elementos de cÁlculo diferenciallculo diferencial historia y ejercicios resueltos Ángel ruiz hugo...
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ELEMENTOS DECÁLCULO DIFERENCIAL
HISTORIA YEJERCICIOS RESUELTOS
ÁNGEL RUIZHUGO BARRANTES
EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
CONTENIDO
Prefacio, vii
Contenido, ix
PRIMERA PARTEHISTORIA DEL CÁLCULO
CAPÍTULO 1ENTRE INCONMENSURABLES YPARADOJAS, i
1.1 Thales y Pitágoras, 21.2 Continuidad, infinito e inconmensurables, 6
Lo continuo y lo discreto, 7. Razón de la diagonaldel cuadrado y su lado, 8. Razón de la diagonaldel cubo y su lado, 9. La sección áurea, 11.Irracionales, 13.
1.3 Zenón y las paradojas, 13La paradoja de la Dicotomía, 14. La paradoja de
Aquiles, 151.4 Ejercicios, 16
CAPÍTULO .2CÁLCULO DE ÁREAS EN LA GRECIAANTIGUA, 19
2.1 Eudoxo y Arquímedes, 202.2 El método de Exhausción, 21
CONTENIDO
Principios sobre límites, 22. De los polígonosal círculo, 24. Cuadrados inscrito ycircunscrito en un círculo, 26. Un octógonomejora la aproximación, 27. El límite infinito,29
2.3 Ejercicios 31
CAPÍTULO 3MEDIEVO, CIENCIAS YMATEMÁTICAS, 33
3.1 De los romanos a la Escolástica, 34Cultura y educación, 34. Matemáticas, 35. Los cambios, 35. LaEscolástica, 37
3.2 Los árabes y las matemáticas, 38Árabes y griegos, 39. El álgebra y la aritmética árabes, 39
3.3 Técnicas, ideología y sociedad, 423.4 Ejercicios, 43
CAPITULO 4EL RENACIMIENTO: UN NUEVOPUNTO DE PARTIDA, 45
4.1 Renacimiento y humanismo, 464.2 Navegación y ciencias matemáticas, 494.3 Un poco de matemáticas, 50
Paralelismo con los jónicos, 534.4 Ejercicios, 54
ft.
CAPITULO 5REVOLUCIÓN EN LA COSMOLOGÍA, 55
5.1 Copérnico: el heliocentrismo, 57
CONTENIDO XI
El mérito de la tesis heliocéntrica, 585.2 Kepler: la geometría celeste,60
Las leyes keplerianas, 625.3 Galileo y la nueva cosmología, 63
Frente al esquema medieval, 64. En el centro deluniverso, 65. Una historia de intolerancia, 66
5.4 Ejercicios, 70
CAPÍTULO 6LOS MÉTODOS DE LA NUEVACIENCIA, 73
6.1 Galileo y la nueva ciencia, 75La descripción matemática, 76
6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon yDescartes, 80
Bacon: profeta del método experimental, 80.Descartes y la filosofía moderna, 80. El métodocartesiano, 82. El mecanicismo y la influenciacartesiana, 84. Nuevas tradiciones en losmétodos de la ciencia, 84
6.3 Las sociedades científicas, 856.4 Ejercicios, 87
CAPITULO 7PROBLEMAS PARA LAS MATEMÁTICASDEL SIGLO XVII, 89
7.1 Los límites de la matemática antigua, 917.2 Cuatro problemas fundamentales, 937.3 Las matemáticas del siglo XVII, 967.4 Ejercicios, 98
Xll CONTENIDO
CAPÍTULO 8GEOMETRÍA ANALÍTICA YCÁLCULO DE TANGENTES, 99
8.1 La geometría analítica, 100Apolonio, 101. Oresme, 102. La geometríacartesiana, 103. Fermat, 107. Algebra ygeometría, 108
8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos, 109La función, 110. Máximos y mínimos, 112. El
cálculo de tangentes, 1138.3 Ejercicios 117
CAPITULO 9LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES, 119
9.1 Los métodos de Kepler, 119El área del círculo, 120. El área de la elipse, 121
9.2 Galileo y los conjuntos infinitos, 124Cavalieri, 124. Conjuntos infinitos, 124
9.3 El área bajo una curva, 126Contribuciones previas a Newton y Leibniz,
1299.4 Ejercicios, 131
CAPÍTULO 10NEWTON, 133
10.1 La obra científica de Newton, 135La mecánica celeste, 135. Momentos de creación, 136
10.2 El Cálculo, 137La derivada, 138. El método cartesiano, 141. Críticas, 143
10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones, 144
