′ definida por:

f ′ : A ⊂ I → R

x → f ′(x) = lımh→0

f(x + h)− f(x)

h

donde A es el conjunto de los puntos en I para los cuales existe el lımite en la definicion

de f ′.

NOTACION 5.1 f ′(x) = ddx

[f(x)]. Esta notacion hace referencia a la variable respecto a la

cual estamos derivando.

A continuacion entregaremos una lista de derivadas de funciones elementales.

5.4.1. Derivadas de funciones algebraicas

1. La derivada de una constante

Sea k una constante, entoncesd

dx[k] = 0

90

5.4. LA FUNCION DERIVADA

2. La derivada de una potencia

Sea r un numero racional, entonces

d

dx[xr] = rxr−1

En particulard

dx[x] = 1

5.4.2. Derivadas de funciones trigonometricas

1. La derivada de senod

dx(senx) = cosx

2. La derivada de cosenod

dx(cosx) = −senx

3. La derivada de tangented

dx(tanx) = sec2x

4. La derivada de cosecante

d

dx(cscx) = −cscx · cotx

5. La derivada de secanted

dx(secx) = secx · tanx

6. La derivada de cotangented

dx(cotx) = −csc2x

5.4.3. Derivadas de funciones logarıtmicas y exponenciales

1. La derivada de una funcion exponencial de base a

d

dx(ax) = ln a · ax

En particular si a = e,d

dx(ex) = ex

91


2. La derivada de una funcion logaritmo en base a.

d

dx(loga x) =

1

ln a · xEn particular, si a = e tenemos loge = ln y

d

dx(ln x) =

1

x

5.5. Algebra de derivadas

TEOREMA 5.3 [Teorema Algebra de Derivadas]

Sean f, g dos funciones derivables con respecto a la variable x; entonces se obtienen los

siguientes resultados:

1. Derivada del Producto por Escalar

[kf(x)]′ =d

dx[kf(x)] = kf ′(x); con k = constante

2. Derivada de la Suma

[f(x) + g(x)]′ =d

dx[f(x) + g(x)] = f ′(x) + g′(x)

3. Derivada del Producto

[f(x)g(x)]′ =d

dx[f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Si Ademas, g(x) 6= 0, entonces se tiene:

4. Derivada de un Cuociente[f(x)

g(x)

]′=

d

dx

[f(x)

g(x)

]=

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2

EJERCICIOS 5.4

1. Derive las siguientes funciones indicando que regla esta usando:

a)f(x) = 7x5 − 3x3 + 2x2 − x + 3 b)f(x) = (3x + 5)(4x3 − 2x− 1)

c)f(x) =3x5 − 4x2 + 2

x3 − xd)f(x) =

(x3 − 2x

x4 + 4

)(x− 1

x

)e)f(x) = senxcosx + tanx f)f(x) = senx · ex · ln x + x · ln x

92

5.6. REGLA DE LA CADENA

2. Utilizando los teoremas sobre derivacion, encuentra las derivadas de las siguientes

expresionesa) f (x) = secx b) f (x) = cscx

c) f (x) = cotx d) f (x) = x sen x1+x2

e) f (x) = 11+2cosx

f) f (x) = 2−sen x2−cosx

5.6. Regla de la cadena

TEOREMA 5.4 [Derivada de una Funcion Compuesta, Regla de la Cadena]

Sean f, g dos funciones reales tales que g es derivable en x y f es derivable en g(x), en-

tonces se tiene que

d

dx

[(f g)(x)

]=

[f(g(x)

)]′= f ′

(g(x)

)· g′(x).

Equivalentemente, si ponemos y = f(z) y z = g(x), tenemos que

dy

dx=

dy

dz· dz

dx.

COROLARIO 5.1 [Corolario Regla de la Cadena para Potencias]

Sea g una funcion derivable en x y sea r ∈ Q. Entonces si(g(x)

)r esta bien definida,

tenemos qued

dx

[(g(x)

)r]

= r(g(x)

)r−1 · g′(x),

siempre que la expresion del lado derecho este bien definida.

EJEMPLO 5.1

1. Sea f(x) = x3 y sea g(x) = x2 + 1. Entonces f ′(x) = 3x2 y g′(x) = 2x, de donde se

sigue que [f(g(x)

)]′= f ′(g(x)) · g′(x) = 3

(g(x)

)2 · 2x = 3(x2 + 1)2 · 2x.

2. Sea y = (x3 +2x+1)4, entonces podemos encontrar y′ = dydx

procediendo como sigue.

Buscamos una composicion entre funciones de las cuales conocemos sus derivadas

y de forma tal que la composicion resulte ser exactamente igual a y. Por ejemplo,

escogiendo f(x) = x4 y g(x) = x3 + 2x + 1, obtenemos (f g)(x) = f(g(x)

)=

93


(g(x)

)4= (x3 + 2x + 1)4 = y, entonces, como f ′(x) = 4x3 y g′(x) = 3x2 + 2, tenemos

que

y′ =dy

dx= f ′

(g(x)

)· g′(x) = 4

(g(x)

)3 · g′(x) = 4(x3 + 2x + 1)3 · (3x2 + 2).

OBSERVACION 5.3 La regla de la cadena consiste en derivar la funcion que esta mas

afuera, evaluada en la funcion que queda al interior, y multiplicar este resultado por la

derivada de la funcion que quedo al interior. Si es necesario, se debe volver a aplicar la

regla de la cadena para la derivada de la funcion al interior.

94

5.6. REGLA DE LA CADENA

EJEMPLO 5.2

1. Sea f(x) = sen(tanx). Encontrar f ′(x).

Solucion: Ponemos F (x) = senx y G(x) = tanx. Entonces:

F(G(x)

)= sen

(G(x)

)= sen(tanx) = f(x).

Luego, como F ′(x) = cosx y por otra parte

G′(x) = (tanx)′ =

(senx

cosx

)′

=cosx · cosx− senx · (−senx)

cos2x

=cos2x + sen2x

cos2x=

1

cos2x= sec2x,

tenemos que

f ′(x) = F ′(G(x))·G′(x) = cos

(G(x)

)·G′(x) = cos(tanx) · sec2x.

2. Sea f(x) =3√

1 + tan(ln x). Hallar f ′(x).

Solucion: Ponemos F (x) = 3√

x y G(x) = 1 + tan(ln x). Entonces f(x) = F(G(x)

).

Sabemos que F ′(x) = 13x

13−1 = 1

3x−

23 y notemos que para encontrar G′(x) debemos

volver a aplicar la regla de la cadena, para obtener

G′(x) = S ′(T (x)

)· T ′(x) = sec2(ln x) · 1

x,

donde S(x) = tanx (ası que S ′(x) = sec2x), y T (x) = ln x (ası que T ′(x) = 1x). Luego,

f ′(x) = F ′(G(x))·G′(x) =

1

3

(G(x)

)− 23 ·G′(x) =

1

3

(1 + tan(ln x)

)− 23 · sec2(ln x) · 1

x.

EJERCICIOS 5.5

1. Usando regla de la cadena, encuentre una expresion para f ′(x), cuando:

a)f(x) = sen(cos(5x)

)b)f(x) =

√etan [(x+5)3]

c)f(x) = ln(x + 3

x− 2

)· cot

(x3 · e2x

)d)f(x) =

4√

x ln x− xsenex3

95


2. Utilizando los teoremas sobre derivacion, encuentra las derivadas de las siguientes

funciones

a) f (x) = cos (senx)− sen (cosx) b) f (x) = xcos(

1x

)− sen

(1x

)c) f (x) = sen (cos2x)− tan (senx) d) f (x) = sen4x + cos4x

e) f (x) = (2− x2) cosx2 + 2xsenx3 f) f (x) = (xsenx)−23

g) f (x) = tan6 (x2 − 2x (senx) + 1) h) f (x) = tan(

x2

)− cot

(x2

),

∀x6=nπ, n ∈ Zi) f (x) =

√sen (tan4x− cos2 (3x6))

3. Encuentra dydx

si

i) y = cot2(3x)

1+x2 ii) y = sen3(5x−

√2x2 + 1

)iii) y = 3x2 − 2xy − y2 iv) y = xcos

(√tan

((x2 + 1)2))

4. Calcular f ′ (π2

)si f (x) =

(sen x+cosxsen x−cosx

) 12 .

5. Sea g (x) =

f (x) · sen 1x

, si x 6= 0

0 , si x = 0, encuentra g′ (0) si f ′ (0) = f (0) = 0.

5.7. Derivadas de orden superior

Sabemos que la derivada de una funcion f define una nueva funcion que hemos llamado

funcion derivada de f o primera derivada de f , la cual hemos denotado por f ′. Recordemos

que Dom(f ′) ⊂ Dom(f). Ahora, derivando f ′ obtenemos la funcion derivada de f ′, que

con respecto a f viene a ser la segunda derivada de f , y la denotamos naturalmente f ′′. Notar

que Dom(f ′′) ⊂ Dom(f ′) ⊂ Dom(f). Ahora podemos derivar f ′′ y obtener la tercera deriva-

da de f , la que denotamos por f ′′′(x). Notar que Dom(f ′′′) ⊂ Dom(f ′′). Podemos continuar

derivando f cuantas veces queramos, hasta que la n-esima derivada no este definida para

ningun valor x ∈ Dom(f (n−1)).

NOTACION 5.2 Sea f una funcion n veces derivable en x, entonces:

f (1)(x) = f ′(x) denota la primera derivada de f en x (derivada de orden 1).

96

5.8. DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA

f (2)(x) = f ′′(x) denota la segunda derivada de f en x (derivada de orden 2).

f (3)(x) = f ′′′(x) denota la tercera derivada de f en x (derivada de orden 3).

f (4)(x) denota la cuarta derivada de f en x (derivada de orden 4).

......

f (n)(x) denota la n-esima derivada de f en x (derivada de orden n).

EJERCICIOS 5.6

1. Sea f(x) = 12sen(4x). Determine el valor de b para el cual se cumple la igualdad:

f ′′′(π

4

)− 7f ′

(π

2

)= b

[144f

(π

8

)+ 12

√2f ′

(− π

2

)].

2. Encontre una formula general para f (n)(x) cuando:

a)f(x) = senx b)f(x) = ex c)f(x) = ln x

OBSERVACION 5.4 Sea f :]a, b[→ R una funcion derivable en ]a, b[. Entonces decimos que

f es de clase Ck en ]a, b[(f ∈ Ck(]a, b[)

)si las derivadas de orden superior f ′, f ′′,... ,fk son

todas funciones continuas en ]a, b[. Si f (k) es continua para todo k ∈ N, entonces decimos

f es de clase C∞ (f ∈ C∞(]a, b[)

). Por ejemplo, las funciones del Ejercicio 2 previo son de

clase C∞ en R, mientras que la funcion f(x) = x13 ni siquiera es de clase C1 en R, pues

f ′(0) no esta definida.

EJERCICIO 5.1 Determine de que clase es en R la funcion f(x) = x53 .

5.8. Derivada de una funcion inversa

TEOREMA 5.5 [Teorema Derivada de una Funcion Inversa]

Sea f una funcion continua e invertible en ]a, b[ y sea c ∈]a, b[. Supongamos que ∃f ′(c),f ′(c) 6= 0 y f(c) = k. Entonces

∃(f−1)′(k) ∧ (f−1)′(k) =1

f ′(c).

TEOREMA 5.6 [Teorema Derivada de Funciones Trigonometricas Inversas]

Tenemos en sus correspondientes dominios

(arc sen x)′ =1√

1− x2(arc cos x)′ = − 1√

1− x2(arctanx)′ =

1

1 + x2

(arccotx)′ = − 1

1 + x2(arcsecx)′ =

1

|x|√

x2 − 1(arccscx)′ = − 1

|x|√

x2 − 1

97


EJERCICIOS 5.7

1. Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = cos√

ln x + arcsen(2x)− e5x b) f(x) = ln(2x + arctan(x− 1)2

)+ (x− 1)2

2. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones. En cada caso, la funcion f se

supone definida para los valores reales que permiten que la expresion f (x) tiene

sentido.

a) f (x) =√

x− arctan√

x b) f (x) = arc cos 1−x√2− arcsen 1+x√

2

c) f (x) = arcsen (senx− cosx) d) f (x) = arctan (sen2x− tan2x)

e) f (x) = arccot(

1+x1−x

)f) f (x) = (arctanx2)

3 − arcsenx2

g) f (x) = arcsen (1 + x) h) f (x) = arcsec√

1 + x

i) f (x) = 11+arctanx

j) f (x) = arcsen (cos2 (1 + x2))

3. Demuestra que (arccotx− arctan

1

x

)′

= 0 ∀x ∈ R; x 6= 0

4. Encuentra la derivada de la funcion

f (x) = x (arcsenx)2 − 2x + 2√

1− x2 arcsenx

y expresala en su forma mas simple.

5.9. Derivacion implıcita

Sea f una funcion real. La expresion y = f(x), con x ∈ Dom f , corresponde a una ecuacion

en dos variables donde la variable y esta definida explıcitamente en funcion de la variable

x. En este caso decimos que y esta definida explıcitamente por la funcion f(x).

EJEMPLO 5.3 Las siguientes funciones estan definidas explıcitamente,

a) y = x3 − 4x + 2 b) y =x + 2

x− 2, x 6= 2 c) y = ex + tanx.

Sin embargo, no todas las funciones estan definidas explıcitamente. Una expresion del

tipo F (x, y) = 0, donde F representa una funcion en x e y, corresponde a una ecuacion

en dos variables donde la variable y esta ligada mediante F a la variable x. En este caso

decimos que y esta definida implıcitamente por una o mas funciones que dependen de x.

98

5.9. DERIVACION IMPLICITA

EJEMPLOS 5.4

1. La ecuacion xy = 1 determina una funcion implıcita que depende de x, la cual puede

escribirse explıcitamente como:

y =1

x, x 6= 0.

2. La ecuacion x2 + 3y2 = 5 determina dos funciones implıcitas que dependen de x, las

cuales pueden escribirse explıcitamente como:

y =

√5− x2

3y = −

√5− x2

3.

3. La ecuacion x5 + 3x− 1 = 2y3 − 5y2 no podemos resolverla explıcitamente para y en

funcion de la variable x, pero es posible que existan una o mas funciones f tales que

si ponemos y = f(x), la ecuacion

x5 + 3x− 1 = 2[f(x)]3 − 5[f(x)]2

se satisface para valores de x ∈ Dom f . En este caso la variable y (equivalentemente

la funcion f ), esta definida implıcitamente por la ecuacion dada.

Puesto que ya sabemos derivar funciones definidas explıcitamente, ahora estamos intere-

sados en derivar funciones definidas implıcitamente. Para ello es conveniente usar los

teoremas “algebra de derivadas” y “regla de la cadena”, interpretando la variable y como

y = f(x), y derivar directamente sobre la ecuacion.

NOTACION 5.3 Si y = f(x) entonces

y′ =dy

dx= f ′(x) =

df

dx(x)

y′′ =d2y

dx2= f ′′(x) =

d2f

dx2(x)

y′′′ =d3y

dx3= f ′′′(x) =

d3f

dx3(x)

.....

y(n) =dny

dxn= f (n)(x) =

dnf

dxn(x)

EJERCICIOS 5.8

99


1. Hallardy

dxsi:

a) y3 + y2 − 5y − x2 = −4 b) xy2 − yx2 = 3 c) sen(xy) = ey2

+ 2.

2. Calcular la pendiente de la recta tangente a la grafica de x2 + 4y2 = 4 en el punto(√2,− 1√

2

). (La grafica es una elipse de lado mayor 2 y lado menor 1, este ultimo

sobre el eje y).

3. Calcular la pendiente de la grafica de 3(x2 + y2)2 = 100xy en el punto (3, 1).

4. Hallard2y

dx2a partir de x2 + y2 = 25. Encontrar la ecuacion de la recta normal a esta

curva en el punto (4, 3).

5. Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal al grafico de:

a) la curva x2 + 2x = y en el punto (1, 3).

b) la curva y2 = x en el punto (1,−1).

TEOREMA 5.7 [Teorema Una Aplicacion de la Derivacion Implıcita]

Sean f y g dos funciones reales con D = Dom f∩Dom g 6=. Si f y g son derivables en c ∈ D

y supongamos que f(c) > 0, entonces la funcion real H definida por H(x) = [f(x)]g(x) es

derivable en c y

H ′(c) = H(c) ·

g′(c) · ln f(c) + g(c) · f(c)

f ′(c)

.

Demostracion: H(c) es un valor estrictamente positivo, entonces:

H(c) = [f(c)]g(c) =⇒ ln H(c) = g(c) · ln f(c)

=⇒ H ′(c)

H(c)= g′(c) · ln f(c) + g(c) · f ′(c)

f(c)

=⇒ H ′(c) = H(c) ·

g′(c) · ln f(c) + g(c) · f(c)

f ′(c)

.

EJERCICIOS 5.9 Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = (cosx)sen x, x ∈]0,

π

2

[b) f(x) = cos(xsen x), x ∈

]0,

π

2

[.

100

5.10. ECUACIONES PARAMETRICAS

5.10. Ecuaciones parametricas

Supongamos que queremos representar el movimiento de una partıcula en el plano R2.

Es claro que este movimiento corresponde al grafico de una curva C. Entonces las coor-

denadas (x, y) de la posicion de la partıcula en cualquier instante t estan dadas por las

ecuaciones

x = f(t) y y = g(t).

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones parametricas de la curva C. Notar que la

ecuacion cartesiana de una curva C determinada por los puntos

(x, y) ∈ R2 : x = f(t) ∧ y = g(t)

puede obtenerse considerando y = F (x) siempre que x = f(t) y y = g(t) = F(f(t)

).

EJEMPLOS 5.5

1. Sea C la curva determinada por las ecuaciones parametricas x = acost y y = a sent,

t ∈ [0, 2π[. Determine la ecuacion cartesiana para la curva C y trace su grafica en el

plano R2.

Solucion: Notemos que

x = acost ∧ y = a sent =⇒ x2 + y2 = a2cos2t + a2 sen2t

=⇒ x2 + y2 = a2.

Luego, la ecuacion cartesiana de la curva C esta dada por la ecuacion x2 + y2 = 1,

que corresponde a la ecuacion de la circunferencia unitaria (de radio 1) centrada en

el origen (vea figura 1).

2. Sea C la curva determinada por las ecuaciones parametricas x = t2 y y = t3, t ≥ 0.

Determine la ecuacion cartesiana para la curva C y trace su grafica en el plano R2.

Solucion: Notemos que

x = t2 ∧ y = t3 =⇒ x12 = t ∧ y

13 = t

=⇒ y13 = x

12

=⇒ y = x32 .

Luego, la ecuacion cartesiana de la curva C esta dada por la ecuacion y = x32 , con

x ≥ 0 (vea figura 2).

101


Debemos advertir que no siempre sera facil determinar la ecuacion cartesiana de una

ecuacion definida parametricamente, ası como tampoco sera facil determinar su grafi-

ca. Sin embargo, como veremos mas adelante, es posible obtener informacion acerca de

su grafica, conociendo algunas derivadas de la variable y considerada como una fun-

cion que depende de x. Nos interesa, por lo tanto, derivar ecuaciones que esten definidas

parametricamente, usando el teorema “regla de la cadena” y la derivacion implıcita. En

efecto, recordemos que la ecuacion cartesiana de una curva C definida parametricamente

por (x, y) ∈ R2 : x = f(t) ∧ y = g(t) puede obtenerse considerando y = F (x) siempre

que x = f(t) y y = g(t) = F(f(t)

).En este caso, podemos obtener y′ =

dy

dxcomo sigue:

dy

dt=

dy

dx· dx

dt︸︷︷︸Regla de la Cadena

=⇒ dy

dx=

dydtdxdt

,︸︷︷︸Despejando dy

dx

sidx

dt6= 0.

De igual forma podemos encontrar

y′′ =d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

d(y′)

dx=

d(y′)dtdxdt

, y′′′ =d3y

dx3=

d

dx

(d2y

dx2

)=

d(y′′)

dx=

d(y′′)dtdxdt

y ası sucesivamente.

EJERCICIOS 5.10 Encontrar y′, y′′ y y′′′ a partir de las ecuaciones parametricas:

a) x = 2t− t2, y = 3t− t3 b) x = acost, y = a sent.

102

5.11. VARIACIONES RELACIONADAS

5.11. Variaciones relacionadas

Hemos visto como usar la regla de la cadena para calculardy

dximplıcitamente. Ahora con-

sideraremos funciones definidas por un parametro comun t, acerca de las cuales conoce-

mos la ecuacion cartesiana que las relaciona, y derivaremos implıcitamente esta ecuacion

con respecto al parametro t, para obtener una ecuacion en variaciones relacionadas, en la

cual se expresa la razon de cambio de cada funcion definida parametricamente con respecto

al parametro comun t. Por ejemplo, el agua que sale desde un deposito conico, el volu-

men, el radio y la altura del nivel del agua son funciones que dependen del tiempo t ≥ 0

sabiendo que ellas se relacionan por la ecuacion

V =π

3r2h,

entonces derivamos implıcitamente con respecto al tiempo t, para obtener la ecuacion en

variaciones relacionadas

dV

dt=

π

3

[2r

dr

dth + r2dh

dt

]=

π

3

[2rh

dr

dt+ r2dh

dt

].

Aquı vemos que la razon de cambio del volumen V esta ligado a la razon de cambio de h y

r, con respecto al tiempo t, mediante la ecuacion anterior (vea la figura 3).

EJEMPLOS 5.6

1. Sean x = x(t) e y = y(t) dos funciones derivables para t > 0, que estan relacionadas

por la ecuacion y = x2 + 3. Calcular dydt

para x = 1, dado que dxdt

= 2 si x = 1.

103


2. Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas concentricas.

El radio r de la onda exterior crece a ritmo constante 30cm/seg. Cuando su radio es

120cm, ¿a que ritmo esta creciendo el area total A de la zona perturbada?

3. Se bombea aire en un globo esferico a razon de 4, 5cm3/min (volumen de aire que se

tranpasa al globo en un minuto). Hallar la razon de cambio del radio cuando este es

2cm.

4. Un avion vuela a 6 millas de altitud en lınea recta hacia la posicion de un radar. Sea

s la distancia (en millas) entre el avion y el radar. Si s esta creciendo a razon de 400

millas por hora. Cuando s es 10 millas, ¿Cual es la velocidad del avion?

EJERCICIOS 5.11

1. Un automovil viaja a una velocidad de 18,288 mseg

se aproxima a un cruce y cuando

esta a 365,76m de este, un segundo automovil se desplaza a 12,192 mseg

en direccion al

cruce de tal forma que sus trayectorias forman un angulo recto. ¿Con que velocidad

se separan los automoviles 10seg despues que el segundo pasa por el cruce?

2. Un estanque conico tiene una profundidad de 3,658m y un radio de 1,829m en su

parte superior. Si se vierte agua en el estanque a razon de 0,1133 m3

min . ¿Con que rapi-

dez esta cambiando el radio de la superficie del agua en el estanque cuando la pro-

fundidad es de 1,829m?

3. Una escalera de 4,57m esta apoyada contra una pared vertical. Si el extremo superior

de la escalera se desliza hacia abajo con una velocidad de 0,61 mseg

, determine la ve-

locidad con que se desplaza el extremo inferior en el instante en que dicho extremo

esta a 3,66m de la pared.

4. Un hombre de 1,52m de estatura se aleja de una luz, que esta 4,57m sobre el suelo,

a una velocidad de 1,22 mseg

. Determine la velocidad con que se esta desplazando la

sombra proyectada por el hombre sobre el suelo cuando el esta a 9,14m de la base de

la luz.

5. Una partıcula se mueve en la orbita circular x2 + y2 = 1. Cuando pasa por el pun-

to(

12,√

32

)su ordenada decrece a razon de 3 unidades por segundo. ¿En que razon

esta variando la abscisa en ese mismo instante?

104

5.11. VARIACIONES RELACIONADAS

6. Una piedra se lanza dentro de un estanque y produce ondas que se expanden a

partir del punto de impacto. Cuando el radio es de 2,4334m se observa que el radio

esta creciendo con una velocidad de 0,4572 mseg

. ¿Con que rapidez esta creciendo en

ese instante el area encerrada por la onda circular?

7. Un punto P se mueve a lo largo de la curva y = x3 − 3x2. Cuando P esta en (1,−2)

su abscisa esta creciendo a una velocidad de 3 unidades por segundo. Encuentre la

velocidad de crecimiento de la distancia de P al origen.

8. La resistencia electrica de cierto resistor, como funcion de la tempe-

ratura T , esta dada por R = 4, 060 + 0, 003T 2, donde R se mide en ohms(Ω) y T

en grados celcius(C). Si la temperatura esta creciendo a una velocidad de 0,1Cseg

,

encuentre la velocidad con la que esta cambiando la resistencia cuando T = 150C.

9. Un balon se infla a razon de 15 m3

seg. ¿A que razon esta creciendo el diametro en el

instante en que el diametro ha alcanzado 10m?

10. Un bebedero tiene 4m de longitud y su seccion transversal es un triangulo equilatero

con lados de 61cm de longitud. Si se vierte agua en el bebedero a razon de 1 m3

min . ¿Con

que rapidez aumenta el nivel del agua cuando la profundidad de la misma es de

15cm?

11. Cuando un cohete esta a 4000m de altura se eleva verticalmente con una velocidad

de 540kmh

. Calcule con que rapidez aumenta el angulo de elevacion del cohete, en ese

instante, cuando es visto por un observador sobre la tierra a 9km de la plataforma

de lanzamiento.

105


106

Capıtulo 6

Aplicaciones de la Derivada

6.1. Maximos y mınimos de una funcionEn este momento es conveniente recordar la definiciones de maximo absoluto y mınimo

absoluto de una funcion introducidas en 3.11. Estos conceptos tienen que ver con el valor

maximo y el valor mınimo que alcanza la funcion en todo su dominio, esto es, desde un

punto de vista global. A continuacion introducimos dos definiciones que tienen que ver

con el concepto de maximo y mınimo de una funcion en una parte de su dominio, es decir,

desde un punto de vista local.

DEFINICION 6.1 Sea f : I → R una funcion, donde I es un intervalo en R.

i) Sea A ⊂ I un intervalo abierto. Si existe c ∈ A tal que

f(x) < f(c), ∀x ∈ A,

entonces decimos que f(c) es un maximo relativo de f .

ii) Sea A ⊂ I un intervalo abierto. Si existe c ∈ A tal que

f(c) < f(x), ∀x ∈ A,

entonces decimos que f(c) es un mınimo relativo de f .

107

CAPITULO 6. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Recordemos ahora el siguiente Teorema:

TEOREMA 6.1 [Teorema Criterio para Maximos y Mınimos Absolutos]

Sea f : [a, b] → R una funcion continua; entonces ∃s, t ∈ [a, b] tales que

f(s) = maxx∈ [a,b]

f(x) = supx∈ [a,b]

f(x) ∧ f(t) = mınx∈ [a,b]

f(x) = ınfx∈ [a,b]

f(x).

DEFINICION 6.2 Sea f : I → R una funcion real, y sea A ⊂ I un intervalo abierto. Si p ∈ A

es tal que f ′(p) = 0 entonces decimos que p es un punto crıtico de f .

OBSERVACION 6.1 Un punto crıtico p es candidato a que f(p) sea maximo o mınimo rela-

tivo de f , pues f ′(p) = 0 indica que la recta tangente a la grafica de f tiene pendiente cero

en el punto(p, f(p)

).

OBSERVACION 6.2 De acuerdo al teorema previo, la definicion de punto crıtico y la ob-

servacion anterior, concluimos que si f : [a, b] → R es una funcion continua, entonces f

alcanza sus valores extremos en a, b o en los puntos crıticos p de f .

6.2. Aplicaciones de Maximos y mınimos en intervalos cer-

rados

Antes de resolver los siguientes problemas les recomiendo seguir los siguientes pasos:

1ro) Trace un dibujo relacionado con el problema, identificando los datos y los valor

incognitos que debe encontrar. De ser necesario, debe usar sus conocimientos ge-

ometricos o relaciones conocidas para reducir todo a una unica incognita.

2do) Determine una funcion en terminos de su unica incognita y establezca un dominio

logico para ella.

3ro) Encuentre los puntos crıticos de la funcion.

4to) Analice los valores extremos de la funcion, evaluandola en los puntos crıticos en-

contrados y en los extremos del intervalo de definicion (dominio de la funcion).

5to) Compare los valores obtenidos para la funcion en los puntos evaluados y concluya.

EJEMPLOS 6.1

108

6.3. TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

1. Un fabricante de cajas de carton quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rec-

tangulares de carton cortando cuadrados en las esquinas y doblando hacia arriba. Si

las dimensiones de cada trozo de carton son de 10cm de ancho por 17cm de largo,

determinar la longitud que deben tener los lados de los cuadrados a cortar para que

la caja resultante tenga el mayor volumen posible.

2. Sean A y B dos puntos opuestos a orillas de un rıo recto de ancho constante igual a 3

kilometros. Un tercer punto C esta en la orilla donde esta B, a k kilometros de B. Una

Companıa telefonica desea tender un cable desde A hasta C. Si el costo por kilometro

de cable tendido sobre tierra es de $10.000 y el costo por kilometro de cable tendido

bajo el rıo (cable subterraneo) es de $12.500, encuentre el costo mınimo del cableado

desde A hasta C para k = 2 y para k = 10. En cada caso senale las condiciones bajo

las cuales el costo encontrado es mınimo. (SUG: Considere un punto arbitrario P

entre B y C, de modo que al cable comience desde A, se dirija hacia P y luego hacia

C)

3. Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede

inscribirse en un cono circular recto cuyo radio mide 5cm y su altura es de 12cm.

6.3. Teorema de Rolle y Teorema del valor medio

TEOREMA 6.2 [Teorema de Rolle]

Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Si f(b) = f(a),

entonces:

∃c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

TEOREMA 6.3 [Teorema del Valor Medio]

Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Si f(b) = f(a),

entonces:

∃c ∈]a, b[ tal que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

EJERCICIOS 6.1

1. Verifique las hipotesis del Teorema de Rolle se cumplen para la funcion dada en

el intervalo correspondiente. Luego, encuentre un valor c adecuado para el cual se

109


cumpla la conclusion del Teorema de Rolle.

a) f(x) = x2 − 4x + 3; [1, 3] b) f(x) = x3 − 2x2 − x + 2; [1, 2]

c) f(x) = sen(2x);[0, π

2

]2. Verifique las hipotesis del Teorema del Valor Medio se cumplen para la funcion dada

en el intervalo correspondiente. Luego, encuentre un valor c adecuado para el cual

se cumpla la conclusion del Teorema del Valor Medio.

a) f(x) = x2 + 2x− 1; [0, 1] b) f(x) = x3 + x2 − x; [−2, 1]

c) f(x) =√

1− senx;[0, π

2

]3. Si f(x) = x4− 2x3 + 2x2− x, entonces f ′(x) = 4x3− 6x2 + 4x− 1. Demuestre usando

el Teorema de Rolle que la ecuacion 4x3 − 6x2 + 4x − 1 = 0 tiene por lo menos una

raız real en el intervalo ]0, 1[.

6.4. Criterios de crecimiento y decrecimiento. Criterios de

maximos y mınimos relativos

DEFINICION 6.3 Sea I un intervalo real. Llamamos interior de I al mayor intervalo abierto

(en el sentido de la inclusion) totalmente contenido en I . El interior de I se denota por

int(I).

TEOREMA 6.4 [Criterio de la 1ra derivada. Crecimiento y/o decrecimiento de una fun-

cion]

Sea f : I → R una funcion continua en un intervalo I y derivable en int(I). Entonces:

i) f ′(x) > 0, ∀x ∈ int(I) =⇒ f es creciente () sobre int(I).

ii) f ′(x) > 0, ∀x ∈ int(I) =⇒ f es decreciente () sobre int(I).

COROLARIO 6.1 [Criterio de la 1ra derivada. Maximos y/o mınimos relativos de una fun-

cion]

Sea f : I → R una funcion continua en un intervalo I y derivable en int(I) salvo tal vez

en c ∈ int(I).

110

6.5. APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS EN INTERVALOS REALES

i) Si ∃δ > 0 tal que f ′(x) > 0, ∀x ∈ ]c− δ, c[ y f ′(x) < 0, ∀x ∈ ]c, c + δ[, entonces

f(c) es un maximo relativo de f en I.

ii) Si ∃δ > 0 tal que f ′(x) < 0 ∀x ∈ ]c− δ, c[ y f ′(x) > 0 ∀x ∈ ]c, c + δ[, entonces

f(c) es un mınimo relativo de f en I.

TEOREMA 6.5 [Criterio de la 2da derivada para Maximo y/o mınimo relativo de una fun-

cion]

Sea f : I → R una funcion continua en un intervalo I y dos veces derivable en el interior

de I . Sea c ∈ int(I) un punto crıtico de f . Entonces:

i) f ′′(c) < 0 =⇒ f(c) es un maximo relativo de f en I .

ii) f ′′(c) > 0 =⇒ f(c) es un mınimo relativo de f en I .

iii) f ′′(c) = 0 =⇒ no se puede concluir nada sobre f(c).

EJERCICIOS 6.2

1. Usando el criterio de la 1ra derivada, determine los intervalos de crecimiento y de-

crecimiento, maximos y/o mınimo relativos de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x3 + 2x2 − 12x− 3 b) f(x) = x2ex c) f(x) =1

x, x 6= 0.

2. Usando el criterio de la 2da derivada, encuentre los extremos relativos de las sigu-

ientes funciones:

a) f(x) = x3 − 2x− 2 b) f(x) = xex c) f(x) =x2 − 27

x− 6, x ∈ [0, 6].

6.5. Aplicaciones de maximos y mınimos en intervalos reales

cualesquiera

Para resolver estos problemas, primero deben notar que los extremos del intervalo en que

trabajan no son necesariamente cerrados. Sin embargo pueden seguir pasos similares a los

establecidos en 5.2, solo cambien el paso 4to) por:

111


4to) Analice los valores extremos de la funcion usando el criterio de la 2da derivada.

EJEMPLOS 6.2

1. Hallar las dimensiones de un tambor cilındrico con una capacidad de 2000cm3 que

tenga la menor superficie posible.

2. Un bote salvavidas esta a 20km al sur de un barco de carga. El salvavidas viaja a

20km/h y el cargero a 40km/h en perpendicular al poniente. Si debido a la densa

niebla el radio maximo de vision es de 10km, ¿Podran visualizarse personas de am-

bos barcos?.

EJERCICIOS 6.3 Resuelva los siguientes problemas:

1. Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima que se puede inscribir en la

elipse de ecuacionx2

a2+

y2

b2= 1

2. Un triangulo rectangulo tiene hipotenusa de longitud 13cm, y un cateto mide 5cm.

Encontrar las dimensiones del rectangulo de area maxima que tiene un lado en la

hipotenusa y los vertices del lado opuesto en los catetos. ¿Cual es el resultado si la

hipotenusa es Hcm y la altura del triangulo es de hcm?

3. La suma de tres numeros positivos es 30. El primero, mas el doble del segundo, mas

el triple del tercero suman 60. Elegir los numeros de manera que el producto de los

tres sea el mayor posible.

4. Un fabricante produce copas de aluminio de un volumen dado (16cm3) con la forma

de cilindros circulares rectos abiertos en el extremo superior. Hallar las dimensiones

necesarias para que la cantidad de material empleado sea mınima. ¿Cual es el resul-

tado si el volumen dado es V0?

5. Determinar el segmento mas corto cuyos extremos estan en la parte positiva de los

ejes x e y, y que pasa por el punto (1, 8) .

6. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor area lateral que se puede inscribir en

una esfera de radio R.

112

6.6. CONCAVIDAD. PUNTOS DE INFLEXION. TRAZADO DE CURVAS

7. Una pieza de alambre de longitud L se corta en dos partes. Con una de ellas se forma

un cuadrado y con la otra una circunferencia.

(a) ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las areas sea mınima?

(b) ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las areas sea maxima?

8. Una ventana tiene forma de un triangulo rectangulo con su parte superior en forma

de triangulo equilatero. el perımetro de la ventana es 5m. Calcule sus dimensiones

para que deje pasar el maximo de luz.

9. Los margenes superior e inferior de una pagina son ambas de 1,5cm, y los margenes

laterales son de 1cm cada uno. Si el area del material impreso por pagina es fijo e

igual a 30cm2, ¿Cuales son las dimensiones de la pagina de area total mınima?

10. El interior de una caja de fondo cuadrado y sin tapa debe revestirse de plomo. Si el

volumen de la caja debe ser de 32lt, ¿Cuales deben ser sus dimensiones para que la

cantidad de plomo sea mınima?

11. Se desea almacenar aceite en tambores cilındricos de 375cm3, ¿que dimensiones del

tambor corresponden a la menor cantidad de material utilizado en su fabricacion?

12. Un agricultor desea emplear cortadores de tomates para cosechar 62500 tomates.

Cada cortador puede cosechar 625 tomates por hora y se pagan $6 por hora. Ademas,

el agricultor debe pagar un supervisor a $10 la hora y pagar al sindicato $10 por cada

cortador empleado.

(a) ¿Cuantos cortadores deberıa emplear el agricultor para minimizar el costo de la

cosecha de tomates?

(b) ¿Cual es el costo mınimo para el agricultor?

6.6. Concavidad. Puntos de Inflexion. Trazado de curvas

DEFINICION 6.4 Sea f :]a, b[→ R una funcion derivable en un punto c ∈ ]a, b[. El grafico

de f es:

i) concavo hacia arriba (o convexo) (∪) en el punto (c, f(c)) si:

∃δ > 0 tal que c ∈]c− δ, c + δ[= Iδ ⊂ ]a, b[ ∧ ∀x ∈ Iδ, x 6= c, (x, f(x)) ∈ graf f

esta sobre la recta tangente a la grafica en el punto (c, f(c)).

113


ii) concavo hacia abajo (o concavo) (∩) en el punto (c, f(c)) si:

∃δ > 0 tal que c ∈]c− δ, c + δ[= Iδ ⊂ ]a, b[ ∧ ∀x ∈ Iδ, x 6= c, (x, f(x)) ∈ graf f

esta bajo la recta tangente a la grafica en el punto (c, f(c)).

TEOREMA 6.6 Sea f :]a, b[→ R una funcion derivable en un punto c ∈ ]a, b[ y asumamos

que ∃f ′′(c); entonces:

i) f ′′(c) > 0 ⇒ graf f es concavo hacia arriba en (c, f(c)).

ii) f ′′(c) < 0 ⇒ graf f es concavo hacia abajo en (c, f(c)).

DEFINICION 6.5 Sea f :]a, b[→ R una funcion derivable y sea c ∈]a, b[. (c, f(c)) es un punto

de inflexion del graf f si en tal punto el graf f cambia de concavidad.

DEFINICION 6.6 Sea f :]a, b[→ R una funcion derivable y sea c ∈]a, b[ tal que (c, f(c)) es

un punto de inflexion del graf f . entonces si ∃f ′′(c), f ′′(c) = 0.

EJERCICIOS 6.4

1. Encontrar para cada una de las siguientes funciones los puntos de inflexion, si los

hay, y los intervalos en que la funcion es concava hacia arriba y/o abajo:

a) f(x) = 2 sen3x; x ∈ [−π, π].

b) f(x) = ex.

c) f(x) =2

x2 + 3.

d) f(x) = 3x4 − 4x3.

2. Realizando un analisis previo que implique el estudio de: puntos crıticos, intervalos

de crecimiento y/o decrecimiento, maximos y/o mınimos relativos y/o absolutos,

concavidad hacia arriba y/o hacia abajo, puntos de inflexion, asıntotas horizontales,

verticales y/u oblicuas; trace las curvas (o graficas) de las siguientes funciones:

a) f(x) =x

x2 − 1.

b) f(x) = (x + 2)23 (x− 1)2.

c) f(x) =x2

x− 1.

114

6.7. REGLA DE L’HOPITAL

6.7. Regla de L’Hopital

La regla que a continuacion presentamos facilita enormemente el calculo de algunos lımites.

En particular, si

lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)=

0

0∨ lım

x→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)=∞∞

TEOREMA 6.7 [Teorema Regla De L’Hopital]

i) Suponga que lımx→a

f(x) = 0 y lımx→a

g(x) = 0, entonces:

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x),

con a ∈ R ∪ −∞, +∞.

ii) Suponga que lımx→a

f(x) = ∞ y lımx→a

g(x) = ∞, entonces:

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x),

con a ∈ R ∪ −∞, +∞.

EJEMPLOS 6.3 Hallar los siguientes lımites.

a) lımx→−π

2

cosx

senx− 1b) lım

x→∞

π2− arctanx

1x

c) lımx→∞

ex

x3d) lım

x→0+

1x

e1

x2

Otras formas indeterminadas son las siguientes:

0 · ∞, 00, 1∞, ∞0, ∞−∞

las cuales ilustramos con los siguientes ejemplos.

EJEMPLOS 6.4 Hallar los siguientes lımites.

a) lımx→0

x ln x b) lımx→0

xx c) lımx→∞

(1 +

1

x

)x

d) lımx→∞

x1x e) lım

x→0(cscx− cotan x)

115

I. E. S. Fray Luis de León Jesús E scuder o Ma rtín Func. Continuas - 1

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Matemáticas II - 2º Bach.: Científico - Técnico - C. de la Salud

PARTE III. ANÁLISIS.

III.1. FUNCIONES CONTINUAS.

1. Introducción. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Axioma del extremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La noción de límite de una fu nción. Propied ades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Concepto intuitivo de límite de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Límite de un a función. De finiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. Límites laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D. Límites infinitos. Asíntotas v erticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E. Límites en el infinito. Asín totas horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F. Límites infinitos en el infinito. Ra mas parab ólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G. Límites infinitos en el infinito. A síntotas oblícuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H. Propiedade s de los límites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Límites y ope raciones con fu nciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J. Límites de algu nas funcione s elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K. Indetermina ciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L. El número e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M. Infinitésimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Continuidad de una func ión en un pu nto y en un in tervalo. Propiedad es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Continuidad de una función en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. Continu idad lateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D. Continuidad en un intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E. Criterios de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F. Continuidad y operacione s con funcion es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G. Algunos ejem plos importan tes de funciones co ntinuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H. Discontinuidad es de una fun ción. Tipos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Principales teoremas referentes a funciones continuas en un intervalo cerrado y acotado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A. Teorema de Bolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. Teorema de Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. Ejemplos d e sus aplicaciones en la detección de raíces d e ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D. Teorem a del máxim o de Weiertrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Ejercicios p ropuesto s en las P.A .U.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Otros ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. ANEXO: INDUCCIÓN MATEMÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


1 Como es usual, x<y significa que x#y y x…y.

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


1. INTRODUCCIÓN. LOS NÚMEROS REALES.

Los números reales, R, son la base fundamental del cálculo diferencial e integral. En su estudio se utilizan las

propiedades de los números reales, explícita o implícitamente. En esencia, una función no es más que un conjunto de pares

de núm eros reales.

No los estudiaremos rigurosamente, sino que daremos las reglas que nos perm itan manejarlos con la mayor soltura

posible.

1. (R,+,@) = Cuerpo conmutativo.

2. En R se define una relación de orden, #, que verifica las siguientes propiedades para todos x, y, z:

Reflexiva: x#x. Transitiva: x#y e y#z Y x#z.

Antisimétrica: x#y e y#x Y x=y. Orden total: x<y o x=y o y<x.1

Ejercicio de repaso . (Intervalos y entornos). La relación de orden # permite definir algunos subconjuntos de

los números reales que se utilizan con mucha frecuencia. Escribe la definición completa de todos ellos y añade a su derecha

un dibujo aclaratorio:

[a,b] = x0R / a # x # b(a,b) = (a,b] = [a,b) = E(a,r) = (a-r,a+r)E*(a,r) = E(a,r)-a[a,4) = x0R / x $ a(a,4) = (-4,a] = (-4,a) =

3. Axioma de continuidad (Cantor). Sean I1=[a1,b1], I2=[a2,b2], I3=[a3,b3], ... una sucesión de intervalos cerrados

encajados cada un o en el an terior, es dec ir, I1 e I2 e I3 e ... tales que la sucesión de sus longitudes bn-an tiende a

cero. En tonces, existe un único punto, c, común a tod os ellos. Es decir: .

A. DEFINICIONES.

1) Un núm ero real c es cota superior de un co njunto A de R si c$a para cualquiera a0A.

2) Un conjunto está acotado superiorm ente si tiene cota superior.

3) Un núm ero real c es cota inferior de un co njunto A de R si c#a para cualquiera a0A.

4) Un conjunto está acotado inferiormente si tiene cota inferior.

5) Un conjunto está acotado si lo está superiormente e inferiormente.

Un conjunto de números reales puede estar o no acotado. Si lo está tiene infinitas cotas su periores. ¿Habrá alguna que

sea la menor d e todas?

6) Extremo superior o supremo de un conju nto A, es la men or de sus cotas sup eriores.

7) Si el extremo superior pertenece al propio conjunto, se le llama máximo.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


8) Extremo inferior o ínfimo de un conju nto A, es la may or de sus cotas inferiore s.

9) Si el extremo inferior pertenece al propio conjunto, se le llama mínimo.

Ejercicios.

1. Dados los siguien tes conjuntos:

A=N, B=Q, C=(0,7), D=1,2,3,4, E= ;n0N,

F= ; n0N, G= ; n0N, H=x2; -1<x<1,

I=x; x 2+x+1>0, J= ; n0N y n…0, K=x ; x2-3x+2>0 y x>0.

a) ¿Cuáles están acotados superiormente?

b) Da varias cotas superiores de los que estén acotados superiormente.

c) Localiza el suprem o, si lo hay, de cada u no de ellos.

d) Determ ina el máxim o, si existe, de cada uno de ellos.

e) ¿Cuáles están acotados inferiormente?

f) Da varias cotas inferiores de los que estén acotados inferiormente.

g) Localiza el ínfim o, si lo hay, de cada u no de ellos.

h) Determ ina el mínimo , si existe, de cada uno d e ellos.

i) ¿Alguno de los conjuntos está acotado?Solución. Sup(E)=1=m áx(E); inf(E)=0. Sup(F )=2=máx(F ); inf(F)=1. Sup(G)= e; inf(G)=2=min(G ).

Sup(H)=1; inf(H)=0=min(H). I no está acotado ni sup. ni inf. Inf(K)=0; no está acotado sup.

En Q hay conjuntos acotados superiormente que no tienen extremo superior: x / x2<2 tiene infinitas cotas superiores

pero ningu na de ellas es la men or de todas.

Sin embar go, esto n o ocurre en R. Ésta es precisam ente la propiedad fundamental que caracteriza a R y que enunciamos

a continuación.

B. AXIOMA DEL EXTREMO.

«En R se verifica que: a) Todo conjunto acotado superiormente tiene supremo. b) Todo conjunto acotado in-

feriormente tiene ínfimo. c) Todo conjunto acotado tiene supremo e ínfimo».

2. LA NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. PROPIEDADES.

A. CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Un aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de

límite de una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable x),

mientras que su altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La pista es

en este caso asíntota horizontal de la trayectoria del avión.

Dada una fun ción f, la pregunta que hac emos e s: «Si los valores de x se

aproximan hacia un número a, ¿a qué núm ero se aproximan los valores de

f(x)?».

Observando las gráficas sig uientes se p uede co ntestar intuitiv amente a

preguntas de ese tipo:


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))



))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


¿Qué ocurre con f(x) en las proximidades del 3?

f(3+*) = -3-*+2 = -1-*. Siendo *…0.

Si * 6 0, 3+* 6 3, f(3+*) 6 -1.

¿Qué ocurre con g(x) en las proximidades del 1?

g(1+*) = (1+*)²+1 = *²+2*+2. Siendo *…0.

Si * 6 0, 1+* 6 1, g(1+*) 6 2.

¿Qué ocurre con h(x) en las proximidades del 2?

h(2+*) = = = *+4. Siendo *…0.

Si * 6 0, 2+* 6 2, h(2+*) 6 4.

‚ ¿Para qué valores de x ocurre que h(x)0E(4 ,0 '1) sobre e l eje OY?

Solución. a=1'9, b=2'1. 1'9<x<2'1.

Completa a la vista de la gráfica de k(x):

B. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. DEFINICIONES.

significa que f(x) se aproxima a L siempre que x se aproxime a

a.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


si para todo entorno A(L,,), se puede encontrar un entorno

B(a,*) tal que si x0B, x…a, ocurre que f(x)0A.

‚ Sea f(x)=2x, se verifica que . Veámoslo: Fijemos un entorno del punto 6 de

radio ,>0, A(6,,) = (6-,,6+,). Tratemos de encontrar el entorno B(3,*). Sea éste (a,b).

f(a) = 2a = 6-, Y a = 3-

f(b) = 2b = 6+, Y b = 3+

Luego B(3,*) = B(3, ) = (3- ,3+ ). En este caso ha salido *= .

Para que f(x) se aproxime a 6 en menos que 0'01 basta con que x se aproxime a 3 en

menos que 0'005.

Decir que f(x) 0 A(L,,) significa que: L-, < f(x) < L+, o tamb ién que: -, < f(x)-L < ,, o sea: *f(x)-L* < ,Del mismo modo, si x 0 B(a,*) significa que: a-* < x < a+* o tamb ién que: * < x-a < *, o sea: *x-a* < *.

En forma simbólica:

Y œ ,>0, › *>0 ' 0<*x-a*<* Y *f(x)-L*<,

Nota : Obsérv ese que e n la definic ión de lím ite se prescin de del va lor de la función en el punto x=a. La función f puede

tomar en a el valor L, otro distinto de L o incluso no existir.

‚ Si se verifica que puesto que si 0<*x-3*<* entonces *f(x)-2*<, ya que f(x)-

2=0, para cada valor de x…3. En es te ejemp lo se ve c ómo e l límite de la función en el punto x=3 no coincide

con el v alor de la f unción en dich o punto : … f(3)=4

Ejercicios resueltos. Se debe mirar muy detenidamente la solución.

1. Comp rueba que si f es la fun ción dada po r f(x)=3x-2, en tonces .

Solución. Fijemos un entorno del punto x=4 de radio ,>0, A(4,,) = (4-,,4+,). Tratemos de encontrar el entorno B(2,*). Sea éste (a,b). f(a) = 3a-2

= 4-, Y a = 2- f(b) = 3b-2 = 4+, Y b = 2+

Luego B(2,*) = B(2, ) = (2- ,2+ ). En este caso ha salido *= .

Es decir, dado , hemos encontrado * que cumple las condiciones de la definición.

2. Dada la función , prueba que . Dado el entorno A(6,0'001) calcula el entorno correspo ndiente

del punto x=3.Solución. Fijemos un entorno del punto x=6 de radio ,>0, A(6,,) = (6-,,6+,). Tratemos de encontrar el entorno B(3,*). Sea éste (a,b).

h(a) = = a+3 = 6-, Y a = 3-,

h(b) = = b+3 = 6+, Y b = 3+,

Luego B(3,*) = B(3,,) = (3-,,3+,). En este caso ha salido *=,. Si ,=0'001 Y *=0'001.

3. Prueba mediante alguna de las definiciones de límite que:

a) b) y calcula en cada caso el radio * si ,=0'001.

Solución. a) Ha de ocurrir que 0<*x-2*<* Y *5x-10*<,.

*5x-10*<, Y 5*x-2*<, Y *x-2*< =*. Si ,=0'001, *=0'0002.

b) Ha de ocurrir que 0<*x-3*<* Y *2x+1-7*<,.

*2x+1-7*<, Y *2x-6*<, Y 2*x-3*<, Y *x-3*< =*. Si ,=0'001, *=0'0005.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


4. Prueba mediante alguna de las definiciones de límite que:

a) b)

y calcula en cada caso el radio * si ,=0'01.Solución.

C. LÍMITES LATERALES.

Ejem plo 1. Consideremos la función T que asocia a cada período de tiempo de duración de una llamada

telefónica su importe; si suponemos que cada 3 minu tos o fracción importa 5 ptas., la gráfica de T es la de la figura

adjunta.

¿Cómo se comporta T en el punto x=3?

Si nos aproximamos a 3 tomando valores mayo res que 3, los valores de la función son 10; pe ro si nos

aproximamos a 3 con valores menores que 3, los valores de la función son 5.

Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de T por la derecha en el punto 3 es 10 y que e l límite

de T por la izquierda en el punto 3 es 5.

Simb ólicame nte: , .

Ejem plo 2. Cons iderem os la función : cuya

gráfica es la de la fig ura adjunta.

¿Cómo se comporta f en el punto x=1?

Si nos aproximamos a 1 tomando valores may ores que 1, los

valores de la función se aproximan a 2; pero si nos aproximamos a 1 con

valores menores que 1, los valores de la función se aproximan a 0.

Esta situación se puede resumir diciendo que el límite de f por la

derecha en el punto 1 es 2 y que el límite de f por la izquierda en el

punto 1 es 0.

Simb ólicame nte: , .

Todo esto n os conduc e a las siguientes definicione s:

Límite por la derecha de f cuando x 6 a

| œ ,>0, › *>0 ' a<x<a+* | *f(x)-L*<,

Límite por la izquierda de f cuando x 6 a

| œ ,>0, › *>0 ' a-*<x<a | *f(x)-L*<,

‚ Cons iderem os la fun ción:

, pues dado ,>0, tomando *=,, entonces si 1<x<1+*, se tiene: *f(x)-4*=*x+3-4*=*x-

1*<*<,.

, pues dado ,>0, tomando *=,, entonces si 1-*<x<1 , se tiene: *f(x)-3*=0<,.

El siguiente teorema es de gran importancia para ver si una función tiene límite.

Teorema importante . existe ] existen y y se verifica

que = . (Es decir: Para que exista , deben exist ir los límites

laterales y además ser iguales)

Demostración. No es necesario darla.