CONTENIDO xm
El teorema del binomio y las series, 144. Publicaciones, 145. Publicar o nopublicar, 146
10.4 Ejercicios, 147
CAPÍTULO 11LEIBNIZ, 149
11.1 Una mente universal, 149Comunicación entre científicos, 150
11.2 El Cálculo de Leibniz, 151Notación, 154. Influencia, 154
11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz, 15511.4 Ejercicios, 157
CAPÍTULO 12SIGLO CIENCIA Y SOCIEDAD EN EL XVIII, 159
Ciencia y tecnología, 16012.1 La Revolución Industrial, 160
Antecedentes y desarrollo, 161. Ciencia, tecnología y sociedad, 16212.2 La química, 162
Desdé la alquimia y el flogisto al oxígeno, 163. Lavoisier, 164. LaRevolución Francesa y la ciencia, 164
12.3 Ejercicios, 165
CAPITULO 13EL ANÁLISIS Y LASMATEMÁTICAS DEL SIGLOXVIII, 167
13.1 El carácter de las matemáticas en los siglos XVII yXVIII, 168
Un progreso cuantitativo y cualitativo, 168. Los
XIV CONTENIDO
cambios en el siglo XVII, 169. En el siglo XVIII, 16913.2 La época de Euler, 169
Obra científica, 171. Del Cálculo al Análisis, 171. Funciones algebraicas ytrascendentes, 173rEl Cálculo en varias variables, 174. Los matemáticosfranceses del siglo XVIII, 174
13.3 La Edad Heroica, 176Confianza en las operaciones y en las aplicaciones, 176. Dificultades, 176.Rigor en el siglo XVIII. 117. Euler y losinfinitesimales, 178. Lagrange, 179. El caminohacia el "límite" como concepto base, 180
13.4 Ejercicios, 182
CAPÍTULO 14PANORÁMICA DE LASMATEMÁTICAS DEL SIGLOXIX, 185
14.1 La preocupación por el rigor, 185Catalizadores de una nueva etapa matemática, 186. La lógica moderna,187. Del siglo XVII al XIX, 187
14.2 Gauss y las geometrías, 189Gauss, 189. Geometrías no euclidianas, 189.Riemann, 190. La geometría proyectiva, 192
14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna, 193Galois, 193. Nuevos entes matemáticos, 194. Unamplio desarrollo matemático, 194
14.4 Ejercicios, 195
CAPÍTULO 15LA ARITMETIZACION DEL ANÁLISIS, 197
15.1 El rigor a través del límite: Bolzano y Cauchy, 199Bolzano, 199. Cauchy, 199. Variable, función y límite, 200. Infinitesimales,202
CONTENIDO xv
15.2 Weierstrass, 203La definición de límite, 203. Continuidad y derivación, 207
15.3 La construcción de los números reales, 207Los números reales de Weierstrass, 208. Las
"cortaduras" de Dedekind, 20915.4 Un balance, 211
Cantor, 211. Aritmetización y fundamentos de lasmatemáticas, 21215.5 Ejercicios, 213
CAPÍTULO 16EL ANÁLISIS NO-STANDARD YLA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS,215
16.1 Las matemáticas del XIX: un balance general, 216El temor y la incertidumbre en la comunidad matemática, 216
16.2 Los infinitesimales y el Análisis No-Standard, 217La teoría de los infinitesimales, 218. EntreCauchy y Weierstrass, 219. Viejos modelos depensamiento, 220. Un paradigma como herencia,221. La confesión de Arquímedes, 221. Lacomunidad matemática toma una decisión, 223
16.3 Una síntesis final, 224¿Qué no son las matemáticas?, 225
16.4 Ejercicios, 226
XVI CONTENIDO
SEGUNDA PARTEEJERCICIOS RESUELTOS
Presentación, 231 ~- - -
CAPÍTULO 1LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA, 233
• Velocidad instantánea como límite develocidades promedio, 233
• Concepto de recta tangente, 234• Derivada y pendiente de la recta tangente, 235• Derivada y pendiente de la recta tangente, 236• Cálculo de la pendiente usando una
tabla de valores, 237
CAPÍTULO 2LÍMITES, 241