‚ Haz la gráfica de E(x) y calcula y . ¿Existe ? [E(x)=Parte entera de x]

D. LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERTICALES.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Si , es imposible fijar el entorno de L. Por ello, dam os las siguientes definicione s:

Y œ M>0 , › *>0 tal que 0<*x-a*<* Y f(x)>M

Intuitivamente, esto significa que, dad o cualqu ier núm ero real po sitivo M, p odem os enco ntrar un e ntorno d e a de rad io

* en el que los valores de la función son mayores que M.

‚

‚

Y œ M>0 , › *>0 tal que 0<*x-a*<* Y f(x)<-M

Gráficamente, esto significa que, en un entorno conveniente de a, los valores de la función son tan pequeños como

queramo s.

‚

‚ . Sea M>0. Hay q ue encontrar un *>0 tal que si 0<*x-3*<* Y f(x)<-M . < - M Y M < Y (x-3)2 <

Y *x-3* < . Tomando *= se cumplen las condiciones requeridas.

Si o , se dice que la función f tiene en x=a una asíntota vertical de ramas convergentes.

La gráfica de la función f se aproxima tanto como se quiera a la recta x=a cuando x se aproxima a a. La recta x=a es una

asíntota vertical de f de ram as converge ntes.

Si ( y ), o si ( y ), entonce s la recta x=a se dice que es una

asíntota vertical de f de ramas divergentes.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Observaciones.

1. Una función pued e tener infinitas asíntotas verticales; por ejemplo, la función tangente.

2. En las funciones racionales, las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x que anulan al denom inador pero

no al numerador.


1. Calcula . Solución. y , luego: no exis te. La rec ta x=1 e s una as íntota ver tical de r amas

divergentes.

2. Calcula . Solu ción. y , luego: . La recta x=1 es una asíntota vertical de ramas

convergentes.

E. LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES .

Cuando x 6 4 es imposible fijar el entorno de radio * del pun to a; puesto que a es 4. Por ello, damos las siguientes

definiciones:

Y œ ,>0, › M tal que x>M Y *f(x)-L*<,

Intuitivamente, esto significa que, a medida que los valores de x aumentan, los valores de f se aproximan a L.

‚

‚ . Dado ,>0, tenemos que encontrar un M tal que x>M Y *f(x)- *<,.

= = = < , Y < Y < 2x+3 Y x > .


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


T o m an d o M = se cumplen las condiciones requeridas.

Si ,=0,01, M =73'5, tom emos x= 80>M , *f(80) - *=0'009 < 0'01=,.

Y œ ,>0, › M tal que x<M Y *f(x)-L*<,

Intuitivamente, esto significa que, a medida que los valores de x disminuyen, los valores de f se aproximan a L.

‚

‚

Si o , la recta y=L es una asíntota horizontal de f.

Observaciones.

1. Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales, correspondien tes a cada uno d e los límites +4 y -4.

2. La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal en uno o varios puntos. No obstante, en la mayoría de

las funcion es eleme ntales la gráf ica perm anece p or encim a o por d ebajo de la asíntota considerada a partir de un punto.

3. El conocimiento de la situación de la gráfica con relación a las asíntotas es esencial para la repre sentación de fun ciones.

En el caso de la asíntota horizontal y=L es conveniente estudiar si la función se aproxima a la asíntota por encima o

por debajo .


1. Comprueba que . Dado ,=0'1, calcula un M conveniente.

Solución. | | | | | . Si ,=0'1 | M=1 .

2. Demuestra que . Dado ,=0'001, calcula e l correspondiente M.

Solución. | | | | | . Si ,=0'001 | M=222 .

3. Comprueba que .

Solución. . Si x 6 4, 6 0. Para ,=0'01 | =0'01 | x=301 . La recta y=2 es una asín tota horiz ontal.

4. Calcula las asíntotas verticales y horizontales de .

Solución. Verticales: x=±2. Horizontales: y=1.

5. Dada la tabla de v alores de la función f: ¿Es ?

1 10 100 1.000 10 .000 ...

))))))))))))))))))))))))))))))))

4 30 400 7.000 ...

Solución.

F. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO. RAMAS PARABÓLICAS.

Si , es imposible fijar el entorno de L ni el entorno de radio * del punto a. Por ello, damos las siguientes

definiciones:


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


| œ M0R, › h0R tal que x>h | f(x)>M

Geométricamente, esto significa que, en la gráfica de la función f, las

ordenadas se hacen tan grande como q ueramos tom ando valore s de la abscisa

suficientemente g randes.

Si y , se dice que f tiene una rama parabólica en

la dirección del eje OY.

‚ Veamos que . Dado M, tenemos que buscar un h tal que si x>h, x+1>M,

entonces x>M-1, luego tomando h=M-1 se tiene que si x>h=M-1 | x + 1> M | f (x ) >M .

‚ Sea f(x)=x². y , luego la función f tiene un a rama p arabólica en la

d i rección de l e je OY.

| œ M0R, › h0R tal que x>h | f(x)<M

| œ M0R, › h0R tal que x<h | f(x)>M

| œ M0R, › h0R tal que x<h | f(x)<M

‚ Sea f(x)=x +4, . Dado M, sea h=M-4, entonces, si x<h | x<M-4 | x + 4< M | f (x ) <M .

‚ Sea f(x)=-2 x+8, . Dado M, tomando , se tiene que: x>h | x> | 2 x >8 - M | 2 x -8 > -M | M<-2x+ 8=f(x).

Ejercicios.

1. Comprueb a que: a) . b) . c) .

Solución.

G. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS OBLICUAS.

Observaciones.

1. Una función tiene como máximo dos asíntotas oblicuas.

2. En relación a la s asíntotas ob licuas y a las a síntotas horiz ontales una función puede tener: 2 y 0, 1 y 1, 0 y 2

respectivamente.

3. La gráfica de la función puede cortar a la asíntota oblicua en u no o varios pu ntos.

4. Para la representación de funciones es conveniente estudiar si la función se aproxima a la asíntota por encima o por


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


debajo.

5. Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas, el grado del numerador debe ser una unidad superior al grado

de denominado r.

H. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

1.

Dem . Dado ,>0, tomando *=, se tiene que:

si 0<*x-a*<*, entonces *f(x)-c*=*c-c*=0<,.

2.

Dem . Dado ,>0, tomando *=, se tiene que:

si 0<*x-a*<*, entonces *f(x)-a*=*x-a*<*=,.

3. Si P(x) y Q(x) son dos funciones polinómicas tales que P(x)=(x-a)@p(x) y Q(x)=(x-a)@q(x) entonces si

se tiene que .

Dem . para todo x…a. Como en la definición de límite no se tiene en cuenta el valor de la función para x=a ocurre que:

.

‚ = = .

4. Si , entonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y .

Dem . Si *f(x)-L*<, Y *[f(x)-L]-0*<, Y .

5. El límite de una función f, si existe, es único.Dem . Supongamos que y con L…L'. Eligiendo , y , ' de modo que los entornos A(L,,) y A(L ',, ') sean disjuntos, no se podrán

verificar simultáneamente las condiciones de la definición de límite.

6. Si , la función f está acotada en un cierto entorno de a.

Dem . En la definición de , para cada ,>0 existe un *>0 tal que: 0<*x-a*< * Y *f(x)-L*<,.

Tomando ,=1, existe un *>0 tal que: 0<*x-a*< * Y *f(x)-L*<1 Y -1<f(x)-L<1 Y L-1<f(x)<L+1. Estas igualdades nos dicen que f está acotada

en el entorno (a-*, a+*).

Si f está definida en x=a, una cota superior será el mayor de los números L+1, f(a), y una cota inferior será el menor de los números L-1, f(a).

Si f no está definida en x=a, una cota superior es L+1, y una cota inferior es L-1.

‚ , la función f(x)=2x está acotada, por ejem plo, en (1,5).

7. Si , entonces existe un entorno de a en el que la función f toma valores positivos, excepto quizá

en el propio punto a. Dem . Sólo verlo intuitivamente.

‚ , la función f(x)=2x toma v alores positivos, por ejemplo, en (2,4).

8. Si dos funciones f y g toman los mismos valores en todos los puntos de un intervalo reducido (a+*,a-*), tienen

el mismo límite.Dem . Si Y ... *f(x)-L*<,. Pero c omo g toma lo s mism os valo res que f: *g(x)-L*<, Y .

9. Si una función h está comprendida entre f y g para todos los punto s de un entorno del punto a y


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


= , entonces .

Dem . Si para todo x0(a+*,a-*) se verific a que: f(x ) < h(x) < g(x), ta mbién f(x)-L < h(x)-L < g(x)- L, por c onsigu iente: .

I. LÍMITES Y OPERACIONES CON FUNCIONES .

Sean f y g dos funciones tales que y . Se verifican las siguientes pro piedades:

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = + = 6 + 10 = 16.

(El Límite de una suma es la suma de los límites)

Dem . Si Y œ ,>0 › *1>0 ' 0<*x-a*<*1 Y *f(x)-L*< .

Si Y œ ,>0 › *2>0 ' 0<*x-a*<*2 Y *g(x)-L'*< . Tomando *=min(*1,*2), se tiene:

0<*x-a*<* Y *f(x)+g (x)-(L+ L')* = *[f(x)-L] +[g(x) -L']* # *f(x)-L*+*g(x)-L'* < + = ,, Y

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = - = 21 - 12 = 9.

Dem . Es consecuencia inmediata de la propiedad 1.

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = @ = 8 @ 12 = 96.

Dem . Sean M y M' d os núm eros tales que: M >*L* y M'> *L'*. Consideremos un entorno de a de radio * tal que *f(x)-L*< y *g(x)-L'*<

= = <

= ,. Luego : .

4. Si c0R, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = = 2 @ 5 = 10.


5. Si L'…0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = = .


6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = = 64 = 1.296.

7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = = .

8. . Siendo A: exponen cial, logarítmica, trigonométrica, etc.

‚ = = 23 = 8.

‚ = = = 2.

‚ = = = -1.

‚ Y

Consecuencias muy útiles.


2 En apariencia se reduciría a calcular un valor numérico. Pero pueden ocurrir al realizar este cálculo casos extremos, llamados de indeterminación.

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


a) b)

c) d)

e)

Las propiedades anteriores nos permiten enunciar la siguiente regla:

REGLA PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

Para calcular el límite de una función en un punto x=a, se sustituye la variable indepen-

diente x por a y se realizan las op eraciones indica das.2

Ejercicios.

1. Calcula los siguientes lím ites y compru eba las soluciones:

a) = -38. b) = 7.

c) = . d) = .

e) = 0. f) = 0.

g) h)

i) = 0.

Teorema. Sean f y g dos funciones tales que y . Se verifican las siguientes propiedad es:

1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = + = 3 + 5 = 8.

Dem . Si Y œ ,>0 › M 1>0 ' x>M 1 Y *f(x)-L*< . Si Y œ ,>0 › M 2>0 ' x>M 2 Y *g(x)-L'*< . Tomando M el

mayor de M 1 y M 2, si x>M, se tiene:

*f(x)+g (x)-(L+ L')* = *[f(x)-L] +[g(x) -L']* # *f(x)-L*+*g(x)-L'* < + = ,.

‚ = - = 7 - 2 = 5.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = @ = 3 @ 5 = 15.

Dem . ...

3. Si c0R, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = = 3 @ 1 = 3.


4. Si L'…0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = = = 2.

Dem . Inmediata.

Observación. Análogamente, se tienen las mismas propiedades cuando x 6 -4. Asimismo cuando los límites L y L'

son ±4.

J. LÍMITES DE ALGUN AS FUNCIONES EL EMENTALES.

FUNCIÓN POTENCIAL: f(x)=xn. (n0Z)

Si n>0, . Si n<0, .

FUNCIÓN EXPONENCIAL: f(x)=ax.

Si a>1, ; . Si 0<a< 1, ; .

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: f(x)=logax.

Si a>1, ; . Si 0<a< 1, ; .


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


RESUMEN DE OPERACIONES Y LÍMITES

0

0 0 0 Indeterm.

b>0 b 0 0

b<0 b 0 0

4 4 Indeterm. 0

-4 -4 Indeterm. 0

a>0

0 a 0 Indeterm.

b>0 a+b ab

b<0 a+b ab

4 4 4 0

-4 -4 -4 0

a<0

0 a 0 Indeterm.

b>0 a+b ab

b<0 a+b ab

4 4 -4 0

-4 -4 4 0

+4

0 4 Indeterm. Indeterm.

b>0 4 4 4

b<0 4 -4 -4

4 4 4 Indeterm.

-4 Indeterm. -4 Indeterm.

-4

0 -4 Indeterm. Indeterm.

b>0 -4 -4 -4

b<0 -4 4 4

4 Indeterm. -4 Indeterm.

-4 -4 4 Indeterm.

K. INDETERMINACIONES.

Los casos de ind eterminación son los siguientes:


3 Tampoco suele considerarse como indeterminación ya que el límite, si existe, es siempre +4 o -4. Luego, sólo hay que calcular (si es posible)

los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite +4 o -4; en caso contrario, no existe límite.

4 La indeterminación englob a los cua tro caso s: .

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


, , (4-4), (0@4), (14), (00), (40)

Si al calcular un límite se prese nta alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la función en otra

equivale nte (que tome los mismos valores en un entorno de x=a) a la qu e si pueden ap licarse las propiedades d e los límites.

No podemos dar una regla general que permita hallar el límite en todos los c asos. La Regla d e L'Hopital (que se

estudiará más adelante) es el procedimiento más general. Consideraremos los casos más usuales de indeterminación.

Indeterminación: con k…0. No suele tomarse como indeterminación ya que el límite, si existe, es siempre +4 o -4.

Luego, sólo hay que calcular (si es posible) los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite +4 o -4; en caso

contrario, no existe límite.3

Límite de funciones racionales: . . Según la regla de Ruffini el numerador y el denominador son

divisibles por (x-a) . Simplifica ndo la fracción por x-a, desaparece la indeterminación. A veces es preciso reiterar la división.

Límite de funciones racionales: .4 Es preciso que x tienda a ±4. Desaparece la indeterminación dividiendo

numerador y den ominador por x n.

Consid eremo s el caso: . Pueden prese ntarse tres casos:

a) Si grado P(x) > grado Q (x) Y , según el signo de an y bn, coeficientes de los términos de mayor

grado de P(x) y Q(x) respectivamente.

b) Si grado P(x) < grado Q(x ) Y .

c) Si grado P(x) = grado Q(x) Y . Siendo an y bn los coeficientes de los términos de mayor grado


5 Se demuestran los tres casos teniendo en cuenta las propiedades y que .

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


de P(x) y Q(x) respectivamente.5

Observación. En los restantes casos es todo muy similar. Sin embargo, cuando x 6 -4, hay que tener en cuenta el grado

par o impar de los polinomios P(x) y Q (x) al calcular límites del apartado a).

= -4 = = 0

= -4 = 4 = -4

Límites con radicales irregulares: . Suele desaparecer la indeterminación:

a) Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del que tiene la raíz.

b) Mediante un cambio de variable.

= .

Med iante el cam bio:



Límites con radicales irregulares: . Suele desaparecer la indeterminación dividiendo el numerador y el denominador

por la potencia máxima de x.

Observación. Hay qu e tener cu idado al in troducir u n núm ero neg ativo den tro de la raíz: .

= .


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Límites de la forma: (4-4). Se transforman en o en median te operacio nes con veniente s. Genera lmente

multiplicando y dividiendo por el conjugado.

‚ = = = = 1.

Límites de la forma: (0@4). Se transforman en o en mediante op eraciones conv enientes.

= = 6. = .

L. EL NÚMERO e.

Como sabemos Una notable generalización del núm ero e es el siguiente lím ite

y de ahí q ue:

También interesa sab er que: y Se reducen a los anteriores

poniendo ; entonces cuando x 6 0, h 6 4 y se tiene:

= =

Asimismo, se demuestra que:

y

‚ ‚

Límites de la forma: (14). Se reduc en, med iante las op eracione s conve nientes, a límites de expresiones en las que aparece

el número e.

= = =

= = =


6 Tambien para x ))> ±4.

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


= e.

= ... = e10.

UN TR UCO ÚTIL . Si para x 6 a, f(x) 6 1 y g(x) 6 4, resulta:

= = =

= =

= =

= =

Límites de la forma: (00).

Límites de la forma: (40).

M. INFINITÉSIMOS.

Se dice que f(x) es un infinitésimo cuando x 6 a,6 si:

Cuando x 6 0, son infinitésimos: x, 3x², 8x3, senx, tag5x, 1-cos3x.

Cuando x 6 2, son infin itésimos: x -2, x²-5x +6, x 3-8.

Cuando x 6 4, son infinitésim os: , , .

Comparación de infinitésimos.

Sean f(x) y g(x) dos in finitésimos. Para compararlos, se divide el uno por el otro con el fin de ver cuál de los dos tiende

más rápidam ente a cero. Pued en ocurrir cuatro c asos:


7 Se demuestra más adelante.

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


LÍMITES EQUIVALENTES

Cuando x ))> 0

senx x

tgx x

arcsenx x

arctgx x

1-cosx x²/2

ex-1 x

L(1+x) x

Cuando x )))> 1

Lx x-1

sen(x-1) x-1

a) . En este caso f(x) es de orden superior a g(x).

‚ 3x² y x son infinitésimos cuando x 6 0. 3x² es de orden superior a x.

b) . En este caso f(x) es de orden inferior a g(x).

‚ 5x3 y x² son infinitésimos cuando x 6 0. x² es de orden inferior a 5x3.

c) . En este ca so f(x) y g (x) son d el mismo orden . (k…0,1)

‚ 8x² y 4x² son infinitésimos del mismo orden cuando x 6 0.

‚ x, sen3x, tg2x y 7ln(1+x) son infinitésimos del mismo orden cuando x 6 0.

d) . En este caso f(x) y g(x) son equivalentes.

‚ senx y x son infinitésimos equivalentes cuando x 6 0.7

e) . En este caso f(x) es un infinitésimo de orden k respecto a g(x). Es decir, f(x) y [g(x)]k son

infinitésimos del mismo orden. (k…0,1)

‚ x3 es de orden 3 respecto a x cuando x 6 0.

‚ x8 es de orden 4 respecto a x² cuando x 6 0.

Ejercicios.

1. Dados los siguientes infinitésimos (para x 6 0):

x², , sen3x, ,

a) ¿Cuáles son del mismo orden?

b) ¿Cuáles son de orden superior?

c) ¿Cuáles son de orden inferior?

Solución. a) sen3x, . b) x², . c) .

2. Dados los siguientes infinitésimos (para x 6 0):

2senx, , x-3x², , L(1+x ), x3+3x4

¿Cuáles son del mismo orden que x?

Solución. , x-3x², L(1+x).

3. Dados los siguientes infinitésimos (para x 6 1): 1-x,

¿Son del m ismo orden ? ¿Son equ ivalentes?

Solución. . Son del mismo orden.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


‚ = = = = 1.

‚ = = = k@1 = k.

‚ = = 1@1@2 = 2.

‚ = = = 1@0 = 0.

‚ = = = .

Importante : Calculan do un lím ite, a veces h ay que su stituir un infinitésimo por otro equivalente para poder llegar a

calcular dicho límite.

‚ . ‚ = = 3.

Ejercicios.

1. Calcula los siguientes lím ites utilizando funcione s equivalentes:

a) .

b) .

Solución. a) 1. b) 1.

2. Calcula, utilizando fun ciones equivalen tes, los siguientes límites:

a) .

b) .

c) . Haciendo primero tgx= .

Solución. a) . b) . c) .

N. EJERCICIOS.

1. El límite de una función se calcula en el punto x=a, ¿es necesario que este punto pertenezca al dominio de definición?

¿Por qué?

2. Si una función toma siempre valores positivos y otra toma solo valores negativos, ¿pueden tener el mismo límite en un

punto? Si es así di cuál es el límite.

3. Una función t iene l ímite en un punto y en cualquier entorno suyo la función toma valores positivos y negativos, ¿cuánto

vale en este caso el límite?

4. Escribe una función cuyo límite en x=0 es 1 y que tome sólo valores mayores que 1. Si es posible, dibuja la gráfica para

aclarar la respuesta.

5. Escribe una función cuyo límite en x =0 es 1 y que todos los valores que tome sean menores que 1. Dibuja la gráfica

de la función para aclarar la respuesta.

6. Una función definida en toda la recta real es estrictamente creciente. ¿Puede deducirse de esto que su límite en +4 es


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


+4? Si la respuesta es negativa, da un ejemplo que lo aclare.

7. ¿Puede tener una función más de dos asíntotas horizontales? Razona la respuesta gráficamente.

8. ¿Qué condición tienen que cumplir los grados del numerador y denominador de una función racional para que tenga

asíntotas horizontales? Pon un ejemplo particular.

9. Calcula los límites laterales de en x=0.

Solución. y 0.

10. Halla la relación que debe existir entre a y b para que se verifique:

Solución. a+3b+1=0.

11. Calcula en x=0, x= 2 y x=3 el límite de la fu nción:

12. Calcula los límites laterales en x= 0 de las siguientes fun ciones:

13. Calcula los siguientes lím ites de funciones racio nales:

a) = b) =

c) = d) = 0

e) = f) =

g) = No › h)

i) j)

k) l)


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


m) n)

14. Calcula los siguientes lím ites:

a) =6 b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)


a) = b) =1

c) = d) =-2

e) = f) =0

g) = h)

i) j) =-1

k) =0 l) =

m) = n) =-4

ñ) o) =

p) q)


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


r) = s)

t) =6 u) =0

v) w)


a) = b) =e

c) =e-2 d)

e) f)

g) h)


a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO.PROPIEDADES.

A. INTRODUCCIÓN.

La gráfica ad junta repr esenta el cre cimiento de un persona en función

del tiempo. Midiendo su estatura cada año, se obtiene una gráfica con pe-

queños saltos entre un punto y el siguiente.

Si la gráfica se realiza midiendo la estatura cada cinco años, el incre-

mento entre cad a punto y el siguien te (y) será mayor, como lo es también

el incremento del tiempo (x).

Finalmente, si se considera el crecimiento en cada instante, la gráfica

que mide las alturas no sufre ningún salto brusco. Se dice en este caso que

la función es continua.

B. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Consideremos las funciones cuy as gráficas están dibujad as a

continuación.

Aunque son muy semejantes, de inmediato se observa que en x=0 presentan un comportamiento muy distinto.

Mientras que la gráfica a) puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, no ocurre así en b), c) y d), al llega r a x=0 la

gráfica se interrum pe. Veam os el motivo d e estas interrupciones:

En b) se verifica que f(0)=2 y .

En c) no existe f(0).

En d) ocurre que , .

Si queremos establecer un concepto de continuid ad que r espond a a la idea de trazado sin levantar el lá piz del pa pel,

debemos evitar en la definición los tres casos anteriores. Esto conduce a la siguiente definición:

Una func ión f es continua en x=a si se verifican las tres co ndiciones siguien tes:

a) Existe f(a). E s decir, a0Dom(f). b) Existe . c) .

Es decir: Una fu nción f es continua en x=a ] .


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


‚ Sea . Veamos que f es continua en x=1. Hay que comprobar las tres condiciones:

a) Existe f(1), pues f(1)=2.

b) Existe , pues . c) = f(1).

‚ Consideremos ahora . Esta función no es continua en x=1, pues no se verifica la condición

a) ya que no existe f(1).

‚ Sea . Esta función es continua en x=1.

a) f(1)=2. b) . c) = f(1).

‚ Sea . Esta función no es continua en x=0, pues f(0)=1 y … 1 = f(0).

C. CONTINUIDAD LATERAL.

Una func ión f es continua por la derecha en x=a ] .

Una func ión f es continua por la izquierda en x=a ] .

Es evidente que si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, es continua en ese punto.

D. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO .

Una func ión f es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando lo es en cada punto de dicho intervalo.

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuando lo es en todos los puntos de (a,b) y además es continua

por la derecha en a y por la izquierda en b.

‚ f(x)=x2 es continua en cualquier intervalo abierto o cerrado de R.

‚ f(x)= no es continua en [-1,1] ya que no esta definida en x=0.

Ejercicios.

1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Haz los dibujos correspondientes para

ayudarte.

a) en x=0 y en x=3.

b) en x=-2.

2. Observan do los ejemp los vistos hasta el mom ento, halla los puntos e n que no so n continuas las fun ciones:

a) .

b) .


8 Observa que no basta que pa ra una cierta sucesión (x n) tal que sea , sino que esto debe verificarse para toda sucesión

(xn) tal que .

))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


c) .

E. CRITERIOS DE CONTINUIDAD.

Recordando la definición de límite de una función f en un punto x=a, se pueden establecer ciertos criterios de

continu idad si a0Dom(f):

Teorema 1. Una función f es continua en x=a0Dom(f) ] œ ,>0, › *>0 * 0<*x-a*<* Y *f(x)-f(a)*<,.

Gráficam ente esto significa que, dado un entorno simétrico de f(a) de radio ,,

E,, podemos encontrar un entorno de a de radio *, E*, tal que las imágenes por f de

los puntos de E* pertenecen a E,; es decir, que para valores suficientemente próximos

a a, los valores de f se aproximan tanto como qu eramos a f(a).

‚ En la primera gráfica, se ve que f es continua en x=a, pues dado E, de f(a) podemos

encontrar el entorno E* de a tal que œ x0E*, f(x)0E,, es decir : 0<*x-a*<* Y *f(x)-

f(a)*<,.

‚ En la segun da gráfic a, la función f no es

continua en x=a, pues dado E, es inme-

diato ver que tomando cualquier entorno

E* de a existen puntos de este entorno

x0E*, tales que f(x)óE,, es decir, existen

x tales que: 0<*x-a*<*, pero *f(x)-

f(a)*>,.

Teorema 2. Una fu nción f es c onti-

nua en x=a0Dom(f) ] Para todo entor-

no E de f(a), f -1(E) es un entorno de a.

Teorema 3. Una función f es continua en x=a0Dom(f) ] Para toda sucesión (xn) cuyos elem entos xn0Dom(f) y

tal que se verifica: .8

‚ La función no es continua en x=0, pues no existe ya que y

. Conside remos ah ora la sucesión (-1, - , - , ..., - ) cuyo límite es 0; la sucesión de

imágenes es (0,0,0,...,0) cuyo límite es 0. ¿Contradice esto el teorema? No, porque el teorema dice

que para que f sea continua es necesario que para toda sucesión con se verifique que

y, sin embargo = =1; luego f no es continua como ya vimos.

‚ ¿Es la función continua en x=1?

Solución. Sea la sucesión (2, , ,..., ). y , f(1)=3…0 y, por el teorema, f no es continua en x=1.

‚ ¿Es la función continua en x=2?

Solución. Estudia el comportamiento de la sucesión ( ) y el de las imágenes y deduce que f no es continua en x=2.

F. CONTINUIDAD Y OPERACIONES CO N FUNCIONES.

1. Si f y g son continuas en x=a, entonces f+g es continua en x=a.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Dem. Si f es contin ua en x= a, a0Dom (f). Si g es co ntinua en x=a, a0Dom(g).

Luego a0Dom(f)1Dom(g)=Dom (f+g). Por tanto f+g está definida en x=a.

Adem ás: = + = f(a) + g(a) = (f+g)(a), luego f+g es continua en x=a.

2. Si f es continua en x=a, -f es continua en x=a.

Dem. ........ (Intuitivame nte es obv io ya qu e las gráficas de f y -f ...)

3. Si f y g son continuas en x=a, entonces f-g es continua en x=a.

Dem. Inmediata por las propiedades 1 y 2.

4. Si c0R y f es continua en x=a, entonces cf es continua en x=a.

Dem. ........ (Intuitivame nte es obv io ya qu e las gráficas de f y cf ...)

5. Si f y g son continuas en x=a, entonces fg es continua en x=a.

Dem. Si f es contin ua en x= a, a0Dom (f). Si g es co ntinua en x=a, a0Dom(g).

Luego a0Dom(f)1Dom(g)=Dom (fg). Por tanto fg está definida en x=a.

Adem ás: = @ = f(a)@g(a) = (fg)(a), luego fg es continua en x=a.

6. Si f es continua en x=a y si g(a)…0, entonces es continua en x=a.

Dem. ........

7. Si f y g son continuas en x=a y si g(a)…0, entonces está definida en un entorno de a y es continua en x=a.

Dem. ........

8. Si f es continua en x =a y g es con tinua en f(a), ento nces la composición g<fes continua en x=a.

Dem. Sea E un entorno de (g<f)(a)=g[f (a)]; com o g es con tinua en f(a ), g-1(E)=E1

en un entorno de f(a), y como f es continua en a, f-1(E1)=E2 es un entorno de a.

(g<f)-1(E)=f-1[g-1(E)]=f-1(E)=E2. Luego g<f es continua en x=a.

9. Si f es inyectiva y co ntinua en x= a, entonces f -1 es continua en x=f(a).

Dem. ........ (Intuitivam ente es obvio ya que las gráficas de f y f-1 son simétricas

respecto a la bisectriz del prim er y tercer cuadran tes)

G. ALGUNOS EJEMPLOS IMPORTANTES DE FUNCIONES CON-

TINUAS.

A. Toda función constante f(x)=c es continua en cualquier punto.Dem . Veamos que es continua en x=a. Si tomamos ,>0, eligiendo *=,, entonc es si *x-

a*<* se tiene que *f(x)-f(a)*=*c-c*=0<,.

B. La función identidad f(x)=x es continua en todo R.Dem . Veamos que es continua en x=a. Dado ,>0, y tomando *=,, se tiene q ue si *x-

a*<* entonces *f(x)-f(a)*=*x-a*<*=,.

C. La función afín f(x)=ax+b es continua en todo punto.Dem. Evidente. La suma y el producto de funciones continuas es otra función continua.

D. Las funciones f(x)=x², f(x)=x3, ..., f(x)=xn son continuas en cualquier punto.Dem . Obvio. El producto de funciones continuas es otra función continua.

E. Toda función polinómica f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn es continua en cualquier punto.

Dem . Obvio. La suma y el producto de funciones continuas es otra función continua.

F. Todas las funciones rac ionales, expon enciales, logarítm icas y trigonométricas son continuas en todos los puntos

donde están definidas.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


‚ es continua en todo R excepto en x=-1 y x=1 que no está definida.

‚ es continua en R-1. En x=1 no está definida.

‚ y son continuas en todo R.

‚ es continua en (0,4).

H. DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN. TIPOS.

Una func ión f es discontinua en x=a (o presenta una discontinuidad en x=a) si no es continua en el punto x=a.

Si una función f es discontinua en x=a, su gráfica presenta en el punto a una «ruptura». Trataremos de ilustrar los casos

más sencillos de discontinuidades según dicha «ruptura».

1. La función f(x)=2 si x…1, no es continua en x=1. No existe f(1), sin

embargo existe . La función f presenta en x=1 una discon-

tinuidad evitable. El valor que deberíamos dar a f en x=1 para que

fuera continua en él se llama verdadero valor de la función. f(1)=2

‚ No es continua en x=2. Presenta discontinuidad evitable.

2. La función , no es con tinua en x =1. Au nque ex iste

f(1)=3, sin embargo . La función f presenta en x=1 una

discontinuidad de 1ª especie.

‚ no es continua en x=0. Presenta una discontinuidad de 1ª especie.

3. La función , no es continua en x=1. Aunque existe

f(1)=3, sin embargo no existe ya que y .

En este caso la función f presenta en x=1 una discontinuidad de 2ªespecie con salto finito.

Se define el salto de f en x=1 como s=* - *.

‚ no es continua en x=1. Presenta una discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

4. La función , no es continua en x=1 . No existe f(1), ni ya

que y . En este caso la función f presenta en x=1

una discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

‚ no es co ntinua en x=1. P resenta u na disco ntinuida d de 2ª e specie co n salto

infinito.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


RESUMEN DE CONTINUIDAD

f continua en x=a Existe f(a). Existe . .

f discontinua en x=a

No existe f(a)

Existe

Discontinuidad

evitable

Existe f(a)

Existe

… f(a)

Discontinuidad

de 1ª espe cie

Existe

Existe

…

Discontinuidad

de 2ª espe cie

con salto fin ito

Discontinuidad

de 2ª espe cie

con salto in finito

Ejercicios.

1. Busca lo s casos qu e aparen temente faltan en el c uadro. ¿ Por qué no están e n él?

2. Estudia los pun tos de discontinuida d (y el tipo) de las siguientes fu nciones:

a) .

Solución. En x=1. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

b) .

Solución. En x=0. Discontinuidad de 1ª especie.

c) .

Solución. En x=1. Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

d) .

Solución. En x=0, x=2. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

e) .

Solución. En x=1. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

f) .

Solución. En x=3 y x=5. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

g) .

Solución. Continua.

h) .


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Solución. En x= . Discontinuidad evitable.

i) .

Solución. En x=1 no es continua.

I. EJERCICIOS.

1. Para calcular el límite de una función f en un punto x=a no es necesario que el punto pertenezca al Dom (f). ¿Es

necesario, sin embargo, que x=a pertenezca a l Dom (f) para qu e la funció n f sea con tinua en d icho pu nto? Raz ona la

respuesta.Solución.

2. Estudia la continu idad de las siguientes fun ciones:

a) .


b) .

Solución. En x=-3 y x=2± . Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

c) .

Solución. En x=1 y x=5. Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

d) .

Solución. En x=±2 y x=±3. Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

e) .

Solución. En x=±2 y x=-3. Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito.

f) .Solución.

g) .

Solución.

h) .

Solución.

3. Estudia la continu idad de las siguientes fun ciones:

a) .


b) en x=2.

Solución. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

c) en x=0.

Solución. Discontinuidad de 2ª especie con salto finito.

d) f(x)=2x.Solución.

e) f(x)=x²@ecosx.Solución.

f) .

Solución.

g) .

Solución.


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


h) .

Solución.

4. Calcula el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en los puntos que se indican:

a) en x=1.

Solución. a=1.

b) en x=0.

Solución. a=cua lquier nº r eal.

c) en x=0.

Solución. Nunca será continua p ara cualquier a,R.

5. Calcula el valor de a y el valor que hay que asignar a f(1) para que la función

sea continua en x=1.

Solución. a=-3. f(1)=6.

6. Calcula el valor de a y b para que la función sea continua en todos sus pun tos.

Solución. Para serlo en x=0, b=-1. Para serlo en x=1, a+b=2, luego a=3.

7. Calcula el valor que debe asignarse a las siguientes funciones en los puntos que se indican para que sean continuas en

dichos pun tos.

a) en x=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(3)= .

b) en x=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(1)= .

c) en x=-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(-3)=27.

d) en x=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(3)= .

e) en x=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)= .

8. Calcula el valor que debe asignarse a las siguientes funciones en los puntos que se indican para que sean continuas en

dichos pun tos.

a) en x=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)=-2.

b) en x=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)=-1.

c) en x=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)=0.

d) en x=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)= .


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e) en x=4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(4)= .

f) en x=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(1)=No es posible.

g) en x=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(1)= .

9. Sea donde a, b y c son constan tes. Si b y c son nú meros fijos, halla los valore s de a (si existe

alguno) para los que f es continua en c.

10. Estudia la continuidad de las siguientes funciones para los distintos valores del parámetro a:

a)

b)

4. PRINCIPALES TEOREMAS REFERENTES A FUNCIONES CONTINUAS EN UNINTERVALO CERRADO Y ACOTADO.

A. TEOREMA DE BOLZANO.

Teorema de Bolzano. Si f es continua en [a,b] y signo de f(a) … signo de

f(b), existe al menos un punto c0(a,b) tal que f(c)=0. [Si la gráfica de una

función continua pasa de una pa rte a otra d el eje de abscisa s, necesaria mente lo

corta]. [Si quieres cruzar un río y no tienes ni puente ni barca, tendrás que

mojarte].

Demostración

Supongamos que f(a)>0>f(b). Se razonaría igual si f(a)<0<f(b). Sea c1 el

punto medio de [a,b].

Si f(c1)=0, entonces c 1=c y hemos terminado.

Si f(c1)…0, al menos, en uno de los intervalos [a,c 1] o [c1,b] el valor d e la

función en los dos extremos tiene signos distintos. Sea [a1,b1] ese intervalo. Sea

c2 su punto medio.

Si f(c2)=0, entonces c 2=c y hemos terminado.

Si f(c2)…0, al menos, en uno de los intervalos [a1,c2] o [c2,b1] el valor de la función en los dos extremos tiene signos

distintos. Sea [a2,b2] ese intervalo. Sea c3 su punto medio.

Razonemos como antes, y continuando con este proceso, o bien en alguna etapa uno de los punto s medio s, ck, verifica

f(ck)=0, en cuyo caso hem os termin ado, o b ien, hemos con struido una sucesión de intervalos cerrados, encajados [a,b] e[a1,b1] e [a2,b2] e [a3,b3] e ... tales que, en cada uno , el valor de la función en los extremo s tiene signos distintos.

Como cada interv alo mide la mitad d el anterior, la sucesión de su s longitudes tiende a cero. Por lo tanto, el axioma

de Cantor aseg ura la existencia de un punto, c, com ún a todos ellos.

Veamos que f(c)=0.

Si fuese f(c)> 0, por ser f c ontinua habría un entorno de c en el c ual f(x)> 0. Dentro de ese en torno ha bría intervalo s

[an,bn], para los cuales f(an)>0 y f(bn)>0, en contra de lo supuesto.

Análogamente se razonaría para f(c)<0. Por tanto, ha de ser f(c)=0.

‚ La función f(x)=x3+2x2-x-4 tiene, al menos, una raíz real en el intervalo (1,2).

Solución. La función f es continua en [1 ,2].

f(1)=-2<0 y f(2)=10>0. Según el teorema de Bolzano, existe c0(1,2) tal que c3+2c2-c-4=0, es decir, f(c)=0.

‚ El polinomio p(x)=x3+x2-2x-3 tiene, al menos, una raíz real en el intervalo (1,2).

Solución. La función f(x)=x3+x2-2x-3 es continua en [1,2].

f(1)=-3<0, f(2)=5>0. Según el teorema de Bolzano, existe c0(1,2) tal que c3+c2-2c-3=0, es decir, p(c)=0.

Ejercicios.


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1. Dada la función ¿Según el teorem a de Bo lzano se p odría aseg urar que existe un p unto c0(1,4)

tal que f(c)=0?Solución. No. Aunque f(1)=1 y f(4)=-3 sin embargo f no es continua en [1,4]. Luego c podrá existir o no. Si aplicamos Bolzano en el [1,3] se ve que

sí existe, ya que f(1)=1 y f(3)=-1 y f es continua en [1,3].

2. Deduce a partir del teorema de Bolzano que una función polinómica de tercer grado siempre tiene una raíz real. ¿Sucede

lo mismo con una función de cuarto grado?Solución. Sí. No.

Coro lario 1. Si f es continua en [a,b] y k es un número comprendido

entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c0(a,b) tal que f(c)=k.

Demostración

La función g(x)=f(x)-k es continua en [a,b] (por ser diferencia de funciones

continuas) y se verifica [supuesto f(a)>f(b)] que: g(a)=f(a)-k>0 y g(b)=f(b)-k<0

Luego, por el teorema de Bolzano existe un punto c de (a,b) tal que

g(c)=f(c)-k=0, de donde f(c)=k.

‚ Dada la función f(x)=x3-x2+x. ¿S e pued e afirma r que ex iste al menos un punto c0[1,2]

tal que f(c)=2?

Solución. La función f es continua en [1 ,2].

f(1)=1 y f(2)=6. Según el corolario 1, existe c0(1,2) tal que f(c)=2 ya que 1 < 2 < 6.

Coro lario 2. Si f y g son continuas en [a,b] y f(a)<g(a) y f(b)>g(b), entonces

existe un punto c0(a,b) tal que f(c)=g(c).

Demostración

Consideremos la función f-g.

Como signo de [f(a)-g(a)] … signo de [f(b)-g(b )], por el teorema de Bolzano,

existe c0(a,b) tal que f(c)-g(c)=0, es decir, f(c)=g(c).

‚ Vamos a probar que las gráficas de las funciones f(x)=Lx y g(x)=e-x se cortan en algún

punto.

f(1)=L1=0, g(1)= =0'37... Luego: f(1)<g(1).

f(2)=L2=0'69... g(2)= =0'14... Luego: f(2)>g(2).

f y g son continuas en todo su dominio y más concretamente en [1,2], luego se cortan en c0(1,2).

Ejercicios.

1. Comprueba que las gráficas de las funciones f(x)=x+senx y g(x)=-1 se cortan en algún punto.Solución. Aplica el corolario 2 al intervalo [-5,4] (por ejemplo).

2. Comprueb a que las gráficas de las funciones f(x)= y g(x)= se cortan en algún punto.

Solución. Aplica el corolario 2 al intervalo [0,1] (por ejemplo).

B. EJEMPLOS DE SUS APLICACIONES EN LA DETECCIÓN DE RA ÍCES DE ECUACIONES.

El teorema de Bolzano permite detectar la existencia de raíces de polinomios y ecuaciones en un cierto intervalo, tal

como m uestran los siguientes ejem plos y ejercicios.

‚ La ecuación x2+senx-1=0 tiene, al menos, una raíz real en (0, ).

Solución. La función f(x)=x2+senx-1 es continua en R.

f(0)=-1<0 y f( )= >0. Por Bolzano, existe al menos, un punto c0(0, ) que es raíz de la ecuación dada.

Ejercicios.

1. Demuestra que las siguientes ecuaciones tienen alguna raíz real en el intervalo que se indica.

a) x3+x2-7x+1=0 en (0,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(x)=x3+x2-7x+1. f(0)=1, f(1)=-4. Por Bolzano: c.q.d.


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b) Bx=e en (0,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(x)=Bx-e. f(0)=-e, f(1)=B-e. Por Bolzano: c.q.d.

c) x=cosx en (0,1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(x)=cosx-x. f(0)=1, f(1)=cos1-1<0. Por Bolzano: c.q.d.

2. Dem uestra qu e las siguien tes ecuacio nes tienen alguna ra íz real.

a) senx=1-2x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)=-1; f(B)=2B-1 Y c0(0,B).

b) x3-3x+40=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(-4)=-12; f(-3)=22 Y c0(-4,-3).

c) x2=xsenx+cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. f(0)=-1; f(B)=B2+1 Y c0(0,B).

3. Un alumno dice que la ecuación x3-3x+1=0 tiene alguna solución en el intervalo [1,2]. ¿Es cierta su afirmación?Solución. f(x)=x3-3x+1. f(1)=-1, f(2)=3. Por Bolzano: Es cierta su afirmación.

4. Si f es continua en [1,9] y es tal que f(1)=-5 y f(9)>0, ¿podemos asegurar que en estas condiciones la función

g(x)=f(x)+3 tiene al menos una raíz en [1,9]?Solución. g(1)=f (1)+3= -2, g(9) =f(9)+ 3>3. P or Bolz ano, sí.

C. TEOREMA DE DARBOUX.

Teorema de Darboux o del valo r interm edio. Sea f continua en [a,b]. Si x<y son dos puntos cualesquiera de [a,b]

tales que f(x)…f(y), la función f toma todos los valores comprendidos entre f(x) y f(y) por lo menos una vez en el

intervalo (x,y). [Una funció n continua p asa de un va lor a otro toman do todos los interm edios].

Demostración

Razonemos pa ra el caso f(x)>f(y). Se razonaría igual si f(x)<f(y).

Sea p un pu nto cualquiera comprendido en tre f(x) y f(y): f(x)>p>f(y). Consideremos la función: g(x)=f(x)-p definida

en [x,y]. Es continua por serlo f y p.

Se verifica: g(x)=f(x)-p>0, g(y)=f(y)-p<0

Por el teorema de Bolzano, existe al menos un punto c0(x,y) tal que g(c)=0, es decir, f(c)=p.

‚ Sea f una función continua en [a,b ], siendo c y d pertenecientes a dicho intervalo con f(c)=10 y f(d)=7. Demuestra que la función g(x)=f(x)+7

es tal que existe un valor p del intervalo (c,d) con g(p)=15.

Solución. g(c)=17, g(d)=14. Por Darboux: 14 < 15=g(p) < 17. c.q.d.

Ejercicio . Si el términ o indep endiente de un p olinom io p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para x=3 es 7, razona que

hay algún punto del intervalo [0,3] en el que p(x) toma el valor 2.Solución. p(0)=-5, p(3)=7 Por Darboux: -5 < 2=p(2) < 7. c.q.d.

Una función puede ser continua en un intervalo abierto o sem iabierto y no ser acotada, como por ejemp lo. f(x)= en

(0,1]. Sin emb argo si el intervalo es cerrad o, es seguro qu e la función está aco tada. Veam os:

Teorema. Si f es continua en [a,b], entonces f está acotada en dicho intervalo.

Demostración

Si f no está acotada en [a,b], tampoco lo estará en una de sus dos mitades:

[a, ] o [ ,b].

Llamamos [a 1,b1] al subintervalo en el q ue ocurre esto y procedem os, en él, del mismo modo. Llegaremos, así, a una

sucesión de intervalos encajados

[a,b] e [a1,b1] e [a2,b2] e [a3,b3] e ...

cada uno la m itad del ante rior y en c ada uno de los cua les la funció n no está a cotada. E sta familia d e intervalo s define un

punto, c.

a # a1 # a2 # ... # c # ... # b2 # b1 # b

En un entorno de c se produce la contradicción, pues por ser f continua en c debe estar acotada en algún entorno de c.

Y dentro de ese entorno hay algún intervalo [an,bn] en los cuales deducíamos que no estaba aco tada. En c onsecu encia, f está

acotada en [a,b].

Ejercicio . ¿Puede hab er funciones disco ntinuas en [a,b] qu e estén acotadas?Solución. Sí. Todas las que presenten discontinuidades de salto finito.

El siguiente teorem a, aún dice algo m ás.


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D. TEOREMA DEL MÁXIMO DE WEIERSTRA SS.

Teorema del máxim o de We ierstrass. Si f es continua en [a,b], alcanza su máximo y su mínimo en dicho intervalo.

Es decir, existen sendos números c y d del intervalo para los cuales se cumple que f(d) # f(x) # f(c) para todo x d e [a,b].

Demostración

Como la función f es continua en [a,b] sus v alores forman un conjunto acotado de R. El extremo superior de estos

valores será un número M.

Vamos a t ra tar de encontrar un punto c de [a .b] ta l que f(c)=M.

Sea m1 el punto m edio de [a ,b] y con sideram os el extrem o superio r de los valo res de f en [ a,m 1] y en [m1,b].

En uno al menos de los dos intervalos este extremo su perior es tam bién M . A aque l intervalo d e los dos en que esto

ocurre lo llamamos [a 1,b1].

Sea m2 el punto medio de [a 1,b1], consideramos [a1,m2] y [m2,b1] y procedamos igual. Obtenemos una sucesión de

intervalos cerrados encajados cuyas longitudes t ienden a cero. El extremo superior en cada uno de ellos es M.

La intersección de estos intervalos encajados es un punto c. El valor de f en c es f(c)=M. Pues si fuera f(c)>M entonces

sería f(x)<M en todo un entorno de c y esto está en contradicción con nue stra elección de los intervalos [an,bn], ya que dentro

de ese entorno de c donde f(x)<M acaban por estar los intervalos [an,bn].

Del mismo modo se razonaría para el mínimo.

De otra forma: Por ser f continua en [a,b], está acotada. Sea M la menor de las cotas superiores. Ento nces si f alcanza

el valor M, el teorema está demostrado. Supo ngamos que n o lo alcanza, entonces M-f(x)>0 y >0 es continua en

[a,b], luego estará acotada superiormente por un número A>0.

<A Y M-f(x)> Y M- >f(x)

lo que nos indica que M n o es la menor cota superior.

Luego debemos desechar la hipótesis de que el máximo no es alcanzado por la función.

Del mismo modo se razonaría para el mínimo.

Coro lario. La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un intervalo cerrado.

Demostración

Si la funció n f está definida en [a,b], alcanza un valor máximo M y un valor mínimo m . Por el teorema de Darboux f

tomará todos los v alores com prendid os entre el m ínimo y el máxim o. Estos puntos pertenecen al intervalo cerrado

[f(m),f(M)].

‚ La función f(x)=senx definida [0,2B] tiene por imagen el intervalo cerrado [-1,1].

‚ La función f(x)=2 definida en (-2,2) tiene por imagen el intervalo cerrado [2,2]=2.

Este último contraejemplo muestra que las funciones con tinuas no transforman intervalos abiertos en intervalos abiertos.

Ejercicios.

1. Indica, de cada una de las siguiente s funcion es, si está acotad a superio r o inferiorm ente dando un a cota. Di si alcanza

su máximo o mínimo.

a) f(x)=x2-1 en [-1,1].

b) g(x)=x2 en [-3,4].

c) h(x)=Lx en [0,e].Solución. a) Sí, sí, 0, -1, sí, sí. b) Sí, sí, 16, 0, sí, sí. c) Sí, no.

2. La función: ¿está acotada en el intervalo [0,3]? ¿Contradice este caso el teorema sobre la

acotación de funciones en un intervalo cerrado?Solución. No. No ya que no es continua en x=1.

3. Dada la función f(x)= . a) Demuestra que es continua en [0,1]. b) Halla una cota inferior y otra superior en [0,1].

c) Halla su máximo y su m ínimo en [0,1].


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Solución. a) Continua en R--1 . b) 3, 2 por ejemplo. c) , 0.

5. EJERCICIOS.

1. Dem uestra qu e las siguien tes ecuacio nes tienen , al meno s, una raíz re al.

a) cosx=x-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. En (0,2) por Bolzano.

b) 2x-1=cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. En (0,2) por Bolzano.

c) xcos +15senx=15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. En (0, ) por Bolzano.

d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. En (-1,0) por Bolzano.

e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. En (-2,0) por Bolzano.

f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución. En (0,2) por Bolzano.

2. Demuestra que las curvas f(x)= y g(x)=x2-4 se cortan en un único punto. ¿Cuál puede ser la parte entera de la

abscisa de este punto?Solución. Aplica el corolario 2 al intervalo [1,2] (por ejemplo). Abscisa 1.

3. La función f(x)=tgx toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [ , ] y, sin embarg o, no se anula

en él. ¿Contradice esto el teorema de Bolzano?

Solución. No. No es continua en x= .

4. Sea Se verifica que: f(-1)<0 y f(1)>0 y sin embargo en el intervalo (-1,1) es f(x)…0. ¿Contradice

esto el teorema de Bolzano?Solución. No. No es continua en x=0.

5. ¿Podemos aplicar el teore ma de B olzano p ara asegu rar que la e cuación : x4+ =0 tiene alguna raíz en el intervalo

(0,3)? ¿Y en el intervalo (-2,0)?

Solución. No. No es co ntinua en x=2. Sí. f(-2)= , f(0)= .

6. Siendo f(x)= . a) ¿Es f continua en el intervalo (1,2)? b) ¿Está f acotada en dicho intervalo? c) ¿Tiene algún

máxim o o mínim o absolutos? d) ¿S e contradice el teorem a de Weierstrass?Solución. a) Sí. b) No. c) No, no. d) No.

6. EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS P.A.U..

1. Detecta tres intervalos en cada uno de los cuales sólo haya una raíz de la ecuación x3-3x+1=0. ¿En qué teoremas te

apoyas?Solución. (-2,0), (0,1), (1,2).

2. Supongamos una función definida en todo R. Contesta razonadamente si en algún caso entre los siguientes se puede

asegurar que f es positiva en algún entorno de x=5.

a) f es continua en 5 y f(5)=9.

b) Existe límite de f en 5 y vale 7.

c) f(5)=200.Solución. a) Sí. b) Sí, c) No.


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3. Calcula, ra zonad amen te: .

Solución. 4.

4. Dada f(x)= , halla sus límites al tender x a 1 y a +4 respectivamente.

Solución. 25. e 8.

5. Calcula .

Solución. e.

6. Calcula .

Solución. .

7. Calcula, razonadamente .

Solución. .

8. Sean f(x)=x2-1, g(x)=x-1. ¿Por qué ?

9. Estudia la continuidad de la función f(x)= .

Solución. No es continua en x=0.

10. Demuestra que la función es discontinua en x=0.

Solución. 1…0.

11. Estudia la continuidad de .

Solución. Si x 6 0 - f(x) 6 . Si x 6 0+ f(x) 6 1. La función no es continua en x=0.

12. ¿Para qué valores de x tiene sentido la expresión f(x)= + - ? ¿Es continua la función f?Solución. Está definida y es continua en el intervalo [-4,4].

13. Sea f una función de la que se sabe que: f( )= , f( )= y, en general f( )= para todo n0N. Si f es continua en

el origen, ¿qué se puede asegurar del valor de f en el origen, f(0)?Solución. f(0)=0.

14. Estudia la continuidad de la función en el intervalo [-B,B].

7. OTROS EJERCICIOS.

1. Mediante la definición de límite prueba que:

a) b) c)

En cada uno de los casos calcula * siendo ,=0'01.


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Solución.


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8. ANEXO: INDUCCIÓN MATEMÁTICA.

El principio de inducción matemática es una importante propiedad de los números naturales. Es útil para demostrar

enunciados en que intervienen número s naturales cuando se sabe q ue los enunciad os son válidos pa ra n=1,2,3, pero se

sospecha qu e son válidos para todos los núm eros naturales. El m étodo consta d e los siguientes pasos:

1. Verificar el enunciado para n=1 (o para otro núm ero natural).

2. Suponer cierto el enunciado para n=k.

3. A partir de la suposición anterior se demuestra que el enunciado es válido para n=k+1. Ésta es la parte de

la demostración que establece la inducción y puede ser difícil y hasta imposible.

4. Como el enunciado es cierto para n=1 (paso 1) debe ser cierto (paso 3) para n=1+1=2 y, p or tanto, para

n=2+ 1=3, etc., y entonce s será cierto p ara todo n úmero natural.

‚ Demostremos que 1 2 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = .

Para n=1 , 12 = = 1.

Supo ngam os cierto para n= k: 1 2 + 22 + 32 + 42 + ... + k2 = .

Veamos que es cierto para n=k+1. Sumando (k+1)2 a ambos miembros:

12 + 22 + 32 + 42 + ... + k2 + (k+1)2 = + (k+1)2 = (k+1)[ ] = = que

muestra que el enunciado es cierto para n=k+1.