El límite de una suma, 241El límite de un cociente, 242Límite con valor absoluto, 243Un límite que no existe, 244Reconocer la variable para calcular el límite, 245Factorizar dos~veces para calcular el límite, 246Doble racionalización para calcular un límite, 247El límite de un producto, 247Los límites y las raíces de una ecuación, 249
- 3 \
CONTENIDO xvn
CAPÍTULO 3
LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDAD 251
El concepto de límite por la derecha, 251Continuidad de un cociente, 252Continuidad cuando hay un parámetro, 252Continuidad y límites laterales, 254Continuidad y límites, 254Discontinuidades evitables e inevitables, 254Continuidad cuando hay un parámetro, 256
CAPÍTULO 4LÍMITES INFINITOS Y AL INFINITO, 257
• Límite infinito y función creciente, 257• Concepto de límite al infinito, 258• Cálculo de un límite a menos infinito, 258• Límite lateral con valor absoluto, 259• Aproximación del área bajo una curva, 260• El área bajo una curva como un límite, 262• Un límite al infinito con un radical, 263
CAPÍTULO 5LA DERIVADA, 265
• Desigualdad de funciones y derivada, 265• Puntos de no derivabilidad, 265• Derivabilidad en un punto, 267• Aproximación de la derivada en un punto, 268
XV111 CONTENIDO
• Aproximación de la derivada en un punto, 268• Cálculo de la velocidad instantánea, 269• Cálculo de la recta tangente, 270• Cálculo de la recta tangente y de
la recta normal, 270• Cálculo de la recta tangente y de
la recta normal, 271• Rectas tangentes paralelas, 272• Tangentes a una parábola, 273• Determinar el punto de tangencia, 273• Una tangente que no existe, 275• Rectas tangentes perpendiculares, 275• La derivada para resolver un
problema geométrico, 276
21,751,5
1,251
0,750,5
0,25
S
V>
0,5 1 1,5 2
CAPÍTULO 6
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASY EL CÁLCULO, 279
• Límite de funciones trigonométricas, 279• Derivada de funciones trigonométricas, 280• Seno de una suma, 280• Límite de funciones trigonométricas, 281• Cálculo de la derivada usando la definición, 282• Derivación implícita, 282• Uso del Teorema de Intercalación, 283• Uso de la recta tangente para un
cálculo geométrico, 283• Cálculo de la recta tangente y de
la recta normal, 285
CONTENIDO xix
CAPÍTULO 7LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONEN-CIALES Y EL CÁLCULO, 287
• Derivada de funciones logarítmicasy exponenciales, 287
• Límite de funciones exponenciales, 287• Uso de la derivación logarítmica, 288• Uso de la derivación logarítmica, 289• Derivación implícita, 290• Tangente horizontal, 290• Uso de la recta tangente para un
cálculo geométrico, 291• Recta tangente paralela a una recta dada, 292
CAPÍTULO 8ALGUNAS APLICACIONES, 293
Interés simple e interés compuesto, 293Cálculo de la altura máxima y la velocidad, 294Crecimiento de poblaciones, 295Cálculo del máximo y el mínimo, 296Uso de la regla de L'Hópital, 297
CAPÍTULO 9
TEMAS ADICIONALES: UNA INTRODUCCIÓN, 301
73 890'
• Área bajo una curva, 301• Norma de una partición, 303
XX CONTENIDO
• Una ecuación diferencial para modelar unproblema geométrico, 303
• Soluciones de una ecuación diferencial, 303• Solución de una ecuación diferencial
con un parámetro, 304• Vida media de una sustancia radiactiva, 305• Una función de dos variables para
describir una situación, 306
n i t i » *
CAPÍTULO 10DEFINICIONES Y MÉTODOS FORMALES, 3.07
• Uso de la definición de límite en un punto, 307• Uso de la definición de límite infinito, 308• Uso de la definición de límite en un punto, 309• Aplicación del Teorema de los
Valores Intermedios, 309• Aplicación del Teorema de los
Valores Intermedios, 310
Bibliografía general, 311
índice de recuadros teóricos, 315
índice analítico, 317