‚ Demostremos que x n-yn es divisible por x-y para todo número natural n.

Para n=1 , x1-y1=x-y.

Supo ngam os cierto para n= k: x k-yk es divisible por x-y.

Veamos que es cierto para n=k+1. Consideramos xk + 1-yk + 1 = xk + 1-xky+xky-yk + 1 = xk(x-y)+y(x k-yk) que es múlt iplo de x-y como se puede observar.

‚ Demostremos la desigualdad de Bernoulli (1+x)n > 1+nx para n=2,3,... si x>-1 y x…0.

Para n=2, (1+x)2 = 1+2x+x2 > 1+2x.

Supongamos cierto para n=k: (1+x)k > 1+kx.

Veamos que es cierto para n=k+1. Multiplicando los dos miembros de la expresión anterior por (1+x) que es mayor que cero por ser x>-1 se

tiene: (1+x)k + 1 > (1+x)(1+kx) = 1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.

Nótese que el resultado no es cierto para n=1. Modificando el enunciado así: (1+x)n $ 1+nx es c ierto para para n =1,2,3,...

Ejercicios.

1. Demuestra por inducción que:

a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2.

b) .

c) a + (a+d) + (a+2d) + ... + [a+(n-1)d] = .

d) .

e) a + ar + ar2 + ... + arn-1 = , r…1.

f) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = .

g) 1A5 + 2A52 + 3A53 + ... + nA5n = .

h) x2n-1 + y2n-1 es divisible p or x+y para n= 1,2,3...

i) senx + sen2x + ... + sennx = , x…0,±2B,±4B,...


))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


j) + cosx + cos2x + ... + cosnx = , x…0,±2B,±4B,...

Universidad Andrés Bello.

Departamento de Matemáticas. David Zúñiga Contreras

1. Calcular los siguientes límites:

a)

−→ 231

11

xxlímx

Solución:

Lo primero es evaluar la tendencia en el límite y si da un valor finito, entonces ese es el valor

del límite, en efecto:

01

1

1

11123

1=−=

−→ xxlímx

011

231

=

−∴→ xxlímx

b) 2812

4lim

2

2

2 −+−

→ xx

x

x

Solución:

Para el cálculo de límites algebraicos es necesario dominar ciertas técnicas algebraicas, las más

usuales son la racionalización y la factorización (productos notables).

Productos notables elementales:

222 2)( bababa +±=± Cuadrado de binomio.

22)()( bababa −=−⋅+ Suma por su diferencia (diferencia de cuadrados)

32233 33)( babbaaba +++=+ Cubo de binomio.

32233 33)( babbaaba −+−=− Cubo de binomio.

)()( 2233 babababa ++⋅−=− Diferencia de cubos.

)()( 2233 babababa +−⋅+=+ Suma de cubos.

Si evaluamos el límite en la tendencia dada nos da la forma indeterminada 0

0, luego

factorizando tenemos:

)14(

)2(lim

)14()2(

)2()2(lim

2812

4lim

222

2

2 ++=

+⋅−+⋅−=

−+−

→→→ x

x

xx

xx

xx

x

xxx

Evaluando nuevamente la tendencia tenemos:

4

1

16

4

)14(

)2(lim

2==

++

→ x

x

x

4

1

2812

4lim

2

2

2=

−+−∴

→ xx

x

x



c) 27

9lim

3

2

3 −−

→ x

x

x

Solución:


0, luego

factorizando tenemos:

(En el numerador suma por su diferencia y en denominador diferencia de cubos)

)93()3(

)3()3(lim

3

3lim

2333

22

3 ++⋅−+⋅−=

−−

→→ xxx

xx

x

x

xx

Factorizando el numerador por “ -1 ” (dejando el signo menos fuera del paréntesis)

)93(

)3(lim

)93()3(

)3()3(lim

2323 +++−=

++⋅−+⋅−−

→→ xx

x

xxx

xx

xx


9

2

27

6

)93(

)3(lim

23−=−=

+++−

→ xx

x

x

9

2

27

9lim

3

2

3−=

−−∴

→ x

x

x

d) x

xxlímx

−−+→

11

0

Solución:


0, luego

“racionalizando” (multiplicando por un uno inteligente) tenemos:

xx

xx

x

xxlímx −++

−++⋅−−+→ 11

1111

0Nos queda una suma por su diferencia luego

escribimos:

( ) ( )( )xxx

xxlímx −++⋅

−−+→ 11

1122

0 El cuadrado se simplifica con la raíz, no olvide poner el

paréntesis, reduzca términos semejantes y simplifique la “ x ” nos queda:

( ) ( ) ( )xxlím

xxx

xlím

xxx

xxlím

xxx −++=

−++⋅=

−++⋅−−+

→→→ 11

2

11

2

11

)1(1

000


( ) 111

2

11

2

0=

+=

−++→ xxlímx

111

0=−−+∴

→ x

xxlímx



e) x

xlímx −

+−→ 1

32 2

1

Solución:


0, luego


32

32

1

32

2

22

1 ++++⋅

−+−

→ x

x

x

xlímx

Nos queda una suma por su diferencia luego escribimos:

( ) ( )( )32)1(

32

2

222

1 ++⋅−+−

→ xx

xlímx

Al simplificar el cuadrado con la raíz no olvide poner el

paréntesis:

( ) ( ) ( )32)1(

1

32)1(

)34

32)1(

)3(4

2

2

12

2

12

2

1 ++⋅−−=

++⋅−−−=

++⋅−+−

→→→ xx

xlím

xx

xlím

xx

xlím

xxx

Si evaluamos nuevamente la tendencia, en este paso, nos sigue dando indeterminado, luego

debemos seguir manipulando algebraicamente la función para esquivar (eliminar) la

indeterminación, en efecto, en el numerador tenemos suma por su diferencia:

( ) ( ) ( )32

)1(

32)1(

)1()1(

32)1(

1

21212

2

1 +++=

++⋅−+⋅−=

++⋅−−

→→→ x

xlím

xx

xxlím

xx

xlím

xxx

Si evaluamos nuevamente la tendencia, ahora no nos da indeterminado:

( ) 2

1

42

2

32

)1(

21=

+=

+++

→ x

xlímx

2

1

1

32 2

1=

−+−∴

→ x

xlímx

f) 2

233

2 −−

→ x

xlímx

Solución:


0, pero en este

caso no tenemos raíces cuadradas para “racionalizar” y generar la suma por su

diferencia, ahora tenemos raíces cúbicas luego generaremos el producto notable llamado

diferencia de cubos: )()( 2233 babababa ++⋅−=−

Note que 33 2−x Corresponde a )( ba − , es decir, 3 xa = y 3 2=b

Luego multiplicando por un uno inteligente el límite original, tenemos:



( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

+⋅+⋅−

−=+⋅+

+⋅+⋅−−

→→ 2333

23

33

33

22

3332

3

2333

2333

2222

2

22

22

2

2

xxx

xlím

xx

xx

x

xlím

xx

( )( ) ( ) ( )

+⋅+⋅−

−=→ 2

3332

32222

2

xxx

xlímx

Simplificando por )2( −x y evaluando la

tendencia tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )232

3332

32

3332

32 23

1

2222

1

22

1

⋅=

+⋅+=

+⋅+=

→ xxlímx

( )23

33

2 23

1

2

2

⋅=

−−∴

→ x

xlímx

g) 98

121 −+

−→ xx

xlímx

Solución:


0, en este caso

racionalizamos y luego factorizaremos la expresión cuadrática, en efecto:

1

1

98

121 +

+⋅−+

−→ x

x

xx

xlímx

( ) ( )( )1)98(

1

1

1

98

12

22

12

1 +⋅−+−=

++⋅

−+−=

→→ xxx

xlím

x

x

xx

xlím

xx

( )1)9()1(

)1(

1 +⋅+⋅−−

→ xxx

xlímx

Simplicando:

( )1)9(

1

1 +⋅+→ xxlímx

Evaluando nuevamente la tendencia:

( ) 20

1

210

1

1)9(

1

1=

⋅=

+⋅+→ xxlímx

20

1

98

12

1=

−+−∴

→ xx

xlímx

h) 2

2

1

4

1

2 +

−+

−→ x

xlímx

Solución:


0, pero en este lo

primero es sumar las fracciones del numerador, en efecto:

)2()82(

2

1

282

2

1

2

)4(2

)4(2

2

2

1

4

1

2222 +⋅+−−=+

+−−

=++⋅+−

=+

−+

−→−→−→−→ xx

xlím

xx

x

límx

x

x

límx

xlímxxxx

Factorizando el numerador por menos uno (-1)

)2()82(

)2(

)2()82(

2

22 +⋅++−=

+⋅+−−=

−→−→ xx

xlím

xx

xlím

xx Simplificando y luego evaluando

nuevamente la tendencia:



4

1

84

1

822

1

)82(

1

2−=

+−−=

+−⋅−=

+−=

−→ xlímx

i) Si xxf =)( Determine el valor de h

xfhxflímh

)()(

0

−+→

Solución: se reemplazan los valores de )(xf y )( hxf + en el límite donde xxf =)( ,

luego hxhxf +=+ )( luego:

( ) ( )( )xhxh

xhxlím

xhx

xhx

h

xhxlím

h

xfhxflím

hhh ++⋅−+=

++++⋅−+=−+

→→→

22

000

)()(

( ) ( ) ( )xhxlím

xhxh

hlím

xhxh

xhxlím

hhh ++=

++⋅=

++⋅−+=

→→→

1)(

000

Evaluado la tendencia (recuerde que es h ) tenemos:

( ) xxxxxxhxlímh 2

11

0

11

0=

+=

++=

++→

xh

xfhxflímh 2

1)()(

0=−+

→

j) 35

443lim

4 −+−+

→ x

x

x

Solución:


0, luego


35

35

443

443

35

443lim

4 ++++⋅

++++⋅

−+−+

→ x

x

x

x

x

x

x

( )( ) 443

35

35

443lim

22

22

4 ++++⋅

−+

−+=→ x

x

x

x

x

( )( )

( )( ) 443

35

4

123lim

443

35

95

1643lim

443

35

95

1643lim

444 ++++⋅

−−=

++++⋅

−+−+=

++++⋅

−+−+=

→→→ x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxx

( )443

353lim

443

35

4

)4(3lim

44 ++++=

++++⋅

−−=

→→ x

x

x

x

x

x

xx

Evaluando nuevamente la tendencia, tenemos:

( )4

9

8

18

443

353lim

4==

++++

→ x

x

x

4

9

35

443lim

4=

−+−+∴

→ x

x

x



2. Encuentre el valor de la constante a de modo que la función )(xf sea continua en todo IR .

≤+

>+

+−

=0

011

)(

2

2

xsiax

xsixx

x

xf

Solución:

Para 0<x )(xf es siempre continua (pues para 0<x la función es un polinomio, y un

polinomio es continuo para todos los reales); para 0>x )(xf es continua (la fracción no se

indetermina para ningún valor 0>x ), pero recuerde que por muy continua que sean las ramas

de una función, podemos tener problemas en el “punto de cambio”, es decir, donde se produce

el cambio de rama, en este caso 0=x , analicemos entonces la continuidad en 0=x

i) aaf =+= 20)0( (si existe la imagen del punto en cuestión)

ii) El )(lim0

xfx→

debe existir. Para probar esto debemos calcular los límites por la derecha y por

la izquierda y estos deben ser iguales. (se analizan los límites laterales ya que si nos

aproximamos a 0 con valor más pequeños que él, esto es por la izquierda, la imágenes se

obtendrán del polinomio; mientras que si nos acercamos a cero con valores mas grandes que

cero, esto es por la derecha, las imágenes se obtendrán de la parte racional) En efecto:

)(lim)(lim00

xfxfxx +− →→

=

aaaxx

=+=+−→

22

0

0lim

0

011lim

20

=+

+−+→ xx

x

x “racionalizando”

( )( )( )

( )( )( )11

11lim

11

11lim

11

1111lim

202

22

02

0 ++++−=

++++−=

++++⋅

++−

+++ →→→ xxx

x

xxx

x

x

x

xx

x

xxx

( )( )111lim

0 +++−=

+→ xxx

x

x Simplificando,

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2

1

111

1

10110

1

111

1lim

0−=

+−=

+++−=

+++−=

+→ xxx

Y para que el límite exista se debe imponer que: por la derecha y por la izquierda sean iguales,

esto es:

)(lim)(lim00

xfxfxx +− →→

=

2

1−=a y con esto hemos encontrado el valor de a

Por último es fácil ver que:

iii) )(lim)0(0

xffx→

=

1.-a)

limx→ a

x2 − (a + 1)x + a

x3 − a3

= limx→ a

(x− a)(x− 1)(x− a)(x2 + ax + a2)

= limx→ a

(x− 1)(x2 + ax + a2)

=(a− 1)

(a2 + a · a + a2)

=a− 13a2

b)

limx→ 2

x2 − 2x

x2 − 4x + 4

= limx→ 2

x(x− 2)(x− 2)2

= limx→ 2

x

(x− 2)

=2

(2− 2)

=20, No existe el limite

c)

limx→ 8

x− 83√

x− 2

Cambio de variable: 3√

x = U ⇒ x = U3

Ademas: x→ 8⇒ U → 2

= limU→ 2

U3 − 8U − 2

= limU→ 2

(U − 2)(U2 + 2U + 4)U − 2

= limU→ 2

(U2 + 2U + 4)

1

= (22 + 2 · 2 + 4)

= 12

d)

limx→ 2

5x2 − 7x− 67x2 − 17x + 6

= limx→ 2

(x− 2)(5x + 3)(x− 2)(7x− 3)

= limx→ 2

(5x + 3)(7x− 3)

=(5 · 2 + 3)(7 · 2− 3)

=1311

Hay dudas con la factorizacion?, bien es sencilla si lo hacemos mediante la formula de la funcioncuadratica:

−b±√

b2 − 4ac

2a

Para el numerador: =7±

√72 − 4 · 5 · (−6)

2 · 5⇒ 7± 13

10x1 = 2x2 = −3/5

Pero recordemos que para utilizar esta formula, el polinomio debe estar igualado a 0, por lotanto, segun las raices:

x1 − 2 = 05 · x2 + 3 = 0, Entonces nustras factorizaciones son:

(x− 2)(5x + 3)

2

2.-

f(x) =

(2x + 1)2 − 1

2x, x < 0

5x + 2, x ≥ 0

Para analizar la continuidad, debemos comprobar que los limites laterales sean iguales y ademasla funcion evaluada en el punto critico en cuestion.

El punto donde ocurre una anomalia es el punto 0, eso se aprecia en los intervalos de la funcion.

LLI) limx→ 0−

(2x + 1)2 − 12x

= limx→ 0−

4x2 + 4x + 1− 12x

= limx→ 0−

4x2 + 4x

2x

= limx→ 0−

2x(2x + 2)2x

= limx→ 0−

(2x + 2)

= 2

LLD) limx→ 0+

5x + 2

= 2

Comprobamos que LLI=LLD, luego la funcion en 0, f(0) = 5 · 0 + 2 = 2

Por lo tanto la funcion es continua en todos los Reales.

3

Derivada :

Def: sea una función continua en definiremos la derivada de como :

Que se puede denotar :

Donde cabe destacar la diferencia existente entre :

donde :

Es la derivada de y con respecto a x

Es la derivada de x con respecto a y

La interpretación geométrica de la derivada es :

"La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a tal función "

Ejemplos de derivada ocupando la definición :

Derivar usando la definición :

nos queda :

pero que ocurre cuando tenemos que derivar :

Es un poco mas laborioso ocupar esa definición para funciones mas extensas , por eso existen las formulas de derivación , para ahorrarnos trabajo , son lassiguientes :

Primero definiremos :

sean u y v funciones de una misma variable .n pertenecientes a los naturales c un numero real

1) Derivadas algebraicas ( suma , resta , multiplicación . etc...)

2) derivadas de razones trigonometricas :

3) derivadas exponenciales y logarítmicas :

4) derivadas de las funciones arcos :

Esas son todas las formulas de derivación , la mejor forma de aprendérselas es con muchos ejercicios , que fácilmente los pueden encontrar en los propuestos de fmat .

Ejemplos de derivadas :

1) Derive :

a)

entonces la derivada quedaría ocupando la formula:

b)

ocupando la formula del producto y de cosecante :

con u y v funciones de mismavariable

nos queda:

c)

d)

e) demostrar que satisface la ecuación:

entonces derivamos la función :

y la reemplazamos en la ecuación que nos indican:

luego también reemplazamos la función sin derivar y resolvemos:

Quedando demostrada la igualdad .

1.1 Derivada implicita :

Nosotros cuando estamos en presencia de funciones explícitamente escritas , ósea quelas variables se pueden despejar una en función de la otra , podemos derivartranquilamente con las formulas de derivación pertinentes sin problemas , un ejemplode función explicita es el siguiente :

Pero cuando estamos en presencia de funciones implícitas , ósea las variables no sepueden despejar una en función de otra , como es el caso por ejemplo :

Tenemos que derivar usando la derivación implícita , trata de lo siguiente , cuandoderivamos implícitamente , dependiendo a que variable estemos buscando la derivadatendremos que a esa variable al derivarla multiplicarla por la derivada de esa variablecon exponente 1 , ósea es como multiplicar por un 1 y así no alterar el resultado .

Ejemplo de derivada implícita :

Derivemos la siguiente función con respecto a x , ósea :

como nos damos cuenta cada vez que derivamos la variable y , le multiplicamos el uno característico que explique , luego arreglamos algebraicamente para despejar ese y' :

1.2 Derivación logarítmica :

Se aplica cuando el exponente de una función es otra función :

se hace lo siguiente :

ejemplo :

2.0 Aplicaciones de la derivada :

1) Como definimos al principio , la derivada es la pendiente de la recta tangente de lafunción en cuestión , entonces vamos a ver las ecuaciones de las rectas tangente ynormal :

Recta tangente : la recta tangente a una función f(x) en un punto es una recta Lque toca en ese punto a la función , llamándose punto de tangencia :

La ecuación es la siguiente :

donde claramente vemos que la pendiente es la derivada de la función .

Recta normal : es la recta perpendicular a la recta tangente , cuya ecuación es lasiguiente :

- Cabe recordar dos puntos :

a) rectas paralelas : son aquellas rectas que sus pendientes son iguales .b) rectas perpendiculares : son aquellas rectas cuyas pendientes al ser multiplicadasentre si dan como resultado -1 .

2.1 Aplicación en limites : Se ocupa cuando el limite no se puede calcular , obteniendouna forma

indeterminada de la forma :

entonces se define lo siguiente :

sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables y el siguiente limite :

obteniendo una forma indeterminada , entonces se puede calcular de la siguienteforma :

Esta regla es la famosa regla de L'hopital derivando cada función por separado , Estaregla es la famosa regla de L'hopital .

Ejemplo :

2.2 Razón de cambio: La derivada de una función f(x) representa la variación de lavariable dependiente y , y la variación de la variable indetependiente x , es decir , representa una razón decambio .

En general en los problemas de razón de cambio se usa la derivación implícita para unafunción y=f(x)

ejemplo : Las tres variables se relacionan entre si en la siguiente formula :

donde V= volumen , r = radio , h = altura

si la derivamos implícitamente con respecto al tiempo nos queda :

donde :

es la variación del volumen con respecto al tiempo

es la variación del radio con respecto al tiempo

es la variacion de la altura con respecto al tiempo

Que quiere decir esto , por ejemplo si tenemos lo siguiente :

Quiere decir que aumenta su volumen 10 centímetros cúbicos por cada segundo .

Ejemplo de razón de cambio :

Uno de los extremos de una escalera de 15 metros de longitud se apoya a una paredvertical , levantada en un piso horizontal , suponiendo que se empuja el pie de la escalera alejándolo de lapared a razón de0,9 m/min. .

¿ con que velocidad baja la extremidad superior de la escalera considerando que su piedista 4 metros de la pared ?

primero le asignaremos letras a cada variante :

Escalera : zpared : xpiso : y

sabemos lo siguiente :

z=15 metros dx/dt= 0,9 m/minx= 4 metros nos piden dy/dt

sabemos que como la escalera forma un triangulo rectángulo con la pared y el suelopodemos relacionarlos así :

donde si derivamos con respecto al tiempo nos queda ;

donde obtenemos:

y también sabemos que :

reemplazamos en la relación anterior :;

por lo tanto , vemos que como es negativo lógicamente la escalera va bajando y baja

0,25 metros por cada minuto .

3.0 Análisis de curvas :

a) Teorema de rolle :

sea y=f(x) una función real tal que :

º f es continua en

º f es derivable en º f(a)=f(b)=0

El teorema de rolle también puede cumplirse si la tercera condición se transforma en :

ejemplo :

verifique que se cumple el teorema de rolle en la función :

en : (-3,2)

primero vemos en -3 :

f(-3)=9+-3+4=10

luego en 2 :

f(2)=4+2+4=10

así vemos que : f(-3)=f(2) entonces si se cumple el teorema .

b) Teorema de La Grange ( o teorema del valor medio ) :

Corresponde a una generalización del teorema de rolle , sea y=f(x)

a) f es continua en b) es derivable en (a,b)c) c pertenece a (a,b)

diremos que :

OBS : geométricamente el teorema indica la existencia de una recta tangente a lagrafica de la función y=f(x)

ejemplo :

verifique que se cumple el teorema de la grange para la función en

luego :

con lo que se cumple porque pertenecen al intervalo .

c) Valores extremos : Los valores extremos los obtenemos derivando la función y la derivada igualándola a cero . Estos valores son llamados puntos críticos

Teorema : si f es continua en entonces :

a.1)si f(x) es creciente en el intervalo (a.b)

a.2) si es decreciente en el intervalo (a,b)

Nosotros sabemos que las funciones pueden ser crecientes o decrecientes , entoncescomo podemos saber en que intervalo es creciente o decreciente , ya que lasfunciones son infinitas , porque en su condición nos dice que es derivable y continuaen su dominio ; por tanto para poder analizar eso , debemos primero obtener lospuntos críticos , cuando ya los tenemos analizamos buscando cualquier numero que pertenezca en el intervalo correspondiente , digamos que una función y=f(x) tiene un punto critico en b , entonces nosotros por decir primero analizamos en el

intervalo , elegimos un numero que pertenezca a ese intervalo y loreemplazamos por la variable en la derivada , si ese valor nos da negativo , decimosque la función en ese intervalo es decreciente , y si nos da positivo diremos que esafunción es creciente en ese intervalo . Cabe destacar si tenemos intervalos juntosdonde un signo es negativo y el otro positivo o viceversa , diremos que :

a) si es de la forma - + , entonces el punto critico b corresponde que existe un mínimoen f(b)b) si es de la forma + - , entonces el punto critico b corresponde que existe un máximoen f(b)

ejemplo : encuentre los puntos críticos de la función :

primero derivamos una vez e igualamos a cero la derivada :

donde vemos que es -1 el punto critico , luego hacemos la tabla :

entonces decimos que :

Existe un mínimo relativo en f(-1)

y es decreciente en el intervalo :

es creciente en el intervalo :

Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos :

sea c un punto critico de la función t=f(x) , talque la derivada sea igual a cero ysupongamos que f(x) existe para todo x pertenecientes al dominio de f(x) , entonces si f© existe , podemosdecir :

a) f(x) tiene un máximo en x=c

b) f(x) tiene un mínimo en x=c

d) Concavidad y puntos de inflexión :

teorema : sea f(x) derivable en algún intervalo , que contiene a c pertenecienrte a losreales , y f(x) existe en la derivada , entonces :

a.1) si f(x) es concava

a.2) si f(x) es convexa

Los puntos de inflexion son puntos en los que la funcion cambia de concava a convexay los encontramos derivando dos veces la funcion e igualando a cero , es comoparecido a los puntos criticos .

ejemplo :

determine los puntos de inflexion de la funcion :

derivamos dos veces :

igualamos a cero :

y la concavidad es :

es convexa

y : es concava

haciendo la tabla se obtienen esos valores :

porque x-2 que es ( 6x-12 ) desde el menos infinito al 2 es convexa , porque esnegativa , y para el 2 hasta el infinito es concava porque es positiva .

e) Asintotas : las asintotas son rectas a las cuales la funcion se va aproximando peronunca toca .

Se clasifican en :

1) Asintota vertical : ( paralela al eje y ) sea f(x) función , entonces si existe x=a , talque :

se dice que la recta x=a es una asintota vertical de f(x)

2) Asintota Horizontal : ( paralela al eje x ) sea f(x) función , entonces si el limite :

existe , entonces la recta y=L es una asintota horizontal

3) asintota oblicua : ( inclinada ) la recta y=mx+n es una asintota oblicua si existe :

y también :


Desarrollo: David Zúñiga Contreras

1. Derive la siguiente función:

a) )5ln( ++

+=xxe

senxey

x

x

Solución: aplicando regla del cociente tenemos:

( ) ( ) ( )[ ]2)5ln(

5

1)5ln(cos

'++

+++⋅+−++⋅+

=xxe

xxeesenxexxexe

yx

xxxxx

b)

−=

xseny

1

1

Recordando la derivada elemental de seno y luego aplicando regla de la cadena,

tenemos:

−⋅

−=

−−⋅−−⋅⋅

−=

22 )1(

1

1

1cos

)1(

11)1(0

1

1cos'

xxx

x

xy

c)

+−=x

xy

1

1ln

Aplicando la regla de la cadena para derivar el logaritmo natural y luego para derivar la

raíz cuadrada, note que para derivar el argumento (lo que está adentro) de la raíz se

aplica regla del cociente.

++−−−⋅

+−⋅

=

+⋅−−+⋅−⋅

+−⋅

⋅

+−

=222 )1(

11

1

12

1

)1(

1)1()1(1

1

12

1

1

1

1'

x

xx

x

xx

xx

x

x

x

xy

1

1

1

1

)1()1(

1

)1(1

12

2'

222 −

=−−=

+⋅−−=

+⋅

+−⋅

−=xxxx

xx

xy

d) xxy +=

Solución:

+⋅+

=xxx

y2

11

2

1'

2. Verifique si 2

222 ++= xxy satisface la ecuación ( ) yy 2'1

2 =+

Solución:

Calcularemos 'y y reemplazaremos en la ecuación para ver si se cumple: note que para

derivar la función, no es necesario aplicar la regla del cociente ya que en el

denominador aparece sólo una constante

12

)1(2

2

22' +=+=+= x

xxy , reemplazando este valor en la ecuación ( ) yy 2'1

2 =+

tenemos:

yx 2)1(1 2 =++ Desarrollando el binomio al lado izquierdo y reemplazando y :

2

222121

22

/++⋅/=+++ xx

xx

2222 22 ++=++ xxxx , luego la función si satisface la ecuación.



3. Sea x

aaxxf

2

3)(

22 −= . Determine el valor de “ a ” si se sabe que 5)1(' =f

Solución:

Derivando por regla del cociente tenemos:

( ) 2

22

2

22

2

222

2

22

4

)3(2

4

26

4

2612

2

2)3(26)('

x

aax

x

aax

x

aaxax

x

aaxxaxxf

+=+=+−=⋅−−⋅=

2

22

2

3)('

x

aaxxf

+= Luego se sabe que 5)1(' =f , entonces

52

3

12

13)1('

2

2

22

=+=⋅

+⋅= aaaaf Despejando a de esta ecuación:

0)2()5(0103103 22 =−⋅+⇒=−+⇒=+ aaaaaa

Luego se tiene dos soluciones 5−=a y 2=a

4. Dada )2()( 2 xsenxf = y 1)( 2 −= xxg . Encuentre ( )'fg o

Solución: Efectuando la composición y luego derivando tenemos:

( ) ( ) ( ) [ ] 1)2(1)2(1)()( 4222 −=−=−== xsenxsenxfxfgfg o

( ) ( )2)2cos()2(41)2(2

1' 3

4⋅⋅⋅

−= xxsen

xsenfg o

Obs.: [ ]33 )2()2( xsenesxsen

( )1)2(

)2cos()2(4'

4

3

−⋅=xsen

xxsenfg o

5. Suponiendo que f y g son funciones derivables tales que:

3)2( =f , 1)2(' −=f , 5)2( −=g , 2)2(' =g . Calcular: ( ) )2('3ggf +⋅

Solución: derivando el paréntesis, note que se aplica regla del producto para derivar

gf ⋅ , y luego regla de la cadena para derivar 3g (recuerde que la derivada elemental es 3x y no 3g ).

En efecto:

( ) '3''' 23 gggfgfggf ⋅⋅+⋅+⋅=+⋅ Evaluando en 2.

( ) )2(')2(3)2(')2()2()2(')2(' 23 gggfgfggf ⋅⋅+⋅+⋅=+⋅ Reemplazando por los

datos.

Obs.: [ ]22 )2()2( gesg

( ) 1612253652)5(32351)2(' 23 =⋅⋅++=⋅−⋅+⋅+−⋅−=+⋅ ggf



6. Dado x

senxy

cos1−= demuestre que ( ) 0'''

2 =−⋅ ysenxy

Solución:

Obtengamos 'y e ''y para reemplazar en la ecuación:

Derivando por regla del cociente:

2

22

2

22

2 )1(cos

)(coscos

)1(cos

coscos

)cos1(

)()cos1(cos'

−+−=

−−−=

−⋅−−⋅=

x

xsenxx

x

xsenxx

x

senxsenxxxy

1cos

1

)1(cos

1cos'

2 −=

−−=

xx

xy

Obs.: xxxx 222 coscos21)cos1()1(cos +−=−=−

Derivando nuevamente por regla de cociente:

22 )1(cos)1(cos

)(1)1(cos0''

−=

−−⋅−−⋅=

x

senx

x

senxxy

Reemplazando en la ecuación:

∴ ( ) 0'''2 =−⋅ ysenxy

∴ 0)1(cos)1(cos)1(cos1cos

1222

2

=−

−−

=−

−⋅

− x

senx

x

senx

x

senxsenx

x

QED.

7. Verificar que la función: )cos(ln)(ln xxseny += satisface la ecuación:

0'''2 =++ yyxyx

Solución:

Debemos encontrar los valores de ''y e 'y respectivamente para luego reemplazar en la

ecuación y demostrar que se cumple.

En efecto:

( ))(ln)cos(ln11

)(ln1

)cos(ln' xsenxxx

xsenx

xy −⋅=⋅−⋅=

( )

⋅−⋅−⋅+−⋅−=x

xx

xsenx

xsenxx

y1

)cos(ln1

)(ln1

)(ln)cos(ln1

''2

2222

1)cos(ln

1)(ln)(ln

1)cos(ln

1''

xx

xxsenxsen

xx

xy ⋅−⋅−⋅+⋅−=

)cos(ln2

''2

xx

y ⋅−=

Reemplazando 'y e ''y en la ecuación: 0'''2 =++ yyxyx

( ) 0)cos(ln)(ln)(ln)cos(ln1

)cos(ln2

'''

2

2 =++−⋅⋅+⋅−⋅444 8444 76

4444 84444 764484476 yyy

xxsenxsenxx

xxx

x

Simplificando:

0)cos(ln)(ln)(ln)cos(ln)cos(ln2 =++−+− xxsenxsenxx

Claramente se eliminan todos los términos ...00 deq=∴



8. Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva

142 232 +−=− xxyyx en el punto )1,1(

Solución:

La forma (principal) de la ecuación de cualquier recta es: nmxy +=

Para encontrar la ecuación de cualquier recta necesitamos o dos puntos, o bien, un punto

y la pendiente.

En este caso nos dan un sólo punto )1,1( , y la pendiente de la recta tangente es la

derivada, así tenemos un punto y la pendiente,

Para encontrar la pendiente de la recta tangente (la derivada) debemos derivar

implícitamente, en efecto:

dx

dxxyyx 142 232 +−=−

42'6'2 22 −=−+ xyyyxxy Despejando 'y

422'6' 22 −−=− xyxyyyx

422)6(' 22 −−=− xyxyxy

tgmyx

xyxy =

−−−=22 6

422'

Esta es la forma de la pendiente de la recta tangente, para saber el valor numérico de la

pendiente en el punto )1,1( se debe evaluar en dicho punto (reemplazar la “x” por 1 e

“y” por 1). En efecto:

5

4

5

4

61

422

161

411212'

22=

−−=

−−−=

⋅−−⋅⋅−⋅=y

Ahora para encontrar la ecuación de la recta tangente tenemos el punto )1,1( y la

pendiente en ese punto: 5

4

Luego la recta tangente es: nxy +=5

4 para conocer el valor de ""n usamos el hecho

simple que si un punto pertenece a una recta, entonces sus coordenadas satisfacen su

ecuación, en efecto: nnn =⇒=−⇒+⋅=5

1

5

411

5

41

∴ Ecuación de la recta tangente:5

1

5

4 += xy

La recta normal se define como la perpendicular a la recta tangente en el punto de

tangencia, es decir, para encontrar su ecuación ocupamos el mismo punto )1,1( y la

pendiente la despejamos de la condición de perpendicularidad entre rectas:

1−=⋅ nortg mm

4

51

5

4 −=⇒−=⋅ nornor mm

Luego la recta tangente es: nxy +−=4

5 para conocer el valor de ""n usamos el hecho


ecuación, en efecto: nnn =⇒=+⇒+⋅−=4

9

4

511

4

51

∴ Ecuación de la recta normal:4

9

4

5 +−= xy



9. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 32 4axy = en el punto ( )22, aa

Solución:

La forma (principal) de la ecuación de cualquier recta es: nmxy +=

Para encontrar la ecuación de cualquier recta necesitamos o dos puntos, o bien, un punto

y la pendiente.

En este caso nos dan un sólo punto )2,( 2aa , y la pendiente de la recta tangente es la

derivada, así tenemos un punto y la pendiente,

Para encontrar la pendiente de la recta tangente (la derivada) debemos derivar

implícitamente, en efecto:

dx

daxy 32 4=

y

axyaxyy

2

12'12'2

22 =⇒=

Esta es la forma de la pendiente de la recta tangente, para saber el valor numérico de la

pendiente en el punto )2,( 2aa se debe evaluar en dicho punto (reemplazar la “x” por a

e “y” por 22a ). En efecto:

aa

aay 3

22

12'

2

2

=⋅

⋅=

Luego la recta tangente es: naxy += 3 para conocer el valor de ""n usamos el hecho


ecuación, en efecto: nanaanaaa =−⇒=−⇒+⋅= 2222 3232

∴ Ecuación de la recta tangente: 23 aaxy −=

10. Sea baxxxf ++= 2)( . Hallar los valores de a y b tal que la recta xy 2= sea

tangente a la gráfica de f en el punto )4,2(

Solución:

La pendiente de la recta tangente xy 2= es claramente 2, por lo tanto, la derivada

evaluada en el punto debe ser 2. En efecto:

224)2('2)(' −=⇒=+=⇒+= aafaxxf

Luego la función es bxxxf +−= 2)( 2 y como el punto de tangencia )4,2( pertenece

a la curva, entonces satisface su ecuación, luego de debe cumplir que 4)2( =f

Esto es: 44222)2( 2 =⇒=+⋅−= bbf

11. Hallar los valores de las constantes a , b y c para los cuales las gráficas de los dos

polinomios cxxf −= 3)( y baxxxg ++= 2)( se corten en el punto )2,1( y tengan la

misma tangente.

Solución: si los polinomio se cortan en )2,1( , entonces, el punto satisface ambas

ecuaciones.

Luego el valor de c se obtiene inmediatamente: 21)1( 3 =−= cf

1−=⇒ c

Luego 1)( 3 += xxf y la pendiente de la tangente al polinomio f en el punto )2,1( es:

tgmfxxf ==⋅=⇒= 313)1('3)(' 22



Y como deben tener la misma tangente, entonces la pendiente de la tangente al

polinomio g en el punto de tangencia )2,1( también debe ser 3.

En efecto: 1312)1('2)(' =⇒=+⋅=⇒+= aagaxxg

Luego bxxxg ++= 2)( finalmente como el )2,1( pertenece a la gráfica del

polinomio g , entonces satisface su ecuación y así podemos obtener b , en efecto:

0211)1( 2 =⇒=++= bbg

1;0;1 −===∴ cba

Universidad Andres BelloDepartamento de Matematicas

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 0321er Semestre, 2010

PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNEViernes 23 de Abril de 2010

1. Si p y q son dos proposiciones logicas y definimos el conectivo como

p q = q ∧ [(p ∨ q) ⇒ p]

Utilizando propiedades, encuentre el valor mas simplificado de

[(p q) ⇒ p] ∧ q

Sol:

Simplifiquemos primero p q:

p q = q ∧ [(p ∧ q) ∨ p]︸︷︷︸=p(absorcion)

= q ∧ p

Luego:

[(p q) ⇒ p] ∧ q = [(p ∧ q) ⇒ p] ∧ q ⇔ [(p ∧ q) ∧ p] ∧ q ⇔ [(p ∧ p)]︸︷︷︸F

∧ (q ∧ q︸︷︷︸F

)

⇔ F ∧ F = F

1.2 Ptos.

2. Sea A y B dos conjuntos tales que A ∩B = ∅. Utilizando propiedades demuestre que

(A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) = A ∪B

Sol:

[(A ∩Bc) ∪Ac] ∩ [(A ∩Bc) ∪B] ⇔ [(A ∪Ac)︸︷︷︸U

∩(Ac ∪Bc)] ∩ [(A ∪B) ∩ (B ∪Bc)︸︷︷︸U

]

⇔ [Ac ∪Bc] ∩ [A ∪B] ⇔ [A ∩B︸︷︷︸∅

]c ∩ [A ∪B] ⇔ ∅c ∩ (A ∪B)

⇔ U ∩ (A ∪B) = A ∪B

1.2 Ptos

3. A una cuerda de 700 metros de longitud se le dan dos cortes, de modo que uno de los trozos extremostiene una longitud de 100 metros. Sabiendo que las longitudes de los trozos estan en progresiongeometrica, determinar la longitud de cada trozo.

Indicacion: Debe utilizar formulas de progresion geometrica.

Sol:

Sea a1 = 100, por tanto la longitud de los otros extremos es a2 = 100r ; a3 = 100r2. Ademas se sabeque a1 + a2 + a3 = 700, es decir

100 + 100r + 100r2 = 700 ⇔ r2 + r − 6 = 0 ⇒ r = −3 ∨ r = 2

Luego, por contexto nos quedamos que el valor de r es 2. Ası, la longitud de los trozos es 100, 200 y400.

1.2 Ptos

4. Encuentre el valor de la constante a si se sabe que el cuarto termino del binomio(

a√

x− 12√

x

)6

es

igual a cuatro veces el termino independiente del binomio(√

x +1

3x2

)10

.

Sol:

Para el primer binomio:

(a√

x− 12√

x

)6

=6∑

k=0

(6k

)· a6−k · x3− k

2 · (−1)k · (12)k · x

−k2

De aquı, el cuarto termino se obtiene con k = 3:

T4 =(

63

)· a3 · x3/2 · −1 · 1

8· x−3/2 = −5a3

2

0.5 Ptos

De igual forma, para el segundo binomio

(√x +

13x2

)10

=10∑

k=0

(10k

)· x5− k

2 · (13)k · x−2k

Para ver si existe el termino independiente debemos imponer que 5− k2 − 2k = 0 ⇔ k = 2. Luego, el

termino independiente vale

TI =(

102

)· 19

= 5

0.5 Ptos

Finalmente, imponiendo la condicion establecida en el problema, nos queda:

−5a3

2= 4 · 5 ⇔ a3 = −8 ⇒ a = −2

0.2 Ptos

5. Encuentre la solucion de la siguiente inecuacion:

x2 − 1x

> x

Sol:

x2 − 1x

> x ⇔ x2 − 1x

− x > 0 ⇔ −1x

> 0 / · −1

⇔ 1x

< 0 ⇔ x < 0 ⇒ S =]−∞, 0[

1.2 Ptos


ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 0322do Semestre, 2010

PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNEViernes 10 de Septiembre de 2010

1. Utilizando las propiedades de la logica, determine el valor de verdad de la siguiente proposicion

(p ⇒ q) ⇒ [q ⇒ p]

Sol:

(p ⇒ q) ⇒ [q ⇒ p] ⇔ (p ∨ q) ⇒ (q ∨ p) ⇔ (p ∨ q) ⇒ (p ∨ q)

⇔ a ⇒ a

independiente del valor de verdad de a esto es siempre Verdadero: Es una Tautologıa.

1.2 Ptos

2. Demuestre, utilizando propiedades de los conjuntos que

B ∩ [(BC ∪A)C ∪ (A ∪B)C ] = B −A

Sol:

B ∩ [(BC ∪A)C ∪ (A ∪B)C ] = B ∩ [(BC ∪A) ∩ (A ∪B)]C

= B ∩ [A ∪ (BC ∩B)︸︷︷︸∅

]C = B ∩ [A ∪ ∅︸︷︷︸A

]C

= B ∩AC = B −A

1.2 Ptos

3. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente informacion acerca de la preferencias deprogramas de television vistos por ellos:

• 391 ven programas deportivos.

• 230 ven programas de entretencion.

• 545 ven programas sobre el mundo animal.

• 98 prefieren ver programas deportivos y de entretencion.

• 152 ven programas de entretencion y del mundo animal.

• 88 ven programas deportivos y del mundo animal.

• 90 no ven ninguno de los tres tipos de programas.

Construyendo un diagrama de Venn, determine

(a) El numero de televidentes que ven los tres tipos de programas.

(b) La cantidad de personas que ven solo uno de estos tres tipos de programas.

Sol:

Sea x el numero de televidentes que ven los tres tipos de programas. El diagrama correspondiente es:

0.6 Ptos

De aquı se debe cumplir que:

1000 = 90 + 205 + x + 98− x + x + 88− x + 152− x + 305 + x + x− 20 ⇔ 1000 = x + 918 ⇒ x = 82

Por tanto, 82 encuestados ven los tres tipos de programas. 0.4 Ptos

Finalmente, la cantidad de personas que ven solo un tipo de estos programas son 287+62+387 = 736personas.

0.2 Ptos

4. Hallar tres numeros en progresion geometrica tales que la suma sea 31 y su producto 125. Justifiquecon formulas de progresion geometrica.

Sol:

Sean a1, a1 ·r, a1 ·r2 los numeros en P.G. Las condiciones del problema generan las siguientes ecuaciones:

a1 + a1 · r + a1 · r2 = 31 ; a1 · a1 · r · a1 · r2 = 125

De la ultima ecuacion se deduce que a1 ·r = 5 ⇒ a1 = 5r . Reemplazando en la otra ecuacion se obtiene

5r

+ 5 + 5r = 31 ⇔ 5r2 − 26r + 5 = 0 ⇒ r1 = 5 ∨ r2 =15

en este caso, independiente del valor de r los numeros son 1,5 y 25.

1.2 Ptos

5. Determine el valor de la constante k > 0 de modo que

k∑i=1

(i + 2) = 250

Sol:

k∑i=1

(i + 2) =k(k + 1)

2+ 2k = 250 / · 2 ⇔ k2 + 5k − 500 = 0

⇔ (k − 20)(k + 25) = 0 ⇒ k = 20 ∨ k = −25(se descarta)

1.2 Ptos

6. En el desarrollo de(

3x +2x

)20

, determine si es que existe el termino independiente de x. Justifique

su respuesta.

Sol:

(3x +

2x

)20

=20∑

k=0

(20k

)· 320−k · x20−k · 2k · x−k

=20∑

k=0

(20k

)· 320−k · x20−2k · 2k

Para ver si existe o no el termino independiente de x se impone que 20− 2k = 0 ⇒ k = 10. Por tanto,existe termino independiente de x.

1.2 Ptos



PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNEViernes 15 de Abril de 2011

1. Se definen las siguientes funciones proposicionales:

• p(x) : x2 − 3x + 2 = 0

• q(x) : x2 + 1 > 0

• r(x) : x + 1 = 2x + 2

Se pide determinar el valor de verdad de

[(∀x ∈ R/q(x)) ∧ (∃x ∈ R/p(x))] ⇒ (∀x ∈ R/r(x))

Sol:

Se puede establecer que:

• ∀x ∈ R/q(x) ≡ V .

• ∃x ∈ R/p(x) ≡ V

• ∀x ∈ R/r(x) ≡ F

Luego:

[V ∧ V ] ⇒ F ⇔ V ⇒ F ≡ F

2. Utilizando las propiedades de los conjuntos, demuestre que:

[(A ∩Bc) ∪B] ∩ [A ∪ (Ac ∪B)] = A ∪B

Sol:

[(A ∩Bc) ∪B] ∩ [A ∪ (Ac ∪B)] ⇔ [(A ∪B) ∩ (BC ∪B)︸︷︷︸U

] ∩ [(A ∪AC)︸︷︷︸U

∪B]

⇔ (A ∪B) ∩ U = A ∪B

3. (a) ¿Cuantos terminos tiene una P.A, cuyo primer termino es 15 y ultimo termino −90, si la diferenciaes −3?Sol:Del problema se sabe que a1 = 15; an = −90; d = −3, por lo tanto:

−90 = 15 + (n− 1) · −3 ⇔ 3n = 108 ⇒ n = 36 terminos

(b) Un padre proyecta colocar en un baul $ 1 el dıa que su hijo cumpla un ano, e ir duplicandola cantidad sucesivamente en todos los cumpleanos. ¿Cuanto tendra que colocar el dıa que suhijo cumpla 18 anos? ¿Cuanto habra en total cuando cumpla 18 anos? Ind: Utilice formulas deprogresiones.Sol:Se trata de una P.G donde a1 = 1; r = 2. Lo que se tiene que colocar el dıa que cumpla 18 anosviene dado por:

a18 = a1 · r17 = 1 · 217 = $131.072

Lo que habra en total cuando cumpla 18 anos se obtiene como:

s18 =1 · (1− 218)

1− 2= $262.143

4. Determine el valor de a en el desarrollo del binomio(

x

a+

1x

)20

,de tal forma que el termino indepen-

diente de x sea igual al coeficiente de x2.

Sol:

(x

a+

1x

)20

=20∑

k=0

=(

20k

)·(x

a

)20−k·(

1x

)k

=20∑

k=0

=(

20k

)· x20−2k

a20−k

Para el termino independiente de x se impone que 20− 2k = 0 → k = 10. Luego, este termino vale:

TI =(

2010

)· 1a10

Para el coeficiente de x2 se impone que 20− 2k = 2 → k = 9. Luego este coeficiente vale:(209

)· 1a11

Igualando se llega a:

20!10! · 10 · 9!

· 1a10

=20!

11 · 10! · 9!· 1a11

⇔ a =1011



PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNEViernes 04 de Junio de 2010

1. Sean f(x) = 5− 3x ; g(x) =√

x2 + 1.

(a) Encuentre (g o f−1)(1).Sol:Calculemos f−1(x):

y = 5− 3x⇒ x =5− y

3⇒ f−1(x) =

5− x

3

Luego:

g(f−1(1)) = g

(43

)=

√169

+ 1 =53

1.0 Pto.

(b) Determine si la funcion g(x) es par, impar o ninguna de ellas. Justifique.Sol:

g(−x) =√

(−x)2 + 1 =√

x2 + 1 = g(x)

⇒ g(x) = g(−x)

Por lo tanto, la funcion g(x) es par.0.5 Ptos.

2. Hace cinco anos, la poblacion de una pequena comunidad indıgena era de 500 personas. Como conse-cuencia de su integracion con otras comunidades la poblacion ascendio a 4000 personas. Suponiendoque el crecimiento se comporta de manera lineal:

(a) Encuentre la funcion lineal que exprese la cantidad de personas en terminos del tiempo en anos.Sol:Los puntos a considerar son (0, 500) y (5, 4000). Luego la funcion lineal pedida es P (t) = mt+n.De esta forma se tiene que:

500 = m · 0 + n→ n = 500

Ademas se cumple que:

4000 = 5m + 500⇔ 5m = 3500→ m = 700

Finalmente la funcion lineal pedida es P (t) = 700t + 500.1.0 Pto.

(b) ¿Cuando llegara aproximadamente la poblacion a 10.000 habitantes?Sol:Ocupando la funcion lineal de la parte (a):

10.000 = 700t + 500⇒ t =9500700

≈ 13.5 anos

0.5 Ptos.

3. En una isla se introdujeron 104 iguanas para convivir en un determinado ecosistema. Al principio sereprodujeron rapidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la poblacion decrecio.El numero de iguanas a los t meses de haberlos dejado en la isla esta dado por el modelo:

S(t) = −t2 + 22t + 104 (t > 0)

(a) ¿En que instante la poblacion de iguanas se extingue?Sol:Hay que imponer que S(t) = 0:

−t2 + 22t + 104 = 0⇔ t2 − 22t− 104 = 0⇔ (t + 4)(t− 26) = 0

⇒ t = −4 ∨ t = 26

Se descarta la solucion negativa, por lo cual pasados 26 meses la poblacion de iguanas se extingue.0.8 Ptos.

(b) ¿En que instante la poblacion de iguanas es maxima?Sol:El instante maximo viene dado por

t = − b

2a=−22

2 · −1= 11

A los 11 meses se encuentra la cantidad maxima de iguanas.0.7 Ptos.

4. En una fiesta se sirve un tazon de sopa caliente. Comienza a enfriarse de modo que su temperaturaen el instante t se determina mediante

T (t) = 65 + 145 · e−0.05t

donde t se mide en minutos y T se mide en oF.

(a) ¿Cual es la temperatura de la sopa despues de 10 minutos?Sol:Solo basta con reemplazar t = 10 en la funcion:

T (10) = 65 + 145 · e−0.05·10 ≈ 152.9oF

0.5 Ptos.

(b) ¿Despues de cuanto tiempo la temperatura sera de 100oF?Sol:

100 = 65 + 145 · e−0.05t ⇔ 35 = 145 · e−0.05t ⇔ e−0.05t =35145

/ ln

⇒ t =ln

(35145

)−0.05

≈ 28.4 minutos

1.0 Pto.

5. Al inyectar un determinado farmaco a una rata de laboratorio se observa que el animal presentavariaciones de temperaturas en su sistema interno. Se logra establecer que dichas variaciones detemperaturas, en grados Celsius, se modelan mediante la funcion

f(x) = 3 +12

sin(2x)

donde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el farmaco ( en minutos ).

(a) Grafique un ciclo de la funcion.Sol:La grafica se muestra a continuacion:

0.9 Ptos.

(b) ¿En que instante la temperatura es maxima y mınima?Sol:De la grafica, el instante en que la temperatura es maxima es π

4 = 0.78 minutos y el instante enque se produce un mınimo es 3π

4 = 2.35 minutos.0.6 Ptos.



PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNEViernes 15 de Octubre de 2010

1. Encuentre la solucion de las siguientes inecuaciones:

(a)2x

5+ 1 <

15− 2x

Sol:

2x

5+ 1 <

15− 2x⇔ 2x + 5 < 1− 10x⇔ x < −1

3→ S =]−∞,−1

3[

0.4 Ptos.

(b)2

x− 1≤ 1

Sol:

2x− 1

≤ 1⇔ 3− x

x− 1≤ 0

La tabla de valores crıticos se muestra a continuacion:

−∞ 1 3 +∞3− x + + −x− 1 − + +Sol (−) (+) (−)

Luego, la solucion es S =]−∞,−1[∪[3,+∞[0.8 Ptos.

2. El resultado del experimento psicologico de Sternberg sobre la recuperacion de la informacion, es queel tiempo de reaccion R, de una persona, en milisegundos, de acuerdo con las estadısticas se relacionacon el tamano del conjunto de memoria N como sigue:

N =R− 397

38

Encuentre, utilizando inecuaciones, en intervalo del tiempo de reaccion, sabiendo que 1 ≤ N ≤ 5.

Sol:

1 ≤ N ≤ 5⇔ 1 ≤ R− 39738

≤ 5 / · 38⇔

38 ≤ R− 397 ≤ 190 + 397⇔ 435 ≤ R ≤ 587

1.2 Ptos.

3. (a) Sean f(x) = 3x+1 ; g(x) = x2+3x. Determinar el valor de h(3), si se sabe que (f o h)(x) = g(x).

Sol:Imponiendo la condicion

f(h) = 3h + 1 = x2 + 3x⇒ h(x) =x2 + 3x− 1

3

Luego, h(3) = 173 .

0.6 Ptos.

(b) Si f(x) = 3x + a ; g(x) = bx + 5, encuentre los valores de a y b de modo que f(x) = g−1(x).

Sol:Si g(x) = bx + 5⇒ g−1(x) = x−5

b . Luego:

3x + a =x− 5

b⇔ x(3− 1

b) + a +

5b

= 0

De aca, se deduce que 3− 1b = 0→ b = 1

3 . Ademas a + 15 = 0→ a = −15.0.6 Ptos.

4. Una companıa de investigacion de mercados estima que n meses despues de la introduccion de un

nuevo producto, f(n), miles de familias lo usaran, en donde f(n) =1209

n − 109

n2. Determine elnumero maximo de familias que usaran el producto.

Sol:

La cantidad de meses que produce el maximo viene dada por:

nmax = − b

2a= −

1209

2 · −109

= 6

0.6 Ptos.

Luego, el numero maximo de familias se obtiene como:

f(6) =1209· 6− 10

9· 62 = 40mil familias

0.6 Ptos.

5. La cantidad de veneno, producto de la picadura de una arana, presente en el torrente sanguıneo unavez aplicado el antıdoto esta dado por la funcion V (t) = 2 · e−0.5t donde V se mide en milıgramos y tson las horas transcurridas desde que se aplico el antıdoto.

(a) ¿Cuantos milıgramos de veneno habrıa en el torrente sanguıneo despues de 90 minutos de haberseaplicado el antıdoto?Sol:Basta con evaluar t = 1.5:

V (1.5) = 2 · e−0.5·1.5 ≈ 0.94 milıgramos

0.4 Ptos

(b) Si se debe aplicar una segunda dosis de antıdoto cuando queden 0,5 milıgramos de veneno en lasangre, ¿cuantas horas deberan transcurrir desde que se aplico la primera dosis para aplicar lasegunda?Sol:Imponemos V = 0.5:

0.5 = 2 · e−0.5t ⇔ e−0.5t = 0.25 / ln

⇒ t =ln(0.25)−0.5

≈ 2.78 horas

0.8 Ptos



PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNEViernes 20 de Mayo de 2011

1. Encuentre la solucion de las siguientes inecuaciones:

(a)2 + x

4+

1x

> 1

Sol:

2 + x

4+

1x

> 1 ⇔ x2 − 2x + 44x

> 0

Se puede apreciar que x2 − 2x + 4 > 0;∀x ∈ R, luego la solucion de la inecuacion es S =]0,∞[.

(b) 0 ≤ 2x− 4 < 5x + 8Sol:Separando en dos casos:

(2x− 4 ≥ 0) ∧ (2x− 4 < 5x + 8) ⇔ (x ≥ 2) ∧ (x > −4)

Luego la solucion es S = [2,∞[∩]− 4,∞[= [2,∞[.

2. Considere la funcion f(x) =1

x + 1. Encuentre el valor de la constante a de modo que

f

(1

a + 1

)= f

(2a + 12a + 4

)Sol:

Por un lado:

f

(1

a + 1

)=

a + 1a + 2

∧ f

(2a + 12a + 4

)=

2a + 44a + 5

Igualando:

a + 1a + 2

=2a + 44a + 5

⇔ 4a2 + 9a + 5 = 2a2 + 8a + 8

⇔ 2a2 + a− 3 = 0 ⇒ a = 1 ∨ a = −32

3. Un delfın toma impulso y un salto por encima de la superficie del mar sigue la trayectoria

h(t) = −t2 + 6t

donde h es la altura que adquiere desde la superficie ( en metros ) y t el tiempo en transcurrido ensegundos.

(a) Determine el(los) instante(s) en que el delfın alcanza una altura de 5 metros.Sol:Se impone que h = 5:

−t2 + 6t = 5 ⇔ t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t− 1)(t− 5) = 0

⇒ t = 1 ∨ t = 5

El delfın alcanza la altura 5 metros al segundo y a los 5 segundos.

(b) Calcule el tiempo para el cual la altura del delfın es maxima.Sol:

Se calcula tmax = − b

2a=

−62 · −1

= 3 segundos.

(c) ¿Cual es la altura maxima?Sol:Basta con calcular h(3) = −9 + 6 · 3 = 9 metros

(d) ¿En que instante el delfın vuelve a sumergirse?Sol:Se impone que h = 0, es decir

−t2 + 6t = 0 ⇔ t(6− t) = 0 ⇒ t = 0 ∨ t = 6

A los 6 segundos vuelve a sumergirse.

4. El crecimiento de una colonia de abejas despues de t meses, viene dada por la funcion exponencial:

P (t) =228

1 + 56 · e−0.37t

(a) ¿Cuantas abejas habıa inicialmente en el enjambre?Sol:Inicialmente hay P (0):

P (0) =228

1 + 56 · e0= 4abejas

(b) ¿Cuanto tiempo le tomara a la colonia tener una poblacion igual a 180?Se impone que P = 180:

180 =228

1 + 56 · e−0.37t⇔ e−0.37t =

4810080

⇒ t =ln

(48

10080

)−0.37

≈ 14.5 meses

5. La Sra.Xiong esta en el tope de un edificio. Desde ahı es capaz de ver dos peatones que caminan endirecciones opuestas y alejandose del edificio mientras caminan en la acera. Si los angulos de depresiona los peatones desde el tope del edificio son 56o y 46o, respectivamente, y sabiendo que el edificio tiene100 pies de alto, determine en ese instante la distancia horizontal que separa a los peatones.

Sol:

De acuerdo a los datos, el esquema que resuelve el problema es:

De aca:

tan 34 =x

100⇒ x = 100 · tan 34

tan 44 =y

100⇒ y = 100 · tan 44

Luego, la distancia que separa a ambos peatones es:

d = x + y = 100 · (tan 34 + tan 44) ≈ 164 metros



PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNE

Viernes 24 de Noviembre de 2006

1. (a) Calcular el siguiente lımite

limx→4

√3x + 4− 4√x + 5− 3

Sol:

limx→4

√3x + 4− 4√x + 5− 3

·√

3x + 4 + 4√3x + 4 + 4

·√

x + 5 + 3√x + 5 + 3

= limx→4

(3x− 12)(√

x + 5 + 3)(x− 4)(

√3x + 4 + 4)

= limx→43(x− 4)(

√x + 5 + 3)

(x− 4)(√

3x + 4 + 4)=

3 · 68

=94

1.0 Pto.(b) Un cultivo de bacterias crece siguiendo la funcion logıstica

y =1.25

1 + 0.25 · e−0.4t

donde y denota el peso en gramos del cultivo y t el tiempo en horas. Despues de muchotiempo(t→∞), ¿cual sera el peso en gramos del cultivo de bacterias?

Sol:Basta calcular lim

t→∞f(t):

limt→∞

1.251 + 0.25 · e−0.4t

=1.251 + 0

= 1.25

A largo plazo el peso del cultivo alcanzara los 1.25 gramos. 0.5 Ptos.

2. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva definida implıcitamente por x3 + x2y + 4y2 = 6,en el punto de coordenadas (1, 1).

Sol:

Derivemos implıcitamente para encontrar y′:

3x2 + 2xy + x2 · y′ + 8y · y′ = 0

Evaluando el punto (1, 1):

3 + 2 + y′ + 8y′ = 0⇔ 9y′ = −5⇒ y′ =−59

1.0 Pto.

Luego, la ecuacion de la recta tangente viene dada por:

y − 1 =−59

(x− 1)⇔ y =−5x

9+

149

0.5 Ptos.

3. Una cierta celula bacteriana tiene una forma esferica tal que r micrometros (µm) es su radio y V µm3

es su volumen.Encuentre la razon de cambio del volumen respecto al radio, de la celula, cuando elradio es de 2.2µm.

Ind: V =43πr3.

Sol:

Derivamos directamente el volumen respecto al radio:

dV

dr=

43π · 3r2 = 4πr2

1.0 Pto.

Evaluando en r = 2.2:

dV

dr= 4π · (2.2)2 = 60.82

El volumen aumenta a razon de 60.82 µm3/µm. 0.5 Ptos.

4. Para un pez que nada a una velocidad v con relacion al agua, el consumo de energıa por unidad detiempo es proporcional a v3. Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energıa total requeridapara nadar una distancia fija. Si nada contra una corriente con velocidad u(u < v), el tiempo requeridopara nadar una distancia L es L

v−u y por lo tanto la energıa total E necesaria para nadar la distanciase expresa mediante

E(v) =av3L

v − u

donde a es la constante de proporcionalidad. Considerando u = 2 ; a = 1 y L = 4, determine el valorde v que minimice la energıa total E.

Sol:

Reemplazando los valores mencionados, la funcion a minimizar es

E(v) =4v3

v − 2

Calculemos los valores crıticos:

E′(v) =12v2(v − 2)− 4v3 · 1

(v − 2)2=

8v3 − 24v2

(v − 2)2= 0

⇔ 8v3 − 24v2 = 0⇔ v2(8v − 24) = 0⇒ v = 0 ∨ v = 3

0.8 Ptos.

La segunda derivada viene dada por:

E′′(v) =(24v2 − 48v)(v − 2)2 − (8v3 − 24v2) · 2(v − 2)

(v − 2)4

0.4 Ptos.

Evaluando en v = 0 ⇒ E′′(0) = 0, no es ni maximo ni mınimo. Evaluando en v = 3 ⇒ E′′(3) =72−0

1 = 72 > 0. Luego si v = 3 la energıa total es mınima. 0.3 Ptos.




Viernes 30 de Junio de 2006

1. La siguiente grafica de una funcion f , muestra la presion de una persona hipertensa en un perıodo de24 horas.

(a) ¿Cuanto vale limt→8+

f(t) ; limt→8−

f(t)? ¿Existe limt→8

f(t)?. Justifique sus resultados.

Solucion:De la grafica lim

t→8+f(t) = 10(0.4 Ptos) y lim

t→8−f(t) = 12 (0.4 Ptos), con lo que se concluye que

limt→8

f(t) , no existe. ( los laterales son distintos )( 0.3 Ptos ).

(b) ¿Es f continua?. Justifique.

Solucion:Claramente la funcion no es continua en t = 8 y en t = 20 por no existir en ambos casos, el lımiteen ese punto.( 0.4 Ptos )

2. (a) Sea f(x) = (5x2 + g(x))4. Encuentre f ′(0), si se sabe que g(0) = 1 ; g′(0) = 2.Solucion:

f ′(x) = 4(5x2 + g(x))3 · (10x + g′(x))

Evaluando en x = 0:

f ′(0) = 4(0 + g(0))3 · (0 + g′(0)) = 4(g(0))3 · g′(0)

f ′(0) = 4 · 13 · 2 = 8

0.7 Ptos

(b) Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la curva xy − y3 = 1, en el punto (2; 1).

Solucion:Derivando implıcitamente:

y + xy′ − 3y2y′ = 0 ⇔ y′(x− 3y2) = −y

⇒ y′ =−y

x− 3y2

Evaluando en (2; 1):

y′ = m =−1

2− 3= 1

0.5 PtosLuego, la ecuacion de la recta tangente es de la forma y = x+n, donde n, se obtiene al reemplazarel punto dado:

1 = 2 + n ⇒ n = −1

La ecuacion de la recta tangente es: y = x− 1. 0.3 Ptos

3. El tamano de una poblacion de insectos al tiempo t medido en dıas, esta dado por:

P (t) = 10000− 90001 + t

¿Cuando la poblacion crece a razon de 1500 insectos por dıa?

Solucion:

Hay que imponer que P ′(t) = 1500. Luego:

P ′(t) = 0−(

0(1 + t)− 9000 · 1(1 + t)2

)=

9000(1 + t)2

= 1500

0.8 Ptos

⇔ (1 + t)2 = 6 ⇔ t2 + 2t− 5 = 0

⇒ t1 = 1.45 ∨ t2 = −3.45

Considerando, por contexto del problema, la solucion est = 1.45.

Rpta: Pasados aproximadamente 1.45 dıas la poblacion crece a razon de 1500 insectos por dıa.

0.7 Ptos

4. En el sistema digestivo es normal encontrar la presencia de cierto tipo de bacterias. Se estima que thoras despues de la introduccion de una toxina, la poblacion de bacterias ( en miles ), viene dada por:

P (t) =24t + 10t2 + 1

(a) Determinar el tiempo cuando la poblacion es maxima.Solucion:Calculemos los valores crıticos:

P ′(t) = 0 ⇔ 24(t2 + 1)− (24t + 10) · 2t

(t2 + 1)2⇔ 24− 20t− 24t2

(t2 + 1)2= 0

0.5 Ptos

⇔ 24t2 + 20t− 24 = 0 ⇔ 6t2 + 5t− 6 = 0

De aca, la solucion de la ecuacion de segundo grado es:

t1 =23∨ t2 =

−32

0.3 PtosPor contexto, nos quedamos con la solucion positiva. Verifiquemos que efectivamente este valorsea un maximo.

P ′′(t) =(−20− 48t)(t2 + 1)2 − (24− 20t− 24t2) · 2(t2 + 1) · 2t

(t2 + 1)4

Evaluando en t = 23 :

P ′′(

23

)=−(20 + 48 ·

(23

))(

(23

)2 + 1)2 − 0

((

23

)2 + 1)2< 0

Luego t = 23 , es un maximo. 0.4 Ptos

Rpta: Aproximadamente despues de 0.67 hras, la poblacion de bacterias es maxima.

(b) ¿Cual es la poblacion maxima?Solucion:La poblacion maxima de bacterias viene dada por:

Pmax =24 · 2

3 + 10(23

)2 + 1= 18

Rpta: La cantidad maxima de bacterias es de 18.000. 0.3 Ptos



PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNEViernes 16 de Noviembre de 2007

1. (a) Si limx→c

(f(x) + g(x)) = 3 y limx→c

(f(x)− g(x)) = −1, encuentre limx→c

(f(x) · g(x)).

Sol:Sean lim

x→cf(x) = a ; lim

x→cg(x) = b. Aplicando propiedades de lımites:

limx→c

(f(x) + g(x)) = 3 ⇔ a + b = 3

limx→c

(f(x)− g(x)) = −1 ⇔ a− b = −1

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a = 1; b = 2. Por lo tanto

limx→c

(f(x) · g(x)) = limx→c

f(x) · limx→c

g(x) = 1 · 2 = 2

0.8 Ptos

(b) Sea

f(x) =

2ax− 3, si x < 2

x2 − 4x + 4x3 + 5x2 − 14x

, si x > 2

Encuentre el valor de la constante a, de modo que limx→2

f(x), exista.

Sol:Para que lim

x→2f(x) exista, los laterales deben ser iguales:

• limx→2−

2ax− 3 = 4a− 3.

• limx→2+

(x− 2)2

x(x− 2)(x + 7)= 0.

Luego:

4a− 3 = 0 ⇒ a =34

0.7 Ptos

2. Suponga que f es una funcion derivable de modo que

• f(g(x)) = x

• f ′(x) = 1 + [f(x)]2

Demuestre que g′(x) =1

1 + x2.

Sol:

f(g(x)) = x /d( )dx

⇔ f ′(g(x)) · g′(x) = 1

0.6 Ptos

Pero f ′(g(x)) = 1 + [f(g(x))︸︷︷︸x

]2 = 1 + x2. De esta manera:

0.6 Ptos

(1 + x2) · g′(x) = 1 ⇔ g′(x) =1

1 + x2

0.3 Ptos

3. Dada y = erx. Encuentre el(los) valor(es) de la constante r, de modo que la funcion, satisfaga laecuacion:

y′′ + 5y′ − 6y = 0

Sol:

Calculemos y′ e y′′:

y′ = rerx → y′′ = r2erx

0.7 Ptos

Reemplazando en la ecuacion:

r2 · erx + 5r · erx − 6 · erx = 0 ⇔ erx · (r2 + 5r − 6) = 0

Para que se cumpla la igualdad, la unica posiblidad es que r2 + 5r − 6 = 0 ⇒ r = −6 ∨ r = 1.

0.8 Ptos

4. Un agente antibacteriano agregado a una poblacion de bacterias causa disminucion en el tamano deesta. Si la poblacion t minutos despues de agregado el agente es Q(t) = 106 · e−t/3,

(a) Determine la razon de cambio de la poblacion respecto al tiempo.Sol:La razon de cambio viene dada por

dQ

dt= 106 · e−t/3 · −1

3

0.7 Ptos

(b) ¿Despues de que perıodo de tiempo la poblacion disminuye a razon de 11.000 bacterias/min?.Sol:

Hay que imponer quedQ

dt= −11.000:

106 · e−t/3 · −13

= −11.000 ⇔ e−t/3 =33.000

106

⇒ t = −3 · ln(

331000

)≈ 10.23

Rpta: La poblacion disminuye a razon de 11.000 bact/min pasados 10.23 minutos.0.8 Ptos



PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNEViernes 29 de Junio de 2007

1. (a) Calcular los siguientes lımites:

i. limx→5

√2x− 1− 3

x− 5Sol:Racionalizando:

limx→5

√2x− 1− 3

x− 5·√

2x− 1 + 3√2x− 1 + 3

= limx→5

2x− 1− 9(x− 5)(

√2x− 1 + 3)

= limx→5

2(x− 5)(x− 5)(

√2x− 1 + 3)

=26

=13

0.5 ptos

ii. limx→0

sin(3x)− sin(2x)x

Sol:

limx→0

sin(3x)− sin(2x)x

= limx→0

[3 sin(3x)

3x− 2 sin(2x)

2x

]= 3− 2 = 1

Si se utiliza la regla de L’Hopital, ya que es de forma 00 , se llega al mismo resultado:

limx→0

sin(3x)− sin(2x)x

= limx→0

3 cos(3x)− 2 cos(2x)1

= 3− 2 = 1

0.5 ptos

(b) En algunas especies animales, el consumo de comida se afecta por la intensidad de la vigilancia ala que se somete al animal mientras come. En realidad, es difıcil comer mucho mientras se sientela vigilancia de un depredador que se lo puede comer a usted. En cierto modelo, si el animalesta buscando alimento en plantas que brindan un bocado de tamano S, la tasa de consumo dealimento I(S) esta dada por la funcion

I(S) =aS

S + c

donde a y c son constantes positivas. ¿Que le ocurre al consumo de alimento I(S) cuando unbocado de tamano S aumenta indefinidadmente?Sol:Cuando S aumenta indefinidamente, basta con calcular lim

S→∞I(S), es decir

limS→∞

aS

S + c= a

Por lo tanto, la tasa de consumo se estabiliza en el valor constante a.0.5 ptos

2. Encontrar la ecuacion de la recta tangente a la funcion y =x

2x + 3en el punto cuando x = −1.

Sol:

Calculemos y′:

y′ =2x + 3− x · 2

(2x + 3)2=

3(2x + 3)2

0.5 ptos

Evaluando en x = −1:

y′ =312

= 3

0.5 ptos

Ademas, si x = −1 → y = −1. Luego la ecuacion de la recta tangente es de la forma y = 3x + n,donde n = 3− 1 = 2.

0.5 ptos

3. Un biologo modela el efecto de introducir una toxina en una colonia de bacterias mediante la funcion

P (t) =t + 1

t2 + t + 4

donde P es la poblacion de la colonia ( en millones ) t horas despues de que se introduce la toxina.¿A que razon cambia la poblacion cuando se introduce la toxina? En este instante, ¿la poblacion estaaumentando o esta disminuyendo?.

Sol:

La razon de la poblacion respecto al tiempo se obtiene como:

dP

dt=

1 · (t2 + t + 4)− (t + 1)(2t + 1)(t2 + t + 4)2

=3− t2 − 2t

(t2 + t + 4)2

0.7 ptos

Cuando se introduce la toxina t = 0. Evaluando:

dP

dt=

342

= 0.1875

0.5 ptos

La poblacion de bacterias esta aumentando a razon de 187.500 bacterias/hora.

0.3 ptos

4. Se estima que entre el mediodıa y las 7:00 p.m., la velocidad del trafico en una carretera que pasa porla salida del centro de una ciudad es aproximadamente

V (t) = t3 − 9t2 + 15t + 45

millas por hora, donde t es el numero de horas despues del mediodıa. ¿A que hora entre el mediodıay las 7:00 p.m. va mas rapido y mas lento el trafico?

Sol:


V ′(t) = 0 ⇔ 3t2 − 18t + 15 = 0 / : 3 ⇔ t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t− 5)(t− 1) = 0

⇒ t = 5 ∨ t = 1

1.0 pto

Clasifiquemos los valores crıticos calculando la segunda derivada:

V ′′(t) = 6t− 18

• V ′′(5) = 30− 18 = 12 > 0 → t = 5 es un mınimo. 0.2 ptos

• V ′′(1) = 6− 18 = −12 < 0 → t = 1 es un maximo. 0.2 ptos

Finalmente, el trafico va mas rapido a las 13:00 hrs y mas lento a las 17:00 hrs.

0.1 ptos




1. (a) Sea

f(x) =

x2 − 7x + 10|x− 2|

si x < 2

2kx2 − x + 1 si x ≥ 2

Encuentre el valor de la constante k de modo que f sea continua en todo R.Sol:Solo basta con imponer la existencia de lim

x→2f(x):

• limx→2−

(x− 5)(x− 2)−(x− 2)

= 3. 0.3 Ptos

• limx→2+

2kx2 − x + 1 = 8k − 2 + 1 = 8k − 1. 0.3 Ptos

Se impone que 8k − 1 = 3 ⇔ k = 12 . 0.2 Ptos

(b) Calcular el siguiente lımite:

limx→∞

7x3 + 4x + 23− x2 + 2x3

Sol:Dividiendo por la mayor potencia (x3), numerador y denominador se obtiene:

limx→∞

7x3 + 4x + 23− x2 + 2x3

= limx→∞

7 +/04x2 +

/02x3/0

3x3 −

/01x + 2

=72

0.7 Ptos

2. Dada la funcion y = ax2 + bx + c, encuentre el valor de las constantes a, b y c, de modo que la funcionsatisfaga la ecuacion

y′′ + y′ − 2y = x2

Sol:

Derivando la funcion se obtiene:

y′ = 2ax + b ⇒ y′′ = 2a

0.5 Ptos

Reemplazando en la ecuacion:

2a + 2ax + b− 2ax2 − 2bx− 2c = x2 ⇔ −2ax2 + (2a− 2b)x + (2a + b− 2c) = x2

De aquı se concluye para que la igualdad se cumpla:

−2a = 1 → a = −12

2a− 2b = 0 → −1− 2b = 0 → b = −12

2a + b− 2c = 0 → −1− 12− 2c = 0 → c = −3

4

1.0 Pto

3. Un vaso de papel tiene la forma de un cono recto con altura 10 cm y radio de 3 cm. Si se vierte aguaen el vaso a razon de 2 cm3/seg, ¿que tan rapido aumenta el nivel del agua en el instante en que laaltura del agua es 5 cm?

Ind: El volumen de un cono recto de altura h y radio r viene dado por V = 13πr2h.

Sol:

Por indicacion del problema, el volumen del cono recto viene dado por

V =13πr2h (1)

En un instante cualquiera, se genera lo siguiente:

0.5 Ptos

Por semejanza de triangulos se observa que:

h

r=

103⇒ r =

3h

10

0.3 Ptos

Sustituyendo en (1), se llega a:

V =3

100π · h3

y derivando implıcitamente respecto a t:

dV

dt=

3100

π · 3h2 · dh

dt=

9100

π · h2 · dh

dt

0.4 Ptos

Evaluando en h = 5 ydV

dt= 2, se llega a:

2 =9

100π · 25 · dh

dt⇒ dh

dt=

89π

≈ 0.283 cm/seg

Rpta: El nivel del agua aumenta a razon de 0.283 cm/seg.

0.3 Ptos

4. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene dada por la funcion

V (t) = t3 − 9t2 + 15t + 40

donde t es el tiempo ( en horas ) transcurrido desde que comenzo el estudio ( t=0 ). Determine enque instante la virulencia es mınima y maxima.

Sol:

• Calculemos los valores crıticos:

V ′(t) = 0 ⇔ 3t2 − 18t + 15 = 0 / : 3

t2 − 6t + 5 = 0 ⇔ (t− 5)(t− 1) = 0 → t = 1 ∨ t = 5

0.7 Ptos

• Clasificacion de los valores crıticos:

V ′′(t) = 6t− 18

– V ′′(1) = −12 < 0 → t = 1 es un maximo.– V ′′(5) = 12 > 0 → t = 5 es un mınimo.

Por tanto, la virulencia es mınima cuando hayan transcurridas 5 horas y es maxima cuando hayapasado una hora.

0.8 Ptos



PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNEViernes 14 de Noviembre 2008

1. Considere las funciones f(x) = x2 − 2x− 3 ; g(x) = x + 1

(a) Calcular limx→1

2f(x) + g(x)f(x) · g(x)

Solucion:Aplicando algebra de lımites

limx→1

2f(x) + g(x)f(x) · g(x)

=2lim

x→1f(x) + lim

x→1g(x)

limx→1

f(x) · limx→1

g(x)

=2 · −4 + 2−4 · 2

=−6−8

=34

0.7 Ptos

(b) Determine limx→3

√g(x)− 2x− 3

Solucion:

limx→3

√g(x)− 2x− 3

= limx→3

√x + 1− 2x− 3

·√

x + 1 + 2√x + 1 + 2

= limx→3

x + 1− 4(x− 3)(

√x + 1 + 2

= limx→3

x− 3(x− 3)(

√x + 1 + 2

= limx→3

1√x + 1 + 2

=14

0.7 Ptos

2. Si f(x) = 2√

x + lnx ; g(x) = 2ex + sinx, demuestre que

2 · f ′(1)− g′(0)f ′(g(0))

= 2√

2− 2

Solucion

f ′(x) = 2 · 12√

x+

1x

=1√x

+1x

g′(x) = 2ex + cos x

Luego

• g(0) = 2e0 + sin 0 = 2 → f ′(g(0)) = f ′(2) = 1√2

+ 12

• f ′(1) = 2

• g′(0) = 2e0 + cos 0 = 3 1.0 Pto

Reemplazando tenemos que

4− 31√2

+ 12

=1

2+√

22√

2

=2√

22 +

√2· 2−

√2

2−√

2

=2√

2(2−√

2)2

=√

2(2−√

2) = 2√

2− 2

0.5 Ptos

3. Thomas Young ha sugerido la siguiente regla para calcular la dosis de medicina para ninos entre uno ydoce anos. Si a denota la dosis para un adulto ( en mg ) y si t es la edad del nino ( en anos ), entoncesla dosis infantil esta dada por

F (t) =a · t

t + 12

Suponga que la dosis para un adulto de una sustancia es 500 mg. ¿Cual es la razon de cambio de dichadosis para un nino de 10 anos?

Solucion:

Si la dosis de un adulto es de 500 mg, entonces la razon de cambio viene dada pordF

dt, es decir

dF

dt=

500(t + 12)− 500t · 1(t + 12)2

=6000

(t + 12)2

1.0 Pto

Evaluando en t = 10. se obtiene

dF

dt≈ 12.40

Por lo tanto, la dosis infantil esta cambiando a razon de 12.40 mg/ano.

0.5 Ptos

4. La cantidad de bioxido de nitrogeno, gas cafe que dificulta la respiracion, presente en la atmosfera encierto dıa de Mayo en una comunidad, se aproxima mediante la funcion

A(t) =544

4 + (t− 4.5)2+ 28; 0 ≤ t ≤ 11

donde A(t) se mide con un ındice estandar de contaminacion ( PSI, por sus siglas en ingles ) y t semide en horas, con t = 0 correspondiente a las 7 A.M

(a) Determine a que hora del dıa el PSI alcanza su maximo.Solucion:

A′(t) =−544 · 2(t− 4.5)(4 + (t− 4.5)2)2

= 0

⇒ t = 4.5

es el unico valor crıtico.0.6 Ptos

Por el criterio de la primera derivada como para t < 4.5, A′(t) > 0, y para t > 4.5, A′(t) < 0, seconcluye que t = 4.5 es un maximo relativo. Por lo tanto, el PSI es maximo a las 11:30 hrs.

0.6 Ptos

(b) ¿Cual es el valor maximo del PSI en ese instante?

Solucion:El valor maximo viene dado por

A(4.5) =544

4 + 0+ 28 = 164

0.3 Ptos




1. (a) Sea

f(x) =

−4x si x ≤ 1

4

12 −

√x

x− 14

si x > 14

Analice la continuidad de f en x = 14 .

Sol:Observe que:

• f(

14

)= −1 0.1 Ptos

• Veamos si limx→ 1

4

f(x) existe:

limx→ 1

4

−−4x = −1

limx→ 1

4

+

12 −

√x

x− 14

·12 +

√x

12 +

√x

= limx→ 1

4

+

14 − x(

x− 14

)·(

12 +

√x) = lim

x→ 14

+

−112 +

√x

= −1.

Por tanto se concluye que limx→ 1

4

f(x) existe y vale −1. 0.4 Ptos

• Como f(

14

)= lim

x→ 14

f(x), la funcion es continua en x = 14 . 0.1 Ptos

(b) Utilice el cambio de variable u = 1x , para calcular el siguiente lımite:

limx→∞

(2x + 1) · sin(

1x

)Sol:Si u = 1

x → x = 1u y si x →∞⇒ u → 0. Luego, el lımite queda:

limu→0

(2u

+ 1)· sinu = lim

u→0(2 + u) · sinu

u= 2

0.6 Ptos

2. Demuestre que la recta normal a la curva x3 + y3 − 6xy = 0, en el punto (3, 3) viene dada por y = x.

Sol:

Utilizando derivada implıcita, calculemos la pendiente de la recta tangente:

3x2 + 3y2 · y′ − 6(y + xy′) = 0

Evaluando en el punto (3, 3):

27 + 27y′ − 6(3 + 3y′) = 0 ⇒ y′ = −1

0.6 Ptos

Luego, la pendiente de la recta normal es mn = 1, y utilizando el punto (3, 3), la ecuacion de la rectanormal es de la forma y = x + n, donde n se obtiene a partir de 3 = 3 + n → n = 0. Ası quedademostrado que la ecuacion de la recta normal es y = x.

0.6 Ptos

3. Sea f : R → R una funcion derivable tal que f(2) = 3 ; f ′(x) = x2 ;∀x ∈ R. Se definen las funcionesg(x) = (f o f)(x) y h(x) = x3 · f(x). Se pide encontrar el valor de g′(2) · h′(2).

Sol:

g′(x) = f ′(f(x)) · f ′(x) ⇒ g′(2) = f ′(f(2)) · f ′(2) = f ′(3) · f ′(2) = 9 · 4 = 36

0.5 Ptos

h′(x) = 3x2 · f(x) + x3 · f ′(x) ⇒ h′(2) = 12 · f(2) + 8 · f ′(2) = 12 · 3 + 8 · 4 = 68

0.5 Ptos Finalmente, g′(2) · h′(2) = 36 · 68 = 2448. 0.2 Ptos

4. Se sabe que en un triangulo la base esta aumentando a razon de 3 cm/seg, mientras que su altura dis-minuye a razon de 2 cm/seg. En el instante en que la base y la altura miden 7 y 4 cm, respectivamente,calcule la razon de cambio del area e indique si esta auemnta o disminuye.

Sol:

Por geometrıa, se sabe que si la base es b y la altura es h, el area de un triangulo es A = b·h2 . Derivando

respecto a t:

dA

dt=

12

(db

dt· h + b · dh

dt

)0.6 Ptos

Evaluando:

dA

dt=

12· (12− 14) = −1

0.4 Ptos

Por tanto:

• La razon de cambio del area disminuye. 0.1 Ptos

• Disminuye a razon de 1 cm2/seg. 0.1 Ptos

5. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como funcion deltiempo t (en meses), viene dada por la expresion:

f(t) =10

(t− 6)2 + 1; 1 ≤ t ≤ 12

donde t = 1 corresponde al mes de Enero, y ası sucesivamente.

(a) Determine en que mes se obtiene la cantidad maxima de agua.Sol:Calculemos los valores crıticos a partir de f ′(t) = 0:

f ′(t) =−10 · 2(t− 6)((t− 6)2 + 1)2

= 0 ⇔ t = 6

0.5 PtosClaramente si t < 6 ⇒ f ′(t) > 0 y si t > 6 ⇒ f ′(t) < 0. Por tanto se concluye por el criterio dela primera derivada que si t = 6 se obtiene un mınimo; es decir, en el mes de Junio. 0.3 Ptos

(b) ¿ Cual es la cantidad maxima de agua?Sol:La cantidad maxima de agua viene dada por:

f(6) =10

0 + 1= 10

La cantidad maxima de agua es de 10 millones de litros.0.4 Ptos



PAUTA TERCERA PRUEBA SOLEMNEViernes 20 de Noviembre de 2009

1. (a) Calcular

limx→1

x8 − 1x5 − x

Sol:

limx→1

x8 − 1x5 − x

= limx→1

(x4 − 1)(x4 + 1)x(x4 − 1)

= limx→1

x4 + 1x

= 2

o bien si lo resolvemos por L’Hopital:

limx→1

x8 − 1x5 − x

= limx→1

8x7

5x4 − 1=

84

= 2

0.8 Ptos

(b) Un recipiente contiene una salmuera, de modo que t minutos despues la concentracion de sal engr/litro, viene dada por:

C(t) =30t

200 + t

Calcule la concentracion de sal a largo plazo.Sol:La concentracion a largo plazo viene dada por

limt→∞

C(t) = limt→∞

30t

200 + t= lim

t→∞

30200t + 1

= 30gr/lto

0.7 Ptos

2. Si f(x) + x2 · (f(x))3 = 10, y ademas f(1) = 2, calcule f ′(1).

Sol:

Derivando implıcitamente

f ′(x) + 2x · (f(x))3 + x2 · 3 · (f(x))2 · f ′(x) = 0

0.7 Ptos

Evaluando en x = 1:

f ′(1) + 2 · (f(1))3 + x2 · 3 · (f(1))2 · f ′(1) = 0 ⇔ f ′(1) + 16 + 12 · f ′(1) = 0

⇒ f ′(1) = −1613

0.8 Ptos

3. Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva x2 + xy + y2 = 3, en el punto (1, 1).

Sol:

Derivando implıcitamente:

2x + y + xy′ + 2y · y′ = 0

0.5 Ptos

Evaluando en (1, 1):

2 + 1 + y′ + 2y′ = 0 ⇒ y′ = −1

0.5 Ptos

Luego, la ecuacion de la recta tangente es y = −x + n, donde n se obtiene a partir de evaluar el puntoen la recta:

1 = −1 + n ⇒ n = 2

0.5 Ptos

4. El numero de celulas de levadura en un cultivo de laboratorio se incrementa rapidamente al principio,pero los niveles con el tiempo terminan. Se puede estimar que el numero de celulas despues de t horasviene dado por

N(t) =400

1 + e−0.7t

Encuentre a que razon cambia la poblacion, en el instante en que han transcurrido 2 horas.

Sol:

El cambio en la poblacion viene dada por

dN

dt=

0 · (1 + e−0.7t)− 400 · e−0.7t · −0.7(1 + e−0.7t)2

=280 · e−0.7t

(1 + e−0.7t)2

0.7 Ptos

Evaluando en t = 2:

dN

dt=

280 · e−1.4

(1 + e−1.4)2≈ 44, 4

Rpta: La poblacion aumenta a razon de aproximadamente 44 celulas/hra.

0.8 Ptos

5. La cantidad ( en mg de carbon/m3/h ) en que se lleva a cabo la fotosıntesis de una especie defitoplancton se disena mediante la funcion

P =100I

I2 + I + 4

donde I es la intensidad de luz, medida en unidades adecuadas. ¿Para que intensidad de luz P esmaxima?

Sol:


P ′(I) =100(I2 + I + 4)− 100I · (2I + 1)

(I2 + I + 4)2= 0 ⇔ −100I2 + 400

(I2 + I + 4)2= 0

0.5 Ptos

De aquı, −100I2 + 400 = 0 ⇒ I = ±2, pero por contexto, nos quedamos solo con I = 2.

0.5 Ptos

Verifiquemos que es maximo, con el criterio de la primera derivada:

• Si I < 2 ⇒ P ′(I) > 0

• Si I > 2 ⇒ P ′(I) < 0Luego, como P ′(I) cambia de positiva a negativa al pasar por I = 2, se concluye que I = 2 es laintensidad maxima.

0.5 Ptos

DURACION: 90 MINUTOSSE PERMITE EL USO DE CALCULADORAELIJA 4 DE LAS 5 PREGUNTASSIN CONSULTAS




1. Considere la funcion

f(x) =

x4 − 16x3 − 8

si x < 2

5ax

2+ 1 si x ≥ 2

(a) Encuentre el valor de la constante a de modo que f sea continua en todo RSol:Basta con imponer que lim

x→2−f(x) = lim

x→2+f(x).

limx→2−

x4 − 16x3 − 8

= limx→2+

5ax

2+ 1 ⇔ lim

x→2−

(x− 2)(x + 2)(x2 + 4)(x− 2)(x2 + 2x + 4)

= 5a + 1

⇔ 83

= 5a + 1 ⇒ a =13

0.8 Ptos.

(b) Para x < 2, encuentre f ′(x).Sol:Directamente y aplicando la regla del cuociente:

f ′(x) =4x3(x3 − 8)− (x4 − 16)3x2

(x3 − 8)2

0.7 Ptos.

2. Si y define una funcion implıcita de x dada por: cos(x− y)− y = 0, encuentre y′.

Sol:

Derivando implıcitamente:

− sin(x− y) · [1− y′]− y′ = 0 ⇒ y′ =sin(x− y)

sin(x− y)− 1

1.5 Ptos.

3. Encuentre el(los) valor(es) de la constante a de modo que las rectas tangentes a la funcion definidapor f(x) = a2x3 + ax2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2, sean paralelas.

Sol:

Basta con imponer que las pendientes de las rectas tangentes en x = 1 y x = 2 son iguales. Ademas,f ′(x) = 3a2x2 + 2ax + 3, entonces:

f ′(1) = f ′(2) ⇔ 3a2 + 2a + 3 = 12a2 + 4a + 3 ⇔ 9a2 + 2a = 0

⇒ a = 0 ∨ a = −29

1.5 Ptos.

4. Un hombre esta parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos estan a1.5 m por encima del amarre de la lancha ( ver figura ). Cuando la lancha esta a 4 m del muelle, elhombre esta jalando la cuerda a una velocidad de 0.8 m/seg. ¿A que rapidez se aproxima la lancha almuelle?

Sol:

Del esquema se puede establecer la siguiente relacion:

x2 + (1.5)2 = y2

y derivando respecto a t:

2xdx

dt= 2y

dy

dt⇔ dx

dt=

y

x· dy

dt

Evaluando cuando x = 4 ; dxdt = −0.8 e y =

√16 + 1.52 ≈ 4.27, se obtiene

dx

dt=

4.274· −0.8 ≈ −0.85

R: La lancha se acerca al muelle a una rapidez de 0.85 m/seg.

1.5 Ptos.

5. En un laboratorio de investigaciones nucleares, cierto cientıfico encontro que la funcion que describe laposicion de una determinada partıcula subatomica, que se desplaza sobre una recta coordenada, estadada por:

s(t) = t3 − 12t2 + 36t− 20

donde, s(t) , representa la posicion de la partıcula en el instante t ( en segundos). Determine en queinstante la posicion de la partıcula es mınima y maxima. Con los puntos calculados anteriormente, ysi requiere calcular otros, realice un bosquejo de la grafica de s(t) para t > 0.

Sol:

Los valores crıticos los obtenemos a partir de s′(t) = 0:

s′(t) = 3t2 − 24t + 36 = 0 / : 3 ⇔ t2 − 8t + 12 = 0

⇔ (t− 6)(t− 2) = 0 ⇒ t = 6 ∨ t = 2

0.6 Ptos.

Ademas

• s′′(t) = 6t − 24, y s′′(2) = −12 < 0 → t = 2 segundos es el instante de manera que la posicionsea maxima.

• s′′(6) = 12 > 0 → t = 6 segundos es el instante de manera que la posicion sea mınima.

0.4 Ptos.

Calculemos el punto de inflexion a partir de s′′(t) = 0 ⇔ 6t− 24 = 0 → t = 4. Los puntos a considerarpara la grafica de la funcion son (2, s(2)) = (2, 12); (6, s(6)) = (6,−20); (4, s(4)) = (4,−4). Finalmenteel bosquejo de grafica es:

0.5 Ptos.




1. Cierta empresa de material fotografico oferta una maquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15fotografıas por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma queel numero de fotografıas por minuto(R(x)) sera funcion de la antiguedad de la maquina, x, de acuerdoa la funcion:

R(x) =

15− x si 0 ≤ x ≤ 5

5x + 45x + 2

si x > 5

donde x es el tiempo en anos.

(a) Demuestre que la funcion es continua en todo su dominio.Sol:Basta analizar para x = 5:

• f(5) = 10. Esta definida.

• limx→5−

15− x = 10 ; limx→5+

5x + 45x + 2

=707

= 10. Por lo tanto el lımite existe y vale 10.

• f(5) = limx→5

R(x).

Por lo que se concluye que f es continua en x = 5 y por lo tanto en todo su dominio.

(b) Justificar, adecuadamente que por muy vieja que sea la maquina no revelara menos de 5 fotografıaspor minuto.Sol:Para ver que no revelara menos de 5 fotografıas, se observa que f es decreciente y ademas:

limx→∞

5x + 45x + 2

= 5

2. Si y = x · e2x, verifique si la funcion satisface la ecuacion:

y′′ − y′ − 2y = 3 · e2x

Sol:

y′ = e2x + 2xe2x ⇒ y′′ = 2e2x + 2e2x + 2xe2x · 2 = 4e2x + 4xe2x

Reemplazando:

4e2x + 4xe2x − e2x − 2xe2x − 2xe2x = 3e2x

Por lo tanto, si verifica.

3. El numero de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa, viene dado por la funcion

N(t) =30t

t2 − 2t + 4

donde t es el tiempo transcurrido en dıas desde que se inicio el contagio. ¿Cual es la tasa de cambiodel numero de personas afectadas correspondientes al cuarto dıa?

Sol:

La tasa de cambio viene dada por:

dN

dt=

30(t2 − 2t + 4)− 30t(2t− 2)(t2 − 2t + 4)2

Evaluando en t = 4:

dN

dt=

30 · 12− 30 · 4 · 6122

= −2.5

Luego, la cantidad disminuye a razon de aproximadamente 2500 personas/dıa.

4. El rendimiento ( medido de 0 a 10 ) de cierto producto en funcion del tiempo de uso,x, ( en anos ),viene dado por la funcion:

f(x) = 8.5 +3x

1 + x2;x ≥ 0

Determine el instante en que el rendimiento es maximo.

Sol:

Calculemos los valores crıticos a partir de f ′(x) = 0:

f ′(x) =3(1 + x2)− 3x · 2x

(1 + x2)2= 0 ⇔ 3 + 3x2 − 6x2 = 0

⇒ x2 = 1 → x = 1 ∨ x = −1 (se descarta)

Ademas, para x < 1 ⇒ f ′(x) > 0 y para x > 1 ⇒ f ′(x) < 0, y por el criterio de la primera derivadase concluye que x = 1 ano es el instante en que el rendimiento es maximo.

Universidad Andres BelloFacultad de Ciencias de la Salud

Escuela de Quımica y Farmacia-BioquımicaDpto. de Ciencias Fısicas y Matematicas

Pauta Tercera Prueba SolemnePrimer Semestre 2005

Elementos de Algebra y Calculo elemental – FMM 032.

1. Estudie la continuidad de la funcion

f(x) =

√2− x− 1

x− 1si x < 1

sen(x− 1)

x3 − 1si x > 1

4 si x = 1

2. Considere la grafica de la funcion real f : R → R

−3 10 4

(a) Indique los valores de x ∈ R para los cuales f ′(x) > 0 , f ′(x) < 0 , f ′(0) = 0 .

(b) ¿ Cuanto vale limx→∞

f ′(x) ?

3. Un biologo realizo un experimento sobre la cantidad de individuos en una poblacionde paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo g(t) = ln(t2− 2t+5) dondet se mide en dıas y g(t) es el numero de individuos en el cultivo. Indique despues decuanto tiempo el numero de individuos en la poblacion es mınimo.

4. Determine los valores de A y B tales que la funcion y = ( Asen(x) + Bcos(x) ) ex

satisfaga la ecuacion y′′ + 4y′ + 3y = 3exsen(x)

Pauta

1. Es claro que f es continua para todo x ∈ R \ 1 por ser la division de funcionescontinuas.

Para estudiar la continuidad en x = 1 debemos verificar que limx→1

f(x) = f(1) . Para

ver la existencia del lımite calculamos los lımites laterales.

Para el lımite lateral izquierdo, tenemos

limx→1−

f(x) = limx→1−

√2− x− 1

x− 1

√2− x + 1√2− x + 1

= limx→1−

2− x− 1

(x− 1) (√

2− x + 1)

= limx→1−

1− x

(x− 1) (√

2− x + 1)= −1

2

( 0.6 Ptos)

Para el lımite lateral derecho, tenemos

limx→1+

f(x) = limx→1+

sen(x− 1)

x3 − 1= lim

x→1+

sen(x− 1)

(x− 1) (x2 + x + 1)

= limx→1+

sen(x− 1)

(x− 1)

1

x2 + x + 1=

1

3

( 0.6 Ptos)

Como los lımites laterales son distintos se concluye que no existe limx→1

f(x) y por lo

tanto f es discontinua en x = 1 .

( 0.3 Ptos)

2. (a) Interpretando la derivada como la pendiente de la recta tangente al grafico de lafuncion tenemos que

f ′(x) > 0 si x ∈ (−3, 0) ∪ (1, 4)

f ′(x) < 0 si x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 1) ∪ (4, +∞)

( 1.0 Ptos)

(b) Ante el supuesto que el grafico de f sigue asintotico horizontal cuando x tiendea +∞ tenemos que lim

x→+∞f ′(x) = 0 .

( 0.5 Ptos)

3. Tenemos que g′(t) =2t− 2

t2 − 2t + 5. Calculamos los puntos crıticos:

g′(t) = 0 si2t− 2

t2 − 2t + 5= 0 de donde el unico punto crıtico es t = 1 .

Usamos el criterio de la segunda derivada para establecer extremos relativos, luego

g′′(t) =2(t2 − 2t + 5)− (2t− 2)2

(t2 − 2t + 5)2. Evaluando se sigue que g′′(1) = 1/2 > 0 , y por lo

tanto t = 1 es un mınimo relativo.

En el contexto del problema: Despues de un dıa el numero de individuos en el cultivoes un mınimo.

( 1.5 Ptos)

4. Calculamos la primera y segunda derivada de y para obtener y = ( Asen(x) +Bcos(x) ) ex

y′ = [ Acos(x)−Bsen(x) ] ex + [ Asen(x) + Bcos(x) ] ex

= [ (A + B)cos(x) + (A−B)sen(x) ] ex

( 0.4 Ptos)

y

y′′ = [−(A + B)sen(x) + (A−B)cos(x) ] ex + [ (A + B)cos(x) + (A−B)sen(x) ] ex

= [2Acos(x)− 2Bsen(x)] ex

( 0.4 Ptos)

Luego

y′′ + 4y′ + 3y

= [2Acos(x)− 2Bsen(x)] ex + 4[ (A + B)cos(x) + (A−B)sen(x) ] ex

+3[ Asen(x) + Bcos(x) ] ex

= [(6A + 7B)cos(x) + (7A− 6B)sen(x)] ex

( 0.4 Ptos)

Para obtener la igualdad y′′ + 4y′ + 3y = 3exsen(x) debemos tener

6A + 7B = 07A− 6B = 3 ,

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales, se tiene A = 2185

y B = −1885

.

( 0.3 Ptos)




Viernes 25 de Noviembre de 2005

1. Calcular los siguientes lımites, si es que existen:

(a) limx→0

tanx− sinx

sin3 x

Solucion:

limx→0

tanx− sinx

sin3 x= lim

x→0

sin xcos x − sinx

sin3 x= lim

x→0

sinx(1− cos x)sin3 x · cos x

= limx→0

1− cos x

sin2 x︸︷︷︸1−cos2 x

· cos x

limx→0

1− cos x

(1− cos x)(1 + cos x) · cos x= lim

x→0

1(1 + cos x) · cos x

=12

(0.6 Ptos)

(b) limx→0

√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3

Solucion:

limx→0

√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3

·√

x2 + 4 + 2√x2 + 4 + 2

·√

x2 + 9 + 3√x2 + 9 + 3

= limx→0

(x2 + 4− 4)(√

x2 + 9 + 3)(x2 + 9− 9)(

√x2 + 4 + 2)

limx→0

√x2 + 9 + 3√x2 + 4 + 2

=64

=32

(0.6 Ptos)


f(x) =

x2 + x− 6x + 3

x > −3

−5 x ≤ −3

(a) Analice la continuidad de f(x) en todo R.Solucion:Analicemos la continuidad de la funcion en x = −3, ya que en cualquier otro punto es claramentecontinua.

• f(−3) = −5. Esta definida.(0.3 Ptos)

• limx→−3−

f(x) = limx→−3−

−5 = −5

limx→−3+

f(x) = limx→−3+

x2 + x− 6x + 3

= limx→−3+

(x + 3)(x− 2)x + 3

= −5

Luego limx→−3

f(x) = −5.

(0.3 Ptos)• Como f(−3) = lim

x→−3f(x), se concluye que la funcion es continua en x = −3, y por lo tanto

es continua en todo R.

(0.3 Ptos)

(b) Para x > −3, calcule limx→∞

1f(x)

.

Solucion:

limx→∞

1f(x)

= limx→∞

x + 3x2 + x− 6

= 0

pues, el denominador crece mas rapido que el numerador, y en el infinito la fraccion tiende a cero.(0.3 Ptos)

3. Encuentre la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva y = x3−4x+1, en el punto cuando x = 1.

Solucion:

Si x = 1, entonces y = −2

La pendiente de la recta tangente viene dada por:

y′ = 3x2 − 4

Evaluada en x = 1 ⇒ y′ = −1.

Luego la ecuacion viene dada por y = −x + n, donde n se obtiene de reemplazar el punto (1;−2), esdecir

−2 = −1 + n ⇒ n = −1

Por lo tanto la ecuacion de la recta tangente es: yt = −x− 1

La pendiente de la recta normal es mn = 1 ⇒ y = x + n, donde n es igual a

−2 = 1 + n ⇒ n = −3

Por lo tanto la ecuacion de la recta normal es: yn = x− 3

(1.2 Ptos)

4. Cuando la basura organica se vacıa en un estanque, el proceso de oxidacion que se lleva a cabo reduceel contenido en el estanque; sin embargo, despues de cierto tiempo, la naturaleza regresa el contenidode oxıgeno a su nivel natural. Supongase que el porcentaje de contenido de oxıgeno t dıas despues detirar la basura organica en el estanque esta dado por

P (t) = 100 ·[t2 + 10t + 100t2 + 20t + 100

]con respecto de su nivel normal. ¿Que tan rapido cambia el contenido de oxıgeno en el estanque 20dıas despues de vaciar la basura organica?

Solucion:

La razon de cambio viene dada pordP

dt, es decir

dP

dt= 100 ·

[(2t + 10)(t2 + 20t + 100)− (t2 + 10t + 100)(2t + 20)

(t2 + 20t + 100)2

]Desarrolando la expresion y simplificando se obtiene

dP

dt= 100

[10t2 − 1000

(t2 + 20t + 100)2

]Evaluando en t = 20 se llega a:

dP

dt= 0.37

Es decir, la cantidad de oxıgeno cambia a razon de 0.37 %/dia.

(1.2 Ptos)

5. La fuerza R de reaccion del cuerpo humano a una dosis D de cierto medicamento esta dada por

R(D) = D2 ·(

k

2− D

3

)donde k es una constante positiva. Demuestre que la maxima reaccion se alcanza cuando la dosis es kunidades.

Solucion:


R(D) =k

2D2 − D3

3→ R′(D) = kD −D2 = 0 ⇔ D(k −D) = 0

⇒ D = k ∨D = 0

Calculemos la segunda derivada:

R′′(D) = k − 2D

Evaluando:

R′′(0) = k > 0

R′′(k) = −k < 0 ⇒ D = k, es un maximo.QED.

(1.2 Ptos)



PAUTA EXAMENViernes 08 de Julio de 2011

1. Se ha determinado, que el ındice de masa corporal de una persona es funcion del peso P en kilos y laaltura h en metros mediante la formula

IMC =P

h2

Una persona se considera normal, si este ındice fluctua entre 18.5 y 25, inclusive ambos valores.Determine, ¿que peso deberıa tener una persona considerada saludable si su altura es de 1.5 metros?

Ind: Debe utilizar inecuaciones.

Sol:

Se debe imponer que:

18.5 ≤ IMC ≤ 25 ⇔ 18.5 ≤ P

h2≤ 25

⇔ 18.5 ≤ P

2.25≤ 25 ⇔ 41.625 ≤ P ≤ 56.25

Luego, el peso debe estar entre 41.625 y 56.26 kilos.

2. La poblacion de cierta ciudad viene dada por la funcion:

P (t) = P0 · ekt

donde t se mide en anos. Si la poblacion hace 18 anos era de 5.000 habitantes y ahora es de 10.000,¿cual sera la poblacion en 2 anos mas?

Sol:

Del enunciado si t = 0 → P = 5000 y si t = 18 → P = 10.000. Con esto se concluye que P0 = 5000 yademas:

10.000 = 5.000 · e18k ⇔ k =ln 218

≈ 0.038

Por tanto, la poblacion en dos anos mas se obtiene como:

P (20) = 5.000 · e0.038·20 ≈ 10.691 habitantes

3. Se ha determinado que el numero de litros de agua que necesita semanalmente un determinado cultivo,desde el momento en que se planta (t = 0) hasta el momento en que se seca (t = 4), viene dada por lafuncion:

f(t) =√

8t− 2t2

(a) ¿En que momento el cultivo requiere√

6 litros?Sol:

√6 =

√8t− 2t2 /()2 ⇔ 8t− 2t2 = 6 ⇔ t2 − 4t + 3 = 0

⇒ t = 1 ∨ t = 3

(b) ¿En que instante las necesidades de agua del cultivo seran maximas?Sol:

f ′(t) =(8− 4t)

2√

8t− 2t2= 0 ⇔ t = 2

Calulemos f ′′(t):

f ′′(t) =−2√

8t− 2t2 − (4− 2t) · (8−4t)

2√

8t−2t2

8t− 2t2

Evaluando t = 2:

f ′′(2) < 0

Por tanto, cuando han transcurrido 2 semanas las necesidades de agua seran maximas.

4. El porcentaje de ocupacion de una cafeterıa entre las 13 y 21 horas se explica bastante bien por lafuncion:

P (x) = x3 − 54x2 + 960x− 5542

donde P es el porcentaje de ocupacion a las x horas. ¿En que instante se alcanza el porcentaje deocupacion mas bajo y mas alto?

Sol:

P ′(x) = 3x2 − 108x + 960 = 0 ⇔ (x− 20)(x− 16) = 0

⇒ x = 20;x = 16

Clasifiquemos estos valores crıticos a partir de P ′′(x) = 6x− 108:

• P (20) = 12 > 0 → x = 20 es mınimo.

• P (16) = −12 < 0 → x = 16 es maximo.

Luego, a las 20 horas la ocupacion es minima y a las 16 horas es maxima.

5. Calcule el siguiente lımite, utilizando la regla de L’Hopital:

limx→2

ln(x− 2)ln(ex − e2)

Sol:

limx→2

ln(x− 2)ln(ex − e2)

= limx→2

1x−2ex

ex−e2

= limx→2

ex − e2

ex(x− 2)= lim

x→2

ex

ex(x− 2) + ex=

e2

e2= 1

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